”, es decir, ecuaciones de primer grado. En esta lección, exploraremos que es una ecuacion cuadratica Y como resolverlo.

¿Qué es una ecuación cuadrática?

¡Importante!

El grado de una ecuación está determinado por el grado más alto al que se encuentra la incógnita.

si un grado máximo, en el que hay una incógnita - " 2", Entonces tienes una ecuación cuadrática.

Ejemplos de ecuaciones cuadráticas

• 5x2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0,25x = 0
• X 2 − 8 = 0

¡Importante! La forma general de la ecuación cuadrática se ve así:

A x 2 + b x + c = 0

"a", "b" y "c" - números dados.

• "a" - el coeficiente primero o mayor;
• "b" - el segundo coeficiente;
• "c" es un miembro libre.

Para encontrar "a", "b" y "c", debe comparar su ecuación con la forma general de la ecuación cuadrática "ax 2 + bx + c \u003d 0".

Practiquemos determinar los coeficientes "a", "b" y "c" en ecuaciones cuadráticas.

5x2 - 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

La ecuacion	Posibilidades
un=5 b = −14 c = 17
a = −7 b = −13 c = 8

1

3

= 0

• a = −1
• segundo = 1
• c =

  1

  3

x2 + 0,25x = 0

• un = 1
• b = 0,25
• c = 0

X 2 − 8 = 0

• un = 1
• segundo = 0
• c = −8

Cómo resolver ecuaciones cuadráticas

A diferencia de ecuaciones lineales para soluciones ecuaciones cuadráticas especial fórmula para encontrar raíces.

¡Recordar!

Para resolver una ecuación cuadrática necesitas:

• lleve la ecuación cuadrática a la forma general "ax 2 + bx + c \u003d 0". Es decir, solo debe quedar "0" en el lado derecho;
• usa la fórmula para las raíces:

Usemos un ejemplo para descubrir cómo aplicar la fórmula para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática. Resolvamos la ecuación cuadrática.

X 2 - 3x - 4 = 0

La ecuación "x 2 - 3x - 4 = 0" ya se ha reducido a la forma general "ax 2 + bx + c = 0" y no requiere simplificaciones adicionales. Para resolverlo, solo necesitamos aplicar fórmula para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática.

Definamos los coeficientes "a", "b" y "c" para esta ecuación.

x1;2 =
x1;2 =
x1;2 =
x1;2 =

Con su ayuda, se resuelve cualquier ecuación cuadrática.

En la fórmula "x 1; 2 \u003d", la expresión raíz a menudo se reemplaza
"b 2 − 4ac" a la letra "D" y llamado discriminante. El concepto de discriminante se analiza con más detalle en la lección "¿Qué es un discriminante?".

Considere otro ejemplo de una ecuación cuadrática.

x2 + 9 + x = 7x

De esta forma, es bastante difícil determinar los coeficientes "a", "b" y "c". Primero llevemos la ecuación a la forma general "ax 2 + bx + c \u003d 0".

x2 + 9 + x = 7x
x2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 - 6x + 9 = 0

Ahora puedes usar la fórmula para las raíces.

x1;2 =
x1;2 =
x1;2 =
x1;2 =
x=

6

2

x=3
Respuesta: x = 3

Hay momentos en que no hay raíces en las ecuaciones cuadráticas. Esta situación ocurre cuando aparece un número negativo en la fórmula debajo de la raíz.

Con este programa de matemáticas puedes resolver ecuación cuadrática.

El programa no solo da la respuesta al problema, sino que también muestra el proceso de solución de dos maneras:
- usando el discriminante
- usando el teorema de Vieta (si es posible).

Además, la respuesta se muestra exacta, no aproximada.
Por ejemplo, para la ecuación \(81x^2-16x-1=0\), la respuesta se muestra de esta forma:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ en lugar de esto: \(x_1 = 0.247; \ cuádruple x_2 = -0.05 \)

Este programa Puede ser útil para estudiantes de secundaria. escuelas de educacion general En preparación para trabajo de control y exámenes, al probar el conocimiento antes del examen, los padres para controlar la solución de muchos problemas en matemáticas y álgebra. ¿O tal vez es demasiado caro para ti contratar a un tutor o comprar nuevos libros de texto? ¿O simplemente quieres hacerlo lo antes posible? tarea¿matemáticas o álgebra? En este caso, también puede utilizar nuestros programas con una solución detallada.

De esta forma, podrás realizar tu propia formación y/o la formación de tus hermanos o hermanas menores, a la vez que se incrementa el nivel de formación en el campo de las tareas a resolver.

Si no está familiarizado con las reglas para ingresar un polinomio cuadrado, le recomendamos que se familiarice con ellas.

Reglas para ingresar un polinomio cuadrado

Cualquier letra latina puede actuar como variable.
Por ejemplo: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) etc.

Los números se pueden ingresar como enteros o fracciones.
Además, los números fraccionarios se pueden ingresar no solo en forma de decimal, sino también en forma de fracción ordinaria.

Reglas para ingresar fracciones decimales.
En las fracciones decimales, la parte fraccionaria del entero se puede separar con un punto o una coma.
Por ejemplo, puede ingresar decimales entonces: 2.5x - 3.5x^2

Reglas para ingresar fracciones ordinarias.
Solo un número entero puede actuar como numerador, denominador y parte entera de una fracción.

El denominador no puede ser negativo.

Cuando usted entre fracción numérica El numerador está separado del denominador por un signo de división: /
La parte entera está separada de la fracción por un ampersand: &
Entrada: 3 y 1/3 - 5 y 6/5z +1/7z^2
Resultado: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)

Al ingresar una expresión puedes usar paréntesis. En este caso, al resolver una ecuación cuadrática, primero se simplifica la expresión introducida.
Por ejemplo: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

Decidir

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Un poco de teoría.

Ecuación cuadrática y sus raíces. Ecuaciones cuadráticas incompletas

cada una de las ecuaciones
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
tiene la forma
\(ax^2+bx+c=0, \)
donde x es una variable, a, b y c son números.
En la primera ecuación a = -1, b = 6 y c = 1,4, en la segunda a = 8, b = -7 y c = 0, en la tercera a = 1, b = 0 y c = 4/9. Tales ecuaciones se llaman ecuaciones cuadráticas.

Definición.
ecuación cuadrática se llama una ecuación de la forma ax 2 +bx+c=0, donde x es una variable, a, b y c son unos números, y \(a \neq 0 \).

Los números a, b y c son los coeficientes de la ecuación cuadrática. El número a se llama el primer coeficiente, el número b es el segundo coeficiente y el número c es la intersección.

En cada una de las ecuaciones de la forma ax 2 +bx+c=0, donde \(a \neq 0 \), la mayor potencia de la variable x es un cuadrado. De ahí el nombre: ecuación cuadrática.

Tenga en cuenta que una ecuación cuadrática también se llama ecuación de segundo grado, ya que su lado izquierdo es un polinomio de segundo grado.

Una ecuación cuadrática en la que el coeficiente en x 2 es 1 se llama ecuación cuadrática reducida. Por ejemplo, las ecuaciones cuadráticas dadas son las ecuaciones
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Si en la ecuación cuadrática ax 2 +bx+c=0 al menos uno de los coeficientes b o c es igual a cero, entonces tal ecuación se llama ecuación cuadrática incompleta. Entonces, las ecuaciones -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 son ecuaciones cuadráticas incompletas. En el primero de ellos b=0, en el segundo c=0, en el tercero b=0 y c=0.

Las ecuaciones cuadráticas incompletas son de tres tipos:
1) ax 2 +c=0, donde \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, donde \(b \neq 0 \);
3) ax2=0.

Considere la solución de ecuaciones de cada uno de estos tipos.

Para resolver una ecuación cuadrática incompleta de la forma ax 2 +c=0 para \(c \neq 0 \), se traslada su término libre al lado derecho y se dividen ambas partes de la ecuación por a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Como \(c \neq 0 \), entonces \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Si \(-\frac(c)(a)>0 \), entonces la ecuación tiene dos raíces.

Si \(-\frac(c)(a) Para resolver una ecuación cuadrática incompleta de la forma ax 2 +bx=0 para \(b \neq 0 \) factorizar su lado izquierdo y obtener la ecuación
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (matriz)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(matriz) \right. \)

Por lo tanto, una ecuación cuadrática incompleta de la forma ax 2 +bx=0 para \(b \neq 0 \) siempre tiene dos raíces.

Una ecuación cuadrática incompleta de la forma ax 2 \u003d 0 es equivalente a la ecuación x 2 \u003d 0 y, por lo tanto, tiene una sola raíz 0.

La fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática

Consideremos ahora cómo se resuelven las ecuaciones cuadráticas en las que tanto los coeficientes de las incógnitas como el término libre son distintos de cero.

Resolvemos la ecuación cuadrática en vista general y como resultado obtenemos la fórmula de las raíces. Entonces esta fórmula se puede aplicar para resolver cualquier ecuación cuadrática.

Resolver la ecuación cuadrática ax 2 +bx+c=0

Dividiendo sus dos partes por a, obtenemos la ecuación cuadrática reducida equivalente
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Transformamos esta ecuación resaltando el cuadrado del binomio:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Flecha derecha \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \Rightarrow \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

La expresión raíz se llama discriminante de una ecuación cuadrática ax 2 +bx+c=0 ("discriminante" en latín - distintivo). Se denota con la letra D, es decir
\(D = b^2-4ac\)

Ahora, usando la notación del discriminante, reescribimos la fórmula para las raíces de la ecuación cuadrática:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), donde \(D= b^2-4ac \)

Es obvio que:
1) Si D>0, entonces la ecuación cuadrática tiene dos raíces.
2) Si D=0, entonces la ecuación cuadrática tiene una raíz \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Si D Así, dependiendo del valor del discriminante, la ecuación cuadrática puede tener dos raíces (para D > 0), una raíz (para D = 0) o ninguna raíz (para D Al resolver una ecuación cuadrática usando esta fórmula , es recomendable hacerlo de la siguiente manera:
1) calcular el discriminante y compararlo con cero;
2) si el discriminante es positivo o igual a cero, entonces usa la fórmula de la raíz, si el discriminante es negativo, entonces escribe que no hay raíces.

teorema de Vieta

La ecuación cuadrática dada ax 2 -7x+10=0 tiene raíces 2 y 5. La suma de las raíces es 7 y el producto es 10. Vemos que la suma de las raíces es igual al segundo coeficiente tomado de signo opuesto, y el producto de las raíces es igual al término libre. Cualquier ecuación cuadrática reducida que tenga raíces tiene esta propiedad.

La suma de las raíces de la ecuación cuadrática dada es igual al segundo coeficiente, tomado con signo opuesto, y el producto de las raíces es igual al término libre.

Aquellas. El teorema de Vieta establece que las raíces x 1 y x 2 de la ecuación cuadrática reducida x 2 +px+q=0 tienen la propiedad:
\(\left\( \begin(matriz)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(matriz) \right. \)

Primer nivel

Ecuaciones cuadráticas. Guía completa (2019)

En el término "ecuación cuadrática" la palabra clave es "cuadrática". Esto significa que la ecuación debe contener necesariamente una variable (la misma X) en el cuadrado, y al mismo tiempo no debe haber X de tercer (o mayor) grado.

La solución de muchas ecuaciones se reduce a la solución de ecuaciones cuadráticas.

Aprendamos a determinar que tenemos una ecuación cuadrática, y no otra.

Ejemplo 1

Deshazte del denominador y multiplica cada término de la ecuación por

Movamos todo hacia el lado izquierdo y organicemos los términos en orden descendente de potencias de x

¡Ahora podemos decir con confianza que esta ecuación es cuadrática!

Ejemplo 2

Multiplica los lados izquierdo y derecho por:

Esta ecuación, aunque originalmente estaba en ella, ¡no es un cuadrado!

Ejemplo 3

Multipliquemos todo por:

¿Aterrador? Los grados cuarto y segundo... Sin embargo, si hacemos un reemplazo, veremos que tenemos una ecuación cuadrática simple:

Ejemplo 4

Parece ser, pero echemos un vistazo más de cerca. Vamos a mover todo al lado izquierdo:

Verás, se ha encogido, ¡y ahora es una ecuación lineal simple!

Ahora intenta determinar por ti mismo cuáles de las siguientes ecuaciones son cuadráticas y cuáles no:

Ejemplos:

Respuestas:

1. cuadrado;
2. cuadrado;
3. no cuadrado;
4. no cuadrado;
5. no cuadrado;
6. cuadrado;
7. no cuadrado;
8. cuadrado.

Los matemáticos dividen condicionalmente todas las ecuaciones cuadráticas en los siguientes tipos:

• Completar ecuaciones cuadráticas- ecuaciones en las que los coeficientes y, así como el término libre c, no son iguales a cero (como en el ejemplo). Además, entre las ecuaciones cuadráticas completas, hay dado son ecuaciones en las que el coeficiente (la ecuación del ejemplo uno no solo está completa, ¡sino que también se reduce!)

• Ecuaciones cuadráticas incompletas- ecuaciones en las que el coeficiente y/o el término libre c son iguales a cero:

  Están incompletos porque les falta algún elemento. ¡Pero la ecuación siempre debe contener x al cuadrado! De lo contrario, ya no será una ecuación cuadrática, sino alguna otra ecuación.

¿Por qué se les ocurrió tal división? Parecería que hay una X al cuadrado, y está bien. Tal división se debe a los métodos de solución. Consideremos cada uno de ellos con más detalle.

Resolver ecuaciones cuadráticas incompletas

Primero, concentrémonos en resolver ecuaciones cuadráticas incompletas: ¡son mucho más simples!

Las ecuaciones cuadráticas incompletas son de tipos:

1. , en esta ecuación el coeficiente es igual.
2. , en esta ecuación el término libre es igual a.
3. , en esta ecuación el coeficiente y el término libre son iguales.

1. yo Como sabemos cómo sacar la raíz cuadrada, expresemos a partir de esta ecuación

La expresión puede ser negativa o positiva. Un número al cuadrado no puede ser negativo, porque al multiplicar dos números negativos o dos positivos, el resultado siempre será un número positivo, entonces: si, entonces la ecuación no tiene soluciones.

Y si, entonces obtenemos dos raíces. Estas fórmulas no necesitan ser memorizadas. Lo principal es que siempre debes saber y recordar que no puede ser menos.

Intentemos resolver algunos ejemplos.

Ejemplo 5:

Resuelve la ecuación

Ahora queda por extraer la raíz de las partes izquierda y derecha. Después de todo, ¿recuerdas cómo extraer las raíces?

Responder:

¡¡¡Nunca te olvides de las raíces con signo negativo!!!

Ejemplo 6:

Resuelve la ecuación

Responder:

Ejemplo 7:

Resuelve la ecuación

¡Ay! El cuadrado de un número no puede ser negativo, lo que significa que la ecuación

¡Sin raíces!

Para tales ecuaciones en las que no hay raíces, a los matemáticos se les ocurrió un ícono especial: (conjunto vacío). Y la respuesta se puede escribir así:

Responder:

Por lo tanto, esta ecuación cuadrática tiene dos raíces. No hay restricciones aquí, ya que no extrajimos la raíz.
Ejemplo 8:

Resuelve la ecuación

Saquemos el factor común fuera de paréntesis:

Por lo tanto,

Esta ecuación tiene dos raíces.

Responder:

El tipo más simple de ecuaciones cuadráticas incompletas (aunque todas son simples, ¿no?). Obviamente, esta ecuación siempre tiene una sola raíz:

Aquí prescindiremos de ejemplos.

Resolver ecuaciones cuadráticas completas

Te recordamos que la ecuación cuadrática completa es una ecuación de la forma ecuación donde

Resolver ecuaciones cuadráticas completas es un poco más complicado (solo un poco) que las dadas.

Recordar, ¡cualquier ecuación cuadrática se puede resolver usando el discriminante! Incluso incompleto.

El resto de los métodos te ayudarán a hacerlo más rápido, pero si tienes problemas con las ecuaciones cuadráticas, primero domina la solución usando el discriminante.

1. Resolver ecuaciones cuadráticas utilizando el discriminante.

Resolver ecuaciones cuadráticas de esta manera es muy simple, lo principal es recordar la secuencia de acciones y un par de fórmulas.

Si, entonces la ecuación tiene una raíz Atención especial dibujar un paso. El discriminante () nos dice el número de raíces de la ecuación.

• Si, entonces la fórmula en el paso se reducirá a. Por lo tanto, la ecuación tendrá solo una raíz.
• Si, entonces no podremos extraer la raíz del discriminante en el paso. Esto indica que la ecuación no tiene raíces.

Volvamos a nuestras ecuaciones y veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 9:

Resuelve la ecuación

Paso 1 saltear.

Paso 2

Encontrar el discriminante:

Entonces la ecuación tiene dos raíces.

Paso 3

Responder:

Ejemplo 10:

Resuelve la ecuación

La ecuación está en forma estándar, por lo que Paso 1 saltear.

Paso 2

Encontrar el discriminante:

Entonces la ecuación tiene una raíz.

Responder:

Ejemplo 11:

Resuelve la ecuación

La ecuación está en forma estándar, por lo que Paso 1 saltear.

Paso 2

Encontrar el discriminante:

Esto significa que no podremos extraer la raíz del discriminante. No hay raíces de la ecuación.

Ahora sabemos cómo escribir esas respuestas correctamente.

Responder: sin raíces

2. Solución de ecuaciones cuadráticas mediante el teorema de Vieta.

Si recuerdas, existe un tipo de ecuaciones que se llaman reducidas (cuando el coeficiente a es igual a):

Tales ecuaciones son muy fáciles de resolver usando el teorema de Vieta:

La suma de las raíces dado ecuación cuadrática es igual, y el producto de las raíces es igual.

Ejemplo 12:

Resuelve la ecuación

Esta ecuación es adecuada para la solución usando el teorema de Vieta, porque .

La suma de las raíces de la ecuación es, es decir, obtenemos la primera ecuación:

Y el producto es:

Vamos a crear y resolver el sistema:

• y. La suma es;
• y. La suma es;
• y. La cantidad es igual.

y son la solución del sistema:

Responder: ; .

Ejemplo 13:

Resuelve la ecuación

Responder:

Ejemplo 14:

Resuelve la ecuación

La ecuación se reduce, lo que significa:

Responder:

ECUACIONES CUADRÁTICAS. NIVEL MEDIO

¿Qué es una ecuación cuadrática?

En otras palabras, una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma, donde - desconocido, - algunos números, además.

El número se llama el más alto o primer coeficiente ecuación cuadrática, - segundo coeficiente, un - miembro gratuito.

¿Por qué? Porque si, la ecuación inmediatamente se volverá lineal, porque desaparecerá.

En este caso, y puede ser igual a cero. En este taburete la ecuación se llama incompleta. Si todos los términos están en su lugar, es decir, la ecuación está completa.

Soluciones a varios tipos de ecuaciones cuadráticas

Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas:

Para empezar, analizaremos los métodos para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas; son más simples.

Se pueden distinguir los siguientes tipos de ecuaciones:

I. , en esta ecuación el coeficiente y el término libre son iguales.

II. , en esta ecuación el coeficiente es igual.

tercero , en esta ecuación el término libre es igual a.

Ahora considere la solución de cada uno de estos subtipos.

Obviamente, esta ecuación siempre tiene una sola raíz:

Un número al cuadrado no puede ser negativo, porque al multiplicar dos números negativos o dos positivos, el resultado siempre será un número positivo. Asi que:

si, entonces la ecuación no tiene soluciones;

si tenemos dos raices

Estas fórmulas no necesitan ser memorizadas. Lo principal a recordar es que no puede ser menos.

Ejemplos:

Soluciones:

Responder:

¡Nunca te olvides de las raíces con signo negativo!

El cuadrado de un número no puede ser negativo, lo que significa que la ecuación

sin raíces

Para escribir brevemente que el problema no tiene solución, usamos el ícono de conjunto vacío.

Responder:

Entonces, esta ecuación tiene dos raíces: y.

Responder:

Saquemos el factor común fuera de paréntesis:

El producto es igual a cero si al menos uno de los factores es igual a cero. Esto significa que la ecuación tiene solución cuando:

Entonces, esta ecuación cuadrática tiene dos raíces: y.

Ejemplo:

Resuelve la ecuación.

Decisión:

Factorizamos el lado izquierdo de la ecuación y encontramos las raíces:

Responder:

Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas completas:

1. Discriminante

Resolver ecuaciones cuadráticas de esta manera es fácil, lo principal es recordar la secuencia de acciones y un par de fórmulas. Recuerda, ¡cualquier ecuación cuadrática se puede resolver usando el discriminante! Incluso incompleto.

¿Notaste la raíz del discriminante en la fórmula raíz? Pero el discriminante puede ser negativo. ¿Qué hacer? Debemos prestar especial atención al paso 2. El discriminante nos dice el número de raíces de la ecuación.

• Si, entonces la ecuación tiene una raíz:
• Si, entonces la ecuación tiene la misma raíz, pero de hecho, una raíz:

  Tales raíces se llaman raíces dobles.

• Si, entonces no se extrae la raíz del discriminante. Esto indica que la ecuación no tiene raíces.

¿Por qué es posible? cantidad diferente¿raíces? volvamos a sentido geométrico ecuación cuadrática. La gráfica de la función es una parábola:

En un caso particular, que es una ecuación cuadrática, . Y esto significa que las raíces de la ecuación cuadrática son los puntos de intersección con el eje x (eje). La parábola puede no cruzar el eje en absoluto, o puede intersecarlo en uno (cuando la parte superior de la parábola se encuentra en el eje) o en dos puntos.

Además, el coeficiente es responsable de la dirección de las ramas de la parábola. Si, entonces las ramas de la parábola se dirigen hacia arriba, y si, entonces hacia abajo.

Ejemplos:

Soluciones:

Responder:

Responder: .

Responder:

Esto significa que no hay soluciones.

Responder: .

2. Teorema de Vieta

Usar el teorema de Vieta es muy fácil: solo necesitas elegir un par de números cuyo producto sea igual al término libre de la ecuación, y la suma sea igual al segundo coeficiente, tomado con el signo opuesto.

Es importante recordar que el teorema de Vieta solo se puede aplicar a ecuaciones cuadráticas dadas ().

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1:

Resuelve la ecuación.

Decisión:

Esta ecuación es adecuada para la solución usando el teorema de Vieta, porque . Otros coeficientes: ; .

La suma de las raíces de la ecuación es:

Y el producto es:

Seleccionemos esos pares de números, cuyo producto es igual, y verifiquemos si su suma es igual:

• y. La suma es;
• y. La suma es;
• y. La cantidad es igual.

y son la solución del sistema:

Por lo tanto, y son las raíces de nuestra ecuación.

Responder: ; .

Ejemplo #2:

Decisión:

Seleccionamos los pares de números que dan el producto y luego verificamos si su suma es igual:

y: dar en total.

y: dar en total. Para obtenerlo, solo necesita cambiar los signos de las supuestas raíces: y, después de todo, el producto.

Responder:

Ejemplo #3:

Decisión:

El término libre de la ecuación es negativo y, por lo tanto, el producto de las raíces es un número negativo. Esto es posible solo si una de las raíces es negativa y la otra es positiva. Entonces la suma de las raíces es diferencias de sus modulos.

Seleccionamos tales pares de números que dan en el producto, y cuya diferencia es igual a:

y: su diferencia es - no adecuado;

y: - no apto;

y: - no apto;

y: - adecuado. Solo queda recordar que una de las raíces es negativa. Como su suma debe ser igual, entonces la raíz, que es menor en valor absoluto, debe ser negativa: . Verificamos:

Responder:

Ejemplo #4:

Resuelve la ecuación.

Decisión:

La ecuación se reduce, lo que significa:

El término libre es negativo y, por lo tanto, el producto de las raíces es negativo. Y esto es posible solo cuando una raíz de la ecuación es negativa y la otra es positiva.

Seleccionamos esos pares de números cuyo producto es igual, y luego determinamos qué raíces deben tener un signo negativo:

Obviamente, solo las raíces y son adecuadas para la primera condición:

Responder:

Ejemplo #5:

Resuelve la ecuación.

Decisión:

La ecuación se reduce, lo que significa:

La suma de las raíces es negativa, lo que significa que al menos una de las raíces es negativa. Pero como su producto es positivo, significa que ambas raíces son negativas.

Seleccionamos tales pares de números, cuyo producto es igual a:

Obviamente, las raíces son los números y.

Responder:

De acuerdo, es muy conveniente: inventar raíces oralmente, en lugar de contar este desagradable discriminante. Trate de usar el teorema de Vieta tan a menudo como sea posible.

Pero se necesita el teorema de Vieta para facilitar y acelerar la búsqueda de raíces. Para que te resulte rentable su uso, debes llevar las acciones al automatismo. Y para ello, resuelve cinco ejemplos más. Pero no hagas trampa: ¡no puedes usar el discriminante! Sólo el teorema de Vieta:

Soluciones para tareas de trabajo independiente:

Tarea 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Según el teorema de Vieta:

Como de costumbre, comenzamos la selección con el producto:

No apto por la cantidad;

: la cantidad es la que necesitas.

Responder: ; .

Tarea 2.

Y de nuevo, nuestro teorema de Vieta favorito: la suma debería funcionar, pero el producto es igual.

Pero como no debería ser, pero, cambiamos los signos de las raíces: y (en total).

Responder: ; .

Tarea 3.

Mmm... ¿Dónde está?

Es necesario transferir todos los términos en una sola parte:

La suma de las raíces es igual al producto.

¡Sí, para! No se da la ecuación. Pero el teorema de Vieta es aplicable solo en las ecuaciones dadas. Así que primero necesitas traer la ecuación. Si no puede mencionarlo, descarte esta idea y resuélvalo de otra manera (por ejemplo, a través del discriminante). Déjame recordarte que traer una ecuación cuadrática significa hacer que el coeficiente principal sea igual a:

Bien. Entonces la suma de las raíces es igual, y el producto.

Es más fácil retomar aquí: después de todo, un número primo (perdón por la tautología).

Responder: ; .

Tarea 4.

El término libre es negativo. ¿Qué tiene de especial? Y el hecho de que las raíces serán de diferentes signos. Y ahora, durante la selección, comprobamos no la suma de las raíces, sino la diferencia entre sus módulos: esta diferencia es igual, pero el producto.

Entonces, las raíces son iguales y, pero una de ellas es con menos. El teorema de Vieta nos dice que la suma de las raíces es igual al segundo coeficiente con signo opuesto, es decir. Esto significa que la raíz más pequeña tendrá un menos: y, ya que.

Responder: ; .

Tarea 5.

¿Qué hay que hacer primero? Así es, da la ecuación:

Nuevamente: seleccionamos los factores del número, y su diferencia debe ser igual a:

Las raíces son iguales y, pero una de ellas es menos. ¿Cual? Su suma debe ser igual, lo que significa que con menos habrá una raíz más grande.

Responder: ; .

Permítanme resumir:

1. El teorema de Vieta se usa solo en las ecuaciones cuadráticas dadas.
2. Usando el teorema de Vieta, puedes encontrar las raíces por selección, oralmente.
3. Si no se proporciona la ecuación o no se encontró un par adecuado de factores del término libre, entonces no hay raíces enteras y debe resolverlo de otra manera (por ejemplo, a través del discriminante).

3. Método de selección de cuadro completo

Si todos los términos que contienen la incógnita se representan como términos de las fórmulas de la multiplicación abreviada, el cuadrado de la suma o diferencia, luego del cambio de variables, la ecuación se puede representar como una ecuación cuadrática incompleta del tipo.

Por ejemplo:

Ejemplo 1:

Resuelve la ecuación: .

Decisión:

Responder:

Ejemplo 2:

Resuelve la ecuación: .

Decisión:

Responder:

En general, la transformación se verá así:

Esto implica: .

¿No te recuerda a nada? ¡Es el discriminante! Así es exactamente como se obtuvo la fórmula discriminante.

ECUACIONES CUADRÁTICAS. BREVEMENTE SOBRE LOS PRINCIPALES

Ecuación cuadrática es una ecuación de la forma, donde es la incógnita, son los coeficientes de la ecuación cuadrática, es el término libre.

Ecuación cuadrática completa- una ecuación en la que los coeficientes no son iguales a cero.

Ecuación cuadrática reducida- una ecuación en la que el coeficiente, es decir: .

Ecuación cuadrática incompleta- una ecuación en la que el coeficiente y/o el término libre c son iguales a cero:

• si el coeficiente, la ecuación tiene la forma: ,
• si es un término libre, la ecuación tiene la forma: ,
• si y, la ecuación tiene la forma: .

1. Algoritmo para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas

1.1. Una ecuación cuadrática incompleta de la forma, donde, :

1) Expresar la incógnita: ,

2) Verifica el signo de la expresión:

• si, entonces la ecuación no tiene soluciones,
• si, entonces la ecuación tiene dos raíces.

1.2. Una ecuación cuadrática incompleta de la forma, donde, :

1) Saquemos el factor común fuera de paréntesis: ,

2) El producto es igual a cero si al menos uno de los factores es igual a cero. Por lo tanto, la ecuación tiene dos raíces:

1.3. Una ecuación cuadrática incompleta de la forma, donde:

Esta ecuación siempre tiene una sola raíz: .

2. Algoritmo para resolver ecuaciones cuadráticas completas de la forma donde

2.1. Solución usando el discriminante

1) Llevamos la ecuación a vista estándar: ,

2) Calcular el discriminante mediante la fórmula: , que indica el número de raíces de la ecuación:

3) Encuentra las raíces de la ecuación:

• si, entonces la ecuación tiene una raíz, que se encuentran por la fórmula:
• si, entonces la ecuación tiene una raíz, que se encuentra mediante la fórmula:
• si, entonces la ecuación no tiene raíces.

2.2. Solución usando el teorema de Vieta

La suma de las raíces de la ecuación cuadrática reducida (una ecuación de la forma donde) es igual, y el producto de las raíces es igual, es decir , un.

2.3. solución cuadrada completa

Algunos problemas de matemáticas requieren la capacidad de calcular el valor de la raíz cuadrada. Estos problemas incluyen la resolución de ecuaciones de segundo orden. En este artículo, presentamos metodo efectivo calculos raíces cuadradas y úsalo cuando trabajes con las fórmulas de las raíces de una ecuación cuadrática.

¿Qué es una raíz cuadrada?

En matemáticas, este concepto corresponde al símbolo √. Los datos históricos dicen que comenzó a usarse por primera vez alrededor de la primera mitad del siglo XVI en Alemania (el primer trabajo alemán sobre álgebra de Christoph Rudolf). Los científicos creen que este símbolo es una letra latina transformada r (radix significa "raíz" en latín).

La raíz de cualquier número es igual a tal valor, cuyo cuadrado corresponde a la expresión de la raíz. En el lenguaje de las matemáticas, esta definición se verá así: √x = y si y 2 = x.

Raíz de numero positivo(x > 0) también es un número positivo (y > 0), pero si sacas la raíz de un número negativo (x< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.

Aquí hay dos ejemplos simples:

√9 = 3 porque 3 2 = 9; √(-9) = 3i ya que i 2 = -1.

Fórmula iterativa de Heron para encontrar los valores de las raíces cuadradas

Los ejemplos anteriores son muy simples y el cálculo de las raíces en ellos no es difícil. Ya empiezan a aparecer dificultades a la hora de encontrar los valores de la raíz para cualquier valor que no se pueda representar como un cuadrado número natural, por ejemplo √10, √11, √12, √13, sin mencionar el hecho de que en la práctica es necesario encontrar raíces para números no enteros: por ejemplo √(12.15), √(8.5) y así sucesivamente.

En todos los casos anteriores, se debe utilizar un método especial para calcular la raíz cuadrada. En la actualidad, se conocen varios de estos métodos: por ejemplo, la expansión en una serie de Taylor, la división por una columna y algunos otros. De todo métodos conocidos Quizás la más simple y efectiva es usar la fórmula iterativa de Heron, que también se conoce como el método babilónico para determinar raíces cuadradas (hay evidencia de que los antiguos babilonios la usaban en sus cálculos prácticos).

Sea necesario determinar el valor de √x. La fórmula para encontrar la raíz cuadrada tiene siguiente vista:

a n+1 = 1/2(a n +x/a n), donde lim n->∞ (a n) => x.

Vamos a descifrar esta notación matemática. Para calcular √x, debe tomar un número a 0 (puede ser arbitrario, sin embargo, para obtener el resultado rápidamente, debe elegirlo de modo que (a 0) 2 sea lo más cercano posible a x. Luego sustitúyalo en el fórmula especificada para calcular la raíz cuadrada y obtener un nuevo número a 1, que ya estará más cerca del valor deseado. Después de eso, es necesario sustituir un 1 en la expresión y obtener un 2. Este procedimiento debe repetirse hasta se obtiene la precisión requerida.

Un ejemplo de aplicación de la fórmula iterativa de Heron

El algoritmo descrito anteriormente para obtener la raíz cuadrada de algún número dado puede sonar algo complicado y confuso para muchos, pero en realidad todo resulta mucho más sencillo, ya que esta fórmula converge muy rápidamente (sobre todo si se elige un buen número un 0) .

Pongamos un ejemplo sencillo: es necesario calcular √11. Elegimos un 0 \u003d 3, ya que 3 2 \u003d 9, que está más cerca de 11 que 4 2 \u003d 16. Sustituyendo en la fórmula, obtenemos:

a 1 \u003d 1/2 (3 + 11/3) \u003d 3.333333;

un 2 \u003d 1/2 (3.33333 + 11 / 3.33333) \u003d 3.316668;

un 3 \u003d 1/2 (3.316668 + 11 / 3.316668) \u003d 3.31662.

No tiene sentido continuar con los cálculos, ya que hemos encontrado que un 2 y un 3 comienzan a diferir solo en el quinto decimal. Por lo tanto, bastó aplicar la fórmula solo 2 veces para calcular √11 con una precisión de 0.0001.

En la actualidad, las calculadoras y las computadoras son muy utilizadas para calcular las raíces, sin embargo, es útil recordar la fórmula marcada para poder calcular manualmente su valor exacto.

Ecuaciones de segundo orden

La comprensión de lo que es una raíz cuadrada y la capacidad de calcularla se utiliza al resolver ecuaciones cuadráticas. Estas ecuaciones son igualdades con una incógnita, cuya forma general se muestra en la siguiente figura.

Aquí c, b y a son algunos números, y a no debe ser igual a cero, y los valores de c y b pueden ser completamente arbitrarios, incluso ser igual a cero.

Cualquier valor de x que satisfaga la igualdad indicada en la figura se llama su raíz (este concepto no debe confundirse con la raíz cuadrada √). Dado que la ecuación en consideración tiene el segundo orden (x 2), entonces no puede haber más raíces para ella que dos números. Consideraremos más adelante en el artículo cómo encontrar estas raíces.

Encontrar las raíces de una ecuación cuadrática (fórmula)

Este método de resolver el tipo de igualdades en consideración también se llama universal, o el método a través del discriminante. Se puede aplicar a cualquier ecuación cuadrática. La fórmula para el discriminante y las raíces de la ecuación cuadrática es la siguiente:

Se puede ver que las raíces dependen del valor de cada uno de los tres coeficientes de la ecuación. Además, el cálculo de x 1 difiere del cálculo de x 2 solo por el signo delante de la raíz cuadrada. La expresión radical, que es igual a b 2 - 4ac, no es más que el discriminante de la igualdad considerada. El discriminante en la fórmula de las raíces de una ecuación cuadrática juega un papel importante porque determina el número y tipo de soluciones. Entonces, si es cero, entonces habrá una sola solución, si es positivo, entonces la ecuación tiene dos raíces reales y, finalmente, un discriminante negativo conduce a dos raíces complejas x 1 y x 2.

El teorema de Vieta o algunas propiedades de las raíces de las ecuaciones de segundo orden

A fines del siglo XVI, uno de los fundadores del álgebra moderna, un francés, al estudiar ecuaciones de segundo orden, pudo obtener las propiedades de sus raíces. Matemáticamente, se pueden escribir así:

x 1 + x 2 = -b / a y x 1 * x 2 = c / a.

Ambas igualdades pueden ser fácilmente obtenidas por todos, para ello sólo es necesario realizar las operaciones matemáticas oportunas con las raíces obtenidas mediante una fórmula con discriminante.

La combinación de estas dos expresiones puede llamarse legítimamente la segunda fórmula de las raíces de una ecuación cuadrática, que permite adivinar sus soluciones sin usar el discriminante. Aquí cabe señalar que si bien ambas expresiones son siempre válidas, es conveniente usarlas para resolver una ecuación solo si se puede factorizar.

La tarea de consolidar los conocimientos adquiridos

Nosotros decidiremos problema de matemáticas, en el que demostraremos todas las técnicas discutidas en el artículo. Las condiciones del problema son las siguientes: necesitas encontrar dos números cuyo producto sea -13 y la suma sea 4.

Esta condición recuerda inmediatamente el teorema de Vieta, usando las fórmulas para la suma de raíces cuadradas y su producto, escribimos:

x 1 + x 2 \u003d -b / a \u003d 4;

x 1 * x 2 \u003d c / a \u003d -13.

Suponiendo a = 1, entonces b = -4 yc = -13. Estos coeficientes nos permiten componer una ecuación de segundo orden:

x 2 - 4x - 13 = 0.

Usamos la fórmula con el discriminante, obtenemos las siguientes raíces:

x 1,2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.

Es decir, la tarea se reducía a encontrar el número √68. Tenga en cuenta que 68 = 4 * 17, luego, usando la propiedad de la raíz cuadrada, obtenemos: √68 = 2√17.

Ahora usamos la fórmula de raíz cuadrada considerada: a 0 \u003d 4, luego:

un 1 \u003d 1/2 (4 + 17/4) \u003d 4.125;

un 2 \u003d 1/2 (4.125 + 17 / 4.125) \u003d 4.1231.

No es necesario calcular un 3 porque los valores encontrados difieren solo en 0,02. Por tanto, √68 = 8,246. Sustituyendo en la fórmula para x 1,2, obtenemos:

x 1 \u003d (4 + 8.246) / 2 \u003d 6.123 y x 2 \u003d (4 - 8.246) / 2 \u003d -2.123.

Como puede ver, la suma de los números encontrados es realmente igual a 4, pero si encuentra su producto, entonces será igual a -12.999, lo que satisface la condición del problema con una precisión de 0.001.

Escuela secundaria rural Kopyevskaya

10 formas de resolver ecuaciones cuadráticas

Jefe: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

profesor de matematicas

s.Kopyevo, 2007

1. Historia del desarrollo de las ecuaciones cuadráticas

1.1 Ecuaciones cuadráticas en la antigua Babilonia

1.2 Cómo Diofanto compiló y resolvió ecuaciones cuadráticas

1.3 Ecuaciones cuadráticas en India

1.4 Ecuaciones cuadráticas en al-Khwarizmi

1.5 Ecuaciones cuadráticas en Europa siglos XIII - XVII

1.6 Sobre el teorema de Vieta

2. Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas

Conclusión

Literatura

1. Historia del desarrollo de las ecuaciones cuadráticas

1.1 Ecuaciones cuadráticas en la antigua Babilonia

La necesidad de resolver ecuaciones no solo de primer grado, sino también de segundo grado en la antigüedad fue causada por la necesidad de resolver problemas relacionados con encontrar las áreas de tierra y movimiento de tierras naturaleza militar, así como con el desarrollo de la astronomía y las propias matemáticas. Las ecuaciones cuadráticas se pudieron resolver alrededor del año 2000 a. mi. babilonios.

Aplicando la notación algebraica moderna, podemos decir que en sus textos cuneiformes hay, además de incompletos, como, por ejemplo, ecuaciones cuadráticas completas:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

La regla para resolver estas ecuaciones, enunciada en los textos babilónicos, coincide esencialmente con la moderna, pero no se sabe cómo llegaron los babilonios a esta regla. Casi todos los textos cuneiformes encontrados hasta ahora solo dan problemas con soluciones establecidas en forma de recetas, sin indicación de cómo se encontraron.

A pesar de nivel alto desarrollo del álgebra en Babilonia, en los textos cuneiformes no existe el concepto de un número negativo y métodos comunes Soluciones de ecuaciones cuadráticas.

1.2 Cómo Diofanto compiló y resolvió ecuaciones cuadráticas.

La Aritmética de Diofanto no contiene una exposición sistemática del álgebra, pero contiene una serie sistemática de problemas, acompañados de explicaciones y resueltos mediante la formulación de ecuaciones de varios grados.

Al compilar ecuaciones, Diofanto elige hábilmente las incógnitas para simplificar la solución.

Aquí, por ejemplo, está una de sus tareas.

Tarea 11."Encuentra dos números sabiendo que su suma es 20 y su producto es 96"

Diofanto argumenta lo siguiente: de la condición del problema se sigue que los números buscados no son iguales, ya que si fueran iguales, entonces su producto sería igual no a 96, sino a 100. Así, uno de ellos será mayor que la mitad de su suma, es decir . 10+x, el otro es más pequeño, es decir 10's. La diferencia entre ellos 2x .

De ahí la ecuación:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

De aquí x = 2. Uno de los números deseados es 12 , otro 8 . Decisión x = -2 porque Diofanto no existe, ya que las matemáticas griegas sólo conocían números positivos.

Si resolvemos este problema eligiendo uno de los números deseados como incógnita, llegaremos a la solución de la ecuación

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Está claro que, al elegir como incógnita la semidiferencia de los números buscados, Diofanto simplifica la solución; logra reducir el problema a resolver una ecuación cuadrática incompleta (1).

1.3 Ecuaciones cuadráticas en India

Los problemas para las ecuaciones cuadráticas ya se encuentran en el tratado astronómico "Aryabhattam", compilado en 499 por el matemático y astrónomo indio Aryabhatta. Otro erudito indio, Brahmagupta (siglo VII), expuso regla general soluciones de ecuaciones cuadráticas reducidas a una sola forma canónica:

Ah 2+ b x = c, a > 0. (1)

En la ecuación (1), los coeficientes, a excepción de un, también puede ser negativo. La regla de Brahmagupta coincide esencialmente con la nuestra.

En la India antigua, las competencias públicas para resolver problemas difíciles eran comunes. En uno de los antiguos libros indios, se dice lo siguiente sobre tales concursos: “Así como el sol eclipsa a las estrellas con su brillo, así un erudito eclipsará la gloria de otro en reuniones públicas, proponiendo y resolviendo problemas algebraicos”. Las tareas a menudo se vestían de forma poética.

Aquí está uno de los problemas del famoso matemático indio del siglo XII. Bhaskara.

Tarea 13.

“Una juguetona bandada de monos y doce en vides...

Habiendo comido el poder, se divirtió. Empezaron a saltar, colgando...

Parte ocho de ellos en un cuadrado ¿Cuántos monos había allí,

Divertirse en el prado. Usted me dice, en este rebaño?

La solución de Bhaskara indica que él sabía acerca de los dos valores de las raíces de las ecuaciones cuadráticas (Fig. 3).

La ecuación correspondiente al problema 13 es:

( X /8) 2 + 12 = X

Bhaskara escribe bajo la apariencia de:

x2 - 64x = -768

y, para completar el lado izquierdo de esta ecuación a un cuadrado, suma a ambos lados 32 2 , obteniendo entonces:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x1 = 16, x2 = 48.

1.4 Ecuaciones cuadráticas en al-Khorezmi

El tratado algebraico de Al-Khorezmi da una clasificación de ecuaciones lineales y cuadráticas. El autor enumera 6 tipos de ecuaciones, expresándolas de la siguiente manera:

1) "Los cuadrados son iguales a las raíces", es decir, hacha 2 + c = b X.

2) "Los cuadrados son iguales al número", es decir, hacha 2 = s.

3) "Las raíces son iguales al número", es decir ah = s.

4) "Cuadrados y números son iguales a raíces", es decir hacha 2 + c = b X.

5) "Cuadrados y raíces son iguales al número", es decir Ah 2+ bx = s.

6) "Raíces y números son iguales a cuadrados", es decir bx + c \u003d hacha 2.

Para al-Khorezmi, que evitó el uso de números negativos, los términos de cada una de estas ecuaciones son sumandos, no sustraendos. En este caso, obviamente, las ecuaciones que no tienen soluciones positivas no se tienen en cuenta. El autor establece los métodos para resolver estas ecuaciones, utilizando los métodos de al-jabr y al-muqabala. Sus decisiones, por supuesto, no coinciden completamente con las nuestras. Por no hablar del hecho de que es puramente retórico, cabe señalar, por ejemplo, que al resolver una ecuación cuadrática incompleta del primer tipo

al-Khorezmi, como todos los matemáticos anteriores al siglo XVII, no tiene en cuenta la solución cero, probablemente porque no importa en problemas prácticos específicos. Al resolver ecuaciones cuadráticas completas, al-Khorezmi establece las reglas para resolver, y luego las pruebas geométricas, usando ejemplos numéricos particulares.

Tarea 14.“El cuadrado y el número 21 son iguales a 10 raíces. encuentra la raíz" (suponiendo que la raíz de la ecuación x 2 + 21 = 10x).

La solución del autor es más o menos así: divide el número de raíces por la mitad, obtienes 5, multiplica 5 por sí mismo, resta 21 del producto, queda 4. Saca la raíz de 4, obtienes 2. Resta 2 de 5, obtienes obtener 3, esta será la raíz deseada. O sumar 2 a 5, lo que dará 7, esto también es una raíz.

El Tratado al-Khorezmi es el primer libro que nos ha llegado, en el que se establece sistemáticamente la clasificación de las ecuaciones cuadráticas y se dan las fórmulas para su solución.

1.5 Ecuaciones cuadráticas en Europa XIII - XVII siglos

Las fórmulas para resolver ecuaciones cuadráticas sobre el modelo de al-Khorezmi en Europa se establecieron por primera vez en el "Libro del ábaco", escrito en 1202 por el matemático italiano Leonardo Fibonacci. Esta voluminosa obra, que refleja la influencia de las matemáticas, tanto en los países del Islam como en Antigua Grecia, difiere tanto en la integridad como en la claridad de la presentación. El autor desarrolló de forma independiente algunos nuevos ejemplos algebraicos resolución de problemas y fue el primero en Europa en abordar la introducción de números negativos. Su libro contribuyó a la difusión del conocimiento algebraico no solo en Italia, sino también en Alemania, Francia y otros países europeos. Muchas tareas del "Libro del ábaco" pasaron a casi todos los libros de texto europeos de los siglos XVI y XVII. y en parte XVIII.

La regla general para resolver ecuaciones cuadráticas reducida a una sola forma canónica:

x2+ bx = con,

para todas las posibles combinaciones de signos de los coeficientes b , con fue formulado en Europa recién en 1544 por M. Stiefel.

Vieta tiene una derivación general de la fórmula para resolver una ecuación cuadrática, pero Vieta reconoció solo raíces positivas. Los matemáticos italianos Tartaglia, Cardano, Bombelli fueron de los primeros en el siglo XVI. Tenga en cuenta, además de las raíces positivas y negativas. Recién en el siglo XVII. Gracias al trabajo de Girard, Descartes, Newton y otros científicos, la forma de resolver ecuaciones cuadráticas adquiere un aspecto moderno.

1.6 Sobre el teorema de Vieta

El teorema que expresa la relación entre los coeficientes de una ecuación cuadrática y sus raíces, que lleva el nombre de Vieta, fue formulado por él por primera vez en 1591 como sigue: “Si B + D multiplicado por UN - UN 2 , igual BD, entonces UN es igual EN e igual D ».

Para entender a Vieta, uno debe recordar que PERO, como cualquier vocal, significaba para él lo desconocido (nuestra X), las vocales EN, D- coeficientes para la incógnita. En el lenguaje del álgebra moderna, la formulación anterior de Vieta significa: si

(un + b )x - x2 = abdominales ,

x 2 - (un + b )x + a b = 0,

x 1 = un, x 2 = b .

Al expresar la relación entre las raíces y los coeficientes de las ecuaciones mediante fórmulas generales escritas con símbolos, Viet estableció la uniformidad en los métodos para resolver ecuaciones. Sin embargo, el simbolismo de Vieta aún está lejos de aspecto moderno. No reconoció los números negativos y, por lo tanto, al resolver ecuaciones, consideró solo los casos en los que todas las raíces son positivas.

2. Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas

Las ecuaciones cuadráticas son la base sobre la que descansa el majestuoso edificio del álgebra. Ecuaciones cuadráticas encontrar aplicación amplia al resolver ecuaciones y desigualdades trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, irracionales y trascendentales. Todos sabemos cómo resolver ecuaciones cuadráticas desde la escuela (grado 8) hasta la graduación.