1.1. De la historia de ocurrencia ecuaciones cuadráticas
El álgebra surgió en relación con la solución de varios problemas utilizando ecuaciones. Por lo general, en los problemas se requiere encontrar una o varias incógnitas, mientras se conocen los resultados de algunas acciones realizadas sobre las cantidades deseadas y dadas. Tales problemas se reducen a resolver una o un sistema de varias ecuaciones, a encontrar las deseadas con la ayuda de operaciones algebraicas sobre cantidades dadas. El álgebra estudia las propiedades generales de las acciones sobre cantidades.
Algunas técnicas algebraicas para resolver ecuaciones lineales y cuadráticas se conocían desde hace 4000 años en la antigua Babilonia.
Ecuaciones cuadráticas en la antigua Babilonia
La necesidad de resolver ecuaciones no solo de primer grado, sino también de segundo grado en la antigüedad fue causada por la necesidad de resolver problemas relacionados con encontrar las áreas de tierra y movimiento de tierras naturaleza militar, así como con el desarrollo de la astronomía y las propias matemáticas. Los babilonios sabían cómo resolver ecuaciones cuadráticas alrededor del año 2000 a. Aplicando la notación algebraica moderna, podemos decir que en sus textos cuneiformes hay, además de incompletos, como, por ejemplo, ecuaciones cuadráticas completas:
La regla para resolver estas ecuaciones, enunciada en los textos babilónicos, coincide esencialmente con la moderna, pero no se sabe cómo llegaron los babilonios a esta regla. Casi todos los textos cuneiformes encontrados hasta ahora solo dan problemas con soluciones establecidas en forma de recetas, sin indicación de cómo se encontraron. A pesar de nivel alto desarrollo del álgebra en Babilonia, en los textos cuneiformes no existe el concepto de un número negativo y métodos comunes Soluciones de ecuaciones cuadráticas.
La Aritmética de Diofanto no contiene una exposición sistemática del álgebra, pero contiene una serie sistemática de problemas, acompañados de explicaciones y resueltos mediante la formulación de ecuaciones. diferentes grados.
Al compilar ecuaciones, Diofanto elige hábilmente las incógnitas para simplificar la solución.
Aquí, por ejemplo, está una de sus tareas.
Tarea 2. "Encuentra dos números, sabiendo que su suma es 20 y su producto es 96".
Diofanto argumenta lo siguiente: de la condición del problema se sigue que los números buscados no son iguales, ya que si fueran iguales, entonces su producto sería igual no a 96, sino a 100. Así, uno de ellos será mayor que la mitad de su suma, es decir, .10 + x. El otro es más pequeño, es decir, 10 - x. La diferencia entre ellos es 2x. De ahí la ecuación:
(10+x)(10-x)=96,
Por lo tanto, x = 2. Uno de los números deseados es 12, el otro es 8. La solución x = - 2 para Diofanto no existe, ya que las matemáticas griegas solo sabían números positivos.
Si resolvemos este problema, eligiendo uno de los números desconocidos como la incógnita, entonces podemos llegar a la solución de la ecuación:
Está claro que, al elegir como incógnita la semidiferencia de los números buscados, Diofanto simplifica la solución; logra reducir el problema a resolver una ecuación cuadrática incompleta.
Ecuaciones cuadráticas en India
Los problemas para las ecuaciones cuadráticas ya se encuentran en el tratado astronómico Aryabhattam, compilado en 499 por el matemático y astrónomo indio Aryabhatta. Otro erudito indio, Brahmagupta (siglo VII), expuso regla general soluciones de ecuaciones cuadráticas reducidas a una sola forma canónica:
ax 2 + bx \u003d c, a> 0. (1)
En la ecuación (1) los coeficientes pueden ser negativos. La regla de Brahmagupta coincide esencialmente con la nuestra.
En India, los concursos públicos para resolver problemas difíciles eran comunes. En uno de los antiguos libros indios, se dice lo siguiente sobre tales concursos: “Como el sol eclipsa a las estrellas con su brillo, así una persona erudita eclipsará la gloria en las reuniones públicas, proponiendo y resolviendo problemas algebraicos”. Las tareas a menudo se vestían de forma poética.
Aquí está uno de los problemas del famoso matemático indio del siglo XII. Bhaskara.
La solución de Bhaskara indica que el autor era consciente de que las raíces de las ecuaciones cuadráticas tienen dos valores.
La ecuación correspondiente al problema 3 es:
Bhaskara escribe bajo la apariencia de:
x 2 - 64x = - 768
y, para completar el lado izquierdo de esta ecuación al cuadrado, suma 32 2 a ambos lados, obteniendo así:
x 2 - b4x + 32 2 = -768 + 1024,
(x - 32) 2 = 256,
x1 = 16, x2 = 48.
Ecuaciones cuadráticas de Al-Khwarizmi
El tratado algebraico de Al-Khwarizmi da una clasificación de ecuaciones lineales y cuadráticas. El autor enumera 6 tipos de ecuaciones, expresándolas de la siguiente manera:
1) “Los cuadrados son iguales a las raíces”, es decir, ax 2 = bx.
2) “Los cuadrados son iguales al número”, es decir, ax 2 = c.
3) "Las raíces son iguales al número", es decir, ax \u003d c.
4) “Cuadrados y números son iguales a raíces”, es decir, ax 2 + c = bx.
5) "Los cuadrados y las raíces son iguales al número", es decir, ax 2 + bx \u003d c.
6) “Raíces y números son iguales a cuadrados”, es decir, bx + c == ax 2.
Para Al-Khwarizmi, que evitó el uso números negativos, los términos de cada una de estas ecuaciones son términos, no restas. En este caso, obviamente, las ecuaciones que no tienen soluciones positivas no se tienen en cuenta. El autor describe los métodos para resolver estas ecuaciones, utilizando los métodos de al-jabr y al-muqabala. Su decisión, por supuesto, no coincide del todo con la nuestra. Por no hablar del hecho de que es puramente retórico, cabe señalar, por ejemplo, que al resolver una ecuación cuadrática incompleta del primer tipo, Al-Khwarizmi, como todos los matemáticos anteriores al siglo XVII, no tiene en cuenta el cero solución, probablemente porque en tareas prácticas específicas, no importa. Al resolver ecuaciones cuadráticas completas, Al-Khwarizmi establece las reglas para resolverlas utilizando ejemplos numéricos particulares y luego sus pruebas geométricas.
Tomemos un ejemplo.
Problema 4. “El cuadrado y el número 21 son iguales a 10 raíces. Encuentra la raíz "(es decir, la raíz de la ecuación x 2 + 21 \u003d 10x).
Solución: divide el número de raíces por la mitad, obtienes 5, multiplica 5 por sí mismo, resta 21 al producto, queda 4. Saca la raíz de 4, obtienes 2. Resta 2 de 5, obtienes 3, esto será la raíz deseada. O sumar 2 a 5, lo que dará 7, esto también es una raíz.
El tratado de Al-Khwarizmi es el primer libro que nos ha llegado, en el que se presenta sistemáticamente la clasificación de las ecuaciones cuadráticas y se dan las fórmulas para su solución.
Ecuaciones cuadráticas en Europa siglos XII-XVII.
Las formas para resolver ecuaciones cuadráticas en el modelo de Al-Khwarizmi en Europa se describieron por primera vez en el "Libro del ábaco", escrito en 1202. Matemático italiano Leonard Fibonacci. El autor desarrolló de forma independiente algunos nuevos ejemplos algebraicos resolución de problemas y fue el primero en Europa en abordar la introducción de números negativos.
Este libro contribuyó a la difusión del conocimiento algebraico no solo en Italia, sino también en Alemania, Francia y otros países europeos. Muchas tareas de este libro se transfirieron a casi todos los libros de texto europeos de los siglos XIV-XVII. La regla general para resolver ecuaciones cuadráticas reducidas a una sola forma canónica x 2 + bx \u003d c con todas las combinaciones posibles de signos y coeficientes b, c, fue formulada en Europa en 1544 por M. Stiefel.
Derivación de la fórmula para resolver una ecuación cuadrática en vista general Viet lo ha hecho, pero Viet solo reconoció raíces positivas. Los matemáticos italianos Tartaglia, Cardano, Bombelli fueron de los primeros en el siglo XVI. tener en cuenta, además de las raíces positivas y negativas. Recién en el siglo XVII. gracias a los trabajos de Girard, Descartes, Newton y otros científicos, el método para resolver ecuaciones cuadráticas toma aspecto moderno..
Los orígenes de los métodos algebraicos para resolver problemas prácticos están relacionados con la ciencia. mundo antiguo. Como se sabe por la historia de las matemáticas, una parte importante de los problemas de naturaleza matemática, resueltos por escribas-computadores egipcios, sumerios y babilónicos (siglos XX-VI a. C.), tenían un carácter calculado. Sin embargo, incluso entonces, de vez en cuando surgían problemas en los que el valor deseado de una cantidad se especificaba mediante algunas condiciones indirectas que requerían, desde nuestro punto de vista moderno, la formulación de una ecuación o un sistema de ecuaciones. Inicialmente, se utilizaron métodos aritméticos para resolver tales problemas. Más tarde, comenzaron a formarse los comienzos de las representaciones algebraicas. Por ejemplo, las calculadoras babilónicas pudieron resolver problemas que se pueden reducir en términos de clasificación moderna a ecuaciones de segundo grado. Se creó un método para resolver problemas de texto, que luego sirvió de base para resaltar el componente algebraico y su estudio independiente.
Este estudio ya fue realizado en otra época, primero por matemáticos árabes (siglos VI-X d. C.), quienes señalaron las acciones características por las que las ecuaciones se reducían a vista estándar reducción de términos similares, transferencia de términos de una parte de la ecuación a otra con un cambio de signo. Y luego, por los matemáticos europeos del Renacimiento, como resultado de una larga búsqueda, crearon el lenguaje del álgebra moderna, el uso de letras, la introducción de símbolos para operaciones aritméticas, corchetes, etc. Siglos XVII. El álgebra como parte específica de las matemáticas, que tiene su propio tema, método, áreas de aplicación, ya se ha formado. Su desarrollo posterior, hasta nuestro tiempo, consistió en mejorar los métodos, ampliar el alcance de las aplicaciones, aclarar los conceptos y sus conexiones con los conceptos de otras ramas de las matemáticas.
Entonces, en vista de la importancia y la amplitud del material asociado con el concepto de ecuación, su estudio en la metodología moderna de las matemáticas está asociado con tres áreas principales de su ocurrencia y funcionamiento.
INTRODUCCIÓN
Las ecuaciones en el curso escolar de álgebra ocupan un lugar destacado. Se dedica más tiempo a su estudio que a cualquier otro tema del curso de matemáticas de la escuela. La fuerza de la teoría de ecuaciones es que no solo tiene un significado teórico para el conocimiento de las leyes naturales, sino que también sirve para propósitos prácticos específicos. La mayoría de los problemas sobre formas espaciales y relaciones cuantitativas del mundo real se reducen a resolver varios tipos de ecuaciones. Al dominar las formas de resolverlos, las personas encuentran respuestas a varias preguntas de la ciencia y la tecnología (transporte, agricultura, industria, comunicaciones, etc.). Asimismo, para la formación de la habilidad de resolver ecuaciones, es de gran importancia el trabajo independiente del estudiante en el aprendizaje de la resolución de ecuaciones. Al estudiar cualquier tema, las ecuaciones se pueden utilizar como un medio eficaz para consolidar, profundizar, repetir y ampliar el conocimiento teórico, para el desarrollo de la actividad matemática creativa de los estudiantes.
En el mundo moderno, las ecuaciones se utilizan ampliamente en varias ramas de las matemáticas para resolver importantes problemas aplicados. Este tema se caracteriza por una gran profundidad de presentación y la riqueza de las conexiones que se establecen con su ayuda en el aprendizaje, la validez lógica de la presentación. Por lo tanto, ocupa una posición excepcional en la línea de ecuaciones. Los estudiantes comienzan a estudiar el tema "Trinomios cuadrados" ya que han acumulado algo de experiencia, poseen un stock bastante grande de conceptos, conceptos y habilidades algebraicas y matemáticas generales. En gran medida, es sobre el material de este tema que es necesario sintetizar el material relacionado con las ecuaciones, para implementar los principios del historicismo y la accesibilidad.
Relevancia El tema es la necesidad de implementar los principios del historicismo y la falta de material para la implementación de este en el tema “Solución de ecuaciones cuadráticas”.
Problema de investigación: identificar material histórico para aprender a resolver ecuaciones cuadráticas.
Objetivo: la formación de ideas sobre el trabajo en ecuaciones cuadráticas en lecciones de matemáticas, la selección de un conjunto de lecciones con elementos de historicismo sobre el tema "Ecuaciones cuadráticas".
Objeto de estudio: resolver ecuaciones cuadráticas en el grado 8 usando elementos del historicismo.
Tema de estudio: ecuaciones cuadráticas y desarrollo de lecciones sobre cómo aprender a resolver ecuaciones cuadráticas utilizando materiales históricos.
Tareas:
realizar un análisis de la literatura científica y metodológica sobre el problema de investigación;
analizar los libros de texto escolares y resaltar en ellos el lugar del aprendizaje para resolver ecuaciones cuadráticas;
Aprende un conjunto de lecciones sobre cómo resolver ecuaciones cuadráticas usando materiales históricos.
Métodos de búsqueda:
análisis de literatura sobre el tema "Solución de ecuaciones cuadráticas";
observación de estudiantes durante una lección sobre el tema "Resolución de ecuaciones cuadráticas";
selección de material: lecciones sobre el tema "Resolución de ecuaciones cuadráticas" usando referencia histórica.
§ 1. De la historia del surgimiento de las ecuaciones cuadráticas
El álgebra surgió en relación con la solución de varios problemas utilizando ecuaciones. Por lo general, en los problemas se requiere encontrar una o varias incógnitas, mientras se conocen los resultados de algunas acciones realizadas sobre las cantidades deseadas y dadas. Tales problemas se reducen a resolver una o un sistema de varias ecuaciones, a encontrar las deseadas con la ayuda de operaciones algebraicas sobre cantidades dadas. El álgebra estudia las propiedades generales de las acciones sobre cantidades.
Algunas técnicas algebraicas para resolver ecuaciones lineales y cuadráticas se conocían desde hace 4000 años en la antigua Babilonia.
Ecuaciones cuadráticas en la antigua Babilonia
La necesidad de resolver ecuaciones no solo de primer, sino también de segundo grado en la antigüedad fue causada por la necesidad de resolver problemas relacionados con encontrar las áreas de tierra y movimientos de tierra de carácter militar, así como el desarrollo de la astronomía y las propias matemáticas. Los babilonios sabían cómo resolver ecuaciones cuadráticas alrededor del año 2000 a. Aplicando la notación algebraica moderna, podemos decir que en sus textos cuneiformes hay, además de incompletos, como, por ejemplo, ecuaciones cuadráticas completas:
La regla para resolver estas ecuaciones, enunciada en los textos babilónicos, coincide esencialmente con la moderna, pero no se sabe cómo llegaron los babilonios a esta regla. Casi todos los textos cuneiformes encontrados hasta ahora solo dan problemas con soluciones establecidas en forma de recetas, sin indicación de cómo se encontraron. A pesar del alto nivel de desarrollo del álgebra en Babilonia, los textos cuneiformes carecen del concepto de número negativo y de métodos generales para resolver ecuaciones cuadráticas.
La Aritmética de Diofanto no contiene una exposición sistemática del álgebra, pero contiene una serie sistemática de problemas, acompañados de explicaciones y resueltos mediante la formulación de ecuaciones de varios grados.
Al compilar ecuaciones, Diofanto elige hábilmente las incógnitas para simplificar la solución.
Aquí, por ejemplo, está una de sus tareas.
Tarea 2. "Encuentre dos números, sabiendo que su suma es 20 y su producto es 96".
Diofanto argumenta lo siguiente: de la condición del problema se sigue que los números buscados no son iguales, ya que si fueran iguales, entonces su producto sería igual no a 96, sino a 100. Así, uno de ellos será mayor que la mitad de su suma, es decir . 
. El otro es más pequeño, es decir. 
. La diferencia entre ellos 
. De ahí la ecuación:
De aquí 
. Uno de los números deseados es 12, el otro es 8. Solución 
porque Diofanto no existe, ya que las matemáticas griegas sólo conocían números positivos.
Si resolvemos este problema, eligiendo uno de los números desconocidos como la incógnita, entonces podemos llegar a la solución de la ecuación:
Está claro que, al elegir como incógnita la semidiferencia de los números buscados, Diofanto simplifica la solución; logra reducir el problema a resolver una ecuación cuadrática incompleta.
Ecuaciones cuadráticas en India
Los problemas para las ecuaciones cuadráticas ya se encuentran en el tratado astronómico Aryabhattam, compilado en 499 por el matemático y astrónomo indio Aryabhatta. Otro científico indio, Brahmagupta (siglo VII), describió la regla general para resolver ecuaciones cuadráticas reducidas a una sola forma canónica:
(1)
En la ecuación (1) los coeficientes pueden ser negativos. La regla de Brahmagupta coincide esencialmente con la nuestra.
En India, los concursos públicos para resolver problemas difíciles eran comunes. En uno de los antiguos libros indios, se dice lo siguiente sobre tales concursos: “Como el sol eclipsa a las estrellas con su brillo, así una persona erudita eclipsará la gloria en las reuniones públicas, proponiendo y resolviendo problemas algebraicos”. Las tareas a menudo se vestían de forma poética.
Aquí está uno de los problemas del famoso matemático indio del siglo XII. Bhaskara.
La solución de Bhaskara indica que el autor era consciente de que las raíces de las ecuaciones cuadráticas tienen dos valores.
La ecuación correspondiente al problema 3 es:
Bhaskara escribe bajo la apariencia de:
y, para completar el lado izquierdo de esta ecuación al cuadrado, le suma 322 a ambos lados, quedando así:
Ecuaciones cuadráticas de Al-Khwarizmi
El tratado algebraico de Al-Khwarizmi da una clasificación de ecuaciones lineales y cuadráticas. El autor enumera 6 tipos de ecuaciones, expresándolas de la siguiente manera:
Para Al-Khwarizmi, quien evitó el uso de números negativos, los términos de cada una de estas ecuaciones son sumas, no restas. En este caso, obviamente, las ecuaciones que no tienen soluciones positivas no se tienen en cuenta. El autor describe los métodos para resolver estas ecuaciones, utilizando los métodos de al-jabr y al-muqabala. Su decisión, por supuesto, no coincide del todo con la nuestra. Por no hablar del hecho de que es puramente retórico, cabe señalar, por ejemplo, que al resolver una ecuación cuadrática incompleta del primer tipo, Al-Khwarizmi, como todos los matemáticos anteriores al siglo XVII, no tiene en cuenta el cero solución, probablemente porque en tareas prácticas específicas, no importa. Al resolver ecuaciones cuadráticas completas, Al-Khwarizmi establece las reglas para resolverlas utilizando ejemplos numéricos particulares y luego sus pruebas geométricas.
Tomemos un ejemplo.
Problema 4. “El cuadrado y el número 21 son iguales a 10 raíces. Encuentra la raíz "(es decir, la raíz de la ecuación 
).
Solución: divide el número de raíces por la mitad, obtienes 5, multiplica 5 por sí mismo, resta 21 al producto, queda 4. Saca la raíz de 4, obtienes 2. Resta 2 de 5, obtienes 3, esto será la raíz deseada. O sumar 2 a 5, lo que dará 7, esto también es una raíz.
El tratado de Al-Khwarizmi es el primer libro que nos ha llegado, en el que se presenta sistemáticamente la clasificación de las ecuaciones cuadráticas y se dan las fórmulas para su solución.
Ecuaciones cuadráticas en EuropaXII- XVIIen.
Las formas para resolver ecuaciones cuadráticas en el modelo de Al-Khwarizmi en Europa se describieron por primera vez en el "Libro del ábaco", escrito en 1202. Matemático italiano Leonard Fibonacci. El autor desarrolló de forma independiente algunos nuevos ejemplos algebraicos de resolución de problemas y fue el primero en Europa en abordar la introducción de números negativos.
Este libro contribuyó a la difusión del conocimiento algebraico no solo en Italia, sino también en Alemania, Francia y otros países europeos. Muchas tareas de este libro se transfirieron a casi todos los libros de texto europeos de los siglos XIV-XVII. Regla general para resolver ecuaciones cuadráticas reducidas a una sola forma canónica 
con todas las combinaciones posibles de signos y coeficientes b, c, fue formulado en Europa en 1544 por M. Stiefel.
Vieta tiene una derivación general de la fórmula para resolver una ecuación cuadrática, pero Vieta reconoció solo raíces positivas. Los matemáticos italianos Tartaglia, Cardano, Bombelli fueron de los primeros en el siglo XVI. tener en cuenta, además de las raíces positivas y negativas. Recién en el siglo XVII. gracias a los trabajos de Girard, Descartes, Newton y otros científicos, el método de resolución de ecuaciones cuadráticas adquiere una forma moderna.
Los orígenes de los métodos algebraicos para resolver problemas prácticos están conectados con la ciencia del mundo antiguo. Como se sabe por la historia de las matemáticas, una parte importante de los problemas de naturaleza matemática, resueltos por escribas-computadores egipcios, sumerios y babilónicos (siglos XX-VI a. C.), tenían un carácter calculado. Sin embargo, incluso entonces, de vez en cuando surgían problemas en los que el valor deseado de una cantidad se especificaba mediante algunas condiciones indirectas que requerían, desde nuestro punto de vista moderno, la formulación de una ecuación o un sistema de ecuaciones. Inicialmente, se utilizaron métodos aritméticos para resolver tales problemas. Más tarde, comenzaron a formarse los comienzos de las representaciones algebraicas. Por ejemplo, las calculadoras babilónicas pudieron resolver problemas que, desde el punto de vista de la clasificación moderna, se reducen a ecuaciones de segundo grado. Se creó un método para resolver problemas de texto, que luego sirvió de base para resaltar el componente algebraico y su estudio independiente.
Este estudio ya fue realizado en otra época, primero por matemáticos árabes (siglos VI-X dC), quienes señalaron acciones características mediante las cuales las ecuaciones se reducían a una forma estándar, reducción de términos similares, transferencia de términos de una parte del ecuación a otra con un cambio de signo. Y luego, por los matemáticos europeos del Renacimiento, como resultado de una larga búsqueda, crearon el lenguaje del álgebra moderna, el uso de letras, la introducción de símbolos para operaciones aritméticas, corchetes, etc. Siglos XVII. El álgebra como parte específica de las matemáticas, que tiene su propio tema, método, áreas de aplicación, ya se ha formado. Su desarrollo posterior, hasta nuestro tiempo, consistió en mejorar los métodos, ampliar el alcance de las aplicaciones, aclarar los conceptos y sus conexiones con los conceptos de otras ramas de las matemáticas.
Entonces, en vista de la importancia y la amplitud del material asociado con el concepto de ecuación, su estudio en la metodología moderna de las matemáticas está asociado con tres áreas principales de su ocurrencia y funcionamiento.
Kovalchuk Kirill
El proyecto de ecuaciones cuadráticas a través de siglos y países presenta a los estudiantes matemáticos cuyos descubrimientos son la base progreso cientifico y tecnologico, desarrolla interés en las matemáticas como materia basada en el conocimiento de material histórico, amplía los horizontes de los estudiantes, estimula su actividad cognitiva y creatividad.
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Trabajo de diseño de un estudiante de octavo grado de la escuela secundaria MOU No. 17 del pueblo de Borisovka Kovalchuk Kirill Head Mulyukova G.V.
Ecuaciones cuadráticas a través de siglos y países
El propósito del proyecto: Familiarizar a los estudiantes con los científicos de las matemáticas, cuyos descubrimientos son la base del progreso científico y tecnológico. Mostrar la trascendencia del trabajo de los científicos para el desarrollo de la geometría y la física.???????????? Demostrar la aplicación de los descubrimientos científicos en la vida. Desarrollar interés en las matemáticas como materia basada en la familiaridad con el material histórico. Para ampliar los horizontes de los estudiantes, estimular su actividad cognitiva y creatividad.
La necesidad de resolver ecuaciones no solo de primer grado, sino también de segundo, incluso en la antigüedad, fue provocada por la necesidad de resolver problemas relacionados con encontrar las áreas de la tierra, con el desarrollo de la astronomía y las propias matemáticas. Las ecuaciones cuadráticas se pudieron resolver alrededor del año 2000 a. mi. babilonios. Las reglas para resolver estas ecuaciones establecidas en los textos babilónicos coinciden esencialmente con las modernas, pero estos textos carecen del concepto de número negativo y métodos generales para resolver ecuaciones cuadráticas.
. (c. 365 - 300 a. C.) - antiguo matemático griego, autor de los primeros tratados teóricos sobre matemáticas que nos han llegado. Euclides, o Euclides
El comienzo de Euclides Donde el Nilo se funde con el mar, En la antigua tierra caliente de las Pirámides, vivió el matemático griego: el erudito y sabio Euclides. Estudiaba geometría, enseñaba geometría. Escribió una gran obra. Este libro se llama "Comienzos".
Euclides siglo III a.C. Euclides resolvió ecuaciones cuadráticas usando el método geométrico. Aquí está una de las tareas del antiguo tratado griego: “Hay una ciudad con un borde en forma de cuadrado con un lado de tamaño desconocido, en el centro de cada lado hay una puerta. Hay un pilar a una distancia de 20 bu (1 bu = 1,6 m) de la puerta norte. Si va directamente desde la puerta sur 14bu, luego gira hacia el oeste y pasa por otro 1775bu, puede ver un pilar. La pregunta es: ¿de qué lado de la frontera de la ciudad? »
Para determinar el lado desconocido del cuadrado, obtenemos la ecuación cuadrática x ² +(k+l)x-2kd =0 . En este caso, la ecuación parece x ² +34x-71000=0 , de donde x=250bu l x d k
Ecuaciones cuadráticas en India Los problemas de ecuaciones cuadráticas también se encuentran en el tratado astronómico "Aryabhattam", compilado en 499 por el matemático y astrónomo indio Aryabhatta. Otro científico indio, Brahmagupta, describió la regla general para resolver ecuaciones cuadráticas reducidas a una sola forma canónica: ax ² +bx=c , a>0 En la antigua India, las competencias públicas para resolver problemas difíciles estaban muy extendidas. En uno de los antiguos libros indios, se dice lo siguiente sobre tales concursos: “Así como el sol eclipsa a las estrellas con su brillo, así un erudito eclipsará la gloria de otro en reuniones públicas, proponiendo y resolviendo problemas algebraicos”.
Una de las tareas del famoso matemático indio del siglo XII Bhaskara La juguetona bandada de monos Después de haber comido a gusto, se divirtieron. Parte ocho de ellos en un cuadrado Me divertí en el claro. Y doce a lo largo de las lianas... Empezaron a brincar colgando... ¿Cuántos monos eran Tú dime, en este rebaño?.
Decisión. () 2 +12 = x, x 2 - 64x +768 = 0, a = 1, b = -64, c = 768, entonces D = (-64) 2 -4 1 768 = 1024 > 0. X 1, 2 \u003d, x 1 \u003d 48, x 2 \u003d 16. Respuesta Había 16 o 48 monos. Vamos a resolverlo.
La fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática ha sido "redescubierta" repetidamente. Una de las primeras derivaciones de esta fórmula que ha llegado hasta nuestros días pertenece al matemático indio Brahmagupta. El científico de Asia Central al-Khwarizmi en el tratado "Kitab al-dzherb wal-muqabala" obtuvo esta fórmula seleccionando un cuadrado completo.
¿Cómo resolvió al-Khwarizmi esta ecuación? Él escribió: “La regla es esta: duplica el número de raíces, x = 2x 5 saca cinco en este problema, 5 multiplica por esto igual a él, será veinticinco, 5 5 = 25 suma esto a treinta y nueve , 25 + 39 será sesenta y cuatro , 64 saca la raíz de esto, será ocho, 8 y resta de esta mitad el número de raíces, es decir, cinco, 8-5 quedarán tres - esto y 3 serán la raíz de la plaza que estabas buscando. ¿Qué pasa con la segunda raíz? No se encontró la raíz segunda, ya que no se conocían los números negativos. x 2 + 10 x = 39
Ecuaciones cuadráticas en Europa siglos XIII-XVII. Las fórmulas para resolver ecuaciones cuadráticas sobre el modelo de al-Khorezmi en Europa se establecieron por primera vez en el "Libro del ábaco", escrito en 1202 por el matemático italiano Leonardo Fibonacci. Este voluminoso trabajo, que refleja la influencia de las matemáticas de los países del Islam y Antigua Grecia, difiere tanto en la integridad como en la claridad de la presentación. El autor desarrolló de forma independiente algunas nuevas soluciones algebraicas a problemas y fue el primero en Europa en abordar la introducción de números negativos. Su libro contribuyó a la difusión del conocimiento algebraico no solo en Italia, sino también en Alemania, Francia y otros países europeos. Muchos problemas del "Libro del ábaco" pasaron a casi todos los libros de texto europeos de los siglos XVI y XVII. y parcialmente 18.
François Viet - el mayor matemático del siglo XVI
Antes de F. Vieta, la solución de una ecuación cuadrática se realizaba según sus propias reglas en forma de larguísimos razonamientos verbales y descripciones, acciones bastante engorrosas. Incluso la ecuación en sí no podía escribirse, esto requería una descripción verbal bastante larga y compleja. Él acuñó el término "coeficiente". Sugirió que los valores requeridos se denoten con vocales y los datos con consonantes. Gracias al simbolismo de Vieta, puedes escribir una ecuación cuadrática en la forma: ax 2 + bx + c \u003d 0. Teorema: La suma de las raíces de la ecuación cuadrática dada es igual al segundo coeficiente, tomado de signo opuesto, y el producto de las raíces es igual al término libre. A pesar de que este teorema se llama "Teorema de Vieta", se conocía antes que él, y solo lo transformó en una forma moderna. Vieta es llamado el "padre del álgebra"
La humanidad ha recorrido un largo camino desde la ignorancia hasta el conocimiento, reemplazando constantemente el conocimiento incompleto e imperfecto con un conocimiento cada vez más completo y perfecto en este camino. última palabra
Nosotros viviendo en principios XXI siglo, la antigüedad atrae. En nuestros antepasados, notamos en primer lugar lo que les falta desde un punto de vista moderno, y generalmente no notamos lo que nos falta a nosotros mismos en comparación con ellos.
No nos olvidemos de ellos...
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Representantes de varias civilizaciones: antiguo Egipto, la antigua Babilonia, la antigua Grecia, la antigua India, China antigua, Oriente medieval, Europa dominó las técnicas de resolución de ecuaciones cuadráticas.
Por primera vez, los matemáticos del Antiguo Egipto pudieron resolver una ecuación cuadrática. Uno de los papiros matemáticos contiene el problema:
"Encuentre los lados de un campo que tiene la forma de un rectángulo, si su área es 12, y - las longitudes son iguales al ancho". “La longitud del campo es 4”, dice el papiro.
Pasaron los milenios, los números negativos entraron en el álgebra. Resolviendo la ecuación x² = 16, obtenemos dos números: 4, -4.
Por supuesto, en el problema egipcio tomaríamos X = 4, ya que la longitud del campo solo puede ser un valor positivo.
Las fuentes que nos han llegado indican que los antiguos científicos poseían algunos trucos comunes resolución de problemas con cantidades desconocidas. La regla para resolver ecuaciones cuadráticas, establecida en los textos babilónicos, es esencialmente la misma que la moderna, pero no se sabe cómo los babilonios "llegaron a este punto". Pero en casi todos los papiros y textos cuneiformes encontrados, solo se dan problemas con soluciones. Los autores solo proporcionaron ocasionalmente sus cálculos numéricos con comentarios mezquinos como: "¡Mira!", "¡Hazlo!", "¡Lo encontraste bien!".
El matemático griego Diofanto escribió y resolvió ecuaciones cuadráticas. Su "Aritmética" no contiene una presentación sistemática de álgebra, pero contiene una serie sistemática de problemas, acompañados de explicaciones y resueltos mediante la compilación de ecuaciones de varios grados.
Las tareas para la compilación de ecuaciones cuadráticas ya se encuentran en el tratado astronómico "Aria-bhatiam", compilado en 499 por el matemático y astrónomo indio Ariabhatta.
Otro científico indio, Brahmagupta (siglo VII), describió la regla general para resolver ecuaciones cuadráticas de la forma ax² + bx = c.
En la India antigua, las competencias públicas para resolver problemas difíciles eran comunes. En uno de los antiguos libros indios sobre tales concursos, se dice lo siguiente: “Como el sol eclipsa a las estrellas con su brillo, así un erudito eclipsará la gloria de otro en reuniones públicas, proponiendo y resolviendo problemas algebraicos”. Las tareas a menudo se vestían de forma poética.
Aquí está uno de los problemas del famoso matemático indio del siglo XII. Bhaskara:
juguetona bandada de monos
Comer bien, divertirse.
La octava parte de ellos en la plaza se divertía en el claro.
Y doce a lo largo de las vides ... comenzaron a saltar, colgando ...
cuantos monos eran
Usted me dice, en este rebaño?
La solución de Bhaskara indica que él sabía acerca de los dos valores de las raíces de las ecuaciones cuadráticas.
Los textos matemáticos chinos más antiguos que nos han llegado datan de finales del siglo I a. ANTES DE CRISTO. En el siglo II. ANTES DE CRISTO. Se escribió Matemáticas en Nueve Libros. Más tarde, en el siglo VII, se incluyó en la colección "Diez tratados clásicos", que fue estudiada durante muchos siglos. El tratado "Matemáticas en Nueve Libros" explica cómo extraer Raíz cuadrada utilizando la fórmula del cuadrado de la suma de dos números.
El método se llamó "tian-yuan" (literalmente, "elemento celestial"), ya que los chinos denotaron una cantidad desconocida.
El primer manual para resolver problemas, que se hizo ampliamente conocido, fue obra del erudito de Bagdad del siglo IX. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. La palabra "al-jabr" se convirtió con el tiempo en la conocida palabra "álgebra", y el trabajo de al-Khwarizmi se convirtió en el punto de partida en el desarrollo de la ciencia de la resolución de ecuaciones. El tratado algebraico de Al-Khorezmi da una clasificación de ecuaciones lineales y cuadráticas. El autor enumera seis tipos de ecuaciones, expresándolas de la siguiente manera:
-cuadrados iguales raíces, eso es ah ² = bx;
-cuadrados igual número, eso es ah ² = c;
-las raices son iguales al numero, es decir, ax = c;
-cuadrados y numeros son iguales a raices, eso es ah ²+ c \u003d bx;
-cuadrados y raíces son iguales al número, eso es ah ² + bx \u003d c;
-las raices y los numeros son cuadrados, es decir, bx + c = ax ²;
El tratado de al-Khwarizmi es el primer libro que nos ha llegado, en el que se presenta sistemáticamente la clasificación de las ecuaciones cuadráticas y se dan fórmulas para su solución.
Las fórmulas para resolver ecuaciones cuadráticas sobre el modelo de al-Khwarizmi en Europa se establecieron por primera vez en el Libro del ábaco, escrito en 1202 por el matemático italiano Leonardo Fibonacci. El autor desarrolló de forma independiente algunos nuevos ejemplos algebraicos de resolución de problemas y fue el primero en Europa en abordar la introducción de números negativos. Su libro contribuyó a la difusión del conocimiento algebraico no solo en Italia, sino también en Alemania, Francia y otros países europeos. Muchas tareas del Libro del ábaco se incluyeron en casi todos los libros de texto europeos de los siglos XVI y XVII. y parte del siglo XVIII.
La regla general para resolver ecuaciones cuadráticas reducidas a una sola forma canónica x ² + bx \u003d c, con todas las combinaciones posibles de signos de los coeficientes b y c, fue formulado en Europa solo en 1544 por M. Stiefel.
Vieta tiene una derivación general de la fórmula para resolver una ecuación cuadrática, pero también reconoció solo raíces positivas. Los matemáticos italianos Tartaglia, Cardano, Bombelli fueron de los primeros en el siglo XVI. tener en cuenta además de las raíces positivas y negativas. Solo en el siglo XVII, gracias a los trabajos de Girard, Descartes, Newton y otros científicos, el método para resolver ecuaciones cuadráticas adquirió una forma moderna.
