Cual es el coseno de un angulo agudo. Seno, coseno, tangente y cotangente: todo lo que necesita saber en la OGE y la USE

Centrado en un punto UN.
α es un ángulo expresado en radianes.

Definición
Seno- Este Funcion trigonometrica, dependiendo del ángulo α entre la hipotenusa y el cateto de un triángulo rectángulo, igual a la razón de la longitud del cateto opuesto |BC| a la longitud de la hipotenusa |AC|.

Coseno (cos α) es una función trigonométrica que depende del ángulo α entre la hipotenusa y el cateto de un triángulo rectángulo, igual a la razón de la longitud del cateto adyacente |AB| a la longitud de la hipotenusa |AC|.

Designaciones aceptadas

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Gráfico de la función seno, y = sen x

Gráfico de la función coseno, y = cos x

Propiedades del seno y el coseno

Periodicidad

Funciones y= pecado x y y= porque x periódico con un punto 2 pi.

Paridad

La función seno es impar. La función coseno es par.

Dominio de definición y valores, extremos, aumento, disminución

Las funciones seno y coseno son continuas en su dominio de definición, es decir, para todo x (ver la prueba de continuidad). Sus principales propiedades se presentan en la tabla (n - entero).

Fórmulas básicas

Suma de seno y coseno al cuadrado

Fórmulas de seno y coseno para suma y diferencia

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Fórmulas para el producto de senos y cosenos

Fórmulas de suma y diferencia

Expresión de seno a través de coseno

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Expresión de coseno a través de seno

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Expresión en términos de tangente

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Para , tenemos:
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En :
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Tabla de senos y cosenos, tangentes y cotangentes

Esta tabla muestra los valores de senos y cosenos para algunos valores del argumento.

Expresiones a través de variables complejas

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fórmula de Euler

Expresiones en términos de funciones hiperbólicas

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Derivados

; . Derivación de fórmulas > > >

Derivadas de orden n:
{ -∞ < x < +∞ }

secante, cosecante

funciones inversas

Las funciones inversas al seno y al coseno son arcoseno y arcocoseno, respectivamente.

Arcoseno, arcoseno

arcocoseno, arccos

Referencias:
EN. Bronstein, K. A. Semendyaev, Manual de Matemáticas para Ingenieros y Estudiantes de Instituciones de Educación Superior, Lan, 2009.

Los profesores creen que todos los estudiantes deberían poder realizar cálculos, conocer fórmulas trigonométricas, pero no todos los profesores explican qué son el seno y el coseno. ¿Cuál es su significado, dónde se usan? ¿Por qué estamos hablando de triángulos, pero en el libro de texto se dibuja un círculo? Tratemos de conectar todos los hechos juntos.

Asignatura escolar

El estudio de la trigonometría generalmente comienza en los grados 7-8. escuela secundaria. En este momento, se les explica a los estudiantes qué son el seno y el coseno, se les ofrece resolver problemas geométricos usando estas funciones. Más aparecen más tarde fórmulas complejas y expresiones que necesitan ser convertidas de forma algebraica (fórmulas de ángulo doble y medio, funciones de potencia), el trabajo se realiza con un círculo trigonométrico.

Sin embargo, los profesores no siempre son capaces de explicar claramente el significado de los conceptos utilizados y la aplicabilidad de las fórmulas. Por lo tanto, el estudiante a menudo no ve el sentido de este tema, y ​​la información memorizada se olvida rápidamente. Sin embargo, vale la pena explicarle una vez a un estudiante de secundaria, por ejemplo, la relación entre la función y el movimiento oscilatorio, y la conexión lógica se recordará durante muchos años, y las bromas sobre la inutilidad del tema serán cosa del pasado. .

Uso

En aras de la curiosidad, echemos un vistazo a varias ramas de la física. ¿Quieres determinar el alcance de un proyectil? ¿O estás calculando la fuerza de fricción entre un objeto y una superficie determinada? ¿Hacer oscilar un péndulo, ver los rayos pasar a través del vidrio, calcular la inducción? Los conceptos trigonométricos aparecen en casi cualquier fórmula. Entonces, ¿qué son el seno y el coseno?

Definiciones

El seno de un ángulo es la razón del cateto opuesto a la hipotenusa, el coseno es la razón del cateto adyacente a la misma hipotenusa. No hay absolutamente nada complicado aquí. Quizás los estudiantes se suelen confundir con los valores que ven en la tabla trigonométrica, porque ahí aparecen raíces cuadradas. Sí, obtener fracciones decimales de ellos no es muy conveniente, pero ¿quién dijo que todos los números en matemáticas deberían ser pares?

De hecho, puedes encontrar una pista divertida en los libros de problemas de trigonometría: la mayoría de las respuestas aquí son pares y, en el peor de los casos, contienen la raíz de dos o tres. La conclusión es simple: si obtuvo una fracción de "varios pisos" en su respuesta, verifique dos veces la solución en busca de errores en los cálculos o el razonamiento. Y lo más probable es que los encuentres.

que recordar

Como en toda ciencia, en la trigonometría hay datos que hay que aprender.

Primero, debe recordar los valores numéricos para los senos, cosenos de un triángulo rectángulo 0 y 90, así como 30, 45 y 60 grados. Estos indicadores se encuentran en nueve de cada diez tareas escolares. Al mirar estos valores en el libro de texto, perderá mucho tiempo y no habrá ningún lugar para mirar el control o el examen.

Hay que recordar que el valor de ambas funciones no puede exceder de uno. Si en alguna parte del cálculo obtiene un valor fuera del rango 0-1, deténgase y resuelva el problema nuevamente.

La suma de los cuadrados del seno y el coseno es igual a uno. Si ya ha encontrado uno de los valores, use esta fórmula para encontrar el resto.

teoremas

Hay dos teoremas principales en trigonometría básica: senos y cosenos.

El primero dice que la razón de cada lado del triángulo al seno del ángulo opuesto es la misma. La segunda es que el cuadrado de cualquier lado se puede obtener sumando los cuadrados de los dos lados restantes y restando el doble de su producto, multiplicado por el coseno del ángulo que se encuentra entre ellos.

Por lo tanto, si sustituimos el valor del ángulo de 90 grados en el teorema del coseno, obtenemos... el teorema de Pitágoras. Ahora, si necesita calcular el área de una figura que no es un triángulo rectángulo, ya no puede preocuparse: los dos teoremas considerados simplificarán enormemente la solución del problema.

Metas y objetivos

El estudio de la trigonometría se simplificará enormemente cuando te des cuenta de un hecho simple: todas las acciones que realizas tienen como objetivo lograr un objetivo. Se puede encontrar cualquier parámetro de un triángulo si conoce el mínimo de información sobre él: puede ser el valor de un ángulo y la longitud de dos lados o, por ejemplo, tres lados.

Para determinar el seno, el coseno, la tangente de cualquier ángulo, estos datos son suficientes, con su ayuda, puede calcular fácilmente el área de la figura. Casi siempre, se requiere uno de los valores mencionados como respuesta, y puede encontrarlos usando las mismas fórmulas.

Inconsistencias en el estudio de la trigonometría

Una de las preguntas oscuras que los estudiantes prefieren evitar es descubrir la conexión entre diferentes conceptos en trigonometría. Parecería que los triángulos se usan para estudiar los senos y cosenos de los ángulos, pero por alguna razón los símbolos se encuentran a menudo en la figura con un círculo. Además, hay un gráfico similar a una onda completamente incomprensible llamado sinusoide, que no tiene ningún parecido externo ni con un círculo ni con triángulos.

Además, los ángulos se miden en grados o en radianes, y el número Pi, escrito simplemente como 3,14 (sin unidades), por alguna razón aparece en las fórmulas, correspondiente a 180 grados. ¿Cómo está todo conectado?

Unidades

¿Por qué pi es exactamente 3.14? ¿Recuerdas cuál es este valor? Este es el número de radios que caben en el arco de la mitad del círculo. Si el diámetro del círculo es de 2 centímetros, la circunferencia será de 3,14 * 2 o 6,28.

Segundo punto: es posible que haya notado la similitud entre las palabras "radian" y "radius". El hecho es que un radián es numéricamente igual al valor del ángulo trazado desde el centro del círculo a un arco con una longitud de un radio.

Ahora combinamos el conocimiento adquirido y entendemos por qué "Pi por la mitad" se escribe en la parte superior del eje de coordenadas en trigonometría, y "Pi" se escribe a la izquierda. Este es un valor angular medido en radianes, porque un semicírculo tiene 180 grados o 3,14 radianes. Y donde hay grados, hay senos y cosenos. El triángulo es fácil de dibujar desde punto deseado, posponiendo los segmentos al centro y en el eje de coordenadas.

Miremos hacia el futuro

La trigonometría, estudiada en la escuela, se ocupa de un sistema de coordenadas rectilíneas, donde, por extraño que parezca, una línea es una línea.

Pero hay más caminos difíciles trabajar con el espacio: la suma de los ángulos del triángulo aquí será más de 180 grados, y la línea recta en nuestra vista se verá como un arco real.

¡Pasemos de las palabras a los hechos! Toma una manzana. Haga tres cortes con un cuchillo para que cuando se vea desde arriba obtenga un triángulo. Saque el trozo de manzana resultante y observe las "costillas" donde termina la cáscara. No son rectos en absoluto. La fruta en tus manos puede llamarse condicionalmente redonda, y ahora imagina cuán complejas deben ser las fórmulas, con la ayuda de las cuales puedes encontrar el área de la pieza cortada. Pero algunos expertos resuelven estos problemas a diario.

Funciones trigonométricas en la vida real

¿Has notado que la ruta más corta para un avión desde el punto A hasta el punto B en la superficie de nuestro planeta tiene una forma de arco pronunciado? La razón es simple: la Tierra es esférica, lo que significa que no puedes calcular mucho usando triángulos; aquí tienes que usar fórmulas más complejas.

No se puede prescindir del seno/coseno de un ángulo agudo en cualquier asunto relacionado con el espacio. Curiosamente, aquí convergen una gran cantidad de factores: se requieren funciones trigonométricas al calcular el movimiento de los planetas en círculos, elipses y diversas trayectorias durante más de formas complejas; el proceso de lanzamiento de cohetes, satélites, transbordadores, desacoplamiento de vehículos de investigación; observar estrellas distantes y estudiar galaxias que los humanos no podrán alcanzar en un futuro previsible.

En general, el campo de actividad de una persona que posee trigonometría es muy amplio y, aparentemente, solo se expandirá con el tiempo.

Conclusión

Hoy aprendimos o, en todo caso, repetimos qué son el seno y el coseno. Estos son conceptos a los que no debe temer, solo quiere y comprenderá su significado. Recuerde que la trigonometría no es una meta, sino solo una herramienta que puede usarse para satisfacer necesidades reales. necesidades humanas: construye casas, garantiza la seguridad del tráfico, incluso explora las extensiones del universo.

De hecho, la ciencia en sí puede parecer aburrida, pero tan pronto como encuentre en ella una manera de lograr sus propios objetivos, la autorrealización, el proceso de aprendizaje se volverá interesante y su motivación personal aumentará.

Como tarea intente encontrar formas de aplicar funciones trigonométricas en un área de actividad que le interese personalmente. Sueñe, encienda su imaginación, y luego seguramente resultará que los nuevos conocimientos le serán útiles en el futuro. Y además, las matemáticas son útiles para desarrollo general pensando.

La trigonometría, como ciencia, se originó en el Antiguo Oriente. Los astrónomos desarrollaron las primeras proporciones trigonométricas para crear un calendario preciso y orientarse según las estrellas. Estos cálculos se relacionan con la trigonometría esférica, mientras que en el curso escolar estudian la razón de los lados y el ángulo de un triángulo plano.

La trigonometría es una rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades de las funciones trigonométricas y la relación entre los lados y los ángulos de los triángulos.

Durante el apogeo de la cultura y la ciencia en el primer milenio d. C., el conocimiento se extendió desde el Antiguo Oriente hasta Grecia. Pero los principales descubrimientos de la trigonometría son el mérito de los maridos. califato árabe. En particular, el científico turcomano al-Marazvi introdujo funciones como tangente y cotangente, compiló las primeras tablas de valores para senos, tangentes y cotangentes. El concepto de seno y coseno fue introducido por científicos indios. Se dedica mucha atención a la trigonometría en las obras de grandes figuras de la antigüedad como Euclides, Arquímedes y Eratóstenes.

Cantidades básicas de trigonometría

Las funciones trigonométricas básicas de un argumento numérico son seno, coseno, tangente y cotangente. Cada uno de ellos tiene su propia gráfica: seno, coseno, tangente y cotangente.

Las fórmulas para calcular los valores de estas cantidades se basan en el teorema de Pitágoras. Los escolares lo conocen mejor en la formulación: "pantalones pitagóricos, iguales en todas las direcciones", ya que la prueba se da en el ejemplo de un triángulo rectángulo isósceles.

El seno, el coseno y otras dependencias establecen una relación entre los ángulos agudos y los lados de cualquier triángulo rectángulo. Damos fórmulas para calcular estas cantidades para el ángulo A y trazamos la relación de las funciones trigonométricas:

Como puede ver, tg y ctg son funciones inversas. Si representamos el cateto a como el producto del seno A y la hipotenusa c, y el cateto b como cos A * c, entonces obtenemos las siguientes fórmulas para la tangente y la cotangente:

círculo trigonométrico

Gráficamente, la relación de las cantidades mencionadas se puede representar de la siguiente manera:

El círculo, en este caso, es todo valores posiblesángulo α — de 0° a 360°. Como puede ver en la figura, cada función toma un valor negativo o valor positivo dependiendo del ángulo. Por ejemplo, sen α estará con signo “+” si α pertenece a los cuartos I y II del círculo, es decir, está en el rango de 0° a 180°. Con α de 180° a 360° (III y IV cuartos), sen α solo puede ser un valor negativo.

Tratemos de construir tablas trigonométricas para ángulos específicos y descubramos el significado de las cantidades.

Los valores de α iguales a 30°, 45°, 60°, 90°, 180° y así sucesivamente se denominan casos especiales. Los valores de las funciones trigonométricas para ellos se calculan y presentan en forma de tablas especiales.

Estos ángulos no fueron elegidos por casualidad. La designación π en las tablas es para radianes. Rad es el ángulo en el que la longitud de un arco circular corresponde a su radio. Este valor se introdujo para establecer una relación universal, cuando se calcula en radianes, no importa la longitud real del radio en cm.

Los ángulos en las tablas de funciones trigonométricas corresponden a valores en radianes:

Entonces, no es difícil adivinar que 2π es un círculo completo o 360°.

Propiedades de las funciones trigonométricas: seno y coseno

Para considerar y comparar las propiedades básicas de seno y coseno, tangente y cotangente, es necesario dibujar sus funciones. Esto se puede hacer en forma de una curva ubicada en un sistema de coordenadas bidimensional.

Considere una tabla comparativa de propiedades para una onda sinusoidal y una onda coseno:

Determinar si una función es par o no es muy sencillo. Es suficiente imaginar un círculo trigonométrico con signos de cantidades trigonométricas y mentalmente "doblar" el gráfico en relación con el eje OX. Si los signos son iguales, la función es par; en caso contrario, es impar.

La introducción de radianes y la enumeración de las principales propiedades de la onda sinusoide y coseno nos permiten traer el siguiente patrón:

Es muy fácil verificar la exactitud de la fórmula. Por ejemplo, para x = π/2, el seno es igual a 1, al igual que el coseno de x = 0. La verificación se puede realizar mirando tablas o trazando curvas de función para valores dados.

Propiedades de la tangente y la cotangente

Los gráficos de las funciones tangente y cotangente difieren significativamente de la onda sinusoide y coseno. Los valores tg y ctg son inversos entre sí.

1. Y = tgx.
2. La tangente tiende a los valores de y en x = π/2 + πk, pero nunca los alcanza.
3. Menos período positivo tangenteide es igual a π.
4. Tg (- x) \u003d - tg x, es decir, la función es impar.
5. Tg x = 0, para x = πk.
6. La función es creciente.
7. Tg x › 0, para x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, para x ϵ (— π/2 + πk, πk).
9. Derivada (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x .

Considerar imagen grafica cotangentoides por debajo.

Las principales propiedades de la cotangentoide:

1. Y = ctgx.
2. A diferencia de las funciones seno y coseno, en la tangente Y puede tomar los valores del conjunto de todos los números reales.
3. La cotangentoide tiende a los valores de y en x = πk, pero nunca los alcanza.
4. El período positivo más pequeño de la cotangentoide es π.
5. Ctg (- x) \u003d - ctg x, es decir, la función es impar.
6. Ctg x = 0, para x = π/2 + πk.
7. La función es decreciente.
8. Ctg x › 0, para x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, para x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. Derivada (ctg x)' = - 1/sen 2 ⁡x Fix

Una de las secciones de matemáticas con las que los escolares se enfrentan mayores dificultades, es trigonometría. No es de extrañar: para dominar libremente esta área de conocimiento, necesita pensamiento espacial, la capacidad de encontrar senos, cosenos, tangentes, cotangentes usando fórmulas, simplificar expresiones y poder usar el número pi en los cálculos. Además, debe poder aplicar la trigonometría al probar teoremas, y esto requiere una memoria matemática desarrollada o la capacidad de deducir cadenas lógicas complejas.

Orígenes de la trigonometría

El conocimiento de esta ciencia debe comenzar con la definición del seno, el coseno y la tangente del ángulo, pero primero debe descubrir qué hace la trigonometría en general.

Históricamente, los triángulos rectángulos han sido el principal objeto de estudio en esta sección de la ciencia matemática. La presencia de un ángulo de 90 grados permite realizar varias operaciones que permiten determinar los valores de todos los parámetros de la figura considerada utilizando dos lados y un ángulo o dos ángulos y un lado. En el pasado, las personas notaron este patrón y comenzaron a usarlo activamente en la construcción de edificios, navegación, astronomía e incluso arte.

Primera etapa

Inicialmente, la gente hablaba de la relación de los ángulos y los lados exclusivamente en el ejemplo de los triángulos rectángulos. Luego se descubrieron fórmulas especiales que hicieron posible expandir los límites de uso en La vida cotidiana esta rama de las matemáticas.

El estudio de la trigonometría en la escuela de hoy comienza con triángulos rectángulos, después de lo cual los estudiantes de física utilizan los conocimientos adquiridos y resuelven ecuaciones trigonométricas abstractas, cuyo trabajo comienza en la escuela secundaria.

trigonometría esférica

Más tarde, cuando la ciencia alcanzó el siguiente nivel de desarrollo, las fórmulas con seno, coseno, tangente, cotangente comenzaron a usarse en geometría esférica, donde se aplican otras reglas, y la suma de los ángulos en un triángulo siempre es mayor a 180 grados. Este apartado no se estudia en la escuela, pero es necesario conocer su existencia, al menos porque superficie de la Tierra, y la superficie de cualquier otro planeta es convexa, lo que significa que cualquier marca de la superficie estará en espacio tridimensional"arqueado".

Tome el globo y el hilo. Conecte el hilo a cualquiera de los dos puntos del globo para que quede tenso. Presta atención: ha adquirido la forma de un arco. Es con tales formas que trata la geometría esférica, que se usa en geodesia, astronomía y otros campos teóricos y aplicados.

Triángulo rectángulo

Habiendo aprendido un poco sobre las formas de usar la trigonometría, volvamos a la trigonometría básica para comprender mejor qué son el seno, el coseno y la tangente, qué cálculos se pueden realizar con su ayuda y qué fórmulas usar.

El primer paso es comprender los conceptos relacionados con un triángulo rectángulo. Primero, la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo de 90 grados. Ella es la más larga. Recordemos que, según el teorema de Pitágoras, su valor numérico es igual a la raíz de la suma de los cuadrados de los otros dos lados.

Por ejemplo, si dos lados miden 3 y 4 centímetros respectivamente, la longitud de la hipotenusa será de 5 centímetros. Por cierto, los antiguos egipcios lo sabían hace unos cuatro mil quinientos años.

Los dos lados restantes que forman un ángulo recto se llaman catetos. Además, debemos recordar que la suma de los ángulos de un triángulo en un sistema de coordenadas rectangulares es 180 grados.

Definición

Finalmente, con una sólida comprensión de la base geométrica, podemos pasar a la definición de seno, coseno y tangente de un ángulo.

El seno del ángulo es la razón del cateto opuesto (es decir, el lado opuesto ángulo deseado) a la hipotenusa. El coseno de un ángulo es la razón del cateto adyacente a la hipotenusa.

¡Recuerda que ni el seno ni el coseno pueden ser mayores que uno! ¿Por qué? Debido a que la hipotenusa es por defecto la más larga, no importa cuán largo sea el cateto, será más corto que la hipotenusa, lo que significa que su relación siempre será menos que uno. Así, si obtienes un seno o coseno con un valor mayor a 1 en la respuesta al problema, busca un error en los cálculos o en el razonamiento. Esta respuesta es claramente incorrecta.

Finalmente, la tangente de un ángulo es la razón del lado opuesto al lado adyacente. El mismo resultado dará la división del seno por el coseno. Mira: de acuerdo con la fórmula, dividimos la longitud del lado por la hipotenusa, luego dividimos por la longitud del segundo lado y multiplicamos por la hipotenusa. Así, obtenemos la misma razón que en la definición de tangente.

La cotangente, respectivamente, es la relación entre el lado adyacente a la esquina y el lado opuesto. Obtenemos el mismo resultado dividiendo la unidad por la tangente.

Entonces, hemos considerado las definiciones de lo que son seno, coseno, tangente y cotangente, y podemos tratar con fórmulas.

Las fórmulas más simples

En trigonometría, uno no puede prescindir de fórmulas: ¿cómo encontrar seno, coseno, tangente, cotangente sin ellos? Y esto es exactamente lo que se requiere al resolver problemas.

La primera fórmula que debes saber al comenzar a estudiar trigonometría dice que la suma de los cuadrados del seno y el coseno de un ángulo es igual a uno. Esta fórmula es una consecuencia directa del teorema de Pitágoras, pero ahorra tiempo si quieres saber el valor del ángulo, no del lado.

Muchos estudiantes no recuerdan la segunda fórmula, que también es muy popular para resolver problemas escolares: la suma de uno y el cuadrado de la tangente de un ángulo es igual a uno dividido por el cuadrado del coseno del ángulo. Mire más de cerca: después de todo, esta es la misma declaración que en la primera fórmula, solo que ambos lados de la identidad se dividieron por el cuadrado del coseno. Resulta que una simple operación matemática hace que la fórmula trigonométrica sea completamente irreconocible. Recuerde: sabiendo qué son el seno, el coseno, la tangente y la cotangente, las reglas de conversión y algunas fórmulas básicas, puede en cualquier momento derivar independientemente las fórmulas más complejas requeridas en una hoja de papel.

Fórmulas de doble ángulo y adición de argumentos

Dos fórmulas más que debes aprender están relacionadas con los valores del seno y el coseno para la suma y la diferencia de los ángulos. Se muestran en la siguiente figura. Tenga en cuenta que en el primer caso, el seno y el coseno se multiplican ambas veces, y en el segundo, se suma el producto por pares del seno y el coseno.

También hay fórmulas asociadas con argumentos en la forma ángulo doble. Se derivan completamente de los anteriores: como práctica, intente obtenerlos usted mismo, tomando el ángulo alfa igual al ángulo beta.

Finalmente, tenga en cuenta que las fórmulas de doble ángulo se pueden convertir para reducir el grado de seno, coseno, tangente alfa.

teoremas

Los dos teoremas principales en trigonometría básica son el teorema del seno y el teorema del coseno. Con la ayuda de estos teoremas, puede comprender fácilmente cómo encontrar el seno, el coseno y la tangente y, por lo tanto, el área de la figura y el tamaño de cada lado, etc.

El teorema del seno establece que como resultado de dividir la longitud de cada uno de los lados del triángulo por el valor del ángulo opuesto, obtenemos el mismo numero. Además, este número será igual a dos radios del círculo circunscrito, es decir, el círculo que contiene todos los puntos del triángulo dado.

El teorema del coseno generaliza el teorema de Pitágoras, proyectándolo sobre cualquier triángulo. Resulta que de la suma de los cuadrados de los dos lados, reste su producto, multiplicado por el doble coseno del ángulo adyacente a ellos; el valor resultante será igual al cuadrado del tercer lado. Así, el teorema de Pitágoras resulta ser un caso especial del teorema del coseno.

Errores por falta de atención

Incluso sabiendo qué es el seno, el coseno y la tangente, es fácil equivocarse por descuido o error en los cálculos más simples. Para evitar tales errores, conozcamos a los más populares.

En primer lugar, no debe convertir fracciones ordinarias a decimales hasta obtener el resultado final; puede dejar la respuesta en el formulario fracción común a menos que la condición establezca lo contrario. Tal transformación no puede llamarse un error, pero debe recordarse que en cada etapa de la tarea pueden aparecer nuevas raíces que, según la idea del autor, deben reducirse. En este caso, perderá tiempo en operaciones matemáticas innecesarias. Esto es especialmente cierto para valores como la raíz de tres o dos, porque ocurren en tareas en cada paso. Lo mismo se aplica al redondeo de números "feos".

Además, tenga en cuenta que el teorema del coseno se aplica a cualquier triángulo, ¡pero no al teorema de Pitágoras! Si por error te olvidas de restar el doble del producto de los lados multiplicado por el coseno del ángulo entre ellos, no solo obtendrás un resultado completamente erróneo, sino que también demostrarás una completa incomprensión del tema. Esto es peor que un error por descuido.

En tercer lugar, no confunda los valores para ángulos de 30 y 60 grados para senos, cosenos, tangentes, cotangentes. Recuerda estos valores, porque el seno de 30 grados es igual al coseno de 60, y viceversa. Es fácil confundirlos, por lo que inevitablemente obtendrá un resultado erróneo.

Solicitud

Muchos estudiantes no tienen prisa por comenzar a estudiar trigonometría porque no entienden su significado aplicado. ¿Qué es seno, coseno, tangente para un ingeniero o astrónomo? Son conceptos gracias a los cuales se puede calcular la distancia a estrellas lejanas, predecir la caída de un meteorito, enviar una sonda de investigación a otro planeta. Sin ellos, es imposible construir un edificio, diseñar un automóvil, calcular la carga en la superficie o la trayectoria de un objeto. ¡Y estos son solo los ejemplos más obvios! Después de todo, la trigonometría de una forma u otra se usa en todas partes, desde la música hasta la medicina.

Por fin

Entonces eres seno, coseno, tangente. Puede usarlos en cálculos y resolver con éxito problemas escolares.

Toda la esencia de la trigonometría se reduce al hecho de que los parámetros desconocidos deben calcularse a partir de los parámetros conocidos del triángulo. Hay seis parámetros en total: longitudes tres lados y las dimensiones de los tres ángulos. Toda la diferencia en las tareas radica en el hecho de que se dan diferentes datos de entrada.

Cómo encontrar el seno, el coseno, la tangente en función de las longitudes conocidas de los catetos o la hipotenusa, ya lo sabe. Dado que estos términos no significan más que una razón, y una razón es una fracción, el objetivo principal del problema trigonométrico es encontrar las raíces de una ecuación ordinaria o un sistema de ecuaciones. Y aquí te ayudarán las matemáticas escolares ordinarias.

Creo que te mereces más que eso. Aquí está mi clave para la trigonometría:

• Dibuja la cúpula, la pared y el techo.
• Las funciones trigonométricas no son más que porcentajes de estas tres formas.

Metáfora de seno y coseno: cúpula

En lugar de simplemente mirar los triángulos, imagínelos en acción encontrando algunos ejemplo particular de vida.

Imagina que estás en medio de una cúpula y quieres colgar una pantalla de proyector de películas. Apunta con el dedo al domo en un ángulo "x", y se debe colgar una pantalla de ese punto.

El ángulo al que apuntas determina:

• sine(x) = sin(x) = altura de la pantalla (punto de montaje del piso al domo)
• coseno(x) = cos(x) = distancia de usted a la pantalla (por piso)
• hipotenusa, la distancia desde ti hasta la parte superior de la pantalla, siempre la misma, igual al radio de la cúpula

¿Quieres que la pantalla sea lo más grande posible? Cuélgalo justo encima de ti.

¿Quieres que la pantalla cuelgue lo más lejos posible de ti? Cuélgalo recto perpendicular. La pantalla tendrá una altura cero en esta posición y se colgará tan atrás como usted lo solicite.

La altura y la distancia desde la pantalla son inversamente proporcionales: cuanto más cerca cuelgue la pantalla, mayor será su altura.

seno y coseno son porcentajes

Nadie en mis años de estudio, por desgracia, me explicó que las funciones trigonométricas seno y coseno no son más que porcentajes. Sus valores van de +100% a 0 a -100%, o de un máximo positivo a cero a un máximo negativo.

Digamos que pagué un impuesto de 14 rublos. No sabes cuánto es. Pero si dices que pagué el 95% de impuestos, entenderás que simplemente me desollaron como un pegajoso.

La altura absoluta no significa nada. Pero si el valor del seno es 0,95, entiendo que el televisor cuelga casi encima de la cúpula. Muy pronto alcanzará su altura máxima en el centro de la cúpula y luego comenzará a declinar nuevamente.

¿Cómo podemos calcular este porcentaje? Muy sencillo: divide la altura actual de la pantalla por el máximo posible (el radio de la cúpula, también llamado hipotenusa).

Es por eso se nos dice que “coseno = cateto opuesto / hipotenusa”. ¡Todo esto es para obtener un porcentaje! La mejor manera de definir el seno es "el porcentaje de la altura actual desde el máximo posible". (El seno se vuelve negativo si su ángulo apunta "bajo tierra". El coseno se vuelve negativo si el ángulo apunta al domo detrás de usted).

Simplifiquemos los cálculos asumiendo que estamos en el centro del círculo unitario (radio = 1). Podemos saltarnos la división y simplemente tomar el seno igual a la altura.

Cada círculo es esencialmente un solo círculo, ampliado o reducido para Talla correcta. Así que determine las relaciones en el círculo unitario y aplique los resultados a su tamaño de círculo particular.

Experimente: tome cualquier esquina y vea qué porcentaje de alto a ancho muestra:

La gráfica del crecimiento del valor del seno no es solo una línea recta. Los primeros 45 grados cubren el 70% de la altura, y los últimos 10 grados (de 80° a 90°) cubren solo el 2%.

Esto te lo dejará más claro: si vas en círculo, a 0° te elevas casi verticalmente, pero a medida que te acercas a la parte superior de la cúpula, la altura cambia cada vez menos.

Tangente y secante. Pared

Un día un vecino construyó un muro espalda con espalda a tu cúpula. Lloré tu vista desde la ventana y buen precio para reventa!

Pero, ¿es posible ganar de alguna manera en esta situación?

Por supuesto que sí. ¿Y si colgamos una pantalla de cine justo en la pared del vecino? Apuntas a la esquina (x) y obtienes:

• tan(x) = tan(x) = altura de la pantalla en la pared
• distancia de ti a la pared: 1 (este es el radio de tu cúpula, la pared no se mueve de ti, ¿verdad?)
• secante (x) = sec (x) = "longitud de la escalera" desde usted parado en el centro de la cúpula hasta la parte superior de la pantalla suspendida

Aclaremos un par de cosas sobre la tangente o altura de la pantalla.

• comienza en 0 y puede ir infinitamente alto. ¡Puede estirar la pantalla más y más alto en la pared para obtener un lienzo interminable para ver su película favorita! (Para uno tan grande, por supuesto, tendrás que gastar mucho dinero).
• ¡la tangente es solo una versión ampliada de seno! Y mientras el crecimiento del seno se ralentiza a medida que avanza hacia la parte superior de la cúpula, ¡la tangente continúa creciendo!

Sekansu también tiene algo de lo que presumir:

• la secante comienza en 1 (la escalera está en el piso, lejos de ti hacia la pared) y comienza a subir desde allí
• La secante siempre es más larga que la tangente. La escalera inclinada con la que cuelga su pantalla debe ser más larga que la pantalla misma, ¿verdad? (Para tamaños poco realistas, cuando la pantalla es tan larga y la escalera debe colocarse casi verticalmente, sus tamaños son casi iguales. Pero incluso así, la secante será un poco más larga).

Recuerda que los valores son por ciento. Si decide colgar la pantalla en un ángulo de 50 grados, tan(50)=1,19. Su pantalla es un 19 % más grande que la distancia a la pared (radio del domo).

(Ingrese x=0 y pruebe su intuición - tan(0) = 0 y sec(0) = 1.)

Cotangente y cosecante. Techo

Increíblemente, su vecino ahora ha decidido construir un techo sobre su cúpula. (¿Qué le pasa? Aparentemente no quiere que lo mires mientras camina desnudo por el patio...)

Bueno, es hora de construir una salida al techo y hablar con el vecino. Eliges el ángulo de inclinación y empiezas a construir:

• la distancia vertical entre la salida del techo y el piso es siempre 1 (radio de la cúpula)
• cotangente(x) = cot(x) = distancia entre la parte superior del domo y el punto de salida
• cosecant(x) = csc(x) = longitud de su camino al techo

La tangente y la secante describen la pared, mientras que la cotangente y la cosecante describen el piso.

Nuestras conclusiones intuitivas esta vez son similares a las anteriores:

• Si toma un ángulo de 0°, su salida al techo tardará una eternidad ya que nunca llegará al techo. Problema.
• La "escalera" más corta hacia el techo se obtendrá si la construye en un ángulo de 90 grados con respecto al piso. La cotangente será igual a 0 (no nos movemos a lo largo del techo, salimos estrictamente perpendiculares), y la cosecante será igual a 1 ("la longitud de la escalera" será mínima).

Visualizar conexiones

Si los tres casos se dibujan en una combinación cúpula-pared-piso, se obtendrá lo siguiente:

Bueno, guau, es todo el mismo triángulo, agrandado en tamaño para llegar a la pared y al techo. Tenemos lados verticales (seno, tangente), lados horizontales (coseno, cotangente) e “hipotenusas” (secante, cosecante). (Puede ver en las flechas qué tan lejos llega cada elemento. La cosecante es la distancia total desde usted hasta el techo).

Un poco de magia. Todos los triángulos comparten las mismas igualdades:

Del teorema de Pitágoras (a 2 + b 2 = c 2) vemos cómo están conectados los lados de cada triángulo. Además, las proporciones de alto a ancho también deben ser las mismas para todos los triángulos. (Solo retroceda del triángulo más grande al más pequeño. Sí, el tamaño ha cambiado, pero las proporciones de los lados seguirán siendo las mismas).

Sabiendo qué lado de cada triángulo es 1 (el radio de la cúpula), podemos calcular fácilmente que "sin/cos = tan/1".

Siempre he tratado de recordar estos hechos a través de una simple visualización. En la imagen, puede ver claramente estas dependencias y comprender de dónde provienen. Esta técnica es mucho mejor que memorizar fórmulas secas.

No olvides otros ángulos

Shh… No hay necesidad de obsesionarse con un gráfico, pensando que la tangente siempre es menor que 1. Si aumentas el ángulo, puedes llegar al techo sin llegar a la pared:

Las conexiones pitagóricas siempre funcionan, pero los tamaños relativos pueden ser diferentes.

(Probablemente hayas notado que la proporción de seno y coseno es siempre la más pequeña porque están encerrados dentro de una cúpula).

Para resumir: ¿qué necesitamos recordar?

Para la mayoría de nosotros, diría que esto será suficiente:

• la trigonometría explica la anatomía de objetos matemáticos como círculos e intervalos repetitivos
• la analogía cúpula/pared/techo muestra la relación entre diferentes funciones trigonométricas
• el resultado de las funciones trigonométricas son los porcentajes que aplicamos a nuestro escenario.

No necesita memorizar fórmulas como 1 2 + cot 2 = csc 2 . Son adecuados solo para pruebas estúpidas en las que el conocimiento de un hecho se presenta como comprensión. Tómese un minuto para dibujar un semicírculo en forma de cúpula, una pared y un techo, firme los elementos y todas las fórmulas se le pedirán en papel.

Aplicación: Funciones inversas

Cualquier función trigonométrica toma un ángulo como entrada y devuelve el resultado como un porcentaje. sen(30) = 0,5. Esto significa que un ángulo de 30 grados ocupa el 50% de la altura máxima.

La función trigonométrica inversa se escribe como sin -1 o arcsin ("arxina"). También se suele escribir asin en varios lenguajes de programación.

Si nuestra altura es el 25% de la altura de la cúpula, ¿cuál es nuestro ángulo?

En nuestra tabla de proporciones, puedes encontrar la razón donde la secante se divide por 1. Por ejemplo, la secante por 1 (la hipotenusa a la horizontal) será igual a 1 dividido por el coseno:

Digamos que nuestra secante es 3.5, es decir 350% del radio del círculo unitario. ¿A qué ángulo de inclinación con respecto a la pared corresponde este valor?

Apéndice: Algunos ejemplos

Tarea aburrida. Compliquemos el banal "encontrar el seno" a "¿Cuál es la altura como porcentaje del máximo (hipotenusa)?".

Primero, observe que el triángulo está girado. No hay nada malo en esto. El triángulo también tiene una altura, se muestra en verde en la figura.

¿A qué es igual la hipotenusa? Por el teorema de Pitágoras sabemos que:

3 2 + 4 2 = hipotenusa 2 25 = hipotenusa 2 5 = hipotenusa

¡Bien! El seno es el porcentaje de la altura desde el lado más largo del triángulo, o la hipotenusa. En nuestro ejemplo, el seno es 3/5 o 0,60.

Por supuesto, podemos ir de varias maneras. Ahora sabemos que el seno es 0.60 y simplemente podemos encontrar el arcoseno:

Asen(0.6)=36.9

Y aquí hay otro enfoque. Tenga en cuenta que el triángulo está "cara a cara con la pared", por lo que podemos usar la tangente en lugar del seno. La altura es 3, la distancia a la pared es 4, entonces la tangente es ¾ o 75%. Podemos usar el arco tangente para volver del porcentaje al ángulo:

bronceado = 3/4 = 0,75 bronceado(0,75) = 36,9 Ejemplo: ¿Nadarás hasta la orilla?

Estás en un barco y tienes suficiente combustible para navegar 2 km. Ahora estás a 0,25 km de la costa. ¿A qué ángulo máximo de la orilla puedes nadar hacia ella para tener suficiente combustible? Adición a la condición del problema: solo tenemos una tabla de valores de arco coseno.

¿Que tenemos? línea costera puede imaginarse como una “pared” en nuestro famoso triángulo, y la “longitud de una escalera” adosada a la pared es la distancia máxima superable en barco hasta la orilla (2 km). Surge una secante.

Primero, necesitas cambiar a porcentajes. Tenemos 2 / 0,25 = 8, lo que significa que podemos nadar 8 veces la distancia en línea recta hasta la orilla (o hasta la pared).

Surge la pregunta "¿Qué es la secante 8?". Pero no podemos darle una respuesta, ya que solo tenemos arco cosenos.

Usamos nuestras dependencias derivadas previamente para mapear la secante al coseno: “sec/1 = 1/cos”

La secante de 8 es igual al coseno de ⅛. Un ángulo cuyo coseno es ⅛ es acos(1/8) = 82,8. Y este es el ángulo más grande que podemos permitirnos en un barco con la cantidad de combustible especificada.

No está mal, ¿verdad? Sin la analogía de la cúpula, la pared y el techo, estaría confundido en un montón de fórmulas y cálculos. La visualización del problema simplifica enormemente la búsqueda de una solución, además, es interesante ver qué función trigonométrica eventualmente ayudará.

Para cada tarea, piense así: ¿estoy interesado en una cúpula (sin/cos), una pared (tan/seg) o un techo (cot/csc)?

Y la trigonometría será mucho más agradable. Cálculos fáciles para usted!