Los ejemplos con fracciones son uno de los elementos básicos de las matemáticas. Hay muchos diferentes tipos ecuaciones con fracciones. A continuación es instrucciones detalladas resolviendo ejemplos de este tipo.
Cómo resolver ejemplos con fracciones - reglas generales
Para resolver ejemplos con fracciones de cualquier tipo, ya sea suma, resta, multiplicación o división, necesitas conocer las reglas básicas:
- Para sumar expresiones fraccionarias con el mismo denominador (el denominador es el número en la parte inferior de la fracción, el numerador en la parte superior), debe sumar sus numeradores y dejar el denominador igual.
- Para restar de una expresión fraccionaria la segunda (con el mismo denominador), debe restar sus numeradores y dejar el denominador igual.
- Para sumar o restar expresiones fraccionarias con diferentes denominadores, necesitamos encontrar el mínimo común denominador.
- Para encontrar un producto fraccionario, debe multiplicar los numeradores y los denominadores, mientras que, si es posible, reducir.
- Para dividir una fracción entre una fracción, debes multiplicar la primera fracción por el segundo inverso.
Cómo resolver ejemplos con fracciones - práctica
Regla 1, ejemplo 1:
Calcula 3/4 + 1/4.
De acuerdo con la Regla 1, si las fracciones de dos (o más) tienen el mismo denominador, solo necesitas sumar sus numeradores. Obtenemos: 3/4 + 1/4 = 4/4. Si una fracción tiene el mismo numerador y denominador, la fracción será 1.
Respuesta: 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1.
Regla 2, ejemplo 1:
Calcular: 3/4 - 1/4
Usando la regla número 2, para resolver esta ecuación, necesitas restar 1 de 3 y dejar el mismo denominador. Obtenemos 2/4. Como dos 2 y 4 se pueden reducir, reducimos y obtenemos 1/2.
Respuesta: 3/4 - 1/4 = 2/4 = 1/2.
Regla 3, Ejemplo 1
Calcular: 3/4 + 1/6
Solución: Usando la regla 3, encontramos el mínimo común denominador. El mínimo común denominador es el número que es divisible por los denominadores de todas las expresiones fraccionarias del ejemplo. Por lo tanto, necesitamos encontrar un número mínimo que sea divisible tanto por 4 como por 6. Este número es 12. Escribimos 12 como denominador. Dividimos 12 por el denominador de la primera fracción, obtenemos 3, multiplicamos por 3, escribimos 3 en el numerador *3 y signo +. Dividimos 12 por el denominador de la segunda fracción, obtenemos 2, multiplicamos 2 por 1, escribimos 2 * 1 en el numerador. Entonces, obtuvimos una nueva fracción con un denominador igual a 12 y un numerador igual a 3*3+2*1=11. 11/12.
Respuesta: 11/12
Regla 3, Ejemplo 2:
Calcula 3/4 - 1/6. Este ejemplo es muy similar al anterior. Hacemos todas las mismas acciones, pero en el numerador en lugar del signo +, escribimos el signo menos. Obtenemos: 3*3-2*1/12 = 9-2/12 = 7/12.
Respuesta: 7/12
Regla 4, Ejemplo 1:
Calcular: 3/4 * 1/4
Usando la cuarta regla, multiplicamos el denominador de la primera fracción por el denominador de la segunda y el numerador de la primera fracción por el numerador de la segunda. 3*1/4*4 = 3/16.
Respuesta: 3/16
Regla 4, Ejemplo 2:
Calcula 2/5 * 10/4.
Esta fracción se puede reducir. En el caso de un producto, se reducen el numerador de la primera fracción y el denominador de la segunda y el numerador de la segunda fracción y el denominador de la primera.
2 se reduce de 4. 10 se reduce de 5. obtenemos 1 * 2/2 = 1 * 1 = 1.
Respuesta: 2/5 * 10/4 = 1
Regla 5, Ejemplo 1:
Calcular: 3/4: 5/6
Usando la quinta regla, obtenemos: 3/4: 5/6 = 3/4 * 6/5. Reducimos la fracción según el principio del ejemplo anterior y obtenemos 9/10.
Respuesta: 9/10.
Cómo resolver ejemplos de fracciones: ecuaciones fraccionarias
Las ecuaciones fraccionarias son ejemplos donde el denominador contiene una incógnita. Para resolver tal ecuación, necesitas usar ciertas reglas.
Considere un ejemplo:
Resuelve la ecuación 15/3x+5 = 3
Recuerda que no puedes dividir por cero, es decir el valor del denominador no debe ser cero. Al resolver tales ejemplos, esto debe indicarse. Para ello, existe una ODZ (área valores permitidos).
Entonces 3x+5 ≠ 0.
Por lo tanto: 3x ≠ 5.
x ≠ 5/3
Para x = 5/3, la ecuación simplemente no tiene solución.
Al especificar la ODZ, De la mejor manera posible resolver esta ecuación se deshará de las fracciones. Para ello, primero representamos todos los valores no fraccionarios como una fracción, en este caso el número 3. Obtenemos: 15/(3x+5) = 3/1. Para deshacerse de las fracciones, debe multiplicar cada una de ellas por el mínimo común denominador. En este caso, sería (3x+5)*1. Secuenciación:
- Multiplica 15/(3x+5) por (3x+5)*1 = 15*(3x+5).
- Expande los corchetes: 15*(3x+5) = 45x + 75.
- Hacemos lo mismo con el lado derecho de la ecuación: 3*(3x+5) = 9x + 15.
- Igualar los lados izquierdo y derecho: 45x + 75 = 9x +15
- Mover x a la izquierda, números a la derecha: 36x = -50
- Encuentre x: x = -50/36.
- Reducimos: -50/36 = -25/18
Respuesta: ODZ x ≠ 5/3. x = -25/18.
Cómo resolver ejemplos con fracciones - desigualdades fraccionarias
Las desigualdades fraccionarias del tipo (3x-5)/(2-x)≥0 se resuelven utilizando el eje numérico. Considere este ejemplo.
Secuenciación:
- Igualar el numerador y el denominador a cero: 1. 3x-5=0 => 3x=5 => x=5/3
2. 2-x=0 => x=2 - Dibujamos un eje numérico, pintando sobre él los valores resultantes.
- Dibuje un círculo debajo del valor. El círculo es de dos tipos: lleno y vacío. Un círculo lleno significa que este valor está incluido en el rango de soluciones. Un círculo vacío indica que este valor no está incluido en el rango de soluciones.
- Como el denominador no puede ser cero, habrá un círculo vacío debajo del segundo.
- Para determinar los signos, sustituimos cualquier número mayor que dos en la ecuación, por ejemplo, 3. (3 * 3-5) / (2-3) \u003d -4. el valor es negativo, por lo que escribimos un signo menos sobre el área después del dos. Luego sustituimos cualquier valor del intervalo de 5/3 a 2 en lugar de x, por ejemplo 1. El valor es nuevamente negativo. Escribimos menos. Repetimos lo mismo con la zona hasta 5/3. Sustituimos cualquier número menor que 5/3, por ejemplo 1. Menos otra vez.
- Dado que estamos interesados en los valores de x, en los que la expresión será mayor o igual a 0, y tales valores no existen (contras en todas partes), esta desigualdad no tiene solución, es decir, x = Ø (conjunto vacío).
Respuesta: x = Ø
Los estudiantes son introducidos a las fracciones en 5to grado. Anteriormente, las personas que sabían realizar acciones con fracciones eran consideradas muy inteligentes. La primera fracción fue 1/2, es decir, la mitad, luego apareció 1/3, y así sucesivamente. Durante varios siglos, los ejemplos se consideraron demasiado complejos. Ahora desarrollado reglas detalladas en la conversión de fracciones, suma, multiplicación y otras acciones. Basta con entender un poco el material, y la solución se dará fácilmente.
Una fracción ordinaria, que se llama fracción simple, se escribe como una división de dos números: m y n.
M es el dividendo, es decir, el numerador de la fracción, y el divisor n se llama denominador.
Seleccionar fracciones propias (m< n) а также неправильные (m >norte).
Una fracción propia es menor que uno (por ejemplo, 5/6 - esto significa que se toman 5 partes de uno; 2/8 - se toman 2 partes de uno). Una fracción impropia es igual o mayor que 1 (8/7 - la unidad será 7/7 y se toma como más una parte más).
Entonces, una unidad es cuando el numerador y el denominador coinciden (3/3, 12/12, 100/100 y otros).
Acciones con fracciones ordinarias Grado 6
Con fracciones simples, puedes hacer lo siguiente:
- Ampliar fracción. Si multiplicas las partes superior e inferior de la fracción por cualquier el mismo numero(solo que no por cero), entonces el valor de la fracción no cambiará (3/5 = 6/10 (simplemente multiplicado por 2).
- Reducir fracciones es similar a expandir, pero aquí se dividen por un número.
- Comparar. Si dos fracciones tienen el mismo numerador, entonces la fracción con el menor denominador será mayor. Si los denominadores son iguales, entonces la fracción con el numerador más grande será mayor.
- Realiza sumas y restas. Con los mismos denominadores, esto es fácil de hacer (sumamos las partes superiores y la parte inferior no cambia). Para diferentes, tendrás que encontrar un denominador común y factores adicionales.
- Multiplicar y dividir fracciones.
A continuación se consideran ejemplos de operaciones con fracciones.
Fracciones reducidas Grado 6
Reducir significa dividir la parte superior e inferior de una fracción por un número igual.
La figura muestra ejemplos simples de reducción. En la primera opción, puedes adivinar inmediatamente que el numerador y el denominador son divisibles por 2.
¡En una nota! Si el número es par, entonces es divisible por 2. Los números pares son 2, 4, 6 ... 32 8 (termina en par), etc.
En el segundo caso, al dividir 6 por 18, inmediatamente queda claro que los números son divisibles por 2. Dividiendo, obtenemos 3/9. Esta fracción también es divisible por 3. Entonces la respuesta es 1/3. Si multiplicas ambos divisores: 2 por 3, entonces saldrá 6. Resulta que la fracción se dividió por seis. Esta división gradual se llama reducción sucesiva de la fracción por divisores comunes.
Alguien dividirá inmediatamente por 6, alguien necesitará dividir por partes. Lo principal es que al final hay una fracción que no se puede reducir de ninguna manera.
Tenga en cuenta que si el número consta de dígitos, cuya suma dará como resultado un número divisible por 3, entonces el original también se puede reducir por 3. Ejemplo: el número 341. Sume los números: 3 + 4 + 1 = 8 ( 8 no es divisible por 3, por lo que el número 341 no se puede reducir por 3 sin resto). Otro ejemplo: 264. Suma: 2 + 6 + 4 = 12 (dividido por 3). Obtenemos: 264: 3 = 88. Esto simplificará la reducción de números grandes.
Además del método de reducción sucesiva de una fracción por divisores comunes, existen otras formas.
MCD es el mayor divisor de un número. Una vez que haya encontrado el MCD para el denominador y el numerador, puede reducir inmediatamente la fracción por el número deseado. La búsqueda se realiza dividiendo gradualmente cada número. Luego, miran qué divisores coinciden, si hay varios de ellos (como en la imagen a continuación), entonces debes multiplicar.
Fracciones mixtas grado 6
Todos fracciones impropias se pueden convertir en mixtos resaltando toda la parte en ellos. El entero se escribe a la izquierda.
A menudo tienes que formar un número mixto a partir de una fracción impropia. El proceso de conversión en el siguiente ejemplo: 22/4 = 22 dividido por 4, obtenemos 5 enteros (5 * 4 = 20). 22 - 20 = 2. Obtenemos 5 enteros y 2/4 (el denominador no cambia). Como la fracción se puede reducir, dividimos las partes superior e inferior por 2.
Un número mixto se puede convertir fácilmente en un número no fracción propia(esto es necesario al dividir y multiplicar fracciones). Para ello: multiplica el número entero por la parte inferior de la fracción y súmale el numerador. Listo. El denominador no cambia.
Cálculos con fracciones Grado 6
Se pueden sumar números mixtos. Si los denominadores son iguales, entonces esto es fácil de hacer: sume las partes enteras y los numeradores, el denominador permanece en su lugar.
Al sumar números con diferentes denominadores, el proceso es más complicado. Primero, llevamos los números a un denominador más pequeño (NOD).
En el siguiente ejemplo, para los números 9 y 6, el denominador será 18. Después de eso, se necesitan factores adicionales. Para encontrarlos, debe dividir 18 por 9, por lo que se encuentra un número adicional: 2. Lo multiplicamos por el numerador 4, obtenemos la fracción 8/18). Lo mismo se hace con la segunda fracción. Ya sumamos las fracciones convertidas (números enteros y numeradores por separado, no cambiamos el denominador). En el ejemplo, la respuesta tuvo que convertirse a una fracción propia (inicialmente, el numerador resultó ser mayor que el denominador).
Tenga en cuenta que con la diferencia de fracciones, el algoritmo de acciones es el mismo.
Al multiplicar fracciones, es importante colocar ambas debajo de la misma línea. Si el número es mixto, lo convertimos en una fracción simple. Luego, multiplica las partes superior e inferior y escribe la respuesta. Si está claro que las fracciones se pueden reducir, entonces reducimos inmediatamente.
En este ejemplo, no tuvimos que cortar nada, solo escribimos la respuesta y resaltamos toda la parte.
En este ejemplo, tuve que reducir los números en una sola línea. Aunque es posible reducir también la respuesta preparada.
Al dividir, el algoritmo es casi el mismo. Primero, convertimos la fracción mixta en una impropia, luego escribimos los números debajo de una línea, reemplazando la división con la multiplicación. No olvide intercambiar las partes superior e inferior de la segunda fracción (esta regla división de fracciones).
Si es necesario, reducimos los números (en el ejemplo a continuación, lo redujeron en cinco y dos). Transformamos la fracción impropia resaltando la parte entera.
Tareas básicas de fracciones Grado 6
El video muestra algunas tareas más. Para mayor claridad, usamos imágenes gráficas soluciones para ayudar a visualizar fracciones.
Ejemplos de multiplicación de fracciones Grado 6 con explicaciones
Las fracciones que se multiplican se escriben debajo de una línea. Después de eso, se reducen dividiendo por los mismos números (por ejemplo, 15 en el denominador y 5 en el numerador se pueden dividir por cinco).
Comparación de fracciones Grado 6
Para comparar fracciones, debes recordar dos reglas simples.
Regla 1. Si los denominadores son diferentes
Regla 2. Cuando los denominadores son iguales
Por ejemplo, comparemos las fracciones 7/12 y 2/3.
- Nos fijamos en los denominadores, no coinciden. Entonces necesitas encontrar uno común.
- Para fracciones, el común denominador es 12.
- Primero dividimos 12 por la parte inferior de la primera fracción: 12: 12 = 1 (este es un factor adicional para la 1ra fracción).
- Ahora dividimos 12 por 3, obtenemos 4 - sumar. multiplicador de la 2ª fracción.
- Multiplicamos los números resultantes por numeradores para convertir fracciones: 1 x 7 \u003d 7 (primera fracción: 7/12); 4 x 2 = 8 (segunda fracción: 8/12).
- Ahora podemos comparar: 7/12 y 8/12. Resultó: 7/12< 8/12.
Para representar mejor las fracciones, puede usar dibujos para mayor claridad, donde un objeto se divide en partes (por ejemplo, un pastel). Si desea comparar 4/7 y 2/3, entonces, en el primer caso, el pastel se divide en 7 partes y se eligen 4 de ellas. En el segundo, se dividen en 3 partes y se toman 2. A simple vista se verá que 2/3 será más que 4/7.
Ejemplos con fracciones grado 6 para entrenamiento
Como ejercicio, puede realizar las siguientes tareas.
- comparar fracciones
- hacer la multiplicacion
Consejo: si es difícil encontrar el mínimo común denominador de las fracciones (especialmente si sus valores son pequeños), puede multiplicar el denominador de la primera y la segunda fracción. Ejemplo: 2/8 y 5/9. Encontrar su denominador es simple: multiplica 8 por 9, obtienes 72.
Resolver ecuaciones con fracciones Grado 6
Al resolver ecuaciones, debe recordar las acciones con fracciones: multiplicación, división, resta y suma. Si uno de los factores es desconocido, entonces el producto (total) se divide por el factor conocido, es decir, las fracciones se multiplican (la segunda se da la vuelta).
Si no se conoce el dividendo, entonces el denominador se multiplica por el divisor, y para encontrar el divisor, debe dividir el dividendo por el cociente.
Imaginar ejemplos simples resolver ecuaciones:
Aquí solo se requiere producir la diferencia de fracciones, sin llevar a un común denominador.
La respuesta es una fracción impropia. Se puede convertir a 1 entero y 3/5.
En el segundo método, el numerador y el denominador se multiplicaron por 4 para acortar la parte inferior en lugar de invertir el denominador.
Este artículo es una mirada general a las operaciones con fracciones. Aquí formulamos y justificamos las reglas de suma, resta, multiplicación, división y elevación a la potencia de fracciones de la forma general A/B, donde A y B son algunos números, expresiones numéricas o expresiones con variables. Como de costumbre, proporcionaremos el material con ejemplos explicativos con descripciones detalladas soluciones
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Reglas para realizar operaciones con fracciones numéricas de forma general.
Pongámonos de acuerdo en los números. vista general Comprender fracciones en las que el numerador y/o denominador pueda representarse no solo por números naturales, sino también por otros números o expresiones numéricas. Para mayor claridad, aquí hay algunos ejemplos de tales fracciones: 
.
Conocemos las reglas por las cuales . Por las mismas reglas, puede realizar operaciones con fracciones de forma general:
Justificación de las reglas
Para justificar la validez de las reglas para realizar acciones con fracciones numéricas de forma general, se puede partir de los siguientes puntos:
- una barra fraccionaria es esencialmente un signo de división,
- la división por algún número distinto de cero puede considerarse como una multiplicación por el recíproco del divisor (esto explica inmediatamente la regla para dividir fracciones),
- propiedades de las acciones con números reales,
- y su comprensión generalizada,
Te permiten realizar las siguientes transformaciones que justifican las reglas para sumar, restar fracciones con igual y diferente denominador, así como la regla para multiplicar fracciones: 
Ejemplos
Demos ejemplos de cómo realizar una acción con fracciones de forma general de acuerdo con las reglas aprendidas en el párrafo anterior. Digamos de inmediato que, por lo general, después de realizar acciones con fracciones, la fracción resultante requiere simplificación, y el proceso de simplificación de una fracción suele ser más complicado que realizar las acciones anteriores. No nos detendremos en la simplificación de fracciones (las transformaciones correspondientes se analizan en el artículo Transformar fracciones), para no distraernos del tema que nos interesa.
Empecemos con ejemplos de sumas y restas fracciones numéricas con los mismos denominadores. Comencemos sumando las fracciones y . Obviamente los denominadores son iguales. Según la regla correspondiente, anotamos una fracción cuyo numerador es igual a la suma de los numeradores de las fracciones originales, y dejamos igual el denominador, tenemos . La suma está hecha, queda simplificar la fracción resultante: 
. Asi que, 
.
Era posible llevar a cabo la decisión de una manera diferente: primero, hacer la transición a las fracciones ordinarias y luego realizar la suma. Con este enfoque, tenemos 
.
Ahora resta de la fracción 
fracción 
. Los denominadores de las fracciones son iguales, por lo tanto, actuamos según la regla para restar fracciones con los mismos denominadores: 
Pasemos a ejemplos de sumar y restar fracciones con diferentes denominadores. Aquí la principal dificultad radica en llevar las fracciones a un denominador común. Para fracciones de forma general, este es un tema bastante extenso, lo analizaremos en detalle en un artículo separado. reducción de fracciones a un denominador común. Ahora limitémonos a un par Recomendaciones generales, porque en este momento estamos más interesados en la técnica de realizar operaciones con fracciones.
En general, el proceso es similar a la reducción a un denominador común de fracciones ordinarias. Es decir, los denominadores se presentan como productos, luego se toman todos los factores del denominador de la primera fracción y se les suman los factores que faltan del denominador de la segunda fracción.
Cuando los denominadores de las fracciones sumadas o restadas no tienen factores comunes, entonces es lógico tomar su producto como denominador común. Tomemos un ejemplo.
Digamos que necesitamos sumar fracciones y 1/2. Aquí, como denominador común, es lógico tomar el producto de los denominadores de las fracciones originales, es decir, . En este caso, el factor adicional para la primera fracción será 2 . Después de multiplicar el numerador y el denominador por él, la fracción tomará la forma . Y para la segunda fracción, el factor adicional es la expresión. Con su ayuda, la fracción 1/2 se reduce a la forma. Queda por sumar las fracciones resultantes con los mismos denominadores. Aquí hay un resumen de toda la solución: 
En el caso de fracciones de forma general, ya no estamos hablando del mínimo común denominador, al que se suelen reducir las fracciones ordinarias. Aunque en este asunto todavía es deseable luchar por algo de minimalismo. Con esto queremos decir que no es necesario tomar inmediatamente como denominador común el producto de los denominadores de las fracciones originales. Por ejemplo, no es necesario en absoluto tomar el común denominador de fracciones y el producto 
. Aquí, como denominador común, podemos tomar .
Pasamos a ejemplos de multiplicación de fracciones de forma general. Multiplica las fracciones y . La regla para realizar esta acción nos dice que escribamos una fracción cuyo numerador sea el producto de los numeradores de las fracciones originales, y el denominador sea el producto de los denominadores. Tenemos 
. Aquí, como en muchos otros casos al multiplicar fracciones, puedes reducir la fracción: 
.
La regla para dividir fracciones te permite pasar de la división a la multiplicación por un recíproco. Aquí debe recordar que para obtener una fracción recíproca de una dada, debe intercambiar el numerador y el denominador de esta fracción. Aquí hay un ejemplo de la transición de la división de fracciones generales a la multiplicación: 
. Queda por realizar la multiplicación y simplificar la fracción resultante (si es necesario, ver la transformación de expresiones irracionales): 
Concluyendo la información de este párrafo, recordamos que cualquier número o expresión numérica se puede representar como una fracción con denominador 1, por lo tanto, la suma, resta, multiplicación y división de un número y una fracción se puede considerar como realizar la acción correspondiente con fracciones, una de las cuales tiene una unidad en el denominador. Por ejemplo, reemplazando en la expresión 
raíz de tres fracciones, pasaremos de multiplicar una fracción por un número a multiplicar dos fracciones: 
.
Realización de operaciones con fracciones que contienen variables
Las reglas de la primera parte de este artículo también se aplican a las operaciones con fracciones que contienen variables. Justificamos el primero de ellos: la regla para sumar y restar fracciones con los mismos denominadores, el resto se demuestra exactamente de la misma manera.
Probemos que para cualquier expresión A , C y D (D es idénticamente distinto de cero) tenemos la igualdad 
sobre su rango de valores aceptables de las variables.
Tomemos un conjunto de variables de ODZ. Deje que las expresiones A, C y D tomen los valores a 0, c 0 y d 0 para estos valores de las variables. Luego, al sustituir los valores de las variables del conjunto seleccionado en la expresión, se convierte en la suma (diferencia) de fracciones numéricas con los mismos denominadores de la forma , que, de acuerdo con la regla de suma (resta) de fracciones numéricas con el mismos denominadores, es igual a . Pero al sustituir los valores de las variables del conjunto seleccionado en la expresión, se convierte en la misma fracción. Esto significa que para el conjunto seleccionado de valores de variables de la ODZ, los valores de las expresiones y son iguales. Es claro que los valores de las expresiones indicadas serán iguales para cualquier otro conjunto de valores de variables de la ODZ, lo que significa que las expresiones y son idénticamente iguales, es decir, la igualdad que se prueba es cierta. .
Ejemplos de suma y resta de fracciones con variables
Cuando los denominadores de las fracciones que se suman o restan son los mismos, entonces todo es bastante simple: los numeradores se suman o restan, y el denominador sigue siendo el mismo. Es claro que la fracción obtenida después de esto se simplifica si es necesario y posible.
Tenga en cuenta que a veces los denominadores de las fracciones difieren solo a primera vista, pero en realidad son idénticos en igualdad de condiciones, como, 
y , o y . Y a veces basta con simplificar las fracciones iniciales para que “aparezcan” sus denominadores idénticos.
Ejemplo.
, b) 
, en) 
.
Solución.
a) Necesitamos restar fracciones con el mismo denominador. Según la regla correspondiente, dejamos igual el denominador y restamos los numeradores, tenemos 
. Acción realizada. Pero aún puede abrir los paréntesis en el numerador y traer términos similares: 
.
b) Obviamente, los denominadores de las fracciones sumadas son los mismos. Por lo tanto, sumamos los numeradores, y dejamos igual el denominador: . Adición completada. Pero es fácil ver que la fracción resultante se puede reducir. De hecho, el numerador de la fracción resultante se puede reducir por el cuadrado de la suma como (lgx + 2) 2 (ver las fórmulas de multiplicación abreviadas), por lo que se realizan las siguientes transformaciones: 
.
c) Fracciones en la suma tienen diferentes denominadores. Pero, al convertir una de las fracciones, puedes proceder a sumar fracciones con los mismos denominadores. Mostramos dos soluciones.
Primera forma. El denominador de la primera fracción se puede factorizar usando la fórmula de diferencia de cuadrados, y luego reducir esta fracción: 
. De este modo, . No está de más deshacerse de la irracionalidad en el denominador de una fracción: 
.
La segunda forma. Multiplicar el numerador y el denominador de la segunda fracción (esta expresión no desaparece para ningún valor de la variable x del DPV de la expresión original) le permite lograr dos objetivos a la vez: deshacerse de la irracionalidad y pasar a sumar fracciones con los mismos denominadores. Tenemos 
Responder:
a) 
, b) 
, en) 
.
El último ejemplo nos llevó a la cuestión de llevar fracciones a un denominador común. Allí, llegamos casi accidentalmente a los mismos denominadores, simplificando una de las fracciones sumadas. Pero en la mayoría de los casos, al sumar y restar fracciones con diferentes denominadores, uno tiene que llevar las fracciones a propósito a un denominador común. Para ello, los denominadores de las fracciones se suelen presentar como productos, todos los factores se toman del denominador de la primera fracción y se les suman los factores que faltan del denominador de la segunda fracción.
Ejemplo.
Realiza acciones con fracciones: a) 
, antes de Cristo) 
.
Solución.
a) No hay necesidad de hacer nada con los denominadores de las fracciones. Como denominador común tomamos el producto 
. En este caso, el factor adicional para la primera fracción es la expresión, y para la segunda fracción, el número 3. Estos factores adicionales llevan las fracciones a un denominador común, lo que nos permite realizar la acción que necesitamos, tenemos 
b) En este ejemplo, los denominadores ya se presentan como productos y no se requieren transformaciones adicionales. Obviamente, los factores en los denominadores difieren solo en los exponentes, por lo tanto, como denominador común, tomamos el producto de los factores con los exponentes más grandes, es decir, 
. Entonces el factor adicional para la primera fracción será x 4 , y para la segunda - ln(x+1) . Ahora estamos listos para restar fracciones: 
c) Y en este caso, para empezar, trabajaremos con los denominadores de fracciones. Las fórmulas de la diferencia de cuadrados y el cuadrado de la suma te permiten pasar de la suma original a la expresión 
. Ahora está claro que estas fracciones se pueden reducir a un denominador común 
. Con este enfoque, la solución será siguiente vista:
Responder:
a) 
b) 
en) 
Ejemplos de multiplicación de fracciones con variables
Multiplicar fracciones da una fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores de las fracciones originales y el denominador es el producto de los denominadores. Aquí, como puede ver, todo es familiar y simple, y solo podemos agregar que la fracción obtenida como resultado de esta acción a menudo se reduce. En estos casos, se reduce, salvo que, por supuesto, sea necesario y esté justificado.
Acciones con fracciones. En este artículo, analizaremos ejemplos, todo está detallado con explicaciones. Consideraremos fracciones ordinarias. En el futuro, analizaremos los decimales. Recomiendo ver todo y estudiar secuencialmente.
1. Suma de fracciones, diferencia de fracciones.
Regla: al sumar fracciones con denominadores iguales, el resultado es una fracción, cuyo denominador sigue siendo el mismo, y su numerador será igual a la suma de los numeradores de las fracciones.
Regla: al calcular la diferencia de fracciones con los mismos denominadores, obtenemos una fracción: el denominador sigue siendo el mismo y el numerador de la segunda se resta del numerador de la primera fracción.
Notación formal de la suma y diferencia de fracciones con igual denominador:
Ejemplos (1):
Está claro que cuando se dan fracciones ordinarias, entonces todo es simple, pero ¿si se mezclan? Nada complicado...
Opción 1- puedes convertirlos en ordinarios y luego calcularlos.
opcion 2- puede "trabajar" por separado con las partes enteras y fraccionarias.
Ejemplos (2):
Aún:
¿Y si se da la diferencia de dos fracciones mixtas y el numerador de la primera fracción es menor que el numerador de la segunda? También se puede hacer de dos maneras.
Ejemplos (3):
* Traducido a fracciones ordinarias, calculó la diferencia, convirtió la fracción impropia resultante en una mixta.
* Dividido en partes enteras y fraccionarias, obtuvo tres, luego presentó 3 como la suma de 2 y 1, con la unidad presentada como 11/11, luego encontró la diferencia entre 11/11 y 7/11 y calculó el resultado. El significado de las transformaciones anteriores es tomar (seleccionar) una unidad y presentarla como una fracción con el denominador que necesitamos, luego de esta fracción ya podemos restar otra.
Otro ejemplo:
Conclusión: existe un enfoque universal: para calcular la suma (diferencia) de fracciones mixtas con denominadores iguales, siempre se pueden convertir en impropias y luego ejecutar acción requerida. Después de eso, si como resultado obtenemos una fracción impropia, la traducimos a una mixta.
Arriba, vimos ejemplos con fracciones que tienen denominadores iguales. ¿Qué pasa si los denominadores difieren? En este caso, las fracciones se reducen al mismo denominador y se realiza la acción especificada. Para cambiar (transformar) una fracción, se usa la propiedad principal de la fracción.
Considere ejemplos simples:
En estos ejemplos, vemos inmediatamente cómo una de las fracciones se puede convertir para obtener denominadores iguales.
Si designamos formas de reducir fracciones a un denominador, entonces este se llamará MÉTODO UNO.
Es decir, inmediatamente al "evaluar" la fracción, debe averiguar si ese enfoque funcionará; verificamos si el denominador más grande es divisible por el más pequeño. Y si se divide, realizamos la transformación: multiplicamos el numerador y el denominador para que los denominadores de ambas fracciones sean iguales.
Ahora mira estos ejemplos:
Este enfoque no se aplica a ellos. Hay otras formas de reducir fracciones a un denominador común, considéralas.
Método SEGUNDO.
Multiplica el numerador y denominador de la primera fracción por el denominador de la segunda, y el numerador y denominador de la segunda fracción por el denominador de la primera:
*De hecho, traemos fracciones a la forma cuando los denominadores se vuelven iguales. A continuación, usamos la regla de sumar tímidos con denominadores iguales.
Ejemplo:
*Este método se puede llamar universal, y siempre funciona. Lo único negativo es que después de los cálculos, puede resultar una fracción que deberá reducirse aún más.
Considere un ejemplo:
Se puede ver que el numerador y el denominador son divisibles por 5:
Método TERCERO.
Encuentra el mínimo común múltiplo (MCM) de los denominadores. Este será el común denominador. ¿Cual es este numero? Este es el número natural más pequeño que es divisible por cada uno de los números.
Mira, aquí hay dos números: 3 y 4, hay muchos números que son divisibles por ellos: estos son 12, 24, 36, ... El más pequeño de ellos es 12. O 6 y 15, 30, 60, 90 son divisible por ellos.... Mínimo 30. Pregunta: ¿cómo determinar este mínimo común múltiplo?
Hay un algoritmo claro, pero a menudo esto se puede hacer inmediatamente sin cálculos. Por ejemplo, de acuerdo con los ejemplos anteriores (3 y 4, 6 y 15), no se necesita ningún algoritmo, tomamos números grandes (4 y 15), los duplicamos y vimos que son divisibles por el segundo número, pero pares de números pueden ser otros, como el 51 y el 119.
Algoritmo. Para determinar el mínimo común múltiplo de varios números, debes:
- expandir cada uno de los números en multiplicadores SIMPLES
- escribe la descomposición del MAYOR de ellos
- multiplicarlo por los factores FALTANTES de otros números
Considere ejemplos:
50 y 60 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5
en descomposición más falta uno cinco
=> MCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300
48 y 72 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3
en la expansión de un número mayor, faltan dos y tres
=> MCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144
* Mínimo común múltiplo de dos números primos igual a su producto
¡Pregunta! ¿Y por qué es útil encontrar el mínimo común múltiplo, porque puedes usar el segundo método y simplemente reducir la fracción resultante? Sí, puedes, pero no siempre es conveniente. Mira el denominador de los números 48 y 72, si solo los multiplicas 48∙72 = 3456. Acepta que es más agradable trabajar con números más pequeños.
Considere ejemplos:
*51 = 3∙17 119 = 7∙17
en la expansión de un número mayor, falta un triple
=> MCM(51,119) = 3∙7∙17
Y ahora aplicamos el primer método:
* Mire la diferencia en los cálculos, en el primer caso hay un mínimo de ellos, y en el segundo debe trabajar por separado en una hoja de papel, e incluso la fracción que obtuvo debe reducirse. Encontrar el LCM simplifica considerablemente el trabajo.
Más ejemplos:
* En el segundo ejemplo, es claro que número más pequeño, que se divide por 40 y 60 es igual a 120.
¡TOTAL! ALGORITMO DE CÁLCULO GENERAL!
- traemos fracciones a las ordinarias, si hay una parte entera.
- llevamos las fracciones a un denominador común (primero miramos si un denominador es divisible por otro, si es divisible, luego multiplicamos el numerador y el denominador de esta otra fracción; si no es divisible, actuamos usando el otros métodos indicados anteriormente).
- Habiendo recibido fracciones con denominadores iguales, realizamos acciones (suma, resta).
- si es necesario, reducimos el resultado.
- si es necesario, seleccione toda la pieza.
2. Producto de fracciones.
La regla es sencilla. Al multiplicar fracciones, sus numeradores y denominadores se multiplican:
Ejemplos:
Una tarea. Se llevaron a la base 13 toneladas de vegetales. Las papas constituyen ¾ de todas las verduras importadas. ¿Cuántos kilogramos de papas se llevaron a la base?
Terminemos con el trabajo.
*Antes te prometí dar una explicación formal de la propiedad principal de la fracción a través del producto, por favor:
3. División de fracciones.
La división de fracciones se reduce a su multiplicación. Es importante recordar aquí que se voltea la fracción que es divisor (aquella por la que se divide) y la acción cambia a multiplicación:
Esta acción se puede escribir como una fracción de cuatro pisos, porque la división misma ":" también se puede escribir como una fracción:
Ejemplos:
¡Eso es todo! ¡Buena suerte para ti!
Atentamente, Alexander Krutitskikh.
aritmética con fracciones ordinarias
1. Adición.
Para sumar fracciones con el mismo denominador, suma sus numeradores y deja igual el denominador.
Ejemplo. .
Para sumar fracciones con diferentes denominadores, debe llevarlas al mínimo común denominador y luego sumar los numeradores resultantes y firmar el común denominador debajo de la suma.
Ejemplo.
Brevemente escrito así:
Para sumar números mixtos, debe encontrar por separado la suma de los números enteros y la suma de las partes fraccionarias. La acción se escribe así:
2. Resta.
Para restar fracciones con el mismo denominador, debes restar el numerador del restado del numerador del minuendo y dejar el mismo denominador. La acción se escribe así:
Para restar fracciones con diferente denominador, primero debes llevarlas al mínimo común denominador, luego restar el numerador del sustraendo del numerador del minuendo y firmar el común denominador debajo de su diferencia. La acción se escribe así:
Si necesita restar un número mixto de otro número mixto, entonces, si es posible, reste una fracción de una fracción y un entero de un entero. La acción se escribe así:
Si la fracción del sustraendo es mayor que la fracción del minuendo, entonces se toma una unidad del número entero del minuendo, se divide en las partes apropiadas y se suma a la fracción del minuendo, después de lo cual se procede como se describe arriba. La acción se escribe así:
Haz lo mismo cuando necesites restar un número fraccionario de un número entero.
Ejemplo. .
3. Extensión de las propiedades de la suma y la resta a los números fraccionarios.Todas las leyes y propiedades de la suma y resta de los números naturales también son válidas para los números fraccionarios. Su uso en muchos casos simplifica enormemente el proceso de cálculo.
4. Multiplicación.
Para multiplicar una fracción por otra fracción, necesitas multiplicar el numerador por el numerador y el denominador por el denominador y hacer que el primer producto sea el numerador y el segundo producto el denominador.
Al multiplicar, se debe hacer (si es posible) una reducción.
Ejemplo. .
Si tenemos en cuenta que un número entero es una fracción con un denominador de 1, entonces la multiplicación de una fracción por un número entero y un número entero por una fracción se puede realizar de acuerdo con la misma regla.
Ejemplos.
5. Multiplicación Numeros mezclados.
Para multiplicar números mixtos, primero debes convertirlos en fracciones impropias y luego multiplicar según la regla de la multiplicación de fracciones.
Ejemplo. .
6. División de una fracción por una fracción.
Para dividir una fracción entre una fracción, necesitas multiplicar el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda y el denominador de la primera por el numerador de la segunda y escribir el primer producto como numerador y el segundo como el denominador
Ejemplo. .
Por la misma regla, puedes dividir una fracción por un número entero y un número entero por una fracción, si representas un número entero como una fracción con un denominador de 1.
Ejemplos.
7. División de números mixtos.
Para realizar la división de números mixtos, primero se convierten a fracciones impropias y luego se dividen según la regla para dividir fracciones.
Ejemplo. .
8. Sustitución de la división por la multiplicación.
Si intercambias el numerador y el denominador en cualquier fracción, obtienes una nueva fracción, el recíproco de la dada. Por ejemplo, para una fracciónel recíproco será.
Obviamente, el producto de dos mutuamente fracciones recíprocas es igual a 1
- Encontrar una fracción de un número.
Hay muchos problemas en los que necesitas encontrar una parte o fracción de un número dado. Estos problemas se resuelven mediante la multiplicación.
Una tarea. La anfitriona tenía 20 rublos;ella los usó para ir de compras. ¿Cuánto cuestan las compras?
Aquí tienes que encontrarnúmero 20. Puedes hacerlo así:
Responder. La anfitriona gastó 8 rublos.
Ejemplos. Encuentra a partir de 30. Solución. .
Encuentra desde . Solución. .
- Encontrar un número por el valor conocido de su fracción.
A veces se requiere determinar el número entero a partir de la parte conocida del número y la fracción que expresa esta parte. Tales tareas se resuelven por división.
Una tarea. Hay 12 miembros de Komsomol en la clase, lo cual esparte de todos los alumnos de la clase. ¿Cuántos estudiantes hay en la clase?
Solución. .
Responder. 20 estudiantes
Ejemplo. Encuentra un númeroque es 34
Solución. .
Responder. El número deseado es.
- Encontrar la razón de dos números.
Consideremos el problema: un trabajador fabricó 40 piezas en un día. ¿Qué parte de la tarea mensual completó el trabajador si el plan mensual es de 400 partes?
Solución. .
Responder. trabajador completadoparte del plan mensual.
En este caso, la parte (40 partes) se expresa como fracciones del todo (400 partes). También dicen que se ha encontrado la relación de la cantidad de piezas fabricadas por día con el plan mensual.
- Conversión de un decimal a una fracción común.
Para convertir decimal a uno ordinario, se escribe con denominador y, si es posible, reducido:
Ejemplos.
- Conversión de una fracción a un decimal.
Hay varias formas de convertir una fracción común a un decimal.
Primera forma. Para convertir una fracción a decimal, debes dividir el numerador por el denominador.
Ejemplos. .
La segunda forma. Para convertir una fracción ordinaria en un decimal, debe multiplicar el numerador y el denominador de esta fracción por un número tal que el denominador sea uno con ceros (si es posible).
Ejemplo.
- Compara decimales por magnitud. Para saber cuál de las dos fracciones decimales es mayor, debes comparar sus partes enteras, décimas, centésimas, etc. Si las partes enteras son iguales, la fracción con más décimas es mayor; si los enteros y los decimales son iguales, el que tiene más centésimas es mayor, etc.
Ejemplo. De tres fracciones 2.432; 2,41 y 2,4098 es el primero más grande, ya que tiene la mayor cantidad de centésimas, y el entero y las décimas son iguales en todas las fracciones.
Operaciones con decimales
- Multiplicar y dividir un decimal por 10, 100, 1000, etc.
Para multiplicar un decimal por 10, 100, 1000, etc. necesita mover la coma, respectivamente, a uno, dos, tres, etc. firmar a la derecha. Si al mismo tiempo no hay suficientes signos para el número, se asignan ceros.
Ejemplo. 15,45 10 = 154,5; 32,3 100 = 3230.
Para dividir un decimal por 10, 100, 1000, etc., debe mover la coma a uno, dos, tres, etc., respectivamente. firmar a la izquierda. Si no hay suficientes signos para mover la coma, su número se complementa con el número correspondiente de ceros a la izquierda.
Ejemplos. 184,35: 100 = 1,8435; 3,5: 100 = 0,035.
- Suma y resta de fracciones decimales.
Los decimales se suman y restan de la misma manera que se suman y restan. enteros. El dígito se escribe debajo del dígito, la coma se escribe debajo de la coma
Ejemplos.
- Multiplicar decimales.
Para multiplicar dos fracciones decimales basta, sin prestar atención a las comas, multiplicarlas como enteros y en el producto separar con una coma a la derecha tantos decimales como había en el multiplicador y factorizar juntos.
Ejemplo 1. 2.064 0.05.
Multiplicamos los números enteros 2064 5 = 10320. El primer factor tenía tres decimales, el segundo, dos. El producto debe tener cinco decimales. Los separamos por la derecha y obtenemos 0.10320. El cero al final se puede descartar: 2,064 0,05 = 0,1032.
Ejemplo 2. 1,125 0,08; 1125 8 = 9000.
El número de lugares decimales debe ser 3 + 2 = 5. Asignamos ceros a la izquierda de 9000 (009000) y separamos cinco caracteres de la derecha. Obtenemos 1.125 0.08 = 0.09000 = 0.09.
- División de decimales.
Se consideran dos casos de división de fracciones decimales sin resto: 1) división de una fracción decimal por un número entero; 2) dividir un número (entero o fraccionario) por una fracción decimal.
Dividir un decimal por un número entero es lo mismo que dividir números enteros; los restos resultantes se dividen secuencialmente en partes decimales más pequeñas y la división continúa hasta que el resto es cero.
Ejemplos.
Dividir un número (entero o fraccionario) por un decimal en todos los casos conduce a la división por un número entero. Para hacer esto, aumente el divisor en 10, 100, 1000, etc. veces, y para que el cociente no varíe, se aumenta el dividendo en el mismo número de veces, después de lo cual se divide por un número entero (como en el primer caso).
Ejemplo. 47,04: 0,0084 = 470400: 84 = 5600;
- Ejemplos de acciones conjuntas con fracciones ordinarias y decimales.
Considere primero un ejemplo para todas las acciones con fracciones decimales.
Ejemplo 1 Calcular:
Aquí utilizan la reducción del dividendo y el divisor a un número entero, teniendo en cuenta que el cociente no cambia. Entonces tenemos:
Al resolver ejemplos de acciones conjuntas con fracciones ordinarias y decimales, algunas de las acciones se pueden realizar en fracciones decimales y otras en fracciones ordinarias. Hay que tener en cuenta que no siempre una fracción ordinaria se puede convertir en una fracción decimal final. Por lo tanto, escribir como una fracción decimal solo es posible cuando se verifica que tal conversión es posible.
Ejemplo 2 Calcular:
Interés
El concepto de interés.Un porcentaje de un número es la centésima parte de ese número. Por ejemplo, en lugar de decir "54 por ciento de todos los habitantes de nuestro país son mujeres", puede decir "54 por ciento de todos los habitantes de nuestro país son mujeres". En lugar de la palabra "porcentaje" también escriben el signo %, por ejemplo, 35% significa 35 por ciento.
Dado que el porcentaje es una centésima, se deduce que el porcentaje es una fracción con un denominador de 100. Por lo tanto, la fracción es 0,49, o, puede leerse como 49 por ciento y escribirse sin el denominador como 49%. En general, habiendo determinado cuántos centésimos hay en una fracción decimal dada, es fácil escribirla como un porcentaje. Para hacer esto, use la regla: para escribir una fracción decimal como un porcentaje, debe mover la coma en esta fracción dos lugares decimales hacia la derecha.
Ejemplos. 0,33 = 33%; 1,25 = 125%; 0,002 = 0,2%; 21 = 2100%.
Y viceversa: 7% = 0,07; 24,5% = 0,245; 0,1% = 0,001; 200% = 2.
1. Encontrar porcentajes de un número dado
Una tarea. Según el plan, el equipo de tractoristas debe utilizar 9 toneladas de combustible. Los tractoristas asumieron la obligación social de ahorrar un 20% de combustible. Determinar el ahorro de combustible en toneladas.
Si en este problema en lugar de 20% escribimos el número 0,2 igual a él, nos encontramos con un problema para encontrar la fracción de un número. Y tales problemas se resuelven mediante la multiplicación. De aquí viene la solución:
20% = 0,2; 9 0,2 = 1,8 (m).
Los cálculos también se pueden escribir así:
(metro)
Para encontrar un pequeño porcentaje de un número dado, es suficiente dividir el número dado por 100 y multiplicar el resultado por el número de porcentaje.
Una tarea. Un trabajador en 1963 recibía 90 rublos al mes, y en 1964 empezó a recibir un 30% más. ¿Cuánto ganó en 1964?
Solución (primer método).
1) ¿Cuántos rublos más recibió el trabajador?
(frotar.)
90 + 27 = 117 (frotar).
La segunda forma.
1) ¿Qué porcentaje de los ingresos anteriores percibió el trabajador en 1964?
100% + 30% = 130%.
2) ¿Cuál era el salario mensual de un trabajador en 1964?
(frotar.)
2. Hallar un número a partir de un valor dado de su porcentaje.
Una tarea. La granja colectiva sembró maíz en un área de 280 hectáreas, que es el 14% del área total sembrada. Determinar el área sembrada de la granja colectiva.
Si en este problema en vez de 14% escribimos 0.14 o, entonces tenemos el problema de encontrar un número por el valor conocido de su fracción. Y tales problemas se resuelven por división.
Solución. 14% = 0,14; 280: 0,14 = 2000 (ha). Puedes tomar esta decisión así:
(decir ah)
Para encontrar un número para un valor dado de varios por ciento, es suficiente dividir este valor por el número de por ciento y multiplicar el resultado por 100.
Una tarea. En marzo, la planta fundió 125,4 t metal, sobrecumpliendo el plan en un 4,5%. ¿Cuántas toneladas de metal se suponía que debía fundir la planta en marzo según el plan?
Solución.
1) ¿En qué porcentaje cumplió la planta el plan en marzo?
100% + 4,5% = 104,5%.
2) ¿Cuántas toneladas de metal tuvo que fundir la planta?
(decir ah)
- Encontrar el porcentaje de dos números.
Una tarea. Es necesario arar 300 hectáreas de tierra. El primer día se araron 120 hectáreas. ¿Qué porcentaje de la tarea se aró el primer día?
Solución.
Primera forma. 300 ha es 100%, lo que significa que 1% representa 3 ha. Habiendo determinado cuántas veces 3 hectáreas, que son 1%, están contenidas en 120 hectáreas, averiguaremos cuánto por ciento de la tarea se aró la tierra el primer día.
120: 3 = 40(%).
La segunda forma. Habiendo determinado qué parte de la tierra se aró el primer día, expresamos esta fracción como un porcentaje.
Escribamos el cálculo:
Para calcular el porcentaje de un número a al número b , necesitas encontrar la razón de la A, a la B y lo multiplicas por 100.
