Analizaremos dos tipos de sistemas de resolución de ecuaciones:
1. Solución del sistema por el método de sustitución.
2. Solución del sistema por adición (resta) término a término de las ecuaciones del sistema.
Para resolver el sistema de ecuaciones método de sustitución necesitas seguir un algoritmo simple:
1. Expresamos. De cualquier ecuación, expresamos una variable.
2. Sustituto. Sustituimos en otra ecuación en lugar de la variable expresada, el valor resultante.
3. Resolvemos la ecuación resultante con una variable. Encontramos una solución al sistema.
Resolver sistema por suma (resta) término por término necesidad:
1. Seleccione una variable para la que haremos los mismos coeficientes.
2. Sumamos o restamos las ecuaciones, como resultado obtenemos una ecuación con una variable.
3. Resolvemos la ecuación lineal resultante. Encontramos una solución al sistema.
La solución del sistema son los puntos de intersección de las gráficas de la función.
Consideremos en detalle la solución de sistemas usando ejemplos.
Ejemplo 1:
Resolvamos por el método de sustitución
Resolviendo el sistema de ecuaciones por el método de sustitución2x+5y=1 (1 ecuación)
x-10y=3 (segunda ecuación)
1. expreso
Se puede ver que en la segunda ecuación hay una variable x con un coeficiente de 1, por lo que resulta que es más fácil expresar la variable x de la segunda ecuación.
x=3+10y
2. Después de expresar, sustituimos 3 + 10y en la primera ecuación en lugar de la variable x.
2(3+10años)+5años=1
3. Resolvemos la ecuación resultante con una variable.
2(3+10y)+5y=1 (paréntesis abiertos)
6+20a+5a=1
25 años = 1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0.2
La solución del sistema de ecuaciones son los puntos de intersección de las gráficas, por lo tanto necesitamos encontrar x e y, porque el punto de intersección está formado por x e y, busquemos x, en el primer párrafo donde expresamos reemplazamos y allí.
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1
Se acostumbra escribir puntos en primer lugar, escribimos la variable x, y en segundo lugar la variable y.
Respuesta: (1; -0.2)
Ejemplo #2:
Resolvamos por suma (resta) término por término.
Resolver un sistema de ecuaciones por el método de la suma3x-2y=1 (1 ecuación)
2x-3y=-10 (segunda ecuación)
1. Seleccione una variable, digamos que seleccionamos x. En la primera ecuación, la variable x tiene un coeficiente de 3, en la segunda - 2. Necesitamos igualar los coeficientes, para esto tenemos el derecho de multiplicar las ecuaciones o dividir por cualquier número. Multiplicamos la primera ecuación por 2 y la segunda por 3 y obtenemos un coeficiente total de 6.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2. De la primera ecuación, resta la segunda para deshacerte de la variable X. Resuelve la ecuación lineal.
__6x-4y=2
5 años = 32 | :5
y=6.4
3. Encuentra x. Sustituimos la y encontrada en cualquiera de las ecuaciones, digamos en la primera ecuación.
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13,8 |:3
x=4,6
El punto de intersección será x=4.6; y=6.4
Respuesta: (4.6; 6.4)
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El artículo presenta un concepto como la definición de un sistema de ecuaciones y su solución. Se considerarán los casos más frecuentes de soluciones de sistemas. Los siguientes ejemplos ayudarán a explicar la solución en detalle.
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Definición de un sistema de ecuaciones
Para proceder a la definición de un sistema de ecuaciones, es necesario prestar atención a dos puntos: el tipo de registro y su significado. Para entender esto, necesitamos detenernos en cada uno de los tipos en detalle, luego podemos llegar a la definición de sistemas de ecuaciones.
Por ejemplo, tomemos dos ecuaciones 2 x + y = - 3 y x = 5 , después de lo cual combinamos con un corchete de dicho plan:
2 x + y = - 3 , x = 5 .
Las ecuaciones unidas por una llave se consideran registros de sistemas de ecuaciones. Definen conjuntos de soluciones a las ecuaciones del sistema dado. Cada solución debe ser una solución para todas las ecuaciones dadas.
En otras palabras, esto significa que cualquier solución a la primera ecuación será solución a todas las ecuaciones unidas por el sistema.
Definición 1
Sistemas de ecuaciones es un número de ecuaciones, unidas por un corchete, que tiene muchas soluciones de ecuaciones que son simultáneamente soluciones para todo el sistema.
Principales tipos de sistemas de ecuaciones
Hay bastantes tipos de ecuaciones, como sistemas de ecuaciones. Para que sea conveniente resolverlos y estudiarlos, se dividen en grupos de acuerdo con ciertas características. Esto ayudará a considerar sistemas de ecuaciones de ciertos tipos.
Para empezar, las ecuaciones se clasifican por el número de ecuaciones. Si hay una ecuación, entonces es una ecuación ordinaria, si hay más de ellas, entonces estamos tratando con un sistema que consta de dos o más ecuaciones.
Otra clasificación afecta al número de variables. Cuando el número de variables es 1, decimos que estamos tratando con un sistema de ecuaciones con una incógnita, cuando 2, con dos variables. Considere un ejemplo
x + y = 5 , 2 x - 3 y = 1
Obviamente, el sistema de ecuaciones incluye dos variables x e y.
Al escribir tales ecuaciones, se considera el número de todas las variables en el registro. Su presencia en cada ecuación es opcional. Al menos una ecuación debe tener una variable. Considere un ejemplo de un sistema de ecuaciones
2 x \u003d 11, x - 3 z 2 \u003d 0, 2 7 x + y - z \u003d - 3
Este sistema tiene 3 variables x, y, z. La primera ecuación tiene x explícita e implícita y y z. Las variables implícitas son variables que tienen 0 en el coeficiente. La segunda ecuación tiene x y z y y es una variable implícita. De lo contrario, se puede escribir así.
2 x + 0 y + 0 z = 11
Y la otra ecuación es x + 0 · y − 3 · z = 0 .
La tercera clasificación de ecuaciones es la forma. La escuela enseña ecuaciones simples y sistemas de ecuaciones, comenzando con sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables. . Significa que el sistema incluye 2 ecuaciones lineales. Por ejemplo, considere
2 x - y = 1 , x + 2 y = - 1 y - 3 x + y = 0 . 5 , x + 2 2 3 y = 0
Estas son ecuaciones lineales simples básicas. Además, puede encontrar sistemas que contengan 3 o más incógnitas.
En 9° grado resuelven ecuaciones con dos variables y no lineales. En las ecuaciones enteras, el exponente aumenta para aumentar la complejidad. Dichos sistemas se denominan sistemas de ecuaciones no lineales con un cierto número de ecuaciones e incógnitas. Considere ejemplos de tales sistemas.
x 2 - 4 x y = 1 , x - y = 2 y x = y 3 x y = - 5
Ambos sistemas son de dos variables y ambos no son lineales.
Al resolver, puede cumplir con ecuaciones racionales fraccionarias. por ejemplo
x + y = 3 , 1 x + 1 y = 2 5
Simplemente pueden llamarlo un sistema de ecuaciones sin especificar cuáles. Rara vez se especifica el tipo de sistema en sí.
Las clases de último año pasan al estudio de los conceptos irracional, trigonométrico y ecuaciones exponenciales. Por ejemplo,
x + y - x y = 5 , 2 x y = 3 , x + y = 5 π 2 , sen x + cos 2 y = - 1 , y - log 3 x = 1 , x y = 3 12 .
Las instituciones de educación superior estudian e investigan soluciones a los sistemas de ecuaciones algebraicas lineales (SLAE). El lado izquierdo de tales ecuaciones contiene polinomios de primer grado y el lado derecho contiene algunos números. La diferencia con las escolares es que el número de variables y el número de ecuaciones pueden ser arbitrarios, la mayoría de las veces no iguales.
Resolver sistemas de ecuaciones
Definición 2Resolver un sistema de ecuaciones con dos variables es un par de variables que al sustituirse convierte cada ecuación en una verdadera desigualdad numérica, es decir, es una solución para cada ecuación de este sistema.
Por ejemplo, un par de valores x \u003d 5 e y \u003d 2 son la solución al sistema de ecuaciones x + y \u003d 7, x - y \u003d 3. Porque al sustituir, las ecuaciones se convierten en verdaderas desigualdades numéricas 5 + 2 = 7 y 5 − 2 = 3. Si sustituimos el par x = 3 y y = 0, entonces el sistema no se resolverá, ya que la sustitución no dará la ecuación correcta, es decir, obtendremos 3 + 0 = 7.
Formulemos una definición para los sistemas que contienen una o más variables.
Definición 3
Resolver un sistema de ecuaciones con una variable- este es el valor de la variable, que es la raíz de las ecuaciones del sistema, lo que significa que todas las ecuaciones se convertirán en verdaderas igualdades numéricas.
Considere el ejemplo de un sistema de ecuaciones con una variable t
t 2 \u003d 4, 5 (t + 2) \u003d 0
El número - 2 es una solución a la ecuación, ya que (− 2) · 2 = 4 y 5 · (− 2 + 2) = 0 son igualdades numéricas correctas. Para t = 1 no se resuelve el sistema, ya que al sustituir se obtienen dos igualdades incorrectas 12 = 4 y 5 · (1 + 2) = 0 .
Definición 4
Resolver un sistema con tres o más variables llaman un triple, un cuádruple y otros valores, respectivamente, que convierten todas las ecuaciones del sistema en verdaderas igualdades.
Si tenemos los valores de las variables x = 1, y = 2, z = 0, entonces sustituyéndolos en el sistema de ecuaciones 2 x = 2, 5 y = 10, x + y + z = 3, obtenemos 2 1 = 2, 5 2 = 10 y 1 + 2 + 0 = 3. Entonces estas desigualdades numéricas son verdaderas. Y los valores (1, 0, 5) no serán solución, ya que, al sustituir los valores, el segundo de ellos será erróneo, al igual que el tercero: 5 0 = 10, 1 + 0 + 5 = 3 .
Los sistemas de ecuaciones pueden no tener ninguna solución o tener un conjunto infinito. Esto se puede ver con un estudio en profundidad de este tema. Se puede concluir que el sistema de ecuaciones es la intersección de los conjuntos de soluciones de todas sus ecuaciones. Analicemos algunas definiciones:
Definición 5
incompatible un sistema de ecuaciones se llama cuando no tiene soluciones, en caso contrario se llama junta.
Definición 6
Incierto un sistema se llama cuando tiene un número infinito de soluciones, y determinado con un número finito de soluciones o en su ausencia.
Dichos términos rara vez se usan en la escuela, ya que se calculan para programas de educación superior. Instituciones educacionales. El conocimiento de los sistemas equivalentes profundizará los conocimientos existentes sobre la resolución de sistemas de ecuaciones.
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Sistemas de ecuaciones lineales.Un sistema de ecuaciones se llama lineal si todas las ecuaciones del sistema son lineales. Es costumbre escribir un sistema de ecuaciones usando corchetes, por ejemplo:
Definición:Un par de valores de variables que convierte en una verdadera igualdad cada ecuación con dos variables incluidas en el sistema se llama solución de un sistema de ecuaciones.
Resuelve el sistema significa encontrar todas sus soluciones o probar que no hay soluciones.
Al resolver un sistema de ecuaciones lineales, son posibles los siguientes tres casos:
el sistema no tiene soluciones;
el sistema tiene exactamente una solución;
El sistema tiene infinitas soluciones.
yo . Resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método de sustitución.
Este método también se puede llamar el "método de sustitución" o el método de eliminación de incógnitas.
Aquí tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Tenga en cuenta que los términos libres (números -5 y -7) se encuentran en el lado izquierdo de la ecuación. Escribimos el sistema en la forma habitual.
No olvide que al transferir un término de una parte a otra, debe cambiar su signo.
¿Qué significa resolver un sistema de ecuaciones lineales? Resolver un sistema de ecuaciones significa encontrar tales valores de variables que conviertan cada ecuación del sistema en una verdadera igualdad. Esta afirmación es cierta para cualquier sistema de ecuaciones con cualquier número de incógnitas.
Nosotros decidimos.
De la primera ecuación del sistema expresamos:
. Esta es la sustitución. La expresión resultante se sustituye en la segunda ecuación del sistema en lugar de la variable
Resolvamos esta ecuación para una variable.
Abrimos los paréntesis, damos términos semejantes y encontramos el valor 
:
4) A continuación, volvemos a la sustitución
para calcular el valor 
.Ya conocemos el valor, queda por encontrar:
5) Pareja 
es la única solución para el sistema dado.
Respuesta: (2.4; 2.2).
Después de que cualquier sistema de ecuaciones se haya resuelto de alguna manera, recomiendo enfáticamente que lo verifiques en un borrador. Esto se hace fácil y rápidamente.
1) Sustituir la respuesta encontrada en la primera ecuación: 
- se obtiene la igualdad correcta.
2) Sustituimos la respuesta encontrada en la segunda ecuación: 
- se obtiene la igualdad correcta.
El método de solución considerado no es el único, a partir de la primera ecuación se pudo expresar , pero no .
Puede viceversa: expresar algo de la segunda ecuación y sustituirlo en la primera ecuación. Sin embargo, es necesario evaluar la sustitución para que contenga la menor cantidad posible de expresiones fraccionarias. La más desventajosa de las cuatro formas es expresar a partir de la segunda o de la primera ecuación:
o 
Sin embargo, en algunos casos, las fracciones siguen siendo indispensables. Cualquier tarea debe esforzarse por realizar de la manera más racional. Esto ahorra tiempo y también reduce la posibilidad de cometer un error.
Ejemplo 2
Resolver un sistema de ecuaciones lineales
II. Solución del sistema por el método suma algebraica(resta) de ecuaciones del sistema
En el curso de la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, uno puede usar no el método de sustitución, sino el método de suma (resta) algebraica de las ecuaciones del sistema. Este método ahorra tiempo y simplifica los cálculos, sin embargo, ahora será cada vez más claro.
Resolver el sistema de ecuaciones lineales:
Tomemos el mismo sistema que el primer ejemplo.
1) Analizando el sistema de ecuaciones, notamos que los coeficientes de la variable y son idénticos en valor absoluto y de signo opuesto (–1 y 1). En esta situación, las ecuaciones se pueden sumar término por término:
2) Resolvamos esta ecuación para una variable.
Como puede ver, como resultado de la suma por términos, hemos perdido la variable . Esto, de hecho, es la esencia del método: deshacerse de una de las variables.
3) Ahora todo es simple: 
- sustituir en la primera ecuación del sistema (también se puede en la segunda):
EN refinamiento la solución debería ser algo como esto:
Respuesta: (2.4; 2.2).
Ejemplo 4
Resolver el sistema de ecuaciones lineales:
En este ejemplo, puede usar el método de sustitución, pero el gran inconveniente es que cuando expresamos cualquier variable de cualquier ecuación, obtendremos una solución en fracciones comunes. A pocas personas les gustan las acciones con fracciones, lo que significa que es una pérdida de tiempo y hay una alta probabilidad de cometer un error.
Por lo tanto, es recomendable utilizar la suma (resta) de ecuaciones término por término. Analizamos los coeficientes para las variables correspondientes:
Como puedes ver, los números en pares (14 y 7), (-9 y -2) son diferentes, por lo tanto, si sumamos (restamos) las ecuaciones ahora mismo, no nos desharemos de la variable. Por lo tanto, me gustaría ver en uno de los pares los mismos números de módulo, por ejemplo, 14 y -14 o 18 y -18.
Consideraremos los coeficientes de la variable .
14x - 9y \u003d 24;
7x - 2y \u003d 17.
Seleccionamos un número que sea divisible tanto por 14 como por 7, y debe ser lo más pequeño posible. En matemáticas, ese número se llama mínimo común múltiplo. Si está perdido con la selección, simplemente puede multiplicar los coeficientes.
Multiplicamos la segunda ecuación por 14: 7 \u003d 2.
Como resultado:
Ahora resta la segunda de la primera ecuación término por término.
Cabe señalar que sería al revés: restar la primera de la segunda ecuación, esto no cambia nada.
Ahora sustituimos el valor encontrado en una de las ecuaciones del sistema, por ejemplo, en la primera: 
Respuesta: (3:2)
Resolvamos el sistema de otra manera. Considere los coeficientes para la variable .
14x - 9y \u003d 24;
7x - 2y \u003d 17.
Obviamente, en lugar de un par de coeficientes (-9 y -3), necesitamos obtener 18 y -18.
Para hacer esto, multiplique la primera ecuación por (-2), multiplique la segunda ecuación por 9:
Sumamos las ecuaciones término por término y encontramos los valores de las variables:
Ahora sustituimos el valor encontrado de x en una de las ecuaciones del sistema, por ejemplo, en la primera:
Respuesta: (3:2)
El segundo método es algo más racional que el primero, ya que sumar es más fácil y agradable que restar. La mayoría de las veces, cuando resuelven sistemas, tienden a sumar y multiplicar, en lugar de restar y dividir.
Ejemplo 5
Resolver el sistema de ecuaciones lineales:
Este es un ejemplo de una solución independiente (respuesta al final de la lección).
Ejemplo 6
Resolver un sistema de ecuaciones
Decisión. El sistema no tiene soluciones, ya que dos ecuaciones del sistema no pueden satisfacerse simultáneamente (a partir de la primera ecuación 
y desde el segundo 
Respuesta: No hay soluciones.
Ejemplo 7
resolver el sistema de ecuaciones
Decisión. El sistema tiene infinitas soluciones, ya que la segunda ecuación se obtiene de la primera multiplicando por 2 (es decir, de hecho, solo hay una ecuación con dos incógnitas).
Respuesta: Infinidad de soluciones.
tercero Solución del sistema mediante matrices.
El determinante de este sistema es el determinante compuesto por los coeficientes de las incógnitas. Este determinante
Sistemas de ecuaciones recibidos aplicación amplia en industria economica en el modelado matemático de varios procesos. Por ejemplo, a la hora de resolver problemas de gestión y planificación de la producción, rutas logísticas (problema de transporte) o colocación de equipos.
Los sistemas de ecuaciones se utilizan no solo en el campo de las matemáticas, sino también en la física, la química y la biología, cuando se resuelven problemas para encontrar el tamaño de la población.
Un sistema de ecuaciones lineales es un término para dos o más ecuaciones con varias variables para las cuales es necesario encontrar una solución común. Tal secuencia de números para la cual todas las ecuaciones se convierten en verdaderas igualdades o prueban que la secuencia no existe.
Ecuación lineal
Las ecuaciones de la forma ax+by=c se llaman lineales. Las designaciones x, y son las incógnitas, cuyo valor se debe encontrar, b, a son los coeficientes de las variables, c es el término libre de la ecuación.
Resolver la ecuación trazando su gráfico se verá como una línea recta, cuyos puntos son la solución del polinomio.
Tipos de sistemas de ecuaciones lineales
Los más simples son ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales con dos variables X e Y.
F1(x, y) = 0 y F2(x, y) = 0, donde F1,2 son funciones y (x, y) son funciones variables.
Resolver un sistema de ecuaciones - significa encontrar tales valores (x, y) en los que el sistema se convierte en una verdadera igualdad o establecer que valores adecuados x e y no existen.
Un par de valores (x, y), escritos como coordenadas puntuales, se denomina solución de un sistema de ecuaciones lineales.
Si los sistemas tienen una solución común o no hay solución, se les llama equivalentes.
Los sistemas homogéneos de ecuaciones lineales son sistemas cuyo lado derecho es igual a cero. Si la parte derecha después del signo "igual" tiene un valor o se expresa mediante una función, dicho sistema no es homogéneo.
El número de variables puede ser mucho más de dos, entonces deberíamos hablar de un ejemplo de un sistema de ecuaciones lineales con tres variables o más.
Ante los sistemas, los escolares asumen que el número de ecuaciones necesariamente debe coincidir con el número de incógnitas, pero no es así. El número de ecuaciones en el sistema no depende de las variables, puede haber un número arbitrariamente grande de ellas.
Métodos simples y complejos para resolver sistemas de ecuaciones.
No existe una forma analítica general para resolver tales sistemas, todos los métodos se basan en soluciones numéricas. El curso de matemáticas de la escuela describe en detalle métodos como la permutación, la suma algebraica, la sustitución, así como el método gráfico y matricial, la solución por el método de Gauss.
La tarea principal en la enseñanza de métodos de resolución es enseñar cómo analizar correctamente el sistema y encontrar el algoritmo de solución óptimo para cada ejemplo. Lo principal no es memorizar un sistema de reglas y acciones para cada método, sino comprender los principios de aplicación de un método en particular.
La solución de ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales del 7º grado del programa escolar de educación general es bastante simple y se explica con gran detalle. En cualquier libro de texto de matemáticas, esta sección recibe suficiente atención. La solución de ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales por el método de Gauss y Cramer se estudia con más detalle en los primeros cursos de instituciones de educación superior.
Solución de sistemas por el método de sustitución
Las acciones del método de sustitución están dirigidas a expresar el valor de una variable a través de la segunda. La expresión se sustituye en la ecuación restante, luego se reduce a una sola forma variable. La acción se repite dependiendo del número de incógnitas en el sistema
Demos un ejemplo de un sistema de ecuaciones lineales de la clase 7 por el método de sustitución:
Como puede verse en el ejemplo, la variable x se expresó a través de F(X) = 7 + Y. La expresión resultante, sustituida en la segunda ecuación del sistema en lugar de X, ayudó a obtener una variable Y en la segunda ecuación . Decisión este ejemplo no causa dificultades y le permite obtener el valor Y. El último paso es verificar los valores recibidos.
No siempre es posible resolver un ejemplo de un sistema de ecuaciones lineales por sustitución. Las ecuaciones pueden ser complejas y la expresión de la variable en términos de la segunda incógnita será demasiado engorrosa para cálculos posteriores. Cuando hay más de 3 incógnitas en el sistema, la solución de sustitución tampoco es práctica.
Solución de un ejemplo de un sistema de ecuaciones lineales no homogéneas:
Solución usando suma algebraica
Al buscar solución a sistemas por el método de suma, suma término a término y multiplicación de ecuaciones por varios numeros. meta final Operaciones matemáticas es una ecuación con una variable.
para aplicaciones este método se necesita práctica y observación. No es fácil resolver un sistema de ecuaciones lineales usando el método de suma con el número de variables 3 o más. La suma algebraica es útil cuando las ecuaciones contienen fracciones y números decimales.
Algoritmo de acción de solución:
- Multiplica ambos lados de la ecuación por algún número. Como resultado de la operación aritmética, uno de los coeficientes de la variable debe volverse igual a 1.
- Suma la expresión resultante término por término y encuentra una de las incógnitas.
- Sustituya el valor resultante en la segunda ecuación del sistema para encontrar la variable restante.
Método de solución introduciendo una nueva variable
Se puede introducir una nueva variable si el sistema necesita encontrar una solución para no más de dos ecuaciones, el número de incógnitas tampoco debe ser más de dos.
El método se utiliza para simplificar una de las ecuaciones introduciendo una nueva variable. La nueva ecuación se resuelve con respecto a la incógnita ingresada y el valor resultante se usa para determinar la variable original.
Puede verse en el ejemplo que al introducir una nueva variable t, fue posible reducir la primera ecuación del sistema a un trinomio cuadrado estándar. Puedes resolver un polinomio encontrando el discriminante.
Es necesario encontrar el valor del discriminante usando la conocida fórmula: D = b2 - 4*a*c, donde D es el discriminante buscado, b, a, c son los multiplicadores del polinomio. En el ejemplo dado, a=1, b=16, c=39, por lo tanto, D=100. Si el discriminante es mayor que cero, entonces hay dos soluciones: t = -b±√D / 2*a, si el discriminante menos que cero, entonces solo hay una solución: x= -b / 2*a.
La solución para los sistemas resultantes se encuentra por el método de adición.
Un método visual para resolver sistemas.
Adecuado para sistemas con 3 ecuaciones. El método es construir sobre eje de coordenadas gráficas de cada ecuación incluida en el sistema. Las coordenadas de los puntos de intersección de las curvas y serán solución común sistemas
El método gráfico tiene una serie de matices. Considere varios ejemplos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales de manera visual.
Como se puede ver en el ejemplo, se construyeron dos puntos para cada línea, los valores de la variable x se eligieron arbitrariamente: 0 y 3. Con base en los valores de x, se encontraron los valores para y: 3 y 0. Los puntos con coordenadas (0, 3) y (3, 0) fueron marcados en el gráfico y conectados por una línea.
Los pasos deben repetirse para la segunda ecuación. El punto de intersección de las rectas es la solución del sistema.
En el siguiente ejemplo, se requiere encontrar una solución gráfica al sistema de ecuaciones lineales: 0.5x-y+2=0 y 0.5x-y-1=0.
Como se puede ver en el ejemplo, el sistema no tiene solución, porque las gráficas son paralelas y no se cortan en toda su longitud.
Los sistemas de los ejemplos 2 y 3 son similares, pero cuando se construyen, se vuelve obvio que sus soluciones son diferentes. Cabe recordar que no siempre es posible decir si el sistema tiene solución o no, siempre es necesario construir un gráfico.
Matrix y sus variedades
Las matrices se utilizan para escribir brevemente un sistema de ecuaciones lineales. Una tabla se llama matriz. clase especial lleno de números. n*m tiene n - filas ym - columnas.
Una matriz es cuadrada cuando el número de columnas y filas es igual. Una matriz - un vector es una matriz de una columna con infinitamente número posible líneas. Una matriz con unidades a lo largo de una de las diagonales y otros elementos cero se llama identidad.
Una matriz inversa es una matriz de este tipo, cuando se multiplica por la que la original se convierte en una unidad, dicha matriz existe solo para el cuadrado original.
Reglas para transformar un sistema de ecuaciones en una matriz
Con respecto a los sistemas de ecuaciones, los coeficientes y miembros libres de las ecuaciones se escriben como números de la matriz, una ecuación es una fila de la matriz.
Una fila de matriz se llama distinta de cero si al menos un elemento de la fila no es igual a cero. Por lo tanto, si en alguna de las ecuaciones el número de variables difiere, entonces es necesario ingresar cero en lugar de la incógnita que falta.
Las columnas de la matriz deben corresponder estrictamente a las variables. Esto significa que los coeficientes de la variable x solo se pueden escribir en una columna, por ejemplo, el primero, el coeficiente de la incógnita y, solo en la segunda.
Al multiplicar una matriz, todos los elementos de la matriz se multiplican secuencialmente por un número.
Opciones para encontrar la matriz inversa
La fórmula para encontrar la matriz inversa es bastante simple: K -1 = 1 / |K|, donde K -1 es la matriz inversa y |K| - determinante matricial. |K| no debe ser igual a cero, entonces el sistema tiene solución.
El determinante se calcula fácilmente para una matriz de dos por dos, solo es necesario multiplicar los elementos en diagonal entre sí. Para la opción "tres por tres", existe una fórmula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + un 3 segundo 2 do 1 . Puede usar la fórmula, o puede recordar que necesita tomar un elemento de cada fila y cada columna para que los números de columna y fila de los elementos no se repitan en el producto.
Solución de ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales por el método matricial
El método matricial para encontrar una solución hace posible reducir notaciones engorrosas cuando se resuelven sistemas con gran cantidad variables y ecuaciones.
En el ejemplo, a nm son los coeficientes de las ecuaciones, la matriz es un vector x n son las variables y b n son los términos libres.
Solución de sistemas por el método de Gauss
En matemáticas superiores, el método de Gauss se estudia junto con el método de Cramer, y el proceso de encontrar una solución a los sistemas se denomina método de resolución de Gauss-Cramer. Estos métodos se utilizan para encontrar variables del sistema con muchas ecuaciones lineales.
El método de Gauss es muy similar a las soluciones de sustitución y adición algebraica, pero es más sistemático. En el curso escolar se utiliza la solución Gaussiana para sistemas de 3 y 4 ecuaciones. El propósito del método es llevar el sistema a la forma de un trapezoide invertido. Mediante transformaciones y sustituciones algebraicas, el valor de una variable se encuentra en una de las ecuaciones del sistema. La segunda ecuación es una expresión con 2 incógnitas y 3 y 4, con 3 y 4 variables, respectivamente.
Después de llevar el sistema a la forma descrita, la solución adicional se reduce a la sustitución secuencial de variables conocidas en las ecuaciones del sistema.
En los libros de texto escolares para el grado 7, un ejemplo de una solución gaussiana se describe a continuación:
Como se puede ver en el ejemplo, en el paso (3) se obtuvieron dos ecuaciones 3x 3 -2x 4 =11 y 3x 3 +2x 4 =7. La solución de cualquiera de las ecuaciones te permitirá encontrar una de las variables x n.
El teorema 5, que se menciona en el texto, dice que si una de las ecuaciones del sistema se reemplaza por una equivalente, entonces el sistema resultante también será equivalente al original.
El método de Gauss es difícil de entender para los estudiantes. escuela secundaria, pero es uno de los más maneras interesantes para desarrollar el ingenio de los niños inscritos en un programa de estudio profundo en clases de matemáticas y física.
Para facilitar el registro de los cálculos, se acostumbra hacer lo siguiente:
Los coeficientes de la ecuación y los términos libres se escriben en forma de matriz, donde cada fila de la matriz corresponde a una de las ecuaciones del sistema. separa el lado izquierdo de la ecuación del lado derecho. Los números romanos denotan el número de ecuaciones en el sistema.
Primero anotan la matriz con la que trabajar, luego todas las acciones realizadas con una de las filas. La matriz resultante se escribe después del signo de "flecha" y continúa realizando las operaciones algebraicas necesarias hasta lograr el resultado.
Como resultado, se debe obtener una matriz en la que una de las diagonales sea 1 y todos los demás coeficientes sean iguales a cero, es decir, la matriz se reduce a una sola forma. No debemos olvidarnos de hacer cálculos con los números de ambos lados de la ecuación.
Esta notación es menos engorrosa y le permite no distraerse enumerando numerosas incógnitas.
La aplicación gratuita de cualquier método de solución requerirá cuidado y cierta experiencia. No se aplican todos los métodos. Algunas formas de encontrar soluciones son más preferibles en un área particular de la actividad humana, mientras que otras existen con el propósito de aprender.
Con este programa matemático podrás resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables utilizando el método de sustitución y el método de suma.
El programa no sólo da la respuesta al problema, sino que también conduce solución detallada con explicaciones de los pasos de solución de dos maneras: el método de sustitución y el método de adición.
Este programa Puede ser útil para estudiantes de secundaria. escuelas de educacion general En preparación para trabajo de control y exámenes, al probar el conocimiento antes del examen, los padres para controlar la solución de muchos problemas en matemáticas y álgebra. ¿O tal vez es demasiado caro para ti contratar a un tutor o comprar nuevos libros de texto? ¿O simplemente quieres hacerlo lo antes posible? tarea¿matemáticas o álgebra? En este caso, también puede utilizar nuestros programas con una solución detallada.
De esta forma, podrás realizar tu propia formación y/o la formación de tus hermanos o hermanas menores, a la vez que se incrementa el nivel de formación en el campo de las tareas a resolver.
Reglas para ingresar ecuaciones
Cualquier letra latina puede actuar como variable.
Por ejemplo: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) etc.
Al ingresar ecuaciones puedes usar paréntesis. En este caso, las ecuaciones se simplifican primero. Las ecuaciones después de simplificaciones deben ser lineales, es decir de la forma ax+by+c=0 con la exactitud del orden de los elementos.
Por ejemplo: 6x+1 = 5(x+y)+2
En las ecuaciones, puede usar no solo números enteros, sino también números fraccionarios en forma de decimales y fracciones comunes.
Reglas para ingresar fracciones decimales.
Parte entera y fraccionaria fracciones decimales pueden estar separados por un punto o una coma.
Por ejemplo: 2,1n + 3,5m = 55
Reglas para ingresar fracciones ordinarias.
Solo un número entero puede actuar como numerador, denominador y parte entera de una fracción.
El denominador no puede ser negativo.
Cuando usted entre fracción numérica El numerador está separado del denominador por un signo de división: /
La parte entera está separada de la fracción por un ampersand: &
Ejemplos.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2,1p + 55 = -2/7(3,5p - 2&1/8q)
Resolver un sistema de ecuaciones
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Un poco de teoría.
Resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Método de sustitución
La secuencia de acciones al resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método de sustitución:
1) expresar una variable de alguna ecuación del sistema en términos de otra;
2) sustituir la expresión resultante en otra ecuación del sistema en lugar de esta variable;
$$ \left\( \begin(matriz)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(matriz) \right. $$
Expresemos desde la primera ecuación y hasta x: y = 7-3x. Sustituyendo la expresión 7-3x en lugar de y en la segunda ecuación, obtenemos el sistema:
$$ \left\( \begin(matriz)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(matriz) \right. $$
Es fácil demostrar que el primer y segundo sistema tienen las mismas soluciones. En el segundo sistema, la segunda ecuación contiene solo una variable. Resolvamos esta ecuación:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Flecha derecha -5x+14-6x=3 \Flecha derecha -11x=-11 \Flecha derecha x=1 $$
Sustituyendo el número 1 en lugar de x en la ecuación y=7-3x, encontramos el valor correspondiente de y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$
Par (1;4) - solución del sistema
Los sistemas de ecuaciones en dos variables que tienen las mismas soluciones se llaman equivalente. Los sistemas que no tienen soluciones también se consideran equivalentes.
Resolver sistemas de ecuaciones lineales sumando
Considere otra forma de resolver sistemas de ecuaciones lineales: el método de la suma. Al resolver sistemas de esta manera, así como al resolver por el método de sustitución, pasamos de un sistema dado a otro sistema equivalente, en el que una de las ecuaciones contiene solo una variable.
La secuencia de acciones al resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método de suma:
1) multiplicar las ecuaciones del sistema término por término, eligiendo los factores de modo que los coeficientes de una de las variables sean números opuestos;
2) sumar término por término las partes izquierda y derecha de las ecuaciones del sistema;
3) resolver la ecuación resultante con una variable;
4) encontrar el valor correspondiente de la segunda variable.
Ejemplo. Resolvamos el sistema de ecuaciones:
$$ \left\( \begin(matriz)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(matriz) \right. $$
En las ecuaciones de este sistema, los coeficientes de y son números opuestos. Sumando término por término las partes izquierda y derecha de las ecuaciones, obtenemos una ecuación con una variable 3x=33. Sustituyamos una de las ecuaciones del sistema, por ejemplo la primera, por la ecuación 3x=33. Consigamos el sistema
$$ \left\( \begin(matriz)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(matriz) \right. $$
De la ecuación 3x=33 encontramos que x=11. Sustituyendo este valor de x en la ecuación \(x-3y=38 \) obtenemos una ecuación con la variable y: \(11-3y=38 \). Resolvamos esta ecuación:
\(-3y=27 \flecha derecha y=-9 \)
Así, encontramos la solución al sistema de ecuaciones sumando: \(x=11; y=-9 \) o \((11; -9) \)
Aprovechando que en las ecuaciones del sistema los coeficientes de y son números opuestos, redujimos su solución a la solución de un sistema equivalente (sumando ambas partes de cada una de las ecuaciones del simema original), en el que uno de las ecuaciones contiene sólo una variable.
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