Si la tarea requiere estudio completo funciones f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 con la construcción de su gráfico, luego consideraremos este principio en detalle.
Para resolver el problema de este tipo debe utilizar las propiedades y gráficas de los principales funciones elementales. El algoritmo de investigación incluye los siguientes pasos:
Yandex.RTB R-A-339285-1
Encontrar el dominio de definición
Dado que la investigación se lleva a cabo en el dominio de la función, es necesario comenzar con este paso.
Ejemplo 1
Detrás ejemplo dado implica encontrar los ceros del denominador para excluirlos del DPV.
4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞
Como resultado, puede obtener raíces, logaritmos, etc. Entonces se puede buscar la ODZ para la raíz de un grado par de tipo g (x) 4 por la desigualdad g (x) ≥ 0 , para el logaritmo log a g (x) por la desigualdad g (x) > 0 .
Investigación de los límites de ODZ y búsqueda de asíntotas verticales
Hay asíntotas verticales en los límites de la función, cuando los límites unilaterales en tales puntos son infinitos.
Ejemplo 2
Por ejemplo, considere los puntos fronterizos iguales a x = ± 1 2 .
Entonces es necesario estudiar la función para encontrar el límite unilateral. Entonces obtenemos que: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ lím x → - 1 2 + 0 f (x) = lím x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lím x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lím x → 1 2 - 0 f (x) = lím x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lím x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lím x → 1 2 - 0 f (x) = lím x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lím x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞
Esto muestra que los límites unilaterales son infinitos, lo que significa que las líneas x = ± 1 2 son las asíntotas verticales de la gráfica.
Investigación de la función y para pares o impares
Cuando se cumple la condición y (- x) = y (x), la función se considera par. Esto sugiere que la gráfica se ubica simétricamente con respecto a O y. Cuando se cumple la condición y (- x) = - y (x), la función se considera impar. Esto significa que la simetría va con respecto al origen de coordenadas. Si al menos una desigualdad falla, obtenemos una función de forma general.
El cumplimiento de la igualdad y (- x) = y (x) indica que la función es par. A la hora de construir hay que tener en cuenta que habrá simetría con respecto a O y.
Para resolver la desigualdad se utilizan intervalos de aumento y disminución con las condiciones f"(x) ≥ 0 y f"(x) ≤ 0, respectivamente.
Definición 1
Puntos estacionarios son puntos que vuelven la derivada a cero.
Puntos críticos son puntos interiores del dominio donde la derivada de la función es igual a cero o no existe.
A la hora de tomar una decisión, se deben tener en cuenta los siguientes puntos:
- para los intervalos existentes de aumento y disminución de la desigualdad de la forma f”(x) > 0, los puntos críticos no están incluidos en la solución;
- los puntos en los que se define la función sin una derivada finita deben incluirse en los intervalos de aumento y disminución (por ejemplo, y \u003d x 3, donde el punto x \u003d 0 define la función, la derivada tiene el valor de infinito en este punto, y " \u003d 1 3 x 2 3 , y " (0) = 1 0 = ∞ , x = 0 se incluye en el intervalo de aumento);
- para evitar desacuerdos, se recomienda utilizar literatura matemática, la cual es recomendada por el Ministerio de Educación.
La inclusión de puntos críticos en los intervalos de crecimiento y decrecimiento en el caso de que satisfagan el dominio de la función.
Definición 2
Para determinando los intervalos de aumento y disminución de la función, es necesario encontrar:
- derivado;
- puntos críticos;
- dividir el dominio de definición con la ayuda de puntos críticos en intervalos;
- determine el signo de la derivada en cada uno de los intervalos, donde + es un aumento y - es una disminución.
Ejemplo 3
Encuentra la derivada en el dominio f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .
Decisión
Para resolver necesitas:
- encontrar puntos estacionarios, este ejemplo tiene x = 0;
- encontrar los ceros del denominador, el ejemplo toma el valor cero en x = ± 1 2 .
Exponemos puntos en el eje numérico para determinar la derivada en cada intervalo. Para hacer esto, basta con tomar cualquier punto del intervalo y hacer un cálculo. En un resultado positivo en el gráfico, representamos +, lo que significa un aumento en la función, y - significa su disminución.
Por ejemplo, f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, lo que significa que el primer intervalo a la izquierda tiene un signo +. Considere el número línea.
Responder:
- hay un aumento en la función en el intervalo - ∞ ; - 1 2 y (- 1 2 ; 0 ] ;
- hay una disminución en el intervalo [ 0 ; 1 2) y 1 2 ; +∞.
En el diagrama, usando + y -, se representan la positividad y la negatividad de la función, y las flechas indican decrecimiento y aumento.
Los puntos extremos de una función son los puntos donde se define la función ya través de los cuales la derivada cambia de signo.
Ejemplo 4
Si consideramos un ejemplo donde x \u003d 0, entonces el valor de la función en él es f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0. Cuando el signo de la derivada cambia de + a - y pasa por el punto x \u003d 0, entonces el punto con coordenadas (0; 0) se considera el punto máximo. Cuando el signo se cambia de - a +, obtenemos el punto mínimo.
La convexidad y la concavidad se determinan resolviendo desigualdades de la forma f "" (x) ≥ 0 y f "" (x) ≤ 0 . Menos a menudo usan el nombre protuberancia hacia abajo en lugar de concavidad, y protuberancia hacia arriba en lugar de protuberancia.
Definición 3
Para determinar los espacios de concavidad y convexidad necesario:
- encontrar la segunda derivada;
- encontrar los ceros de la función de la segunda derivada;
- romper el dominio de definición por los puntos que aparecen en intervalos;
- determinar el signo de la brecha.
Ejemplo 5
Encuentre la segunda derivada del dominio de definición.
Decisión
f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3
Encontramos los ceros del numerador y el denominador, donde, usando nuestro ejemplo, tenemos que los ceros del denominador x = ± 1 2
Ahora necesitas poner puntos en la recta numérica y determinar el signo de la segunda derivada de cada intervalo. eso lo conseguimos
Responder:
- la función es convexa desde el intervalo - 1 2 ; 12;
- la función es cóncava a partir de los huecos - ∞ ; - 1 2 y 1 2 ; +∞.
Definición 4
punto de inflexión es un punto de la forma x 0 ; f(x0) . Cuando tiene una tangente a la gráfica de la función, entonces cuando pasa por x 0, la función cambia de signo al contrario.
En otras palabras, este es un punto por el cual pasa la segunda derivada y cambia de signo, y en los puntos mismos es igual a cero o no existe. Todos los puntos se consideran dominio de la función.
En el ejemplo se vio que no hay puntos de inflexión, ya que la segunda derivada cambia de signo al pasar por los puntos x = ± 1 2 . Ellos, a su vez, no están incluidos en el dominio de la definición.
Encontrar asíntotas horizontales y oblicuas
Al definir una función en el infinito, se deben buscar asíntotas horizontales y oblicuas.
Definición 5
asíntotas oblicuas se dibujan usando líneas dadas por la ecuación y = k x + b, donde k = lim x → ∞ f (x) x y b = lim x → ∞ f (x) - k x .
Para k = 0 y b no igual a infinito, encontramos que la asíntota oblicua se convierte en horizontal.
En otras palabras, las asíntotas son las rectas a las que se acerca la gráfica de la función en el infinito. Esto contribuye a la construcción rápida de la gráfica de la función.
Si no hay asíntotas, pero la función está definida en ambos infinitos, es necesario calcular el límite de la función en estos infinitos para comprender cómo se comportará la gráfica de la función.
Ejemplo 6
Como ejemplo, considere que
k = lím x → ∞ f (x) x = lím x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lím x → ∞ (f (x) - k x) = lím x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4
es una asíntota horizontal. Después de investigar la función, puede comenzar a construirla.
Cálculo del valor de una función en puntos intermedios
Para que el trazado sea más preciso, se recomienda encontrar varios valores de la función en puntos intermedios.
Ejemplo 7
Del ejemplo que hemos considerado, es necesario encontrar los valores de la función en los puntos x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4. Como la función es par, obtenemos que los valores coinciden con los valores en estos puntos, es decir, obtenemos x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x \u003d 1 4.
Escribamos y resolvamos:
F (- 2) = F (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 F (- 1) - F (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08
Para determinar los máximos y mínimos de la función, puntos de inflexión, puntos intermedios, es necesario construir asíntotas. Para una designación conveniente, se fijan intervalos de aumento, disminución, convexidad y concavidad. Considere la siguiente figura.
Es necesario dibujar líneas gráficas a través de los puntos marcados, lo que le permitirá acercarse a las asíntotas, siguiendo las flechas.
Esto concluye el estudio completo de la función. Hay casos de construcción de algunas funciones elementales para las que se utilizan transformaciones geométricas.
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Para un estudio completo de la función y trazar su gráfica, se recomienda utilizar el siguiente esquema:
1) encontrar el alcance de la función;
2) encontrar los puntos de discontinuidad de la función y las asíntotas verticales (si existen);
3) investigar el comportamiento de la función en el infinito, encontrar las asíntotas horizontales y oblicuas;
4) investigar la función de uniformidad (imparidad) y de periodicidad (para funciones trigonométricas);
5) encontrar extremos e intervalos de monotonicidad de la función;
6) determinar los intervalos de convexidad y puntos de inflexión;
7) encontrar puntos de intersección con los ejes de coordenadas, si es posible, y algunos puntos adicionales que refinen el gráfico.
El estudio de la función se realiza simultáneamente con la construcción de su gráfica.
Ejemplo 9 Explora la función y construye un gráfico.
1. Dominio de definición: ;
2. La función se rompe en los puntos 
,
;
Investigamos la función por la presencia de asíntotas verticales.
;
,
─ asíntota vertical.
;
,
─ asíntota vertical.
3. Investigamos la función por la presencia de asíntotas oblicuas y horizontales.
Derecho 
─ asíntota oblicua, si 
,
.
,
.
Derecho 
─ asíntota horizontal.
4. La función es par porque 
. La paridad de la función indica la simetría de la gráfica con respecto al eje y.
5. Encuentra los intervalos de monotonicidad y los extremos de la función.
Encontremos los puntos críticos, es decir. puntos donde la derivada es 0 o no existe: 
;
. tenemos tres puntos 
;
. Estos puntos dividen todo el eje real en cuatro intervalos. Definamos los signos 
en cada uno de ellos.
En los intervalos (-∞; -1) y (-1; 0) la función crece, en los intervalos (0; 1) y (1; +∞) decrece. Al pasar por un punto 
la derivada cambia de signo de más a menos, por lo tanto, en este punto, la función tiene un máximo 
.
6. Busquemos intervalos de convexidad, puntos de inflexión.
Encontremos los puntos donde 
es 0, o no existe.
no tiene raíces reales. 
,
,
puntos 
y 
dividir el eje real en tres intervalos. Definamos el signo 
en cada intervalo.
Así, la curva en los intervalos 
y 
convexo hacia abajo, en el intervalo (-1;1) convexo hacia arriba; no hay puntos de inflexión, ya que la función en los puntos 
y 
no especificado
7. Encuentra los puntos de intersección con los ejes.
con eje 
la gráfica de la función se corta en el punto (0; -1), y con el eje 
la gráfica no se corta porque el numerador de esta función no tiene raíces reales.
La gráfica de la función dada se muestra en la Figura 1.
Figura 1 ─ Gráfica de la función 
Aplicación del concepto de derivada en economía. Función elasticidad
Estudiar procesos económicos y resolver otros tareas aplicadas A menudo se utiliza el concepto de elasticidad de una función.
Definición. Función elasticidad 
se llama el límite de la razón del incremento relativo de la función 
al incremento relativo de la variable 
en 
, . (VIII)
La elasticidad de una función muestra aproximadamente cuánto por ciento cambiará la función 
al cambiar la variable independiente 
por 1%.
La elasticidad de una función se utiliza en el análisis de la demanda y el consumo. Si la elasticidad de la demanda (en valor absoluto) 
, entonces la demanda se considera elástica si 
─ neutral si 
─ inelástica con respecto al precio (o al ingreso).
Ejemplo 10 Calcular la elasticidad de una función 
y encuentre el valor del índice de elasticidad para 
= 3.
Solución: según la fórmula (VII) la elasticidad de la función:
Sea x=3 entonces 
Esto significa que si la variable independiente aumenta un 1%, entonces el valor de la variable dependiente aumentará un 1,42%.
Ejemplo 11 Sea la función de demanda 
con respecto al precio 
tiene la forma 
, donde 
─ coeficiente constante. Encuentre el valor del índice de elasticidad de la función de demanda al precio x = 3 den. unidades
Solución: calcular la elasticidad de la función de demanda mediante la fórmula (VII)
Asumiendo 
unidades monetarias, obtenemos 
. Esto significa que al precio 
Unidad monetaria un aumento de precio del 1% provocará una disminución de la demanda del 6%, es decir la demanda es elástica.
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