En esta lección, veremos dos operaciones más con vectores: producto vectorial de vectores y producto mixto de vectores (enlace inmediato para quien lo necesite). Está bien, a veces sucede que para la felicidad completa, además de producto escalar de vectores, cada vez se necesita más. Así es la adicción a los vectores. Uno puede tener la impresión de que nos estamos adentrando en la jungla de la geometría analítica. Esto no es verdad. En esta sección de matemáticas superiores, generalmente hay poca leña, excepto quizás la suficiente para Pinocho. De hecho, el material es muy común y simple, apenas más difícil que el mismo producto escalar, incluso habrá menos tareas típicas. Lo principal en geometría analítica, como muchos verán o ya han visto, es NO EQUIVOCARSE EN LOS CÁLCULOS. Repite como un hechizo, y serás feliz =)

Si los vectores brillan en algún lugar lejano, como un relámpago en el horizonte, no importa, comience con la lección. Vectores para tontos restaurar o readquirir conocimientos básicos sobre vectores. Los lectores más preparados pueden familiarizarse con la información de forma selectiva, traté de recopilar la colección más completa de ejemplos que a menudo se encuentran en el trabajo práctico.

¿Qué te hará feliz? Cuando era pequeño, podía hacer malabarismos con dos y hasta tres pelotas. Funcionó bien. Ahora no hay necesidad de hacer malabares en absoluto, ya que consideraremos Vectores de solo espacio, y se omitirán los vectores planos con dos coordenadas. ¿Por qué? Así nacieron estas acciones: el vector y el producto mixto de vectores se definen y funcionan en el espacio tridimensional. ¡Ya más fácil!

En esta operación, al igual que en el producto escalar, dos vectores. Que sean letras imperecederas.

La acción en sí denotado de la siguiente manera: . Hay otras opciones, pero estoy acostumbrado a designar el producto vectorial de vectores de esta manera, entre corchetes con una cruz.

Y inmediatamente pregunta: si en producto escalar de vectores dos vectores están involucrados, y aquí también se multiplican dos vectores, entonces cuál es la diferencia? Una clara diferencia, en primer lugar, en el RESULTADO:

El resultado del producto escalar de vectores es un NÚMERO:

El resultado del producto vectorial de vectores es un VECTOR: , es decir, multiplicamos los vectores y obtenemos de nuevo un vector. Club cerrado. En realidad, de ahí el nombre de la operación. En varias publicaciones educativas, las designaciones también pueden variar, usaré la letra .

Definición de producto cruz

Primero habrá una definición con una imagen, luego comentarios.

Definición: producto cruzado no colineal vectores , tomado en este orden, se llama VECTOR, largo que es numéricamente igual al área del paralelogramo, construida sobre estos vectores; vector ortogonal a los vectores, y está dirigido para que la base tenga una orientación correcta:

Analizamos la definición por huesos, ¡hay muchas cosas interesantes!

Así, podemos destacar los siguientes puntos significativos:

1) Vectores fuente, indicados por flechas rojas, por definición no colineal. Será apropiado considerar el caso de los vectores colineales un poco más adelante.

2) Vectores tomados en un orden estricto: – "a" se multiplica por "ser", no "ser" a "a". El resultado de la multiplicación de vectores es VECTOR , que se indica en azul. Si los vectores se multiplican en orden inverso, entonces obtenemos un vector de igual longitud y dirección opuesta (color carmesí). Es decir, la igualdad .

3) Ahora familiaricémonos con el significado geométrico del producto vectorial. ¡Este es un punto muy importante! La LONGITUD del vector azul (y, por lo tanto, del vector carmesí) es numéricamente igual al ÁREA del paralelogramo construido sobre los vectores. En la figura, este paralelogramo está sombreado en negro.

Nota : el dibujo es esquemático y, por supuesto, la longitud nominal del producto vectorial no es igual al área del paralelogramo.

Recordamos una de las fórmulas geométricas: el area de un paralelogramo es igual al producto de los lados adyacentes por el seno del angulo entre ellos. Por tanto, en base a lo anterior, es válida la fórmula para calcular la LONGITUD de un producto vectorial:

Recalco que en la fórmula estamos hablando de la LONGITUD del vector, y no del vector en sí. ¿Cuál es el significado práctico? Y el significado es tal que en problemas de geometría analítica, el área de un paralelogramo se suele hallar mediante el concepto de producto vectorial:

Obtenemos la segunda fórmula importante. La diagonal del paralelogramo (línea punteada roja) lo divide en dos triángulos iguales. Por lo tanto, el área de un triángulo construido sobre vectores (sombreado rojo) se puede encontrar mediante la fórmula:

4) Un hecho igualmente importante es que el vector es ortogonal a los vectores , es decir . Por supuesto, el vector de dirección opuesta (flecha carmesí) también es ortogonal a los vectores originales.

5) El vector está dirigido de manera que base Tiene derecho orientación. En una lección sobre transición a una nueva base He hablado en detalle sobre orientación del plano, y ahora descubriremos cuál es la orientación del espacio. Te explicaré en tus dedos. mano derecha. combinar mentalmente dedo índice con vectores y dedo medio con vectores Dedo anular y dedo meñique presione en su palma. Como resultado pulgar- el producto vectorial buscará. Esta es la base orientada a la derecha (está en la figura). Ahora intercambia los vectores ( dedos índice y medio) en algunos lugares, como resultado, el pulgar girará y el producto vectorial ya mirará hacia abajo. Esta es también una base orientada hacia la derecha. Quizás tenga una pregunta: ¿qué base tiene una orientación a la izquierda? "Asignar" los mismos dedos mano izquierda vectores, y obtenga la base izquierda y la orientación espacial izquierda (en este caso, el pulgar se ubicará en la dirección del vector inferior). Hablando en sentido figurado, estas bases “tuercen” u orientan el espacio en diferentes direcciones. Y este concepto no debe considerarse algo descabellado o abstracto; por ejemplo, el espejo más común cambia la orientación del espacio, y si "saca el objeto reflejado del espejo", en general no será posible combínalo con el “original”. Por cierto, acerca tres dedos al espejo y analiza el reflejo ;-)

... que bueno que ahora sabes de orientado a la derecha y a la izquierda bases, porque las declaraciones de algunos profesores sobre el cambio de orientación son pésimas =)

Producto vectorial de vectores colineales

La definición se ha elaborado en detalle, queda por averiguar qué sucede cuando los vectores son colineales. Si los vectores son colineales, entonces se pueden colocar en una línea recta y nuestro paralelogramo también se "pliega" en una línea recta. El área de tal, como dicen los matemáticos, degenerar paralelogramo es cero. Lo mismo se deduce de la fórmula: el seno de cero o 180 grados es igual a cero, lo que significa que el área es cero

Así, si , entonces y . Tenga en cuenta que el producto vectorial en sí mismo es igual al vector cero, pero en la práctica esto a menudo se pasa por alto y se escribe que también es igual a cero.

Un caso especial es el producto vectorial de un vector y sí mismo:

Utilizando el producto vectorial, puedes comprobar la colinealidad de vectores tridimensionales, y también analizaremos este problema, entre otros.

Para resolver ejemplos prácticos, puede ser necesario tabla trigonométrica para encontrar los valores de los senos de ella.

Bueno, encendamos un fuego:

Ejemplo 1

a) Calcular la longitud del producto vectorial de vectores si

b) Hallar el área de un paralelogramo construido sobre vectores si

Decisión: No, esto no es un error tipográfico, intencionalmente hice que los datos iniciales en los elementos de condición fueran iguales. ¡Porque el diseño de las soluciones será diferente!

a) Según la condición, se requiere encontrar largo vector (producto vectorial). Según la fórmula correspondiente:

Responder:

Como se preguntó sobre la longitud, en la respuesta indicamos la dimensión - unidades.

b) Según la condición, se requiere encontrar cuadrado paralelogramo construido sobre vectores. El área de este paralelogramo es numéricamente igual a la longitud del producto vectorial:

Responder:

Tenga en cuenta que en la respuesta sobre el producto vectorial no se habla en absoluto, se nos preguntó sobre área de la figura, respectivamente, la dimensión es unidades cuadradas.

Siempre miramos QUÉ se requiere encontrar por la condición y, en base a esto, formulamos claro responder. Puede parecer literalismo, pero hay suficientes literalistas entre los profesores, y la tarea con buenas posibilidades será devuelta para su revisión. Aunque no se trata de un detalle particularmente tenso, si la respuesta es incorrecta, se tiene la impresión de que la persona no comprende las cosas simples y/o no ha entendido la esencia de la tarea. Este momento debe mantenerse siempre bajo control, resolviendo cualquier problema en matemáticas superiores, y en otras materias también.

¿Adónde fue la gran letra "en"? En principio, también podría apegarse a la solución, pero para acortar la lista, no lo hice. Espero que todos entiendan eso y es la designación de lo mismo.

Un ejemplo popular para una solución de bricolaje:

Ejemplo 2

Encuentra el área de un triángulo construido sobre vectores si

La fórmula para encontrar el área de un triángulo a través del producto vectorial se proporciona en los comentarios a la definición. Solución y respuesta al final de la lección.

En la práctica, la tarea es realmente muy común, los triángulos generalmente se pueden torturar.

Para resolver otros problemas, necesitamos:

Propiedades del producto cruz de vectores

Ya hemos considerado algunas propiedades del producto vectorial, sin embargo, las incluiré en esta lista.

Para vectores arbitrarios y un número arbitrario, las siguientes propiedades son verdaderas:

1) En otras fuentes de información, este ítem no suele distinguirse en las propiedades, pero es muy importante en términos prácticos. Pues dejalo ser.

2) - la propiedad también se discute arriba, a veces se le llama anticonmutatividad. En otras palabras, el orden de los vectores importa.

3) - combinación o de asociación Leyes de productos vectoriales. Las constantes se sacan fácilmente de los límites del producto vectorial. En serio, ¿qué están haciendo allí?

4) - distribución o distribución Leyes de productos vectoriales. Tampoco hay problemas con la apertura de corchetes.

Como demostración, considere un breve ejemplo:

Ejemplo 3

encontrar si

Decisión: Por condición, nuevamente se requiere encontrar la longitud del producto vectorial. Pintemos nuestra miniatura:

(1) De acuerdo con las leyes asociativas, sacamos las constantes más allá de los límites del producto vectorial.

(2) Sacamos la constante del módulo, mientras que el módulo se “come” el signo menos. La longitud no puede ser negativa.

(3) Lo que sigue es claro.

Responder:

Es hora de echar leña al fuego:

Ejemplo 4

Calcular el área de un triángulo construido sobre vectores si

Decisión: Encuentra el área de un triángulo usando la fórmula . El inconveniente es que los vectores "ce" y "te" se representan como sumas de vectores. El algoritmo aquí es estándar y recuerda un poco a los ejemplos No. 3 y 4 de la lección. Producto escalar de vectores. Vamos a dividirlo en tres pasos para mayor claridad:

1) En el primer paso, expresamos el producto vectorial a través del producto vectorial, de hecho, expresar el vector en términos del vector. ¡Todavía no hay información sobre la duración!

(1) Sustituimos expresiones de vectores .

(2) Usando leyes distributivas, abre los paréntesis de acuerdo con la regla de la multiplicación de polinomios.

(3) Usando las leyes asociativas, sacamos todas las constantes más allá de los productos vectoriales. Con poca experiencia, las acciones 2 y 3 se pueden realizar simultáneamente.

(4) Los términos primero y último son iguales a cero (vector cero) debido a la propiedad agradable. En el segundo término, usamos la propiedad de anticonmutatividad del producto vectorial:

(5) Presentamos términos similares.

Como resultado, el vector resultó expresarse a través de un vector, que era lo que se requería lograr:

2) En el segundo paso, encontramos la longitud del producto vectorial que necesitamos. Esta acción es similar al Ejemplo 3:

3) Encuentra el área del triángulo deseado:

Los pasos 2 y 3 de la solución se pueden organizar en una línea.

Responder:

El problema considerado es bastante común en las pruebas, aquí hay un ejemplo para una solución independiente:

Ejemplo 5

encontrar si

Solución corta y respuesta al final de la lección. A ver qué tan atento estuviste al estudiar los ejemplos anteriores ;-)

Producto vectorial de vectores en coordenadas

La fórmula es realmente simple: escribimos los vectores de coordenadas en la línea superior del determinante, "empaquetamos" las coordenadas de los vectores en la segunda y tercera líneas, y ponemos en estricto orden- primero, las coordenadas del vector "ve", luego las coordenadas del vector "doble-ve". Si los vectores deben multiplicarse en un orden diferente, entonces las líneas también deben intercambiarse:

Ejemplo 10

Compruebe si los siguientes vectores espaciales son colineales:
un)
b)

Decisión: La prueba se basa en una de las afirmaciones de esta lección: si los vectores son colineales, entonces su producto vectorial es cero (vector cero): .

a) Hallar el producto vectorial:

Entonces los vectores no son colineales.

b) Encuentra el producto vectorial:

Responder: a) no colineal, b)

Aquí, quizás, está toda la información básica sobre el producto vectorial de vectores.

Esta sección no será muy grande, ya que hay pocos problemas donde se usa el producto mixto de vectores. De hecho, todo descansará sobre la definición, el significado geométrico y un par de fórmulas de trabajo.

El producto mixto de vectores es el producto de tres vectores:

Así se alinearon como un tren y esperaron, no pueden esperar hasta que se calculen.

Primero de nuevo la definición y la imagen:

Definición: Producto mixto no coplanar vectores , tomado en este orden, se llama volumen del paralelepípedo, construida sobre estos vectores, equipada con un signo "+" si la base es correcta y un signo "-" si la base es izquierda.

Hagamos el dibujo. Las líneas invisibles para nosotros se dibujan con una línea de puntos:

Vamos a sumergirnos en la definición:

2) Vectores tomados en cierto orden, es decir, la permutación de vectores en el producto, como se puede suponer, no deja de tener consecuencias.

3) Antes de comentar el significado geométrico, señalaré el hecho evidente: el producto mixto de vectores es un NUMERO: . En la literatura educativa, el diseño puede ser algo diferente, solía designar un producto mixto mediante, y el resultado de cálculos con la letra "pe".

un priorato el producto mixto es el volumen del paralelepípedo, construida sobre vectores (la figura está dibujada con vectores rojos y líneas negras). Es decir, el número es igual al volumen del paralelepípedo dado.

Nota : El dibujo es esquemático.

4) No nos molestemos de nuevo con el concepto de la orientación de la base y el espacio. El significado de la parte final es que se puede agregar un signo menos al volumen. En términos simples, el producto mixto puede ser negativo: .

La fórmula para calcular el volumen de un paralelepípedo construido sobre vectores se deriva directamente de la definición.

Primero, recordemos qué es un producto vectorial.

Observación 1

arte vectorial para $\vec(a)$ y $\vec(b)$ es $\vec(c)$, que es un tercer vector $\vec(c)= ||$, y este vector tiene propiedades especiales:

• El escalar del vector resultante es el producto de $|\vec(a)|$ y $|\vec(b)|$ por el seno del ángulo $\vec(c)= ||= |\vec(a )| \cdot |\vec(b)|\cdot \sin α \left(1\right)$;
• Todos los $\vec(a), \vec(b)$ y $\vec(c)$ forman un triple recto;
• El vector resultante es ortogonal a $\vec(a)$ y $\vec(b)$.

Si hay algunas coordenadas para los vectores ($\vec(a)=\(x_1; y_1; z_1\)$ y $\vec(b)= \(x_2; y_2; z_2\)$), entonces su producto vectorial en el sistema de coordenadas cartesianas se puede determinar mediante la fórmula:

$ = \(y_1 \cdot z_2 - y_2 \cdot z_1; z_1 \cdot x_2 - z_2 \cdot x_1; x_2 \cdot y_2 - x_2 \cdot y_1\)$

La forma más fácil de recordar esta fórmula es escribirla en forma de determinante:

$ = \begin(matriz) (|ccc|) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ \end(matriz)$.

Esta fórmula es muy conveniente de usar, pero para entender cómo usarla, primero debe familiarizarse con el tema de las matrices y sus determinantes.

área del paralelogramo, cuyos lados están definidos por dos vectores $\vec(a)$ y $vec(b)$ es igual a al escalar del producto vectorial de los dos vectores dados.

Esta relación es bastante fácil de obtener.

Recuerda la fórmula para encontrar el área de un paralelogramo ordinario, que se puede caracterizar por sus segmentos $a$ y $b$:

$S = a \cdot b \cdot \sin α$

En este caso, las longitudes de los lados son iguales a los valores escalares de los vectores $\vec(a)$ y $\vec(b)$, lo cual nos conviene bastante, es decir, el escalar de los El producto vectorial de estos vectores será el área de la figura considerada.

Ejemplo 1

Dados los vectores $\vec(c)$ con coordenadas $\(5;3; 7\)$ y un vector $\vec(g)$ con coordenadas $\(3; 7;10 \)$ en coordenadas cartesianas. Encuentra el área del paralelogramo formado por $\vec(c)$ y $\vec(g)$.

Decisión:

Encuentre el producto vectorial para estos vectores:

$ = \begin(matriz) (|ccc|) i & j & k \\ 5 & 3 & 7 \\ 3 & 7 & 10 \\ \end(matriz)= i \cdot \begin(matriz) (|cc |) 3 y 7 \\ 7 y 10 \\ \end(arreglo) - j \cdot \begin(arreglo) (|cc|) 5 y 7 \\ 3 y 10 \\ \end(arreglo) + k \cdot \begin(matriz) (|cc|) 5 & 3 \\ 3 & 7 \\ \end(matriz) = i \cdot (3 \cdot 10 - 49) - j \cdot (50 -21) + k \cdot (35-9) = -19i -29j + 26k=\(- 19; 29; 26\)$.

Ahora busquemos el valor modular para el segmento direccional resultante, es el valor del área del paralelogramo construido:

$S= \sqrt(|19|^2 + |29|^2 + |26|^2) = \sqrt(1878) ≈ 43,34$.

Esta línea de razonamiento es válida no solo para encontrar el área en un espacio tridimensional, sino también para uno bidimensional. Consulte la siguiente pregunta sobre este tema.

Ejemplo 2

Calcula el área de un paralelogramo si sus segmentos generadores están dados por los vectores $\vec(m)$ con coordenadas $\(2; 3\)$ y $\vec(d)$ con coordenadas $\(-5; 6\)$.

Decisión:

Este problema es un ejemplo particular del problema 1, resuelto anteriormente, pero ambos vectores se encuentran en el mismo plano, lo que significa que la tercera coordenada, $z$, se puede tomar como cero.

Resumiendo lo anterior, el área del paralelogramo será:

$S = \begin(matriz) (||cc||) 2 & 3\\ -5 & 6 \\ \end(matriz) = \sqrt(12 + 15) =3 \sqrt3$.

Ejemplo 3

Dados los vectores $\vec(a) = 3i – j + k; \vec(b)=5i$. Encuentra el área del paralelogramo que forman.

$[ \vec(a) \times \vec(b)] = (3i - j + k) \times 5i = 15 - 5 + $

Simplifiquemos según la tabla dada para vectores unitarios:

Figura 1. Descomposición de un vector en términos de una base. Author24 - intercambio en línea de trabajos de estudiantes

$[ \vec(a) \times \vec(b)] = 5 k + 5 j$.

Tiempo de cálculo:

$S = \sqrt(|-5|^2 + |5|^2) = 5\sqrt(2)$.

Los problemas anteriores eran sobre vectores cuyas coordenadas están dadas en el sistema de coordenadas cartesianas, pero considere también el caso si el ángulo entre los vectores base difiere de $90°$:

Ejemplo 4

El vector $\vec(d) = 2a + 3b$, $\vec(f)= a – 4b$, las longitudes de $\vec(a)$ y $\vec(b)$ son iguales entre sí y igual a uno, y el ángulo entre $\vec(a)$ y $\vec(b)$ es de 45°.

Decisión:

Calculemos el producto vectorial $\vec(d) \times \vec(f)$:

$[\vec(d) \times \vec(f) ]= (2a + 3b) \times (a - 4b) = 2 - 8 + 3 - 12 $.

Para productos vectoriales, según sus propiedades, se cumple lo siguiente: $$ y $$ son iguales a cero, $= - $.

Usemos esto para simplificar:

$[\vec(d) \times \vec(f) ]= -8 + 3 = -8 - 3 = -11$.

Ahora usemos la fórmula $(1)$ :

$[\vec(d) \times \vec(f) ] = |-11 | = 11 \cdot |a| \cdot |b| \cdot \sin α = 11 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac12=5.5$.

El área de un paralelogramo construido sobre vectores es igual al producto de las longitudes de estos vectores y el ángulo del ángulo que se encuentra entre ellos.

Es bueno cuando las longitudes de estos mismos vectores se dan de acuerdo con las condiciones. Sin embargo, también sucede que es posible aplicar la fórmula para el área de un paralelogramo basado en vectores solo después de los cálculos en coordenadas.
Si tiene suerte y las longitudes de los vectores se dan de acuerdo con las condiciones, solo necesita aplicar la fórmula, que ya hemos analizado en detalle en el artículo. El área será igual al producto de los módulos por el seno del ángulo entre ellos:

Considere un ejemplo de cálculo del área de un paralelogramo construido sobre vectores.

Tarea: El paralelogramo se construye sobre los vectores y . Encuentre el área si , y el ángulo entre ellos es de 30°.
Expresemos los vectores en términos de sus valores:

Quizás tenga una pregunta: ¿de dónde provienen los ceros? Vale la pena recordar que estamos trabajando con vectores, y para ellos . también tenga en cuenta que si obtenemos una expresión como resultado, se convertirá en. Ahora hagamos los cálculos finales:

Volvamos al problema cuando las longitudes de los vectores no están especificadas en las condiciones. Si su paralelogramo se encuentra en el sistema de coordenadas cartesianas, debe hacer lo siguiente.

Cálculo de las longitudes de los lados de una figura dada por coordenadas

Para empezar, encontramos las coordenadas de los vectores y restamos las correspondientes coordenadas iniciales de las coordenadas finales. Supongamos las coordenadas del vector a (x1;y1;z1) y el vector b (x3;y3;z3).
Ahora encontramos la longitud de cada vector. Para ello se debe elevar al cuadrado cada coordenada, luego sumar los resultados y extraer la raíz de un número finito. Según nuestros vectores, se realizarán los siguientes cálculos:


Ahora necesitamos encontrar el producto escalar de nuestros vectores. Para ello, se multiplican y suman sus respectivas coordenadas.

Dadas las longitudes de los vectores y su producto escalar, podemos encontrar el coseno del ángulo que se encuentra entre ellos .
Ahora podemos encontrar el seno del mismo ángulo:
Ahora tenemos todas las cantidades necesarias y podemos encontrar fácilmente el área de un paralelogramo construido sobre vectores usando la fórmula ya conocida.