Números negativos: ¿por qué los niños estudian algo que no existe? números positivos y negativos

Velmiakina Kristina y Nikolaeva Evgenia

Este trabajo de investigación tiene como objetivo estudiar el uso de los números positivos y negativos en la vida humana.

Descargar:

Avance:

MBOU "Gymnasium No. 1" del distrito municipal de Kovylkinsky

El uso de números positivos y negativos en la vida humana.

Investigar

Terminado:

estudiantes de sexto grado

Velmiakina Kristina y Nikolaeva Evgenia

Responsable: profesor de matemáticas e informática

Sokolova Natalia Sergeevna

Kovylkino 2015

Introducción 2

1. La historia de la aparición de números positivos y negativos 4.

2.Usando números positivos y negativos 6

Conclusión 13

Lista de literatura usada 14

Introducción

La introducción de números positivos y negativos se asoció con la necesidad de desarrollar las matemáticas como una ciencia que da formas comunes resolución de problemas aritméticos, independientemente del contenido específico y de los datos numéricos iniciales.

Al examinar lo positivo y lo números negativos en las lecciones de matemáticas, decidimos averiguar dónde más, además de las matemáticas, se usan estos números. Y resultó que los números positivos y negativos tienen bastante aplicación amplia.

Este investigar tiene como objetivo estudiar el uso de números positivos y negativos en la vida humana.

La relevancia de este tema radica en el estudio del uso de números positivos y negativos.

Objetivo: Estudiar el uso de números positivos y negativos en la vida humana.

Objeto de estudio:Áreas de aplicación de números positivos y negativos en la vida humana.

Tema de estudio:Números positivos y negativos.

Método de investigación:lectura y análisis de la literatura utilizada y observaciones.

Para lograr el objetivo del estudio, se establecieron las siguientes tareas:

1. Estudie la literatura sobre este tema.

2. Comprender la esencia de los números positivos y negativos en la vida humana.

3. Explorar la aplicación de números positivos y negativos en varios campos.

4. Sacar conclusiones.

1. La historia de los números positivos y negativos.

Los números positivos y negativos aparecieron por primera vez en China antigua hace ya unos 2100 años.

En el siglo II. antes de Cristo mi. El erudito chino Zhang Can escribió Aritmética en nueve capítulos. Del contenido del libro queda claro que este no es un trabajo completamente independiente, sino una revisión de otros libros escritos mucho antes de Zhang Can. En este libro, por primera vez en la ciencia, se encuentran cantidades negativas. Son entendidos por ellos de manera diferente a como los entendemos y aplicamos. No tiene una comprensión completa y clara de la naturaleza de las cantidades negativas y positivas y las reglas para trabajar con ellas. Entendió cada número negativo como una deuda y cada número positivo como una propiedad. Realizó operaciones con números negativos no de la misma manera que lo hacemos nosotros, sino usando un razonamiento sobre el deber. Por ejemplo, si agregamos otra deuda a una deuda, entonces el resultado es deuda, no propiedad (t, es decir, de acuerdo con nuestro (- a) + (- a) \u003d - 2a. El signo menos no se conocía entonces , por lo tanto, para distinguir los números que expresan deuda, Zhan Can los escribió con una tinta diferente a la de los números que expresan riqueza (positivo). Los números positivos en las matemáticas chinas se llamaban "chen" y se representaban en rojo, y los negativos se llamaban " fu" y representado en negro. Esta forma de representación se usó en China hasta mediados del siglo XII, cuando Li Ye propuso una notación más conveniente para los números negativos: los números que representaban números negativos se tacharon con un guión oblicuo desde la derecha. a la izquierda. Aunque los eruditos chinos explicaron las cantidades negativas como deuda y las positivas como propiedad, aun así evitaron en gran medida su uso, ya que estos números parecían incomprensibles, las acciones con ellos no estaban claras. Si el problema conducía a una solución negativa, entonces intentaban para reemplazar la condición (como los griegos), de modo que en ella oge la decisión fue positiva. En los siglos V-VI aparecen los números negativos y se distribuyen muy ampliamente en indio matemáticas. A diferencia de China, en India ya se conocían las reglas de multiplicación y división. En India, los números negativos se usaban sistemáticamente de la misma manera que lo hacemos ahora. Ya en la obra del destacado matemático y astrónomo indio Brahmagupta (598 - alrededor de 660) leemos: “propiedad y propiedad son propiedad, la suma de dos deudas es una deuda; la suma de propiedad y cero es propiedad; la suma de dos ceros es cero... La deuda, que se resta de cero, se convierte en propiedad, y la propiedad se convierte en deuda. Si es necesario tomar la propiedad de la deuda y la deuda de la propiedad, entonces toman su cantidad.

Los signos "+" y "-" fueron ampliamente utilizados en el comercio. Los enólogos ponen un signo "-" en los barriles vacíos, lo que significa una disminución. Si se llenó el barril, se tachó el signo y se recibió un signo "+", que significa ganancia. Estos signos fueron introducidos como matemáticos por Jan Widmann en XV.

En la ciencia europea, los números negativos y positivos finalmente comenzaron a usarse solo a partir de la época del matemático francés R. Descartes (1596 - 1650), quien dio una interpretación geométrica de los números positivos y negativos como segmentos dirigidos. En 1637 introdujo la "línea de coordenadas".

En 1831, Gauss justificó completamente que los números negativos son absolutamente equivalentes en términos de derechos con los positivos, y el hecho de que no se puedan aplicar en todos los casos no importa.

La historia de la aparición de números negativos y positivos termina en el siglo XIX cuando William Hamilton y Hermann Grassmann crearon una teoría completa de números positivos y negativos. A partir de este momento comienza la historia del desarrollo de este concepto matemático.

1. Aplicar números positivos y negativos

1. La medicina

Miopía e hipermetropía

Los números negativos expresan la patología del ojo. La miopía (miopía) se manifiesta por una disminución de la agudeza visual. Para que el ojo pueda ver claramente objetos distantes en la miopía, se usan lentes difusores (negativos).Miopía (-), hipermetropía (+).

La hipermetropía (hipermetropía) es un tipo de refracción del ojo, en el que la imagen de un objeto no se enfoca en un área específica de la retina, sino en un plano detrás de ella. Este estado del sistema visual conduce a la borrosidad de la imagen que percibe la retina.

La causa de la hipermetropía puede ser un globo ocular acortado o un poder de refracción débil de los medios ópticos del ojo. Al aumentarlo, es posible asegurarse de que los rayos se enfocarán donde se enfocan en la visión normal.

Con la edad, la visión, especialmente la de cerca, se deteriora cada vez más debido a una disminución de la capacidad acomodativa del ojo debido a cambios relacionados con la edad en la lente: la elasticidad de la lente disminuye, los músculos que la sostienen se debilitan y, como resultado, la visión disminuye. Es por esohipermetropía relacionada con la edad (presbicia ) está presente en casi todas las personas después de los 40-50 años.

Con pequeños grados de hipermetropía, la visión alta generalmente se mantiene tanto de lejos como de cerca, pero puede haber quejas de fatiga, dolor de cabeza, mareos. Con un grado medio de hipermetropía, la visión de lejos sigue siendo buena, pero la visión de cerca es difícil. Con alta hipermetropía - mala vista tanto de lejos como de cerca, ya que se han agotado todas las posibilidades del ojo para enfocar en la retina una imagen de objetos incluso lejanos.

La hipermetropía, incluida la relacionada con la edad, solo se puede detectar con un examen completo.examen de diagnostico (con la dilatación médica de la pupila, el cristalino se relaja y aparece la verdadera refracción del ojo).

Miopía - Esta es una enfermedad ocular en la que una persona ve mal los objetos que se encuentran lejos, pero ve bien los objetos que están cerca. La miopía también se llama miopía.

Se cree que alrededor de ochocientos millones de personas sufren de miopía. Todo el mundo puede sufrir de miopía: tanto adultos como niños.

Nuestros ojos tienen una córnea y una lente. Estos ojos componentes pueden transmitir rayos, refractándolos. Y aparece una imagen en la retina. Entonces esta imagen se convierte en impulsos nerviosos y se transmite a lo largo del nervio óptico hasta el cerebro.

Si la córnea y el cristalino refractan los rayos de modo que el foco esté en la retina, entonces la imagen será clara. Por lo tanto, las personas sin enfermedades oculares verán bien.

Con la miopía, la imagen es borrosa y borrosa. Esto puede suceder por las siguientes razones:

- si el ojo está muy alargado, entonces la retina se aleja de un lugar de enfoque estable. Con la miopía en humanos, el ojo alcanza los treinta milímetros. Y en una persona sana normal, el tamaño del ojo es de veintitrés, veinticuatro milímetros, si el cristalino y la córnea refractan demasiado los rayos de luz.

Según las estadísticas, cada tercera persona en la tierra sufre de miopía, es decir, miopía. Es difícil para esas personas ver objetos que están lejos de ellos. Pero al mismo tiempo, si un libro o cuaderno se coloca cerca de los ojos de una persona que sufre de miopía, verá bien estos objetos..

2) Termómetros

Veamos la escala de un termómetro de exterior convencional.

Tiene la forma que se muestra en la escala 1. Solo se marcan números positivos y, por lo tanto, al indicar el valor numérico de la temperatura, es necesario explicar adicionalmente 20 grados de calor (por encima de cero). Esto es un inconveniente para los físicos: ¡no se pueden sustituir palabras en una fórmula! Por lo tanto, en física se utiliza una escala con números negativos (escala 2).

3) Saldo del teléfono

Al consultar el saldo en su teléfono o tableta, puede ver un número con un signo (-), lo que significa que este suscriptor tiene una deuda y no puede hacer una llamada hasta que recargue su cuenta, mientras que un número sin signo (-) significa que puede llamar o hacer alguna o cualquier otra función.

1. El nivel del mar

Miremos a mapa físico paz. Los terrenos en él están pintados. varios tonos verde y marrón, y los mares y océanos están pintados de azul y azul. Cada color tiene su propia altura (para tierra) o profundidad (para mares y océanos). Se dibuja una escala de profundidades y alturas en el mapa, que muestra qué altura (profundidad) significa este o aquel color, por ejemplo, esto:

Escala de profundidad y altura en metros

Más profundo 5000 2000 200 0 200 1000 2000 4000 más alto

En esta escala solo vemos números positivos y cero. Cero es la altura (y la profundidad también) a la que se encuentra la superficie del agua en el Océano Mundial. El uso de solo números no negativos en esta escala es inconveniente para un matemático o físico. El físico obtiene tal escala.

Escala de altitud en metros

Menos de -5000 -2000 -200 0 200 1000 2000 4000 más

Usando tal escala, es suficiente indicar el número sin palabras adicionales: los números positivos corresponden a varios lugares en la tierra que están sobre la superficie del mar; los números negativos corresponden a puntos bajo la superficie del mar.

En la escala de alturas considerada por nosotros, la altura de la superficie del agua en el Océano Mundial se toma como cero. Esta escala se utiliza en geodesia y cartografía.

En cambio, en la vida cotidiana solemos tomar la altura de la superficie terrestre (en el lugar donde nos encontramos) como altura cero.

5) Cualidades de una persona

¡Cada persona es individual y única! Sin embargo, no siempre pensamos en qué rasgos de carácter nos definen como persona, qué atrae a las personas en nosotros y qué nos repele. Resalta las cualidades positivas y negativas de una persona. Por ejemplo, rasgos positivos actividad, nobleza, dinamismo, valor, empresa, determinación, independencia, coraje, honestidad, vigor, negatividad, agresividad, irascibilidad, competitividad, criticidad, terquedad, egoísmo.

6) Física y peine

Coloque algunos pedazos pequeños de papel fino sobre la mesa. Tome un peine de plástico limpio y seco y páselo por el cabello 2 o 3 veces. Al peinarte, deberías escuchar un ligero crujido. Luego lleve lentamente el peine a los trozos de papel. Verás que primero son atraídos por el peine y luego repelidos.

El mismo peine puede atraer agua. Tal atracción es fácil de observar si acerca el peine a un delgado chorro de agua que fluye tranquilamente del grifo. Verás que el goteo está notablemente curvado.

Ahora extienda de papel fino (preferiblemente papel de seda) dos tubos de 2-3 cm de largo. y 0,5 cm de diámetro. Cuélgalos uno al lado del otro (para que se toquen ligeramente) en hilos de seda. Después de peinarse, toque los tubos de papel con el peine; se dispersarán inmediatamente hacia los lados y permanecerán en esta posición (es decir, se rechazarán los hilos). Vemos que los tubos se repelen entre sí.

Si tiene una varilla de vidrio (o un tubo, o un tubo de ensayo) y un trozo de tela de seda, los experimentos pueden continuar.

Frote el palo sobre la seda y llévelo a los trozos de papel; comenzarán a "saltar" sobre el palo de la misma manera que sobre el peine, y luego se deslizarán. Un hilo de agua también es desviado por una varilla de vidrio, y los tubos de papel que tocas con un palo se repelen entre sí.

Ahora tome un palo, que tocó con un peine, y el segundo tubo, y llévelos uno al otro. Verás que se atraen el uno al otro. Entonces, en estos experimentos, se manifiestan las fuerzas de atracción y las fuerzas de repulsión. En los experimentos, hemos visto que los objetos cargados (los físicos dicen cuerpos cargados) pueden atraerse o repelerse. Esto se explica por el hecho de que hay dos tipos, dos tipos de cargas eléctricas, y las cargas del mismo tipo se repelen, y las cargas diferentes tipos son atraídos

7) Contando el tiempo

EN diferentes paises diferentemente. por ejemplo, en Antiguo Egipto cada vez que empezaba a gobernar nuevo rey, la cuenta de los años comenzó de nuevo. El primer año del reinado del rey se consideró el primer año, el segundo, el segundo, y así sucesivamente. Cuando este rey murió y uno nuevo subió al poder, vino de nuevo el primer año, luego el segundo, el tercero. La cuenta de años que usaban los habitantes de una de las ciudades más antiguas del mundo, Roma, era diferente. Los romanos consideraban el año de la fundación de su ciudad como el primero, el siguiente, el segundo, y así sucesivamente.

La cuenta de años que usamos surgió hace mucho tiempo y está asociada a la veneración de Jesucristo, el fundador de la religión cristiana. La cuenta de los años desde el nacimiento de Jesucristo fue adoptada paulatinamente en diferentes países, en nuestro país fue introducida por el zar Pedro el Grande hace trescientos años. El tiempo contado desde la Natividad de Cristo, lo llamamos NUESTRA ERA (y escribimos NE para abreviar). Nuestra era ha estado ocurriendo durante dos mil años. Considere la "línea de tiempo" en la figura.

Fundación Comienzo La primera mención de Moscú Nacimiento de A. S. Pushkin

levantamiento de roma

Espartaco

Conclusión

Trabajando con varias fuentes y explorando varios fenómenos y procesos, descubrimos que los negativos y los positivos se usan en medicina, física, geografía, historia, en medios modernos comunicación, en el estudio de las cualidades humanas y otras áreas de la actividad humana. Este tema es relevante y es ampliamente utilizado y utilizado activamente por el hombre.

Este trabajo se puede utilizar en lecciones de matemáticas, motivando a los estudiantes a estudiar números positivos y negativos.

Bibliografía

1. Vigasin A.A., Goder G.I., “Historia mundo antiguo”, libro de texto de 5to grado, 2001.
2. Vygovskaya V. V. "Desarrollo de Pourochnye en Matemáticas: Grado 6" - M.: VAKO, 2008.
3. Periódico "Matemáticas" №4, 2010
4. Gelfman E.G. "Números positivos y negativos" tutorial en matemáticas para el 6to grado, 2001.

ahora vamos a analizar números positivos y negativos. Primero, damos definiciones, introducimos notación, después de lo cual damos ejemplos de números positivos y negativos. También nos detendremos en la carga semántica que llevan los números positivos y negativos.

Navegación de página.

Números positivos y negativos: definiciones y ejemplos

Dar determinación de números positivos y negativos nos ayudará Por conveniencia, supondremos que está ubicado horizontalmente y dirigido de izquierda a derecha.

Definición.

Los números que corresponden a los puntos de la línea de coordenadas que se encuentran a la derecha del origen se llaman positivo.

Definición.

Los números que corresponden a los puntos de la línea de coordenadas que se encuentran a la izquierda del origen se llaman negativo.

El número cero correspondiente al origen no es ni positivo ni negativo.

De la definición de números negativos y positivos se deduce que el conjunto de todos los números negativos es el conjunto de números que son opuestos a todos los números positivos (si es necesario, consulte el artículo Números opuestos). Por lo tanto, los números negativos siempre se escriben con un signo menos.

Ahora, conociendo las definiciones de números positivos y negativos, podemos escribir fácilmente ejemplos de numeros positivos y negativos. Ejemplos de números positivos son los números naturales 5 , 792 y 101 330 , y de hecho cualquier número natural es positivo. Ejemplos de números racionales positivos son los números , 4.67 y 0,(12)=0.121212... , y los negativos son los números , −11 , −51.51 y −3,(3) . Como ejemplos de números irracionales positivos, se puede dar el número pi, el número e, y la fracción decimal no periódica infinita 809.030030003..., y ejemplos de ir negativos numeros racionales son los números menos pi, menos e y el número igual a . Cabe señalar que en el último ejemplo no es obvio que el valor de la expresión sea un número negativo. Para estar seguro, necesita obtener el valor de esta expresión en la forma fracción decimal, y cómo se hace esto, lo diremos en el artículo. comparacion de numeros reales.

A veces, los números positivos van precedidos de un signo más, al igual que los números negativos van precedidos de un signo menos. En estos casos, debes saber que +5=5 . etc. Es decir, +5 y 5, etc. es el mismo número, pero se denota de manera diferente. Además, puede encontrar la definición de números positivos y negativos, según el signo más o menos.

Definición.

Los números con un signo más se llaman positivo, y con un signo menos - negativo.

Hay otra definición de números positivos y negativos basada en la comparación de números. Para dar esta definición, basta recordar que el punto de la línea de coordenadas correspondiente a un número mayor se encuentra a la derecha del punto correspondiente a un número menor.

Definición.

números positivos son números que son mayores que cero, y números negativos son números menores que cero.

Así, el cero, por así decirlo, separa los números positivos de los negativos.

Por supuesto, también debemos detenernos en las reglas para leer números positivos y negativos. Si el número se escribe con un signo + o -, entonces se pronuncia el nombre del signo, después de lo cual se pronuncia el número. Por ejemplo, +8 se lee como más ocho y como menos uno punto dos quintos. Los nombres de los signos + y − no se declinan por casos. Un ejemplo pronunciación correcta es la frase "a es igual a menos tres" (no menos tres).

Interpretación de números positivos y negativos.

Hemos estado describiendo números positivos y negativos desde hace bastante tiempo. Sin embargo, sería bueno saber qué significado tienen en sí mismos. Tratemos este asunto.

Los números positivos se pueden interpretar como ingresos, como un aumento, como un aumento en algún valor y similares. Los números negativos, a su vez, significan exactamente lo contrario: gasto, falta, deuda, disminución de algún valor, etc. Abordemos esto con ejemplos.

Podemos decir que tenemos 3 artículos. Aquí, el número 3 positivo indica el número de artículos que tenemos. ¿Cómo puedes interpretar un número negativo −3? Por ejemplo, el número -3 podría significar que tenemos que darle a alguien 3 artículos que ni siquiera tenemos en stock. Del mismo modo, podemos decir que en taquilla nos dieron 3,45 mil rublos. Es decir, el número 3,45 está asociado a nuestra llegada. A su vez, un número negativo -3.45 indicará una disminución de dinero en la caja registradora que nos emitió este dinero. Es decir, −3,45 es el gasto. Otro ejemplo: un aumento de temperatura de 17,3 grados se puede describir como un número positivo +17,3, y una disminución de temperatura de 2,4 se puede describir usando un número negativo como un cambio de temperatura de -2,4 grados.

Los números positivos y negativos a menudo se usan para describir los valores de cualquier cantidad en varios instrumentos de medición. El ejemplo más accesible es un dispositivo para medir temperaturas, un termómetro, con una escala en la que se escriben números positivos y negativos. A menudo, los números negativos se representan en azul (simboliza la nieve, el hielo y, a temperaturas inferiores a cero grados centígrados, el agua comienza a congelarse), y los números positivos se escriben en rojo (el color del fuego, el sol, a temperaturas superiores a cero grados, el hielo comienza a congelarse). para fundir). Escribir números positivos y negativos en rojo y azul también se usa en otros casos cuando es necesario enfatizar el signo de los números.

Bibliografía.

• Vilenkin N. Ya. etc Matemáticas. Grado 6: libro de texto para instituciones educativas.

Los números negativos se encuentran a la izquierda del cero. Para ellos, al igual que para los números positivos, se define una relación de orden que permite comparar un entero con otro.

Para todo número natural norte hay uno y sólo un número negativo, denotado por -norte, que complementa norte a cero: norte + (− norte) = 0 . Ambos números se llaman opuesto uno para el otro. Resta de un entero un es equivalente a sumar a su opuesto: -un.

Propiedades de los números negativos

Los números negativos siguen casi las mismas reglas que los números naturales, pero tienen algunas peculiaridades.

Reseña histórica

Literatura

• Vygodsky M. Ya. Libro de referencia matemáticas elementales. - M.: AST, 2003. - ISBN 5-17-009554-6
• Glazer G.I. Historia de las matemáticas en la escuela. - M.: Ilustración, 1964. - 376 p.

Enlaces

Fundación Wikimedia. 2010 .

• Formas de relieve negativas
• Cero negativo y positivo

Vea qué son los "números negativos" en otros diccionarios:

Números negativos- números reales menores que cero, por ejemplo 2; 0,5; π etc. Ver Número... Gran enciclopedia soviética

números positivos y negativos- (valores). El resultado de sumas o restas sucesivas no depende del orden en que se realicen estas operaciones. P.ej. 10 5 + 2 \u003d 10 +2 5. Aquí, no solo se permutan los números 2 y 5, sino también los signos frente a estos números. Acordado... ... diccionario enciclopédico F. Brockhaus e I. A. Efrón

los numeros son negativos- Números en contabilidad que se escriben con lápiz rojo o tinta roja. temas contables... Manual del traductor técnico

NÚMEROS NEGATIVOS- numeros en contabilidad que se escriben a lapiz rojo o tinta roja... gran diccionario de contabilidad

Números enteros- El conjunto de los números enteros se define como la clausura del conjunto de los números naturales respecto de las operaciones aritméticas de suma (+) y resta (). Por lo tanto, la suma, la diferencia y el producto de dos números enteros son nuevamente números enteros. Se compone de ... ... Wikipedia

enteros- números que surgen naturalmente durante el conteo (tanto en el sentido de enumeración como en el sentido de cálculo). Hay dos enfoques para determinar los números naturales del número utilizado en: enumerar (numerar) objetos (primero, segundo, ... ... Wikipedia

NÚMEROS DE EULER son los coeficientes E n en la descomposición La fórmula recursiva para E. h. tiene la forma , E4n+2 enteros negativos para todo n=0, 1, . . .; E8=1385… Enciclopedia Matemática

un numero negativo- Un número negativo es un elemento del conjunto de los números negativos, que (junto con el cero) apareció en matemáticas cuando se amplió el conjunto de los números naturales. El propósito de la extensión es proporcionar una operación de resta para cualquier número. Como resultado ... ... Wikipedia

historia de la aritmética- Aritmética. Pintura de Pinturicchio. Apartamentos Borgia. 1492 1495. Roma, Palacios Vaticanos... Wikipedia

Aritmética-Hans Sebald Beham. Aritmética. Aritmética del siglo XVI (otro griego ἀ ... Wikipedia

Libros

• Matemáticas. Grado 5 Libro didáctico y taller. En 2 partes. Parte 2. Números positivos y negativos, . El libro de texto y el taller para el grado 5 son parte de los materiales didácticos de matemáticas para los grados 5 y 6, desarrollados por un equipo de autores dirigido por E. G. Gelfman y M. A. Kholodnaya como parte de ...

Chalina Irina

Presentación sobre la historia de los números negativos.

Descargar:

Avance:

Para usar la vista previa de las presentaciones, cree una cuenta para usted ( cuenta) Google e inicie sesión: https://accounts.google.com

Subtítulos de las diapositivas:

Números negativos Chalina Irina

Matemáticas - vivat! ¡Gloria, gloria, gloria! No le des serenatas, no le grites bravo. Érase una vez 2 números, Vivió, no se afligió. Uno es un menos, el otro es un más, Fuimos amigos alegremente. Los signos son diferentes en todo, Pero puedes poner, Para sumar el número, Que debería ser. Más por más: obtenemos un más, Más por menos: habrá un menos. Bueno, si sumamos (-20) (-8), al final obtendremos el número (-28).

Número negativo Un número negativo es un elemento del conjunto de números negativos, que (junto con el cero) apareció en matemáticas cuando se amplió el conjunto de números naturales. El propósito de la extensión es proporcionar una operación de resta para cualquier número. Como resultado de la expansión, se obtiene un conjunto (anillo) de números enteros, que consta de números positivos (naturales), números negativos y cero. Todos los números negativos, y solo ellos, son menores que cero. En el eje numérico, los números negativos se ubican a la izquierda del cero. Para ellos, al igual que para los números positivos, se define una relación de orden que permite comparar un entero con otro.

Referencia histórica La historia dice que la gente no pudo acostumbrarse a los números negativos durante mucho tiempo. Los números negativos les parecían incomprensibles, no se usaban, simplemente no veían el significado en ellos. Los números positivos se interpretaron como "beneficio" y los negativos, como "deuda", "pérdida". En el Antiguo Egipto, Babilonia y Antigua Grecia no usaba números negativos, y si se obtenían raíces negativas de ecuaciones (cuando se restaban), se rechazaban como imposibles. Por primera vez, los números negativos se legalizaron parcialmente en China, y luego (desde aproximadamente el siglo VII) en India, donde se interpretaron como deudas (escasez), o se reconocieron como una etapa intermedia, útil para calcular el final, resultado positivo. Pero no había signos + o - en la antigüedad ni para números ni para acciones. Es cierto que la multiplicación y la división de números negativos aún no se habían definido. Los griegos tampoco usaron signos al principio, hasta que Diofanto de Alejandría en el siglo III comenzó a usar el signo "-" al resolver ecuaciones lineales. El signo "+" apareció como resultado de la acción opuesta al signo "-" al tachar el menos. Era muy similar al plus que usamos ahora. Ya conocía la regla de los signos y sabía multiplicar números negativos. Sin embargo, los consideró solo como valores temporales.

La utilidad y legalidad de los números negativos se establecieron gradualmente. El matemático indio Brahmagupta (siglo VII) ya los consideraba a la par de los positivos. En Europa, el reconocimiento llegó mil años después, e incluso entonces, durante mucho tiempo, los números negativos fueron llamados "falsos", "imaginarios" o "absurdos". Incluso Pascal pensó que 0 − 4 = 0, ya que nada puede ser menos que nada. Bombelli y Girard, por el contrario, consideraban los números negativos bastante aceptables y útiles, en particular, para indicar la falta de algo. Un eco de aquellos tiempos es el hecho de que en la aritmética moderna la operación de resta y el signo de los números negativos se denotan con el mismo símbolo (menos), aunque algebraicamente se trata de conceptos completamente diferentes. En el siglo XVII, con el advenimiento de la geometría analítica, los números negativos recibieron una representación geométrica visual en la recta numérica. A partir de este momento viene su completa igualdad. Sin embargo, la teoría de los números negativos estuvo en pañales durante mucho tiempo. Por ejemplo, se discutió activamente la extraña proporción 1: (-1) = (-1): 1; en ella, el primer término a la izquierda es mayor que el segundo, y a la derecha, viceversa, y resulta que el más grande es igual al más pequeño ("la paradoja de Arnaud"). Tampoco estaba claro qué significado tiene la multiplicación de números negativos y por qué el producto de números negativos es positivo; hubo discusiones acaloradas sobre este tema. William Hamilton y Hermann Grassmann crearon una teoría completa y bastante rigurosa de los números negativos en el siglo XIX.

Propiedades de los números negativos Los números negativos están sujetos a casi las mismas reglas algebraicas, que son naturales, pero tienen algunas características. Si cualquier conjunto de números positivos está acotado por abajo, entonces cualquier conjunto de números negativos está acotado por arriba. Al multiplicar números enteros, se aplica la regla de los signos: el producto de números con diferentes signos negativo, con el mismo - positivo. Cuando ambos lados de la desigualdad se multiplican por un número negativo, el signo de la desigualdad se invierte. Por ejemplo, multiplicar la desigualdad 3 −10. Al dividir con un resto, el cociente puede tener cualquier signo, pero el resto, por convención, siempre es no negativo (de lo contrario, no está definido de manera única). Para cada número natural (n) existe uno y sólo un número negativo, denotado por (-n), que completa n en cero: Ambos números se denominan opuestos entre sí. Restar un entero (a) de otro entero (b) es equivalente a sumar b con el signo opuesto de a: (b)+ (-a)

Reglas básicas Regla 1. La suma de dos números negativos es un número negativo igual a la suma de los módulos de estos números. Ejemplo: la suma de los números (-3) y (-8) es igual a menos 11. Regla 2. El producto de dos números con diferente signo es un número negativo, cuyo módulo es igual al producto de los módulos de los factores. Ejemplo: el producto de menos tres y cinco es igual a menos quince, porque al multiplicar dos números con signos diferentes, se obtiene un número negativo y su módulo es igual al producto de los módulos de factores, es decir, tres y cinco. . Regla 3. Para marcar números negativos, haz de coordenadas complementarlo con un rayo opuesto a él y poner en él las coordenadas correspondientes. Ejemplo. Los números ubicados en la línea de coordenadas a la derecha del cero se llaman positivos y a la izquierda, negativos.

Módulo de número negativo Distancia del punto A(a) al origen, es decir al punto O(o), se llama el módulo del número a y se denota /a/ El módulo del número negativo es igual al numero, es opuesto. El módulo, al no hacer nada con los números positivos y el cero, quita el signo menos a los números negativos. El módulo se indica mediante líneas verticales, que se escriben a ambos lados del número. Por ejemplo / -3 / = 3; / -2,3 / = 2,3; / -526/7 / = 526/7. De dos números negativos, mayor es aquel cuyo módulo es menor, y menor es aquel cuyo módulo es mayor. (En esta ocasión suelen bromear diciendo que los números negativos no son como las personas, al contrario)

Conclusión Los números negativos son comunes en estos días: se usan, por ejemplo, para representar temperaturas bajo cero. Por lo tanto, parece sorprendente que hace algunos siglos no existiera una interpretación específica de los números negativos, y los números negativos que aparecían en el curso de los cálculos se denominaban "imaginarios". Los números negativos son necesarios no solo cuando se mide la temperatura. Por ejemplo, si una empresa recibió un ingreso de 1 millón de rublos o, por el contrario, sufrió una pérdida de 1 millón de rublos, ¿cómo debería reflejarse esto en los documentos financieros? En el primer caso, se registran 1.000.000 de rublos. o + 1.000.000 de rublos. Y en el segundo, respectivamente, (- 1.000.000 de rublos).

¡Gracias por su atención! -

Digamos que Denis tiene muchos dulces, una caja grande. Primero Denis comió 3 dulces. Entonces papá le dio a Denis 5 dulces. Entonces Denis le dio a Matvey 9 dulces. Finalmente, mamá le dio a Denis 6 dulces. Pregunta: ¿Tenía Denis más o menos dulces que al principio? Si es más, ¿cuánto más? Si es menos, ¿cuánto menos?

Para no confundirse con esta tarea, conviene aplicar un truco. Escribamos todos los números de la condición en una fila. Al mismo tiempo, pondremos un signo "+" frente a los números que indican cuánto ha aumentado Denis en dulces, y un signo "-" frente a los números que indican cuánto ha disminuido Denis en dulces. Entonces toda la condición se escribirá muy brevemente:

− 3 + 5 − 9 + 6.

Esta entrada se puede leer, por ejemplo, así: “Primero, Denis recibió menos tres dulces. Luego más cinco dulces. Luego menos nueve caramelos. Y por último, más seis dulces. La palabra "menos" cambia el significado de la frase exactamente al contrario. Cuando digo: "Denis recibió menos tres dulces", en realidad significa que Denis perdió tres dulces. La palabra "más", por el contrario, confirma el significado de la frase. "Denis tiene más cinco caramelos" significa lo mismo que simplemente "Denis tiene cinco caramelos".

Entonces, primero Denis recibió menos tres dulces. Esto significa que Denis tiene menos tres dulces más de los que tenía al principio. Por brevedad, podemos decir: Denis tiene menos tres dulces.

Entonces Denis consiguió más cinco dulces. Es fácil darse cuenta de que Denis tenía más dos dulces. Significa,

− 3 + 5 = + 2.

Entonces Denis obtuvo menos nueve dulces. Y aquí está la cantidad de dulces que recibió:

− 3 + 5 − 9 = + 2 − 9 = − 7.

Finalmente, Denis consiguió +6 caramelos más. Y todos los dulces se convirtieron en:

− 3 + 5 − 9 + 6 = + 2 − 9 + 6 = − 7 + 6 = − 1.

En el lenguaje habitual, esto significa que al final Denis tenía un caramelo menos que al principio. Problema resuelto.

El truco con los signos "+" o "-" es muy utilizado. Los números con un signo "+" se llaman positivo. Los números con el signo "-" se llaman negativo. El número 0 (cero) no es ni positivo ni negativo porque +0 no es diferente de −0. Por lo tanto, estamos tratando con números de la serie

..., −5, −4, −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, ...

Tales números se llaman números enteros. Y esos números que no tienen ningún signo y de los que hemos tratado hasta ahora se llaman números naturales(solo cero no se aplica a números naturales).

Los números enteros se pueden considerar como peldaños de una escalera. el numero cero es aterrizaje Ubicado a pie de calle. Desde aquí puedes subir paso a paso a los pisos superiores, o puedes bajar al sótano. Siempre que no necesitemos ir al sótano, estamos bastante satisfechos con los números naturales solos y el cero. Los números naturales son esencialmente lo mismo que los enteros positivos.

Estrictamente hablando, un número entero no es un número de paso, sino un comando para subir las escaleras. Por ejemplo, +3 significa subir tres escalones y -5 significa bajar cinco escalones. Es solo que el número de paso se toma como un comando que nos mueve a este paso si comenzamos a movernos desde el nivel cero.

Los cálculos de números enteros son fáciles de hacer simplemente saltando mentalmente hacia arriba o hacia abajo de los escalones, a menos, por supuesto, que necesite hacer saltos demasiado grandes. Pero, ¿qué pasa cuando tienes que saltar cien o más pasos? ¡Después de todo, no dibujaremos una escalera tan larga!

Y sin embargo, ¿por qué no? Podemos dibujar una escalera larga desde una distancia tal que los escalones individuales ya no sean visibles. Entonces nuestra escalera se convertirá en una sola línea recta. Y para que sea más conveniente colocarlo en la página, dibujémoslo sin inclinación y marquemos por separado la posición del paso 0.

Primero aprendamos cómo saltar a lo largo de una línea tan recta usando el ejemplo de expresiones, cuyos valores hemos podido calcular durante mucho tiempo. Que sea necesario encontrar

Estrictamente hablando, dado que estamos tratando con números enteros, debemos escribir

Pero un número positivo al comienzo de una línea generalmente no tiene un signo "+". El salto de escalera se parece a esto:

En lugar de dos grandes saltos dibujados por encima de la línea (+42 y +53), puede hacer un salto dibujado por debajo de la línea, y la longitud de este salto, por supuesto, es

Estos dibujos en lenguaje matemático suelen llamarse diagramas. Así es como se ve el gráfico para nuestro ejemplo de resta habitual.

Primero dimos un gran salto hacia la derecha, luego un pequeño salto hacia la izquierda. Como resultado, nos mantuvimos a la derecha del cero. Pero también es posible otra situación, como, por ejemplo, en el caso de la expresión

Esta vez, el salto a la derecha resultó ser más corto que el salto a la izquierda: volamos sobre el cero y terminamos en el "sótano", donde se encuentran los escalones con números negativos. Echemos un vistazo más de cerca a nuestro salto a la izquierda. En total subimos 95 escalones. Después de subir 53 escalones, alcanzamos la marca 0. ¿Cuántos escalones subimos después de eso? Bueno, por supuesto

Así, una vez en el paso 0, bajamos otros 42 escalones, lo que significa que al final llegamos al paso número −42. Asi que,

53 − 95 = −(95 − 53) = −42.

De manera similar, dibujando diagramas, es fácil establecer que

−42 − 53 = −(42 + 53) = −95;

−95 + 53 = −(95 − 53) = −42;

y finalmente

−53 + 95 = 95 − 53 = 42.

De esta forma, hemos aprendido a recorrer libremente toda la escalera de números enteros.

Considere ahora tal problema. Denis y Matvey intercambian envoltorios de caramelos. Al principio, Denis le dio a Matvey 3 envoltorios de dulces y luego le quitó 5 envoltorios de dulces. ¿Cuántos envoltorios de dulces recibió Matvey al final?

Pero como Denis recibió 2 envoltorios de dulces, entonces Matvey obtuvo -2 envoltorios de dulces. Atribuimos un menos a la ganancia de Denis y obtuvimos la ganancia de Matvey. Nuestra solución se puede escribir como una sola expresión

−(−3 + 5) = −2.

Todo es simple aquí. Pero modifiquemos ligeramente la condición del problema. Deje que Denis primero le dé a Matvey 5 envoltorios de dulces y luego tome 3 envoltorios de dulces de él. La pregunta es, nuevamente, ¿cuántos envoltorios de dulces recibió Matvey al final?

Nuevamente, primero calculamos la "ganancia" de Denis:

−5 + 3 = −2.

Así que Matvey consiguió 2 envoltorios de caramelos. Pero ahora, ¿cómo podemos escribir nuestra solución como una sola expresión? ¿Qué le sumarías a un número negativo −2 para obtener un número positivo 2? Resulta que esta vez también es necesario asignar un signo menos. A los matemáticos les gusta mucho la uniformidad. Se esfuerzan por garantizar que la solución de problemas similares se escriba en forma de expresiones similares. En este caso, la solución se ve así:

−(−5 + 3) = −(−2) = +2.

Así que los matemáticos estuvieron de acuerdo: si numero positivo Si sumas un menos, entonces se vuelve negativo, y si sumas un menos a un número negativo, entonces se vuelve positivo. Esto es muy lógico. Después de todo, bajar menos dos escalones es lo mismo que subir más dos escalones. Asi que,

−(+2) = −2;
−(−2) = +2.

Para completar el cuadro, también notamos que

+(+2) = +2;
+(−2) = −2.

Esto nos da la oportunidad de echar un nuevo vistazo a las cosas familiares desde hace mucho tiempo. Deja que la expresión

El significado de esta entrada se puede imaginar de diferentes maneras. Puede, a la antigua usanza, considerar que un número positivo +3 se resta de un número positivo +5:

En este caso +5 se llama reducido, +3 - deducible, y toda la expresión diferencia. Así es como enseñan en la escuela. Sin embargo, las palabras "reducido" y "sustraído" no se usan en ningún lugar excepto en la escuela, y pueden olvidarse después del examen final. trabajo de control. Sobre la misma entrada, podemos decir que al número positivo +5 se le suma un número negativo -3:

Los números +5 y −3 se llaman términos, y toda la expresión suma. Esta suma tiene solo dos términos, pero, en general, la suma puede constar de cualquier número de términos. Así mismo, la expresión

puede considerarse con igual derecho como la suma de dos números positivos:

y como la diferencia entre números positivos y negativos:

(+5) − (−3).

Después de familiarizarnos con los números enteros, definitivamente debemos aclarar las reglas para abrir corchetes. Si hay un signo "+" delante de los corchetes, dichos corchetes simplemente se pueden borrar y todos los números en ellos conservan sus signos, por ejemplo:

+(+2) = +2;
+(−2) = −2;
+(−3 + 5) = −3 + 5;
+(−3 − 5) = −3 − 5;
+(5 − 3) = 5 − 3
etc.

Si hay un signo "-" antes de los corchetes, al borrar el corchete, también debemos cambiar los signos de todos los números que contiene:

−(+2) = −2;
−(−2) = +2;
−(−3 + 5) = +3 − 5 = 3 − 5;
−(−3 − 5) = +3 + 5 = 3 + 5;
−(5 − 3) = −(+5 − 3) = −5 + 3;
etc.

Al mismo tiempo, es útil tener en cuenta el problema del intercambio de envoltorios de caramelos entre Denis y Matvey. Por ejemplo, la última línea se puede obtener así. Creemos que Denis primero tomó 5 envoltorios de dulces de Matvey y luego otros -3. En total, Denis recibió 5 - 3 envoltorios de dulces y Matvey - el mismo número, pero con signo opuesto, es decir, −(5 − 3) envoltorios de caramelos. Pero después de todo, el mismo problema se puede resolver de otra manera, teniendo en cuenta que siempre que Denis recibe, Matvey da. Entonces, al principio, Matvey recibió -5 envoltorios de dulces y luego +3 más, lo que finalmente da -5 + 3.

Al igual que los números naturales, los números enteros se pueden comparar entre sí. Hagamos, por ejemplo, la pregunta: ¿qué número es mayor: -3 o -1? Miremos la escalera con números enteros, e inmediatamente quedará claro que -1 es mayor que -3 y, por lo tanto, -3 es menor que -1:

−1 > −3;
−3 < −1.

Ahora aclaremos: ¿cuánto más es -1 que -3? En otras palabras, ¿cuántos escalones tienes que subir para pasar del paso -3 al paso -1? La respuesta a esta pregunta se puede escribir como la diferencia entre los números −1 y −3:

− 1 − (−3) = −1 + 3 = 3 − 1 = 2.

Saltando los escalones, es fácil comprobar que esto es así. Y he aquí otra pregunta curiosa: ¿cuánto cuesta el número 3? más número 5? O, lo que es lo mismo, ¿cuántos escalones hay que subir para pasar del escalón 5 al escalón 3? Hasta hace poco, esta pregunta nos habría desconcertado. Pero ahora podemos escribir fácilmente la respuesta:

3 − 5 = − 2.

De hecho, si estamos en el paso 5 y subimos otros −2 pasos, nos encontraremos en el paso 3.

Tareas

2.3.1. ¿Cuál es el significado de las siguientes frases?

Denis le dio a papá menos tres dulces.

Matvey es mayor que Denis por menos dos años.

Para llegar a nuestro apartamento, tienes que bajar menos dos pisos.

2.3.2. ¿Tales frases tienen sentido?

Denis tiene menos tres dulces.

Menos dos vacas pastan en el prado.

Comentario. Este problema no tiene una solución única. Por supuesto, no estaría mal decir que estas declaraciones no tienen sentido. Y al mismo tiempo, se les puede dar un significado muy claro. Supongamos que Denis tiene una caja grande llena hasta arriba de dulces, pero el contenido de esta caja no cuenta. O supongamos que dos vacas del rebaño no salieron a pastar al prado, sino que por alguna razón se quedaron en el establo. Debe tenerse en cuenta que incluso las frases más familiares pueden ser ambiguas:

Denis tiene tres dulces.

Esta declaración no excluye que Denis tenga una enorme caja de dulces escondida en otro lugar, sino que simplemente guardan silencio sobre esos dulces. De la misma manera, cuando digo: “Tengo cinco rublos”, no quiero decir que esa sea toda mi fortuna.

2.3.3. El saltamontes salta por las escaleras, comenzando desde el piso donde se encuentra el apartamento de Denis. Primero saltó 2 escalones hacia abajo, luego 5 escalones hacia arriba y finalmente 7 escalones hacia abajo. ¿Cuántos pasos y en qué dirección se movió el saltamontes?

2.3.4. Encuentre valores de expresión:

− 6 + 10;
− 28 + 76;
etc.

− 6 + 10 = 10 − 6 = 4.

2.3.5. Encuentre valores de expresión:

8 − 20;
34 − 98;
etc.

8 − 20 = − (20 − 8) = − 12.

2.3.6. Encuentre valores de expresión:

− 4 − 13;
− 48 − 53;
etc.

− 4 − 13 = − (4 + 13) = − 17.

2.3.7. Para las siguientes expresiones, encuentre los valores haciendo los cálculos en el orden dado por los paréntesis. Luego abra los corchetes y asegúrese de que los significados de las expresiones sigan siendo los mismos. Inventa problemas sobre dulces que se resuelven de esta manera.

25 − (−10 + 4);
25 + (− 4 + 10);
etc.

25 − (− 10 + 4) = 25 − (−(10 − 4)) = 25 − (−6) = 25 + 6 = 31.

25 − (− 10 + 4) = 25 + 10 − 4 = 35 − 4 = 31.

“Denis tenía 25 dulces. Le dio a papá menos diez dulces y cuatro dulces a Matvey. ¿Cuántos dulces tenía?