Número recíproco 4. Número recíproco

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número recíproco(recíproco, recíproco) a un número dado X es el número cuya multiplicación por X, da uno. Entrada aceptada: $\backslash frac(1)x$ o $x^(-1)$. Dos números cuyo producto es igual a uno se llaman mutuamente inversa. El número recíproco no debe confundirse con función inversa. Por ejemplo, $\backslash frac(1)(\backslash cos(x))$ diferente del valor de la función coseno inversa - arcocoseno, que se denota $\backslash cos^(-1)x$ o $\backslash \; arccos\; x$.

Inverso al número real

Formas de números complejos	Número $(z)$	Contrarrestar $\backslash izquierda\; (\backslash frac(1)(z)\; \backslash derecha)$
Algebraico	$x+iy$	$\backslash frac(x)(x^2+y^2)-i\; \backslash frac(y)(x^2+y^2)$
trigonométrico	$r(\backslash cos\backslash varphi+i\backslash sin\backslash varphi)$	$\backslash frac(1)(r)(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi)$
Demostración	$re^(i\backslash varphi)$	$\backslash frac(1)(r)e^(-i\; \backslash varphi)$

Prueba:
Para formas algebraicas y trigonométricas, usamos la propiedad básica de una fracción, multiplicando el numerador y el denominador por el complejo conjugado:

• Forma algebraica:

$\backslash frac(1)(z)=\; \backslash frac(1)(x+iy)=\; \backslash frac(x-iy)((x+iy)(x-iy))=\; \backslash frac(x-iy)(x^\; 2+y^2)=\; \backslash frac(x)(x^2+y^2)-i\; \backslash frac(y)(x^2+y^2)$

• Forma trigonométrica:

$\backslash frac(1)(z)\; =\; \backslash frac(1)(r(\backslash cos\backslash varphi+i\; \backslash sin\backslash varphi))\; =\; \backslash frac(1)(r)\; \backslash frac(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash \; varphi)((\backslash cos\backslash varphi+i\; \backslash sin\backslash varphi)(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi))\; =\; \backslash frac(1)(r)\; \backslash frac(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi\; )(\backslash cos^2\backslash varphi+\; \backslash sin^2\backslash varphi)\; =\; \backslash frac(1)(r)(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi)$

• forma indicativa:

$\backslash frac(1)(z)\; =\; \backslash frac(1)(re^(i\; \backslash varphi))\; =\; \backslash frac(1)(r)e^(-i\; \backslash varphi)$

Así, a la hora de encontrar el inverso de un número complejo, es más conveniente utilizar su forma exponencial.

Ejemplo:

Formas de números complejos	Número $(z)$	Contrarrestar $\backslash izquierda\; (\backslash frac(1)(z)\; \backslash derecha)$
Algebraico	$1+i\; \backslash raíz\; cuadrada(3)$	$\backslash frac(1)(4)-\; \backslash frac(\backslash sqrt(3))(4)i$
trigonométrico	$2\; \backslash left\; (\backslash cos\backslash frac(\backslash pi)(3)+i\backslash sin\backslash frac(\backslash pi)(3)\; \backslash right)$ o $2\; \backslash izquierda\; (\backslash frac(1)(2)+i\backslash frac(\backslash sqrt(3))(2)\; \backslash derecha)$	$\backslash frac(1)(2)\; \backslash left\; (\backslash cos\backslash frac(\backslash pi)(3)-i\backslash sin\backslash frac(\backslash pi)(3)\; \backslash right)$ o $\backslash frac(1)(2)\; \backslash left\; (\backslash frac(1)(2)-i\backslash frac(\backslash sqrt(3))(2)\; \backslash right)$
Demostración	$2\; e^(yo\; \backslash frac(\backslash pi)(3))$	$\backslash frac(1)(2)\; e^(-i\; \backslash frac(\backslash pi)(3))$

Inversa a la unidad imaginaria

$\backslash frac(1)(i)=\backslash frac(1\; \backslash cdot\; i)(i\; \backslash cdot\; i)=\backslash frac(i)(i^2)=\backslash frac(i)(-1)=-i$

Así, obtenemos

$\backslash frac(1)(i)=-i$ __ o__ $yo^(-1)=-yo$

Del mismo modo para $-i$: __ $-\; \backslash frac(1)(i)=i$ __ o __ $-i^(-1)=yo$

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notas

ver también

Un extracto que caracteriza el número recíproco.

Eso dicen las historias, y todo esto es completamente injusto, ya que cualquiera que quiera profundizar en la esencia del asunto se convencerá fácilmente.
Los rusos no buscaron una mejor posición; pero, por el contrario, en su retirada pasaron muchas posiciones que eran mejores que Borodino. No se detuvieron en ninguna de estas posiciones: tanto porque Kutuzov no quería aceptar una posición que no había elegido él, como porque la demanda de una batalla popular aún no se había expresado con suficiente fuerza, y porque Miloradovich aún no se había acercado. con la milicia, y también por otras razones que son innumerables. El hecho es que las posiciones anteriores eran más fuertes y que la posición de Borodino (aquella en la que se dio la batalla) no solo no es fuerte, sino que por alguna razón no es para nada una posición más que cualquier otro lugar en Imperio ruso, que, adivinando, señalaría con un pin en el mapa.
Los rusos no solo no fortificaron la posición del campo de Borodino a la izquierda en ángulo recto desde la carretera (es decir, el lugar donde tuvo lugar la batalla), sino que nunca antes del 25 de agosto de 1812 pensaron que la batalla podría tener lugar en este lugar. Lo prueba, en primer lugar, el hecho de que no sólo el día 25 no había fortificaciones en este lugar, sino que, comenzadas el día 25, no estaban terminadas el día 26; en segundo lugar, la posición del reducto de Shevardinsky sirve como prueba: el reducto de Shevardinsky, frente a la posición en la que se llevó a cabo la batalla, no tiene ningún sentido. ¿Por qué se fortificó este reducto más fuerte que todos los demás puntos? ¿Y por qué, defendiéndola el día 24 hasta altas horas de la noche, se agotaron todos los esfuerzos y se perdieron seis mil personas? Para observar al enemigo bastaba una patrulla cosaca. En tercer lugar, la prueba de que la posición en la que tuvo lugar la batalla no estaba prevista y que el reducto de Shevardinsky no era el punto de avanzada de esta posición es que Barclay de Tolly y Bagration hasta el día 25 estaban convencidos de que el reducto de Shevardinsky era el flanco izquierdo de la posición y que el mismo Kutuzov, en su informe, escrito en el fragor del momento posterior a la batalla, llama el reducto Shevardinsky el flanco izquierdo de la posición. Mucho más tarde, cuando los informes sobre la batalla de Borodino se escribieron abiertamente, fue (probablemente para justificar los errores del comandante en jefe, que debía ser infalible) que se inventó un testimonio injusto y extraño de que el reducto de Shevardinsky sirvió como un puesto avanzado (mientras que era solo un punto fortificado del flanco izquierdo) y como si la batalla de Borodino fuera aceptada por nosotros en una posición fortificada y preseleccionada, mientras que tuvo lugar en un lugar completamente inesperado y casi no fortificado.
El asunto, obviamente, fue así: la posición fue elegida a lo largo del río Kolocha, que cruza la carretera principal no en línea recta, sino bajo ángulo agudo, de modo que el flanco izquierdo estaba en Shevardin, el flanco derecho estaba cerca del pueblo de Novy y el centro estaba en Borodino, en la confluencia de los ríos Kolocha y Voyna. Esta posición, al amparo del río Kolocha, para el ejército, cuyo objetivo es detener al enemigo que avanza a lo largo de la carretera de Smolensk a Moscú, es obvia para cualquiera que mire el campo de Borodino, olvidando cómo tuvo lugar la batalla.
Napoleón, habiendo partido hacia Valuev el día 24, no vio (como dicen las historias) la posición de los rusos desde Utitsa hasta Borodin (no pudo ver esta posición, porque no estaba allí) y no vio el puesto avanzado de el ejército ruso, pero tropezó en la persecución de la retaguardia rusa en el flanco izquierdo de la posición de los rusos, en el reducto de Shevardinsky, e inesperadamente para los rusos transfirieron tropas a través de Kolocha. Y los rusos, al no tener tiempo para entrar en una batalla general, se retiraron con su ala izquierda de la posición que pretendían tomar y tomaron una nueva posición, que no estaba prevista ni fortificada. Habiendo cruzado al lado izquierdo de Kolocha, a la izquierda del camino, Napoleón movió toda la futura batalla de derecha a izquierda (del lado de los rusos) y la transfirió al campo entre Utitsa, Semenovsky y Borodino (en este campo , que no tiene nada más ventajoso para la posición que cualquier otro campo en Rusia), y en este campo tuvo lugar toda la batalla el día 26. En forma aproximada, el plan para la batalla propuesta y la batalla que tuvo lugar será el siguiente:

Si Napoleón no hubiera partido en la tarde del 24 hacia Kolocha y no hubiera ordenado atacar el reducto inmediatamente por la tarde, sino que hubiera comenzado el ataque al día siguiente por la mañana, nadie habría dudado de que el reducto de Shevardinsky era el flanco izquierdo de nuestra posición; y la batalla habría tenido lugar como esperábamos. En ese caso, probablemente habríamos defendido el reducto de Shevardino, nuestro flanco izquierdo, aún con más tenacidad; atacarían a Napoleón por el centro o por la derecha, y el día 24 habría batalla general en la posición que estaba fortificada y prevista. Pero dado que el ataque a nuestro flanco izquierdo tuvo lugar por la tarde, tras la retirada de nuestra retaguardia, es decir, inmediatamente después de la batalla de Gridneva, y dado que los líderes militares rusos no quisieron o no tuvieron tiempo de iniciar una batalla general en la misma noche del 24, la primera y principal acción de Borodinsky la batalla se perdió el día 24 y, obviamente, llevó a la pérdida de la que se dio el día 26.
Después de la pérdida del reducto de Shevardinsky, en la mañana del 25 nos encontramos sin una posición en el flanco izquierdo y nos vimos obligados a doblar hacia atrás nuestra ala izquierda y reforzarla apresuradamente en cualquier lugar.
Pero no solo las tropas rusas se encontraban bajo la protección de fortificaciones débiles e inacabadas el 26 de agosto, la desventaja de esta situación se incrementó aún más por el hecho de que los líderes militares rusos, al no reconocer completamente el hecho consumado (la pérdida de una posición en el flanco izquierdo y la transferencia de todo el futuro campo de batalla de derecha a izquierda), permanecieron en su posición estirada desde el pueblo de Novy hasta Utitsa y, como resultado, tuvieron que mover sus tropas de derecha a izquierda durante la batalla. Así, durante toda la batalla, los rusos tuvieron contra todos ejercito francés, dirigido a nuestra ala izquierda, dos veces las fuerzas más débiles. (Las acciones de Poniatowski contra Utitsa y Uvarov en el flanco derecho de los franceses constituyeron acciones separadas del curso de la batalla).
Entonces, la batalla de Borodino no sucedió en absoluto como (tratando de ocultar los errores de nuestros líderes militares y, como resultado, menospreciando la gloria del ejército y el pueblo rusos) la describen. La batalla de Borodino no tuvo lugar en una posición elegida y fortificada con solo las fuerzas más débiles por parte de los rusos, y la batalla de Borodino, debido a la pérdida del reducto de Shevardinsky, fue tomada por los rusos en un abierto, área casi no fortificada con el doble de fuerzas más débiles contra los franceses, es decir, en tales condiciones, en las que no solo era impensable luchar durante diez horas y hacer que la batalla fuera indecisa, sino que era impensable evitar que el ejército fuera completamente derrotado y huido por tres horas.

El 25 por la mañana Pierre salió de Mozhaisk. En el descenso de la enorme montaña empinada y torcida que salía de la ciudad, más allá de la catedral que estaba en la montaña a la derecha, en la que había un servicio y el evangelio, Pierre se bajó del carruaje y siguió a pie. Detrás de él descendió a la montaña una especie de regimiento de caballería con peselniks al frente. Un tren de carretas con los heridos de la hazaña de ayer subía hacia él. Los campesinos conductores, gritando a los caballos y azotándolos con látigos, corrían de un lado a otro. Los carros, en los que yacían y se sentaban tres y cuatro soldados heridos, saltaban sobre las piedras arrojadas en forma de pavimento en una fuerte pendiente. Los heridos, envueltos en harapos, pálidos, con los labios fruncidos y las cejas fruncidas, agarrados a las camas, saltaban y se empujaban en los carros. Casi con ingenua curiosidad infantil, todos miraban sombrero blanco y el frac verde de Pierre.

Se denominan números inversos, o recíprocos, a un par de números que, cuando se multiplican, dan 1. En sí mismos vista general los números están invertidos. Característica caso especial números recíprocos - un par. Los inversos son, digamos, los números; .

Cómo encontrar el recíproco

Regla: necesitas dividir 1 (uno) por el número dado.

Ejemplo 1.

Se da el número 8. Su inverso es 1: 8 o (la segunda opción es preferible, porque tal notación es matemáticamente más correcta).

Al buscar el recíproco de fracción común, entonces dividirlo por 1 no es muy conveniente, porque la grabación se vuelve engorrosa. En este caso, es mucho más fácil hacer lo contrario: simplemente se da la vuelta a la fracción, intercambiando el numerador y el denominador. Si se da una fracción correcta, luego de darle la vuelta, se obtiene una fracción impropia, es decir uno del que se puede extraer una parte entera. Para hacer esto o no, debe decidir caso por caso. Entonces, si luego tiene que realizar algunas acciones con la fracción invertida resultante (por ejemplo, multiplicación o división), entonces no debe seleccionar la parte completa. Si la fracción resultante es el resultado final, quizás sea deseable la selección de la parte entera.

Ejemplo #2.

Dada una fracción. Invertir a él:.

Si quieres encontrar el recíproco de fracción decimal, entonces deberías usar la primera regla (dividir 1 por un número). En esta situación, puede actuar de una de 2 maneras. La primera es simplemente dividir 1 por este número en una columna. La segunda es formar una fracción a partir del 1 en el numerador y un decimal en el denominador, y luego multiplicar el numerador y el denominador por 10, 100 u otro número que consista en 1 y tantos ceros como sea necesario para eliminar el punto decimal. en el denominador. El resultado será una fracción ordinaria, que es el resultado. Si es necesario, es posible que deba acortarlo, extraer una parte entera o convertirlo a formato decimal.

Ejemplo #3.

El número dado es 0,82. Su recíproco es: . Ahora reduzcamos la fracción y seleccionemos la parte entera: .

Cómo saber si dos números son recíprocos

El principio de verificación se basa en la definición de recíprocos. Es decir, para asegurarse de que los números sean inversos entre sí, debe multiplicarlos. Si el resultado es uno, entonces los números son mutuamente inversos.

Ejemplo número 4.

Dados los números 0.125 y 8. ¿Son recíprocos?

Examen. Es necesario encontrar el producto de 0.125 y 8. Para mayor claridad, presentamos estos números como fracciones ordinarias: (reduzcamos la primera fracción en 125). Conclusión: los números 0,125 y 8 son inversos.

Propiedades de los recíprocos

Propiedad #1

El recíproco existe para cualquier número distinto de 0.

Esta limitación se debe al hecho de que es imposible dividir por 0, y al determinar el recíproco de cero, solo habrá que moverlo al denominador, es decir en realidad se divide por ella.

Propiedad #2

La suma de un par de números recíprocos nunca es menor que 2.

Matemáticamente, esta propiedad se puede expresar mediante la desigualdad: .

Propiedad #3

Multiplicar un número por dos números recíprocos es equivalente a multiplicar por uno. Expresemos matemáticamente esta propiedad: .

Ejemplo número 5.

Encuentra el valor de la expresión: 3.4 0.125 8. Dado que los números 0,125 y 8 son recíprocos (consulte el Ejemplo 4), no es necesario multiplicar 3,4 por 0,125 y luego por 8. Así que la respuesta aquí es 3.4.

Contenido:

Los recíprocos son necesarios para resolver todo tipo de ecuaciones algebraicas. Por ejemplo, si necesita dividir un número fraccionario por otro, multiplique el primer número por el recíproco del segundo. Además, los recíprocos se usan para encontrar la ecuación de una línea recta.

Pasos

1 Encontrar el recíproco de una fracción o un número entero

1. 1 Encuentra el recíproco de un número fraccionario volteándolo."Número recíproco" se define de manera muy simple. Para calcularlo, simplemente calcule el valor de la expresión "1 ÷ (número original)". Para un número fraccionario, el recíproco es otro número fraccionario que se puede calcular simplemente "invirtiendo" la fracción (intercambiando el numerador y el denominador).
   • Por ejemplo, el recíproco de 3/4 es 4 / 3 .
2. 2 Escribe el recíproco de un número entero como una fracción. Y en este caso, el recíproco se calcula como 1 ÷ (número original). Para un número entero, escribe el recíproco como una fracción, no es necesario hacer los cálculos y escribirlo como un decimal.
   • Por ejemplo, el recíproco de 2 es 1 ÷ 2 = 1 / 2 .

2 Encontrar el recíproco de una fracción mixta

1. 1 Qué " fracción mixta". Una fracción mixta es un número escrito como un número entero y una fracción simple, por ejemplo, 2 4/5. Encontrar el recíproco de una fracción mixta se realiza en dos pasos, que se describen a continuación.
2. 2 Escribe la fracción mixta como fracción impropia. Por supuesto, recuerda que la unidad se puede escribir como (número) / (mismo número), y las fracciones con el mismo denominador (número debajo de la línea) se pueden sumar entre sí. Así es como se puede hacer para la fracción 2 4 / 5:
   • 2 4 / 5
   • = 1 + 1 + 4 / 5
   • = 5 / 5 + 5 / 5 + 4 / 5
   • = (5+5+4) / 5
   • = 14 / 5 .
3. 3 Voltear la fracción. Cuando una fracción mixta se escribe como una fracción impropia, podemos encontrar fácilmente el recíproco simplemente intercambiando el numerador y el denominador.
   • Para el ejemplo anterior, el recíproco sería 14 / 5 - 5 / 14 .

3 Encontrar el recíproco de un decimal

1. 1 Si es posible, exprese el decimal como una fracción. Debe saber que muchos decimales se pueden convertir fácilmente a fracciones simples. Por ejemplo, 0,5 = 1/2 y 0,25 = 1/4. Cuando escribes un número como una fracción simple, puedes encontrar fácilmente el recíproco simplemente volteando la fracción.
   • Por ejemplo, el recíproco de 0,5 es 2/1 = 2.
2. 2 Resuelve el problema usando la división. Si no puedes escribir un decimal como una fracción, calcula el recíproco resolviendo el problema dividiendo: 1 ÷ (decimal). Puede usar una calculadora para resolverlo o pasar al siguiente paso si desea calcular el valor manualmente.
   • Por ejemplo, el recíproco de 0,4 se calcula como 1 ÷ 0,4.
3. 3 Cambie la expresión para trabajar con números enteros. El primer paso en la división decimal es mover el punto de posición hasta que todos los números de la expresión sean enteros. Debido a que mueves la coma posicional el mismo número de lugares tanto en el dividendo como en el divisor, obtienes la respuesta correcta.
4. 4 Por ejemplo, tomas la expresión 1 ÷ 0,4 y la escribes como 10 ÷ 4. En este caso, movió la coma un lugar a la derecha, lo que equivale a multiplicar cada número por diez.
5. 5 Resuelve el problema dividiendo los números por una columna. Usando la división por una columna, puedes calcular el recíproco de un número. Si divides 10 entre 4, deberías obtener 2,5, que es el recíproco de 0,4.

• El valor de un recíproco negativo será el recíproco del número multiplicado por -1. Por ejemplo, el recíproco negativo de 3/4 es -4/3.
• El recíproco de un número a veces se denomina "recíproco" o "recíproco".
• El número 1 es su propio recíproco porque 1 ÷ 1 = 1.
• El cero no tiene recíproco porque la expresión 1 ÷ 0 no tiene soluciones.

Un par de números cuyo producto es igual a uno se llama mutuamente inversa.

Ejemplos: 5 y 1/5, -6/7 y -7/6, y

Para cualquier número a distinto de cero, existe un inverso 1/a.

El recíproco de cero es infinito.

fracciones inversas- estas son dos fracciones, cuyo producto es 1. Por ejemplo, 3/7 y 7/3; 5/8 y 8/5 etc

ver también

Fundación Wikimedia. 2010 .

Vea qué es "Número inverso" en otros diccionarios:

Un número cuyo producto por un número dado es igual a uno. Dos de estos números se llaman recíprocos. Tales son, por ejemplo, 5 y 1/5, 2/3 y 3/2, etc... Gran diccionario enciclopédico

número recíproco- - [AS Goldberg. Diccionario de energía inglés ruso. 2006] Temas energía en general EN número inverso número recíproco … Manual del traductor técnico

Un número cuyo producto por un número dado es igual a uno. Dos de estos números se llaman recíprocos. Estos son, por ejemplo, 5 y 1/5, 2/3 y 3/2, etc. * * * NÚMERO INVERSO NÚMERO INVERSO, un número cuyo producto por un número dado es ... diccionario enciclopédico

Un número cuyo producto con un número dado es igual a uno. Dos de estos números se llaman recíprocos. Tales son, por ejemplo, 5 y a, no igual a cero, hay un inverso ... Gran enciclopedia soviética

El número, el producto de k y un número dado es igual a uno. Dos de esos números se llaman mutuamente inversa. Tales son, por ejemplo, 5 y 1/5. 2/3 y 3/2 etc... Ciencias Naturales. diccionario enciclopédico

Este término tiene otros significados, véase Número (significados). El número es el concepto básico de las matemáticas utilizado para las características cuantitativas, la comparación y la numeración de objetos. Habiendo surgido en la sociedad primitiva de las necesidades ... ... Wikipedia

Ver también: Número (lingüística) El número es una abstracción utilizada para cuantificar objetos. Habiendo surgido en la sociedad primitiva a partir de las necesidades de contar, el concepto de número cambió y se enriqueció y se convirtió en el concepto matemático más importante ... Wikipedia

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Damos una definición y damos ejemplos de números recíprocos. Considere cómo encontrar el recíproco de un número natural y el recíproco de una fracción ordinaria. Además, escribimos y probamos una desigualdad que refleja la propiedad de la suma de números recíprocos.

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Números recíprocos. Definición

Definición. Números recíprocos

Los números recíprocos son aquellos cuyo producto da uno.

Si a · b = 1, entonces podemos decir que el número a es el recíproco del número b, así como el número b es el recíproco del número a.

El ejemplo más simple de números recíprocos es dos unos. De hecho, 1 1 = 1, por lo que a = 1 yb = 1 son números mutuamente inversos. Otro ejemplo son los números 3 y 1 3 , -2 3 y -3 2 , 6 13 y 13 6 , log 3 17 y log 17 3 . El producto de cualquier par de los números anteriores es igual a uno. Si no se cumple esta condición, como por ejemplo con los números 2 y 2 3 , entonces los números no son mutuamente inversos.

La definición de números recíprocos es válida para cualquier número: natural, entero, real y complejo.

Cómo encontrar el recíproco de un número dado

Consideremos el caso general. Si el número original es igual a a , entonces su número recíproco se escribirá como 1 a o a - 1 . De hecho, a · 1 a = a · a - 1 = 1 .

Para números naturales y fracciones comunes, encontrar el recíproco es bastante fácil. Incluso se podría decir que es obvio. En el caso de encontrar un número que sea el inverso de un número irracional o complejo, habrá que realizar una serie de cálculos.

Considere los casos más comunes en la práctica de encontrar el recíproco.

El recíproco de una fracción común

Obviamente, el recíproco de la fracción común a b es la fracción b a . Entonces para encontrar fracción inversa número, la fracción solo necesita ser volteada. Es decir, intercambia el numerador y el denominador.

De acuerdo con esta regla, puedes escribir el recíproco de cualquier fracción ordinaria casi de inmediato. Entonces, para la fracción 28 57, el recíproco será la fracción 57 28, y para la fracción 789 256, el número 256 789.

El recíproco de un número natural.

Puedes encontrar el recíproco de cualquier número natural de la misma manera que el recíproco de una fracción. Basta con representar un número natural a como una fracción ordinaria a 1 . Entonces su recíproco será 1 a . Para número natural 3 tiene un recíproco de 1 3 , para 666 el recíproco es 1 666 , y así sucesivamente.

Se debe prestar especial atención a la unidad, ya que es singular, cuyo recíproco es igual a sí mismo.

No hay otros pares de números recíprocos donde ambos componentes sean iguales.

El recíproco de un número mixto

El número mixto es de la forma a b c . Para encontrar su recíproco, necesitas numero mixto presente una fracción impropia en el lado, y elija el recíproco para la fracción resultante.

Por ejemplo, busquemos el recíproco de 7 2 5 . Primero, representemos 7 2 5 como una fracción impropia: 7 2 5 = 7 5 + 2 5 = 37 5 .

Para la fracción impropia 37 5 el recíproco es 5 37 .

El recíproco de un decimal

Una fracción decimal también se puede representar como una fracción común. Encontrar el recíproco de una fracción decimal de un número se reduce a representar la fracción decimal como una fracción común y encontrar su recíproco.

Por ejemplo, hay una fracción 5, 128. Encontremos su recíproco. Primero, convertimos el decimal a una fracción común: 5, 128 = 5 128 1000 = 5 32 250 = 5 16 125 = 641 125. Para la fracción resultante, el recíproco será la fracción 125641.

Consideremos un ejemplo más.

Ejemplo. Encontrar el recíproco de un decimal

Encuentra el recíproco de la fracción decimal periódica 2 , (18) .

Convertir decimal a ordinario:

2, 18 = 2 + 18 10 - 2 + 18 10 - 4 + . . . = 2 + 18 10 - 2 1 - 10 - 2 = 2 + 18 99 = 2 + 2 11 = 24 11

Después de la traducción, podemos escribir fácilmente el recíproco de la fracción 24 11. Este número obviamente será 11 24 .

Para una fracción decimal infinita y no periódica, el recíproco se escribe como una fracción con una unidad en el numerador y la propia fracción en el denominador. Por ejemplo, para la fracción infinita 3, 6025635789. . . el recíproco será 1 3 , 6025635789 . . . .

Del mismo modo para Numeros irracionales correspondiente a no periódica fracciones infinitas, los recíprocos se escriben como expresiones fraccionarias.

Por ejemplo, el recíproco de π + 3 3 80 es 80 π + 3 3 , y el recíproco de 8 + e 2 + e es 1 8 + e 2 + e.

Números recíprocos con raíces

Si la forma de dos números es diferente de a y 1 a , entonces no siempre es fácil determinar si los números son mutuamente inversos. Esto es especialmente cierto para los números que tienen un signo de raíz en su notación, ya que por lo general se acostumbra eliminar la raíz en el denominador.

Pasemos a la práctica.

Respondamos a la pregunta: ¿los números 4 - 2 3 y 1 + 3 2 son recíprocos?

Para saber si los números son mutuamente inversos, calculamos su producto.

4 - 2 3 1 + 3 2 = 4 - 2 3 + 2 3 - 3 = 1

El producto es igual a uno, lo que significa que los números son mutuamente inversos.

Consideremos un ejemplo más.

Ejemplo. Números recíprocos con raíces

Escribe el recíproco de 5 3 + 1 .

Inmediatamente puedes escribir que el recíproco es igual a la fracción 1 5 3 + 1. Sin embargo, como ya hemos dicho, es costumbre deshacerse de la raíz en el denominador. Para hacer esto, multiplica el numerador y el denominador por 25 3 - 5 3 + 1 . Obtenemos:

1 5 3 + 1 = 25 3 - 5 3 + 1 5 3 + 1 25 3 - 5 3 + 1 = 25 3 - 5 3 + 1 5 3 3 + 1 3 = 25 3 - 5 3 + 1 6

Números recíprocos con potencias

Supongamos que hay un número igual a alguna potencia del número a. En otras palabras, el número a elevado a la potencia n. El recíproco de a n es a - n . Vamos a ver. De hecho: a n a - n = a n 1 1 a n = 1 .

Ejemplo. Números recíprocos con potencias

Encuentra el recíproco de 5 - 3 + 4 .

De acuerdo con lo anterior, el número buscado es 5 - - 3 + 4 = 5 3 - 4

Recíprocos con logaritmos

Para el logaritmo del número a en base b, el recíproco es el número igual al logaritmo del número b en base a.

log a b y log b a son números mutuamente recíprocos.

Vamos a ver. De las propiedades del logaritmo se deduce que log a b = 1 log b a , lo que significa log a b · log b a .

Ejemplo. Recíprocos con logaritmos

Encuentra el recíproco de log 3 5 - 2 3 .

El recíproco del logaritmo de 3 en base 3 5 - 2 es el logaritmo de 3 5 - 2 en base 3.

El recíproco de un número complejo

Como se señaló anteriormente, la definición de números recíprocos es válida no solo para los números reales, sino también para los complejos.

Por lo general, los números complejos se representan en forma algebraica z = x + i y. El recíproco de esto será una fracción.

1 x + yo y . Por conveniencia, esta expresión se puede acortar multiplicando el numerador y el denominador por x - i y .

Ejemplo. El recíproco de un número complejo

Sea un número complejo z = 4 + i . Vamos a encontrar el recíproco de la misma.

El recíproco de z = 4 + i será igual a 1 4 + i .

Multiplique el numerador y el denominador por 4 - i y obtenga:

1 4 + i \u003d 4 - i 4 + i 4 - i \u003d 4 - i 4 2 - i 2 \u003d 4 - i 16 - (- 1) \u003d 4 - i 17.

Además de su forma algebraica, un número complejo se puede representar en forma trigonométrica o exponencial de la siguiente manera:

z = r cos φ + i sen φ

z = r mi yo φ

En consecuencia, el número recíproco se verá así:

1 r cos (- φ) + i sen (- φ)

Asegurémonos de esto:

r cos φ + i sen φ 1 r cos (- φ) + i sen (- φ) = r r cos 2 φ + sen 2 φ = 1 r mi yo φ 1 r mi yo (- φ) = r r mi 0 = 1

Considere ejemplos con la representación de números complejos en forma trigonométrica y exponencial.

Encuentra el inverso de 2 3 cos π 6 + i · sen π 6 .

Considerando que r = 2 3 , φ = π 6 , escribimos el número recíproco

3 2 cos - π 6 + yo pecado - π 6

Ejemplo. Encuentra el recíproco de un número complejo

¿Cuál es el inverso de 2 · e i · - 2 π 5 .

Respuesta: 1 2 e i 2 π 5

La suma de números recíprocos. Desigualdad

Hay un teorema sobre la suma de dos números recíprocos.

Suma de números mutuamente recíprocos

La suma de dos números positivos y recíprocos siempre es mayor o igual a 2.

Presentamos la demostración del teorema. Como es sabido, para cualquier números positivos a y b la media aritmética es mayor o igual que la media geométrica. Esto se puede escribir como una desigualdad:

un + segundo 2 ≥ un segundo

Si en lugar del número b tomamos el inverso de a , la desigualdad toma la forma:

un + 1 un 2 ≥ un 1 un un + 1 un ≥ 2

QED

vamos a traer ejemplo practico que ilustra esta propiedad.

Ejemplo. Encuentra la suma de números recíprocos

Calculemos la suma de los números 2 3 y su recíproco.

2 3 + 3 2 = 4 + 9 6 = 13 6 = 2 1 6

Como dice el teorema, el número resultante es mayor que dos.

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