Ecuación cuadrática: ¡fácil de resolver! *Más adelante en el texto "KU". Amigos, parece que en matemáticas puede ser más fácil que resolver una ecuación de este tipo. Pero algo me dijo que mucha gente tiene problemas con él. Decidí ver cuántas impresiones da Yandex por solicitud por mes. Esto es lo que pasó, echa un vistazo:

¿Qué significa? Esto significa que unas 70.000 personas al mes buscan esta informacion, qué tiene que ver este verano, y qué pasará entre año escolar- las solicitudes serán el doble de grandes. Esto no es sorprendente, porque los chicos y chicas que se graduaron hace mucho tiempo de la escuela y se están preparando para el examen están buscando esta información, y los escolares también están tratando de refrescar su memoria.

A pesar de que hay muchos sitios que cuentan cómo resolver esta ecuación, decidí contribuir también y publicar el material. En primer lugar, quiero que los visitantes vengan a mi sitio con esta solicitud; en segundo lugar, en otros artículos, cuando aparezca el discurso "KU", daré un enlace a este artículo; en tercer lugar, les contaré un poco más sobre su solución de lo que se suele decir en otros sitios. ¡Empecemos! El contenido del artículo:

Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma:

donde los coeficientes a,by con números arbitrarios, con a≠0.

En el curso escolar, el material se da en siguiente formulario– condicionalmente, las ecuaciones se dividen en tres clases:

1. Tener dos raíces.

2. * Tener una sola raíz.

3. No tener raíces. Vale la pena señalar aquí que no tienen raíces reales.

¿Cómo se calculan las raíces? ¡Sólo!

Calculamos el discriminante. Debajo de esta palabra "terrible" se encuentra una fórmula muy simple:

Las fórmulas raíz son las siguientes:

*Estas fórmulas deben conocerse de memoria.

Inmediatamente puede escribir y decidir:

Ejemplo:

1. Si D > 0, entonces la ecuación tiene dos raíces.

2. Si D = 0, entonces la ecuación tiene una raíz.

3. Si D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Veamos la ecuación:

En esta ocasión, cuando el discriminante es cero, el curso escolar dice que se obtiene una raíz, aquí es igual a nueve. Así es, lo es, pero...

Esta representación es algo incorrecta. De hecho, hay dos raíces. Sí, sí, no se sorprenda, resultan dos raíces iguales y, para ser matemáticamente preciso, se deben escribir dos raíces en la respuesta:

X 1 = 3 X 2 = 3

Pero esto es así: una pequeña digresión. En la escuela, puedes escribir y decir que solo hay una raíz.

Ahora el siguiente ejemplo:

Como sabemos, la raíz de un número negativo no se extrae, por lo que las soluciones en este caso no.

Ese es todo el proceso de decisión.

Función cuadrática.

Así es como se ve geométricamente la solución. Esto es extremadamente importante de entender (en el futuro, en uno de los artículos, analizaremos en detalle la solución de una desigualdad cuadrática).

Esta es una función de la forma:

donde x e y son variables

a, b, c son números dados, donde a ≠ 0

La gráfica es una parábola:

Es decir, resulta que al resolver una ecuación cuadrática con "y" igual a cero, encontramos los puntos de intersección de la parábola con el eje x. Puede haber dos de estos puntos (el discriminante es positivo), uno (el discriminante es cero) o ninguno (el discriminante es negativo). Detalles sobre función cuadrática Puedes ver artículo de Inna Feldman.

Considere ejemplos:

Ejemplo 1: Decidir 2x 2 +8 X–192=0

a=2 b=8 c= -192

re = segundo 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Respuesta: x 1 = 8 x 2 = -12

* Podrías dividir inmediatamente los lados izquierdo y derecho de la ecuación por 2, es decir, simplificarla. Los cálculos serán más fáciles.

Ejemplo 2: Decidir x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Tenemos que x 1 \u003d 11 y x 2 \u003d 11

En la respuesta, está permitido escribir x = 11.

Respuesta: x = 11

Ejemplo 3: Decidir x2 –8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

El discriminante es negativo, no hay solución en números reales.

Respuesta: sin solucion

El discriminante es negativo. ¡Hay una solucion!

Aquí hablaremos sobre cómo resolver la ecuación en el caso de que se obtenga un discriminante negativo. ¿Sabes algo sobre números complejos? No entraré en detalles aquí sobre por qué y dónde surgieron y cuál es su papel específico y su necesidad en las matemáticas, este es un tema para un artículo extenso por separado.

El concepto de número complejo.

Un poco de teoría.

Un número complejo z es un número de la forma

z = a + bi

donde a y b son números reales, i es la llamada unidad imaginaria.

a+bi es un NÚMERO ÚNICO, no una suma.

La unidad imaginaria es igual a la raíz de menos uno:

Ahora considera la ecuación:

Obtenga dos raíces conjugadas.

Ecuación cuadrática incompleta.

Considere casos especiales, esto es cuando el coeficiente "b" o "c" es igual a cero (o ambos son iguales a cero). Se resuelven fácilmente sin discriminantes.

Caso 1. Coeficiente b = 0.

La ecuación toma la forma:

Transformemos:

Ejemplo:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

Caso 2. Coeficiente c = 0.

La ecuación toma la forma:

Transformar, factorizar:

*El producto es igual a cero cuando al menos uno de los factores es igual a cero.

Ejemplo:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 o x–5 =0

X 1 = 0 X 2 = 5

Caso 3. Coeficientes b = 0 y c = 0.

Aquí es claro que la solución a la ecuación siempre será x = 0.

Propiedades útiles y patrones de coeficientes.

Hay propiedades que permiten resolver ecuaciones con coeficientes grandes.

unX 2 + bx+ C=0 igualdad

un + b+ c = 0, entonces

— si para los coeficientes de la ecuación unX 2 + bx+ C=0 igualdad

un+ con =b, entonces

Estas propiedades ayudan a cierto tipo ecuaciones

Ejemplo 1: 5001 X 2 –4995 X – 6=0

La suma de los coeficientes es 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, entonces

Ejemplo 2: 2501 X 2 +2507 X+6=0

Igualdad un+ con =b, significa

Regularidades de los coeficientes.

1. Si en la ecuación ax 2 + bx + c \u003d 0 el coeficiente "b" es (a 2 +1), y el coeficiente "c" es numéricamente igual al coeficiente "a", entonces sus raíces son

ax 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Ejemplo. Considera la ecuación 6x 2 +37x+6 = 0.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Si en la ecuación ax 2 - bx + c \u003d 0, el coeficiente "b" es (a 2 +1), y el coeficiente "c" es numéricamente igual al coeficiente "a", entonces sus raíces son

ax 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Ejemplo. Considere la ecuación 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Si en la ecuación ax 2 + bx - c = 0 coeficiente "b" es igual a (un 2 – 1), y el coeficiente “c” numéricamente igual al coeficiente "a", entonces sus raices son iguales

ax 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Ejemplo. Considere la ecuación 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Si en la ecuación ax 2 - bx - c \u003d 0, el coeficiente "b" es igual a (a 2 - 1), y el coeficiente c es numéricamente igual al coeficiente "a", entonces sus raíces son

ax 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Ejemplo. Considera la ecuación 10x2 - 99x -10 = 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

El teorema de Vieta.

El teorema de Vieta lleva el nombre del famoso matemático francés Francois Vieta. Usando el teorema de Vieta, uno puede expresar la suma y el producto de las raíces de un KU arbitrario en términos de sus coeficientes.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

En suma, el número 14 da solo 5 y 9. Estas son las raíces. Con cierta habilidad, usando el teorema presentado, puedes resolver muchas ecuaciones cuadráticas inmediatamente de forma oral.

El teorema de Vieta, además. conveniente porque después de resolver la ecuación cuadrática de la forma habitual (mediante el discriminante), se pueden comprobar las raíces resultantes. Recomiendo hacer esto todo el tiempo.

MÉTODO DE TRANSFERENCIA

Con este método, el coeficiente "a" se multiplica por el término libre, como "transferido" a él, por lo que se llama método de transferencia. Este método se usa cuando es fácil encontrar las raíces de una ecuación usando el teorema de Vieta y, lo que es más importante, cuando el discriminante es un cuadrado exacto.

si un un± b+c≠ 0, entonces se utiliza la técnica de transferencia, por ejemplo:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

De acuerdo con el teorema de Vieta en la ecuación (2), es fácil determinar que x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Las raíces obtenidas de la ecuación hay que dividirlas por 2 (ya que las dos fueron “lanzadas” de x 2), obtenemos

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0.5.

¿Cuál es la razón? Mira lo que está pasando.

Los discriminantes de las ecuaciones (1) y (2) son:

Si miramos las raíces de las ecuaciones, obtenemos solo diferentes denominadores, y el resultado depende del coeficiente en x 2:

Las segundas raíces (modificadas) son 2 veces más grandes.

Por lo tanto, dividimos el resultado por 2.

*Si sacamos un trío, dividimos el resultado por 3, y así sucesivamente.

Respuesta: x 1 = 5 x 2 = 0,5

cuadrados ur-ie y el examen.

Diré brevemente sobre su importancia: DEBE PODER DECIDIR rápidamente y sin pensar, necesita saber las fórmulas de las raíces y el discriminante de memoria. Muchas de las tareas que forman parte de las tareas USE se reducen a resolver una ecuación cuadrática (incluidas las geométricas).

¡Qué vale la pena señalar!

1. La forma de la ecuación puede ser "implícita". Por ejemplo, la entrada siguiente es posible:

15+ 9x 2 - 45x = 0 o 15x+42+9x 2 - 45x=0 o 15 -5x+10x 2 = 0.

Tienes que llevarlo a vista estándar(para no confundirse a la hora de decidir).

2. Recuerde que x es un valor desconocido y puede denotarse con cualquier otra letra: t, q, p, h y otras.

Ecuaciones cuadráticas. Discriminante. Solución, ejemplos.

¡Atención!
Hay adicionales
material en la Sección Especial 555.
Para aquellos que fuertemente "no muy..."
Y para los que "mucho...")

Tipos de ecuaciones cuadráticas

¿Qué es una ecuación cuadrática? Cómo se ve? En término ecuación cuadrática la palabra clave es "cuadrado". Significa que en la ecuación necesariamente debe haber una x al cuadrado. Además, en la ecuación puede haber (¡o no!) solo x (hasta el primer grado) y solo un número (miembro gratuito). Y no debe haber x en un grado mayor que dos.

En términos matemáticos, una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma:

Aquí a, b y c- algunos números. b y c absolutamente cualquiera, pero un- cualquier cosa menos cero. Por ejemplo:

Aquí un =1; b = 3; C = -4

Aquí un =2; b = -0,5; C = 2,2

Aquí un =-3; b = 6; C = -18

Bueno, ya captas la idea...

En estas ecuaciones cuadráticas, a la izquierda, hay juego completo miembros x al cuadrado con coeficiente un, x a la primera potencia con coeficiente b y miembro libre de

Tales ecuaciones cuadráticas se llaman completo.

Y si b= 0, ¿qué obtendremos? Tenemos X desaparecerá en primer grado. Esto sucede al multiplicar por cero). Resulta, por ejemplo:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x2 +4x=0

Etc. Y si ambos coeficientes b y C son iguales a cero, entonces es aún más simple:

2x 2 \u003d 0,

-0.3x 2 \u003d 0

Tales ecuaciones, donde falta algo, se llaman ecuaciones cuadráticas incompletas. Lo cual es bastante lógico). Tenga en cuenta que x al cuadrado está presente en todas las ecuaciones.

por cierto por que un no puede ser cero? Y lo sustituyes en su lugar un cero.) ¡La X en el cuadrado desaparecerá! La ecuación se volverá lineal. Y se hace de otra manera...

Aquí están todos los tipos principales ecuaciones cuadráticas. Completo e incompleto.

Solución de ecuaciones cuadráticas.

Solución de ecuaciones cuadráticas completas.

Las ecuaciones cuadráticas son fáciles de resolver. Según fórmulas y reglas claras y sencillas. En la primera etapa, es necesario llevar la ecuación dada a la forma estándar, es decir a la vista:

Si la ecuación ya se le ha dado de esta forma, no necesita hacer la primera etapa). Lo principal es determinar correctamente todos los coeficientes, un, b y C.

La fórmula para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática se ve así:

La expresión bajo el signo de la raíz se llama discriminante. Pero más sobre él a continuación. Como puedes ver, para encontrar x, usamos solo a, b y c. Aquellas. coeficientes de la ecuación cuadrática. Simplemente sustituya cuidadosamente los valores a, b y c en esta fórmula y contar. Sustituto con tus signos! Por ejemplo, en la ecuación:

un =1; b = 3; C= -4. Aquí escribimos:

Ejemplo casi resuelto:

Esta es la respuesta.

Todo es muy simple. ¿Y tú qué crees, no te puedes equivocar? pues si como...

Los errores más comunes son la confusión con los signos de valores a, b y c. O mejor dicho, no con sus signos (¿dónde hay que confundirse?), sino con la sustitución de valores negativos en la fórmula para calcular las raíces. Aquí, se guarda un registro detallado de la fórmula con números específicos. Si hay problemas con los cálculos, así que hazlo!

Supongamos que necesitamos resolver el siguiente ejemplo:

Aquí un = -6; b = -5; C = -1

Digamos que sabe que rara vez obtiene respuestas la primera vez.

Bueno, no seas perezoso. Tomará 30 segundos escribir una línea extra. Y el número de errores caerá bruscamente. Entonces escribimos en detalle, con todos los corchetes y signos:

Parece increíblemente difícil pintar con tanto cuidado. Pero solo parece. Intentalo. Bueno, o elegir. ¿Qué es mejor, rápido o correcto? Además, te haré feliz. Después de un tiempo, no habrá necesidad de pintar todo con tanto cuidado. Simplemente saldrá bien. Especialmente si aplica técnicas prácticas, que se describen a continuación. ¡Este ejemplo malvado con un montón de desventajas se resolverá fácilmente y sin errores!

Pero, a menudo, las ecuaciones cuadráticas se ven ligeramente diferentes. Por ejemplo, así:

¿Sabías?) ¡Sí! Este es ecuaciones cuadráticas incompletas.

Solución de ecuaciones cuadráticas incompletas.

También se pueden resolver mediante la fórmula general. Solo necesitas averiguar correctamente qué es igual aquí a, b y c.

¿Dio cuenta? En el primer ejemplo a = 1; b = -4; un C? ¡No existe en absoluto! Bueno, sí, así es. En matemáticas, esto significa que c = 0 ! Eso es todo. Sustituye cero en la fórmula en lugar de C, y todo saldrá bien para nosotros. Del mismo modo con el segundo ejemplo. Sólo cero no tenemos aquí con, un b !

Pero las ecuaciones cuadráticas incompletas se pueden resolver mucho más fácilmente. Sin fórmulas. Considere la primera ecuación incompleta. ¿Qué se puede hacer en el lado izquierdo? ¡Puedes quitar la X de los corchetes! Vamos a sacarlo.

¿Y de esto qué? ¡Y el hecho de que el producto sea igual a cero si, y sólo si, alguno de los factores es igual a cero! ¿No crees? Bueno, ¡entonces encuentra dos números distintos de cero que, cuando se multipliquen, darán cero!
¿No funciona? Algo...
Por lo tanto, podemos escribir con seguridad: x1 = 0, ×2 = 4.

Todo. Estas serán las raíces de nuestra ecuación. Ambos encajan. Al sustituir cualquiera de ellos en la ecuación original, obtenemos la identidad correcta 0 = 0. Como puedes ver, la solución es mucho más simple que la fórmula general. Observo, por cierto, qué X será el primero y cuál el segundo: es absolutamente indiferente. Fácil de escribir en orden x1- el que sea menor x2- lo que es más.

La segunda ecuación también se puede resolver fácilmente. Movemos 9 al lado derecho. Obtenemos:

Queda por extraer la raíz del 9, y listo. Conseguir:

también dos raíces . x1 = -3, x2 = 3.

Así es como se resuelven todas las ecuaciones cuadráticas incompletas. Ya sea sacando x de los paréntesis, o transferencia sencilla números a la derecha, seguido de la extracción de la raíz.
Es extremadamente difícil confundir estos métodos. Sencillamente porque en el primer caso tendrás que sacar la raíz de X, lo cual es algo incomprensible, y en el segundo caso no hay nada que sacar entre paréntesis...

Discriminante. Fórmula discriminante.

Palabra mágica discriminante ! ¡Un raro estudiante de secundaria no ha escuchado esta palabra! La frase "decidir a través del discriminante" es tranquilizadora y tranquilizadora. ¡Porque no hay necesidad de esperar trucos del discriminante! Es simple y fácil de usar.) Les recuerdo la fórmula más general para resolver ninguna ecuaciones cuadráticas:

La expresión bajo el signo de la raíz se llama discriminante. El discriminante generalmente se denota con la letra D. Fórmula discriminante:

re = b 2 - 4ac

¿Y qué tiene de especial esta expresión? ¿Por qué merece un nombre especial? Qué significado del discriminante? Después de todo -b, o 2a en esta fórmula no nombran específicamente... Letras y letras.

El punto es este. Al resolver una ecuación cuadrática usando esta fórmula, es posible solo tres casos.

1. El discriminante es positivo. Esto significa que puedes extraer la raíz de él. Si la raíz se extrae bien o mal es otra cuestión. Es importante lo que se extrae en principio. Entonces tu ecuación cuadrática tiene dos raíces. Dos soluciones diferentes.

2. El discriminante es cero. Entonces tienes una solución. Ya que sumar o restar cero en el numerador no cambia nada. Estrictamente hablando, esta no es una sola raíz, sino dos idénticos. Pero en versión simplificada, es costumbre hablar de una solución.

3. El discriminante es negativo. Un número negativo no toma la raíz cuadrada. Bueno esta bien. Esto significa que no hay soluciones.

Para ser honesto, en Solución simple ecuaciones cuadráticas, el concepto de discriminante no es particularmente necesario. Sustituimos los valores de los coeficientes en la fórmula y consideramos. Allí todo resulta solo, y dos raíces, y una, y no una sola. Sin embargo, al resolver tareas más complejas, sin conocimiento significado y formula discriminante no es suficiente. Especialmente - en ecuaciones con parámetros. ¡Tales ecuaciones son acrobacias aéreas para el GIA y el Examen de Estado Unificado!)

Asi que, como resolver ecuaciones cuadraticas a través del discriminante que recordaste. O aprendido, que tampoco está mal.) Sabes identificar correctamente a, b y c. Sabes cómo atentamente sustituirlos en la fórmula raíz y atentamente contar el resultado. ¿Entendiste que la palabra clave aquí es - ¿atentamente?

Ahora tome nota de las técnicas prácticas que reducen drásticamente el número de errores. Los mismos que se deben a la falta de atención... Para los que luego es penoso e insultante...

Primera recepción . No seas perezoso antes de resolver una ecuación cuadrática para convertirla en una forma estándar. ¿Qué significa esto?
Supongamos que, después de cualquier transformación, obtienes la siguiente ecuación:

¡No te apresures a escribir la fórmula de las raíces! Es casi seguro que mezclarás las probabilidades a, b y c. Construya el ejemplo correctamente. Primero, x al cuadrado, luego sin cuadrado, luego un miembro libre. Me gusta esto:

Y de nuevo, ¡no te apresures! El menos antes de la x al cuadrado puede molestarte mucho. Olvidarlo es fácil... Deshazte del menos. ¿Cómo? ¡Sí, como se enseñó en el tema anterior! Necesitamos multiplicar toda la ecuación por -1. Obtenemos:

Y ahora puedes escribir con seguridad la fórmula de las raíces, calcular el discriminante y completar el ejemplo. Decide por tu cuenta. Deberías terminar con las raíces 2 y -1.

Segunda recepción. ¡Revisa tus raíces! Según el teorema de Vieta. ¡No te preocupes, te lo explicaré todo! Comprobación última cosa la ecuacion. Aquellas. aquel por el cual escribimos la fórmula de las raíces. Si (como en este ejemplo) el coeficiente un = 1, comprueba las raíces fácilmente. Es suficiente para multiplicarlos. Debería obtener un término gratuito, es decir, en nuestro caso -2. ¡Presta atención, no 2, sino -2! miembro gratuito con tu signo . Si no funcionó, significa que ya se equivocaron en alguna parte. Busque un error.

Si funcionó, debes doblar las raíces. Última y última comprobación. debe ser una proporción b con opuesto señal. En nuestro caso -1+2 = +1. un coeficiente b, que está antes de la x, es igual a -1. Entonces, ¡todo es correcto!
Es una pena que sea tan simple solo para ejemplos donde x al cuadrado es puro, con un coeficiente un = 1¡Pero al menos revisa tales ecuaciones! Todo menos errores será.

Recepción tercero . Si tu ecuación tiene coeficientes fraccionarios, ¡deshazte de las fracciones! Multiplica la ecuación por el denominador común como se describe en la lección "¿Cómo resolver ecuaciones? Transformaciones de identidad". Al trabajar con fracciones, los errores, por alguna razón, suben...

Por cierto, prometí un ejemplo malvado con un montón de desventajas para simplificar. ¡De nada! Ahi esta.

Para no confundirnos con los menos, multiplicamos la ecuación por -1. Obtenemos:

¡Eso es todo! ¡Decidir es divertido!

Así que recapitulemos el tema.

Consejos prácticos:

1. Antes de resolver, llevamos la ecuación cuadrática a la forma estándar, la construimos derecho.

2. Si hay un coeficiente negativo delante de la x en el cuadrado, lo eliminamos multiplicando toda la ecuación por -1.

3. Si los coeficientes son fraccionarios, eliminamos las fracciones multiplicando toda la ecuación por el factor correspondiente.

4. Si x al cuadrado es puro, su coeficiente es igual a uno, la solución se puede verificar fácilmente usando el teorema de Vieta. ¡Hazlo!

Ahora puedes decidir.)

Resolver ecuaciones:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Respuestas (en desorden):

x1 = 0
×2 = 5

×1,2 =2

x1 = 2
x 2 \u003d -0.5

x - cualquier número

x1 = -3
x2 = 3

sin soluciones

x1 = 0,25
x 2 \u003d 0.5

¿Todo encaja? ¡Bien! Las ecuaciones cuadráticas no son tuyas dolor de cabeza. Los tres primeros resultaron, ¿pero el resto no? Entonces el problema no está en las ecuaciones cuadráticas. El problema está en transformaciones idénticas de ecuaciones. Echa un vistazo al enlace, es útil.

¿No funciona del todo? ¿O no funciona en absoluto? Entonces te ayudará la Sección 555. Allí, todos estos ejemplos están ordenados por huesos. Demostración principal errores en la solución. Por supuesto, también habla del uso transformaciones idénticas en la resolución de varias ecuaciones. ¡Ayuda mucho!

Si te gusta este sitio...

Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).

Puedes practicar la resolución de ejemplos y averiguar tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendiendo - ¡con interés!)

puede familiarizarse con funciones y derivadas.

Más de una manera sencilla. Para hacer esto, quite z de los corchetes. Obtendrás: z(az + b) = 0. Los factores se pueden escribir: z=0 y az + b = 0, ya que ambos pueden dar como resultado cero. En la notación az + b = 0, desplazamos el segundo a la derecha con diferente signo. De aquí obtenemos z1 = 0 y z2 = -b/a. Estas son las raíces del original.

Si hay una ecuación incompleta de la forma az² + c \u003d 0, en este caso se encuentran simplemente transfiriendo el término libre al lado derecho de la ecuación. También cambia su signo. Obtienes el registro az² \u003d -s. Exprese z² = -c/a. Saque la raíz y escriba dos soluciones: positiva y significado negativo raíz cuadrada.

Nota

Si hay coeficientes fraccionarios en la ecuación, multiplique la ecuación completa por el factor apropiado para deshacerse de las fracciones.

El conocimiento de cómo resolver ecuaciones cuadráticas es necesario tanto para escolares como para estudiantes, a veces puede ayudar a un adulto en vida ordinaria. Hay varios métodos de decisión específicos.

Resolver ecuaciones cuadráticas

Una ecuación cuadrática de la forma a*x^2+b*x+c=0. El coeficiente x es la variable deseada, a, b, c - coeficientes numéricos. Recuerde que el signo "+" puede cambiar al signo "-".

Para resolver esta ecuación, debes usar el teorema de Vieta o encontrar el discriminante. La forma más común es encontrar el discriminante, ya que para algunos valores de a, b, c no es posible utilizar el teorema de Vieta.

Para encontrar el discriminante (D), debes escribir la fórmula D=b^2 - 4*a*c. El valor de D puede ser mayor que, menor que o igual a cero. Si D es mayor que o menos que cero, entonces habrá dos raíces, si D \u003d 0, entonces solo queda una raíz, más precisamente podemos decir que D en este caso tiene dos raíces equivalentes. Sustituya los coeficientes conocidos a, b, c en la fórmula y calcule el valor.

Después de haber encontrado el discriminante, para encontrar x, use las fórmulas: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a donde sqrt es una función que significa extraer raíz cuadrada de este número. Después de calcular estas expresiones, encontrarás las dos raíces de tu ecuación, después de lo cual la ecuación se considera resuelta.

Si D es menor que cero, entonces todavía tiene raíces. En la escuela, esta sección prácticamente no se estudia. Los estudiantes universitarios deben saber que debajo de la raíz aparece un número negativo. Se elimina separando la parte imaginaria, es decir -1 bajo la raíz siempre es igual al elemento imaginario "i", que se multiplica por la raíz con el mismo numero positivo. Por ejemplo, si D=sqrt(-20), después de la transformación se obtiene D=sqrt(20)*i. Después de esta transformación, la solución de la ecuación se reduce al mismo hallazgo de las raíces, como se describió anteriormente.

El teorema de Vieta consiste en la selección de valores de x(1) yx(2). Se utilizan dos ecuaciones idénticas: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=s. Y muy punto importante es el signo antes del coeficiente b, recuerda que este signo es el opuesto al de la ecuación. A primera vista, parece que calcular x(1) y x(2) es muy simple, pero al resolver, te encontrarás con el hecho de que los números deberán seleccionarse exactamente.

Elementos para resolver ecuaciones cuadráticas

De acuerdo con las reglas de las matemáticas, algunos se pueden factorizar: (a + x (1)) * (b-x (2)) \u003d 0, si logró transformar esta ecuación cuadrática de esta manera usando fórmulas matemáticas, entonces siéntase libre de escribe la respuesta. x(1) y x(2) serán iguales a los coeficientes adyacentes entre paréntesis, pero con signo opuesto.

Además, no te olvides de las ecuaciones cuadráticas incompletas. Es posible que te falten algunos de los términos, si es así, entonces todos sus coeficientes son simplemente iguales a cero. Si x^2 o x no está precedido por nada, entonces los coeficientes a y b son iguales a 1.

Descripción bibliográfica: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas // Joven científico. - 2016. - Nº 6.1. - S. 17-20..02.2019).



Nuestro proyecto está dedicado a las formas de resolver ecuaciones cuadráticas. El propósito del proyecto: aprender a resolver ecuaciones cuadráticas en formas que no están incluidas en el currículo escolar. Tarea: encontrar todo formas posibles resuelva ecuaciones cuadráticas y aprenda a usarlas usted mismo e introduzca a sus compañeros de clase a estos métodos.

¿Qué son las "ecuaciones cuadráticas"?

Ecuación cuadrática- ecuación de la forma hacha2 + bx + c = 0, donde un, b, C- algunos números ( un ≠ 0), X- desconocido.

Los números a, b, c se llaman los coeficientes de la ecuación cuadrática.

• a se llama el primer coeficiente;
• b se llama el segundo coeficiente;
• c - miembro libre.

¿Y quién fue el primero en "inventar" las ecuaciones cuadráticas?

Algunas técnicas algebraicas para resolver ecuaciones lineales y cuadráticas se conocían desde hace 4000 años en la antigua Babilonia. Las antiguas tablillas de arcilla babilónicas encontradas, fechadas entre 1800 y 1600 a. C., son la evidencia más temprana del estudio de las ecuaciones cuadráticas. Las mismas tabletas contienen métodos para resolver ciertos tipos de ecuaciones cuadráticas.

La necesidad de resolver ecuaciones no solo de primer grado, sino también de segundo grado en la antigüedad fue causada por la necesidad de resolver problemas relacionados con encontrar las áreas de tierra y movimiento de tierras naturaleza militar, así como con el desarrollo de la astronomía y las propias matemáticas.

La regla para resolver estas ecuaciones, enunciada en los textos babilónicos, coincide esencialmente con la moderna, pero no se sabe cómo llegaron los babilonios a esta regla. Casi todos los textos cuneiformes encontrados hasta ahora solo dan problemas con soluciones establecidas en forma de recetas, sin indicación de cómo se encontraron. A pesar de nivel alto desarrollo del álgebra en Babilonia, en los textos cuneiformes no existe el concepto de un número negativo y métodos comunes Soluciones de ecuaciones cuadráticas.

Matemáticos babilónicos de aproximadamente el siglo IV a.C. utilizó el método del complemento cuadrado para resolver ecuaciones con raíces positivas. Alrededor del 300 a.C. Euclid ideó un método de solución geométrica más general. El primer matemático que encontró soluciones a una ecuación con raíces negativas en forma de fórmula algebraica fue un científico indio. Brahmagupta(India, siglo VII d.C.).

Brahmagupta describió una regla general para resolver ecuaciones cuadráticas reducidas a una única forma canónica:

ax2 + bx = c, a>0

En esta ecuación, los coeficientes pueden ser negativos. La regla de Brahmagupta coincide esencialmente con la nuestra.

En India, los concursos públicos para resolver problemas difíciles eran comunes. En uno de los antiguos libros indios, se dice lo siguiente sobre tales concursos: “Como el sol eclipsa a las estrellas con su brillo, así una persona erudita eclipsará la gloria en las reuniones públicas, proponiendo y resolviendo problemas algebraicos”. Las tareas a menudo se vestían de forma poética.

En un tratado algebraico Al Juarizmi se da una clasificación de ecuaciones lineales y cuadráticas. El autor enumera 6 tipos de ecuaciones, expresándolas de la siguiente manera:

1) “Los cuadrados son iguales a las raíces”, es decir, ax2 = bx.

2) “Los cuadrados son iguales al número”, es decir, ax2 = c.

3) "Las raíces son iguales al número", es decir, ax2 = c.

4) “Cuadrados y números son iguales a raíces”, es decir, ax2 + c = bx.

5) “Cuadrados y raíces son iguales a número”, es decir, ax2 + bx = c.

6) “Raíces y números son iguales a cuadrados”, es decir, bx + c == ax2.

Para Al-Khwarizmi, que evitó el uso números negativos, los términos de cada una de estas ecuaciones son términos, no restas. En este caso, obviamente, las ecuaciones que no tienen soluciones positivas no se tienen en cuenta. El autor describe los métodos para resolver estas ecuaciones, utilizando los métodos de al-jabr y al-muqabala. Su decisión, por supuesto, no coincide del todo con la nuestra. Por no hablar del hecho de que es puramente retórico, cabe señalar, por ejemplo, que al resolver una ecuación cuadrática incompleta del primer tipo, Al-Khwarizmi, como todos los matemáticos anteriores al siglo XVII, no tiene en cuenta el cero solución, probablemente porque en tareas prácticas específicas, no importa. Al resolver ecuaciones cuadráticas completas, Al-Khwarizmi establece las reglas para resolverlas utilizando ejemplos numéricos particulares y luego sus pruebas geométricas.

Las formas para resolver ecuaciones cuadráticas en el modelo de Al-Khwarizmi en Europa se describieron por primera vez en el "Libro del ábaco", escrito en 1202. matemático italiano leonardo fibonacci. El autor desarrolló de forma independiente algunos nuevos ejemplos algebraicos resolución de problemas y fue el primero en Europa en abordar la introducción de números negativos.

Este libro contribuyó a la difusión del conocimiento algebraico no solo en Italia, sino también en Alemania, Francia y otros países europeos. Muchas tareas de este libro se transfirieron a casi todos los libros de texto europeos de los siglos XIV-XVII. Regla general soluciones de ecuaciones cuadráticas reducidas a una sola forma canónica x2 + bx = c con todas las combinaciones posibles de signos y coeficientes b, c, fue formulada en Europa en 1544. M. Stiefel.

Derivación de la fórmula para resolver una ecuación cuadrática en vista general Viet lo ha hecho, pero Viet solo reconoció raíces positivas. matemáticos italianos Tartaglia, Cardano, Bombelli entre los primeros en el siglo XVI. tener en cuenta, además de las raíces positivas y negativas. Recién en el siglo XVII. gracias al trabajo Girard, Descartes, Newton y otros científicos, la forma de resolver ecuaciones cuadráticas adquiere una forma moderna.

Considera varias formas de resolver ecuaciones cuadráticas.

Maneras estándar de resolver ecuaciones cuadráticas del currículo escolar:

1. Factorización del lado izquierdo de la ecuación.
2. Método de selección de cuadrados completos.
3. Solución de ecuaciones cuadráticas por fórmula.
4. Solución gráfica de una ecuación cuadrática.
5. Solución de ecuaciones mediante el teorema de Vieta.

Detengámonos con más detalle en la solución de ecuaciones cuadráticas reducidas y no reducidas utilizando el teorema de Vieta.

Recuérdese que para resolver las ecuaciones cuadráticas dadas, basta encontrar dos números tales que el producto de los cuales sea igual al término libre, y la suma sea igual al segundo coeficiente con signo opuesto.

Ejemplo.X 2 -5x+6=0

Necesitas encontrar números cuyo producto sea 6 y la suma sea 5. Estos números serán 3 y 2.

respuesta: x 1 =2,x 2 =3.

Pero puedes usar este método para ecuaciones con el primer coeficiente distinto de uno.

Ejemplo.3x 2 +2x-5=0

Tomamos el primer coeficiente y lo multiplicamos por el término libre: x 2 +2x-15=0

Las raíces de esta ecuación serán números cuyo producto es - 15, y la suma es - 2. Estos números son 5 y 3. Para encontrar las raíces de la ecuación original, dividimos las raíces obtenidas por el primer coeficiente.

respuesta: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Solución de ecuaciones por el método de "transferencia".

Considere la ecuación cuadrática ax 2 + bx + c = 0, donde a≠0.

Multiplicando sus dos partes por a, obtenemos la ecuación a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Sea ax = y, de donde x = y/a; luego llegamos a la ecuación y 2 + por + ac = 0, que es equivalente a la dada. Encontramos sus raíces en 1 y en 2 usando el teorema de Vieta.

Finalmente obtenemos x 1 = y 1 /a y x 2 = y 2 /a.

Con este método, el coeficiente a se multiplica por el término libre, como si se le "transfiriera", por lo que se denomina método de "transferencia". Este método se usa cuando es fácil encontrar las raíces de una ecuación usando el teorema de Vieta y, lo que es más importante, cuando el discriminante es un cuadrado exacto.

Ejemplo.2x 2 - 11x + 15 = 0.

Vamos a "trasladar" el coeficiente 2 al término libre y haciendo la sustitución obtenemos la ecuación y 2 - 11y + 30 = 0.

Según el teorema inverso de Vieta

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5, y 2 = 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

respuesta: x 1 =2,5; X 2 = 3.

7. Propiedades de los coeficientes de una ecuación cuadrática.

Deje que se dé la ecuación cuadrática ax 2 + bx + c \u003d 0, a ≠ 0.

1. Si a + b + c \u003d 0 (es decir, la suma de los coeficientes de la ecuación es cero), entonces x 1 \u003d 1.

2. Si a - b + c \u003d 0, o b \u003d a + c, entonces x 1 \u003d - 1.

Ejemplo.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Dado que a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0), entonces x 1 \u003d 1, x 2 \u003d -208/345.

respuesta: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Ejemplo.132x 2 + 247x + 115 = 0

Porque a-b + c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), luego x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - 115/132

respuesta: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Hay otras propiedades de los coeficientes de una ecuación cuadrática. pero su uso es más complicado.

8. Resolución de ecuaciones cuadráticas mediante un nomograma.

Figura 1. Nomograma

Este es un método antiguo y actualmente olvidado para resolver ecuaciones cuadráticas, ubicado en la página 83 de la colección: Bradis V.M. Tablas matemáticas de cuatro dígitos. - M., Educación, 1990.

Cuadro XXII. Nomograma para resolución de ecuaciones z2 + pz + q = 0. Este nomograma permite, sin resolver la ecuación cuadrática, determinar las raíces de la ecuación por sus coeficientes.

La escala curvilínea del nomograma se construye de acuerdo con las fórmulas (Fig. 1):

Asumiendo OS = p, ED = q, OE = un(todo en cm), de la Fig. 1 similitud de triángulos SAN y FCD obtenemos la proporción

de donde, después de sustituciones y simplificaciones, la ecuación sigue z 2 + pz + q = 0, y la carta z significa la etiqueta de cualquier punto en la escala curva.

Arroz. 2 Resolver una ecuación cuadrática usando un nomograma

Ejemplos.

1) Para la ecuación z 2 - 9z + 8 = 0 el nomograma da las raíces z 1 = 8.0 y z 2 = 1.0

Respuesta: 8,0; 1.0.

2) Resuelve la ecuación usando el nomograma

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Divida los coeficientes de esta ecuación por 2, obtenemos la ecuación z 2 - 4.5z + 1 = 0.

El nomograma da las raíces z 1 = 4 y z 2 = 0,5.

Respuesta: 4; 0.5.

9. Método geométrico para la resolución de ecuaciones cuadráticas.

Ejemplo.X 2 + 10x = 39.

En el original, este problema se formula de la siguiente manera: "El cuadrado y las diez raíces son iguales a 39".

Considera un cuadrado de lado x, en sus lados se construyen rectángulos de manera que el otro lado de cada uno de ellos sea 2.5, por lo tanto, el área de cada uno es 2.5x. La figura resultante se complementa luego con un nuevo cuadrado ABCD, completando cuatro cuadrados iguales en las esquinas, el lado de cada uno de ellos es 2.5 y el área es 6.25

Arroz. 3 forma gráfica solución de la ecuación x 2 + 10x = 39

El área S del cuadrado ABCD se puede representar como la suma de las áreas: el cuadrado original x 2, cuatro rectángulos (4∙2.5x = 10x) y cuatro cuadrados adjuntos (6.25∙4 = 25), es decir S \u003d x 2 + 10x \u003d 25. Reemplazando x 2 + 10x con el número 39, obtenemos que S \u003d 39 + 25 \u003d 64, lo que implica que el lado del cuadrado ABCD, es decir segmento AB \u003d 8. Para el lado deseado x del cuadrado original, obtenemos

10. Solución de ecuaciones mediante el teorema de Bezout.

El teorema de Bezout. El resto después de dividir el polinomio P(x) por el binomio x - α es igual a P(α) (es decir, el valor de P(x) en x = α).

Si el número α es la raíz del polinomio P(x), entonces este polinomio es divisible por x -α sin resto.

Ejemplo.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α=1, 1-4+3=0. Divida P(x) por (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1, o x-3=0, x=3; respuesta: x1 =2, x2 =3.

Conclusión: La capacidad para resolver ecuaciones cuadráticas de manera rápida y racional es simplemente necesaria para resolver ecuaciones más complejas, por ejemplo, ecuaciones racionales fraccionarias, ecuaciones de grados superiores, ecuaciones bicuadráticas y, en la escuela secundaria, trigonométricas, exponenciales y exponenciales. ecuaciones logarítmicas. Habiendo estudiado todas las formas encontradas para resolver ecuaciones cuadráticas, podemos aconsejar a los compañeros de clase, excepto formas estándar, la solución por el método de transferencia (6) y la solución de ecuaciones por la propiedad de los coeficientes (7), ya que son más accesibles para su comprensión.

Literatura:

1. Bradis V. M. Tablas matemáticas de cuatro dígitos. - M., Educación, 1990.
2. Álgebra grado 8: libro de texto para el grado 8. educación general instituciones Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ed. S. A. Telyakovsky 15ª ed., revisada. - M.: Ilustración, 2015
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Glazer G.I. Historia de las matemáticas en la escuela. Una guía para profesores. / Ed. VN Mas joven. - M.: Ilustración, 1964.

Fórmulas para las raíces de una ecuación cuadrática. Se consideran los casos de raíces reales, múltiples y complejas. Factorización de un trinomio cuadrado. Interpretación geométrica. Ejemplos de determinación de raíces y factorización.

Fórmulas básicas

Considere la ecuación cuadrática:
(1) .
Las raíces de una ecuación cuadrática(1) están determinados por las fórmulas:
; .
Estas fórmulas se pueden combinar así:
.
Cuando se conocen las raíces de la ecuación cuadrática, entonces el polinomio de segundo grado se puede representar como un producto de factores (factorizado):
.

Además, suponemos que son números reales.
Considerar discriminante de una ecuación cuadrática:
.
Si el discriminante es positivo, entonces la ecuación cuadrática (1) tiene dos raíces reales diferentes:
; .
Entonces la factorización del trinomio cuadrado tiene la forma:
.
Si el discriminante es cero, entonces la ecuación cuadrática (1) tiene dos raíces reales múltiples (iguales):
.
Factorización:
.
Si el discriminante es negativo, entonces la ecuación cuadrática (1) tiene dos raíces conjugadas complejas:
;
.
Aquí está la unidad imaginaria, ;
y son las partes real e imaginaria de las raíces:
; .
Entonces

.

Interpretación gráfica

si construir gráfico de función
,
que es una parábola, entonces los puntos de intersección de la gráfica con el eje serán las raíces de la ecuación
.
Cuando , la gráfica interseca el eje de abscisas (eje) en dos puntos.
Cuando , la gráfica toca el eje x en un punto.
Cuando , la gráfica no cruza el eje x.

A continuación se muestran ejemplos de dichos gráficos.

Fórmulas útiles relacionadas con la ecuación cuadrática

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Derivación de la fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática

Realizamos transformaciones y aplicamos fórmulas (f.1) y (f.3):




,
donde
; .

Entonces, obtuvimos la fórmula para el polinomio de segundo grado en la forma:
.
De esto se puede ver que la ecuación

realizado en
y .
Es decir, y son las raíces de la ecuación cuadrática
.

Ejemplos de cómo determinar las raíces de una ecuación cuadrática

Ejemplo 1

(1.1) .

Decisión

.
Comparando con nuestra ecuación (1.1), encontramos los valores de los coeficientes:
.
Encontrar el discriminante:
.
Como el discriminante es positivo, la ecuación tiene dos raíces reales:
;
;
.

De aquí obtenemos la descomposición del trinomio cuadrado en factores:

.

Gráfica de la función y = 2x2 + 7x + 3 cruza el eje x en dos puntos.

Grafiquemos la función
.
La gráfica de esta función es una parábola. Cruza el eje x (eje) en dos puntos:
y .
Estos puntos son las raíces de la ecuación original (1.1).

Responder

;
;
.

Ejemplo 2

Encuentra las raíces de una ecuación cuadrática:
(2.1) .

Decisión

Escribimos la ecuación cuadrática en forma general:
.
Comparando con la ecuación original (2.1), encontramos los valores de los coeficientes:
.
Encontrar el discriminante:
.
Como el discriminante es cero, la ecuación tiene dos raíces múltiples (iguales):
;
.

Entonces la factorización del trinomio tiene la forma:
.

Gráfica de la función y = x 2 - 4x + 4 toca el eje x en un punto.

Grafiquemos la función
.
La gráfica de esta función es una parábola. Toca el eje x (eje) en un punto:
.
Este punto es la raíz de la ecuación original (2.1). Como esta raíz se factoriza dos veces:
,
entonces tal raíz se llama múltiplo. Es decir, consideran que hay dos raíces iguales:
.

Responder

;
.

Ejemplo 3

Encuentra las raíces de una ecuación cuadrática:
(3.1) .

Decisión

Escribimos la ecuación cuadrática en forma general:
(1) .
Reescribamos la ecuación original (3.1):
.
Comparando con (1), encontramos los valores de los coeficientes:
.
Encontrar el discriminante:
.
El discriminante es negativo, . Por lo tanto, no hay raíces reales.

Puedes encontrar raíces complejas:
;
;
.

Entonces


.

La gráfica de la función no cruza el eje x. No hay raíces reales.

Grafiquemos la función
.
La gráfica de esta función es una parábola. No cruza la abscisa (eje). Por lo tanto, no hay raíces reales.

Responder

No hay raíces reales. Raíces complejas:
;
;
.