Cómo resolver fracciones enteras con diferentes denominadores. Fracciones con diferente denominador y su resta. Multiplicar un número entero por una fracción

tu hijo trajo tarea del colegio y no sabes como solucionarlo? ¡Entonces este mini tutorial es para ti!

Cómo sumar decimales

Es más conveniente agregar fracciones decimales en una columna. Para sumar decimales, debe seguir una regla simple:

El dígito debe estar debajo del dígito, la coma debajo de la coma.

Como puede ver en el ejemplo, las unidades enteras están una debajo de la otra, las décimas y las centésimas están una debajo de la otra. Ahora sumamos los números, ignorando la coma. ¿Qué hacer con una coma? La coma se transfiere al lugar donde estaba en la descarga de números enteros.

Sumar fracciones con igual denominador

Para realizar una suma con un denominador común, debe mantener el denominador sin cambios, encontrar la suma de los numeradores y obtener una fracción, que será la suma total.

Sumar fracciones con diferentes denominadores encontrando un múltiplo común

Lo primero a lo que hay que prestar atención son los denominadores. Los denominadores son diferentes, ¿no son divisibles entre sí, son números primos. Primero debe llevar a un denominador común, hay varias formas de hacerlo:

1/3 + 3/4 = 13/12, para resolver este ejemplo, necesitamos encontrar el mínimo común múltiplo (MCM) que será divisible por 2 denominadores. Para denotar el múltiplo más pequeño de a y b - MCM (a; b). EN este ejemplo MCM (3;4)=12. Comprobar: 12:3=4; 12:4=3.
Multiplicamos los factores y realizamos la suma de los números resultantes, obtenemos 13/12, una fracción impropia.

Para convertir una fracción impropia a una propia, dividimos el numerador por el denominador, obtenemos el número entero 1, el resto 1 es el numerador y 12 es el denominador.

Sumar fracciones usando la multiplicación cruzada

Para sumar fracciones con diferentes denominadores, existe otra forma según la fórmula “cruz por cruz”. Esta es una forma garantizada de igualar los denominadores, para ello necesitas multiplicar los numeradores con el denominador de una fracción y viceversa. Si solo estás en etapa inicial aprendiendo fracciones, entonces este método es el más fácil y preciso, cómo obtener el resultado correcto al sumar fracciones con diferentes denominadores.

Acciones con fracciones.

¡Atención!
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material en la Sección Especial 555.
Para aquellos que fuertemente "no muy..."
Y para los que "mucho...")

Entonces, ¿qué son las fracciones, los tipos de fracciones, las transformaciones? Lo recordamos. Abordemos la cuestión principal.

¿Qué puedes hacer con fracciones? Sí, todo es igual que con los números ordinarios. Sumar, restar, multiplicar, dividir.

Todas estas acciones con decimal Las operaciones con fracciones no son diferentes de las operaciones con números enteros. En realidad, para eso sirven, decimal. Lo único es que necesitas poner la coma correctamente.

Numeros mezclados, como dije, son de poca utilidad para la mayoría de las acciones. Todavía necesitan ser convertidos a fracciones ordinarias.

Y aquí están las acciones con fracciones ordinarias será más inteligente. ¡Y mucho más importante! Déjame recordarte: todas las acciones con expresiones fraccionarias con letras, senos, incógnitas, etc., no son diferentes de las acciones con fracciones ordinarias! Las operaciones con fracciones ordinarias son la base de todo el álgebra. Es por ello que analizaremos aquí con gran detalle toda esta aritmética.

Suma y resta de fracciones.

Todos pueden sumar (restar) fracciones con los mismos denominadores (¡realmente espero!). Bueno, déjame recordarte que soy completamente olvidadizo: al sumar (restar), el denominador no cambia. Los numeradores se suman (restan) para dar el numerador del resultado. Tipo:

En resumen, en vista general:

¿Qué pasa si los denominadores son diferentes? Luego, usando la propiedad principal de la fracción (¡aquí volvió a ser útil!), ¡Hacemos los mismos denominadores! Por ejemplo:

Aquí tuvimos que hacer la fracción 4/10 de la fracción 2/5. Únicamente con el propósito de hacer que los denominadores sean iguales. Tomo nota, por si acaso, que 2/5 y 4/10 son la misma fracción! Solo 2/5 nos resulta incómodo, y 4/10 es incluso nada.

Por cierto, esta es la esencia de resolver cualquier tarea en matemáticas. cuando estamos fuera incómodo las expresiones hacen lo mismo, pero más conveniente para resolver.

Otro ejemplo:

La situación es parecida. Aquí hacemos 48 de 16. Por simple multiplicación en 3. Todo esto está claro. Pero aquí nos encontramos con algo como:

¡¿Cómo ser?! ¡Es difícil sacar un nueve de un siete! ¡Pero somos inteligentes, conocemos las reglas! vamos a transformar todos fracción para que los denominadores sean iguales. Esto se llama "reducir a un denominador común":

¡Cómo! ¿Cómo supe del 63? ¡Muy simple! 63 es un número que es divisible por 7 y 9 al mismo tiempo. Tal número siempre se puede obtener multiplicando los denominadores. Si multiplicamos un número por 7, por ejemplo, ¡entonces el resultado seguramente se dividirá por 7!

Si necesitas sumar (restar) varias fracciones, no hace falta hacerlo por parejas, paso a paso. Solo necesitas encontrar el denominador que es común a todas las fracciones y llevar cada fracción a este mismo denominador. Por ejemplo:

¿Y cuál será el común denominador? Por supuesto, puedes multiplicar 2, 4, 8 y 16. Obtenemos 1024. Pesadilla. Es más fácil estimar que el número 16 es perfectamente divisible por 2, 4 y 8. Por lo tanto, de estos números es fácil obtener 16. Este número será el común denominador. Convirtamos 1/2 en 8/16, 3/4 en 12/16 y así sucesivamente.

Por cierto, si tomamos 1024 como denominador común, todo saldrá bien, al final todo se reducirá. Solo que no todos llegarán a este fin, debido a los cálculos ...

Resuelva el ejemplo usted mismo. No es un logaritmo... Debería ser 29/16.

Entonces, con la suma (resta) de fracciones queda claro, ¿espero? Por supuesto, es más fácil trabajar en una versión abreviada, con multiplicadores adicionales. Pero este placer está disponible para aquellos que trabajaron honestamente en los grados inferiores ... Y no olvidaron nada.

Y ahora haremos las mismas acciones, pero no con fracciones, sino con expresiones fraccionarias. Aquí se encontrarán nuevos rastrillos, sí...

Entonces, necesitamos sumar dos expresiones fraccionarias:

Tenemos que hacer que los denominadores sean iguales. Y solo con la ayuda multiplicación! Así que la propiedad principal de la fracción dice. Por lo tanto, no puedo sumar uno a x en la primera fracción del denominador. (¡Pero eso sería bueno!). Pero si multiplicas los denominadores, verás, ¡todo crecerá junto! Entonces escribimos, la línea de la fracción, dejamos un espacio vacío arriba, luego lo sumamos y escribimos el producto de los denominadores debajo, para no olvidar:

Y, por supuesto, no multiplicamos nada en el lado derecho, ¡no abrimos corchetes! Y ahora, mirando el denominador común del lado derecho, pensamos: para obtener el denominador x (x + 1) en la primera fracción, necesitamos multiplicar el numerador y el denominador de esta fracción por (x + 1) . Y en la segunda fracción - x. Obtienes esto:

¡Nota! ¡Los paréntesis están aquí! Este es el rastrillo que muchos pisan. No corchetes, por supuesto, sino su ausencia. Los paréntesis aparecen porque multiplicamos El conjunto numerador y El conjunto¡denominador! Y no sus piezas individuales...

En el numerador del lado derecho escribimos la suma de los numeradores, todo es como en fracciones, luego abra los paréntesis en el numerador del lado derecho, es decir multiplica todo y dale like. ¡No necesitas abrir los paréntesis en los denominadores, no necesitas multiplicar algo! En general, en denominadores (cualquiera) ¡el producto siempre es más agradable! Obtenemos:

Aquí tenemos la respuesta. El proceso parece largo y difícil, pero depende de la práctica. Resuelve ejemplos, acostúmbrate, todo se volverá simple. Aquellos que hayan dominado las fracciones en el tiempo asignado, ¡hagan todas estas operaciones con una mano, en la máquina!

Y una nota más. Muchos tratan con fracciones, pero se aferran a ejemplos con todo números. Tipo: 2 + 1/2 + 3/4= ? ¿Dónde sujetar un deuce? No es necesario sujetarlo en ningún lado, debe hacer una fracción de un dos. ¡No es fácil, es muy simple! 2=2/1. Me gusta esto. Cualquier número entero se puede escribir como una fracción. El numerador es el mismo número, el denominador es uno. 7 es 7/1, 3 es 3/1 y así sucesivamente. Es lo mismo con las letras. (a + b) \u003d (a + b) / 1, x \u003d x / 1, etc. Y luego trabajamos con estas fracciones de acuerdo con todas las reglas.

Bueno, en la suma - resta de fracciones, se actualizó el conocimiento. Transformaciones de fracciones de un tipo a otro - repetidas. También puedes consultar. ¿Nos acomodamos un poco?)

Calcular:

Respuestas (en desorden):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Multiplicación / división de fracciones - en la próxima lección. También hay tareas para todas las acciones con fracciones.

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Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).

Puedes practicar la resolución de ejemplos y averiguar tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendiendo - ¡con interés!)

puede familiarizarse con funciones y derivadas.

Las expresiones fraccionarias son difíciles de entender para un niño. La mayoría de las personas tienen dificultades con . Al estudiar el tema "suma de fracciones con números enteros", el niño cae en un estupor y le resulta difícil resolver la tarea. En muchos ejemplos, se debe realizar una serie de cálculos antes de poder realizar una acción. Por ejemplo, convertir fracciones o convertir una fracción impropia en una propia.

Explíquele al niño claramente. Tome tres manzanas, dos de las cuales serán enteras y la tercera se cortará en 4 partes. Separe una rebanada de la manzana cortada y coloque las tres restantes junto a dos frutas enteras. Sacamos ¼ de manzanas por un lado y 2 ¾ por el otro. Si las combinamos, obtenemos tres manzanas enteras. Intentemos reducir 2 ¾ manzanas en ¼, es decir, quitamos una rebanada más, obtenemos 2 2/4 manzanas.

Echemos un vistazo más de cerca a las acciones con fracciones, que incluyen números enteros:

Primero, recordemos la regla de cálculo para expresiones fraccionarias con un denominador común:

A primera vista, todo es fácil y simple. Pero esto se aplica solo a expresiones que no requieren conversión.

Cómo encontrar el valor de una expresión donde los denominadores son diferentes

En algunas tareas, es necesario encontrar el valor de una expresión donde los denominadores son diferentes. Considere un caso específico:
3 2/7+6 1/3

Encuentra el valor de esta expresión, para esto encontramos un denominador común para dos fracciones.

Para los números 7 y 3, esto es 21. Dejamos las partes enteras igual, y reducimos las partes fraccionarias a 21, para esto multiplicamos la primera fracción por 3, la segunda por 7, obtenemos:
21/6+21/7, no olvide que las partes enteras no están sujetas a conversión. Como resultado, obtenemos dos fracciones con un denominador y calculamos su suma:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Qué pasa si el resultado de la suma es una fracción impropia que ya tiene una parte entera:
2 1/3+3 2/3
En este caso, sumamos las partes enteras y las partes fraccionarias, obtenemos:
5 3/3, como sabes, 3/3 es uno, entonces 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

Con encontrar la suma, todo está claro, analicemos la resta:

De lo dicho se sigue la regla de acción sobre Numeros mezclados que suena así:

Si es necesario restar un número entero de una expresión fraccionaria, no es necesario representar el segundo número como una fracción, basta con operar solo en partes enteras.

Intentemos calcular el valor de las expresiones por nuestra cuenta:

Echemos un vistazo más de cerca al ejemplo debajo de la letra "m":

4 5/11-2 8/11, el numerador de la primera fracción es menor que la segunda. Para hacer esto, tomamos un número entero de la primera fracción, obtenemos,
3 5/11+11/11=3 enteros 16/11, restar el segundo de la primera fracción:
3 16/11-2 8/11=1 entero 8/11

Tenga cuidado al completar la tarea, no olvide convertir fracciones impropias en mixtas, resaltando la parte entera. Para ello, es necesario dividir el valor del numerador por el valor del denominador, lo que sucedió, toma el lugar de la parte entera, el resto será el numerador, por ejemplo:

19/4=4 ¾, comprueba: 4*4+3=19, en el denominador 4 permanece sin cambios.

Resumir:

Antes de continuar con la tarea relacionada con las fracciones, es necesario analizar qué tipo de expresión es, qué transformaciones se deben realizar en la fracción para que la solución sea correcta. Busque soluciones más racionales. No vayas por el camino difícil. Planifica todas las acciones, decide primero en versión preliminar, luego transfiéralo a un cuaderno escolar.

Para evitar confusiones al resolver expresiones fraccionarias, es necesario seguir la regla de la secuencia. Decide todo con cuidado, sin prisas.

Los números fraccionarios ordinarios se encuentran por primera vez con los escolares en el quinto grado y los acompañan durante toda su vida, ya que en la vida cotidiana a menudo es necesario considerar o usar algún objeto no en su totalidad, sino en piezas separadas. El comienzo del estudio de este tema - compartir. Las acciones son partes iguales en que se divide un objeto. Después de todo, no siempre es posible expresar, por ejemplo, la longitud o el precio de un producto como un número entero, se deben tener en cuenta partes o partes de cualquier medida. Formado a partir del verbo "aplastar", dividir en partes y tener raíces árabes, en el siglo VIII apareció en ruso la palabra "fracción".

Las expresiones fraccionarias se han considerado durante mucho tiempo la sección más difícil de las matemáticas. En el siglo XVII, cuando aparecieron los primeros libros de texto de matemáticas, se los llamó "números rotos", lo que era muy difícil de mostrar en la comprensión de las personas.

aspecto moderno los residuos fraccionarios simples, partes de las cuales están separadas precisamente por una línea horizontal, fueron aportados por primera vez por Fibonacci, Leonardo de Pisa. Sus escritos están fechados en 1202. Pero el propósito de este artículo es explicar de manera simple y clara al lector cómo se produce la multiplicación de fracciones mixtas con diferentes denominadores.

Multiplicar fracciones con diferente denominador

Inicialmente, es necesario determinar variedades de fracciones:

correcto;
equivocado;
mezclado.

A continuación, debe recordar cómo se multiplican los números fraccionarios con los mismos denominadores. La regla misma de este proceso es fácil de formular de forma independiente: el resultado de la multiplicación fracciones simples con los mismos denominadores es una expresión fraccionaria, cuyo numerador es el producto de los numeradores, y el denominador es el producto de los denominadores de las fracciones dadas. Es decir, de hecho, el nuevo denominador es el cuadrado de uno de los existentes inicialmente.

al multiplicar fracciones simples con diferentes denominadores para dos o más factores, la regla no cambia:

un/b * C/d = a*c / b*d.

La única diferencia es que el número formado debajo de la barra fraccionaria será el producto de diferentes números y, naturalmente, no puede llamarse el cuadrado de una expresión numérica.

Vale la pena considerar la multiplicación de fracciones con diferentes denominadores usando ejemplos:

8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Los ejemplos usan formas de reducir expresiones fraccionarias. Solo puedes reducir los números del numerador con los números del denominador; los factores adyacentes por encima o por debajo de la barra fraccionaria no se pueden reducir.

Junto con los números fraccionarios simples, existe el concepto de fracciones mixtas. Un número mixto consta de un entero y una parte fraccionaria, es decir, es la suma de estos números:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

¿Cómo funciona la multiplicación?

Se proporcionan varios ejemplos para su consideración.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

El ejemplo utiliza la multiplicación de un número por parte fraccionaria ordinaria, puede escribir la regla para esta acción mediante la fórmula:

un * b/C = a*b /C.

De hecho, tal producto es la suma de residuos fraccionarios idénticos, y el número de términos indica esto número natural. caso especial:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Hay otra opción para resolver la multiplicación de un número por un resto fraccionario. Solo necesitas dividir el denominador por este número:

d* mi/F = mi/f: re.

Es útil usar esta técnica cuando el denominador se divide por un número natural sin resto o, como se suele decir, completamente.

Convierte números mixtos a fracciones impropias y obtén el producto de la forma descrita anteriormente:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Este ejemplo implica un método de representación fracción mixta en el incorrecto, también se puede representar como una fórmula general:

un bC = a*b+ c/c, donde el denominador de la nueva fracción se forma multiplicando la parte entera con el denominador y sumándolo al numerador del resto fraccionario original, y el denominador sigue siendo el mismo.

Este proceso también funciona a la inversa. Para seleccionar la parte entera y el resto fraccionario, debe dividir el numerador de una fracción impropia por su denominador con una "esquina".

Multiplicación fracciones impropias producido de la manera habitual. Cuando la entrada pasa por debajo de una sola línea fraccionaria, según sea necesario, debe reducir las fracciones para reducir los números usando este método y es más fácil calcular el resultado.

Hay muchos ayudantes en Internet para resolver incluso problemas complejos. problemas de matematicas en varios programas. Un número suficiente de tales servicios ofrecen su ayuda en el conteo de la multiplicación de fracciones con números diferentes en denominadores: las llamadas calculadoras en línea para calcular fracciones. Son capaces no solo de multiplicar, sino también de realizar todas las demás operaciones aritméticas simples con fracciones ordinarias y números mixtos. Es fácil trabajar con él, los campos correspondientes se completan en la página del sitio, se selecciona el letrero acción matemática y haga clic en "calcular". El programa cuenta automáticamente.

Asunto operaciones aritmeticas con números fraccionarios es relevante a lo largo de la educación de los escolares de secundaria y preparatoria. En la escuela secundaria, ya no están considerando las especies más simples, sino expresiones fraccionarias enteras, pero el conocimiento de las reglas para la transformación y los cálculos, obtenido anteriormente, se aplica en su forma original. El conocimiento básico bien aprendido da plena confianza en Buena decisión la mayoría tareas desafiantes.

Para concluir, tiene sentido citar las palabras de León Tolstoi, quien escribió: “El hombre es una fracción. No está en el poder del hombre aumentar su numerador - sus propios méritos, pero cualquiera puede disminuir su denominador - su opinión de sí mismo, y por esta disminución acercarse a su perfección.

Las reglas para sumar fracciones con diferentes denominadores son muy simples.

Considere las reglas para sumar fracciones con diferentes denominadores en pasos:

1. Encuentra el MCM (mínimo común múltiplo) de los denominadores. El MCM resultante será el común denominador de las fracciones;

2. Llevar fracciones a un denominador común;

3. Sumar fracciones reducidas a un denominador común.

Sobre el ejemplo sencillo Aprende a sumar fracciones con diferentes denominadores.