En este artículo hablaremos de suma números negativos . Primero, damos una regla para sumar números negativos y la demostramos. Después de eso, analizaremos ejemplos característicos adición de números negativos.
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Regla de la suma negativa
Antes de dar la formulación de la regla para sumar números negativos, pasemos al material del artículo números positivos y negativos. Allí mencionamos que los números negativos pueden percibirse como deuda, y en este caso determina el monto de esta deuda. Por tanto, la suma de dos números negativos es la suma de dos deudas.
Esta conclusión permite comprender regla de suma negativa. Para sumar dos números negativos, necesitas:
- apilar sus módulos;
- ponga un signo menos delante de la cantidad recibida.
Escribamos la regla para sumar números negativos −a y −b en forma literal: (−a)+(−b)=−(a+b).
Está claro que la regla expresada reduce la suma de números negativos a la suma de números positivos (el módulo de un número negativo es un número positivo). También está claro que el resultado de sumar dos números negativos es un número negativo, como lo demuestra el signo menos que se coloca delante de la suma de los módulos.
La regla para sumar números negativos se puede demostrar con base en propiedades de las acciones con números reales(o las mismas propiedades de las operaciones con números racionales o enteros). Para hacer esto, basta mostrar que la diferencia entre las partes izquierda y derecha de la igualdad (−a)+(−b)=−(a+b) es igual a cero.
Dado que restar un número es lo mismo que sumar el número opuesto (ver la regla para restar números enteros), entonces (−a)+(−b)−(−(a+b))=(−a)+(−b)+(a+b). En virtud de las propiedades conmutativa y asociativa de la suma, tenemos (−a)+(−b)+(a+b)=(−a+a)+(−b+b). Dado que la suma de los números opuestos es igual a cero, entonces (−a+a)+(−b+b)=0+0 y 0+0=0 debido a la propiedad de sumar un número a cero. Esto prueba la igualdad (−a)+(−b)=−(a+b) , y por lo tanto la regla para sumar números negativos.
Solo queda aprender cómo aplicar la regla de sumar números negativos en la práctica, lo que haremos en el siguiente párrafo.
Ejemplos de sumar números negativos
analicemos ejemplos de suma de numeros negativos. Comencemos con el caso más simple: la suma de números enteros negativos, la suma se llevará a cabo de acuerdo con la regla discutida en el párrafo anterior.
Ejemplo.
Suma los números negativos -304 y -18007.
Decisión.
Sigamos todos los pasos de la regla de la suma de números negativos.
Primero, encontramos los módulos de los números sumados: y 
. Ahora necesita agregar los números resultantes, aquí es conveniente realizar la suma de columnas: 
Ahora ponemos un signo menos delante del número resultante, como resultado tenemos −18 311 .
Escribimos toda la solución en forma corta: (−304)+(−18 007)= −(304+18 007)=−18 311 .
Responder:
−18 311 .
Adición de negativo numeros racionales dependiendo de los números mismos, puede reducirse a la suma de números naturales, o a la suma de fracciones ordinarias, o a la suma de fracciones decimales.
Ejemplo.
Suma un número negativo y un número negativo −4,(12) .
Decisión.
De acuerdo con la regla de sumar números negativos, primero debe calcular la suma de los módulos. Los módulos de los números negativos sumados son 2/5 y 4,(12) respectivamente. La suma de los números obtenidos se puede reducir a la suma fracciones ordinarias. Para ello, traducimos la fracción decimal periódica a una fracción ordinaria:. Entonces 2/5+4,(12)=2/5+136/33 . Ahora vamos a ejecutar
Números negativos son números con un signo menos (-), por ejemplo -1, -2, -3. Se lee como: menos uno, menos dos, menos tres.
Ejemplo de aplicación números negativos es un termómetro que muestra la temperatura del cuerpo, del aire, del suelo o del agua. EN horario de invierno cuando hace mucho frío afuera, la temperatura es negativa (o, como dice la gente, "menos").
Por ejemplo, -10 grados de frío:
Los números habituales que consideramos anteriormente, como 1, 2, 3, se llaman positivos. Los números positivos son números con un signo más (+).
Al escribir números positivos, el signo + no se escribe, por lo que vemos los números que nos son familiares 1, 2, 3. Pero debe tenerse en cuenta que estos números positivos se ven así: +1, + 2, +3.
Contenido de la lecciónEsta es una línea recta en la que se ubican todos los números: tanto negativos como positivos. Como sigue:
Aquí se muestran números del -5 al 5. De hecho, la línea de coordenadas es infinita. La figura muestra sólo un pequeño fragmento de la misma.
Los números en la línea de coordenadas están marcados como puntos. aceitoso en la foto punto negro es el punto de partida. La cuenta regresiva comienza desde cero. A la izquierda del punto de referencia se marcan los números negativos ya la derecha los positivos.
La línea de coordenadas continúa indefinidamente en ambos lados. El infinito en matemáticas se denota con el símbolo ∞. La dirección negativa se denotará con el símbolo −∞, y símbolo positivo+∞. Entonces podemos decir que todos los números desde menos infinito hasta más infinito están ubicados en la línea de coordenadas:
Cada punto en la línea de coordenadas tiene su propio nombre y coordenada. Nombre es cualquier letra latina. Coordinar es un número que indica la posición de un punto en esta línea. En pocas palabras, la coordenada es el mismo número que queremos marcar en la línea de coordenadas.
Por ejemplo, el punto A(2) se lee como "punto A con coordenada 2" y se denotará en la línea de coordenadas de la siguiente manera:
Aquí UN es el nombre del punto, 2 es la coordenada del punto UNA.
Ejemplo 2 El punto B(4) se lee como "punto B en la coordenada 4"
Aquí B es el nombre del punto, 4 es la coordenada del punto b.
Ejemplo 3 El punto M(−3) se lee como "punto M con coordenada menos tres" y se denotará en la línea de coordenadas de la siguiente manera:
Aquí METRO es el nombre del punto, −3 es la coordenada del punto M .
Los puntos se pueden indicar con cualquier letra. Pero generalmente se acepta designarlos con letras latinas mayúsculas. Además, el comienzo del informe, que también se llama origen generalmente denotado por una letra mayúscula O
Es fácil ver que los números negativos se encuentran a la izquierda del origen y los números positivos a la derecha.
Hay frases como "Cuanto más a la izquierda, menos" y "Cuanto más a la derecha, más". Probablemente ya hayas adivinado de lo que estamos hablando. Con cada paso a la izquierda, el número disminuirá hacia abajo. Y con cada paso a la derecha, el número aumentará. La flecha que apunta hacia la derecha indica la dirección positiva de conteo.
Comparar números negativos y positivos
Regla 1 Cualquier número negativo es menor que cualquier número positivo.
Por ejemplo, comparemos dos números: −5 y 3. Menos cinco menor que tres, a pesar de que el cinco llama la atención en primer lugar, como un número mayor que tres.
Esto se debe a que −5 es negativo y 3 es positivo. En la línea de coordenadas, puedes ver dónde se encuentran los números −5 y 3
Se puede ver que −5 está a la izquierda y 3 a la derecha. Y dijimos que "Cuanto más a la izquierda, menos" . Y la regla dice que cualquier número negativo es menor que cualquier número positivo. De ahí se sigue que
−5 < 3
"Menos cinco es menos que tres"
Regla 2 De los dos números negativos, el más pequeño es el que se encuentra a la izquierda de la línea de coordenadas.
Por ejemplo, comparemos los números -4 y -1. menos cuatro menor que menos uno.
Esto se debe nuevamente al hecho de que en la línea de coordenadas −4 se encuentra más a la izquierda que −1
Se puede ver que -4 está a la izquierda y -1 a la derecha. Y dijimos que "Cuanto más a la izquierda, menos" . Y la regla dice que de dos números negativos, el que está ubicado a la izquierda en la línea de coordenadas es menor. De ahí se sigue que
menos cuatro es menos que menos uno
regla 3 El cero es mayor que cualquier número negativo.
Por ejemplo, comparemos 0 y −3. Cero más que menos tres. Esto se debe al hecho de que en la línea de coordenadas 0 se encuentra a la derecha de −3
Se puede ver que 0 está a la derecha y −3 a la izquierda. Y dijimos que "Cuanto más a la derecha, más" . Y la regla dice que cero es mayor que cualquier número negativo. De ahí se sigue que
cero es mayor que menos tres
Regla 4 El cero es menor que cualquier número positivo.
Por ejemplo, compare 0 y 4. Cero menor de 4. En principio, esto es claro y cierto. Pero intentaremos verlo con nuestros propios ojos, de nuevo en la línea de coordenadas:
Se puede observar que en la línea de coordenadas el 0 se ubica a la izquierda, y el 4 a la derecha. Y dijimos que "Cuanto más a la izquierda, menos" . Y la regla dice que cero es menor que cualquier número positivo. De ahí se sigue que
cero es menos que cuatro
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Suma de números negativos.
La suma de números negativos es un número negativo. El módulo de la suma es igual a la suma de los módulos de los términos.
Veamos por qué la suma de números negativos también será un número negativo. La línea de coordenadas nos ayudará con esto, en la que realizaremos la suma de los números -3 y -5. Marquemos un punto en la línea de coordenadas correspondiente al número -3.
Al número -3 necesitamos sumar el número -5. ¿Hacia dónde vamos desde el punto correspondiente al número -3? ¡Así es, a la izquierda! Para 5 segmentos individuales. Marcamos el punto y escribimos el número que le corresponde. Este número es -8.
Entonces, al sumar números negativos usando una línea de coordenadas, siempre estamos a la izquierda del punto de referencia, por lo tanto, está claro que el resultado de sumar números negativos también es un número negativo.
Nota. Agregamos los números -3 y -5, es decir encontró el valor de la expresión -3+(-5). Por lo general, al sumar números racionales, simplemente escriben estos números con sus signos, como si estuvieran enumerando todos los números que deben agregarse. Tal notación se llama suma algebraica. Aplicar (en nuestro ejemplo) registro: -3-5=-8.
Ejemplo. Encuentra la suma de números negativos: -23-42-54. (Está de acuerdo en que esta entrada es más corta y conveniente así: -23+(-42)+(-54))?
Nosotros decidimos según la regla de la suma de números negativos: sumamos los módulos de los términos: 23+42+54=119. El resultado será con un signo menos.
Por lo general, lo escriben así: -23-42-54 \u003d -119.
Sumar números con diferentes signos.
La suma de dos números con diferente signo tiene el signo del sumando con un módulo grande. Para encontrar el módulo de la suma, necesitas restar el módulo más pequeño del módulo más grande.
Realicemos la suma de números con diferentes signos usando la línea de coordenadas.
1) -4+6. Se requiere sumar el número -4 al número 6. Marcamos el número -4 con un punto en la línea de coordenadas. El número 6 es positivo, lo que significa que desde el punto de coordenada -4 tenemos que ir a la derecha en 6 segmentos unitarios. Terminamos a la derecha del origen (desde cero) por 2 segmentos unitarios.
El resultado de la suma de los números -4 y 6 es numero positivo 2:
— 4+6=2. ¿Cómo podría obtener el número 2? Resta 4 de 6, es decir restar el más pequeño del más grande. El resultado tiene el mismo signo que el término con un módulo grande.
2) Calculemos: -7+3 usando la línea de coordenadas. Marcamos el punto correspondiente al número -7. Vamos a la derecha por 3 segmentos unitarios y obtenemos un punto con coordenada -4. Estábamos y permanecimos a la izquierda del origen: la respuesta es un número negativo.
— 7+3=-4. Podríamos obtener este resultado de la siguiente manera: restamos el más pequeño del módulo más grande, es decir 7-3=4. Como resultado, se fijó el signo del término con un módulo mayor: |-7|>|3|.
Ejemplos. Calcular: un) -4+5-9+2-6-3; b) -10-20+15-25.
Regla de la suma negativa
Si recuerda la lección de matemáticas y el tema "Suma y resta de números con diferentes signos", entonces para sumar dos números negativos necesita:
- realizar la adición de sus módulos;
- agregue el signo "-" a la cantidad recibida.
De acuerdo con la regla de la suma, podemos escribir:
$(−a)+(−b)=−(a+b)$.
La regla de la suma negativa se aplica a enteros negativos, números racionales y números reales.
Ejemplo 1
Suma los números negativos $−185$ y $−23 \ 789.$
Decisión.
Usemos la regla de sumar números negativos.
Encontremos los módulos de estos números:
$|-23 \ 789|=23 \ 789$.
Sumemos los números resultantes:
$185+23 \ 789=23 \ 974$.
Colocamos el signo $"–"$ delante del número encontrado y obtenemos $−23 \ 974$.
Solución breve: $(−185)+(−23 \ 789)=−(185+23 \ 789)=−23 \ 974$.
Responder: $−23 \ 974$.
Al sumar números racionales negativos, deben convertirse a la forma números naturales, ordinario o fracciones decimales.
Ejemplo 2
Suma los números negativos $-\frac(1)(4)$ y $−7.15$.
Decisión.
De acuerdo con la regla de sumar números negativos, primero debe encontrar la suma de los módulos:
$|-\frac(1)(4)|=\frac(1)(4)$;
Es conveniente reducir los valores obtenidos a fracciones decimales y realizar su suma:
$\frac(1)(4)=0.25$;
$0,25+7,15=7,40$.
Pongamos el signo $"-"$ delante del valor recibido y obtengamos $-7,4$.
Resumen de la solución:
$(-\frac(1)(4))+(−7,15)=−(\frac(1)(4)+7,15)=–(0,25+7,15)=−7, 4$.
Para sumar números positivos y negativos:
- calcular módulos de números;
- si son iguales, entonces los números originales son opuestos y su suma es igual a cero;
- si no son iguales, debe recordar el signo del número cuyo módulo es mayor;
restar el más pequeño del más grande;
- antes del valor recibido, ponga el signo del número cuyo módulo es mayor.
comparar los números recibidos:
Sumar números con signos opuestos se reduce a restar de un número positivo mayor un número negativo menor.
La regla de sumar números con signos opuestos se lleva a cabo para números enteros, racionales y reales.
Ejemplo 3
Suma los números $4$ y $−8$.
Decisión.
Necesitas sumar números con signos opuestos. Usemos la regla de suma apropiada.
Encontremos los módulos de estos números:
El módulo del número $−8$ es mayor que el módulo del número $4$, es decir recuerda el signo $"-"$.
Ponemos el signo $"–"$, que memorizamos, delante del número resultante, y obtenemos $−4.$
Resumen de la solución:
$4+(–8) = –(8–4) = –4$.
Responder: $4+(−8)=−4$.
Para sumar números racionales con signos opuestos, es conveniente representarlos como fracciones ordinarias o decimales.
Resta de números con signos diferentes y negativos
Regla para restar números negativos:
Para restar un número negativo $b$ del número $a$, es necesario sumar al minuendo $a$ el número $−b$, que es el opuesto del $b$ restado.
De acuerdo con la regla de la resta, podemos escribir:
$a−b=a+(−b)$.
Esta regla es válida para números enteros, racionales y reales. La regla se puede usar al restar un número negativo de un número positivo, de un número negativo y de cero.
Ejemplo 4
Resta del número negativo $−28$ el número negativo $−5$.
Decisión.
El número opuesto al número $–5$ es el número $5$.
De acuerdo con la regla para restar números negativos, obtenemos:
$(−28)−(−5)=(−28)+5$.
Sumemos números con signos opuestos:
$(−28)+5=−(28−5)=−23$.
Responder: $(−28)−(−5)=−23$.
Al restar números fraccionarios negativos, es necesario convertir los números a la forma de fracciones ordinarias, Numeros mezclados o decimales.
Suma y resta de números con diferente signo
La regla para restar números con signos opuestos es la misma que la regla para restar números negativos.
Ejemplo 5
Resta el número positivo $7$ del número negativo $−11$.
Decisión.
El número opuesto al número $7$ es el número $–7$.
De acuerdo con la regla para restar números con signos opuestos, obtenemos:
$(−11)−7=(–11)+(−7)$.
Sumemos números negativos:
$(−11)+(–7)=−(11+7)=−18$.
Solución breve: $(−28)−(−5)=(−28)+5=−(28−5)=−23$.
Responder: $(−11)−7=−18$.
Al restar números fraccionarios con diferentes signos, es necesario convertir los números a la forma de fracciones ordinarias o decimales.
Ahora vamos a tratar con multiplicación y división.
Supongamos que necesitamos multiplicar +3 por -4. ¿Cómo hacerlo?
Consideremos tal caso. Tres personas se endeudaron y cada una tiene una deuda de $4. ¿Cuál es la deuda total? Para encontrarlo, debe sumar las tres deudas: $4 + $4 + $4 = $12. Hemos decidido que la suma de tres números 4 se denota como 3 × 4. Dado que en este caso estamos hablando de deuda, hay un signo "-" delante de 4. Sabemos que la deuda total es de $12, así que ahora nuestro problema es 3x(-4)=-12.
Obtendremos el mismo resultado si, de acuerdo con la condición del problema, cada una de las cuatro personas tiene una deuda de 3 dólares. En otras palabras, (+4)x(-3)=-12. Y como el orden de los factores no importa, obtenemos (-4)x(+3)=-12 y (+4)x(-3)=-12.
Resumamos los resultados. Al multiplicar un número positivo y uno negativo, el resultado siempre será un número negativo. El valor numérico de la respuesta será el mismo que en el caso de los números positivos. Producto (+4)x(+3)=+12. La presencia del signo "-" solo afecta el signo, pero no afecta el valor numérico.
¿Cómo se multiplican dos números negativos?
Desafortunadamente, es muy difícil encontrar un ejemplo adecuado de la vida sobre este tema. Es fácil imaginar una deuda de $3 o $4, pero es completamente imposible imaginar que -4 o -3 personas se endeuden.
Tal vez iremos por el otro lado. En la multiplicación, cambiar el signo de uno de los factores cambia el signo del producto. Si cambiamos los signos de ambos factores, debemos cambiar los signos dos veces marca de producto, primero de positivo a negativo, y luego viceversa, de negativo a positivo, es decir, el producto tendrá su signo original.
Por tanto, es bastante lógico, aunque un poco extraño, que (-3)x(-4)=+12.
Posición de la señal cuando se multiplica cambia así:
- número positivo x número positivo = número positivo;
- número negativo x número positivo = número negativo;
- número positivo x número negativo = número negativo;
- número negativo x número negativo = número positivo.
En otras palabras, multiplicando dos numeros del mismo signo obtenemos un numero positivo. Multiplicando dos números con diferente signo, obtenemos un número negativo.
La misma regla es válida para la acción opuesta a la multiplicación - para.
Puede verificar esto fácilmente ejecutando operaciones de multiplicación inversa. Si en cada uno de los ejemplos anteriores multiplicas el cociente por el divisor, obtienes el dividendo y te aseguras de que tenga el mismo signo, como (-3)x(-4)=(+12).
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