Asunto
tipo de lección
- estudio y asimilación primaria de material nuevo
Objetivos de la lección
Conoce las definiciones de números opuestos positivos y negativos
Encuentra números opuestos al resolver ejercicios, al resolver ecuaciones
Desarrollo - para desarrollar la atención de los estudiantes, la perseverancia, la perseverancia, pensamiento lógico, discurso matemático.
Educativo: a través de una lección, para cultivar una actitud atenta hacia los demás, para inculcar la capacidad de escuchar a los camaradas, la asistencia mutua, la independencia.
Objetivos de la lección
Aprende qué son los números opuestos
Aprende a usar este concepto al resolver problemas.
Comprobar la capacidad de los alumnos para resolver problemas.
Plan de estudios
1. Introducción.
2. Parte teórica
3. Parte práctica.
4. Tarea.
Introducción
Mira las imágenes y describe en una palabra cuál es la diferencia entre ellas.
Las imágenes muestran opuestos.
son dos números que son iguales en valor absoluto pero tienen diferentes signos, p.ej. 5 y -5.
parte teórica
Primero, recordemos qué es números negativos. Mirar video:
Los puntos con coordenadas 5 y -5 están a la misma distancia del punto O y están ubicados a lo largo lados diferentes de ella. Para llegar del punto O a estos puntos, se deben recorrer las mismas distancias, pero en direcciones opuestas. Los números 5 y -5 se llaman números opuestos: 5 es el opuesto de -5 y -5 es el opuesto de 5.
Dos números que difieren entre sí solo en signos se llaman números opuestos.
Por ejemplo, 35 y -35 serán números opuestos, ya que el número 35 \u003d +35, lo que significa que los números 35 y -35 difieren solo en los signos. Los números opuestos también serán 0,8 y -0,8, ¾ y -¾.
Propiedades de los números opuestos
uno). Para cada número, solo hay un número opuesto.
2). El número 0 es el opuesto de sí mismo.
3). El opuesto de a se llama -a. Si a = -7,8, entonces -a = 7,8; si a = 8,3, entonces -a = -8,3; si a = 0, entonces -a = 0.
4). La entrada "-(-15)" significa lo contrario de -15. Como el opuesto de -15 es 15, entonces -(-15) = 15. En general -(-a) = a.
Los números naturales, sus opuestos y el cero se llaman números enteros.
numero opuesto n" en relación con el número n es el número que, cuando se suma a n, da cero.
norte + norte" = 0
Esta igualdad se puede reescribir de la siguiente manera:
norte + norte" - norte = 0 - norte o norte" = − norte
Por lo tanto, números opuestos Tienen los mismos módulos pero signos opuestos.
De acuerdo con esto, el número opuesto al número n se denota − n. Cuando un número es positivo, su opuesto será negativo y viceversa.
1. Da ejemplos de números opuestos.
2. Dibújalos en la línea de coordenadas.
3. ¿Cuál es el opuesto de -3.6; 7; 0; 8/9; -1/2
parte práctica
Ejemplo
1) Marque los puntos A(2), B(-2), C(+4), D(-3), E(-5.2), F(5.2), G(-6) en la línea de coordenadas, H( 7). 2) Entre estos puntos, encuentre e indique aquellos que sean simétricos con respecto al punto O (0). ¿Qué se puede decir acerca de las coordenadas de los puntos simétricos?
Puntos simétricos respecto al punto O(0): A(2) y B(-2), E(-5.2) y F(5.2)
Coordenadas de puntos simétricos Son números que difieren sólo en el signo. Tales números se llaman opuesto.
Marca en la línea de coordenadas los puntos A (-3), B (+6), C (+4,2), D (+3), E (-4,2), F (-6) ¿Qué se puede decir de estos números?
De los números 15; 2,5; - 2,5; - Dieciocho; 0; 45; - 45 elegir: a) números naturales; b) números enteros; c) números negativos; d) números positivos; e) números opuestos.
1) Escriba el número opuesto al número a.
2) Indique el número opuesto al número a, si:
a=5, a=-3, a=0, a=-2/5;
A \u003d 6, -a \u003d - 2, -a \u003d 3.4.
1) Recuerde lo que significa la entrada: - (- a).
2) Reemplace * con tal número para obtener la igualdad correcta: a) - (- 5) = *; b) 3 = - *.
Tarea
uno). Completar la tabla:
2). Encuentre: a) -m,
si m = -8,
si m = -16
si -k = 27
si -k = -35
si c = 41
si c = -3.6
3). ¿Cuántos pares de números opuestos se encuentran entre los números -7.2 y 3.6? Marca en la línea de coordenadas.
4). Descubra el nombre de un destacado científico francés:
¿Sabes dónde en La vida cotidiana¿Encontramos números positivos y negativos?
Lista de fuentes utilizadas
1. Enciclopedia matemática (en 5 tomos). - M.: Enciclopedia soviética, 2002. - T. 1.
2. “La última guía escolar” “CASA siglo XXI” 2008
3. Resumen de la lección sobre el tema " Números opuestos Autor: Petrova V.P., profesora de matemáticas (grados 5-9), Kiev
4. NY Vilenkin, A.S. Chesnokov, S. I. Schwarzburd, VI Zhokhov, Matemáticas para el grado 6, Libro de texto para la escuela secundaria
§ 1 El concepto de número positivo
En esta lección, aprenderás qué números se llaman opuestos, cómo encontrar el número opuesto y qué son los números enteros y racionales.
Empecemos con trabajo practico. En la línea de coordenadas, marque los puntos A(2) y B(-2). Son simétricos y el centro de simetría de estos puntos es el origen O(0), ya que la distancia OA=OB.
Vemos que las coordenadas de los puntos que son simétricos con respecto al origen son números que difieren solo en el signo. Tales números se llaman opuestos.
Hay otra definición de números opuestos. ¿Cuáles son los módulos de los números 2 y -2? Igual a 2. Por lo tanto, los números opuestos son números que tienen los mismos módulos, pero difieren en el signo.
Para indicar el número opuesto a un número dado, use el signo menos, que se escribe delante del número dado. Es decir, el opuesto de a se escribe como −a. Por ejemplo, el número 0,24 es opuesto al número −0,24, el número -25 es opuesto al número −(−25), pero el número -25 en la línea de coordenadas es opuesto a 25, lo que significa -(-25) = 25. De aquí se sigue que -( -a) = ay a = -(-a).
§ 2 Propiedades de los números opuestos
Señalemos algunas propiedades de los números opuestos.
El número opuesto a un número positivo es negativo, y el número opuesto a un número negativo es positivo. Esto es comprensible, ya que los puntos de la línea de coordenadas correspondientes a números opuestos están en lados opuestos del origen.
Si el número a es opuesto al número b, entonces b es opuesto a a; esto se deriva de la propiedad de simetría de los puntos en la línea de coordenadas.
Veamos la línea de coordenadas. ¿Cuántos puntos se pueden marcar en una línea de coordenadas que sean simétricas a la dada con respecto al origen? Solo uno. Esto significa que para cada número solo hay un número opuesto.
Solo un número es opuesto a sí mismo: este es el número 0, ya que 0 \u003d -0 (por lo tanto, no se acostumbra escribir -0).
Números con característica común forman un conjunto (o grupo), cada conjunto tiene su propio nombre.
Recuerda que los números que usamos para contar se llaman números naturales, forman un conjunto de números naturales.
Todo número natural tiene su opuesto. Los números naturales, sus números opuestos y el número 0 se llaman números enteros.
Los números fraccionarios también pueden ser positivos o negativos. Todos los números enteros y todas las fracciones se llaman números racionales. También dicen que juntos forman un conjunto numeros racionales.
Señalemos dos grupos más de números. Tomemos una línea de coordenadas. Si quitamos la parte de la línea recta en la que se encuentran los números negativos, un rayo con números positivos y el punto de partida es 0. Los números restantes se denominan no negativos, es decir, los números que son mayores o iguales que 0. Por lo tanto, los números no positivos son todos los números negativos y el número 0, es decir, los números que son menor o igual a 0.
Hoy aprendimos qué son los números opuestos, enteros, racionales, no negativos, no positivos, aprendimos cómo encontrar el número opuesto a uno dado.
Lista de literatura usada:
- Matemáticas.6to grado: planes de lecciones para el libro de texto de I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // autor-compilador L.A. Topilín. Mnemósine 2009
- Matemáticas. Grado 6: libro de texto del estudiante Instituciones educacionales. yo Zubareva, A.G. Mordkovich.- M.: Mnemozina, 2013
- Matemáticas. Grado 6: un libro de texto para estudiantes de instituciones educativas. /N.Ya. Vilenkin, VI. Zhojov, A.S. Chesnokov, S. I. Schwarzburd. – M.: Mnemósine, 2013
- Manual de Matemáticas - http://lyudmilanik.com.ua
- manual para estudiantes de escuela secundaria http://shkolo.ru
Definición de números opuestos
Definición de números opuestos:
Se dice que dos números son opuestos si difieren solo en signos.
Ejemplos de números opuestos
Ejemplos de números opuestos.
1 -1;
2 -2;
99 -99;
-12 12;
-45 45
A partir de aquí, está claro cómo encontrar el número opuesto al dado: simplemente cambie el signo del número.
El opuesto de 3 es el número menos tres.
Ejemplo. Los números son lo contrario de los datos.
Dado: números 1; 5; ocho; nueve.
Encuentra los números opuestos a los dados.
Para resolver esta tarea, simplemente cambie los signos de los números dados:
Hagamos una tabla de números opuestos:
| 1 | 5 | 8 | 9 |
| -1 | -5 | -8 | -9 |
El número opuesto a cero
El opuesto de cero es el mismo cero.
Entonces el opuesto de 0 es 0.
enteros opuestos
Los enteros opuestos difieren solo en signos.
Ejemplos de enteros opuestos.
10 -10
20 -20
125 -125
Un par de números opuestos
Cuando las personas hablan de números opuestos, siempre se refieren a un par de números opuestos.
Un número es el opuesto de otro número. Y cada número tiene sólo un número opuesto.
Números opuestos a los números naturales
Los números opuestos a los números naturales son enteros negativos.
Hagamos una tabla de números opuestos para los primeros cinco números naturales:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| -1 | -2 | -3 | -4 | -5 |
Suma de números opuestos
La suma de los números opuestos es cero. Después de todo, los números opuestos difieren solo en el signo.
En este artículo estudiaremos números opuestos. Aquí responderemos la pregunta de qué números se llaman opuestos, mostraremos cómo se denota el número opuesto a un número dado y daremos ejemplos. También enumeraremos los principales resultados que son característicos de los números opuestos.
Navegación de página.
Definición de números opuestos
Hacernos una idea sobre los números opuestos nos ayudará.
Marcamos en la línea de coordenadas algún punto M, diferente del origen. Podemos llegar al punto M posponiendo sucesivamente desde el origen en la dirección del punto M un solo segmento, así como sus partes décima, centésima y así sucesivamente. Si reservamos el mismo número de segmentos unitarios y sus acciones en la dirección opuesta, llegaremos a otro punto, lo indicaremos con la letra N. Demos un ejemplo que ilustre nuestras acciones (ver la figura a continuación). Para llegar al punto M en la línea de coordenadas, apartamos en la dirección negativa dos segmentos unitarios y 4 segmentos que forman una décima parte de la unidad. Ahora separemos dos segmentos individuales y 4 segmentos que forman una décima parte de un segmento individual en la dirección positiva. Entonces obtenemos el punto N.
Estamos casi listos para aceptar la definición de números opuestos, solo queda discutir un par de matices.
Sabemos que cada punto de la recta coordenada corresponde a un solo número real, por lo tanto, tanto el punto M como el punto N corresponden a algunos números reales. Entonces los números correspondientes a los puntos M y N se llaman opuestos.
Por separado, hay que decir sobre el punto O - el origen. El punto O corresponde al número 0. El número cero se considera el opuesto de sí mismo.
Ahora podemos expresar definicion de numeros opuestos.
Definición.
Dos números se llaman opuestos si los puntos correspondientes a estos números en la línea de coordenadas se pueden alcanzar poniendo el mismo número de segmentos unitarios desde el origen en direcciones opuestas, así como fracciones de un segmento unitario, el número 0 es opuesto a sí mismo. .
Notación de números opuestos y ejemplos
es hora de entrar notación para números opuestos.
Para indicar el número opuesto a un número dado, use el signo menos, que se escribe delante del número dado. Es decir, el opuesto de a se escribe como −a. Por ejemplo, el número 0,24 es opuesto al número −0,24 y el número −25 es el número opuesto −(−25) .
vamos a traer ejemplos de numeros opuestos. El par de números 17 y −17 (o −17 y 17) es un ejemplo de enteros opuestos. Los números y son los números racionales opuestos. Otros ejemplos de números racionales opuestos son los pares de números 5.126 y −5.126. así como 0,(1201) y −0,(1201) . Queda por dar algunos ejemplos de lo contrario.
Consideremos tal ejemplo. Es necesario calcular secuencialmente: .
Puede reorganizar los números que desea sumar y luego restar los restantes: .
Pero esto no siempre es conveniente. Por ejemplo, podemos calcular el saldo de cosas en algún almacén y necesitamos saber el resultado intermedio.
Puede realizar acciones seguidas: .
Lo sabemos, lo que significa que el resultado será una resta del número. Esto significa que es necesario restar, pero aún no de nada. Cuando hay algo de lo que restar, resta:
Pero podemos "engañar" y designar. Por lo tanto, presentaremos un nuevo objeto: números negativos.
Ya hemos realizado una operación de este tipo: en la naturaleza, por ejemplo, el número "" tampoco existía, pero introdujimos dicho objeto para facilitar el registro de acciones.
Imagina que nos mandan a dar y recibir balones en un almacén deportivo. Necesitamos mantener registros. Puedes escribir con palabras:
Emitido , Aceptado , Emitido , Aceptado , ... (Ver Fig. 1.)
Arroz. 1. Contabilidad
De acuerdo, si necesita emitir y recibir muchas veces al día, entonces la grabación no es muy conveniente.
Puede dividir la hoja en dos columnas, una - Aceptado, el otro - Emitido. (Consulte la Figura 2).
Arroz. 2. Notación simplificada
La entrada se hizo más corta. Pero aquí está el problema: ¿cómo saber cuántas pelotas se tomaron (o regalaron) en un momento determinado?
Podemos usar la siguiente consideración para escribir: cuando sacamos bolas del almacén, su número en el almacén disminuye, y cuando recibimos, aumenta.
Pero, ¿cómo escribir "repartió la pelota"? Puede ingresar un objeto de este tipo: .
Este objeto nos permite registrar matemáticamente el movimiento de las bolas en el orden en que sucedieron: 
Consideremos un ejemplo más.
En la cuenta de los rublos de su teléfono. Te conectaste a Internet y te costó rublos. Resultó una deuda de rublos. El operador podría escribir así: "el cliente debe rublos". Has puesto rublos. El operador descontó la deuda. Resultó en la cuenta de rublos.
Pero es conveniente registrar tanto las transacciones como el dinero en la cuenta utilizando los signos "" y "". (Consulte la Figura 3.)
Arroz. 3. Grabación conveniente
Introducimos un número negativo para anotar el resultado de restar un número mayor a uno menor: .
Sumar un número negativo es lo mismo que restar: .
Para distinguir los números negativos de los números positivos que tratamos anteriormente, acordamos poner un signo menos delante: .
¿Podrías prescindir de ellos? Sí tu puedes. En cada situación específica usaríamos las palabras "atrás", "endeudado", etc. Pero ellos, estas palabras, serían diferentes.
Y así tenemos una herramienta conveniente universal. Uno para todos estos casos.
Podemos hacer una analogía con un coche. Consiste en un número grande partes, muchas de las cuales no se necesitan individualmente, pero juntas te permiten montar. También lo son los números negativos, una herramienta que, junto con otras herramientas matemáticas, facilita el cálculo y simplifica la solución y el registro de muchos problemas.
Entonces, hemos introducido un nuevo objeto: números negativos. ¿Para qué sirven en la vida?
Primero, recordemos los roles de los números positivos:
Cantidad: por ejemplo, madera, litros de leche. (Consulte la Figura 4.)
Arroz. 4. Cantidad
Ordenación: Por ejemplo, las casas se numeran con números positivos. (Consulte la Figura 5.)
Arroz. 5. Ordenar
Nombre: por ejemplo, número de jugador. (Consulte la Figura 6.)
Arroz. 6. Número como nombre
Ahora veamos las funciones de los números negativos:
Designación de la cantidad faltante. El número no es negativo. Pero se usa un número negativo para mostrar que se resta la cantidad. Por ejemplo, podemos verter de una botella y escribirlo como . (Consulte la Figura 7.)
Arroz. 7. Designación de la cantidad faltante
ordenar. A veces, se selecciona cero durante la numeración y es necesario numerar objetos en ambos lados del cero. Por ejemplo, los pisos ubicados debajo del -ésimo, en el sótano. (Consulte la Figura 8.) O una temperatura que está por debajo del cero seleccionado. (Consulte la Figura 9.)
Arroz. 8. Piso bajo th, en el sótano
Arroz. nueve. Números negativos en la escala del termómetro
Pero aún así, el propósito principal de los números negativos es una herramienta para simplificar los cálculos matemáticos.
Pero para que los números negativos se vuelvan así herramienta útil, necesidad:
Una temperatura negativa es aquella que está bajo cero, temperatura bajo cero. Pero, ¿qué es la temperatura cero? Para medir, registrar la temperatura, debe seleccionar la unidad de medida y el punto de referencia. Ambos son un acuerdo. Usamos la escala Celsius que lleva el nombre del científico que la propuso. (Consulte la Figura 10.)
Arroz. 10. Andrés Celsius
Aquí, el punto de congelación del agua se elige como punto de referencia. Todo lo que está debajo está marcado valor negativo. (Consulte la Figura 11.)
Arroz. once.
Pero está claro que si tomamos otro punto de referencia, otro cero, entonces la temperatura negativa en Celsius puede ser positiva en esta otra escala. Y así sucede. En física, la escala Kelvin es ampliamente utilizada. Es similar a la escala Celsius, solo se elige como cero el valor de la temperatura más baja posible (no hay más baja). Este valor se llama "cero absoluto". En Celsius, esto es aproximadamente. (Consulte la Figura 12.)
Arroz. 12. Dos escalas
Es decir, no hay valores negativos en la escala Kelvin en absoluto.
Sí, nuestro verano 
.
y helado 
.
Es decir, una temperatura negativa es una convención, un acuerdo de la gente para llamarlo así.
Comencemos desde cero. El cero ocupa una posición especial entre los números.
Como ya hemos discutido, para nuestra conveniencia, podemos designar la resta de siete como un número negativo. Como significa resta, dejamos el signo "" como su signo. Llamemos a un nuevo número.
Es decir, "" es un número que suma cero: . Y en cualquier orden. Esta es la definición de un número negativo (u opuesto).
Por cada número que estudiamos antes, introducimos un nuevo número, negativo, cuyo signo es un signo menos delante de él. Es decir, por cada número anterior aparecía su gemelo negativo. Tales gemelos se llaman números opuestos. (Consulte la Figura 13.)
Arroz. 13. Números opuestos
Entonces, definición: dos números se llaman números opuestos, cuya suma es igual a cero.
Exteriormente, difieren solo en el signo "".
Si una variable está precedida por el signo "", por ejemplo, ¿qué significa esto? Esto no significa que este valor sea negativo. El signo menos significa que este valor es opuesto al número: . Cuál de estos números es positivo, cuál es negativo, no lo sabemos.
Si, entonces.
Si (número negativo), entonces (número positivo).
¿Cuál es el opuesto de cero? Ya sabemos esto.
Si se agrega cero a cualquier número, incluido el cero, el número original no cambiará. Es decir, la suma de dos ceros es igual a cero: . Pero los números cuya suma es cero son opuestos. Por lo tanto, cero es el opuesto de sí mismo.
Entonces, hemos dado la definición de números negativos, descubrimos por qué son necesarios.
Ahora dediquemos un tiempo a la tecnología. Por ahora, necesitamos aprender a encontrar su opuesto para cualquier número:
En la última parte de la lección, hablaremos sobre los nuevos nombres y designaciones de conjuntos que aparecen después de la introducción de números negativos.
