Que son las fracciones ordinarias. ¿Qué es una fracción numérica?

Al estudiar la reina de todas las ciencias: las matemáticas, en algún momento todos se enfrentan a fracciones. Aunque este concepto (como los tipos de fracciones en sí o Operaciones matemáticas con ellos) es bastante simple, debe ser tratado con cuidado, porque en vida real fuera de la escuela será muy útil. Entonces, refresquemos nuestro conocimiento de las fracciones: qué es, para qué sirve, qué tipos de fracciones hay y cómo hacer varias. operaciones aritmeticas.

Su Majestad la fracción: qué es

Las fracciones en matemáticas son números, cada uno de los cuales consta de una o más partes de la unidad. Tales fracciones también se llaman ordinarias o simples. Por regla general, se escriben como dos números, que están separados por una barra horizontal o barra inclinada, se llama "fraccional". Por ejemplo: ½, ¾.

La parte superior, o el primero de estos números, es el numerador (muestra cuántas fracciones del número se toman) y la parte inferior, o el segundo, es el denominador (muestra en cuántas partes se divide la unidad).

La barra fraccionaria en realidad funciona como un signo de división. Por ejemplo, 7:9=7/9

Tradicionalmente fracciones comunes menos que uno. Mientras que los decimales pueden ser más grandes que él.

¿Para qué sirven las fracciones? Sí, para todo, porque en mundo real no todos los números son enteros. Por ejemplo, dos colegialas en la cafetería compraron juntas una deliciosa barra de chocolate. Cuando estaban a punto de compartir el postre, se encontraron con una amiga y decidieron invitarla también. Sin embargo, ahora es necesario dividir correctamente la barra de chocolate, dado que consta de 12 cuadrados.

Al principio, las niñas querían compartir todo por igual, y luego cada una recibiría cuatro piezas. Pero, después de pensarlo bien, decidieron regalarle a su novia, no 1/3, sino 1/4 de chocolates. Y como las colegialas no estudiaron bien las fracciones, no tomaron en cuenta que en tal escenario, como resultado, tendrían 9 piezas que están muy mal divididas en dos. Este ejemplo bastante simple muestra lo importante que es poder encontrar correctamente la parte de un número. Pero en la vida hay muchos más casos así.

Tipos de fracciones: ordinarias y decimales

Todas las fracciones matemáticas se dividen en dos dígitos grandes: ordinarios y decimales. Las características del primero de ellos se describieron en el párrafo anterior, por lo que ahora vale la pena prestar atención al segundo.

Un decimal es una notación posicional de una fracción de un número, que se fija en una letra separada por una coma, sin guión ni barra. Por ejemplo: 0,75, 0,5.

De hecho, una fracción decimal es idéntica a una ordinaria, sin embargo, su denominador es siempre uno seguido de ceros, de ahí su nombre.

El número que precede al punto decimal es la parte entera, y todo lo que sigue al punto decimal es la parte fraccionaria. Ninguna fracción sencilla se puede convertir a decimal. Entonces, las fracciones decimales indicadas en el ejemplo anterior se pueden escribir como ordinarias: ¾ y ½.

Vale la pena señalar que tanto las fracciones decimales como las ordinarias pueden ser tanto positivas como negativas. Si van precedidos de un "-" fracción dada negativo, si "+" - entonces positivo.

Subtipos de fracciones ordinarias

Hay tales tipos de fracciones simples.

Subespecies de la fracción decimal

A diferencia de una fracción decimal simple, se divide en solo 2 tipos.

• Final: recibió su nombre debido al hecho de que después del punto decimal tiene un número limitado (final) de dígitos: 19.25.
• Una fracción infinita es un número con un número infinito de dígitos después del punto decimal. Por ejemplo, al dividir 10 entre 3, el resultado es fracción infinita 3,333…

Suma de fracciones

Realizar varias manipulaciones aritméticas con fracciones es un poco más difícil que con números ordinarios. Sin embargo, si aprendes las reglas básicas, resolver cualquier ejemplo con ellas no te resultará difícil.

Por ejemplo: 2/3+3/4. El mínimo común múltiplo para ellos será 12, por lo tanto, es necesario que este número esté en cada denominador. Para hacer esto, multiplicamos el numerador y el denominador de la primera fracción por 4, resulta 8/12, hacemos lo mismo con el segundo término, pero solo multiplicamos por 3 - 9/12. Ahora puedes resolver fácilmente el ejemplo: 8/12+9/12= 17/12. La fracción resultante es un valor incorrecto porque el numerador es mayor que el denominador. Puede y debe convertirse en el mixto correcto dividiendo 17:12 = 1 y 5/12.

Si se suman fracciones mixtas, primero las acciones se realizan con números enteros y luego con fracciones.

Si el ejemplo contiene una fracción decimal y una ordinaria, es necesario que ambas se vuelvan simples, luego llevarlas al mismo denominador y sumarlas. Por ejemplo 3.1+1/2. El número 3.1 se puede escribir como fracción mixta 3 y 1/10 o como incorrecto - 31/10. El denominador común de los términos será 10, por lo que debes multiplicar el numerador y el denominador 1/2 por 5 a la vez, resulta 5/10. Entonces puedes calcular todo fácilmente: 31/10+5/10=35/10. El resultado obtenido es una fracción contráctil impropia, la llevamos a la forma normal, reduciéndola en 5: 7/2=3 y 1/2, o decimal - 3,5.

Al sumar 2 decimales, es importante que haya el mismo número de dígitos después del punto decimal. Si este no es el caso, solo necesita agregar cantidad requerida ceros, porque en fracciones decimales esto se puede hacer sin dolor. Por ejemplo, 3,5+3,005. Para resolver esta tarea, debe agregar 2 ceros al primer número y luego agregar a su vez: 3.500 + 3.005 = 3.505.

Resta de fracciones

Al restar fracciones, vale la pena hacer lo mismo que al sumar: reducir a un denominador común, restar un numerador de otro, si es necesario, convertir el resultado en una fracción mixta.

Por ejemplo: 16/20-5/10. El denominador común será 20. Debe llevar la segunda fracción a este denominador, multiplicando ambas partes por 2, obtiene 10/20. Ahora puedes resolver el ejemplo: 16/20-10/20= 6/20. Sin embargo, este resultado aplica para fracciones reducibles, por lo que vale la pena dividir ambas partes por 2 y el resultado es 3/10.

Multiplicación de fracciones

División y multiplicación de fracciones - mucho más pasos simples que la suma y la resta. El hecho es que al realizar estas tareas, no hay necesidad de buscar un denominador común.

Para multiplicar fracciones, solo necesitas multiplicar alternativamente ambos numeradores y luego ambos denominadores. Reduzca el resultado resultante si la fracción es un valor reducido.

Por ejemplo: 4/9x5/8. Después de una multiplicación alternativa, el resultado es 4x5/9x8=20/72. Tal fracción se puede reducir en 4, por lo que la respuesta final en el ejemplo es 5/18.

Cómo dividir fracciones

Dividir fracciones también es una acción simple, de hecho, todavía se reduce a multiplicarlas. Para dividir una fracción por otra, necesitas voltear la segunda y multiplicar por la primera.

Por ejemplo, división de fracciones 5/19 y 5/7. Para resolver el ejemplo, debes intercambiar el denominador y el numerador de la segunda fracción y multiplicar: 5/19x7/5=35/95. El resultado se puede reducir en 5, resulta 7/19.

Si necesita dividir una fracción por un número primo, la técnica es ligeramente diferente. Inicialmente, vale la pena escribir este número como una fracción impropia y luego dividirlo de acuerdo con el mismo esquema. Por ejemplo, 2/13:5 debe escribirse como 2/13:5/1. Ahora necesitas voltear 5/1 y multiplicar las fracciones resultantes: 2/13x1/5= 2/65.

A veces hay que dividir fracciones mixtas. Debes lidiar con ellos, como con los números enteros: convertirlos en fracciones impropias, voltear el divisor y multiplicar todo. Por ejemplo, 8 ½: 3. Convirtiendo todo en fracciones impropias: 17/2: 3/1. A esto le sigue un volteo 3/1 y una multiplicación: 17/2x1/3= 17/6. Ahora debes traducir la fracción incorrecta a la correcta: 2 enteros y 5/6.

Entonces, después de haber descubierto qué son las fracciones y cómo puede realizar varias operaciones aritméticas con ellas, debe tratar de no olvidarlo. Después de todo, las personas siempre están más inclinadas a dividir algo en partes que a sumar, por lo que debe poder hacerlo bien.

Hablando de matemáticas, uno no puede evitar recordar las fracciones. Su estudio recibe mucha atención y tiempo. Recuerda cuántos ejemplos tuviste que resolver para aprender ciertas reglas para trabajar con fracciones, cómo memorizaste y aplicaste la propiedad principal de una fracción. ¡Cuántos nervios se gastaron para encontrar un denominador común, especialmente si había más de dos términos en los ejemplos!

Recordemos de qué se trata y refresquemos un poco la memoria sobre la información básica y las reglas para trabajar con fracciones.

Definición de fracciones

Comencemos con lo más importante: las definiciones. Una fracción es un número que consta de una o más partes unitarias. Un número fraccionario se escribe como dos números separados por una barra horizontal o barra. En este caso, el superior (o primero) se llama numerador, y el inferior (segundo) se llama denominador.

Vale la pena señalar que el denominador muestra en cuántas partes se divide la unidad y el numerador muestra el número de acciones o partes tomadas. A menudo, las fracciones, si son correctas, son menores que uno.

Ahora veamos las propiedades de estos números y las reglas básicas que se usan cuando se trabaja con ellos. Pero antes de que analicemos algo como "propiedad básica fracción racional Hablemos de los tipos de fracciones y sus características.

que son fracciones

Hay varios tipos de tales números. En primer lugar, estos son ordinarios y decimales. Los primeros son del tipo de registro que ya indicamos mediante una barra horizontal o diagonal. El segundo tipo de fracciones se indica mediante la llamada notación posicional, cuando se indica primero la parte entera del número, y luego, después del punto decimal, se indica la parte fraccionaria.

Vale la pena señalar aquí que en matemáticas tanto las fracciones decimales como las ordinarias se usan por igual. La propiedad principal de la fracción es válida solo para la segunda opción. Además, en fracciones ordinarias, correctas y numeros equivocados. Para el primero, el numerador siempre es menor que el denominador. Tenga en cuenta también que tal fracción es menor que la unidad. En una fracción impropia, por el contrario, el numerador es mayor que el denominador, y él mismo es mayor que uno. En este caso, se puede extraer un número entero de él. En este artículo, consideraremos solo fracciones ordinarias.

Propiedades de las fracciones

Cualquier fenómeno, químico, físico o matemático, tiene sus propias características y propiedades. Los números fraccionarios no son una excepción. Tienen una característica importante, con la ayuda de la cual es posible realizar ciertas operaciones en ellos. ¿Cuál es la propiedad principal de una fracción? La regla dice que si su numerador y denominador se multiplican o dividen por el mismo número racional, obtendremos una nueva fracción, cuyo valor será igual al valor original. Es decir, al multiplicar las dos partes del número fraccionario 3/6 por 2, obtenemos una nueva fracción 6/12, mientras que serán iguales.

Según esta propiedad, puede reducir fracciones, así como seleccionar denominadores comunes para un par de números en particular.

Operaciones

Aunque las fracciones nos parecen más complejas, también pueden realizar operaciones matemáticas básicas, como sumas y restas, multiplicaciones y divisiones. Además, existe una acción tan específica como la reducción de fracciones. Naturalmente, cada una de estas acciones se realiza de acuerdo con ciertas reglas. Conocer estas leyes facilita el trabajo con fracciones, haciéndolo más fácil e interesante. Es por eso que más adelante consideraremos las reglas básicas y el algoritmo de acciones cuando trabajemos con tales números.

Pero antes de hablar de operaciones matemáticas como la suma y la resta, analizaremos una operación como la reducción a un denominador común. Aquí es donde el conocimiento de qué propiedad básica existe de una fracción será útil.

Común denominador

Para reducir un número a un denominador común, primero debes encontrar el mínimo común múltiplo de los dos denominadores. Es decir número más pequeño, que es simultáneamente divisible por ambos denominadores sin resto. La forma más fácil de encontrar el MCM (mínimo común múltiplo) es escribir en una línea para un denominador, luego para el segundo y encontrar un número coincidente entre ellos. En el caso de que no se encuentre el MCM, es decir, estos números no tienen un múltiplo común, se deben multiplicar y el valor resultante se debe considerar como el MCM.

Entonces, hemos encontrado el MCM, ahora necesitamos encontrar un multiplicador adicional. Para hacer esto, debe dividir alternativamente el MCM en denominadores de fracciones y escribir el número resultante sobre cada uno de ellos. Luego, multiplica el numerador y el denominador por el factor adicional resultante y escribe los resultados como una nueva fracción. Si dudas que el número que recibiste sea igual al anterior, recuerda la propiedad principal de la fracción.

Suma

Ahora vayamos directamente a las operaciones matemáticas con números fraccionarios. Empecemos por lo más sencillo. Hay varias opciones para sumar fracciones. En el primer caso, ambos números tienen el mismo denominador. En este caso, solo queda sumar los numeradores. Pero el denominador no cambia. Por ejemplo, 1/5 + 3/5 = 4/5.

Si las fracciones tienen distinto denominador, se deben reducir a uno común y solo entonces se debe realizar la suma. Cómo hacer esto, lo hemos discutido con usted un poco más arriba. En esta situación, la propiedad principal de la fracción será útil. La regla te permitirá llevar los números a un denominador común. El valor no cambiará de ninguna manera.

Alternativamente, puede suceder que la fracción se mezcle. Entonces primero debes sumar las partes enteras y luego las fraccionarias.

Multiplicación

No requiere ningún truco, y para realizar esta acción, no es necesario conocer la propiedad básica de la fracción. Basta con multiplicar primero los numeradores y los denominadores juntos. En este caso, el producto de los numeradores se convertirá en el nuevo numerador y el producto de los denominadores se convertirá en el nuevo denominador. Como puedes ver, nada complicado.

Lo único que se requiere de ti es el conocimiento de la tabla de multiplicar, así como la atención. Además, después de recibir el resultado, definitivamente debe verificar si este número se puede reducir o no. Hablaremos de cómo reducir fracciones un poco más adelante.

Sustracción

La interpretación debe guiarse por las mismas reglas que cuando se agrega. Entonces, en números con el mismo denominador, basta con restar el numerador del sustraendo del numerador del minuendo. En el caso de que las fracciones tengan distinto denominador, deberás llevarlas a uno común y luego realizar esta operación. Al igual que con el caso de suma análoga, deberá usar la propiedad principal fracción algebraica, así como habilidades para encontrar MCM y divisores comunes para fracciones.

División

Y la última operación, la más interesante cuando se trabaja con tales números, es la división. Es bastante simple y no causa ninguna dificultad particular, incluso para aquellos que no entienden cómo trabajar con fracciones, especialmente para realizar operaciones de suma y resta. Al dividir, la regla es multiplicar por recíproco. La propiedad principal de una fracción, como en el caso de la multiplicación, no se utilizará para esta operación. Miremos más de cerca.

Al dividir números, el dividendo permanece sin cambios. El divisor se invierte, es decir, el numerador y el denominador se invierten. Después de eso, los números se multiplican entre sí.

Reducción

Entonces, ya hemos examinado la definición y estructura de las fracciones, sus tipos, las reglas de las operaciones en números dados y descubrimos la propiedad principal de una fracción algebraica. Ahora hablemos de una operación como la reducción. Reducir una fracción es el proceso de convertirla, dividiendo el numerador y el denominador por el mismo número. Así, la fracción se reduce sin cambiar sus propiedades.

Por lo general, al realizar una operación matemática, debe observar detenidamente el resultado obtenido al final y averiguar si es posible reducir la fracción resultante o no. Recuerda que el resultado final siempre se escribe como un número fraccionario que no requiere reducción.

Otras operaciones

Finalmente, notamos que hemos enumerado lejos de todas las operaciones con números fraccionarios, mencionando solo las más famosas y necesarias. Las fracciones también se pueden comparar, convertir a decimales y viceversa. Pero en este artículo no consideramos estas operaciones, ya que en matemáticas se realizan con mucha menos frecuencia que las que hemos dado anteriormente.

recomendaciones

Hablamos de números fraccionarios y operaciones con ellos. También analizamos la propiedad principal, pero notamos que todas estas cuestiones fueron consideradas por nosotros de pasada. Hemos dado solo las reglas más conocidas y utilizadas, hemos dado los consejos más importantes, en nuestra opinión.

Este artículo pretende refrescar la información que ha olvidado sobre las fracciones en lugar de dar nueva información y "llenar" tu cabeza con un sinfín de reglas y fórmulas, que, muy probablemente, no te serán de utilidad.

Esperamos que el material presentado en el artículo de manera simple y concisa le haya resultado útil.

¿Quieres sentirte como un zapador? ¡Entonces esta lección es para ti! Porque ahora estudiaremos fracciones: estos son objetos matemáticos tan simples e inofensivos que superan al resto del curso de álgebra en su capacidad para "sacar el cerebro".

El principal peligro de las fracciones es que ocurren en la vida real. En esto se diferencian, por ejemplo, de los polinomios y logaritmos, que se pueden aprobar y olvidar fácilmente después del examen. Por lo tanto, el material presentado en esta lección, sin exagerar, puede llamarse explosivo.

Una fracción numérica (o simplemente una fracción) es un par de números enteros escritos a través de una barra oblicua o barra horizontal.

Fracciones escritas a través de una barra horizontal:

Las mismas fracciones escritas con una barra inclinada:
5/7; 9/(−30); 64/11; (−1)/4; 12/1.

Por lo general, las fracciones se escriben a través de una línea horizontal: es más fácil trabajar con ellas y se ven mejor. El número escrito en la parte superior se llama numerador de la fracción, y el número escrito en la parte inferior se llama denominador.

Cualquier número entero se puede representar como una fracción con un denominador de 1. Por ejemplo, 12 = 12/1 es la fracción del ejemplo anterior.

En general, puedes poner cualquier número entero en el numerador y el denominador de una fracción. La única restricción es que el denominador debe ser diferente de cero. Recuerda la vieja y buena regla: "¡No puedes dividir por cero!"

Si el denominador sigue siendo cero, la fracción se llama indefinida. Tal registro no tiene sentido y no puede participar en los cálculos.

Propiedad básica de una fracción

Las fracciones a/b y c/d se llaman iguales si ad = bc.

De esta definición se sigue que una misma fracción se puede escribir de diferentes formas. Por ejemplo, 1/2 = 2/4 porque 1 4 = 2 2. Por supuesto, hay muchas fracciones que no son iguales entre sí. Por ejemplo, 1/3 ≠ 5/4 porque 1 4 ≠ 3 5.

Surge una pregunta razonable: ¿cómo encontrar todas las fracciones iguales a una dada? Damos la respuesta en forma de definición:

La propiedad principal de una fracción es que el numerador y el denominador se pueden multiplicar por el mismo número distinto de cero. Esto dará como resultado una fracción igual a la dada.

Esta es una propiedad muy importante, recuérdala. Con la ayuda de la propiedad básica de una fracción, se pueden simplificar y acortar muchas expresiones. En el futuro, "surgirá" constantemente en forma de varias propiedades y teoremas.

Fracciones incorrectas. Selección de la pieza entera

Si el numerador es menor que el denominador, tal fracción se llama propia. En caso contrario (es decir, cuando el numerador es mayor o al menos igual al denominador), la fracción se llama fracción impropia, y en ella se puede distinguir una parte entera.

La parte entera se escribe como un número grande delante de la fracción y se ve así (marcada en rojo):

Para aislar la parte entera en una fracción impropia, debe seguir tres pasos simples:

1. Encuentra cuántas veces cabe el denominador en el numerador. En otras palabras, encuentre el número entero máximo que, cuando se multiplica por el denominador, seguirá siendo menor que el numerador (en el caso extremo, igual). Este número será la parte entera, así que lo escribimos al frente;
2. Multiplica el denominador por la parte entera encontrada en el paso anterior y resta el resultado del numerador. El "talón" resultante se denomina resto de la división, siempre será positivo (en casos extremos, cero). Lo anotamos en el numerador de la nueva fracción;
3. Reescribimos el denominador sin cambios.

Bueno, ¿es difícil? A primera vista, puede ser difícil. Pero requiere un poco de práctica, y lo harás casi verbalmente. Por ahora, echa un vistazo a los ejemplos:

Tarea. Seleccione la parte entera en las fracciones dadas:

En todos los ejemplos, la parte entera está resaltada en rojo y el resto de la división está en verde.

Presta atención a la última fracción, donde el resto de la división resultó ser cero. Resulta que el numerador está completamente dividido por el denominador. Esto es bastante lógico, porque 24: 6 \u003d 4 es un hecho duro de la tabla de multiplicar.

Si todo se hace correctamente, el numerador de la nueva fracción será necesariamente menor que el denominador, es decir fracción se vuelve correcta. También observo que es mejor resaltar la parte completa al final de la tarea, antes de escribir la respuesta. De lo contrario, puede complicar significativamente los cálculos.

Transición a fracción impropia

También hay una operación inversa, cuando nos deshacemos de la parte entera. Esto se llama transición de fracción impropia y es mucho más común porque es mucho más fácil trabajar con fracciones impropias.

La transición a una fracción impropia también se realiza en tres pasos:

1. Multiplica la parte entera por el denominador. El resultado puede ser bastante números grandes, pero no debemos avergonzarnos;
2. Suma el número resultante al numerador de la fracción original. Escribe el resultado en el numerador de una fracción impropia;
3. Vuelva a escribir el denominador - de nuevo, sin cambios.

Aquí hay ejemplos específicos:

Tarea. Convierte a una fracción impropia:

Para mayor claridad, la parte entera se resalta nuevamente en rojo y el numerador de la fracción original está en verde.

Considere el caso cuando el numerador o el denominador de una fracción contiene un numero negativo. Por ejemplo:

En principio, no hay nada criminal en esto. Sin embargo, trabajar con tales fracciones puede ser un inconveniente. Por lo tanto, en matemáticas se acostumbra sacar los menos como signo de fracción.

Esto es muy fácil de hacer si recuerdas las reglas:

1. Más veces menos es igual a menos. Por lo tanto, si el numerador es un número negativo y el denominador es positivo (o viceversa), siéntase libre de tachar el menos y colocarlo delante de la fracción entera;
2. "Dos negativos hacen un afirmativo". Cuando el signo menos está tanto en el numerador como en el denominador, simplemente los tachamos, no se requiere ninguna acción adicional.

Por supuesto, estas reglas también se pueden aplicar en la dirección opuesta, es decir, puede agregar un signo menos debajo del signo de fracción (la mayoría de las veces, en el numerador).

Deliberadamente no consideramos el caso de "plus on plus"; con él, creo, todo está claro de todos modos. Veamos cómo funcionan estas reglas en la práctica:

Tarea. Saca los menos de las cuatro fracciones escritas arriba.

Presta atención a la última fracción: ya tiene un signo menos delante. Sin embargo, se "quema" de acuerdo con la regla "menos veces menos da más".

Además, no mueva los signos negativos en fracciones con una parte entera resaltada. Estas fracciones se convierten primero en impropias, y solo entonces comienzan a calcularse.

fracción común

cuarteles

1. Orden. un y b existe una regla que permite identificar de forma unívoca entre ellos una y sólo una de las tres relaciones: “< », « >' o ' = '. Esta regla se llama regla de pedido y se formula de la siguiente manera: dos números no negativos y están relacionados por la misma relación que dos números enteros y ; dos números no positivos un y b están relacionados por la misma relación que dos números no negativos y ; si de repente un no negativo y b- negativo, entonces un > b. src="/fotos/wiki/archivos/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" borde="0">

   

   suma de fracciones

2. operación de suma. Para cualquier numero racional un y b hay un llamado regla de suma C. Sin embargo, el número en sí C llamado suma números un y b y se denota , y el proceso de encontrar dicho número se llama suma. La regla de la suma tiene siguiente vista: .
3. operación de multiplicación. Para cualquier numero racional un y b hay un llamado regla de multiplicación, lo que los pone en correspondencia con algún número racional C. Sin embargo, el número en sí C llamado trabaja números un y b y se denota , y el proceso de encontrar dicho número también se llama multiplicación. La regla de la multiplicación es la siguiente: .
4. Transitividad de la relación de orden. Para cualquier triple de números racionales un , b y C Si un menor b y b menor C, entonces un menor C, y si un es igual b y b es igual C, entonces un es igual C. 6435">Conmutatividad de la suma. La suma no cambia al cambiar los lugares de los términos racionales.
5. Asociatividad de la suma. El orden en que se suman tres números racionales no afecta el resultado.
6. La presencia del cero. Hay un número racional 0 que conserva todos los demás números racionales cuando se suman.
7. La presencia de números opuestos. Cualquier número racional tiene un número racional opuesto, que, cuando se suma, da 0.
8. Conmutatividad de la multiplicación. Al cambiar los lugares de los factores racionales, el producto no cambia.
9. Asociatividad de la multiplicación. El orden en que se multiplican tres números racionales no afecta el resultado.
10. La presencia de una unidad. Hay un número racional 1 que conserva todos los demás números racionales cuando se multiplica.
11. La presencia de recíprocos. Cualquier número racional tiene un número racional inverso, que, cuando se multiplica, da 1.
12. Distributividad de la multiplicación con respecto a la suma. La operación de multiplicación es consistente con la operación de suma a través de la ley de distribución:
13. Conexión de la relación de orden con la operación de adición. El mismo número racional se puede sumar a los lados izquierdo y derecho de una desigualdad racional. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" borde="0">
14. Axioma de Arquímedes. Cualquiera que sea el número racional un, puedes tomar tantas unidades que su suma excederá un. src="/fotos/wiki/archivos/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" borde="0">

Propiedades adicionales

Todas las demás propiedades inherentes a los números racionales no se señalan como básicas porque, en términos generales, ya no se basan directamente en las propiedades de los números enteros, sino que pueden demostrarse sobre la base de las propiedades básicas dadas o directamente mediante la definición de algún objeto matemático. Tal propiedades adicionales un montón de. Aquí tiene sentido citar sólo algunos de ellos.

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Establecer contabilidad

Numeración de números racionales

Para estimar el número de números racionales, necesitas encontrar la cardinalidad de su conjunto. Es fácil demostrar que el conjunto de los números racionales es contable. Para ello, basta con dar un algoritmo que enumere los números racionales, es decir, establezca una biyección entre los conjuntos de números racionales y naturales.

El más simple de estos algoritmos es el siguiente. Se compila una tabla infinita de fracciones ordinarias, en cada i-ésima línea en cada j th columna de la cual es una fracción. Para mayor precisión, se supone que las filas y columnas de esta tabla están numeradas a partir de uno. Las celdas de la tabla se denotan, donde i- el número de fila de la tabla en la que se encuentra la celda, y j- número de columna.

La tabla resultante es gestionada por una "serpiente" según el siguiente algoritmo formal.

Estas reglas se buscan de arriba a abajo y la siguiente posición es seleccionada por la primera coincidencia.

En el proceso de tal derivación, a cada nuevo número racional se le asigna el siguiente número natural. Es decir, a las fracciones 1/1 se les asigna el número 1, a las fracciones 2/1, el número 2, etc. Cabe señalar que solo se numeran las fracciones irreducibles. El signo formal de irreductibilidad es la igualdad a la unidad del máximo común divisor del numerador y denominador de la fracción.

Siguiendo este algoritmo, uno puede enumerar todos los números racionales positivos. Esto significa que el conjunto de números racionales positivos es contable. Es fácil establecer una biyección entre los conjuntos de números racionales positivos y negativos, simplemente asignando a cada número racional su opuesto. Ese. el conjunto de los números racionales negativos también es contable. Su unión también es contable por la propiedad de los conjuntos contables. El conjunto de los números racionales también es contable como la unión de un conjunto numerable con uno finito.

La afirmación sobre la contabilidad del conjunto de los números racionales puede causar cierto desconcierto, ya que a primera vista da la impresión de que es mucho más grande que el conjunto de los números naturales. De hecho, este no es el caso, y hay suficientes números naturales para enumerar todos los racionales.

Insuficiencia de los números racionales

La hipotenusa de tal triángulo no está expresada por ningún número racional

Números racionales de la forma 1 / norte en general norte Se pueden medir cantidades arbitrariamente pequeñas. Este hecho crea la impresión engañosa de que los números racionales pueden medir cualquier distancia geométrica en general. Es fácil demostrar que esto no es cierto.

Se sabe por el teorema de Pitágoras que la hipotenusa de un triángulo rectángulo se expresa como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus catetos. Ese. longitud de la hipotenusa isósceles triángulo rectángulo con un solo cateto es igual a, es decir, un número cuyo cuadrado es 2.

Si asumimos que el número está representado por algún número racional, entonces existe tal número entero metro y tal número natural norte, que, además, la fracción es irreducible, es decir, los números metro y norte son coprimos.

si, entonces , es decir. metro 2 = 2norte 2. Por lo tanto, el número metro 2 es par, pero el producto de dos números impares es impar, lo que significa que el número en sí metro también claro entonces hay un numero natural k, tal que el número metro se puede representar como metro = 2k. Número cuadrado metro En este sentido metro 2 = 4k 2 pero por otro lado metro 2 = 2norte 2 significa 4 k 2 = 2norte 2, o norte 2 = 2k 2. Como se mostró anteriormente para el número metro, lo que significa que el número norte- Exactamente como metro. Pero entonces no son coprimos, ya que ambos son divisibles por la mitad. La contradicción resultante prueba que no es un número racional.

Las fracciones se consideran una de las secciones más difíciles de las matemáticas hasta el día de hoy. La historia de las fracciones tiene más de un milenio. La capacidad de dividir el todo en partes surgió en el territorio antiguo Egipto y Babilonia. Con los años, las operaciones realizadas con fracciones se volvieron más complicadas, la forma de su registro cambió. Cada uno tenía sus propias características en la "relación" con esta rama de las matemáticas.

¿Qué es una fracción?

Cuando se hizo necesario dividir el todo en partes sin esfuerzo extra, luego estaban las fracciones. La historia de las fracciones está indisolublemente ligada a la solución de problemas utilitarios. El término "fracción" en sí tiene raíces árabes y proviene de una palabra que significa "romper, dividir". Desde la antigüedad, poco ha cambiado en este sentido. La definición moderna es la siguiente: una fracción es una parte o la suma de partes de una unidad. En consecuencia, los ejemplos con fracciones representan una ejecución secuencial de operaciones matemáticas con fracciones de números.

Hoy en día, hay dos formas de grabarlos. surgió en diferente tiempo: los primeros son más antiguos.

Vino de la antigüedad

Por primera vez comenzaron a operar con fracciones en el territorio de Egipto y Babilonia. El enfoque de los matemáticos de los dos estados tuvo diferencias significativas. Sin embargo, el comienzo fue el mismo allí y allá. La primera fracción era la mitad o 1/2. Luego vino un cuarto, un tercio, y así sucesivamente. Según las excavaciones arqueológicas, la historia de la aparición de fracciones tiene unos 5 mil años. Por primera vez, las fracciones de un número se encuentran en papiros egipcios y en tablillas de arcilla babilónicas.

Antiguo Egipto

Los tipos de fracciones ordinarias de hoy incluyen el llamado egipcio. Son la suma de varios términos de la forma 1/n. El numerador siempre es uno y el denominador es un número natural. Esas fracciones aparecieron, por difícil que sea adivinar, en el antiguo Egipto. Al calcular todas las acciones, intentaron anotarlas en forma de tales sumas (por ejemplo, 1/2 + 1/4 + 1/8). Solo las fracciones 2/3 y 3/4 tenían designaciones separadas, el resto se dividió en términos. Había tablas especiales en las que las fracciones de un número se presentaban como una suma.

La referencia más antigua conocida a tal sistema se encuentra en el Papiro Matemático Rhinda, que data de principios del segundo milenio antes de Cristo. Incluye una tabla de fracciones y problemas de matematicas con soluciones y respuestas presentadas como sumas de fracciones. Los egipcios sabían sumar, dividir y multiplicar fracciones de un número. Las fracciones en el valle del Nilo se escribieron usando jeroglíficos.

La representación de una fracción de un número como suma de términos de la forma 1/n, característica del antiguo Egipto, fue utilizada por los matemáticos no solo en este país. Hasta la Edad Media, las fracciones egipcias se usaban en Grecia y otros estados.

Desarrollo de las matemáticas en Babilonia

Las matemáticas se veían diferentes en el reino de Babilonia. La historia de la aparición de fracciones aquí está directamente relacionada con las características del sistema numérico heredado. estado antiguo heredado de su predecesor, la civilización sumeria-acadia. La técnica de cálculo en Babilonia era más conveniente y perfecta que en Egipto. Las matemáticas en este país resolvieron una gama mucho más amplia de problemas.

Uno puede juzgar los logros de los babilonios hoy en día por las tablillas de arcilla sobrevivientes llenas de escritura cuneiforme. Por las características del material, nos han llegado en en numeros grandes. Según algunos en Babilonia, antes de Pitágoras se descubrió un teorema bien conocido, que sin duda atestigua el desarrollo de la ciencia en este antiguo estado.

Fracciones: la historia de las fracciones en Babilonia

El sistema numérico en Babilonia era sexagesimal. Cada nueva categoría se diferenciaba de la anterior en 60. Este sistema se conservó en mundo moderno para indicar el tiempo y los ángulos. Las fracciones también eran sexagesimales. Para la grabación, se utilizaron iconos especiales. Como en Egipto, los ejemplos de fracciones contenían símbolos separados para 1/2, 1/3 y 2/3.

El sistema babilónico no desapareció con el estado. Las fracciones escritas en el sistema 60 fueron utilizadas por astrónomos y matemáticos antiguos y árabes.

Antigua Grecia

La historia de las fracciones ordinarias no se ha enriquecido mucho en antigua Grecia. Los habitantes de Hellas creían que las matemáticas debían operar solo con números enteros. Por lo tanto, las expresiones con fracciones en las páginas de los tratados griegos antiguos prácticamente no ocurrieron. Sin embargo, los pitagóricos hicieron una cierta contribución a esta rama de las matemáticas. Entendían las fracciones como razones o proporciones, y también consideraban que la unidad era indivisible. Pitágoras y sus alumnos construyeron teoría general fracciones, aprendió a realizar las cuatro operaciones aritméticas, así como a comparar fracciones llevándolas a un denominador común.

Santo Imperio Romano

El sistema romano de fracciones estaba asociado con una medida de peso llamada "asno". Se dividió en 12 acciones. 1/12 assa se llamaba una onza. Había 18 nombres para fracciones. Éstos son algunos de ellos:

semis - la mitad del assa;

sextante—sexto de assa;

semi-onza - media onza o 1/24 culo.

El inconveniente de tal sistema era la imposibilidad de representar un número como una fracción con un denominador de 10 o 100. Los matemáticos romanos superaron la dificultad usando porcentajes.

escribir fracciones ordinarias

En la Antigüedad, las fracciones ya se escribían de forma familiar: un número sobre otro. Sin embargo, hubo una diferencia significativa. El numerador estaba debajo del denominador. Por primera vez, las fracciones comenzaron a escribirse de esta manera en la antigua India. Los árabes comenzaron a utilizar la forma moderna para nosotros. Pero ninguno de estos pueblos usó una línea horizontal para separar el numerador y el denominador. Aparece por primera vez en los escritos de Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci, en 1202.

Porcelana

Si la historia del surgimiento de las fracciones ordinarias comenzó en Egipto, los decimales aparecieron por primera vez en China. En el Imperio Celestial, comenzaron a usarse a partir del siglo III a.C. aproximadamente. La historia de las fracciones decimales comenzó con el matemático chino Liu Hui, quien propuso utilizarlas a la hora de extraer raíces cuadradas.

En el siglo III d. C., las fracciones decimales en China comenzaron a usarse para calcular el peso y el volumen. Gradualmente, comenzaron a penetrar más y más profundamente en las matemáticas. En Europa, sin embargo, los decimales se empezaron a utilizar mucho más tarde.

Al-Kashi de Samarcanda

Independientemente de los predecesores chinos, las fracciones decimales fueron descubiertas por el astrónomo al-Kashi de ciudad antigua Samarcanda. Vivió y trabajó en el siglo XV. El científico esbozó su teoría en el tratado "La clave de la aritmética", que se publicó en 1427. Al-Kashi sugirió usar nueva forma registros de fracciones. Tanto las partes enteras como las fraccionarias ahora se escribieron en una línea. El astrónomo de Samarcanda no usó una coma para separarlos. Escribió el número entero y la parte fraccionaria. Colores diferentes utilizando tinta negra y roja. A veces, al-Kashi también usaba una línea vertical para separarlos.

Decimales en Europa

Un nuevo tipo de fracciones comenzó a aparecer en las obras de los matemáticos europeos a partir del siglo XIII. Cabe señalar que no estaban familiarizados con las obras de al-Kashi, así como con la invención de los chinos. Las fracciones decimales aparecieron en los escritos de Jordan Nemorarius. Luego se usaron ya en el siglo 16. El científico francés escribió el Canon Matemático, que contenía tablas trigonométricas. En ellos, Viet utilizó fracciones decimales. Para separar las partes enteras y fraccionarias, el científico usó una línea vertical, así como diferente tamaño fuente.

Sin embargo, estos fueron solo casos especiales de uso científico. Para resolver problemas cotidianos, las fracciones decimales en Europa comenzaron a usarse algo más tarde. Esto sucedió gracias al científico holandés Simon Stevin a finales del siglo XVI. Publicó la obra matemática La Décima en 1585. En él, el científico esbozó la teoría del uso de fracciones decimales en la aritmética, en el sistema monetario y para determinar medidas y pesos.

Punto, punto, coma

Stevin tampoco usó una coma. Separó las dos partes de la fracción usando un cero dentro de un círculo.

Por primera vez, una coma separó dos partes de una fracción decimal recién en 1592. En Inglaterra, sin embargo, se utilizó en su lugar el punto final. En los Estados Unidos, las fracciones decimales todavía se escriben de esta forma.

Uno de los iniciadores del uso de ambos signos de puntuación para separar partes enteras y fraccionarias fue el matemático escocés John Napier. Hizo su propuesta en 1616-1617. Una coma también fue utilizada por un científico alemán

Fracciones en Rusia

En suelo ruso, el primer matemático que planteó la división del todo en partes fue el monje de Novgorod Kirik. En 1136, escribió un trabajo en el que describió el método de "calcular años". Kirik se ocupó de cuestiones de cronología y calendario. En su obra, también citó la división de la hora en partes: quintos, veinticinco, etc.

La división del todo en partes se utilizó al calcular el monto del impuesto en los siglos XV-XVII. Se utilizaron las operaciones de suma, resta, división y multiplicación con partes fraccionarias.

La misma palabra "fracción" apareció en Rusia en el siglo VIII. Proviene del verbo "aplastar, dividir en partes". Nuestros antepasados ​​usaban palabras especiales para nombrar fracciones. Por ejemplo, 1/2 se designó como medio o medio, 1/4 - cuatro, 1/8 - media hora, 1/16 - media hora, y así sucesivamente.

La teoría completa de las fracciones, no muy diferente de la moderna, se presentó en el primer libro de texto sobre aritmética, escrito en 1701 por Leonty Filippovich Magnitsky. La "aritmética" constaba de varias partes. El autor habla de fracciones en detalle en la sección "Sobre números de líneas quebradas o con fracciones". Magnitsky da operaciones con números "rotos", sus diferentes designaciones.

Hoy en día, las fracciones todavía se encuentran entre las secciones más difíciles de las matemáticas. La historia de las fracciones tampoco era sencilla. pueblos diferentes a veces independientemente unos de otros, ya veces tomando prestada la experiencia de sus predecesores, llegaron a la necesidad de introducir, dominar y utilizar las fracciones de un número. La doctrina de las fracciones siempre ha surgido de observaciones prácticas y gracias a problemas apremiantes. Era necesario dividir el pan, marcar parcelas iguales tierra, calcular impuestos, medir el tiempo, etc. Las características del uso de fracciones y operaciones matemáticas con ellas dependían del sistema numérico en el estado y de nivel general desarrollo de las matemáticas. De una forma u otra, habiendo superado más de mil años, la sección de álgebra dedicada a las fracciones de números se ha formado, desarrollado y se usa con éxito hoy en día para una variedad de necesidades, tanto prácticas como teóricas.