228. En este capítulo entenderemos principalmente por la notación de los segmentos AB, AC, etc., los números que los expresan.
Sabemos (n. 226) que si dos segmentos a y b están dados geométricamente, entonces podemos construir un promedio proporcional entre ellos. Ahora dejemos que los segmentos no se den geométricamente, sino por números, es decir, por a y b entenderemos números que expresan 2 segmentos dados. Luego, encontrar el segmento proporcional promedio se reducirá a encontrar el número x de la proporción a/x = x/b, donde a, b y x son números. De esta proporción tenemos:
x2 = ab
x = √ab
229. Tengamos un triángulo rectángulo ABC (dibujo 224).
Dejemos caer la perpendicular BD desde el vértice de su ángulo recto (∠B ángulo recto) hasta la hipotenusa AC. Entonces del ítem 225 sabemos:
1) AC/AB = AB/AD y 2) AC/BC = BC/DC.
De aquí obtenemos:
AB 2 = AC AD y BC 2 = AC DC.
Sumando las igualdades obtenidas por partes, obtenemos:
AB 2 + BC 2 \u003d AC AD + AC DC \u003d AC (AD + DC).
es decir. el cuadrado del número que expresa la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los números que expresan los catetos de un triángulo rectángulo.
En resumen dicen: El cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Si damos una interpretación geométrica a la fórmula resultante, obtendremos el teorema de Pitágoras que ya conocemos (sección 161):
el cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos.
De la ecuación AB 2 + BC 2 \u003d AC 2, a veces tienes que encontrar el cateto de un triángulo rectángulo, a lo largo de la hipotenusa y el otro cateto. Obtenemos, por ejemplo:
AB 2 \u003d AC 2 - BC 2 y, en consecuencia,
230. La relación numérica encontrada entre los lados de un triángulo rectángulo permite resolver muchos problemas de cálculo. Resolvamos algunos de ellos:
1. Calcular el área de un triángulo equilátero dado su lado.
Sea ∆ABC (Cap. 225) equilátero y cada uno de sus lados sea expresado por el número a (AB = BC = AC = a). Para calcular el área de este triángulo, primero debes averiguar su altura BD, que llamaremos a través de h. Sabemos que en un triángulo equilátero la altura BD biseca la base AC, es decir, AD = DC = a/2. Por tanto, de un triángulo rectángulo DBC tenemos:
BD 2 \u003d BC 2 - DC 2,
h 2 \u003d a 2 - a 2 / 4 \u003d 3a 2 / 4 (realizamos la resta).
Por lo tanto tenemos:
(sacamos el multiplicador de debajo de la raíz).
Por tanto, llamando al número que expresa el área de nuestro triángulo por Q y sabiendo que el área es ∆ABC = (AC BD)/2, encontramos:
Podemos ver esta fórmula como una de las formas de medir el área de un triángulo equilátero: necesitamos medir su lado en unidades lineales, elevar al cuadrado el número encontrado, multiplicar el número resultante por √3 y dividirlo por 4. obtenga la expresión para el área en unidades cuadradas (correspondientes).
2. Los lados del triángulo son 10, 17 y 21 líneas. soltero calcular su area.
Bajemos la altura h en nuestro triángulo (Cap. 226) al lado más grande; ciertamente pasará dentro del triángulo, ya que en un triángulo un ángulo obtuso solo puede ubicarse frente al lado más grande. Luego, el lado más grande, = 21, se dividirá en 2 segmentos, uno de los cuales se denotará con x (ver dibujo), luego el otro = 21 - x. Obtenemos dos triángulos rectángulos, de los cuales tenemos:
h 2 \u003d 10 2 - x 2 y h 2 \u003d 17 2 - (21 - x) 2
Como los lados izquierdos de estas ecuaciones son iguales, entonces
10 2 - x 2 \u003d 17 2 - (21 - x) 2
Haciendo lo siguiente obtenemos:
10 2 - x 2 \u003d 289 - 441 + 42x - x 2
Simplificando esta ecuación, encontramos:
Luego, de la ecuación h 2 \u003d 10 2 - x 2, obtenemos:
h 2 \u003d 10 2 - 6 2 \u003d 64
y por lo tanto
Entonces se encuentra el área requerida:
Q = (21 8)/2 cuadrantes. soltero = 84 metros cuadrados soltero
3. Puedes resolver el problema general:
¿Cómo calcular el área de un triángulo dados sus lados?
Sean los lados del triángulo ABC expresados por los números BC = a, AC = b y AB = c (Cuadro 227). Supongamos que AC es el lado grande; entonces la altura BD irá dentro de ∆ABC. Llamemos: BD = h, DC = x y luego AD = b - x.
De ∆BDC tenemos: h 2 = a 2 – x 2 .
De ∆ABD tenemos: h 2 = c 2 - (b - x) 2 ,
de donde a 2 - x 2 \u003d c 2 - (b - x) 2.
Resolviendo esta ecuación, obtenemos sucesivamente:
2bx \u003d a 2 + b 2 - c 2 y x \u003d (a 2 + b 2 - c 2) / 2b.
(Esto último está escrito sobre la base de que el numerador 4a 2 b 2 - (a 2 + b 2 - c 2) 2 puede considerarse como una igualdad de cuadrados, que descomponemos en el producto de la suma y la diferencia).
Esta fórmula se transforma introduciendo el perímetro del triángulo, que denotamos por 2p, es decir
Restando 2c de ambos lados de la ecuación, obtenemos:
a + b + c - 2c = 2p - 2c o a + b - c = 2(p - c):
También encontraremos:
c + a - b = 2(p - b) yc - a + b = 2(p - a).
Entonces obtenemos:
(p expresa el medio perímetro del triángulo).
Esta fórmula se puede utilizar para calcular el área de un triángulo dados sus tres lados.
231. Ejercicios.
232. En el § 229 encontramos la relación entre los lados de un triángulo rectángulo. Puedes encontrar una dependencia similar para los lados (con la adición de un segmento más) de un triángulo oblicuo.
Primero tengamos ∆ABC (Cap. 228) tal que ∠A sea sostenido. Tratemos de encontrar una expresión para el cuadrado del lado BC opuesto a este ángulo agudo (de manera similar a como encontramos la expresión para el cuadrado de la hipotenusa en § 229).
Construyendo BD ⊥ AC, obtenemos del triángulo rectángulo BDC:
BC 2 = DB 2 + DC 2
Reemplacemos BD2 definiéndolo desde ABD, de donde tenemos:
BD 2 \u003d AB 2 - AD 2,
y el segmento DC se reemplaza por AC - AD (obviamente, DC = AC - AD). Entonces obtenemos:
BC 2 = AB 2 - AD 2 + (AC - AD) 2 = AB 2 - AD 2 + AC 2 - 2AC AD + AD 2
Realizada la reducción de términos semejantes, encontramos:
BC 2 \u003d AB 2 + AC 2 - 2AC AD.
Esta fórmula dice: el cuadrado del lado de un triángulo opuesto a un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de sus otros dos lados menos el doble del producto de uno de estos lados por su segmento desde el vértice del ángulo agudo hasta la altura.
233. Sean ahora obtusos ∠A y ∆ABC (cap. 229). Busquemos una expresión para el cuadrado del lado BC opuesto al ángulo obtuso.
Habiendo construido la altura BD, ahora se ubicará de manera algo diferente: en 228 donde ∠A es agudo, los puntos D y C están ubicados en el mismo lado de A, y aquí, donde ∠A es obtuso, los puntos D y C estarán ubicado en lados opuestos de A. Entonces de un ∆BDC rectangular obtenemos:
BC 2 = DB 2 + DC 2
Podemos reemplazar BD2 definiéndolo a partir del ∆BDA rectangular:
BD 2 \u003d AB 2 - AD 2,
y el segmento DC = AC + AD, lo cual es obvio. Reemplazando, obtenemos:
BC 2 = AB 2 - AD 2 + (AC + AD) 2 = AB 2 - AD 2 + AC 2 + 2AC AD + AD 2
Realizando la reducción de términos semejantes, encontramos:
BC 2 = AB 2 + AC 2 + 2AC AD,
es decir. el cuadrado del lado de un triángulo opuesto a un ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de sus otros dos lados más el doble del producto de uno de ellos por su segmento desde el vértice del ángulo obtuso a la altura.
Esta fórmula, al igual que la fórmula del ítem 232, admite una interpretación geométrica, que es fácil de encontrar.
234. Uso de las propiedades de los párrafos. 229, 232, 233, podemos, si nos dan los lados de un triángulo en números, averiguar si este triángulo tiene un ángulo recto u obtuso.
Un ángulo recto u obtuso en un triángulo solo puede ubicarse frente al lado mayor, cuál es el ángulo opuesto a él, es fácil averiguarlo: este ángulo es agudo, recto u obtuso, dependiendo de si el cuadrado del lado mayor es menor, igual o mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados.
Averigüe si hay un ángulo recto u obtuso en los siguientes triángulos, definidos por sus lados:
1) 15 dm., 13 dm. y 14 dm.; 2) 20, 29 y 21; 3) 11, 8 y 13; 4) 7, 11 y 15.
235. Tengamos un paralelogramo ABCD (dibujo 230); construya sus diagonales AC y BD y sus alturas BK ⊥ AD y CL ⊥ AD.
Entonces si ∠A (∠BAD) es agudo, entonces ∠D (∠ADC) es necesariamente obtuso (porque su suma = 2d). De ∆ABD, donde ∠A se considera agudo, tenemos:
BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2AD AK,
y de ∆ACD, donde ∠D es obtuso, tenemos:
AC 2 = AD 2 + CD 2 + 2AD DL.
Reemplacemos el segmento AD en la última fórmula por el segmento BC igual a él y DL igual a AK (DL = AK, ya que ∆ABK = ∆DCL, que es fácil de ver). Entonces obtenemos:
AC2 = BC2 + CD2 + 2AD AK.
Sumando la expresión para BD2 con la última expresión para AC 2 , encontramos:
BD 2 + AC 2 \u003d AB 2 + AD 2 + BC 2 + CD 2,
ya que los términos –2AD AK y +2AD AK se anulan entre sí. La igualdad resultante se puede leer:
La suma de los cuadrados de las diagonales de un paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de sus lados.
236. Cálculo de la mediana y la bisectriz de un triángulo a lo largo de sus lados. Sea la mediana BM (es decir, AM = MC) construida en el triángulo ABC (cap. 231). Conociendo los lados ∆ABC: BC = a, AC = b y AB = c, calcula la mediana BM.
Continuamos BM y posponemos el segmento MD = BM. Conectando D con A y D con C, obtenemos el paralelogramo ABCD (esto es fácil de averiguar, ya que ∆AMD = ∆BMC y ∆AMB = ∆DMC).
Llamando a la mediana BM por m, obtenemos BD = 2m y luego, usando el párrafo anterior, tenemos:
237. Cálculo del radio circunscrito al triángulo de una circunferencia. Describamos un círculo O cerca de ∆ABC (cap. 233), construyamos el diámetro del círculo BD, la cuerda AD y la altura del triángulo BH.
Entonces ∆ABD ~ ∆BCH (∠A = ∠H = d - el ángulo A es recto, porque está inscrito, basado en el diámetro BD y ∠D = ∠C, como está inscrito, basado en un arco AB). Por lo tanto tenemos:
o, llamando al radio OB por R, a la altura BH por h, y a los lados AB y BC, como antes, por c y a respectivamente:
pero el área es ∆ABC = Q = bh/2, de donde h = 2Q/b.
Por tanto, R = (abc) / (4Q).
Somos capaces (ítem 230 tarea 3) de calcular el área de un triángulo Q en sus lados. A partir de aquí podemos calcular R para los tres lados del triángulo.
238. Cálculo del radio de una circunferencia inscrita en un triángulo. Inscribamos en ∆ABC, cuyos lados están dados (cap. 234), el círculo O. Uniendo su centro O con los vértices del triángulo y con los puntos de contacto D, E y F de los lados del círculo , encontramos que los radios del círculo OD, OE y OF sirven como las alturas de los triángulos BOC, COA y AOB.
Llamando al radio de la circunferencia inscrita por r, tenemos:
Se dice que dos triángulos son congruentes si se pueden superponer. La figura 1 muestra los triángulos iguales ABC y A 1 B 1 C 1. Cada uno de estos triángulos se puede superponer a otro para que sean completamente compatibles, es decir, sus vértices y lados se aparean entre sí. Está claro que en este caso los ángulos de estos triángulos se combinarán en pares.
Por lo tanto, si dos triángulos son iguales, entonces los elementos (es decir, los lados y los ángulos) de un triángulo son respectivamente iguales a los elementos del otro triángulo. Tenga en cuenta que en triángulos iguales contra lados respectivamente iguales(es decir, superpuestos cuando se superponen) mentira ángulos iguales y atrás: los ángulos opuestos correspondientemente iguales se encuentran en lados iguales.
Entonces, por ejemplo, en los triángulos iguales ABC y A 1 B 1 C 1, que se muestran en la Figura 1, los ángulos iguales C y C 1 se encuentran contra los lados AB y A 1 B 1 respectivamente iguales. La igualdad de los triángulos ABC y A 1 B 1 C 1 se denotará de la siguiente manera: Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1. Resulta que la igualdad de dos triángulos se puede establecer comparando algunos de sus elementos.
Teorema 1. El primer signo de igualdad de triángulos. Si dos lados y el ángulo entre ellos de un triángulo son respectivamente iguales a dos lados y el ángulo entre ellos de otro triángulo, entonces tales triángulos son iguales (Fig. 2).
Prueba. Considere los triángulos ABC y A 1 B 1 C 1, en los que AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1 ∠ A \u003d ∠ A 1 (ver Fig. 2). Probemos que Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .
Dado que ∠ A \u003d ∠ A 1, entonces el triángulo ABC se puede superponer al triángulo A 1 B 1 C 1 de modo que el vértice A esté alineado con el vértice A 1, y los lados AB y AC se superpongan, respectivamente, en el rayos A 1 B 1 y A 1 C uno . Como AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1, entonces el lado AB se combinará con el lado A 1 B 1 y el lado AC - con el lado A 1 C 1; en particular, los puntos B y B 1 , C y C 1 coincidirán. Por lo tanto, los lados BC y B 1 C 1 estarán alineados. Entonces, los triángulos ABC y A 1 B 1 C 1 son completamente compatibles, lo que significa que son iguales.
El teorema 2 se demuestra de manera similar por el método de superposición.
Teorema 2. El segundo signo de la igualdad de triángulos. Si el lado y dos ángulos adyacentes a él de un triángulo son respectivamente iguales al lado y dos ángulos adyacentes a él de otro triángulo, entonces tales triángulos son iguales (Fig. 34).
Comentario. Con base en el Teorema 2, se establece el Teorema 3.
Teorema 3. La suma de dos ángulos interiores cualesquiera de un triángulo es menor que 180°.
El teorema 4 se deriva del último teorema.
Teorema 4. Un ángulo externo de un triángulo es mayor que cualquier ángulo interno no adyacente a él.
Teorema 5. El tercer signo de la igualdad de triángulos. Si los tres lados de un triángulo son respectivamente iguales a los tres lados de otro triángulo, entonces dichos triángulos son iguales ().
Ejemplo 1 En los triángulos ABC y DEF (Fig. 4)
∠ A = ∠ E, AB = 20 cm, AC = 18 cm, DE = 18 cm, EF = 20 cm Compara los triángulos ABC y DEF. ¿Qué ángulo en el triángulo DEF es igual al ángulo B?
Decisión. Estos triángulos son iguales en el primer signo. El ángulo F del triángulo DEF es igual al ángulo B del triángulo ABC, ya que estos ángulos están opuestos a los lados iguales correspondientes DE y AC.
Ejemplo 2 Los segmentos AB y CD (Fig. 5) se cortan en el punto O, que es el punto medio de cada uno de ellos. ¿A qué es igual el segmento BD si el segmento AC mide 6 m?
Decisión.
Los triángulos AOC y BOD son iguales (según el primer criterio): ∠ AOC = ∠ BOD (vertical), AO = OB, CO = OD (por condición).
De la igualdad de estos triángulos se sigue la igualdad de sus lados, es decir, AC = BD. Pero como, según la condición, AC = 6 m, entonces BD = 6 m.
La ciencia de la geometría nos dice qué es un triángulo, un cuadrado, un cubo. En el mundo moderno, todos lo estudian en las escuelas sin excepción. Además, una ciencia que estudia directamente qué es un triángulo y qué propiedades tiene es la trigonometría. Ella explora en detalle todos los fenómenos asociados con los datos. Hablaremos sobre qué es un triángulo hoy en nuestro artículo. A continuación se describirán sus tipos, así como algunos teoremas relacionados con ellos.
¿Qué es un triángulo? Definición
Este es un polígono plano. Tiene tres esquinas, lo que se desprende de su nombre. También tiene tres lados y tres vértices, el primero de los cuales son segmentos, el segundo son puntos. Sabiendo a qué son iguales dos ángulos, puedes encontrar el tercero restando la suma de los dos primeros del número 180.
¿Qué son los triángulos?
Se pueden clasificar según varios criterios.
En primer lugar, se dividen en ángulo agudo, ángulo obtuso y rectangular. Los primeros tienen ángulos agudos, es decir, los que tienen menos de 90 grados. En los ángulos obtusos, uno de los ángulos es obtuso, es decir, uno que es igual a más de 90 grados, los otros dos son agudos. Los triángulos agudos también incluyen triángulos equiláteros. Tales triángulos tienen todos los lados y ángulos iguales. Todos son iguales a 60 grados, esto se puede calcular fácilmente dividiendo la suma de todos los ángulos (180) por tres.
Triángulo rectángulo
Es imposible no hablar de lo que es un triángulo rectángulo.
Tal figura tiene un ángulo igual a 90 grados (recto), es decir, dos de sus lados son perpendiculares. Los otros dos ángulos son agudos. Pueden ser iguales, entonces será isósceles. El teorema de Pitágoras está relacionado con el triángulo rectángulo. Con su ayuda, puedes encontrar el tercer lado, conociendo los dos primeros. Según este teorema, si sumas el cuadrado de un cateto al cuadrado del otro, puedes obtener el cuadrado de la hipotenusa. El cuadrado del cateto se puede calcular restando el cuadrado del cateto conocido al cuadrado de la hipotenusa. Hablando de lo que es un triángulo, podemos recordar los isósceles. Este es aquel en el que dos de los lados son iguales, y dos de los ángulos también son iguales.
¿Qué es el cateto y la hipotenusa?
El cateto es uno de los lados de un triángulo que forman un ángulo de 90 grados. La hipotenusa es el lado restante que es opuesto al ángulo recto. Desde allí, se puede bajar una perpendicular sobre la pierna. La razón del cateto adyacente a la hipotenusa se llama coseno, y el opuesto se llama seno.
- ¿Cuáles son sus características?
es rectangular Sus catetos son tres y cuatro, y la hipotenusa es cinco. Si viste que los catetos de este triángulo son tres y cuatro, puedes estar seguro de que la hipotenusa será igual a cinco. Además, según este principio, se puede determinar fácilmente que el cateto será igual a tres si el segundo es igual a cuatro y la hipotenusa es cinco. Para probar esta afirmación, puedes aplicar el teorema de Pitágoras. Si dos catetos son 3 y 4, entonces 9 + 16 \u003d 25, la raíz de 25 es 5, es decir, la hipotenusa es 5. Además, el triángulo egipcio se llama triángulo rectángulo, cuyos lados son 6, 8 y 10 ; 9, 12 y 15 y otros números con una proporción de 3:4:5.
¿Qué más podría ser un triángulo?
Los triángulos también se pueden inscribir y circunscribir. La figura alrededor de la cual se describe el círculo se llama inscrita, todos sus vértices son puntos que se encuentran en el círculo. Un triángulo circunscrito es aquel en el que está inscrito un círculo. Todos sus lados están en contacto con él en ciertos puntos.
Como es
El área de cualquier figura se mide en unidades cuadradas (metros cuadrados, milímetros cuadrados, centímetros cuadrados, decímetros cuadrados, etc.) Este valor se puede calcular de varias formas, según el tipo de triángulo. El área de cualquier figura con ángulos se puede encontrar multiplicando su lado por la perpendicular que cae sobre ella desde el ángulo opuesto y dividiendo esta figura por dos. También puedes encontrar este valor multiplicando los dos lados. Luego multiplica este número por el seno del ángulo entre estos lados y divide esto por dos. Conociendo todos los lados de un triángulo, pero sin conocer sus ángulos, puedes hallar el área de otra manera. Para hacer esto, necesitas encontrar la mitad del perímetro. Luego resta alternativamente diferentes lados de este número y multiplica los cuatro valores obtenidos. A continuación, averigüe el número que salió. El área de un triángulo inscrito se puede encontrar multiplicando todos los lados y dividiendo el número resultante por el que está circunscrito a su alrededor por cuatro.
El área del triángulo descrito se encuentra de esta manera: multiplicamos la mitad del perímetro por el radio del círculo que está inscrito en él. Si entonces su área se puede encontrar de la siguiente manera: elevamos al cuadrado el lado, multiplicamos la figura resultante por la raíz de tres, luego dividimos este número por cuatro. Del mismo modo, puedes calcular la altura de un triángulo en el que todos los lados son iguales, para ello necesitas multiplicar uno de ellos por la raíz de tres y luego dividir este número por dos.
Teoremas del triángulo
Los principales teoremas asociados con esta figura son el teorema de Pitágoras, descrito anteriormente, y los cosenos. El segundo (seno) es que si divides cualquier lado por el seno del ángulo opuesto a él, puedes obtener el radio del círculo que se describe a su alrededor, multiplicado por dos. El tercero (coseno) es que si a su producto se le resta la suma de los cuadrados de los dos lados, multiplicada por dos y el coseno del ángulo situado entre ellos, entonces se obtendrá el cuadrado del tercer lado.
Triángulo de Dalí: ¿qué es?
Muchos, ante este concepto, en un principio piensan que se trata de una especie de definición en geometría, pero no es así en absoluto. El Triángulo de Dalí es el nombre común de tres lugares que están estrechamente asociados con la vida del famoso artista. Sus “cimas” son la casa donde vivió Salvador Dalí, el castillo que le regaló a su esposa y el museo de pinturas surrealistas. Durante un recorrido por estos lugares, puede aprender muchos datos interesantes sobre este artista creativo original, conocido en todo el mundo.
El polígono más simple que se estudia en la escuela es un triángulo. Es más comprensible para los estudiantes y encuentra menos dificultades. A pesar de que existen diferentes tipos de triángulos que tienen propiedades especiales.
¿Qué forma se llama triángulo?
Formado por tres puntos y segmentos de recta. Los primeros se llaman vértices, los segundos se llaman lados. Además, los tres segmentos deben estar conectados para que se formen esquinas entre ellos. De ahí el nombre de la figura "triángulo".
Diferencias en los nombres en las esquinas.
Dado que pueden ser agudos, obtusos y rectos, los tipos de triángulos están determinados por estos nombres. En consecuencia, hay tres grupos de tales figuras.
- Primero. Si todos los ángulos de un triángulo son agudos, se llamará triángulo acutángulo. Todo es lógico.
- Segundo. Uno de los ángulos es obtuso, entonces el triángulo es obtuso. Más fácil en ninguna parte.
- Tercera. Hay un ángulo igual a 90 grados, que se llama ángulo recto. El triángulo se vuelve rectangular.
Diferencias en los nombres en los lados.
Según las características de los lados, se distinguen los siguientes tipos de triángulos:
el caso general es versátil, en el que todos los lados tienen una longitud arbitraria;
isósceles, cuyos dos lados tienen los mismos valores numéricos;
equilátero, las longitudes de todos sus lados son iguales.
Si la tarea no especifica un tipo específico de triángulo, debe dibujar uno arbitrario. En el que todos los ángulos son agudos y los lados tienen diferentes longitudes.
Propiedades comunes a todos los triángulos.
- Si sumas todos los ángulos de un triángulo, obtienes un número igual a 180º. Y no importa de qué tipo sea. Esta regla siempre se aplica.
- El valor numérico de cualquier lado del triángulo es menor que los otros dos sumados. Además, es mayor que su diferencia.
- Cada esquina exterior tiene un valor que se obtiene sumando dos esquinas interiores que no son adyacentes a ella. Además, siempre es más grande que el interno adyacente.
- El lado más pequeño de un triángulo siempre es opuesto al ángulo más pequeño. Por el contrario, si el lado es grande, entonces el ángulo será el más grande.
Estas propiedades son siempre válidas, sin importar qué tipos de triángulos se consideren en los problemas. Todo el resto se deriva de características específicas.
Propiedades de un triángulo isósceles
- Los ángulos adyacentes a la base son iguales.
- La altura que se dibuja a la base es también la mediana y la bisectriz.
- Las alturas, medianas y bisectrices, que se construyen a los lados del triángulo, son respectivamente iguales entre sí.
Propiedades de un triángulo equilátero
Si existe tal figura, entonces todas las propiedades descritas un poco más arriba serán ciertas. Porque un equilátero siempre será isósceles. Pero no al revés, un triángulo isósceles no será necesariamente equilátero.
- Todos sus ángulos son iguales entre sí y tienen un valor de 60º.
- Cualquier mediana de un triángulo equilátero es su altura y su bisectriz. Y todos son iguales entre sí. Para determinar sus valores existe una fórmula que consiste en el producto del lado y la raíz cuadrada de 3 dividido por 2.
Propiedades de un triángulo rectángulo
- Dos ángulos agudos suman 90º.
- La longitud de la hipotenusa siempre es mayor que la de cualquiera de los catetos.
- El valor numérico de la mediana trazada a la hipotenusa es igual a la mitad de ella.
- El cateto es igual al mismo valor si se encuentra opuesto a un ángulo de 30º.
- La altura, que se dibuja desde arriba con un valor de 90º, tiene cierta dependencia matemática con las piernas: 1/n 2 \u003d 1/a 2 + 1/in 2. Aquí: a, c - piernas, n - altura.
Problemas con diferentes tipos de triángulos
n° 1 Dado un triángulo isósceles. Se conoce su perímetro y es igual a 90 cm, se requiere conocer sus lados. Como condición adicional: el lado lateral es 1,2 veces más pequeño que la base.
El valor del perímetro depende directamente de las cantidades que se necesitan encontrar. La suma de los tres lados dará 90 cm Ahora debes recordar el signo de un triángulo, según el cual es isósceles. Es decir, los dos lados son iguales. Puedes hacer una ecuación con dos incógnitas: 2a + b \u003d 90. Aquí a es el lado, b es la base.
Es hora de una condición adicional. Siguiéndolo, se obtiene la segunda ecuación: b \u003d 1.2a. Puedes sustituir esta expresión en la primera. Resulta: 2a + 1.2a \u003d 90. Después de las transformaciones: 3.2a \u003d 90. Por lo tanto, \u003d 28.125 (cm). Ahora es fácil averiguar el motivo. Es mejor hacer esto desde la segunda condición: v \u003d 1.2 * 28.125 \u003d 33.75 (cm).
Para verificar, puede agregar tres valores: 28.125 * 2 + 33.75 = 90 (cm). Bien.
Respuesta: los lados del triángulo miden 28,125 cm, 28,125 cm, 33,75 cm.
n° 2 El lado de un triángulo equilátero mide 12 cm, necesitas calcular su altura.
Decisión. Para buscar una respuesta, basta volver al momento en que se describieron las propiedades del triángulo. Esta es la fórmula para encontrar la altura, la mediana y la bisectriz de un triángulo equilátero.
n \u003d a * √3 / 2, donde n es la altura, a es el lado.
La sustitución y el cálculo dan el siguiente resultado: n = 6 √3 (cm).
Esta fórmula no necesita ser memorizada. Baste recordar que la altura divide el triángulo en dos rectangulares. Además, resulta ser un cateto, y la hipotenusa es el lado del original, el segundo cateto es la mitad del lado conocido. Ahora necesitas escribir el teorema de Pitágoras y derivar una fórmula para la altura.
Respuesta: la altura es de 6 √3 cm.
Numero 3. Se da MKR: un triángulo de 90 grados en el que se forma un ángulo K. Se conocen los lados MP y KR, son iguales a 30 y 15 cm, respectivamente. Debe averiguar el valor del ángulo P.
Decisión. Si haces un dibujo, queda claro que MP es la hipotenusa. Además, es dos veces más grande que la pata del CD. Una vez más, debe recurrir a las propiedades. Uno de ellos solo está relacionado con las esquinas. De ella se desprende que el ángulo del KMR es de 30º. Entonces el ángulo deseado P será igual a 60º. Esto se sigue de otra propiedad que establece que la suma de dos ángulos agudos debe ser igual a 90º.
Respuesta: el ángulo R es de 60º.
No. 4. Necesitas encontrar todos los ángulos de un triángulo isósceles. Se sabe de él que el ángulo exterior desde el ángulo de la base es de 110º.
Decisión. Dado que solo se proporciona la esquina exterior, se debe utilizar. Se forma con un ángulo interno desarrollado. Entonces suman 180º. Es decir, el ángulo en la base del triángulo será igual a 70º. Como es isósceles, el segundo ángulo tiene el mismo valor. Queda por calcular el tercer ángulo. Por una propiedad común a todos los triángulos, la suma de los ángulos es 180º. Entonces el tercero se define como 180º - 70º - 70º = 40º.
Respuesta: los ángulos son 70º, 70º, 40º.
Numero 5. Se sabe que en un triángulo isósceles el ángulo opuesto a la base es de 90º. Se marca un punto en la base. El segmento que lo conecta con un ángulo recto lo divide en una proporción de 1 a 4. Necesitas conocer todos los ángulos del triángulo más pequeño.
Decisión. Una de las esquinas se puede determinar inmediatamente. Como el triángulo es rectángulo e isósceles, los que están en su base serán de 45º, es decir, 90º/2.
El segundo de ellos ayudará a encontrar la relación conocida en la condición. Como es igual a 1 a 4, entonces las partes en las que se divide son solo 5. Entonces, para encontrar el ángulo más pequeño del triángulo, necesitas 90º / 5 = 18º. Queda por saber el tercero. Para ello, de 180º (la suma de todos los ángulos de un triángulo), necesitas restar 45º y 18º. Los cálculos son sencillos, y resulta: 117º.
Triángulo - definición y conceptos generales
Un triángulo es un polígono tan simple que consta de tres lados y tiene el mismo número de ángulos. Sus planos están limitados por 3 puntos y 3 segmentos que conectan estos puntos en pares.
Todos los vértices de cualquier triángulo, independientemente de su variedad, se indican con letras latinas mayúsculas, y sus lados se representan con las designaciones correspondientes de vértices opuestos, solo que no en letras mayúsculas, sino en letras pequeñas. Entonces, por ejemplo, un triángulo con vértices etiquetados como A, B y C tiene lados a, b, c.
Si consideramos un triángulo en el espacio euclidiano, entonces esta es una figura geométrica que se formó usando tres segmentos que conectan tres puntos que no se encuentran en una línea recta.
Fíjate bien en la imagen de arriba. En él, los puntos A, B y C son los vértices de este triángulo, y sus segmentos se llaman los lados del triángulo. Cada vértice de este polígono forma esquinas en su interior.
tipos de triangulos
Según el tamaño, los ángulos de los triángulos, se dividen en variedades tales como: Rectangular;
de ángulo agudo;
obtuso.
Los triángulos rectángulos son triángulos que tienen un ángulo recto y los otros dos tienen ángulos agudos.
Los triángulos acutángulos son aquellos en los que todos sus ángulos son agudos.
Y si un triángulo tiene un ángulo obtuso, y los otros dos ángulos son agudos, entonces tal triángulo pertenece a los ángulos obtusos.
Cada uno de ustedes sabe muy bien que no todos los triángulos tienen lados iguales. Y según la longitud de sus lados, los triángulos se pueden dividir en:
Isósceles;
Equilátero;
Versátil.
Tarea: Dibuja diferentes tipos de triángulos. Dales una definición. ¿Qué diferencia ves entre ellos?
Propiedades básicas de los triángulos
Aunque estos polígonos simples pueden diferir entre sí en el tamaño de los ángulos o lados, en cada triángulo hay propiedades básicas que son características de esta figura.
En cualquier triángulo:
La suma de todos sus ángulos es 180º.
Si pertenece al equilátero, entonces cada uno de sus ángulos es igual a 60º.
Un triángulo equilátero tiene ángulos idénticos e iguales entre sí.
Cuanto menor es el lado del polígono, menor es el ángulo opuesto a él, y viceversa, el ángulo mayor es opuesto al lado mayor.
Si los lados son iguales, entonces los opuestos son ángulos iguales y viceversa.
Si tomamos un triángulo y extendemos su lado, al final formaremos un ángulo externo. Es igual a la suma de los ángulos interiores.
En cualquier triángulo, su lado, sin importar cuál elijas, seguirá siendo menor que la suma de los otros 2 lados, pero mayor que su diferencia:
1.a< b + c, a >antes de Cristo;
2.b< a + c, b >C.A;
3.c< a + b, c >a-b.
Ejercicio
La tabla muestra los dos ángulos ya conocidos del triángulo. Conociendo la suma total de todos los ángulos, encuentra a qué es igual el tercer ángulo del triángulo e ingresa en la tabla:
1. ¿Cuántos grados tiene el tercer ángulo?
2. ¿A qué tipo de triángulos pertenece?
Triángulos de equivalencia
yo firmo
Yo firmo
III signo
Altura, bisectriz y mediana de un triangulo
La altura de un triángulo - la perpendicular trazada desde la parte superior de la figura hasta su lado opuesto, se llama altura del triángulo. Todas las alturas de un triángulo se cortan en un punto. El punto de intersección de las 3 alturas de un triángulo es su ortocentro.
Un segmento extraído de un vértice dado y que lo conecta en el medio del lado opuesto es la mediana. Las medianas, así como las alturas de un triángulo, tienen un punto común de intersección, el llamado centro de gravedad del triángulo o baricentro.
La bisectriz de un triángulo es un segmento que une el vértice de un ángulo y un punto en el lado opuesto, y también divide este ángulo por la mitad. Todas las mediatrices de un triángulo se cortan en un punto, que se llama centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.
El segmento que une los puntos medios de los 2 lados del triángulo se llama línea media.
referencia histórica
Una figura como un triángulo se conocía en la antigüedad. Esta figura y sus propiedades fueron mencionadas en papiros egipcios hace cuatro mil años. Un poco más tarde, gracias al teorema de Pitágoras y la fórmula de Heron, el estudio de la propiedad de un triángulo pasó a un nivel superior, pero aún así, esto sucedió hace más de dos mil años.
En los siglos XV y XVI, se inició una gran cantidad de investigaciones sobre las propiedades de un triángulo y, como resultado, surgió una ciencia como la planimetría, que se denominó "Nueva geometría del triángulo".
Un científico de Rusia N. I. Lobachevsky hizo una gran contribución al conocimiento de las propiedades de los triángulos. Más tarde, sus trabajos encontraron aplicación tanto en matemáticas como en física y cibernética.
Gracias al conocimiento de las propiedades de los triángulos, surgió una ciencia como la trigonometría. Resultó ser necesario para una persona en sus necesidades prácticas, ya que su uso es simplemente necesario al compilar mapas, medir áreas e incluso al diseñar varios mecanismos.
¿Cuál es el triángulo más famoso? ¡Esto es, por supuesto, el Triángulo de las Bermudas! Obtuvo su nombre en los años 50 debido a la ubicación geográfica de los puntos (vértices del triángulo), dentro de los cuales, según la teoría existente, surgían anomalías asociadas a él. Los picos del Triángulo de las Bermudas son las Bermudas, Florida y Puerto Rico.
Tarea: ¿Qué teorías sobre el Triángulo de las Bermudas has escuchado?
Sabes que en la teoría de Lobachevsky, al sumar los ángulos de un triángulo, su suma siempre da un resultado menor a 180º. En la geometría riemanniana, la suma de todos los ángulos de un triángulo es mayor a 180º, mientras que en los escritos de Euclides es igual a 180 grados.
Tarea
Resolver un crucigrama sobre un tema determinado
Preguntas de crucigramas:
1. ¿Cómo se llama la perpendicular trazada desde el vértice del triángulo a la recta situada en el lado opuesto?
2. ¿Cómo, en una palabra, puedes llamar a la suma de las longitudes de los lados de un triángulo?
3. ¿Nombra un triángulo cuyos dos lados sean iguales?
4. ¿Nombra un triángulo que tenga un ángulo igual a 90°?
5. ¿Cómo se llama el mayor de los lados del triángulo?
6. ¿Nombre del lado de un triángulo isósceles?
7. Siempre hay tres de ellos en cualquier triángulo.
8. ¿Cómo se llama un triángulo en el que uno de los ángulos supera los 90°?
9. ¿El nombre del segmento que conecta la parte superior de nuestra figura con la mitad del lado opuesto?
10. En un polígono simple ABC, la letra A mayúscula es...?
11. ¿Cuál es el nombre del segmento que divide el ángulo del triángulo por la mitad?
Preguntas sobre triángulos:
1. Dé una definición.
2. ¿Cuántas alturas tiene?
3. ¿Cuántas bisectrices tiene un triángulo?
4. ¿Cuál es la suma de sus ángulos?
5. ¿Qué tipos de este polígono simple conoces?
6. Nombra los puntos de los triángulos que se llaman maravillosos.
7. ¿Qué instrumento puede medir el ángulo?
8. Si las manecillas del reloj marcan las 21 horas. ¿Qué ángulo forman las manecillas de las horas?
9. ¿En qué ángulo gira una persona si se le da la orden "a la izquierda", "alrededor"?
10. ¿Qué otras definiciones conoces que estén asociadas con una figura que tiene tres ángulos y tres lados?
