Los conceptos de seno, coseno, tangente y cotangente son las categorías principales de la trigonometría, una rama de las matemáticas, y están íntimamente relacionados con la definición de un ángulo. La posesión de esta ciencia matemática requiere la memorización y comprensión de fórmulas y teoremas, así como un pensamiento espacial desarrollado. Es por eso que los cálculos trigonométricos a menudo causan dificultades a escolares y estudiantes. Para superarlos, debes familiarizarte más con las funciones y fórmulas trigonométricas.
Conceptos en trigonometría
Para comprender los conceptos básicos de trigonometría, primero debe decidir qué son un triángulo rectángulo y un ángulo en un círculo, y por qué todos los cálculos trigonométricos básicos están asociados con ellos. Un triángulo en el que uno de los ángulos es de 90 grados es un triángulo rectángulo. Históricamente, esta figura fue utilizada a menudo por personas en arquitectura, navegación, arte, astronomía. En consecuencia, al estudiar y analizar las propiedades de esta figura, las personas llegaron al cálculo de las proporciones correspondientes de sus parámetros.
Las principales categorías asociadas con los triángulos rectángulos son la hipotenusa y los catetos. La hipotenusa es el lado de un triángulo opuesto al ángulo recto. Las piernas, respectivamente, son los otros dos lados. La suma de los ángulos de cualquier triángulo es siempre 180 grados.
La trigonometría esférica es una sección de trigonometría que no se estudia en la escuela, pero en ciencias aplicadas como la astronomía y la geodesia, los científicos la usan. Una característica de un triángulo en trigonometría esférica es que siempre tiene una suma de ángulos mayor a 180 grados.
Ángulos de un triángulo
En un triángulo rectángulo, el seno de un ángulo es la relación entre el cateto opuesto al ángulo buscado y la hipotenusa del triángulo. En consecuencia, el coseno es la razón del cateto adyacente y la hipotenusa. Ambos valores siempre tienen un valor menos que uno, ya que la hipotenusa siempre es más larga que el cateto.
La tangente de un ángulo es un valor igual a la relación del cateto opuesto al cateto adyacente del ángulo deseado, o seno a coseno. La cotangente, a su vez, es la relación entre el cateto adyacente del ángulo deseado y el cacteto opuesto. La cotangente de un ángulo también se puede obtener dividiendo la unidad por el valor de la tangente.
circulo unitario
Un círculo unitario en geometría es un círculo cuyo radio es igual a uno. Dicho círculo se construye en el sistema de coordenadas cartesianas, con el centro del círculo coincidiendo con el punto de origen, y la posición inicial del radio vector está determinada por la dirección positiva del eje X (eje de abscisas). Cada punto del círculo tiene dos coordenadas: XX e YY, es decir, las coordenadas de la abscisa y la ordenada. Seleccionando cualquier punto del círculo en el plano XX, y soltando la perpendicular de este al eje de abscisas, obtenemos un triángulo rectángulo formado por un radio al punto seleccionado (lo denotaremos con la letra C), una perpendicular dibujada a el eje X (el punto de intersección se denota con la letra G), y un segmento el eje de abscisas entre el origen (el punto se denota con la letra A) y el punto de intersección G. El triángulo resultante ACG es un triángulo rectángulo inscrito en un círculo, donde AG es la hipotenusa y AC y GC son los catetos. El ángulo entre el radio del círculo AC y el segmento del eje de abscisas con la designación AG, lo definimos como α (alfa). Entonces, cos α = AG/AC. Dado que AC es el radio del círculo unitario, y es igual a uno, resulta que cos α=AG. De manera similar, sen α=CG.
Además, conociendo estos datos, puede determinar la coordenada del punto C en el círculo, ya que cos α \u003d AG y sin α \u003d CG, lo que significa que el punto C tiene coordenadas dadas(cos α; sen α). Sabiendo que la tangente es igual a la relación entre el seno y el coseno, podemos determinar que tg α \u003d y / x, y ctg α \u003d x / y. Considerando los ángulos en un sistema de coordenadas negativo, se puede calcular que los valores de seno y coseno de algunos ángulos pueden ser negativos.
Cálculos y fórmulas básicas
Valores de funciones trigonométricas
Habiendo considerado la esencia de las funciones trigonométricas a través del círculo unitario, podemos derivar los valores de estas funciones para algunos ángulos. Los valores se enumeran en la siguiente tabla.
Las identidades trigonométricas más simples.
Las ecuaciones en las que está presente un valor desconocido bajo el signo de la función trigonométrica se llaman trigonométricas. Identidades con el valor sin x = α, k es cualquier número entero:
- sen x = 0, x = πk.
- 2. sen x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
- sin x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
- sen x = a, |a| > 1, sin soluciones.
- sen x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsen α + πk.
Identidades con el valor cos x = a, donde k es cualquier número entero:
- porque x = 0, x = π/2 + πk.
- porque x = 1, x = 2πk.
- cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
- porque x = a, |a| > 1, sin soluciones.
- porque x = a, |a| ≦ 1, х = ±arcos α + 2πk.
Identidades con el valor tg x = a, donde k es cualquier número entero:
- tg x = 0, x = π/2 + πk.
- tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk.
Identidades con valor ctg x = a, donde k es cualquier número entero:
- ctg x = 0, x = π/2 + πk.
- ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.
Fórmulas de reparto
Esta categoría de fórmulas constantes denota métodos mediante los cuales puede pasar de funciones trigonométricas de la forma a funciones del argumento, es decir, convertir el seno, el coseno, la tangente y la cotangente de un ángulo de cualquier valor a los indicadores correspondientes del ángulo de el intervalo de 0 a 90 grados para mayor comodidad de los cálculos.
Las fórmulas para reducir funciones para el seno de un ángulo se ven así:
- sin(900 - α) = α;
- sin(900 + α) = cos α;
- sen(1800 - α) = sen α;
- sin(1800 + α) = -sin α;
- sin(2700 - α) = -cos α;
- sin(2700 + α) = -cos α;
- sin(3600 - α) = -sin α;
- sen(3600 + α) = sen α.
Para el coseno de un ángulo:
- cos(900 - α) = sen α;
- cos(900 + α) = -sen α;
- cos(1800 - α) = -cos α;
- cos(1800 + α) = -cos α;
- cos(2700 - α) = -sen α;
- cos(2700 + α) = sen α;
- cos(3600 - α) = cos α;
- cos(3600 + α) = cos α.
El uso de las fórmulas anteriores es posible sujeto a dos reglas. Primero, si el ángulo se puede representar como un valor (π/2 ± a) o (3π/2 ± a), el valor de la función cambia:
- del pecado al cos;
- de cos a sin;
- de tg a ctg;
- de ctg a tg.
El valor de la función permanece sin cambios si el ángulo se puede representar como (π ± a) o (2π ± a).
En segundo lugar, el signo de la función reducida no cambia: si inicialmente era positivo, lo sigue siendo. Lo mismo es cierto para las funciones negativas.
fórmulas de adición
Estas fórmulas expresan los valores del seno, coseno, tangente y cotangente de la suma y diferencia de dos ángulos de rotación en términos de sus funciones trigonométricas. Los ángulos generalmente se denotan como α y β.
Las fórmulas se ven así:
- sen(α ± β) = sen α * cos β ± cos α * sen.
- cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sen α * sen.
- tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
- ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).
Estas fórmulas son válidas para cualquier ángulo α y β.
Fórmulas de doble y triple ángulo
Fórmulas trigonométricas para doble y ángulo triple son fórmulas que relacionan las funciones de los ángulos 2α y 3α, respectivamente, con las funciones trigonométricas del ángulo α. Derivado de fórmulas de adición:
- sen2α = 2sinα*cosα.
- cos2α = 1 - 2sen^2α.
- tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α).
- sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
- cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
- tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).
Transición de suma a producto
Considerando que 2senx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), simplificando esta fórmula, obtenemos la identidad sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. De manera similar, sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + senα = √2sen(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).
Transición del producto a la suma
Estas fórmulas se derivan de las identidades para la transición de la suma al producto:
- sinα * sinβ = 1/2*;
- cosα * cosβ = 1/2*;
- senα * cosβ = 1/2*.
Fórmulas de reducción
En estas identidades, el cuadrado y grado cúbico el seno y el coseno se pueden expresar en términos del seno y el coseno de la primera potencia de un ángulo múltiple:
- sen^2α = (1 - cos2α)/2;
- cos^2α = (1 + cos2α)/2;
- sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
- cos^3α = (3 * cosα + cos3α)/4;
- sen^4α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
- cos^4α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.
sustitución universal
Las fórmulas trigonométricas universales de sustitución expresan funciones trigonométricas en términos de la tangente de un medio ángulo.
- sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), mientras que x \u003d π + 2πn;
- cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), donde x = π + 2πn;
- tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), donde x \u003d π + 2πn;
- ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), mientras que x \u003d π + 2πn.
Casos especiales
A continuación se dan casos particulares de las ecuaciones trigonométricas más simples (k es cualquier número entero).
Privado para seno:
| valor de sen x | valor x |
|---|---|
| 0 | paquete |
| 1 | π/2 + 2πk |
| -1 | -π/2 + 2πk |
| 1/2 | π/6 + 2πk o 5π/6 + 2πk |
| -1/2 | -π/6 + 2πk o -5π/6 + 2πk |
| √2/2 | π/4 + 2πk o 3π/4 + 2πk |
| -√2/2 | -π/4 + 2πk o -3π/4 + 2πk |
| √3/2 | π/3 + 2πk o 2π/3 + 2πk |
| -√3/2 | -π/3 + 2πk o -2π/3 + 2πk |
Cocientes de coseno:
| porque x valor | valor x |
|---|---|
| 0 | π/2 + 2πk |
| 1 | 2πk |
| -1 | 2 + 2πk |
| 1/2 | ±π/3 + 2πk |
| -1/2 | ±2π/3 + 2πk |
| √2/2 | ±π/4 + 2πk |
| -√2/2 | ±3π/4 + 2πk |
| √3/2 | ±π/6 + 2πk |
| -√3/2 | ±5π/6 + 2πk |
Privado por tangente:
| tg x valor | valor x |
|---|---|
| 0 | paquete |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3/3 | π/6 + πk |
| -√3/3 | -π/6 + πk |
| √3 | π/3 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
Cocientes cotangentes:
| ctg x valor | valor x |
|---|---|
| 0 | π/2 + πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3 | π/6 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
| √3/3 | π/3 + πk |
| -√3/3 | -π/3 + πk |
teoremas
teorema del seno
Hay dos versiones del teorema: simple y extendida. Teorema del seno simple: a/sen α = b/sen β = c/sen γ. En este caso, a, b, c son los lados del triángulo y α, β, γ son los ángulos opuestos, respectivamente.
Teorema del seno extendido para un triángulo arbitrario: a/sen α = b/sen β = c/sen γ = 2R. En esta identidad, R denota el radio del círculo en el que está inscrito el triángulo dado.
teorema del coseno
La identidad se muestra de esta manera: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. En la fórmula, a, b, c son los lados del triángulo y α es el ángulo opuesto al lado a.
Teorema de la tangente
La fórmula expresa la relación entre las tangentes de dos ángulos y la longitud de los lados opuestos a ellos. Los lados están etiquetados como a, b, c, y los ángulos opuestos correspondientes son α, β, γ. La fórmula del teorema de la tangente: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).
teorema de la cotangente
Asocia el radio de un círculo inscrito en un triángulo con la longitud de sus lados. Si a, b, c son los lados de un triángulo, y A, B, C, respectivamente, son sus ángulos opuestos, r es el radio de la circunferencia inscrita y p es el semiperímetro del triángulo, las siguientes identidades mantener:
- ctg A/2 = (p-a)/r;
- ctg B/2 = (p-b)/r;
- ctg C/2 = (p-c)/r.
Aplicaciones
La trigonometría no es sólo una ciencia teórica relacionada con fórmulas matemáticas. Sus propiedades, teoremas y reglas son utilizados en la práctica por diversas industrias. actividad humana- astronomía, aeronáutica y navegacion maritima, teoría musical, geodesia, química, acústica, óptica, electrónica, arquitectura, economía, ingeniería mecánica, trabajos de medición, infografía, cartografía, oceanografía y muchos otros.
Seno, coseno, tangente y cotangente son los conceptos básicos de la trigonometría, con los que puedes expresar matemáticamente la relación entre los ángulos y las longitudes de los lados de un triángulo, y encontrar las cantidades deseadas mediante identidades, teoremas y reglas.
La razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa se llama seno ángulo agudo triángulo rectángulo.
\sen \alpha = \frac(a)(c)
Coseno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo
La razón del cateto más cercano a la hipotenusa se llama coseno de un ángulo agudo triángulo rectángulo.
\cos \alpha = \frac(b)(c)
Tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo
La razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente se llama tangente de ángulo agudo triángulo rectángulo.
tg \alpha = \frac(a)(b)
Cotangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo
La razón entre el cateto adyacente y el cateto opuesto se llama cotangente de un angulo agudo triángulo rectángulo.
ctg \alpha = \frac(b)(a)
Seno de un ángulo arbitrario
La ordenada del punto del círculo unitario al que corresponde el ángulo \alpha se llama seno de un ángulo arbitrario rotación \alpha .
\sin \alpha=y
Coseno de un ángulo arbitrario
La abscisa de un punto del círculo unitario al que corresponde el ángulo \alpha se llama coseno de un ángulo arbitrario rotación \alpha .
\cos \alpha=x
Tangente de un ángulo arbitrario
La relación entre el seno de un ángulo de rotación \alpha arbitrario y su coseno se llama tangente de un ángulo arbitrario rotación \alpha .
tg \alfa = y_(A)
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
Cotangente de un ángulo arbitrario
La relación entre el coseno de un ángulo de rotación \alpha arbitrario y su seno se llama cotangente de un ángulo arbitrario rotación \alpha .
ctg \alfa =x_(A)
ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
Un ejemplo de encontrar un ángulo arbitrario
Si \alpha es un ángulo AOM , donde M es un punto en el círculo unitario, entonces
\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).
Por ejemplo, si \ángulo AOM = -\frac(\pi)(4), entonces: la ordenada del punto M es -\frac(\raíz cuadrada(2))(2), la abscisa es \frac(\sqrt(2))(2) y es por eso
\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);
\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);
tg;
ctg \izquierda (-\frac(\pi)(4) \derecha)=-1.
Tabla de valores de senos de cosenos de tangentes de cotangentes
Los valores de los principales ángulos que se encuentran con frecuencia se dan en la tabla:
| 0^(\circ) (0) | 30^(\circ)\left(\frac(\pi)(6)\right) | 45^(\circ)\left(\frac(\pi)(4)\right) | 60^(\circ)\left(\frac(\pi)(3)\right) | 90^(\circ)\left(\frac(\pi)(2)\right) | 180^(\circ)\izquierda(\pi\derecha) | 270^(\circ)\left(\frac(3\pi)(2)\right) | 360^(\circ)\left(2\pi\right) | |
| \pecado\alfa | 0 | \frac12 | \frac(\raíz cuadrada 2)(2) | \frac(\raíz cuadrada 3)(2) | 1 | 0 | −1 | 0 |
| \ cos \ alfa | 1 | \frac(\raíz cuadrada 3)(2) | \frac(\raíz cuadrada 2)(2) | \frac12 | 0 | −1 | 0 | 1 |
| tg \ alfa | 0 | \frac(\raíz cuadrada 3)(3) | 1 | \sqrt3 | — | 0 | — | 0 |
| ctg \ alfa | — | \sqrt3 | 1 | \frac(\raíz cuadrada 3)(3) | 0 | — | 0 | — |
La trigonometría es una rama de las matemáticas que estudia las funciones trigonométricas y su uso en geometría. El desarrollo de la trigonometría comenzó en el momento antigua Grecia. Durante la Edad Media, científicos de Medio Oriente e India hicieron una importante contribución al desarrollo de esta ciencia.
Este artículo está dedicado a los conceptos básicos y definiciones de trigonometría. Trata las definiciones de las principales funciones trigonométricas: seno, coseno, tangente y cotangente. Se explica e ilustra su significado en el contexto de la geometría.
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Inicialmente, las definiciones de las funciones trigonométricas, cuyo argumento es un ángulo, se expresaban a través de la razón de los lados de un triángulo rectángulo.
Definiciones de funciones trigonométricas
El seno de un ángulo (sen α) es la relación entre el cateto opuesto a este ángulo y la hipotenusa.
El coseno del ángulo (cos α) es la relación entre el cateto adyacente y la hipotenusa.
La tangente del ángulo (t g α) es la relación del cateto opuesto al adyacente.
La cotangente del ángulo (c t g α) es la razón del cateto adyacente al opuesto.
¡Estas definiciones se dan para un ángulo agudo de un triángulo rectángulo!
Demos una ilustración.
En el triángulo ABC de ángulo recto C, el seno del ángulo A es igual a la razón del cateto BC a la hipotenusa AB.
Las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente permiten calcular los valores de estas funciones a partir de las longitudes conocidas de los lados de un triángulo.
Importante recordar!
El rango de valores de seno y coseno: de -1 a 1. En otras palabras, el seno y el coseno toman valores de -1 a 1. El rango de valores de tangente y cotangente es toda la recta numérica, es decir, estos Las funciones pueden tomar cualquier valor.
Las definiciones dadas anteriormente se refieren a ángulos agudos. En trigonometría, se introduce el concepto de ángulo de rotación, cuyo valor, a diferencia de un ángulo agudo, no está limitado por marcos de grados 0 a 90. El ángulo de rotación en grados o radianes se expresa por cualquier número real de - ∞ a + ∞.
En este contexto, se puede definir el seno, el coseno, la tangente y la cotangente de un ángulo de magnitud arbitraria. Imagine un círculo unitario centrado en el origen del sistema de coordenadas cartesianas.
El punto inicial A con coordenadas (1, 0) gira alrededor del centro del círculo unitario un cierto ángulo α y va al punto A 1 . La definición viene dada por las coordenadas del punto A 1 (x, y).
Seno (sin) del ángulo de rotación
El seno del ángulo de rotación α es la ordenada del punto A 1 (x, y). seno = y
Coseno (cos) del ángulo de rotación
El coseno del ángulo de rotación α es la abscisa del punto A 1 (x, y). porque α = x
Tangente (tg) del ángulo de rotación
La tangente del ángulo de rotación α es la relación entre la ordenada del punto A 1 (x, y) y su abscisa. t gramo α = y x
Cotangente (ctg) del ángulo de rotación
La cotangente del ángulo de rotación α es la razón de la abscisa del punto A 1 (x, y) a su ordenada. c t gramo α = x y
El seno y el coseno se definen para cualquier ángulo de rotación. Esto es lógico, porque la abscisa y la ordenada del punto después de la rotación se pueden determinar en cualquier ángulo. La situación es diferente con tangente y cotangente. La tangente no está definida cuando el punto después de la rotación va al punto con abscisas cero (0 , 1) y (0 , - 1). En tales casos, la expresión de la tangente t g α = y x simplemente no tiene sentido, ya que contiene la división por cero. La situación es similar con la cotangente. La diferencia es que la cotangente no está definida en los casos en que la ordenada del punto se anula.
Importante recordar!
El seno y el coseno están definidos para cualquier ángulo α.
La tangente está definida para todos los ángulos excepto α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z)
La cotangente está definida para todos los ángulos excepto α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)
Al decidir ejemplos prácticos no digas "seno del ángulo de rotación α". Las palabras "ángulo de rotación" simplemente se omiten, lo que implica que por el contexto ya está claro lo que está en juego.
Números
¿Qué pasa con la definición de seno, coseno, tangente y cotangente de un número, y no el ángulo de rotación?
Seno, coseno, tangente, cotangente de un número
Seno, coseno, tangente y cotangente de un número t se llama un número que es respectivamente igual al seno, coseno, tangente y cotangente en t radián.
Por ejemplo, el seno de 10 π igual al senoángulo de rotación de 10 π rad.
Hay otro enfoque para la definición del seno, coseno, tangente y cotangente de un número. Considerémoslo con más detalle.
Cualquier número real t un punto en el círculo unitario se pone en correspondencia con el centro en el origen del sistema de coordenadas cartesianas rectangulares. Seno, coseno, tangente y cotangente se definen en términos de las coordenadas de este punto.
El punto inicial del círculo es el punto A con coordenadas (1, 0).
numero positivo t
Numero negativo t corresponde al punto al que se moverá el punto de partida si se mueve en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del círculo y pasa por la trayectoria t .
Ahora que se ha establecido la conexión entre el número y el punto en el círculo, procedemos a la definición de seno, coseno, tangente y cotangente.
Seno (sin) del número t
seno de un numero t- ordenada del punto del círculo unitario correspondiente al número t. sen t = y
Coseno (cos) de t
coseno de un numero t- abscisa del punto del círculo unitario correspondiente al número t. porque t = x
Tangente (tg) de t
Tangente de un número t- la razón de la ordenada a la abscisa del punto del círculo unitario correspondiente al número t. t g t = y x = sen t cos t
Las últimas definiciones son consistentes y no contradicen la definición dada al comienzo de esta sección. Punto en un círculo correspondiente a un número t, coincide con el punto al que pasa el punto de partida después de girar el ángulo t radián.
Funciones trigonométricas de argumento angular y numérico
Cada valor del ángulo α corresponde a un cierto valor del seno y coseno de este ángulo. Al igual que todos los ángulos α distintos de α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) corresponde a un cierto valor de la tangente. La cotangente, como se mencionó anteriormente, está definida para todo α, excepto para α = 180 ° k , k ∈ Z (α = π k , k ∈ Z).
Podemos decir que sen α , cos α , t g α , c t g α son funciones del ángulo alfa, o funciones del argumento angular.
De manera similar, se puede hablar de seno, coseno, tangente y cotangente como funciones de un argumento numérico. cada número real t corresponde a un valor específico del seno o coseno de un número t. Todos los números que no sean π 2 + π · k , k ∈ Z, corresponden al valor de la tangente. La cotangente se define de manera similar para todos los números excepto π · k , k ∈ Z.
Funciones básicas de la trigonometría
Seno, coseno, tangente y cotangente son las funciones trigonométricas básicas.
Por lo general, está claro por el contexto con qué argumento de la función trigonométrica (argumento angular o argumento numérico) estamos tratando.
Volvamos a los datos al principio de las definiciones y el ángulo alfa, que se encuentra en el rango de 0 a 90 grados. Las definiciones trigonométricas de seno, coseno, tangente y cotangente concuerdan plenamente con las definiciones geométricas dadas por las razones de los lados de un triángulo rectángulo. Mostrémoslo.
Tome un círculo unitario centrado en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares. Giremos el punto inicial A (1, 0) en un ángulo de hasta 90 grados y dibujemos desde el punto resultante A 1 (x, y) perpendicular al eje x. En el triángulo rectángulo resultante, el ángulo A 1 O H es igual al ángulo de rotación α, la longitud del cateto O H es igual a la abscisa del punto A 1 (x, y) . La longitud del cateto opuesto a la esquina es igual a la ordenada del punto A 1 (x, y), y la longitud de la hipotenusa es igual a uno, ya que es el radio del círculo unitario.
De acuerdo con la definición de la geometría, el seno del ángulo α es igual a la relación entre el cateto opuesto y la hipotenusa.
sin α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y
Esto significa que la definición del seno de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo a través de la relación de aspecto es equivalente a la definición del seno del ángulo de rotación α, con alfa en el rango de 0 a 90 grados.
De manera similar, se puede mostrar la correspondencia de definiciones para coseno, tangente y cotangente.
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Inicialmente, el seno y el coseno surgieron debido a la necesidad de calcular cantidades en triángulos rectángulos. Se notó que si el valor de la medida en grados de los ángulos en un triángulo rectángulo no cambia, entonces la relación de aspecto, sin importar cuánto cambien estos lados en longitud, siempre permanece igual.
Así se introdujeron los conceptos de seno y coseno. El seno de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo es la razón del cateto opuesto a la hipotenusa, y el coseno es la razón del cateto adyacente a la hipotenusa.
Teoremas de cosenos y senos
Pero los cosenos y senos se pueden usar no solo en triángulos rectángulos. Para encontrar el valor de un ángulo obtuso o agudo, el lado de cualquier triángulo, basta con aplicar el teorema del coseno y el seno.
El teorema del coseno es bastante simple: "El cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo entre ellos".
Hay dos interpretaciones del teorema del seno: pequeña y extendida. Según la pequeña: "En un triángulo, los ángulos son proporcionales a los lados opuestos". Este teorema a menudo se extiende debido a la propiedad del círculo circunscrito a un triángulo: "En un triángulo, los ángulos son proporcionales a los lados opuestos, y su relación es igual al diámetro del círculo circunscrito".
Derivados
Una derivada es una herramienta matemática que muestra qué tan rápido cambia una función con respecto a un cambio en su argumento. Los derivados se utilizan en geometría y en varias disciplinas técnicas.
Al resolver problemas, debe conocer los valores tabulares de las derivadas de las funciones trigonométricas: seno y coseno. La derivada del seno es el coseno, y la derivada del coseno es el seno, pero con signo menos.
Aplicación en matemáticas
Con especial frecuencia, los senos y los cosenos se usan para resolver triángulos rectángulos y problemas relacionados con ellos.
La conveniencia de senos y cosenos también se refleja en la tecnología. Los ángulos y los lados eran fáciles de evaluar usando los teoremas del coseno y el seno, rompiendo formas y objetos complejos en triángulos "simples". Los ingenieros y, a menudo lidiando con cálculos de relaciones de aspecto y medidas de grado, dedicaron mucho tiempo y esfuerzo a calcular cosenos y senos de ángulos que no son de mesa.
Entonces llegaron al rescate las tablas de Bradis, que contenían miles de valores de senos, cosenos, tangentes y cotangentes de diferentes ángulos. En la época soviética, algunos maestros obligaron a sus pupilos a memorizar las páginas de las tablas de Bradis.
Radian - el valor angular del arco, a lo largo de la longitud igual al radio o 57.295779513 ° grados.
Grado (en geometría) - 1/360 de un círculo o 1/90 de un ángulo recto.
π = 3,141592653589793238462… (valor aproximado de pi).
Tabla de cosenos para ángulos: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.
| Ángulo x (en grados) | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° | 180° | 210° | 225° | 240° | 270° | 300° | 315° | 330° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Ángulo x (en radianes) | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | 2 x π/3 | 3xπ/4 | 5xπ/6 | π | 7xπ/6 | 5xπ/4 | 4xπ/3 | 3xπ/2 | 5xπ/3 | 7xπ/4 | 11xπ/6 | 2xπ |
| porque x | 1 | √3/2 (0,8660) | √2/2 (0,7071) | 1/2 (0,5) | 0 | -1/2 (-0,5) | -√2/2 (-0,7071) | -√3/2 (-0,8660) | -1 | -√3/2 (-0,8660) | -√2/2 (-0,7071) | -1/2 (-0,5) | 0 | 1/2 (0,5) | √2/2 (0,7071) | √3/2 (0,8660) | 1 |
Los conceptos de seno (), coseno (), tangente (), cotangente () están indisolublemente ligados al concepto de ángulo. Para entender bien estos conceptos complejos, a primera vista (que provocan un estado de horror en muchos escolares), y asegurarnos de que “el diablo no da tanto miedo como lo pintan”, empecemos desde el principio y entendamos el concepto de ángulo.
El concepto de ángulo: radianes, grado
Miremos la imagen. El vector "giró" en relación con el punto en una cierta cantidad. Entonces la medida de esta rotación con respecto a la posición inicial será inyección.
¿Qué más necesitas saber sobre el concepto de ángulo? Bueno, ¡unidades de ángulo, por supuesto!
El ángulo, tanto en geometría como en trigonometría, se puede medir en grados y radianes.
El ángulo en (un grado) se llama ángulo central en el círculo, basado en un arco circular igual a la parte del círculo. Por lo tanto, todo el círculo consta de "piezas" de arcos circulares, o el ángulo descrito por el círculo es igual.
Es decir, la figura de arriba muestra un ángulo que es igual, es decir, este ángulo se basa en un arco circular del tamaño de la circunferencia.
Un ángulo en radianes se llama ángulo central en un círculo, basado en un arco circular, cuya longitud es igual al radio del círculo. Bueno, entendiste? Si no, entonces echemos un vistazo a la imagen.
Entonces, la figura muestra un ángulo igual a un radián, es decir, este ángulo se basa en un arco circular, cuya longitud es igual al radio del círculo (la longitud es igual a la longitud o radio igual a la longitud arcos). Por lo tanto, la longitud del arco se calcula mediante la fórmula:
Donde es el ángulo central en radianes.
Bien, sabiendo esto, ¿puedes responder cuántos radianes contiene un ángulo descrito por un círculo? Sí, para esto necesitas recordar la fórmula de la circunferencia de un círculo. Aqui esta ella:
Bueno, ahora vamos a correlacionar estas dos fórmulas y conseguir que el ángulo descrito por el círculo sea igual. Es decir, correlacionando el valor en grados y radianes, lo conseguimos. respectivamente, . Como puede ver, a diferencia de "grados", se omite la palabra "radian", ya que la unidad de medida suele ser clara en el contexto.
¿Cuántos radianes son? ¡Así es!
¿Entiendo? Luego sujetar hacia adelante:
¿Alguna dificultad? Entonces mira respuestas:
Triángulo rectángulo: seno, coseno, tangente, cotangente de un ángulo
Entonces, con el concepto del ángulo resuelto. Pero, ¿qué es el seno, coseno, tangente, cotangente de un ángulo? Averigüémoslo. Para esto, un triángulo rectángulo nos ayudará.
¿Cómo se llaman los lados de un triángulo rectángulo? Así es, la hipotenusa y los catetos: la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto (en nuestro ejemplo, este es el lado); las piernas son los dos lados restantes y (los adyacentes a ángulo recto), además, si consideramos los catetos en relación con el ángulo, entonces el cateto es el cateto adyacente y el cateto es el opuesto. Entonces, ahora respondamos la pregunta: ¿cuáles son el seno, el coseno, la tangente y la cotangente de un ángulo?
Seno de un ángulo es la razón del cateto opuesto (lejos) a la hipotenusa.
en nuestro triángulo.
Coseno de un ángulo- esta es la relación entre el cateto adyacente (cercano) y la hipotenusa.
en nuestro triángulo.
ángulo tangente- esta es la relación de la pierna opuesta (lejana) a la adyacente (cercana).
en nuestro triángulo.
Cotangente de un ángulo- esta es la relación de la pierna adyacente (cercana) a la opuesta (lejana).
en nuestro triángulo.
Estas definiciones son necesarias recordar! Para que sea más fácil recordar qué pierna dividir por qué, debe comprender claramente que en tangente y cotangente solo las piernas se sientan, y la hipotenusa aparece solo en seno y coseno. Y luego puedes llegar a una cadena de asociaciones. Por ejemplo, este:
coseno→toque→toque→adyacente;
Cotangente→toque→toque→adyacente.
Antes que nada, es necesario recordar que el seno, el coseno, la tangente y la cotangente como razones de los lados de un triángulo no dependen de las longitudes de estos lados (en un ángulo). ¿No creen? Entonces asegúrese mirando la imagen:
Considere, por ejemplo, el coseno de un ángulo. Por definición, a partir de un triángulo: , pero podemos calcular el coseno de un ángulo a partir de un triángulo: . Verás, las longitudes de los lados son diferentes, pero el valor del coseno de un ángulo es el mismo. Así, los valores de seno, coseno, tangente y cotangente dependen únicamente de la magnitud del ángulo.
Si comprende las definiciones, ¡adelante, corríjalas!
Para el triángulo que se muestra en la siguiente figura, encontramos.
Bueno, ¿lo conseguiste? Entonces pruébalo tú mismo: calcula lo mismo para la esquina.
Círculo unitario (trigonométrico)
Entendiendo los conceptos de grados y radianes, consideramos un círculo con un radio igual a. Tal círculo se llama soltero. Es muy útil en el estudio de la trigonometría. Por lo tanto, nos detenemos en él con un poco más de detalle.
Como puede ver, este círculo está construido en el sistema de coordenadas cartesianas. El radio del círculo es igual a uno, mientras que el centro del círculo se encuentra en el origen, la posición inicial del vector del radio se fija a lo largo de la dirección positiva del eje (en nuestro ejemplo, este es el radio).
Cada punto del círculo corresponde a dos números: la coordenada a lo largo del eje y la coordenada a lo largo del eje. ¿Cuáles son estos números de coordenadas? Y en general, ¿qué tienen que ver con el tema que nos ocupa? Para hacer esto, recuerda sobre el triángulo rectángulo considerado. En la figura de arriba, puedes ver dos triángulos rectángulos enteros. Considere un triángulo. Es rectangular porque es perpendicular al eje.
¿A qué es igual de un triángulo? Así es. Además, sabemos que es el radio del círculo unitario y, por lo tanto, . Sustituye este valor en nuestra fórmula del coseno. Esto es lo que sucede:
¿Y a qué es igual de un triángulo? Bueno, por supuesto, ! Sustituya el valor del radio en esta fórmula y obtenga:
Entonces, ¿puedes decirme cuáles son las coordenadas de un punto que pertenece al círculo? Bueno, ¿de ninguna manera? ¿Y si te das cuenta de eso y son solo números? ¿A qué coordenada corresponde? Bueno, por supuesto, la coordenada! ¿A qué coordenada corresponde? ¡Así es, coordina! Así, el punto.
¿Y qué entonces son iguales y? Así es, usemos las definiciones apropiadas de tangente y cotangente y obtengamos eso, a.
¿Qué pasa si el ángulo es mayor? Aquí, por ejemplo, como en esta imagen:
¿Qué ha cambiado en este ejemplo? Averigüémoslo. Para hacer esto, nuevamente recurrimos a un triángulo rectángulo. Considere un triángulo rectángulo: un ángulo (como adyacente a un ángulo). ¿Cuál es el valor del seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo? Así es, nos adherimos a las definiciones correspondientes de funciones trigonométricas:
Bueno, como puedes ver, el valor del seno del ángulo todavía corresponde a la coordenada; el valor del coseno del ángulo - la coordenada; y los valores de tangente y cotangente a las razones correspondientes. Por lo tanto, estas relaciones son aplicables a cualquier rotación del radio vector.
Ya se ha mencionado que la posición inicial del radio vector es a lo largo de la dirección positiva del eje. Hasta ahora, hemos rotado este vector en sentido contrario a las agujas del reloj, pero ¿qué sucede si lo rotamos en el sentido de las agujas del reloj? Nada extraordinario, resultará el mismo ángulo. una cierta cantidad, pero sólo será negativo. Por lo tanto, al girar el radio vector en sentido contrario a las agujas del reloj, obtenemos ángulos positivos, y al girar en el sentido de las agujas del reloj - negativo.
Entonces, sabemos que una revolución completa del radio vector alrededor del círculo es o. ¿Es posible rotar el radio vector por o por? ¡Bueno, por supuesto que puedes! En el primer caso, por tanto, el radio vector dará una vuelta completa y se detendrá en la posición o.
En el segundo caso, es decir, el radio vector dará tres vueltas completas y se detendrá en la posición o.
Por lo tanto, a partir de los ejemplos anteriores, podemos concluir que los ángulos que difieren en o (donde es cualquier número entero) corresponden a la misma posición del radio vector.
La siguiente figura muestra un ángulo. La misma imagen corresponde a la esquina, y así sucesivamente. Esta lista puede continuar indefinidamente. Todos estos ángulos se pueden escribir con la fórmula general o (donde es cualquier número entero)
Ahora, conociendo las definiciones de las funciones trigonométricas básicas y utilizando el círculo unitario, intenta responder a qué valores equivalen:
Aquí hay un círculo unitario para ayudarte:
¿Alguna dificultad? Entonces vamos a averiguarlo. Entonces sabemos que:
A partir de aquí, determinamos las coordenadas de los puntos correspondientes a ciertas medidas del ángulo. Bueno, empecemos por orden: la esquina en corresponde a un punto con coordenadas, por lo tanto:
No existe;
Además, siguiendo la misma lógica, descubrimos que las esquinas en corresponden a puntos con coordenadas, respectivamente. Sabiendo esto, es fácil determinar los valores de las funciones trigonométricas en los puntos correspondientes. Pruébelo usted mismo primero, luego verifique las respuestas.
Respuestas:
No existe
No existe
No existe
No existe
Así, podemos hacer la siguiente tabla:
No es necesario recordar todos estos valores. Basta recordar la correspondencia entre las coordenadas de los puntos en el círculo unitario y los valores de las funciones trigonométricas:
Pero los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos en y, dados en la siguiente tabla, debe ser recordado:
No tengas miedo, ahora te mostraremos uno de los ejemplos. memorización bastante simple de los valores correspondientes:
Para usar este método, es vital recordar los valores del seno para las tres medidas del ángulo (), así como el valor de la tangente del ángulo en. Conociendo estos valores, es bastante fácil restaurar toda la tabla: los valores del coseno se transfieren de acuerdo con las flechas, es decir:
Sabiendo esto, puede restaurar los valores para. El numerador " " coincidirá y el denominador " " coincidirá. Los valores de cotangente se transfieren de acuerdo con las flechas que se muestran en la figura. Si comprende esto y recuerda el diagrama con flechas, será suficiente recordar el valor completo de la tabla.
Coordenadas de un punto en un círculo
¿Es posible encontrar un punto (sus coordenadas) en un círculo, conociendo las coordenadas del centro del círculo, su radio y ángulo de rotación?
¡Bueno, por supuesto que puedes! vamos a sacar fórmula general para hallar las coordenadas de un punto.
Aquí, por ejemplo, tenemos un círculo de este tipo:
Se nos da que el punto es el centro del círculo. El radio del círculo es igual. Es necesario encontrar las coordenadas del punto obtenido al rotar el punto por grados.
Como se puede ver en la figura, la coordenada del punto corresponde a la longitud del segmento. La longitud del segmento corresponde a la coordenada del centro del círculo, es decir, es igual a. La longitud de un segmento se puede expresar usando la definición de coseno:
Entonces tenemos que para el punto la coordenada.
Por la misma lógica, encontramos el valor de la coordenada y para el punto. Por lo tanto,
así que en vista general las coordenadas de los puntos están determinadas por las fórmulas:
Coordenadas del centro del círculo,
radio del círculo,
Ángulo de giro del radio vector.
Como puede ver, para el círculo unitario que estamos considerando, estas fórmulas se reducen significativamente, ya que las coordenadas del centro son cero y el radio es igual a uno:
Bueno, probemos estas fórmulas para probar, ¿practicar encontrar puntos en un círculo?
1. Encuentra las coordenadas de un punto en un círculo unitario obtenido al girar un punto.
2. Encuentra las coordenadas de un punto en un círculo unitario obtenido al rotar un punto.
3. Encuentra las coordenadas de un punto en un círculo unitario obtenido al girar un punto.
4. Punto - el centro del círculo. El radio del círculo es igual. Es necesario encontrar las coordenadas del punto obtenido al rotar el radio vector inicial por.
5. Punto - el centro del círculo. El radio del círculo es igual. Es necesario encontrar las coordenadas del punto obtenido al rotar el radio vector inicial por.
¿Tiene problemas para encontrar las coordenadas de un punto en un círculo?
¡Resuelve estos cinco ejemplos (o entiende bien la solución) y aprenderás a encontrarlos!
1.
Puede observarse que. Pero sabemos lo que corresponde a una vuelta completa punto de partida. Así, el punto deseado estará en la misma posición que al girar. Sabiendo esto, encontramos las coordenadas deseadas del punto:
2. El círculo es una unidad con centro en un punto, lo que significa que podemos usar fórmulas simplificadas:
Puede observarse que. Sabemos lo que corresponde a dos rotaciones completas del punto de partida. Así, el punto deseado estará en la misma posición que al girar. Sabiendo esto, encontramos las coordenadas deseadas del punto:
El seno y el coseno son valores tabulares. Recordamos sus valores y obtenemos:
Así, el punto deseado tiene coordenadas.
3. El círculo es una unidad con centro en un punto, lo que significa que podemos usar fórmulas simplificadas:
Puede observarse que. Representemos el ejemplo considerado en la figura:
El radio forma ángulos con el eje igual a y. Sabiendo que los valores de la tabla del coseno y el seno son iguales, y habiendo determinado que el coseno aquí toma significado negativo, y el seno es positivo, tenemos:
Más ejemplos similares entender al estudiar fórmulas para reducir funciones trigonométricas en el tema.
Así, el punto deseado tiene coordenadas.
4.
Ángulo de rotación del radio vector (por condición)
Para determinar los signos correspondientes de seno y coseno, construimos un círculo unitario y un ángulo:
Como puede ver, el valor, es decir, es positivo, y el valor, es decir, es negativo. Conociendo los valores tabulares de las funciones trigonométricas correspondientes, obtenemos que:
Sustituyamos los valores obtenidos en nuestra fórmula y encontremos las coordenadas:
Así, el punto deseado tiene coordenadas.
5. Para resolver este problema, usamos fórmulas en forma general, donde
Las coordenadas del centro del círculo (en nuestro ejemplo,
Radio del círculo (por condición)
Ángulo de giro del radio vector (por condición).
Sustituye todos los valores en la fórmula y obtén:
y - valores de tabla. Los recordamos y los sustituimos en la fórmula:
Así, el punto deseado tiene coordenadas.
RESUMEN Y FÓRMULA BÁSICA
El seno de un ángulo es la razón del cateto opuesto (lejano) a la hipotenusa.
El coseno de un ángulo es la razón del cateto adyacente (cercano) a la hipotenusa.
La tangente de un ángulo es la relación entre el cateto opuesto (lejano) y el adyacente (cercano).
La cotangente de un ángulo es la razón del cateto adyacente (cercano) al opuesto (lejano).
