Demostrar que el período mínimo positivo de la función. Investigación de una función para la periodicidad

¡A sus órdenes!

7. Encuentra el más pequeño período positivo funciones: y=2cos(0.2x+1).

Apliquemos la regla: si la función f es periódica y tiene periodo T, entonces la función y=Af(kx+b) donde A, k y b son constantes, y k≠0, también es periódica, además, su periodo T o = T: |k|. Tenemos T \u003d 2π: este es el período positivo más pequeño de la función coseno, k \u003d 0.2. Encontramos T o = 2π:0,2=20π:2=10π.

9. La distancia de un punto equidistante de los vértices del cuadrado a su plano es de 9 dm. Encuentre la distancia desde este punto hasta los lados del cuadrado si el lado del cuadrado mide 8 pulgadas.

10. Resuelve la ecuación: 10=|5x+5x 2 |.

Dado que |10|=10 y |-10|=10, son posibles 2 casos: 1) 5x 2 +5x=10 y 2) 5x 2 +5x=-10. Divide cada una de las igualdades por 5 y resuelve las ecuaciones cuadráticas resultantes:

1) x 2 +x-2=0, raíces según el teorema de Vieta x 1 \u003d -2, x 2 \u003d 1. 2) x2 +x+2=0. El discriminante es negativo, no hay raíces.

11. Resuelve la ecuación:

Aplicamos la identidad logarítmica básica al lado derecho de la igualdad:

Obtenemos la igualdad:

Nosotros decidimos ecuación cuadrática x 2 -3x-4=0 y encuentra las raíces: x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 4.

13. Resuelva la ecuación y encuentre la suma de sus raíces en el intervalo especificado.

22. Resuelve la desigualdad:

Entonces la desigualdad toma la forma: tgt< 2. Построим графики уравнений: y=tgt и y=2. Выберем промежуток значений переменной t, при которых график y=tgt лежит ниже прямой у=2.

24. Recta y= un x+b es perpendicular a la recta y=2x+3 y pasa por el punto C(4; 5). Escribe su ecuación. Directoy=k 1 x+b 1 e y=k 2 x+b 2 son mutuamente perpendiculares si se cumple la condición k 1 ∙k 2 =-1. De ahí se sigue que un 2=-1. La línea deseada se verá así: y=(-1/2) x+b. Encontraremos el valor de b si en la ecuación de nuestra recta en lugar de X y en Sustituye las coordenadas del punto C.

5=(-1/2) 4+b ⇒ 5=-2+b ⇒ b=7. Luego obtenemos la ecuación: y \u003d (-1/2) x + 7.

25. Cuatro pescadores A, B, C y D se jactaban de su captura:

1. D atrapó más C;

2. La suma de las capturas de A y B es igual a la suma de las capturas de C y D;

3. A y D juntos capturaron menos que B y C juntos. Registre la captura de los pescadores en orden descendente.

Tenemos: 1) D>C; 2) A+B=C+D; 3) A+D 2 ª igualdad: A \u003d C + D-B y sustituir en 3 -mi. Vamos a obtener С+D-B+D 2 la igualdad y también sustituir en 3 -mi. B=C+D-A. Entonces A+D

Mínimo positivo período funciones en trigonometría denotada por f. Se caracteriza por el valor más pequeño de un número positivo T, es decir, su valor T más pequeño ya no será período ohm funciones .

Necesitará

• - libro de referencia matemática.

Instrucción

1. Tenga en cuenta que período función ical no tiene invariablemente un mínimo correcto período. Así, por ejemplo, como período pero continuo funciones puede ser incondicionalmente cualquier número, lo que significa que puede no tener el mínimo positivo período una. También los hay inestables período ical funciones, que no tienen el menor regular período una. Sin embargo, en la mayoría de los casos, el mínimo correcto período en período Las funciones ical todavía están allí.

2. Mínimo período el seno es 2?. Vea este ejemplo para confirmación. funciones y=sen(x). Sea T arbitrario período ohmio del seno, en este caso sin(a+T)=sin(a) para cualquier valor de a. Si a=?/2, resulta que sin(T+?/2)=sin(?/2)=1. Sin embargo, sin(x)=1 solo si x=?/2+2?n, donde n es un número entero. De aquí se deduce que T=2?n, lo que significa que el valor positivo más pequeño de 2?n es 2?.

3. Mínimo correcto período el coseno también es igual a 2?. Vea este ejemplo para confirmación. funciones y=cos(x). Si T es arbitrario período coseno, entonces cos(a+T)=cos(a). En el caso de que a=0, cos(T)=cos(0)=1. En vista de esto, el valor positivo más pequeño de T para el cual cos(x)=1 es 2?.

4. Teniendo en cuenta el hecho de que 2? - período seno y coseno, el mismo valor será período ohmio de la cotangente, así como la tangente, pero no el mínimo, por el hecho de que, como es bien sabido, el mínimo correcto período tangente y cotangente es igual?. Podrá verificar esto observando el siguiente ejemplo: los puntos correspondientes a los números (x) y (x +?) en el círculo trigonométrico tienen una ubicación diametralmente opuesta. La distancia del punto (x) al punto (x + 2?) corresponde a la mitad del círculo. Por definición de tangente y cotangente, tg(x+?)=tgx, y ctg(x+?)=ctgx, lo que significa que el mínimo correcto período cotangente y tangente es igual?.

Una función periódica es una función que repite sus valores después de algún período distinto de cero. El período de una función es un número cuya adición al argumento de la función no cambia el valor de la función.

Necesitará

• Conocimientos de matemáticas elementales e inicios de la encuesta.

Instrucción

1. Denotemos el período de la función f(x) por el número K. Nuestra tarea es encontrar este valor de K. Para hacer esto, imagine que la función f(x), usando la definición de una función periódica, iguala f (x+K)=f(x).

2. Resolvemos la ecuación resultante para la K desconocida, como si x fuera una constante. Dependiendo del valor de K, habrá varias opciones.

3. Si K>0, entonces este es el período de su función.Si K=0, entonces la función f(x) no es periódica.Si la solución de la ecuación f(x+K)=f(x) no existe. para cualquier K que no sea igual a cero, dicha función se llama aperiódica y tampoco tiene período.

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¡Nota!
Todas las funciones trigonométricas son periódicas y todas las funciones polinómicas con grado mayor que 2 son aperiódicas.

Consejo útil
El periodo de una función que consta de 2 funciones periódicas es el mínimo común múltiplo de los periodos de estas funciones.

Si consideramos puntos en un círculo, entonces los puntos x, x + 2π, x + 4π, etc. coincidir entre sí. Entonces la trigonométrica funciones en linea recta periódicamente repetir su significado. Si el período es famoso funciones, se permite construir una función en este período y repetirla en otros.

Instrucción

1. El periodo es un número T tal que f(x) = f(x+T). Para encontrar el período, resuelve la ecuación correspondiente, sustituyendo x y x + T como argumento. En este caso, se utilizan periodos más conocidos para las funciones. Para las funciones seno y coseno el periodo es 2π, y para la tangente y cotangente es π.

2. Sea dada la función f(x) = sen^2(10x). Considere la expresión sen^2(10x) = sen^2(10(x+T)). Usa la fórmula para reducir el grado: sen^2(x) = (1 - cos 2x)/2. Entonces obtenga 1 - cos 20x = 1 - cos 20(x+T) o cos 20x = cos (20x+20T). Sabiendo que el periodo del coseno es 2π, 20T = 2π. Por lo tanto, T = π/10. T es el período mínimo correcto, y la función se repetirá después de 2T, y después de 3T, y en la otra dirección a lo largo del eje: -T, -2T, etc.

Consejo útil
Usar fórmulas para bajar el grado de una función. Si está más familiarizado con los períodos de algunas funciones, intente reducir la función existente a las famosas.

Una función cuyos valores se repiten después de cierto número se llama periódico. Es decir, no importa cuántos períodos agregues al valor de x, la función será igual al mismo número. Cualquier búsqueda de funciones periódicas comienza con la búsqueda del período más pequeño, para no hacer un trabajo innecesario: basta con investigar todas las propiedades en un segmento igual al período.

Instrucción

1. Usa la definición periódico funciones. Todos los valores de x en funciones reemplazar con (x+T), donde T es el período mínimo funciones. Resuelva la ecuación resultante, considerando T como un número desconocido.

2. Como resultado, obtendrá alguna identidad, intente encontrar el período más pequeño a partir de ella. Digamos, si se obtiene la igualdad sen (2T) = 0,5, por lo tanto, 2T = P/6, es decir, T = P/12.

3. Si la igualdad resulta ser correcta solo en T=0 o el parámetro T depende de x (digamos, la ecuación resultó ser 2T=x), concluya que la función no es periódica.

4. Para encontrar el período mínimo funciones que contiene sólo una expresión trigonométrica, utilice la regla. Si la expresión contiene seno o coseno, el período para funciones será 2P, y para las funciones tg, ctg establezca el período mínimo P. Tenga en cuenta que la función no debe elevarse a ninguna potencia, pero la variable bajo el signo funciones no debe multiplicarse por un número bueno a partir de 1.

5. Si cos o pecado dentro funciones construido a una potencia uniforme, reduzca el período 2P a la mitad. Gráficamente, puedes verlo así: gráfico funciones, ubicado debajo del eje x, se reflejará simétricamente hacia arriba, por lo que la función se repetirá el doble de veces.

6. Para encontrar el período mínimo funciones a pesar de que el ángulo x se multiplica por algún número, proceda de la siguiente manera: determine el período típico de este funciones(digamos, porque es 2P). Luego divídalo por el factor antes de la variable. Este será el período mínimo deseado. La disminución del período es perfectamente visible en el gráfico: se reduce exactamente tantas veces como se multiplica el ángulo bajo el signo trigonométrico. funciones .

7. Tenga en cuenta que si x está precedido por un número fraccionario menor que 1, el período aumenta, es decir, el gráfico, por el contrario, se estira.

8. Si tu expresión tiene dos periódicos funciones multiplicados entre sí, encuentre el período mínimo para cada uno por separado. Después de eso, determine el multiplicador general mínimo para ellos. Digamos que para los periodos P y 2/3P el factor común mínimo será 3P (se divide sin resto entre P y 2/3P).

El cálculo del salario promedio de los empleados es necesario para calcular los beneficios por incapacidad temporal, pagar los viajes de negocios. El salario promedio de los expertos se calcula sobre la base de las horas reales trabajadas y depende del salario, las asignaciones y las bonificaciones especificadas en la plantilla.

Necesitará

• - dotación de personal;
• - calculadora;
• - derecho;
• - calendario de producción;
• - una hoja de tiempo o un acto de trabajo realizado.

Instrucción

1. Para calcular el salario promedio de un empleado, primero determine el período para el cual necesita calcularlo. Como es habitual, este plazo es de 12 meses naturales. Pero si un empleado trabaja en la empresa por menos de un año, por ejemplo, 10 meses, entonces necesita encontrar las ganancias promedio por el tiempo que el experto realiza su función laboral.

2. Ahora determine la cantidad de salario que realmente se le acumuló durante el período de facturación. Para hacer esto, use la nómina, según la cual el empleado recibió todos los pagos que se le debían. Si es impensable usar estos documentos, multiplique el salario mensual, las bonificaciones y las asignaciones por 12 (o la cantidad de meses que el empleado trabaja en la empresa si está registrado en la empresa por menos de un año).

3. Calcule sus ganancias diarias promedio. Para ello, divida el importe de los salarios del período de facturación por el número medio de días de un mes (actualmente es 29,4). Divide el total resultante por 12.

4. Después de eso, determine el número de horas reales trabajadas. Para hacer esto, use la hoja de tiempo. Este documento debe ser llenado por un cronometrador, oficial de personal u otro empleado que lo tenga detallado en sus responsabilidades laborales.

5. Multiplique el número de horas realmente trabajadas por las ganancias diarias promedio. La cantidad recibida es el salario promedio de un experto para el año. Divide el resultado por 12. Este será el ingreso mensual promedio. Este cálculo se utiliza para empleados cuya nómina depende de las horas reales trabajadas.

6. Cuando el empleado recibe salarios a destajo, multiplique la tarifa (indicada en la tabla de personal y determinada por el contrato de trabajo) por la cantidad de productos producidos (utilice el acto de trabajo realizado u otro documento en el que esté registrado).

¡Nota!
No confunda las funciones y=cos(x) e y=sin(x) - al tener un período idéntico, estas funciones se muestran de manera diferente.

Consejo útil
Para mayor claridad, dibuje una función trigonométrica para la cual se calcule el período mínimo correcto.

Propósito: generalizar y sistematizar el conocimiento de los estudiantes sobre el tema "Periodicidad de las funciones"; formar habilidades para aplicar las propiedades de una función periódica, encontrar el período positivo más pequeño de una función, trazar funciones periódicas; promover el interés por el estudio de las matemáticas; cultivar la observación, la precisión.

Equipo: computadora, proyector multimedia, tarjetas de tareas, diapositivas, relojes, mesas de adorno, elementos de artesanía popular.

“Las matemáticas son lo que la gente usa para controlar la naturaleza y a sí mismos”
UN. Kolmogorov

durante las clases

I. Etapa organizativa.

Comprobación de la preparación de los estudiantes para la lección. Presentación del tema y objetivos de la lección.

II. Comprobación de la tarea.

Verificamos la tarea de acuerdo con muestras, discutimos los puntos más difíciles.

tercero Generalización y sistematización del conocimiento.

1. Trabajo frontal oral.

Cuestiones de teoría.

1) Formar la definición del periodo de la función
2) ¿Cuál es el período positivo más pequeño de las funciones y=sin(x), y=cos(x)
3). ¿Cuál es el período positivo más pequeño de las funciones y=tg(x), y=ctg(x)
4) Usa el círculo para probar la corrección de las relaciones:

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n ∈ Z
ctg(x+π n)=ctgx, n ∈ Z

sin(x+2π n)=senx, n ∈ Z
cos(x+2π n)=cosx, norte ∈ Z

5) ¿Cómo trazar una función periódica?

ejercicios orales.

1) Demostrar las siguientes relaciones

un) pecado(740º) = pecado(20º)
b) coseno(54º) = coseno(-1026º)
C) pecado(-1000º) = pecado(80º )

2. Demostrar que el ángulo de 540º es uno de los periodos de la función y= cos(2x)

3. Demostrar que el ángulo de 360º es uno de los periodos de la función y=tg(x)

4. Transforma estas expresiones para que los ángulos incluidos en ellas no superen los 90º en valor absoluto.

un) tg375º
b) ctg530º
C) pecado1268º
d) cos(-7363º)

5. ¿Dónde te encontraste con las palabras PERÍODO, PERIODICIDAD?

Respuestas de los alumnos: Un período en la música es una construcción en la que se enuncia un pensamiento musical más o menos completo. El período geológico es parte de una era y se divide en épocas con un período de 35 a 90 millones de años.

La vida media de una sustancia radiactiva. Fracción periódica. Los periódicos son publicaciones impresas que aparecen en fechas estrictamente definidas. Sistema periódico de Mendeleev.

6. Las figuras muestran partes de las gráficas de funciones periódicas. Defina el período de la función. Determine el período de la función.

Responder: T=2; T=2; T=4; T=8.

7. ¿En qué parte de su vida se ha encontrado con la construcción de elementos repetitivos?

Los estudiantes responden: Elementos de ornamentos, arte popular.

IV. Resolución colectiva de problemas.

(Resolución de problemas en diapositivas).

Consideremos una de las formas de estudiar una función para la periodicidad.

Este método pasa por alto las dificultades asociadas con la demostración de que uno u otro período es el más pequeño, y tampoco hay necesidad de abordar cuestiones sobre operaciones aritméticas en funciones periódicas y sobre la periodicidad de una función compleja. El razonamiento se basa únicamente en la definición de una función periódica y en el siguiente hecho: si T es el período de la función, entonces nT(n? 0) es su período.

Problema 1. Encuentra el periodo positivo más pequeño de la función f(x)=1+3(x+q>5)

Solución: Supongamos que el período T de esta función. Entonces f(x+T)=f(x) para todo x ∈ D(f), es decir

1+3(x+T+0.25)=1+3(x+0.25)
(x+T+0.25)=(x+0.25)

Sea x=-0.25 obtenemos

(T)=0<=>T=n, n ∈ Z

Hemos obtenido que todos los periodos de la función considerada (si es que existen) están entre enteros. Elija entre estos números el número positivo más pequeño. Este es 1 . Vamos a comprobar si en realidad es un período 1 .

f(x+1)=3(x+1+0.25)+1

Dado que (T+1)=(T) para cualquier T, entonces f(x+1)=3((x+0.25)+1)+1=3(x+0.25)+1=f(x ), es decir 1 - período f. Como 1 es el menor de todos los enteros positivos, entonces T=1.

Tarea 2. Muestre que la función f(x)=cos 2 (x) es periódica y encuentre su período principal.

Tarea 3. Encuentra el período principal de la función

f(x)=sen(1.5x)+5cos(0.75x)

Supongamos el período T de la función, entonces para cualquier X el radio

sen1.5(x+T)+5cos0.75(x+T)=sen(1.5x)+5cos(0.75x)

Si x=0 entonces

sen(1.5T)+5cos(0.75T)=sen0+5cos0

sen(1.5T)+5cos(0.75T)=5

Si x=-T, entonces

sin0+5cos0=sin(-1.5T)+5cos0.75(-T)

5= - sen(1.5T)+5cos(0.75T)

Sumando, obtenemos:

10cos(0.75T)=10

2π n, n € Z

Elijamos de todos los números "sospechosos" para el período el positivo más pequeño y verifiquemos si es un período para f. Este número

f(x+)=sen(1.5x+4π)+5cos(0.75x+2π)=sen(1.5x)+5cos(0.75x)=f(x)

Por lo tanto, es el período principal de la función f.

Tarea 4. Comprobar si la función f(x)=sin(x) es periódica

Sea T el periodo de la función f. Entonces para cualquier x

sen|x+T|=sen|x|

Si x=0, entonces sin|T|=sin0, sin|T|=0 T=π n, n ∈ Z.

Suponer. Que para algún n el número π n es un periodo

función considerada π n>0. Entonces sin|π n+x|=sin|x|

Esto implica que n debe ser par e impar al mismo tiempo, lo cual es imposible. Por lo tanto, esta función no es periódica.

Tarea 5. Comprobar si la función es periódica

f(x)=

Sea T el periodo f, entonces

, por lo tanto senT=0, T=π n, n € Z. Supongamos que para algún n el número π n es de hecho el período de la función dada. Entonces el número 2π n también será un período

Como los numeradores son iguales, también lo son sus denominadores, entonces

Por lo tanto, la función f no es periódica.

Trabajo en equipo.

Tareas para el grupo 1.

Tareas para el grupo 2.

Comprueba si la función f es periódica y encuentra su período principal (si existe).

f(x)=cos(2x)+2sen(2x)

Tareas para el grupo 3.

Al final del trabajo, los grupos presentan sus soluciones.

VI. Resumiendo la lección.

Reflexión.

El maestro les da a los estudiantes tarjetas con dibujos y se ofrece a pintar sobre parte del primer dibujo de acuerdo con la medida en que, según les parece, han dominado los métodos de estudio de la función por periodicidad, y en parte del segundo dibujo. , de acuerdo con su contribución al trabajo en la lección.

VIII. Tarea

uno). Compruebe si la función f es periódica y encuentre su período principal (si existe)

b). f(x)=x 2 -2x+4

C). f(x)=2tg(3x+5)

2). La función y=f(x) tiene un periodo T=2 y f(x)=x 2 +2x para x € [-2; 0]. Encuentra el valor de la expresión -2f(-3)-4f(3,5)

Literatura/

1. Mordkovich A.G.Álgebra y el comienzo del análisis con estudio en profundidad.
2. Matemáticas. Preparación para el examen. ed. Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu.
3. Sheremetyeva T.G. , Tarasova E. A.Álgebra y análisis inicial para los grados 10-11.