Sistema coordinado - se trata de dos líneas de coordenadas perpendiculares entre sí que se cortan en el punto que es el origen de cada una de ellas.

Ejes de coordenadas son las rectas que forman el sistema de coordenadas.

abscisa(eje x) es el eje horizontal.

eje Y(eje y) es el eje vertical.

Función

Función es un mapeo de los elementos del conjunto X al conjunto Y. En este caso, cada elemento x del conjunto X corresponde a un único valor y del conjunto Y.

Derecho

Función lineal es una función de la forma y = a x + b donde a y b son números cualesquiera.

La gráfica de una función lineal es una línea recta.

Considere cómo se verá el gráfico dependiendo de los coeficientes a y b:

si un a > 0 , la recta pasará por los cuartos de coordenadas I y III.

si un un< 0 , прямая будет проходить через II и IV координатные четверти.

b es el punto de intersección de la recta con el eje y.

si un a = 0, la función se convierte en y = b.

Por separado, seleccionamos el gráfico de la ecuación x \u003d a.

Importante: esta ecuación no es una función, ya que se viola la definición de la función (la función asocia cada elemento x del conjunto X con un único valor y del conjunto Y). Esta ecuación asocia un elemento x con un conjunto infinito de elementos y. Sin embargo, la gráfica de esta ecuación se puede trazar. Simplemente no lo llamemos la palabra orgullosa "Función".

Parábola

La gráfica de la función y = a x 2 + b x + c es parábola .

Para determinar sin ambigüedades cómo se ubica el gráfico de parábola en el plano, necesita saber a qué afectan los coeficientes a, b, c:

1. El coeficiente a indica hacia dónde se dirigen las ramas de la parábola.

• Si a > 0, las ramas de la parábola se dirigen hacia arriba.
• si un< 0 , ветки параболы направлены вниз.

1. El coeficiente c indica en qué punto la parábola se cruza con el eje y.
2. El coeficiente b ayuda a encontrar x en - la coordenada de la parte superior de la parábola.

x en \u003d - b 2 a

1. El discriminante te permite determinar cuántos puntos de intersección tiene una parábola con un eje.

• Si D > 0 - dos puntos de intersección.
• Si D = 0 - un punto de intersección.
• Si D< 0 — нет точек пересечения.

La gráfica de la función y = k x es hipérbola .

Un rasgo característico de una hipérbola es que tiene asíntotas.

Asíntotas de una hipérbola - Líneas rectas, a las que tiende, yendo al infinito.

El eje x es la asíntota horizontal de la hipérbola.

El eje y es la asíntota vertical de la hipérbola.

En el gráfico, las asíntotas están marcadas con una línea de puntos verde.

Si el coeficiente k > 0, entonces las ramas de la hiperola pasan por los cuartos I y III.

Si k<     0, ветви гиперболы проходят через II и IV четверти.

Cuanto menor sea el valor absoluto del coeficiente k (el coeficiente k sin tener en cuenta el signo), más cerca estarán las ramas de la hipérbola de los ejes x e y.

Raíz cuadrada

La función y     =     x tiene la siguiente gráfica:

Funciones crecientes/decrecientes

Función y   =   f(x) aumenta en el intervalo si un valor mayor del argumento (un valor x mayor) corresponde a un valor de función mayor (un valor y mayor).

Es decir, cuanto más (a la derecha) x, más (más alto) y. El gráfico sube (mirar de izquierda a derecha)

Función y   =   f(x) disminuye en el intervalo si un valor de argumento más grande (un valor de x más grande) corresponde a un valor de función más pequeño (un valor de y más grande).

Conocimiento funciones elementales basicas, sus propiedades y graficas no menos importante que conocer la tabla de multiplicar. Son como una base, todo se basa en ellos, todo se construye a partir de ellos y todo se reduce a ellos.

En este artículo, enumeramos todas las principales funciones elementales, damos sus gráficos y las damos sin derivación y pruebas. propiedades de las funciones elementales basicas según el esquema:

• comportamiento de la función en los límites del dominio de definición, asíntotas verticales (si es necesario, consulte el artículo clasificación de los puntos de ruptura de una función);
• par e impar;
• convexidad (convexidad hacia arriba) y concavidad (convexidad hacia abajo) intervalos, puntos de inflexión (si es necesario, consulte el artículo función convexidad, dirección de convexidad, puntos de inflexión, convexidad y condiciones de inflexión);
• asíntotas oblicuas y horizontales;
• puntos singulares de funciones;
• propiedades especiales de algunas funciones (por ejemplo, el período positivo más pequeño para funciones trigonométricas).

Si estás interesado en o, entonces puedes ir a estas secciones de la teoría.

Funciones elementales básicas son: función constante (constante), raíz de grado n, función potencia, función exponencial, función logarítmica, funciones trigonométricas y trigonométricas inversas.

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Función permanente.

Se da una función constante en el conjunto de todos los números reales mediante la fórmula , donde C es un número real. La función constante asigna a cada valor real de la variable independiente x el mismo valor de la variable dependiente y - el valor С. Una función constante también se llama constante.

La gráfica de una función constante es una línea recta paralela al eje x y que pasa por un punto con coordenadas (0,C) . Por ejemplo, mostremos gráficas de funciones constantes y=5 , y=-2 y , que en la siguiente figura corresponden a las líneas negra, roja y azul, respectivamente.

Propiedades de una función constante.

• Dominio de definición: todo el conjunto de los números reales.
• La función constante es par.
• Rango de valores: conjunto formado por un único número C.
• Una función constante no es creciente ni decreciente (por eso es constante).
• No tiene sentido hablar de la convexidad y concavidad de la constante.
• No hay asíntota.
• La función pasa por el punto (0,C) del plano de coordenadas.

La raíz de grado n.

Considere la función elemental básica, que viene dada por la fórmula , donde n es un número natural mayor que uno.

La raíz de grado n, n es un número par.

Comencemos con la función raíz n-ésima para valores pares del exponente raíz n.

Por ejemplo, damos un dibujo con imágenes de gráficas de funciones. y , corresponden a líneas negras, rojas y azules.

Los gráficos de las funciones de la raíz de un grado par tienen una forma similar para otros valores del indicador.

Propiedades de la raíz de grado n para n par.

La raíz de grado n, n es un número impar.

La función raíz de grado n con un exponente impar de la raíz n se define en todo el conjunto de números reales. Por ejemplo, presentamos gráficas de funciones y , las curvas negra, roja y azul les corresponden.

Para otros valores impares del exponente raíz, las gráficas de la función tendrán un aspecto similar.

Propiedades de la raíz de grado n para n impar.

Función de poder.

La función potencia viene dada por una fórmula de la forma .

Considere el tipo de gráficos de una función de potencia y las propiedades de una función de potencia según el valor del exponente.

Comencemos con una función de potencia con un exponente entero a . En este caso, la forma de los gráficos de las funciones de potencia y las propiedades de las funciones dependen del exponente par o impar, así como de su signo. Por lo tanto, primero consideramos funciones de potencia para valores impares positivos del exponente a , luego para valores pares positivos, luego para exponentes impares negativos y, finalmente, para pares negativos a .

Las propiedades de las funciones de potencia con exponentes fraccionarios e irracionales (así como el tipo de gráficos de tales funciones de potencia) dependen del valor del exponente a. Los consideraremos, en primer lugar, cuando a es de cero a uno, en segundo lugar, cuando a es mayor que uno, en tercer lugar, cuando a es de menos uno a cero, y en cuarto lugar, cuando a es menor que menos uno.

En conclusión de esta subsección, en aras de la exhaustividad, describimos una función de potencia con exponente cero.

Función potencia con exponente positivo impar.

Considere una función de potencia con un exponente positivo impar, es decir, con a=1,3,5,… .

La siguiente figura muestra gráficos de funciones de potencia - línea negra, - línea azul, - línea roja, - línea verde. Para a=1 tenemos función lineal y=x.

Propiedades de una función potencia con exponente positivo impar.

Función potencia con exponente par positivo.

Considere una función de potencia con un exponente par positivo, es decir, para a=2,4,6,… .

Como ejemplo, tomemos gráficos de funciones de potencia: línea negra, línea azul, línea roja. Para a=2 tenemos una función cuadrática cuya gráfica es parábola cuadrática.

Propiedades de una función potencia con exponente par positivo.

Función de potencia con un exponente negativo impar.

Mire los gráficos de la función exponencial para valores negativos impares del exponente, es decir, para \u003d -1, -3, -5, ...

La figura muestra gráficos de funciones exponenciales como ejemplos: línea negra, línea azul, línea roja, línea verde. Para a=-1 tenemos proporcionalidad inversa, cuya gráfica es hipérbola.

Propiedades de una función potencia con exponente negativo impar.

Función potencia con exponente par negativo.

Pasemos a la función potencia en a=-2,-4,-6,….

La figura muestra gráficos de funciones de potencia - línea negra, - línea azul, - línea roja.

Propiedades de una función potencia con exponente par negativo.

Una función de potencia con un exponente racional o irracional cuyo valor es mayor que cero y menor que uno.

¡Nota! Si a es una fracción positiva con un denominador impar, algunos autores consideran que el intervalo es el dominio de la función de potencia. Al mismo tiempo, se estipula que el exponente a es una fracción irreducible. Ahora los autores de muchos libros de texto sobre álgebra y los comienzos del análisis NO DEFINEN funciones de potencia con un exponente en forma de fracción con un denominador impar para valores negativos del argumento. Nos adheriremos a ese punto de vista, es decir, consideraremos que los dominios de las funciones de potencia con exponentes fraccionarios positivos son el conjunto. Alentamos a los estudiantes a obtener la perspectiva de su maestro sobre este punto sutil para evitar desacuerdos.

Considere una función de potencia con exponente racional o irracional a , y .

Presentamos gráficos de funciones de potencia para a=11/12 (línea negra), a=5/7 (línea roja), (línea azul), a=2/5 (línea verde).

Una función de potencia con un exponente racional o irracional no entero mayor que uno.

Considere una función de potencia con un exponente racional o irracional no entero a , y .

Presentemos las gráficas de las funciones de potencia dadas por las fórmulas (líneas negras, rojas, azules y verdes respectivamente).

Para otros valores del exponente a, las gráficas de la función tendrán un aspecto similar.

Propiedades de la función de potencia para .

Una función de potencia con un exponente real que es mayor que menos uno y menor que cero.

¡Nota! Si a es una fracción negativa con un denominador impar, entonces algunos autores consideran el intervalo . Al mismo tiempo, se estipula que el exponente a es una fracción irreducible. Ahora los autores de muchos libros de texto sobre álgebra y los comienzos del análisis NO DEFINEN funciones de potencia con un exponente en forma de fracción con un denominador impar para valores negativos del argumento. Nos adheriremos a tal punto de vista, es decir, consideraremos que los dominios de las funciones de potencia con exponentes fraccionarios fraccionarios negativos son el conjunto, respectivamente. Alentamos a los estudiantes a obtener la perspectiva de su maestro sobre este punto sutil para evitar desacuerdos.

Pasamos a la función potencia, donde .

Para tener una buena idea del tipo de gráficas de funciones de potencia para, damos ejemplos de gráficas de funciones (curvas negras, rojas, azules y verdes, respectivamente).

Propiedades de una función potencia con exponente a , .

Una función de potencia con un exponente real no entero menor que menos uno.

Demos ejemplos de gráficos de funciones de potencia para , se representan en líneas negras, rojas, azules y verdes, respectivamente.

Propiedades de una función de potencia con un exponente negativo no entero menor que menos uno.

Cuando a=0 y tenemos una función, esta es una línea recta de la que se excluye el punto (0; 1) (se acordó que la expresión 0 0 no le otorgaba ninguna importancia).

Funcion exponencial.

Una de las funciones elementales básicas es la función exponencial.

Gráfica de la función exponencial, donde y toma una forma diferente según el valor de la base a. Averigüémoslo.

Primero, considere el caso cuando la base de la función exponencial toma un valor de cero a uno, es decir, .

Por ejemplo, presentamos los gráficos de la función exponencial para a = 1/2 - la línea azul, a = 5/6 - la línea roja. Las gráficas de la función exponencial tienen un aspecto similar para otros valores de la base del intervalo.

Propiedades de una función exponencial de base menor que uno.

Volvemos al caso cuando la base de la función exponencial es mayor que uno, es decir, .

Como ilustración, presentamos gráficos de funciones exponenciales - la línea azul y - la línea roja. Para otros valores de la base, mayores que uno, las gráficas de la función exponencial tendrán un aspecto similar.

Propiedades de una función exponencial de base mayor que uno.

Función logarítmica.

La siguiente función elemental básica es la función logarítmica , donde , . La función logarítmica se define solo para valores positivos del argumento, es decir, para .

La gráfica de la función logarítmica toma una forma diferente según el valor de la base a.

La longitud del segmento en el eje de coordenadas se encuentra mediante la fórmula:

La longitud del segmento en el plano de coordenadas se busca mediante la fórmula:

Para encontrar la longitud de un segmento en un sistema de coordenadas tridimensional, se utiliza la siguiente fórmula:

Las coordenadas de la mitad del segmento (para el eje de coordenadas solo se usa la primera fórmula, para el plano de coordenadas, las dos primeras fórmulas, para el sistema de coordenadas tridimensional, las tres fórmulas) se calculan mediante las fórmulas:

Función es una correspondencia de la forma y= F(X) entre variables, por lo que cada valor considerado de alguna variable X(argumento o variable independiente) corresponde a un cierto valor de otra variable, y(variable dependiente, a veces este valor se llama simplemente el valor de la función). Tenga en cuenta que la función asume que un valor del argumento X solo puede haber un valor de la variable dependiente en. Sin embargo, el mismo valor en se puede obtener con varios X.

Alcance de la función son todos valores de la variable independiente (argumento de función, generalmente X) para el que se define la función, es decir su significado existe. El dominio de definición se indica D(y). En general, ya estás familiarizado con este concepto. El alcance de una función también se denomina dominio de valores válidos u ODZ, que ha podido encontrar durante mucho tiempo.

Rango de función son todos los valores posibles de la variable dependiente de esta función. denotado mi(en).

La función aumenta en el intervalo en el que el mayor valor del argumento corresponde al mayor valor de la función. Función Decreciente en el intervalo en el que el mayor valor del argumento corresponde al menor valor de la función.

Intervalos de función son los intervalos de la variable independiente en los que la variable dependiente conserva su signo positivo o negativo.

Ceros de función son aquellos valores del argumento para los cuales el valor de la función es igual a cero. En estos puntos, la gráfica de la función corta el eje de abscisas (eje OX). Muy a menudo, la necesidad de encontrar los ceros de una función significa simplemente resolver la ecuación. Además, a menudo la necesidad de encontrar intervalos de signo constante significa simplemente la necesidad de resolver la desigualdad.

Función y = F(X) son llamados incluso X

Esto significa que para cualquier valor opuesto del argumento, los valores de la función par son iguales. La gráfica de una función par siempre es simétrica con respecto al eje y del amplificador operacional.

Función y = F(X) son llamados impar, si está definido sobre un conjunto simétrico y para cualquier X del dominio de definición se cumple la igualdad:

Esto significa que para cualquier valor opuesto del argumento, los valores de la función impar también son opuestos. La gráfica de una función impar siempre es simétrica con respecto al origen.

La suma de las raíces de las funciones pares e impares (puntos de intersección del eje de abscisas OX) es siempre igual a cero, porque para cada raíz positiva X tiene una raiz negativa X.

Es importante notar que alguna función no tiene que ser par o impar. Hay muchas funciones que no son ni pares ni impares. Tales funciones se llaman funciones generales, y ninguna de las igualdades o propiedades anteriores se cumple para ellos.

Función lineal se llama una función que puede ser dada por la fórmula:

La gráfica de una función lineal es una línea recta y en el caso general se ve así (se da un ejemplo para el caso cuando k> 0, en este caso la función es creciente; para el caso k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):

Gráfica de Función Cuadrática (Parábola)

La gráfica de una parábola viene dada por una función cuadrática:

Una función cuadrática, como cualquier otra función, corta el eje OX en los puntos que son sus raíces: ( X uno ; 0) y ( X 2; 0). Si no hay raíces, entonces la función cuadrática no corta el eje OX, si hay una raíz, entonces en este punto ( X 0; 0) la función cuadrática solo toca el eje OX, pero no lo interseca. Una función cuadrática siempre corta el eje OY en un punto con coordenadas: (0; C). La gráfica de una función cuadrática (parábola) puede verse así (la figura muestra ejemplos que lejos de agotar todos los tipos posibles de parábolas):

Donde:

• si el coeficiente un> 0, en la función y = hacha 2 + bx + C, entonces las ramas de la parábola se dirigen hacia arriba;
• Si un < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Las coordenadas del vértice de la parábola se pueden calcular utilizando las siguientes fórmulas. X tapas (pag- en las figuras anteriores) de una parábola (o el punto en el que el trinomio cuadrado alcanza su valor máximo o mínimo):

Y tapas (q- en las figuras anteriores) de una parábola o el máximo si las ramas de la parábola están dirigidas hacia abajo ( un < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (un> 0), el valor del trinomio cuadrado:

Gráficas de otras funciones

función de poder

Aquí hay algunos ejemplos de gráficos de funciones de potencia:

Dependencia inversamente proporcional llamar a la función dada por la fórmula:

Según el signo del número k Un gráfico inversamente proporcional puede tener dos opciones fundamentales:

Asíntota es la recta a la que la recta de la gráfica de la función se aproxima infinitamente, pero no se corta. Las asíntotas de los gráficos de proporcionalidad inversa que se muestran en la figura anterior son los ejes de coordenadas, a los que el gráfico de la función se acerca infinitamente, pero no los interseca.

funcion exponencial con base un llamar a la función dada por la fórmula:

un la gráfica de una función exponencial puede tener dos opciones fundamentales (también daremos ejemplos, ver más abajo):

función logarítmica llamar a la función dada por la fórmula:

Según si el número es mayor o menor que uno un La gráfica de una función logarítmica puede tener dos opciones fundamentales:

Gráfico de función y = |X| como sigue:

Gráficas de funciones periódicas (trigonométricas)

Función en = F(X) se llama periódico, si existe tal número distinto de cero T, qué F(X + T) = F(X), para cualquiera X fuera del alcance de la función F(X). Si la función F(X) es periódico con punto T, entonces la función:

donde: UN, k, b son números constantes y k no igual a cero, también periódico con un período T 1, que viene determinada por la fórmula:

La mayoría de los ejemplos de funciones periódicas son funciones trigonométricas. Aquí están las gráficas de las principales funciones trigonométricas. La siguiente figura muestra parte de la gráfica de la función y= pecado X(toda la gráfica continúa indefinidamente hacia la izquierda y hacia la derecha), la gráfica de la función y= pecado X llamado sinusoide:

Gráfico de función y= porque X llamado onda coseno. Este gráfico se muestra en la siguiente figura. Dado que la gráfica del seno, continúa indefinidamente a lo largo del eje OX hacia la izquierda y hacia la derecha:

Gráfico de función y=tg X llamado tangente. Este gráfico se muestra en la siguiente figura. Al igual que las gráficas de otras funciones periódicas, esta gráfica se repite indefinidamente a lo largo del eje OX hacia la izquierda y hacia la derecha.

Y finalmente, la gráfica de la función y=ctg X llamado cotangentoide. Este gráfico se muestra en la siguiente figura. Al igual que las gráficas de otras funciones periódicas y trigonométricas, esta gráfica se repite indefinidamente a lo largo del eje OX hacia la izquierda y hacia la derecha.

La implementación exitosa, diligente y responsable de estos tres puntos le permitirá mostrar un excelente resultado en el CT, el máximo de lo que es capaz.

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Funciones elementales y sus gráficas

Derecho proporcionalidad Función lineal.

Proporción inversa. Hipérbola.

función cuadrática. parábola cuadrada.

Función de poder. Funcion exponencial.

función logarítmica. funciones trigonométricas.

Funciones trigonométricas inversas.

Dibuja una parábola cuadrada para el caso. un > 0, D > 0 .

Principales características y propiedades de una parábola cuadrada:

Alcance de la función:  < X+ (es decir, X R ), y el área

valores: … (¡Por favor responda esta pregunta usted mismo!);

La función en su conjunto no es monótona, sino a la derecha o a la izquierda del vértice.

se comporta como un monótono;

La función es ilimitada, continua en todas partes, incluso para b = C = 0,

y no periódica;

- en D< 0 не имеет нулей. (А что при D 0 ?) .

Funciones y= arcosen X(fig.23) y y= arccos X(fig.24) multivaluado, ilimitado; su dominio de definición y rango de valores, respectivamente: 1 X+1 y  < y+ . Como estas funciones son multivaluadas,