Consideremos tal ejemplo. Es necesario calcular secuencialmente: .
Puede reorganizar los números que desea sumar y luego restar los restantes: .
Pero esto no siempre es conveniente. Por ejemplo, podemos calcular el saldo de cosas en algún almacén y necesitamos saber el resultado intermedio.
Puede realizar acciones seguidas: .
Lo sabemos, lo que significa que el resultado será una resta del número. Esto significa que es necesario restar, pero aún no de nada. Cuando hay algo de lo que restar, resta:
Pero podemos "engañar" y designar. Por lo tanto, presentaremos un nuevo objeto: números negativos.
Ya hemos realizado una operación de este tipo: en la naturaleza, por ejemplo, el número "" tampoco existía, pero introdujimos dicho objeto para facilitar el registro de acciones.
Imagina que nos mandan a dar y recibir balones en un almacén deportivo. Necesitamos mantener registros. Puedes escribir con palabras:
Emitido , Aceptado , Emitido , Aceptado , ... (Ver Fig. 1.)
Arroz. 1. Contabilidad
De acuerdo, si necesita emitir y recibir muchas veces al día, entonces la grabación no es muy conveniente.
Puede dividir la hoja en dos columnas, una - Aceptado, el otro - Emitido. (Consulte la Figura 2).
Arroz. 2. Notación simplificada
La entrada se hizo más corta. Pero aquí está el problema: ¿cómo saber cuántas pelotas se tomaron (o regalaron) en un momento determinado?
Podemos usar la siguiente consideración para escribir: cuando sacamos bolas del almacén, su número en el almacén disminuye, y cuando recibimos, aumenta.
Pero, ¿cómo escribir "repartió la pelota"? Puede ingresar un objeto de este tipo: .
Este objeto nos permite registrar matemáticamente el movimiento de las bolas en el orden en que sucedieron: 
Consideremos un ejemplo más.
En la cuenta de los rublos de su teléfono. Te conectaste a Internet y te costó rublos. Resultó una deuda de rublos. El operador podría escribir así: "el cliente debe rublos". Has puesto rublos. El operador descontó la deuda. Resultó en la cuenta de rublos.
Pero es conveniente registrar tanto las transacciones como el dinero en la cuenta utilizando los signos "" y "". (Consulte la Figura 3.)
Arroz. 3. Grabación conveniente
Introducimos un número negativo para anotar el resultado de restar un número mayor a uno menor: .
Sumar un número negativo es lo mismo que restar: .
Para distinguir los números negativos de los números positivos que tratamos anteriormente, acordamos poner un signo menos delante: .
¿Podrías prescindir de ellos? Sí tu puedes. En cada situación específica usaríamos las palabras "atrás", "endeudado", etc. Pero ellos, estas palabras, serían diferentes.
Y así tenemos una herramienta conveniente universal. Uno para todos estos casos.
Podemos hacer una analogía con un coche. Consiste en un número grande partes, muchas de las cuales no se necesitan individualmente, pero juntas te permiten montar. También lo son los números negativos, una herramienta que, junto con otras herramientas matemáticas, facilita el cálculo y simplifica la solución y el registro de muchos problemas.
Entonces, hemos introducido un nuevo objeto: números negativos. ¿Para qué sirven en la vida?
Primero, recordemos los roles de los números positivos:
Cantidad: por ejemplo, madera, litros de leche. (Consulte la Figura 4.)
Arroz. 4. Cantidad
Ordenación: Por ejemplo, las casas se numeran con números positivos. (Consulte la Figura 5.)
Arroz. 5. Ordenar
Nombre: por ejemplo, número de jugador. (Consulte la Figura 6.)
Arroz. 6. Número como nombre
Ahora veamos las funciones de los números negativos:
Designación de la cantidad faltante. El número no es negativo. Pero se usa un número negativo para mostrar que se está restando la cantidad. Por ejemplo, podemos verter de una botella y escribirlo como . (Consulte la Figura 7.)
Arroz. 7. Designación de la cantidad faltante
ordenar. A veces, se selecciona cero durante la numeración y es necesario numerar objetos en ambos lados del cero. Por ejemplo, los pisos ubicados debajo del -ésimo, en el sótano. (Consulte la Figura 8.) O una temperatura que está por debajo del cero seleccionado. (Consulte la Figura 9.)
Arroz. 8. Piso bajo th, en el sótano
Arroz. nueve. Números negativos en la escala del termómetro
Pero aún así, el propósito principal de los números negativos es una herramienta para simplificar los cálculos matemáticos.
Pero para que los números negativos se vuelvan así herramienta útil, necesidad:
Una temperatura negativa es aquella que está bajo cero, temperatura bajo cero. Pero, ¿qué es la temperatura cero? Para medir, registrar la temperatura, debe seleccionar la unidad de medida y el punto de referencia. Ambos son un acuerdo. Usamos la escala Celsius que lleva el nombre del científico que la propuso. (Consulte la Figura 10.)
Arroz. 10. Andrés Celsius
Aquí, el punto de congelación del agua se elige como punto de referencia. Todo lo que está debajo está marcado valor negativo. (Consulte la Figura 11.)
Arroz. once.
Pero está claro que si tomamos otro punto de referencia, otro cero, entonces la temperatura negativa en Celsius puede ser positiva en esta otra escala. Y así sucede. En física, la escala Kelvin es ampliamente utilizada. Es similar a la escala Celsius, solo se elige como cero el valor de la temperatura más baja posible (no hay más baja). Este valor se llama "cero absoluto". En Celsius, esto es aproximadamente. (Consulte la Figura 12.)
Arroz. 12. Dos escalas
Es decir, no hay valores negativos en la escala Kelvin en absoluto.
Sí, nuestro verano 
.
y helado 
.
Es decir, una temperatura negativa es una convención, un acuerdo de la gente para llamarlo así.
Comencemos desde cero. El cero ocupa una posición especial entre los números.
Como ya hemos discutido, para nuestra conveniencia, podemos designar la resta de siete como un número negativo. Como significa resta, dejamos el signo "" como su signo. Llamemos a un nuevo número.
Es decir, "" es un número que suma cero: . Y en cualquier orden. Esta es la definición de un número negativo (u opuesto).
Por cada número que estudiamos antes, introducimos un nuevo número, negativo, cuyo signo es un signo menos delante de él. Es decir, por cada número anterior aparecía su gemelo negativo. Tales gemelos se llaman números opuestos. (Consulte la Figura 13.)
Arroz. trece. Números opuestos
Entonces, definición: dos números se llaman números opuestos, cuya suma es igual a cero.
Exteriormente, difieren solo en el signo "".
Si una variable está precedida por el signo "", por ejemplo, ¿qué significa esto? Esto no significa que este valor sea negativo. El signo menos significa que este valor es opuesto al número: . Cuál de estos números es positivo, cuál es negativo, no lo sabemos.
Si, entonces.
Si (número negativo), entonces (número positivo).
¿Cuál es el opuesto de cero? Ya sabemos esto.
Si se agrega cero a cualquier número, incluido el cero, el número original no cambiará. Es decir, la suma de dos ceros es igual a cero: . Pero los números cuya suma es cero son opuestos. Por lo tanto, cero es el opuesto de sí mismo.
Entonces, hemos dado la definición de números negativos, descubrimos por qué son necesarios.
Ahora dediquemos un tiempo a la tecnología. Por ahora, necesitamos aprender a encontrar su opuesto para cualquier número:
En la última parte de la lección, hablaremos sobre los nuevos nombres y designaciones de conjuntos que aparecen después de la introducción de números negativos.
5 y -5 (Fig. 61) se eliminan por igual del punto O y se ubican a lo largo lados diferentes de ella. Para llegar del punto O a estos puntos, se deben recorrer las mismas distancias, pero en direcciones opuestas. Los números 5 y -5 se llaman números opuestos: 5 es el opuesto de 5 y -5 es el opuesto de 5.
Dos números que difieren entre sí solo en signos se llaman números opuestos.
Por ejemplo, los números opuestos serán 8 y -8, ya que el número 8 \u003d + 8, lo que significa números 8 y - 8 difieren solo en signos. Los números opuestos también serán
Para cada número, solo hay un número opuesto.
El número 0 es el opuesto de sí mismo.
El número opuesto de o es -a. Si a \u003d -7.8, entonces -a \u003d 7.8; si a = 8,3, entonces - a = -8,3; si a \u003d 0, entonces -a \u003d 0. La entrada "- (-15)" significa el número opuesto al número -15. Dado que el número opuesto al número -15 es 15, entonces - (- 15) = 15. En general, - (- a) \u003d a.
Los números naturales, sus opuestos y el cero se llaman números enteros.
? ¿Cuáles son los números opuestos?
El número b es opuesto al número a. ¿Qué número es el opuesto de b?
¿Cuál es el opuesto de cero?
¿Hay un número que tiene dos números opuestos?
¿Qué números se llaman enteros?
Para 910. Encuentra los números opuestos:
911. Reemplace con tal número para obtener la igualdad correcta:
912. Encuentra el valor de la expresión:
913. Encuentra las coordenadas de los puntos A, B y C (Fig. 62).
914. ¿Qué número es -x si x:
un negativo; b) cero; c) positivo?
915. Completa los espacios vacíos en la tabla y marca en la coordenada derecho puntos que tienen como coordenadas los números de la tabla resultante.
916. Resuelve la ecuación:
a) - x = 607; b) - a = 30,4; c) - y= -3
917. ¿Qué números enteros se encuentran en la línea de coordenadas entre los números:
PAG 918. Calcular oralmente:
919. Entre qué números enteros en la línea de coordenadas está el número: 2.6; -treinta; -6; -ocho
920. Encuentra los números que están a una distancia en la línea de coordenadas: a) 6 unidades del número -9; b) 10 unidades del número 4; c) 10 unidades del número -4; d) 100 unidades del número 0.
921. Dibuja una línea de coordenadas, tomando como unidad segmento de línea la longitud de 4 celdas del cuaderno, y marque en esta línea recta los puntos, F (2.25).
PERO 922. Marque en la "línea de tiempo" los siguientes eventos de la historia de las matemáticas:
a) El libro "Comienzos" fue escrito por Euclides en el siglo III a.C. antes de Cristo mi.
b) La teoría de los números se originó en Antigua Grecia en el siglo VI. antes de Cristo mi.
en) decimales Apareció en China en el siglo III.
d) La teoría de las relaciones y proporciones se desarrolló en la antigua Grecia en el siglo IV. antes de Cristo mi.
e) El sistema de numeración decimal posicional se difundió en los países de Oriente en el siglo IX. ¿Hace cuántos siglos ocurrieron estos hechos? Compara la "línea de tiempo" y la línea de coordenadas.
923. Especificar pares de números mutuamente recíprocos:
924. Víctor compró 2,4 kg de zanahorias. cuantas zanahorias comprado Kolya, si se sabe que compró:
a) 0,7 kg más que Vitya; f) lo que compró Vitya;
b) 0,9 kg menos que Vitya; g) 0,5 de lo que compró Vitya;
c) 3 veces más que Viti; h) 20% de lo que compró Vitya;
d) 1,2 veces menos que Viti; i) 120% de lo que compró Vitya;
e) lo que compró Vitya; j) ¿20% más de lo que compró Vitya?
925. Resuelve el problema:
1) Se suponía que la fábrica de ladrillos produciría 270 mil ladrillos para la construcción del Palacio de la Cultura. Primero
semana completó las tareas, en la segunda semana produjo un 10% más que en la primera semana. ¿Cuántos miles de ladrillos le quedan por producir a la fábrica?
2) La granja colectiva vendió 434 toneladas de grano al estado en tres días. El primer día vendió esta cantidad, el segundo día vendió un 10% menos que el primer día y el tercer día vendió el resto del grano. ¿Cuántas toneladas de grano vendió la granja colectiva el tercer día?
926. Los pagarés difieren en su duración. El signo denota una nota completa, una nota la mitad de larga: la mitad, la decimosexta.
Comprueba la igualdad de duraciones:
D 927. ¿Qué números son opuestos a los números:
928. Anota todo enteros, menos de 5, y números opuestos a ellos.
929. Encuentra el valor:
930. En el segundo día, se emitió 2 veces más alambre del almacén que en el primer día, y en el tercer día 3 veces más que en el primero. ¿Cuántos kilogramos de alambre se repartieron durante estos tres días, si el primer día se repartieron 30 kg menos que el tercero?
931. En una granja colectiva, en tierras de regadío, se cosecharon 60,8 céntimos de trigo por hectárea. Reemplazar una variedad de trigo antigua por una nueva da un aumento del rendimiento del 25%. ¿Cuánto trigo cosecha ahora la granja colectiva de 23 hectáreas de campo de regadío?
932. Haz una ecuación para cada esquema y resuélvela:
933. Encuentra el valor de la expresión:
N.Ya.Vilenkin, A.S. Chesnokov, S. I. Schwarzburd, VI Zhokhov, Matemáticas para el grado 6, Libro de texto para escuela secundaria
Un concepto interesante del currículo escolar son los números opuestos, que se pueden considerar tanto matemática como geométricamente. Comprender este tema simplifica el estudio de las matemáticas, le permite hacer frente rápidamente a algunas tareas; por lo tanto, consideraremos qué números se llaman opuestos y qué reglas funcionan para ellos.
¿Cuál es la esencia del término?
Para comprender el significado de los números opuestos, volvamos a la geometría por un momento. Dibujemos una línea de coordenadas y marquemos el punto cero en ella, y luego coloquemos dos marcas más en la línea, por ejemplo, "2" en el lado derecho y "-2" en el lado izquierdo del cero. Por supuesto, desde ambos puntos la distancia al origen será exactamente la misma, y esto se verifica fácilmente mediante mediciones. "2" y "-2" están separados de cero por la misma distancia, pero en direcciones diferentes- respectivamente, son completamente opuestos entre sí.
Este es el punto. Los números pueden ser arbitrariamente grandes o pequeños, enteros o fraccionarios. Sin embargo, cada uno de ellos tiene un cierto número que conforma su todo lo contrario. La definición se puede dar de la siguiente manera: si en una línea de coordenadas desde dos puntos establecidos en ambos lados de cero, se puede posponer hasta el origen igual distancia- estos puntos, o más bien, los números correspondientes a ellos, serán opuestos.
¿Qué reglas se pueden deducir de la definición?
Vale la pena recordar algunas declaraciones incondicionales sobre el tema en consideración:
- El principio de los opuestos para dos números funciona en ambos sentidos. Por ejemplo, el número 3 es opuesto al número -3 y, por lo tanto, el número -3 es opuesto solo al número 3 y no a ningún otro.
- Un número no puede tener dos opuestos, siempre hay uno solo.
- Uno frente al otro puede haber números con diferentes signos. Si el número es positivo, su número opuesto tendrá un signo menos, por ejemplo, 5 y -5. Lo mismo funciona en la dirección opuesta: para un número con un signo menos, el opuesto siempre será el que tiene un signo más, por ejemplo, -6 y 6.
- Dos números opuestos tienen el mismo valor absoluto o módulo. En otras palabras, si para el número 4
En este artículo, intentaremos descubrir qué son los números opuestos. Explicaremos qué son en general, mostraremos qué tipo de designaciones se utilizan para ellos y analizaremos algunos ejemplos. En la última parte del material, enumeramos las principales propiedades de los números opuestos.
Para explicar el concepto mismo de los opuestos, primero necesitamos dibujar una línea de coordenadas. Tomemos un punto M en él (solo que no al comienzo de la referencia). Su distancia al cero será igual a un cierto número de segmentos unitarios, que a su vez pueden dividirse en décimas y centésimas. Si medimos la misma distancia desde el origen en la dirección opuesta a la que se encuentra M, entonces podemos llegar a otro punto similar. Llamémoslo N. Por ejemplo, de M a cero, la distancia es de 2, 4 segmentos unitarios, y de N a cero, también. Echa un vistazo a la imagen:
Recuerda que cada punto en la línea de coordenadas se puede asociar con un solo número real. En este caso, nuestros puntos M y N corresponden a ciertos números, que se llaman opuestos. Cada número tiene un número opuesto, excepto el cero. Dado que este es el origen, se considera lo contrario de sí mismo.
Escribamos la definición de lo que son los números opuestos:
Definición 1
Opuesto se llaman los números, que corresponden a tales puntos en la línea de coordenadas a los que llegaremos si marcamos la misma distancia desde el origen en diferentes direcciones (positiva y negativa). El cero está en el origen y es opuesto a sí mismo.
¿Cómo se indican los números opuestos?
En esta subsección presentamos la notación básica para tales números. Si tenemos un cierto número y necesitamos escribir su opuesto, entonces para esto usamos un signo menos.
Ejemplo 1
Digamos que nuestro número es a, por lo tanto, su opuesto es a (menos a). De la misma forma, para 0,26 el contrario es -0,26, y para 145 será -145. Si el número original es en sí mismo negativo, por ejemplo, - 9, entonces escribimos el opuesto como - (- 9) .
¿Qué otros ejemplos de números opuestos puedes dar? Tomemos números enteros: 12 y - 12. Opuesto numeros racionales- estos son 3 2 11 y - 3 2 11, así como 8, 128 y - 8, 128, 0, (18901) y - 0, (18901), etc. Los números irracionales también pueden ser opuestos, por ejemplo, el valores de las expresiones numéricas 2+1 y -2+1.
Opuesto Numeros irracionales también serán e y -e.
Propiedades básicas de los números opuestos
Tales números tienen ciertas propiedades. A continuación damos una lista de ellos con explicaciones.
Definición 2
1. Si el número original es positivo, entonces su opuesto será negativo.
Esta afirmación es obvia y se deriva del gráfico anterior: tales números están en lados opuestos de la referencia en la línea de coordenadas. Si ha olvidado los conceptos de números positivos y negativos, consulte el material que publicamos anteriormente.
De esta regla se puede deducir otra afirmación muy importante. En forma literal, su notación es la siguiente: para cualquier a positivo, será verdadero − (− a) = a . Usemos un ejemplo para mostrar por qué esto es importante.
Tomemos el número 5. Con la ayuda de la línea de coordenadas, puede ver que el número es opuesto: 5, y viceversa. Usando la notación que indicamos anteriormente, escribimos el número opuesto - 5 como - (- 5). Resulta que - (- 5) \u003d 5. De ahí la conclusión: los números opuestos difieren entre sí solo por la presencia de un signo menos.
2. La siguiente propiedad suele llamarse propiedad de simetría. También se puede derivar de la definición misma de números opuestos. Suena así:
Definición 3
Si algún número a es el opuesto de b, entonces b es el opuesto de a.
Obviamente, esta afirmación no necesita prueba adicional.
3. La tercera propiedad de los números opuestos dice:
Definición 4
Todo número real tiene sólo un número opuesto.
Esta afirmación se deriva del hecho de que los puntos de la línea de coordenadas no pueden corresponder a muchos números a la vez.
Definición 5
4. Los módulos de números opuestos son iguales.
Esto se deduce de la definición del módulo. Es lógico que los puntos de la línea correspondientes a cualquier número opuesto estén a la misma distancia del punto de referencia.
Definición 6
5. Si sumamos números opuestos, obtenemos 0.
En forma literal, esta declaración parece a + (− a) = 0 .
Ejemplo 2
Aquí hay ejemplos de tales cálculos:
890 + (- 890) = 0 - 45 + 45 = 0 7 + (- 7) = 0
Como puede ver, esta regla funciona para todos los números: enteros, racionales, irracionales, etc.
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Asunto
tipo de lección
- estudio y asimilación primaria de material nuevo
Objetivos de la lección
Conoce las definiciones de números opuestos positivos y negativos
Encuentra números opuestos al resolver ejercicios, al resolver ecuaciones
Desarrollo - para desarrollar la atención de los estudiantes, la perseverancia, la perseverancia, pensamiento lógico, discurso matemático.
Educativo: a través de la lección para cultivar una actitud atenta hacia los demás, para inculcar la capacidad de escuchar a los camaradas, la asistencia mutua, la independencia.
Objetivos de la lección
Aprende qué son los números opuestos
Aprende a usar este concepto al resolver problemas.
Comprobar la capacidad de los alumnos para resolver problemas.
Plan de estudios
1. Introducción.
2. Parte teórica
3. Parte práctica.
4. Tarea.
Introducción
Mira las imágenes y describe en una palabra cuál es la diferencia entre ellas.
Las imágenes muestran opuestos.
son dos números que son iguales en valor absoluto pero tienen diferentes signos, p.ej. 5 y -5.
parte teórica
Primero, recordemos qué es números negativos. Mirar video:
Los puntos con coordenadas 5 y -5 están a la misma distancia del punto O y están en lados opuestos de este. Para llegar del punto O a estos puntos, se deben recorrer las mismas distancias, pero en direcciones opuestas. Los números 5 y -5 se llaman números opuestos: 5 es el opuesto de -5 y -5 es el opuesto de 5.
Dos números que difieren entre sí solo en signos se llaman números opuestos.
Por ejemplo, 35 y -35 serán números opuestos, ya que el número 35 \u003d +35, lo que significa que los números 35 y -35 difieren solo en los signos. Los números opuestos también serán 0,8 y -0,8, ¾ y -¾.
Propiedades de los números opuestos
uno). Para cada número, solo hay un número opuesto.
2). El número 0 es el opuesto de sí mismo.
3). El opuesto de a se llama -a. Si a = -7,8, entonces -a = 7,8; si a = 8,3, entonces -a = -8,3; si a = 0, entonces -a = 0.
4). La entrada "-(-15)" significa lo contrario de -15. Como el opuesto de -15 es 15, entonces -(-15) = 15. En general -(-a) = a.
Los números naturales, sus opuestos y el cero se llaman números enteros.
numero opuesto n" en relación con el número n es el número que, cuando se suma a n, da cero.
norte + norte" = 0
Esta igualdad se puede reescribir de la siguiente manera:
norte + norte" - norte = 0 - norte o norte" = − norte
Por lo tanto, números opuestos Tienen los mismos módulos pero signos opuestos.
De acuerdo con esto, el número opuesto al número n se denota − n. Cuando un número es positivo, su opuesto será negativo y viceversa.
1. Da ejemplos de números opuestos.
2. Dibújalos en la línea de coordenadas.
3. ¿Cuál es el opuesto de -3.6; 7; 0; 8/9; -1/2
parte práctica
Ejemplo
1) Marque los puntos A(2), B(-2), C(+4), D(-3), E(-5.2), F(5.2), G(-6) en la línea de coordenadas, H( 7). 2) Entre estos puntos, encuentre e indique aquellos que sean simétricos con respecto al punto O (0). ¿Qué se puede decir acerca de las coordenadas de los puntos simétricos?
Puntos simétricos respecto al punto O(0): A(2) y B(-2), E(-5.2) y F(5.2)
Coordenadas de puntos simétricos Son números que difieren sólo en el signo. Tales números se llaman opuesto.
Marca en la línea de coordenadas los puntos A (-3), B (+6), C (+4,2), D (+3), E (-4,2), F (-6) ¿Qué se puede decir de estos números?
De los números 15; 2,5; - 2,5; - Dieciocho; 0; 45; - 45 elegir: a) números naturales; b) números enteros; c) números negativos; GRAMO) números positivos; e) números opuestos.
1) Escriba el número opuesto al número a.
2) Indique el número opuesto al número a, si:
a=5, a=-3, a=0, a=-2/5;
A \u003d 6, -a \u003d - 2, -a \u003d 3.4.
1) Recuerde lo que significa la entrada: - (- a).
2) Reemplace * con tal número para obtener la igualdad correcta: a) - (- 5) = *; b) 3 = - *.
Tarea
uno). Completar la tabla:
2). Encuentre: a) -m,
si m = -8,
si m = -16
si -k = 27
si -k = -35
si c = 41
si c = -3.6
3). ¿Cuántos pares de números opuestos se encuentran entre los números -7.2 y 3.6? Marca en la línea de coordenadas.
4). Descubra el nombre de un destacado científico francés:
¿Sabes dónde en La vida cotidiana¿Encontramos números positivos y negativos?
Lista de fuentes utilizadas
1. Enciclopedia matemática (en 5 tomos). - M.: Enciclopedia soviética, 2002. - T. 1.
2. “La última guía escolar” “CASA siglo XXI” 2008
3. Resumen de la lección sobre el tema "Números opuestos" Autor: Petrova V.P., profesora de matemáticas (grados 5-9), Kiev
4. NY Vilenkin, A.S. Chesnokov, S. I. Schwarzburd, VI Zhokhov, Matemáticas para el grado 6, Libro de texto para la escuela secundaria
