Propiedades de las raíces, formulaciones, pruebas, ejemplos. Raíz cuadrada. Teoría detallada con ejemplos Raíz cuadrada, raíz cuadrada aritmética

\(\sqrt(a)=b\) si \(b^2=a\), donde \(a≥0,b≥0\)

Ejemplos:

\(\sqrt(49)=7\) porque \(7^2=49\)
\(\sqrt(0.04)=0.2\),porque \(0.2^2=0.04\)

¿Cómo sacar la raíz cuadrada de un número?

Para extraer la raíz cuadrada de un número, debe hacerse la pregunta: ¿qué número al cuadrado dará la expresión debajo de la raíz?

por ejemplo. Extraiga la raíz: a)\(\sqrt(2500)\); b) \(\raíz cuadrada(\frac(4)(9))\); c) \(\raíz cuadrada(0.001)\); d) \(\raíz cuadrada(1\frac(13)(36))\)

a) ¿Qué número al cuadrado dará \(2500\)?

\(\sqrt(2500)=50\)

b) ¿Qué número al cuadrado dará \(\frac(4)(9)\) ?

\(\sqrt(\frac(4)(9))\) \(=\)\(\frac(2)(3)\)

c) ¿Qué número al cuadrado dará \(0.0001\)?

\(\sqrt(0.0001)=0.01\)

d) ¿Qué número al cuadrado dará \(\sqrt(1\frac(13)(36))\)? Para dar una respuesta a la pregunta, debe traducirla a la incorrecta.

\(\sqrt(1\frac(13)(36))=\sqrt(\frac(49)(16))=\frac(7)(6)\)

Comentario: Aunque \(-50\), \(-\frac(2)(3)\) , \(-0,01\),\(- \frac(7)(6)\) también responden las preguntas dadas , pero no se tienen en cuenta, ya que la raíz cuadrada siempre es positiva.

La principal propiedad de la raíz.

Como sabes, en matemáticas, cualquier acción tiene una inversa. La suma tiene resta, la multiplicación tiene división. Lo contrario de elevar al cuadrado es sacar la raíz cuadrada. Por lo tanto, estas acciones se anulan entre sí:

\((\raíz cuadrada(a))^2=a\)

Esta es la propiedad principal de la raíz, que se usa con mayor frecuencia (incluso en el OGE)

Ejemplo . (tarea de la OGE). Encuentra el valor de la expresión \(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)\)

Decisión :\(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot (\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot 6)(36 )=\frac(4)(6)=\frac(2)(3)\)

Ejemplo . (tarea de la OGE). Encuentra el valor de la expresión \((\sqrt(85)-1)^2\)

Decisión:

Por supuesto, cuando trabaja con una raíz cuadrada, necesita usar otras.

Ejemplo . (tarea de la OGE). Encuentra el valor de la expresión \(5\sqrt(11) \cdot 2\sqrt(2)\cdot \sqrt(22)\)
Decisión:

Responder: \(220\)

4 reglas que siempre se olvidan

No siempre se extrae la raíz.

Ejemplo: \(\sqrt(2)\),\(\sqrt(53)\),\(\sqrt(200)\),\(\sqrt(0,1)\) etc. - ¡No siempre es posible extraer una raíz de un número y esto es normal!

Raíz de un número, también un número

No es necesario tratar \(\sqrt(2)\), \(\sqrt(53)\) de ninguna manera especial. Estos son números, pero no enteros, sí, pero no todo en nuestro mundo se mide en números enteros.

La raíz se toma solo de números no negativos.

Por lo tanto, en los libros de texto no verá tales entradas \(\sqrt(-23)\),\(\sqrt(-1)\), etc.

Volví a mirar el plato... Y, ¡vamos!

Comencemos con uno simple:

Espera un minuto. esto, lo que significa que podemos escribirlo así:

¿Entiendo? Aquí está el siguiente para ti:

¿Las raíces de los números resultantes no se extraen exactamente? No te preocupes, aquí hay algunos ejemplos:

Pero, ¿y si no hay dos multiplicadores, sino más? ¡Lo mismo! La fórmula de multiplicación de raíces funciona con cualquier número de factores:

Ahora completamente independiente:

Respuestas:¡Bien hecho! De acuerdo, todo es muy fácil, ¡lo principal es conocer la tabla de multiplicar!

División de raíz

Descubrimos la multiplicación de las raíces, ahora procedamos a la propiedad de la división.

Déjame recordarte que la fórmula en general se ve así:

Y eso significa que la raíz del cociente es igual al cociente de las raíces.

Bueno, veamos ejemplos:

Eso es todo ciencia. Y aquí hay un ejemplo:

No todo es tan fluido como en el primer ejemplo, pero como puedes ver, no hay nada complicado.

¿Qué pasa si la expresión se ve así:

Solo necesitas aplicar la fórmula a la inversa:

Y aquí hay un ejemplo:

También puedes ver esta expresión:

Todo es igual, solo que aquí debes recordar cómo traducir fracciones (si no recuerdas, ¡mira el tema y vuelve!). ¿Recordado? ¡Ahora decidimos!

Estoy seguro de que te las arreglaste con todo, todo, ahora intentemos construir raíces en un grado.

exponenciación

¿Qué sucede si la raíz cuadrada se eleva al cuadrado? Es simple, recuerda el significado de la raíz cuadrada de un número: este es un número cuya raíz cuadrada es igual a.

Entonces, si elevamos al cuadrado un número cuya raíz cuadrada es igual, ¿qué obtenemos?

Bueno, por supuesto, !

Veamos ejemplos:

Todo es simple, ¿verdad? ¿Y si la raíz está en otro grado? ¡Está bien!

Sigue la misma lógica y recuerda las propiedades y las posibles acciones con grados.

Lea la teoría sobre el tema "" y todo se volverá extremadamente claro para usted.

Por ejemplo, aquí hay una expresión:

En este ejemplo, el grado es par, pero ¿y si es impar? Nuevamente, aplique las propiedades de potencia y factorice todo:

Con esto todo parece estar claro, pero ¿cómo sacar la raíz de un número en un grado? Aquí, por ejemplo, está esto:

Bastante simple, ¿verdad? ¿Qué pasa si el grado es mayor que dos? Seguimos la misma lógica usando las propiedades de los grados:

Bueno, ¿está todo claro? Luego resuelve tus propios ejemplos:

Y aquí están las respuestas:

Introducción bajo el signo de la raíz

¡Lo que no hemos aprendido a hacer con las raíces! ¡Solo queda practicar ingresar el número debajo del signo raíz!

¡Es bastante fácil!

Digamos que tenemos un número

¿Qué podemos hacer con él? ¡Bueno, por supuesto, oculta el triple debajo de la raíz, recordando que el triple es la raíz cuadrada de!

¿Por qué lo necesitamos? Sí, solo para ampliar nuestras capacidades a la hora de resolver ejemplos:

¿Qué te parece esta propiedad de las raíces? hace la vida mucho más fácil? Para mí, eso es correcto! Solamente debemos recordar que solo podemos ingresar números positivos bajo el signo de la raíz cuadrada.

Prueba este ejemplo por ti mismo:
¿Lograste? Veamos lo que debe obtener:

¡Bien hecho! ¡Lograste ingresar un número debajo del signo raíz! Pasemos a lo igualmente importante: ¡considere cómo comparar números que contienen una raíz cuadrada!

Comparación de raíces

¿Por qué debemos aprender a comparar números que contienen una raíz cuadrada?

Muy simple. A menudo, en expresiones grandes y largas que encontramos en el examen, obtenemos una respuesta irracional (¿recuerdas cuál es? ¡Ya hablamos de esto hoy!)

Necesitamos colocar las respuestas recibidas en la línea de coordenadas, por ejemplo, para determinar qué intervalo es adecuado para resolver la ecuación. Y aquí es donde surge la pega: en el examen no hay calculadora, y sin ella, ¿cómo imaginar qué número es mayor y cuál es menor? ¡Eso es todo!

Por ejemplo, determinar cuál es mayor: o?

No lo dirás de buenas a primeras. Bueno, ¿vamos a usar la propiedad analizada de agregar un número debajo del signo raíz?

Luego adelante:

Bueno, obviamente, cuanto mayor sea el número bajo el signo de la raíz, ¡mayor será la raíz misma!

Aquellas. si significa.

De esto concluimos firmemente que ¡Y nadie nos convencerá de lo contrario!

Extrayendo raíces de grandes números

Antes de eso, introdujimos un factor bajo el signo de la raíz, pero ¿cómo sacarlo? ¡Solo necesita factorizarlo y extraer lo que se extrae!

Era posible ir por el otro lado y descomponer en otros factores:

No está mal, ¿verdad? Cualquiera de estos enfoques es correcto, decide cómo te sientes cómodo.

El factoraje es muy útil cuando se resuelven tareas no estándar como esta:

¡No nos asustamos, actuamos! Descomponemos cada factor bajo la raíz en factores separados:

Y ahora pruébalo tú mismo (¡sin calculadora! No estará en el examen):

¿Es este el final? ¡No nos detenemos a mitad de camino!

Eso es todo, no da tanto miedo, ¿verdad?

¿Sucedió? ¡Bien hecho, tienes razón!

Ahora prueba este ejemplo:

Y un ejemplo es un hueso duro de roer, por lo que no puede descubrir de inmediato cómo abordarlo. Pero nosotros, por supuesto, estamos en los dientes.

Bueno, comencemos a factorizar, ¿de acuerdo? Inmediatamente, notamos que puede dividir un número por (recuerde los signos de divisibilidad):

Y ahora, pruébalo tú mismo (¡otra vez, sin calculadora!):

Bueno, ¿funcionó? ¡Bien hecho, tienes razón!

Resumiendo

1. La raíz cuadrada (raíz cuadrada aritmética) de un número no negativo es un número no negativo cuyo cuadrado es igual.
   .
2. Si solo tomamos la raíz cuadrada de algo, siempre obtenemos un resultado no negativo.
3. Propiedades de la raíz aritmética:
4. Al comparar raíces cuadradas, debe recordarse que cuanto mayor sea el número bajo el signo de la raíz, mayor será la raíz misma.

¿Qué te parece la raíz cuadrada? ¿Todo claro?

Intentamos explicarte sin agua todo lo que necesitas saber en el examen sobre la raíz cuadrada.

Es tu turno. Escríbanos si este tema es difícil para usted o no.

Aprendiste algo nuevo o ya estaba todo tan claro.

Escribe en los comentarios y ¡buena suerte en los exámenes!

Felicitaciones: hoy analizaremos las raíces, uno de los temas más alucinantes del octavo grado. :)

Muchas personas se confunden acerca de las raíces, no porque sean complejas (lo cual es complicado: un par de definiciones y un par de propiedades más), sino porque en la mayoría de los libros de texto escolares las raíces se definen a través de tales comodines que solo los autores de los libros de texto mismos puede entender este garabato. Y aun así solo con una botella de buen whisky. :)

Por lo tanto, ahora daré la definición más correcta y competente de la raíz, la única que realmente necesita recordar. Y solo entonces explicaré: por qué todo esto es necesario y cómo aplicarlo en la práctica.

Pero primero, recuerde un punto importante, que por alguna razón muchos compiladores de libros de texto "olvidan":

Las raíces pueden ser de grado par (nuestra $\sqrt(a)$ favorita, así como cualquier $\sqrt(a)$ e incluso $\sqrt(a)$) y de grado impar (cualquier $\sqrt(a)$ , $\ raíz cuadrada(a)$ etc.). Y la definición de raíz de grado impar es algo diferente de la de par.

Aquí en este jodido “algo diferente” se esconde, probablemente, el 95% de todos los errores y malentendidos asociados a las raíces. Así que aclaremos la terminología de una vez por todas:

Definición. Incluso raíz norte del número $a$ es cualquiera no negativo un número $b$ tal que $((b)^(n))=a$. Y la raíz de un grado impar del mismo número $a$ es generalmente cualquier número $b$ para el cual se cumple la misma igualdad: $((b)^(n))=a$.

En cualquier caso, la raíz se denota así:

\(un)\]

El número $n$ en tal notación se llama exponente raíz, y el número $a$ se llama expresión radical. En particular, para $n=2$ obtenemos nuestra raíz cuadrada “favorita” (por cierto, esta es una raíz de grado par), y para $n=3$ obtenemos una raíz cúbica (de grado impar), que también se encuentra a menudo en problemas y ecuaciones.

Ejemplos. Ejemplos clásicos de raíces cuadradas:

\[\begin(alinear) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(alinear)\]

Por cierto, $\sqrt(0)=0$ y $\sqrt(1)=1$. Esto es bastante lógico ya que $((0)^(2))=0$ y $((1)^(2))=1$.

Las raíces cúbicas también son comunes, no les tengas miedo:

\[\begin(alinear) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(alinear)\]

Bueno, un par de "ejemplos exóticos":

\[\begin(alinear) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(alinear)\]

Si no entiende cuál es la diferencia entre un grado par y uno impar, vuelva a leer la definición. ¡Es muy importante!

Mientras tanto, consideraremos una característica desagradable de las raíces, por la cual necesitábamos introducir una definición separada para exponentes pares e impares.

¿Por qué necesitamos raíces en absoluto?

Después de leer la definición, muchos estudiantes preguntarán: "¿Qué fumaron los matemáticos cuando se les ocurrió esto?" Y realmente: ¿por qué necesitamos todas estas raíces?

Para responder a esta pregunta, volvamos a la escuela primaria por un momento. Recuerda: en aquellos tiempos lejanos, cuando los árboles eran más verdes y las albóndigas más sabrosas, nuestra principal preocupación era multiplicar correctamente los números. Bueno, algo en el espíritu de "cinco por cinco - veinticinco", eso es todo. Pero después de todo, no puedes multiplicar números en pares, sino en tresillos, cuatros y, en general, conjuntos completos:

\[\begin(alinear) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

Sin embargo, este no es el punto. El truco es diferente: los matemáticos son unos vagos, así que tenían que escribir la multiplicación de diez por cinco así:

Entonces se les ocurrieron los grados. ¿Por qué no escribir el número de factores como un superíndice en lugar de una cadena larga? Como éste:

¡Es muy conveniente! Todos los cálculos se reducen varias veces, y no puede gastar un montón de hojas de pergamino de cuadernos para escribir unos 5 183 . Tal registro se llamó el grado de un número, se encontraron un montón de propiedades en él, pero la felicidad resultó ser de corta duración.

Después de una bebida grandiosa, que se organizó solo sobre el "descubrimiento" de los grados, un matemático especialmente drogado preguntó de repente: "¿Qué pasa si sabemos el grado de un número, pero no sabemos el número en sí?" De hecho, si sabemos que un determinado número $b$, por ejemplo, da 243 elevado a la quinta potencia, ¿cómo podemos adivinar a qué es igual el propio número $b$?

Este problema resultó ser mucho más global de lo que podría parecer a primera vista. Porque resultó que para la mayoría de los títulos "prefabricados" no existen tales números "iniciales". Juzga por ti mismo:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \end(alinear)\]

¿Qué pasa si $((b)^(3))=50$? Resulta que necesitas encontrar un cierto número que, cuando se multiplica por sí mismo tres veces, nos dará 50. Pero, ¿cuál es este número? Claramente es mayor que 3 porque 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Es decir este número se encuentra en algún lugar entre tres y cuatro, pero lo que es igual a - FIG lo entenderás.

Esta es exactamente la razón por la que a los matemáticos se les ocurrió la raíz $n$-ésima. Por eso se introdujo el icono radical $\sqrt(*)$. Para denotar el mismo número $b$, que, en el grado especificado, nos dará un valor previamente conocido

\[\sqrt[n](a)=b\Rightarrow ((b)^(n))=a\]

No discuto: a menudo estas raíces se consideran fácilmente; vimos varios ejemplos de este tipo anteriormente. Pero aún así, en la mayoría de los casos, si piensas en un número arbitrario y luego tratas de extraer la raíz de un grado arbitrario de él, te encontrarás con un fastidio cruel.

¡Lo que está ahí! Incluso el $\sqrt(2)$ más simple y familiar no se puede representar en nuestra forma habitual, como un número entero o una fracción. Y si introduce este número en una calculadora, verá esto:

\[\raíz cuadrada(2)=1.414213562...\]

Como ves, tras el punto decimal hay una secuencia interminable de números que no obedecen a ninguna lógica. Por supuesto, puede redondear este número para compararlo rápidamente con otros números. Por ejemplo:

\[\sqrt(2)=1.4142...\aprox. 1.4 \lt 1.5\]

O aquí hay otro ejemplo:

\[\sqrt(3)=1.73205...\aprox. 1.7 \gt 1.5\]

Pero todos estos redondeos son, en primer lugar, bastante toscos; y en segundo lugar, también debe poder trabajar con valores aproximados, de lo contrario, puede detectar un montón de errores no obvios (por cierto, la habilidad de comparación y redondeo se verifica necesariamente en el examen de perfil).

Por lo tanto, en matemáticas serias, uno no puede prescindir de las raíces: son los mismos representantes iguales del conjunto de todos los números reales $\mathbb(R)$, como fracciones y números enteros que conocemos desde hace mucho tiempo.

La imposibilidad de representar la raíz como una fracción de la forma $\frac(p)(q)$ significa que esta raíz no es un número racional. Dichos números se denominan irracionales y no pueden representarse con precisión excepto con la ayuda de un radical u otras construcciones especialmente diseñadas para esto (logaritmos, grados, límites, etc.). Pero más sobre eso en otro momento.

Considere algunos ejemplos en los que, después de todos los cálculos, los números irracionales aún permanecerán en la respuesta.

\[\begin(alinear) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\approx 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\aprox. -1,2599... \\ \end(alinear)\]

Naturalmente, por la apariencia de la raíz, es casi imposible adivinar qué números vendrán después del punto decimal. Sin embargo, es posible calcular con una calculadora, pero incluso la calculadora de fechas más avanzada nos da solo los primeros dígitos de un número irracional. Por lo tanto, es mucho más correcto escribir las respuestas como $\sqrt(5)$ y $\sqrt(-2)$.

Para eso se inventaron. Para que sea fácil escribir las respuestas.

¿Por qué se necesitan dos definiciones?

El lector atento probablemente ya habrá notado que todas las raíces cuadradas dadas en los ejemplos se toman de números positivos. Bueno, al menos desde cero. Pero las raíces cúbicas se extraen con calma de absolutamente cualquier número, incluso positivo, incluso negativo.

¿Por qué está pasando esto? Observa la gráfica de la función $y=((x)^(2))$:

Tratemos de calcular $\sqrt(4)$ usando este gráfico. Para ello, se dibuja sobre la gráfica una recta horizontal $y=4$ (marcada en rojo), que corta a la parábola en dos puntos: $((x)_(1))=2$ y $((x) _(2)) =-2$. Esto es bastante lógico, ya que

Todo está claro con el primer número: es positivo, por lo tanto, es la raíz:

Pero entonces, ¿qué hacer con el segundo punto? ¿El 4 tiene dos raíces a la vez? Después de todo, si elevamos al cuadrado el número −2, también obtenemos 4. ¿Por qué no escribir $\sqrt(4)=-2$ entonces? ¿Y por qué los maestros miran esos registros como si quisieran comerte? :)

El problema es que si no se imponen condiciones adicionales, los cuatro tendrán dos raíces cuadradas: positiva y negativa. Y cualquier número positivo también tendrá dos de ellos. Pero los números negativos no tendrán raíces en absoluto; esto se puede ver en el mismo gráfico, ya que la parábola nunca cae por debajo del eje. y, es decir. no toma valores negativos.

Un problema similar ocurre para todas las raíces con un exponente par:

1. En rigor, cada número positivo tendrá dos raíces con exponente par $n$;
2. De números negativos, la raíz con $n$ pares no se extrae en absoluto.

Es por eso que la definición de una raíz par $n$ estipula específicamente que la respuesta debe ser un número no negativo. Así es como nos deshacemos de la ambigüedad.

Pero para $n$ impares no existe tal problema. Para ver esto, echemos un vistazo a la gráfica de la función $y=((x)^(3))$:

De este gráfico se pueden sacar dos conclusiones:

1. Las ramas de una parábola cúbica, a diferencia de la habitual, van al infinito en ambas direcciones, tanto hacia arriba como hacia abajo. Por lo tanto, a cualquier altura que dibujemos una línea horizontal, esta línea definitivamente se cruzará con nuestro gráfico. Por lo tanto, la raíz cúbica siempre se puede sacar, absolutamente, de cualquier número;
2. Además, dicha intersección siempre será única, por lo que no necesita pensar qué número considerar la raíz "correcta" y cuál anotar. Es por eso que la definición de raíces para un grado impar es más simple que para uno par (no hay requisito de no negatividad).

Es una pena que estas cosas simples no estén explicadas en la mayoría de los libros de texto. En cambio, nuestros cerebros comienzan a volar con todo tipo de raíces aritméticas y sus propiedades.

Sí, no discuto: qué es una raíz aritmética, también necesita saberlo. Y hablaré de esto en detalle en una lección separada. Hoy también hablaremos de él, porque sin él, todas las reflexiones sobre las raíces de la $n$-ésima multiplicidad estarían incompletas.

Pero primero debe comprender claramente la definición que di anteriormente. De lo contrario, debido a la abundancia de términos, comenzará tal lío en tu cabeza que al final no entenderás nada en absoluto.

Y todo lo que necesitas entender es la diferencia entre números pares e impares. Por eso, una vez más recopilaremos todo lo que realmente necesitas saber sobre las raíces:

1. Una raíz par existe solo a partir de un número no negativo y en sí misma siempre es un número no negativo. Para números negativos, tal raíz no está definida.
2. Pero la raíz de un grado impar existe a partir de cualquier número y puede ser ella misma cualquier número: para números positivos es positiva, y para números negativos, como indica la mayúscula, es negativa.

¿Es difícil? No, no es difícil. comprensiblemente? ¡Sí, es obvio! Por lo tanto, ahora practicaremos un poco con los cálculos.

Propiedades básicas y limitaciones

Las raíces tienen muchas propiedades y restricciones extrañas; esta será una lección aparte. Por lo tanto, ahora consideraremos solo el "chip" más importante, que se aplica solo a las raíces con un exponente par. Escribimos esta propiedad en forma de fórmula:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\izquierda| x\derecha|\]

En otras palabras, si elevamos un número a una potencia par y luego extraemos la raíz del mismo grado de este, no obtendremos el número original, sino su módulo. Este es un teorema simple que es fácil de probar (basta con considerar por separado $x$ no negativos, y luego considerar por separado los negativos). Los maestros hablan constantemente de eso, se da en todos los libros de texto escolares. Pero tan pronto como se trata de resolver ecuaciones irracionales (es decir, ecuaciones que contienen el signo del radical), los estudiantes olvidan esta fórmula juntos.

Para comprender el problema en detalle, olvidemos todas las fórmulas por un minuto e intentemos contar dos números por delante:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

Estos son ejemplos muy simples. El primer ejemplo lo resolverá la mayoría de la gente, pero en el segundo muchos se quedan. Para resolver cualquier basura de este tipo sin problemas, siempre considere el procedimiento:

1. Primero, el número se eleva a la cuarta potencia. Bueno, es un poco fácil. Se obtendrá un nuevo número, que incluso se puede encontrar en la tabla de multiplicar;
2. Y ahora de este nuevo número es necesario extraer la raíz de cuarto grado. Aquellas. no hay "reducción" de raíces y grados; estas son acciones secuenciales.

Tratemos con la primera expresión: $\sqrt(((3)^(4)))$. Obviamente, primero debe calcular la expresión debajo de la raíz:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Luego extraemos la raíz cuarta del número 81:

Ahora hagamos lo mismo con la segunda expresión. Primero, elevamos el número −3 a la cuarta potencia, para lo cual necesitamos multiplicarlo por sí mismo 4 veces:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ izquierda(-3 \derecha)=81\]

Obtuvimos un número positivo, ya que el número total de menos en el producto es de 4 piezas, y todas se cancelarán entre sí (después de todo, un menos por un menos da un más). A continuación, extraiga la raíz de nuevo:

En principio, esta línea no se podría escribir, ya que es obvio que la respuesta será la misma. Aquellas. una raíz par de la misma potencia par "quema" los menos, y en este sentido el resultado es indistinguible del módulo habitual:

\[\begin(alinear) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3\derecha|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \derecho|=3. \\ \end(alinear)\]

Estos cálculos concuerdan bien con la definición de la raíz de un grado par: el resultado siempre es no negativo y el signo radical también es siempre un número no negativo. De lo contrario, la raíz no está definida.

Nota sobre el orden de las operaciones.

1. La notación $\sqrt(((a)^(2)))$ significa que primero elevamos al cuadrado el número $a$ y luego sacamos la raíz cuadrada del valor resultante. Por lo tanto, podemos estar seguros de que un número no negativo siempre se encuentra debajo del signo raíz, ya que $((a)^(2))\ge 0$ de todos modos;
2. Pero la notación $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, por el contrario, significa que primero extraemos la raíz de un cierto número $a$ y luego elevamos al cuadrado el resultado. Por lo tanto, el número $a$ en ningún caso puede ser negativo; este es un requisito obligatorio incluido en la definición.

Por lo tanto, en ningún caso se deben reducir irreflexivamente las raíces y los grados, supuestamente "simplificando" la expresión original. Porque si debajo de la raíz hay un número negativo, y su exponente es par, tendremos muchos problemas.

Sin embargo, todos estos problemas son relevantes solo para indicadores pares.

Eliminar un signo menos debajo del signo raíz

Naturalmente, las raíces con exponentes impares también tienen su propia característica, que, en principio, no existe para los pares. A saber:

\[\raíz cuadrada(-a)=-\raíz cuadrada(a)\]

En resumen, puede sacar un menos de debajo del signo de las raíces de un grado impar. Esta es una propiedad muy útil que le permite "deshacerse" de todas las desventajas:

\[\begin(alinear) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(alinear)\]

Esta propiedad simple simplifica enormemente muchos cálculos. Ahora no necesita preocuparse: ¿qué pasa si una expresión negativa se coloca debajo de la raíz y el grado en la raíz resulta ser par? Basta con "tirar" todas las desventajas fuera de las raíces, después de lo cual pueden multiplicarse entre sí, dividirse y, en general, hacer muchas cosas sospechosas, que en el caso de las raíces "clásicas" están garantizadas para llevarnos a un error.

Y aquí entra en escena otra definición, la misma con la que la mayoría de las escuelas comienzan el estudio de las expresiones irracionales. Y sin el cual nuestro razonamiento estaría incompleto. ¡Reunir!

raíz aritmética

Supongamos por un momento que solo los números positivos o, en casos extremos, el cero pueden estar bajo el signo de la raíz. Anotemos en indicadores pares / impares, anotemos en todas las definiciones dadas anteriormente; trabajaremos solo con números no negativos. ¿Entonces que?

Y luego obtenemos la raíz aritmética: se cruza parcialmente con nuestras definiciones "estándar", pero aún difiere de ellas.

Definición. Una raíz aritmética del $n$ésimo grado de un número no negativo $a$ es un número no negativo $b$ tal que $((b)^(n))=a$.

Como puede ver, ya no nos interesa la paridad. En cambio, apareció una nueva restricción: la expresión radical ahora siempre es no negativa, y la raíz misma también es no negativa.

Para comprender mejor en qué se diferencia la raíz aritmética de la habitual, eche un vistazo a los gráficos de la parábola cuadrada y cúbica que ya nos son familiares:

Como puede ver, de ahora en adelante, solo nos interesan las piezas de gráficos que se encuentran en el primer cuarto de coordenadas, donde las coordenadas $x$ y $y$ son positivas (o al menos cero). Ya no necesita mirar el indicador para comprender si tenemos derecho a rootear un número negativo o no. Porque los números negativos ya no se consideran en principio.

Puede preguntar: "Bueno, ¿por qué necesitamos una definición tan castrada?" O: "¿Por qué no podemos arreglárnoslas con la definición estándar dada arriba?"

Bueno, daré solo una propiedad, por la cual la nueva definición se vuelve apropiada. Por ejemplo, la regla de exponenciación:

\[\raíz cuadrada[n](a)=\raíz cuadrada(((a)^(k)))\]

Tenga en cuenta: podemos elevar la expresión de la raíz a cualquier potencia y, al mismo tiempo, multiplicar el exponente de la raíz por la misma potencia, ¡y el resultado será el mismo número! Aquí hay unos ejemplos:

\[\begin(alinear) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \end(alinear)\]

Bueno, ¿qué hay de malo en eso? ¿Por qué no pudimos hacerlo antes? Este es el por qué. Considere una expresión simple: $\sqrt(-2)$ es un número bastante normal en nuestro sentido clásico, pero absolutamente inaceptable desde el punto de vista de la raíz aritmética. Intentemos convertirlo:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Como puede ver, en el primer caso, sacamos el menos de debajo del radical (tenemos toda la razón, porque el indicador es impar), y en el segundo, usamos la fórmula anterior. Aquellas. desde el punto de vista de las matemáticas, todo se hace de acuerdo con las reglas.

¡¿Qué diablos?! ¿Cómo puede el mismo número ser tanto positivo como negativo? De ningún modo. Es solo que la fórmula de exponenciación, que funciona muy bien para los números positivos y el cero, comienza a dar una completa herejía en el caso de los números negativos.

Aquí, para deshacerse de tal ambigüedad, se les ocurrieron raíces aritméticas. Se les dedica una gran lección separada, donde consideramos en detalle todas sus propiedades. Así que ahora no nos detendremos en ellos; la lección resultó ser demasiado larga de todos modos.

Raíz algebraica: para los que quieren saber más

Pensé durante mucho tiempo: hacer este tema en un párrafo aparte o no. Al final, decidí irme de aquí. Este material está destinado a aquellos que desean comprender las raíces aún mejor, ya no en el nivel promedio de "escuela", sino en el nivel cercano a la Olimpiada.

Entonces: además de la definición "clásica" de la raíz del $n$-ésimo grado de un número y la división asociada en indicadores pares e impares, hay una definición más "adulta", que no depende de la paridad y otras sutilezas en absoluto. A esto se le llama raíz algebraica.

Definición. Una raíz algebraica $n$-ésima de cualquier $a$ es el conjunto de todos los números $b$ tales que $((b)^(n))=a$. No existe una designación bien establecida para tales raíces, así que simplemente coloque un guión en la parte superior:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]

La diferencia fundamental con la definición estándar dada al comienzo de la lección es que la raíz algebraica no es un número específico, sino un conjunto. Y como estamos trabajando con números reales, este conjunto es de solo tres tipos:

1. Conjunto vacio. Ocurre cuando se requiere encontrar una raíz algebraica de grado par a partir de un número negativo;
2. Un conjunto que consta de un solo elemento. Todas las raíces de potencias impares, así como las raíces de potencias pares a partir de cero, entran en esta categoría;
3. Finalmente, el conjunto puede incluir dos números: los mismos $((x)_(1))$ y $((x)_(2))=-((x)_(1))$ que vimos en el graficar función cuadrática. En consecuencia, dicha alineación solo es posible cuando se extrae la raíz de un grado par de un número positivo.

El último caso merece una consideración más detallada. Contemos un par de ejemplos para entender la diferencia.

Ejemplo. Calcular expresiones:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Decisión. La primera expresión es simple:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

Son dos números que forman parte del conjunto. Porque cada uno de ellos al cuadrado da un cuatro.

\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]

Aquí vemos un conjunto que consta de un solo número. Esto es bastante lógico, ya que el exponente de la raíz es impar.

Finalmente, la última expresión:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnada\]

Tenemos un juego vacío. Porque no hay un solo número real que, elevado a la cuarta (¡es decir, par!) potencia, nos dé un número negativo −16.

nota final Tenga en cuenta: no fue casualidad que noté en todas partes que estamos trabajando con números reales. Debido a que también hay números complejos, es bastante posible calcular $\sqrt(-16)$ y muchas otras cosas extrañas allí.

Sin embargo, en el currículo escolar moderno de matemáticas, los números complejos casi nunca se encuentran. Se han omitido de la mayoría de los libros de texto porque nuestros funcionarios consideran que el tema es "demasiado difícil de entender".

Eso es todo. En la próxima lección, veremos todas las propiedades clave de las raíces y finalmente aprenderemos a simplificar expresiones irracionales. :)

Fórmulas de raíz. Propiedades de las raíces cuadradas.

¡Atención!
Hay adicionales
material en la Sección Especial 555.
Para aquellos que fuertemente "no muy..."
Y para los que "mucho...")

En la lección anterior, descubrimos qué es una raíz cuadrada. Es hora de descubrir cuáles son formulas para raices, cuáles son propiedades de la raíz y qué se puede hacer al respecto.

Fórmulas de raíces, propiedades de raíces y reglas para acciones con raíces- Es esencialmente lo mismo. Hay sorprendentemente pocas fórmulas para las raíces cuadradas. ¡Lo cual, por supuesto, agrada! Más bien, puede escribir muchas fórmulas de todo tipo, pero solo tres son suficientes para un trabajo práctico y seguro con raíces. Todo lo demás fluye de estos tres. Aunque muchos se desvían en las tres fórmulas de las raíces, eso sí...

Empecemos por lo más sencillo. Aqui esta ella:

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Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).

Puedes practicar la resolución de ejemplos y averiguar tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendiendo - ¡con interés!)

puede familiarizarse con funciones y derivadas.

Esposo. raíz, cuellos, raíz · restar. rizoma despectivo, rizoma magnificador, parte subterránea de toda planta. En los árboles, se distinguen la columna vertebral y las raíces laterales, y con ellas hay raíces y pequeños lóbulos. absorbiendo la humedad. La raíz sucede: bulbosa, ... ... Diccionario explicativo de Dahl

RAÍZ, pH, pl. rni, rni, marido. 1. La parte subterránea de la planta, que sirve para fortalecerla en el suelo y absorber agua y nutrientes de este. Principales, laterales, anexiales a Raíces aéreas (en lianas y algunas otras plantas muy por encima del suelo... Diccionario explicativo de Ozhegov

- (raíz), uno de los principales órganos vegetativos de las plantas de hoja, que sirve para adherirse al sustrato, absorber agua de éste y nutrirse. sustancias Filogenéticamente, K. surgió más tarde que el tallo, y probablemente descendió de una raíz similar a ... ... Diccionario enciclopédico biológico

Ver principio, razón, origen desarraigar, echar raíces... Diccionario de sinónimos y expresiones rusas de significado similar. por debajo. edición N. Abramova, M .: Diccionarios rusos, 1999. raíz, comienzo, razón, origen; radical; espina dorsal, tallo, ... ... Diccionario de sinónimos

raíz- RAÍZ, rnya, m. 1. Amigo, compañero. 2. Órgano sexual masculino Un hombre pequeño se convierte en una raíz raíz Una raíz fuerte es un viejo amigo fiel. 1. posible contaminación con compinche… Diccionario de ruso Argo

En matemáticas ..1) la raíz del grado n del número a es cualquier número x (denotado, a se llama expresión radical), cuyo grado n es igual a a (). La acción de encontrar la raíz se llama extraer la raíz2)] La raíz de la ecuación es el número que después de ... ...

La raíz primaria se conserva en muchas coníferas de por vida y se desarrolla en forma de una potente raíz pivotante, de la que se extienden las laterales. Con menos frecuencia, como en algunos pinos, la raíz primaria está subdesarrollada y reemplazada por las laterales. Aparte del largo... Enciclopedia biológica

- (matemático), 1) La raíz del grado n del número a Un número cuya n-ésima potencia es igual al número dado a (denotado; a se llama expresión radical). El acto de encontrar una raíz se llama extraer la raíz. 2) Solución del valor de la ecuación ... ... Enciclopedia moderna

En biología, uno de los principales órganos de las plantas, que sirve para fortalecerse en el suelo, absorber agua, minerales, sintetizar compuestos orgánicos y también para aislar algunos productos metabólicos. La raíz puede ser un lugar de almacenamiento para repuestos ... ... Gran diccionario enciclopédico

En lingüística, una raíz de palabra no derivada (simple) que no incluye ningún afijo. La raíz es el núcleo léxico de la palabra, es decir, lleva su principal significado real ... Gran diccionario enciclopédico

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