3 en diversos grados. Elevar a un grado irracional. Número máximo firmado

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Primero, recordemos las fórmulas básicas de los grados y sus propiedades.

producto de un numero un ocurre sobre sí mismo n veces, podemos escribir esta expresión como a a … a=a n

1. un 0 = 1 (un ≠ 0)

3. un norte un metro = un norte + metro

4. (un n) m = un nm

5. un norte segundo norte = (ab) norte

7. a n / a m \u003d a n - m

Ecuaciones de potencia o exponenciales- estas son ecuaciones en las que las variables están en potencias (o exponentes), y la base es un número.

Ejemplos de ecuaciones exponenciales:

En este ejemplo, el número 6 es la base, siempre está en la parte inferior, y la variable X grado o medida.

Demos más ejemplos de ecuaciones exponenciales.
2 x * 5 = 10
16x-4x-6=0

Ahora veamos cómo se resuelven las ecuaciones exponenciales.

Tomemos una ecuación simple:

2 x = 2 3

Tal ejemplo se puede resolver incluso en la mente. Se puede ver que x=3. Después de todo, para que los lados izquierdo y derecho sean iguales, debe colocar el número 3 en lugar de x.
Ahora veamos cómo se debe tomar esta decisión:

2 x = 2 3
x = 3

Para resolver esta ecuación, eliminamos mismos motivos(es decir, doses) y anotó lo que sobraba, estos son grados. Tenemos la respuesta que estábamos buscando.

Ahora resumamos nuestra solución.

Algoritmo para resolver la ecuación exponencial:
1. Necesito verificar lo mismo si las bases de la ecuación a la derecha ya la izquierda. Si los motivos no son los mismos, estamos buscando opciones para resolver este ejemplo.
2. Después de que las bases sean iguales, equiparar grado y resolver la nueva ecuación resultante.

Ahora resolvamos algunos ejemplos:

Comencemos de forma sencilla.

Las bases de los lados izquierdo y derecho son iguales al número 2, lo que significa que podemos descartar la base e igualar sus grados.

x+2=4 Ha resultado la ecuación más simple.
x=4 - 2
x=2
Respuesta: x=2

En el siguiente ejemplo, puedes ver que las bases son diferentes, estas son 3 y 9.

3 3x - 9x + 8 = 0

Para empezar, trasladamos el nueve al lado derecho, obtenemos:

Ahora necesitas hacer las mismas bases. Sabemos que 9=3 2 . Usemos la fórmula de la potencia (a n) m = a nm .

3 3x \u003d (3 2)x + 8

Obtenemos 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 ahora está claro que las bases en los lados izquierdo y derecho son iguales e iguales a tres, lo que significa que podemos descartarlas e igualar los grados.

3x=2x+16 obtuvo la ecuación más simple
3x-2x=16
x=16
Respuesta: x=16.

Veamos el siguiente ejemplo:

2 2x + 4 - 10 4x \u003d 2 4

En primer lugar, nos fijamos en las bases, las bases son diferentes dos y cuatro. Y tenemos que ser iguales. Transformamos el cuádruple según la fórmula (a n) m = a nm .

4 x = (2 2) x = 2 2x

Y también usamos una fórmula a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Añadir a la ecuación:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Dimos un ejemplo por las mismas razones. Pero nos interfieren otros números 10 y 24. ¿Qué hacer con ellos? Si observa de cerca, puede ver que en el lado izquierdo repetimos 2 2x, aquí está la respuesta: podemos poner 2 2x fuera de paréntesis:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Calculemos la expresión entre paréntesis:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Dividimos toda la ecuación por 6:

Imagina 4=2 2:

2 2x \u003d 2 2 bases son iguales, descartarlas e igualar los grados.
2x \u003d 2 resultó ser la ecuación más simple. Lo dividimos por 2, obtenemos
X = 1
Respuesta: x = 1.

Resolvamos la ecuación:

9x - 12*3x +27= 0

Transformemos:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Obtenemos la ecuación:
3 2x - 12 3x +27 = 0

Las bases son las mismas para nosotros, igual a 3. En este ejemplo, se puede ver que el primer triple tiene un grado dos veces (2x) que el segundo (solo x). En este caso, puede decidir método de sustitución. El número de menor grado se reemplaza por:

Entonces 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

Reemplazamos todos los grados con x en la ecuación con t:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Obtenemos una ecuación cuadrática. Resolvemos a través del discriminante, obtenemos:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Volver a variables X.

Tomamos t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

Es decir,

3x = 9
3 x = 3 2
x1 = 2

Se encontró una raíz. Buscamos el segundo, de t 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x2 = 1
Respuesta: x 1 \u003d 2; x2 = 1.

En el sitio puede en la sección AYUDAR A DECIDIR para hacer preguntas de interés, definitivamente le responderemos.

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objetivo principal

Familiarizar a los estudiantes con las propiedades de los grados con indicadores naturales y enseñarles a realizar acciones con grados.

Tema “Grado y sus propiedades” incluye tres preguntas:

• Determinación del grado con un indicador natural.
• Multiplicación y división de potencias.
• Exponenciación de producto y grado.

preguntas de examen

1. Formule la definición de un grado con un exponente natural mayor que 1. Dé un ejemplo.
2. Formule una definición del grado con un indicador de 1. Dé un ejemplo.
3. ¿Cuál es el orden de las operaciones al evaluar el valor de una expresión que contiene potencias?
4. Formule la propiedad principal del grado. Dar un ejemplo.
5. Formula una regla para multiplicar potencias con la misma base. Dar un ejemplo.
6. Formula una regla para dividir potencias con las mismas bases. Dar un ejemplo.
7. Formular la regla para la exponenciación de un producto. Dar un ejemplo. Demostrar la identidad (ab) n = a n b n .
8. Formule una regla para elevar un grado a una potencia. Dar un ejemplo. Demostrar la identidad (a m) n = a m n .

Definición de grado.

grado de número un con un indicador natural norte, mayor que 1, se denomina producto de n factores, cada uno de los cuales es igual a un. grado de número un con exponente 1 el número mismo se llama un.

grado con base un e indicador norte se escribe asi: un. Se lee " un en la medida norte”; “ n-ésima potencia de un número un ”.

Por definición de grado:

un 4 = un un un un

. . . . . . . . . . . .

Encontrar el valor del grado se llama exponenciación .

1. Ejemplos de exponenciación:

3 3 = 3 3 3 = 27

0 4 = 0 0 0 0 = 0

(-5) 3 = (-5) (-5) (-5) = -125

25 ; 0,09 ;

25 = 5 2 ; 0,09 = (0,3) 2 ; .

27 ; 0,001 ; 8 .

27 = 3 3 ; 0,001 = (0,1) 3 ; 8 = 2 3 .

4. Encuentra valores de expresión:

a) 3 10 3 = 3 10 10 10 = 3 1000 = 3000

b) -2 4 + (-3) 2 = 7
2 4 = 16
(-3) 2 = 9
-16 + 9 = 7

Opción 1

a) 0,3 0,3 0,3

c) b b b b b b b

d) (-x) (-x) (-x) (-x)

e) (ab) (ab) (ab)

2. Cuadre los números:

3. Cubo de los números:

4. Encuentra valores de expresión:

c) -1 4 + (-2) 3

d) -4 3 + (-3) 2

e) 100 - 5 2 4

Multiplicación de potencias.

Para cualquier número a y números arbitrarios m y n, se cumple lo siguiente:

un metro un norte = un metro + norte .

Prueba:

regla : Al multiplicar potencias con la misma base, las bases siguen siendo las mismas y se suman los exponentes.

un metro un norte un k = un metro + norte un k = un (metro + norte) + k = un metro + norte + k

a) x 5 x 4 = x 5 + 4 = x 9

b) y y 6 = y 1 y 6 = y 1 + 6 = y 7

c) segundo 2 segundo 5 segundo 4 \u003d segundo 2 + 5 + 4 \u003d segundo 11

d) 3 4 9 = 3 4 3 2 = 3 6

e) 0,01 0,1 3 = 0,1 2 0,1 3 = 0,1 5

a) 2 3 2 = 2 4 = 16

b) 3 2 3 5 = 3 7 = 2187

Opción 1

1. Presentar como título:

a) x 3 x 4 e) x 2 x 3 x 4

b) un 6 un 2 g) 3 3 9

c) y 4 y h) 7 4 49

d) a a 8 i) 16 2 7

e) 2 3 2 4 j) 0,3 3 0,09

2. Presentar como grado y encontrar el valor en la tabla:

a) 2 2 2 3 c) 8 2 5

b) 3 4 3 2 d) 27 243

División de grados.

Para cualquier número a0 y números naturales arbitrarios m y n tales que m>n, se cumple lo siguiente:

un metro: un norte = un metro - norte

Prueba:

un metro - norte un norte = un (m - norte) + norte = un metro - norte + norte = un metro

por definición de privado:

a m: a n \u003d a m - n.

regla: Al dividir potencias con la misma base, se deja la base igual, y al exponente del dividendo se le resta el exponente del divisor.

Definición: El grado de un número distinto de cero con un exponente cero es igual a uno:

porque un n: un n = 1 para a0 .

a) x 4: x 2 \u003d x 4 - 2 \u003d x 2

b) y 8: y 3 = y 8 - 3 = y 5

c) un 7: un \u003d un 7: un 1 \u003d un 7 - 1 \u003d un 6

d) s 5: s 0 = s 5: 1 = s 5

a) 5 7:5 5 = 5 2 = 25

b) 10 20:10 17 = 10 3 = 1000

en)

GRAMO)

mi)

Opción 1

1. Expresar el cociente como potencia:

2. Encuentra los valores de las expresiones:

Elevando a la potencia de un producto.

Para cualquier a y b y un número natural arbitrario n:

(ab) norte = un norte segundo norte

Prueba:

Por definición de grado

(ab) n =

Agrupando los factores a y b por separado, obtenemos:

=

La propiedad probada del grado del producto se extiende al grado del producto de tres o más factores.

Por ejemplo:

(a b c) norte = un norte segundo norte c norte ;

(un segundo C re) norte = un norte segundo norte C norte re norte .

regla: Al elevar un producto a una potencia, cada factor se eleva a esa potencia y el resultado se multiplica.

1. Elevar a una potencia:

a) (a b) 4 = a 4 b 4

b) (2 x y) 3 \u003d 2 3 x 3 y 3 \u003d 8 x 3 y 3

c) (3 a) 4 = 3 4 a 4 = 81 a 4

d) (-5 y) 3 \u003d (-5) 3 y 3 \u003d -125 y 3

e) (-0.2 x y) 2 \u003d (-0.2) 2 x 2 y 2 \u003d 0.04 x 2 y 2

f) (-3 a b c) 4 = (-3) 4 a 4 b 4 c 4 = 81 a 4 b 4 c 4

2. Encuentra el valor de la expresión:

a) (2 10) 4 = 2 4 10 4 = 16 1000 = 16000

b) (3 5 20) 2 = 3 2 100 2 = 9 10000= 90000

c) 2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10000

d) 0,25 11 4 11 = (0,25 4) 11 = 1 11 = 1

mi)

Opción 1

1. Elevar a una potencia:

b) (2 a c) 4

e) (-0.1 x y) 3

2. Encuentra el valor de la expresión:

b) (5 7 20) 2

Exponenciación.

Para cualquier número a y números naturales arbitrarios m y n:

(un metro) norte = un metro norte

Prueba:

Por definición de grado

(un m) n =

Regla: Al elevar una potencia a otra potencia se deja igual la base y se multiplican los exponentes.

1. Elevar a una potencia:

(un 3) 2 = un 6 (x 5) 4 = x 20

(y 5) 2 = y 10 (b 3) 3 = b 9

2. Simplificar expresiones:

a) un 3 (un 2) 5 = un 3 un 10 = un 13

b) (b 3) 2 segundo 7 \u003d segundo 6 segundo 7 \u003d segundo 13

c) (x 3) 2 (x 2) 4 \u003d x 6 x 8 \u003d x 14

d) (y y 7) 3 = (y 8) 3 = y 24

un)

b)

Opción 1

1. Elevar a una potencia:

a) (a 4) 2 b) (x 4) 5

c) (y 3) 2 d) (b 4) 4

2. Simplificar expresiones:

a) un 4 (un 3) 2

b) (b 4) 3 b 5+

c) (x 2) 4 (x 4) 3

d) (y y 9) 2

3. Encuentra el significado de las expresiones:

Apéndice

Definición de grado.

opcion 2

1º Escribe el producto en forma de grado:

a) 0,4 0,4 ​​0,4

c) a a a a a a a a a

d) (-y) (-y) (-y) (-y)

e) (bc) (bc) (bc)

2. Cuadre los números:

3. Cubo de los números:

4. Encuentra valores de expresión:

c) -1 3 + (-2) 4

d) -6 2 + (-3) 2

e) 4 5 2 – 100

Opción 3

1. Escriba el producto como un grado:

a) 0,5 0,5 0,5

c) c c c c c c c c c

d) (-x) (-x) (-x) (-x)

e) (ab) (ab) (ab)

2. Presente en forma de cuadrado del número: 100; 0,49; .

3. Cubo de los números:

4. Encuentra valores de expresión:

c) -1 5 + (-3) 2

d) -5 3 + (-4) 2

e) 5 4 2 - 100

Opción 4

1. Escriba el producto como un grado:

a) 0,7 0,7 0,7

c) x x x x x x

d) (-) (-) (-)

e) (bc) (bc) (bc) (bc)

2. Cuadre los números:

3. Cubo de los números:

4. Encuentra valores de expresión:

c) -1 4 + (-3) 3

d) -3 4 + (-5) 2

e) 100 - 3 2 5

Multiplicación de potencias.

opcion 2

1. Presentar como título:

a) x 4 x 5 e) x 3 x 4 x 5

b) un 7 un 3 g) 2 3 4

c) y 5 y h) 4 3 16

d) a a 7 i) 4 2 5

e) 2 2 2 5 j) 0.2 3 0.04

2. Presentar como grado y encontrar el valor en la tabla:

a) 3 2 3 3 c) 16 2 3

b) 2 4 2 5 d) 9 81

Opción 3

1. Presentar como título:

a) a 3 a 5 e) y 2 y 4 y 6

b) x 4 x 7 g) 3 5 9

c) segundo 6 segundo h) 5 3 25

d) y 8 i) 49 7 4

e) 2 3 2 6 j) 0,3 4 0,27

2. Presentar como grado y encontrar el valor en la tabla:

a) 3 3 3 4 c) 27 3 4

b) 2 4 2 6 d) 16 64

Opción 4

1. Presentar como título:

a) un 6 un 2 e) x 4 x x 6

b) x 7 x 8 g) 3 4 27

c) y 6 y h) 4 3 16

d) x x 10 i) 36 6 3

e) 2 4 2 5 j) 0,2 2 0,008

2. Presentar como grado y encontrar el valor en la tabla:

a) 2 6 2 3 c) 64 2 4

b) 3 5 3 2 d) 81 27

División de grados.

opcion 2

1. Expresar el cociente como potencia:

2. Encuentra el significado de las expresiones.

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Descubrimos cuál es el grado de un número en general. Ahora necesitamos entender cómo calcularlo correctamente, es decir. elevar números a potencias. En este material, analizaremos las reglas básicas para calcular el grado en el caso de un exponente entero, natural, fraccionario, racional e irracional. Todas las definiciones se ilustrarán con ejemplos.

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El concepto de exponenciación

Comencemos con la formulación de definiciones básicas.

Definición 1

exponenciación es el cálculo del valor de la potencia de algún número.

Es decir, las palabras "cálculo del valor del grado" y "exponenciación" significan lo mismo. Entonces, si la tarea es "Elevar el número 0, 5 a la quinta potencia", esto debe entenderse como "calcular el valor de la potencia (0, 5) 5".

Ahora damos las reglas básicas que deben seguirse en dichos cálculos.

Recuerda qué es una potencia de un número con un exponente natural. Para una potencia de base a y exponente n, será el producto del enésimo número de factores, cada uno de los cuales es igual a a. Esto se puede escribir así:

Para calcular el valor del grado, debe realizar la operación de multiplicación, es decir, multiplicar las bases del grado la cantidad de veces especificada. El concepto mismo de un título con un indicador natural se basa en la capacidad de multiplicarse rápidamente. Demos ejemplos.

Ejemplo 1

Condición: Elevar - 2 a la potencia de 4 .

Decisión

Usando la definición anterior, escribimos: (− 2) 4 = (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) . A continuación, solo tenemos que seguir estos pasos y obtener 16 .

Tomemos un ejemplo más complicado.

Ejemplo 2

Calcular el valor 3 2 7 2

Decisión

Esta entrada se puede reescribir como 3 2 7 · 3 2 7 . Anteriormente vimos cómo multiplicar correctamente los números mixtos mencionados en la condición.

Realice estos pasos y obtenga la respuesta: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Si la tarea indica la necesidad de elevar números irracionales a una potencia natural, primero necesitaremos redondear sus bases a un dígito que nos permita obtener una respuesta con la precisión deseada. Tomemos un ejemplo.

Ejemplo 3

Realice la elevación al cuadrado del número π.

Decisión

Vamos a redondearlo a las centésimas primero. Entonces π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Si π ≈ 3 . 14159, obtendremos un resultado más preciso: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Tenga en cuenta que la necesidad de calcular las potencias de los números irracionales en la práctica surge relativamente raramente. Entonces podemos escribir la respuesta como la potencia misma (ln 6) 3 o convertir si es posible: 5 7 = 125 5 .

Por separado, se debe indicar cuál es la primera potencia de un número. Aquí puedes recordar que cualquier número elevado a la primera potencia seguirá siendo el mismo:

Esto está claro en el registro. .

No depende de la base del grado.

Ejemplo 4

Entonces, (− 9) 1 = − 9 , y 7 3 elevado a la primera potencia sigue siendo igual a 7 3 .

Por conveniencia, analizaremos tres casos por separado: si el exponente es un entero positivo, si es cero y si es un entero negativo.

En el primer caso, esto es lo mismo que elevar a una potencia natural: después de todo, los números enteros positivos pertenecen al conjunto de los números naturales. Ya hemos descrito anteriormente cómo trabajar con tales grados.

Ahora veamos cómo elevar correctamente a la potencia cero. Con una base distinta de cero, este cálculo siempre produce una salida de 1 . Anteriormente hemos explicado que la potencia 0 de a se puede definir para cualquier número real distinto de 0, y a 0 = 1.

Ejemplo 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - no definido.

Nos quedamos solo con el caso de un grado con un exponente entero negativo. Ya hemos discutido que tales grados se pueden escribir como una fracción 1 a z, donde a es cualquier número y z es un número entero negativo. Vemos que el denominador de esta fracción no es más que un grado ordinario con un entero positivo, y ya hemos aprendido a calcularlo. Vamos a dar ejemplos de tareas.

Ejemplo 6

Eleva 3 a la potencia -2.

Decisión

Usando la definición anterior, escribimos: 2 - 3 = 1 2 3

Calculamos el denominador de esta fracción y obtenemos 8: 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8.

Entonces la respuesta es: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Ejemplo 7

Eleva 1, 43 a la potencia -2.

Decisión

Reformular: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2

Calculamos el cuadrado en el denominador: 1.43 1.43. Los decimales se pueden multiplicar de esta manera:

Como resultado, obtuvimos (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2 , 0449 . Nos queda escribir este resultado en forma de una fracción ordinaria, para lo cual es necesario multiplicarlo por 10 mil (ver el material sobre la conversión de fracciones).

Respuesta: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Un caso aparte es elevar un número a la primera potencia menos. El valor de dicho grado es igual al número opuesto al valor original de la base: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a.

Ejemplo 8

Ejemplo: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Cómo elevar un número a una potencia fraccionaria

Para realizar tal operación, debemos recordar la definición básica de un grado con un exponente fraccionario: a m n \u003d a m n para cualquier a positivo, entero m y n natural.

Definición 2

Así, el cálculo de un grado fraccionario debe realizarse en dos pasos: elevar a una potencia entera y encontrar la raíz del grado n.

Tenemos la igualdad a m n = a m n , que dadas las propiedades de las raíces, se suele utilizar para resolver problemas de la forma a m n = a n m . Esto significa que si elevamos el número a a una potencia fraccionaria m / n, primero extraemos la raíz del grado n de a, luego elevamos el resultado a una potencia con un exponente entero m.

Ilustremos con un ejemplo.

Ejemplo 9

Calcula 8 - 2 3 .

Decisión

Método 1. De acuerdo con la definición básica, podemos representar esto como: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3

Ahora calculemos el grado debajo de la raíz y extraigamos la tercera raíz del resultado: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Método 2. Transformemos la igualdad básica: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2

Después de eso, extraemos la raíz 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 y elevamos al cuadrado el resultado: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Vemos que las soluciones son idénticas. Puedes usar la forma que quieras.

Hay casos en que el título tiene un indicador expresado como número mixto o fracción decimal. Para facilitar el cálculo, es mejor reemplazarlo con una fracción ordinaria y contar como se indicó anteriormente.

Ejemplo 10

Eleva 44,89 a la potencia de 2,5.

Decisión

Convirtamos el valor del indicador en una fracción ordinaria: 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.

Y ahora realizamos todas las acciones indicadas arriba en orden: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501, 25107

Respuesta: 13501, 25107.

Si hay números grandes en el numerador y el denominador de un exponente fraccionario, calcular dichos exponentes con exponentes racionales es un trabajo bastante difícil. Por lo general, requiere tecnología informática.

Por separado, nos detenemos en el grado con una base cero y un exponente fraccionario. Una expresión de la forma 0 m n puede tener el siguiente significado: si m n > 0, entonces 0 m n = 0 m n = 0 ; si m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Cómo elevar un número a una potencia irracional

La necesidad de calcular el valor del grado, en cuyo indicador hay un número irracional, no surge con tanta frecuencia. En la práctica, la tarea suele limitarse a calcular un valor aproximado (hasta un determinado número de decimales). Esto generalmente se calcula en una computadora debido a la complejidad de dichos cálculos, por lo que no nos detendremos en esto en detalle, solo indicaremos las disposiciones principales.

Si necesitamos calcular el valor del grado a con un exponente irracional a , entonces tomamos la aproximación decimal del exponente y contamos a partir de ella. El resultado será una respuesta aproximada. Cuanto más precisa sea la aproximación decimal tomada, más precisa será la respuesta. Mostremos con un ejemplo:

Ejemplo 11

Calcule un valor aproximado de 21 , 174367 ....

Decisión

Nos restringimos a la aproximación decimal a n = 1 , 17 . Hagamos los cálculos usando este número: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Si tomamos, por ejemplo, la aproximación a n = 1, 1743, entonces la respuesta será un poco más precisa: 2 1, 174367. . . ≈ 2 1 . 1743 ≈ 2 . 256833 .

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Cuando el numero se multiplica a si mismo a mí mismo, trabaja llamado grado.

Entonces 2.2 = 4, cuadrado o segunda potencia de 2
2.2.2 = 8, cubo o tercera potencia.
2.2.2.2 = 16, cuarto grado.

Además, 10,10 = 100, la segunda potencia es 10.
10.10.10 = 1000, tercer grado.
10.10.10.10 = 10000 cuarto grado.

Y a.a = aa, la segunda potencia de a
a.a.a = aaa, la tercera potencia de a
a.a.a.a = aaaa, cuarta potencia de a

El número original se llama raíz grados de ese número, porque ese es el número a partir del cual se crearon los grados.

Sin embargo, no es muy conveniente, especialmente en el caso de altas potencias, anotar todos los factores que componen las potencias. Por lo tanto, se utiliza un método de notación abreviada. La raíz del grado se escribe solo una vez, y a la derecha y un poco más arriba al lado, pero en una fuente un poco más pequeña se escribe cuántas veces la raíz actúa como un factor. Este número o letra se llama exponente o grado números. Entonces, un 2 es igual a a.a o aa, porque la raíz de a debe multiplicarse dos veces por sí misma para obtener la potencia de aa. Además, un 3 significa aaa, es decir, aquí se repite a tres veces como multiplicador.

El exponente de la primera potencia es 1, pero normalmente no se escribe. Entonces, un 1 se escribe como a.

No debes confundir grados con coeficientes. El coeficiente muestra con qué frecuencia se toma el valor como parte todo. El exponente indica con qué frecuencia se toma el valor como factor en el trabajo.
Entonces, 4a = a + a + a + a. Pero un 4 = a.a.a.a

La notación exponencial tiene la peculiar ventaja de permitirnos expresar desconocido grado. Para este propósito, en lugar de un número, el exponente se escribe carta. En el proceso de resolver el problema, podemos obtener un valor que, como sabemos, es algunos grado de otra magnitud. Pero hasta ahora no sabemos si es un cuadrado, un cubo u otro grado superior. Entonces, en la expresión a x , el exponente significa que esta expresión tiene algunos grado, aunque no definido qué grado. Entonces, b m y d n están elevados a las potencias de m y n. Cuando se encuentra el exponente, número sustituido por una letra. Entonces, si m=3, entonces b m = b 3 ; pero si m = 5 entonces b m =b 5 .

El método de escritura de valores con exponentes también es una gran ventaja cuando se utiliza expresiones. Así, (a + b + d) 3 es (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), es decir, el cubo del trinomio (a + b + d) . Pero si escribimos esta expresión después de cubos, se verá como
un 3 + 3a 2 segundo + 3a 2 re + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + segundo 3 + re 3 .

Si tomamos una serie de potencias cuyos exponentes aumentan o disminuyen en 1, encontramos que el producto aumenta en factor común o reducido por común divisor, y este factor o divisor es el número original elevado a una potencia.

Entonces, en la serie aaaa, aaaa, aaa, aa, a;
o un 5, un 4, un 3, un 2, un 1;
los indicadores, si se cuentan de derecha a izquierda, son 1, 2, 3, 4, 5; y la diferencia entre sus valores es 1. Si empezamos a la derecha multiplicar en a, obtendremos con éxito múltiples valores.

Entonces a.a = a 2 , el segundo término. Y un 3 .a = un 4
a 2 .a = a 3 , el tercer término. un 4 .a = un 5 .

si empezamos izquierda Cuota en un,
obtenemos 5:a = a 4 y 3:a = a 2 .
un 4: un = un 3 un 2: un = un 1

Pero tal proceso de división puede continuar más, y obtenemos un nuevo conjunto de valores.

Entonces, a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.

La fila completa será: aaaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa.

O un 5, un 4, un 3, un 2, un, 1, 1/a, 1/a 2, 1/a 3.

Aquí valores a la derecha de la unidad es contrarrestar valores a la izquierda de uno. Por lo tanto, estos grados pueden llamarse potencias inversas una. También se puede decir que las potencias de la izquierda son las inversas de las potencias de la derecha.

Entonces, 1:(1/a) = 1.(a/1) = a. Y 1:(1/a 3) = a 3 .

El mismo plan de grabación se puede aplicar a polinomios. Entonces, para a + b, obtenemos un conjunto,
(a + b) 3 , (a + b) 2 , (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b) 2 , 1/(a + b) 3 .

Por conveniencia, se usa otra forma de escribir potencias inversas.

Según esta forma, 1/a o 1/a 1 = a -1 . Y 1/aaa o 1/a 3 = a -3 .
1/aa o 1/a 2 = a -2 . 1/aaaa o 1/a 4 = a -4 .

Y para hacer series completas de exponentes con 1 como diferencia total, a/a o 1, se considera como tal que no tiene grado y se escribe como 0 .

Entonces, teniendo en cuenta las potencias directa e inversa
en vez de aaaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa
puedes escribir un 4, un 3, un 2, un 1, un 0, un -1, un -2, un -3, un -4.
O un +4, un +3, un +2, un +1, un 0, un -1, un -2, un -3, un -4.

Y una serie de títulos solo tomados por separado tendrá la forma:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

La raíz del grado se puede expresar con más de una letra.

Así, aa.aa o (aa) 2 es la segunda potencia de aa.
Y aa.aa.aa o (aa) 3 es la tercera potencia de aa.

Todos los grados del número 1 son iguales: 1.1 o 1.1.1. será igual a 1.

La exponenciación es encontrar el valor de cualquier número al multiplicar ese número por sí mismo. Regla de exponenciación:

Multiplica el valor por sí mismo tantas veces como se indica en la potencia del número.

Esta regla es común a todos los ejemplos que puedan surgir en el proceso de exponenciación. Pero será correcto explicar cómo se aplica a casos particulares.

Si solo se eleva un término a una potencia, entonces se multiplica por sí mismo tantas veces como indique el exponente.

La cuarta potencia a es un 4 o aaaa. (Artículo 195.)
La sexta potencia de y es y 6 o yyyyyy.
La n-ésima potencia de x es x n o xxx..... n veces repetidas.

Si es necesario elevar una expresión de varios términos a una potencia, el principio de que el grado del producto de varios factores es igual al producto de estos factores elevado a una potencia.

Entonces (ay) 2 =a 2 y 2 ; (ay) 2 = ay.ay.
Pero ay.ay = ayay = aayy = a 2 y 2 .
Entonces, (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3 .

Por lo tanto, al encontrar el grado de un producto, podemos operar en todo el producto a la vez, o podemos operar en cada factor por separado y luego multiplicar sus valores con grados.

Ejemplo 1. La cuarta potencia de dhy es (dhy) 4 , o d 4 h 4 y 4 .

Ejemplo 2. La tercera potencia de 4b es (4b) 3 , o 4 3 b 3 , o 64b 3 .

Ejemplo 3. La n-ésima potencia de 6ad es (6ad) n o 6 n y n .

Ejemplo 4. La tercera potencia de 3m.2y es (3m.2y) 3 , o 27m 3 .8y 3 .

El grado de un binomio, que consta de términos conectados por + y -, se calcula multiplicando sus términos. Sí,

(a + b) 1 = a + b, la primera potencia.
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2 , segunda potencia (a + b).
(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, tercer grado.
(a + b) 4 \u003d a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4, cuarto grado.

Cuadrado a - b, hay a 2 - 2ab + b 2 .