En esta subsección damos varias definiciones de números racionales. A pesar de las diferencias en la redacción, todas estas definiciones tienen el mismo significado: los números racionales combinan números enteros y números fraccionarios, al igual que los números enteros se combinan enteros, sus números opuestos y el número cero. En otras palabras, los números racionales generalizan números enteros y fraccionarios.
Empecemos con definiciones de numeros racionales que se percibe como la más natural.
Definición.
Numeros racionales son números que se pueden escribir como una fracción común positiva, una fracción común negativa o el número cero.
De la definición sondeada se sigue que un número racional es:
cualquier número natural norte. De hecho, cualquier número natural se puede representar como una fracción ordinaria, por ejemplo, 3=3/1 .
· Cualquier número entero, en particular, el número cero. De hecho, cualquier número entero se puede escribir como fracción común positiva, como fracción común negativa o como cero. Por ejemplo, 26=26/1 , .
Ningún fracción común(positivo o negativo). Esto se establece directamente por la definición dada de números racionales.
Ningún numero mixto. De hecho, siempre es posible representar un número mixto como una fracción común impropia. Por ejemplo, y.
cualquier final decimal o una fracción periódica infinita. Esto es así porque las fracciones decimales especificadas se convierten en fracciones ordinarias. por ejemplo, un 0,(3)=1/3 .
También está claro que cualquier decimal infinito que no se repite NO es un número racional, ya que no se puede representar como una fracción común.
Ahora podemos traer fácilmente ejemplos de numeros racionales. Números 4 ,903 , 100 321 son números racionales, ya que son números naturales. Números enteros 58 ,−72 , 0 , −833 333 333 también son ejemplos de números racionales. fracciones comunes 4/9 , 99/3 , también son ejemplos de números racionales. Los números racionales también son números.
Los ejemplos anteriores muestran que hay números racionales tanto positivos como negativos, y el número racional cero no es ni positivo ni negativo.
La definición anterior de números racionales se puede formular en una forma más corta.
Definición.
Numeros racionales nombra un numero que se pueda escribir como fraccion z/n, dónde z es un número entero y norte- número natural.
Probemos que esta definición de números racionales es equivalente a la anterior. Sabemos que podemos considerar la barra de una fracción como un signo de división, entonces de las propiedades de la división de números enteros y las reglas para dividir números enteros, se sigue la validez de las siguientes igualdades y. Así que esa es la prueba.
Damos ejemplos de números racionales basados en esta definición. Números −5 , 0 , 3 , y son números racionales, ya que se pueden escribir como fracciones con numerador entero y denominador natural de la forma y respectivamente.
La definición de números racionales también se puede dar en la siguiente formulación.
Definición.
Numeros racionales son números que se pueden escribir como una fracción decimal periódica finita o infinita.
Esta definición también es equivalente a la primera definición, ya que cualquier fracción ordinaria corresponde a una fracción decimal finita o periódica y viceversa, y cualquier número entero puede asociarse a una fracción decimal con ceros después del punto decimal.
Por ejemplo, números 5 , 0 , −13 , son ejemplos de números racionales, ya que se pueden escribir como las siguientes fracciones decimales 5,0 , 0,0 ,−13,0 , 0,8 y −7,(18) .
Terminamos la teoría de esta sección con las siguientes afirmaciones:
los números enteros y fraccionarios (positivos y negativos) forman el conjunto de los números racionales;
Todo número racional se puede representar como una fracción con un numerador entero y un denominador natural, y cada una de esas fracciones es un número racional;
Cada número racional se puede representar como una fracción decimal periódica finita o infinita, y cada una de esas fracciones representa algún número racional.
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La suma de números racionales positivos es conmutativa y asociativa,
("a, b í Q +) a + b= b + a;
("a, b, c í Q +) (a + b)+ c = a + (b+ c)
Antes de formular la definición de multiplicación de números racionales positivos, considere el siguiente problema: se sabe que la longitud del segmento X se expresa como una fracción en la unidad de longitud E, y la longitud del segmento unitario se mide utilizando la unidad E 1 y se expresa como una fracción. ¿Cómo encontrar el número que representará la longitud del segmento X, si lo mide usando la unidad de longitud E 1?
Como X=E, entonces nX=mE, y del hecho de que E =E 1 se sigue que qE=pE 1 . Multiplicamos la primera igualdad obtenida por q, y la segunda por m. Entonces (nq)X \u003d (mq)E y (mq)E \u003d (mp)E 1, de donde (nq)X \u003d (mp)E 1. Esta igualdad muestra que la longitud del segmento x en la unidad de longitud se expresa como una fracción, y por lo tanto , =, es decir la multiplicación de fracciones está asociada al paso de una unidad de longitud a otra al medir la longitud de un mismo segmento.
Definición Si un número positivo a está representado por una fracción, y un número racional positivo b por una fracción, entonces su producto se llama el número a b, que está representado por una fracción.
Multiplicación de números racionales positivos conmutativo, asociativo y distributivo con respecto a la suma y la resta. La demostración de estas propiedades se basa en la definición de multiplicación y suma de números racionales positivos, así como en las correspondientes propiedades de suma y multiplicación de números naturales.
46. Como sabes sustracción es lo opuesto a la suma.
si un a y b - números positivos, luego restar el número b del número a significa encontrar un número c que, cuando se suma al número b, da el número a.
a - b = c o c + b = a
La definición de resta es válida para todos los números racionales. Es decir, la resta de números positivos y negativos puede sustituirse por la suma.
Para restar otro de un número, debes sumar el número opuesto al minuendo.
O, de otra forma, podemos decir que la resta del número b es la misma suma, pero con el número opuesto al número b.
a - b = a + (- b)
Ejemplo.
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2
Ejemplo.
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2
Vale la pena recordar las expresiones a continuación.
0 - un = - un
un - 0 = un
un - un = 0
Reglas para restar números negativos
La resta del número b es la suma con el número opuesto al número b.
Esta regla se conserva no solo al restar un número menor de un número mayor, sino que también permite restar de un número menor más, es decir, siempre puedes encontrar la diferencia de dos números.
La diferencia puede ser un número positivo, un número negativo o cero.
Ejemplos de resta de números negativos y positivos.
- 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
- 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
Es conveniente recordar la regla de los signos, que permite reducir el número de paréntesis.
El signo más no cambia el signo del número, por lo que si hay un signo más delante del paréntesis, el signo entre paréntesis no cambia.
+ (+ un) = + un
+ (- un) = - un
El signo menos delante de los corchetes invierte el signo del número entre paréntesis.
- (+ a) = - a
- (- un) = + un
Se puede ver a partir de las igualdades que si hay signos idénticos antes y dentro de los corchetes, obtenemos "+", y si los signos son diferentes, obtenemos "-".
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0
La regla de los signos también se conserva si no hay un número entre paréntesis, sino una suma algebraica de números.
a - (- b + c) + (d - k + n) = a + b - c + d - k + n
Tenga en cuenta que si hay varios números entre paréntesis y hay un signo menos delante de los paréntesis, entonces los signos delante de todos los números en estos paréntesis deben cambiar.
Para recordar la regla de los signos, puedes hacer una tabla para determinar los signos de un número.
Regla de signos para números + (+) = + + (-) = -
- (-) = + - (+) = -
O aprender una regla simple.
Dos negativos hacen un afirmativo,
Más veces menos es igual a menos.
Reglas para dividir números negativos.
Para encontrar el módulo del cociente, debes dividir el módulo del dividendo por el módulo del divisor.
Entonces, para dividir dos números con los mismos signos, necesitas:
Divide el módulo del dividendo por el módulo del divisor;
Ponga un signo "+" delante del resultado.
Ejemplos de división de números con diferentes signos:
También puedes usar la siguiente tabla para determinar el signo del cociente.
La regla de los signos al dividir
+ : (+) = + + : (-) = -
- : (-) = + - : (+) = -
Al calcular expresiones "largas" en las que solo aparecen multiplicaciones y divisiones, es muy conveniente usar la regla de los signos. Por ejemplo, para calcular una fracción.
Puede prestar atención a que en el numerador hay 2 signos "menos", que, cuando se multiplican, darán un "más". También hay tres signos menos en el denominador que, cuando se multiplican, darán un signo menos. Por lo tanto, al final, el resultado será con un signo menos.
Reducción de fracciones ( otras acciones con módulos de números) se realiza de la misma manera que antes:
El cociente de dividir cero por un número distinto de cero es cero.
0: a = 0, a ≠ 0
¡NO divida por cero!
Todas las reglas previamente conocidas para dividir por uno también se aplican al conjunto de números racionales.
un: 1 = un
un: (- 1) = - un
a: a = 1, donde a es cualquier número racional.
Las dependencias entre los resultados de la multiplicación y la división, conocidas para números positivos, también se conservan para todos los números racionales (excepto el número cero):
si a × b = c; a = c: b; b = c: un;
si a: b = c; a = c × b; b=a:c
Estas dependencias se utilizan para encontrar multiplicador desconocido, dividendo y divisor (al resolver ecuaciones), así como para comprobar los resultados de multiplicaciones y divisiones.
Un ejemplo de encontrar lo desconocido.
x × (-5) = 10
x=10: (-5)
x=-2
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En este artículo, comenzaremos a estudiar numeros racionales. Aquí damos definiciones de números racionales, damos las explicaciones necesarias y damos ejemplos de números racionales. Después de eso, nos enfocaremos en cómo determinar si un número dado es racional o no.
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Definición y ejemplos de números racionales
En esta subsección damos varias definiciones de números racionales. A pesar de las diferencias en la redacción, todas estas definiciones tienen el mismo significado: los números racionales unen números enteros y números fraccionarios, así como los números enteros unen números naturales, sus números opuestos y el número cero. En otras palabras, los números racionales generalizan números enteros y fraccionarios.
Empecemos con definiciones de numeros racionales que se percibe como la más natural.
De la definición sondeada se sigue que un número racional es:
- Cualquier número natural n. De hecho, cualquier número natural puede representarse como una fracción ordinaria, por ejemplo, 3=3/1.
- Cualquier número entero, en particular el número cero. De hecho, cualquier número entero se puede escribir como fracción común positiva, como fracción común negativa o como cero. Por ejemplo, 26=26/1 , .
- Cualquier fracción ordinaria (positiva o negativa). Esto se establece directamente por la definición dada de números racionales.
- Cualquier número mixto. De hecho, siempre es posible representar un número mixto como una fracción común impropia. Por ejemplo, y .
- Cualquier decimal finito o fracción periódica infinita. Esto es así porque las fracciones decimales especificadas se convierten en fracciones ordinarias. Por ejemplo, y 0,(3)=1/3.
También está claro que cualquier decimal infinito que no se repite NO es un número racional, ya que no se puede representar como una fracción común.
Ahora podemos traer fácilmente ejemplos de numeros racionales. Los números 4, 903, 100,321 son números racionales, ya que son números naturales. Los enteros 58 , −72 , 0 , −833 333 333 también son ejemplos de números racionales. Las fracciones ordinarias 4/9, 99/3, también son ejemplos de números racionales. Los números racionales también son números.
Los ejemplos anteriores muestran que hay números racionales tanto positivos como negativos, y el número racional cero no es ni positivo ni negativo.
La definición anterior de números racionales se puede formular en una forma más corta.
Definición.
Numeros racionales llamar a números que se pueden escribir como una fracción z/n, donde z es un número entero y n es un número natural.
Probemos que esta definición de números racionales es equivalente a la anterior. Sabemos que podemos considerar la barra de una fracción como un signo de división, entonces de las propiedades de dividir enteros y las reglas para dividir enteros, se siguen las siguientes igualdades y . Así, cuál es la prueba.
Damos ejemplos de números racionales basados en esta definición. Los números −5 , 0 , 3 y son números racionales, ya que se pueden escribir como fracciones con numerador entero y denominador natural de la forma y respectivamente.
La definición de números racionales también se puede dar en la siguiente formulación.
Definición.
Numeros racionales son números que se pueden escribir como una fracción decimal periódica finita o infinita.
Esta definición también es equivalente a la primera definición, ya que cualquier fracción ordinaria corresponde a una fracción decimal finita o periódica y viceversa, y cualquier número entero puede asociarse a una fracción decimal con ceros después del punto decimal.
Por ejemplo, los números 5 , 0 , −13 , son ejemplos de números racionales porque se pueden escribir como los siguientes decimales 5.0 , 0.0 , −13.0 , 0.8 y −7,(18) .
Terminamos la teoría de esta sección con las siguientes afirmaciones:
- los números enteros y fraccionarios (positivos y negativos) forman el conjunto de los números racionales;
- cada número racional se puede representar como una fracción con un numerador entero y un denominador natural, y cada una de esas fracciones es un número racional;
- cada número racional se puede representar como una fracción decimal periódica finita o infinita, y cada una de esas fracciones representa algún número racional.
¿Es este número racional?
En el párrafo anterior, descubrimos que cualquier número natural, cualquier número entero, cualquier fracción ordinaria, cualquier número mixto, cualquier fracción decimal final y también cualquier fracción decimal periódica es un número racional. Este conocimiento nos permite "reconocer" los números racionales del conjunto de los números escritos.
Pero, ¿y si el número se da como algo, o como, etc., cómo responder a la pregunta, es racional el número dado? En muchos casos, es muy difícil responderla. Señalemos algunas direcciones para el curso del pensamiento.
Si un número se especifica como una expresión numérica que contiene solo números racionales y signos aritméticos (+, −, · y:), entonces el valor de esta expresión es un número racional. Esto se deduce de cómo se definen las operaciones con números racionales. Por ejemplo, después de realizar todas las operaciones de la expresión, obtenemos un número racional 18.
A veces, después de simplificar expresiones y más tipo complejo, se hace posible determinar si un número dado es racional.
Vayamos más lejos. El número 2 es un número racional, ya que cualquier número natural es racional. ¿Qué pasa con el número? ¿Es racional? Resulta que no, no es un número racional, es un número irracional (la prueba de este hecho por contradicción se encuentra en el libro de texto de álgebra para el grado 8, que se indica a continuación en la lista de referencias). También se ha comprobado que Raíz cuadrada de un número natural es un número racional sólo en aquellos casos en que la raíz es un número que es el cuadrado perfecto de algún número natural. Por ejemplo, y son números racionales, ya que 81=9 2 y 1024=32 2 , y los números y no son racionales, ya que los números 7 y 199 no son cuadrados perfectos de números naturales.
¿El número es racional o no? En este caso, es fácil ver que, por lo tanto, este número es racional. ¿Es el número racional? Se demuestra que la raíz k-ésima de un número entero es un número racional sólo si el número bajo el signo de la raíz es la k-ésima potencia de algún número entero. Por tanto, no es un número racional, ya que no existe ningún número entero cuya quinta potencia sea 121.
El método de la contradicción nos permite probar que los logaritmos de algunos números, por alguna razón, no son números racionales. Por ejemplo, demostremos que - no es un número racional.
Suponga lo contrario, es decir, suponga que es un número racional y puede escribirse como una fracción ordinaria m/n. Luego y dar las siguientes igualdades: . La última igualdad es imposible, ya que en su lado izquierdo hay número impar 5 n , y del lado derecho hay un número par 2 m . Por lo tanto, nuestra suposición es incorrecta, por lo que no es un número racional.
En conclusión, vale la pena enfatizar que al momento de aclarar la racionalidad o irracionalidad de los números, se debe abstenerse de conclusiones repentinas.
Por ejemplo, uno no debe afirmar de inmediato que el producto de los números irracionales π y e es un número irracional, esto es "como si fuera obvio", pero no probado. Esto plantea la pregunta: "¿Por qué el producto sería un número racional"? Y por qué no, porque puedes poner un ejemplo de números irracionales, cuyo producto da un número racional:.
También se desconoce si los números y muchos otros números son racionales o no. Por ejemplo, hay números irracionales, grado irracional que es un número racional. Para ilustrar, demos un grado de la forma , la base de este grado y el exponente no son números racionales, sino , y 3 es un número racional.
Bibliografía.
- Matemáticas. Grado 6: libro de texto. para educación general instituciones / [N. Ya. Vilenkin y otros]. - 22ª ed., rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: il. ISBN 978-5-346-00897-2.
- Álgebra: libro de texto para 8 celdas. educación general instituciones / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edición S. A. Teliakovski. - 16ª edición. - M. : Educación, 2008. - 271 p. : enfermo. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matemáticas (un manual para aspirantes a escuelas técnicas): Proc. subsidio.- M.; Más alto escuela, 1984.-351 p., il.
) son números con signo positivo o negativo (entero y fraccionario) y cero. Un concepto más preciso de números racionales suena así:
número racional- un número que está representado por una fracción simple Minnesota, donde el numerador metro son números enteros y el denominador norte- números enteros, por ejemplo 2/3.
Las fracciones infinitas no periódicas NO están incluidas en el conjunto de números racionales.
un/b, dónde a∈ Z (a pertenece a enteros) b∈ norte (b pertenece a los números naturales).
Uso de números racionales en la vida real.
A vida real el conjunto de números racionales se usa para contar las partes de algunos objetos enteros divisibles, por ejemplo, pasteles u otros alimentos que se cortan en pedazos antes de su consumo, o para una estimación aproximada de las relaciones espaciales de los objetos extensos.
Propiedades de los números racionales.
Propiedades básicas de los números racionales.
1. orden a y b hay una regla que te permite identificar de forma única entre ellos 1-pero y solo una de las 3 relaciones: “<», «>" o "=". Esta regla es - regla de pedido y formularlo así:
- 2 números positivos a = m a / n a y b=m b /n b relacionados por la misma relación que 2 enteros ma⋅ nótese bien y m b⋅ n / A;
- 2 números negativos a y b relacionado por la misma relación que 2 números positivos |b| y |un|;
- cuando a positivo, y b- negativo, entonces a>b.
∀ a, b∈ Q(un ∨ a>b∨ a=b)
2. operación de suma. Para todos los números racionales a y b hay regla de suma, que los pone en correspondencia con cierto número racional C. Sin embargo, el número en sí C- esto es suma números a y b y se conoce como (a+b) suma.
regla de suma tiene este aspecto:
ma/n a + m b/norte segundo =(ma⋅ nb+mb⋅ n / A)/(n / A⋅ nótese bien).
∀ a, b∈ q∃ !(a+b)∈ q
3. operación de multiplicación. Para todos los números racionales a y b hay regla de multiplicación, los asocia con cierto número racional C. El numero c se llama trabajar números a y b y denota (a⋅b), y el proceso de encontrar este número se llama multiplicación.
regla de multiplicación tiene este aspecto: hombre⋅ metro segundo norte segundo = metro un⋅ m b n a⋅ nótese bien.
∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q
4. Transitividad de la relación de orden. Para tres números racionales cualesquiera a, b y C si a menos b y b menos C, después a menos C, Y si a es igual b y b es igual C, después a es igual C.
∀ a B C∈ Q(un ∧ b ⇒ a ∧ (a=b∧ b=c⇒ a = c)
5. Conmutatividad de la suma. A partir de un cambio en los lugares de los términos racionales, la suma no cambia.
∀ a, b∈ Qa+b=b+a
6. Asociatividad de la suma. El orden de suma de 3 números racionales no afecta el resultado.
∀ a B C∈ Q(a+b)+c=a+(b+c)
7. Presencia de cero. Hay un número racional 0, conserva todos los demás números racionales cuando se suma.
∃ 0 ∈ q∀ a∈ Qa+0=a
8. Disponibilidad números opuestos . Todo número racional tiene un número racional opuesto, sumarlos da como resultado 0.
∀ a∈ q∃ (−a)∈ Qa+(−a)=0
9. Conmutatividad de la multiplicación. Al cambiar los lugares de los factores racionales, el producto no cambia.
∀ a, b∈ control de calidad⋅ b=b⋅ a
10. Asociatividad de la multiplicación. El orden de la multiplicación de 3 números racionales no afecta el resultado.
∀ a B C∈ Q(un⋅ b)⋅ c=a⋅ (b⋅ C)
11. Disponibilidad de una unidad. Hay un número racional 1, conserva todos los demás números racionales en el proceso de multiplicación.
∃ 1 ∈ q∀ a∈ control de calidad⋅ 1 = un
12. Disponibilidad números recíprocos . Cualquier número racional distinto de cero tiene un número racional inverso, multiplicando por el cual obtenemos 1 .
∀ a∈ q∃ a−1∈ control de calidad⋅ a−1=1
13. Distributividad de la multiplicación con respecto a la suma. La operación de multiplicación está relacionada con la suma usando la ley de distribución:
∀ a B C∈ Q(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ C
14. Conexión de la relación de orden con la operación de suma. El mismo número racional se suma a los lados izquierdo y derecho de una desigualdad racional.
∀ a B C∈ control de calidad ⇒ a+c
15. Conexión de la relación de orden con la operación de multiplicación. Los lados izquierdo y derecho de una desigualdad racional se pueden multiplicar por el mismo número racional no negativo.
∀ a B C∈ control de calidad>0∧ a ⇒ a⋅ C ⋅ C
16. Axioma de Arquímedes. Cualquiera que sea el número racional a, es fácil tomar tantas unidades que su suma será mayor a.
