El hombre es capaz de ver a través de la luz. Cuantos de luz: los fotones tienen las propiedades tanto de ondas como de partículas. Las fuentes de luz se dividen en primarias y secundarias. En los primarios -como el Sol, las lámparas, el fuego, las descargas eléctricas- nacen fotones como resultado de reacciones químicas, nucleares o termonucleares.

Cualquier átomo sirve como fuente secundaria de luz: habiendo absorbido un fotón, entra en un estado excitado y tarde o temprano regresa al principal, emitiendo un nuevo fotón. Cuando un haz de luz golpea un objeto opaco, todos los fotones que componen el haz son absorbidos por los átomos en la superficie del objeto.

Los átomos excitados devuelven casi inmediatamente la energía absorbida en forma de fotones secundarios, que se irradian uniformemente en todas las direcciones.

Si la superficie es áspera, entonces los átomos en ella están dispuestos al azar, las propiedades de onda de la luz no aparecen y la intensidad de radiación total es igual a la suma algebraica de la intensidad de radiación de cada átomo reemitido. En este caso, independientemente del ángulo de visión, vemos el mismo flujo de luz reflejado en la superficie; este reflejo se llama difuso. De lo contrario, la luz se refleja en una superficie lisa, como un espejo, metal pulido, vidrio.

En este caso, los átomos que vuelven a emitir luz están ordenados entre sí, la luz exhibe propiedades ondulatorias y las intensidades de las ondas secundarias dependen de las diferencias de fase de las fuentes de luz secundarias vecinas. Como resultado, las ondas secundarias se compensan entre sí en todas las direcciones, excepto en una sola, que está determinada por una ley bien conocida: el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión.
Los fotones parecen rebotar elásticamente en el espejo, por lo que sus trayectorias van desde los objetos que están, por así decirlo, detrás de él: son lo que una persona ve cuando se mira en el espejo. Es cierto que el mundo del espejo es diferente al nuestro: los textos se leen de derecha a izquierda, las manecillas del reloj giran en la dirección opuesta, y si levantas la mano izquierda, nuestro doble en el espejo levantará la derecha, y los anillos están en la mano equivocada... A diferencia de la pantalla de cine, donde todos los espectadores ven la misma imagen, los reflejos en el espejo son diferentes para cada uno.

Por ejemplo, la niña de la imagen no se ve a sí misma en el espejo, sino al fotógrafo (ya que él ve su reflejo). Para verse a sí mismo, necesita sentarse frente al espejo. Luego, los fotones que provienen de la cara en la dirección de la mirada caen sobre el espejo casi en ángulo recto y regresan.

Cuando llegan a tus ojos, ves tu imagen al otro lado del cristal. Más cerca del borde del espejo, los ojos captan los fotones reflejados por él en un cierto ángulo. Esto significa que también vinieron en ángulo, es decir, de objetos ubicados a ambos lados de usted. Esto le permite verse en el espejo junto con el entorno.

Pero siempre se refleja menos luz del espejo de la que cae, por dos razones: no hay superficies perfectamente lisas y la luz siempre calienta un poco el espejo. De los materiales ampliamente utilizados, la plata pulida refleja mejor la luz (más del 95%).
Los espejos se hacían con él en la antigüedad. Pero al aire libre, la plata se empaña debido a la oxidación y el pulido se daña. Además, un espejo de metal es caro y pesado.

Ahora se aplica una capa delgada de metal en la parte posterior del vidrio, protegiéndolo de daños con varias capas de pintura, y a menudo se usa aluminio en lugar de plata para ahorrar dinero. Su reflectancia es de alrededor del 90% y la diferencia es imperceptible a simple vista.

¿Por qué vemos el reflejo en el espejo?

El hombre es capaz de ver a través de la luz. Cuantos de luz: los fotones tienen las propiedades tanto de ondas como de partículas. Las fuentes de luz se dividen en primarias y secundarias. En los primarios -como el Sol, las lámparas, el fuego, las descargas eléctricas- nacen fotones como resultado de reacciones químicas, nucleares o termonucleares.

Cualquier átomo sirve como fuente secundaria de luz: habiendo absorbido un fotón, entra en un estado excitado y tarde o temprano regresa al principal, emitiendo un nuevo fotón. Cuando un haz de luz golpea un objeto opaco, todos los fotones que forman el haz son absorbidos por los átomos en la superficie del objeto. Los átomos excitados devuelven casi inmediatamente la energía absorbida en forma de fotones secundarios, que se irradian uniformemente en todas las direcciones. Si la superficie es áspera, entonces los átomos en ella están dispuestos al azar, las propiedades ondulatorias de la luz no aparecen y la intensidad de radiación total es igual a la suma algebraica de la intensidad de radiación de cada átomo que vuelve a emitir.

En este caso, independientemente del ángulo de visión, vemos el mismo flujo de luz reflejado en la superficie; este reflejo se llama difuso. De lo contrario, la luz se refleja en una superficie lisa, como un espejo, metal pulido, vidrio. En este caso, los átomos que vuelven a emitir luz están ordenados entre sí, la luz exhibe propiedades ondulatorias y las intensidades de las ondas secundarias dependen de las diferencias de fase de las fuentes de luz secundarias vecinas.

Como resultado, las ondas secundarias se compensan entre sí en todas las direcciones, excepto en una sola, que se determina según una ley bien conocida: el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión. Los fotones parecen rebotar elásticamente en el espejo, por lo que sus trayectorias van desde los objetos que están, por así decirlo, detrás de él: son lo que una persona ve cuando se mira en el espejo. Es cierto que el mundo del espejo es diferente al nuestro: los textos se leen de derecha a izquierda, las manecillas del reloj giran en la dirección opuesta, y si levantas la mano izquierda, nuestro doble en el espejo levantará la derecha, y el los anillos están en la mano equivocada... A diferencia de la pantalla de cine, donde todos los espectadores ven la misma imagen, los reflejos en el espejo son diferentes para todos. Por ejemplo, la niña de la imagen no se ve a sí misma en el espejo, sino al fotógrafo (ya que él ve su reflejo).

Para verse a sí mismo, necesita sentarse frente al espejo. Luego, los fotones que provienen de la cara en la dirección de la mirada caen sobre el espejo casi en ángulo recto y regresan. Cuando llegan a tus ojos, ves tu imagen al otro lado del cristal. Más cerca del borde del espejo, los ojos captan los fotones reflejados por él en un cierto ángulo. Esto significa que también vinieron en ángulo, es decir, de objetos ubicados a ambos lados de usted. Esto le permite verse en el espejo junto con el entorno.

Pero siempre se refleja menos luz del espejo de la que cae, por dos razones: no hay superficies perfectamente lisas y la luz siempre calienta un poco el espejo. De los materiales ampliamente utilizados, la plata pulida refleja mejor la luz (más del 95%). Los espejos se hacían con él en la antigüedad. Pero al aire libre, la plata se empaña debido a la oxidación y el pulido se daña. Además, un espejo de metal es caro y pesado. Ahora se aplica una capa delgada de metal en la parte posterior del vidrio, protegiéndolo de daños con varias capas de pintura, y a menudo se usa aluminio en lugar de plata para ahorrar dinero. Su reflectancia es de alrededor del 90% y la diferencia es imperceptible a simple vista.

¿CÓMO SE REFLEJA UN ESPEJO?

Por supuesto, todos sabemos cómo se refleja un espejo, pero si es necesario describirlo exactamente, sin duda surgirán dificultades. Como regla, estamos satisfechos con nosotros mismos si imaginamos algo al menos "en principio". Y los detalles que los profesores de física nos explicaban en la pizarra con la ayuda de una tiza y una regla, todo colegial y estudiante normal trata de olvidar, y cuanto antes mejor.

Cada niño, lleno de sorpresa por el mundo que lo rodea, seguramente estará interesado en cómo lo refleja el espejo. Pero los adultos suelen responder en tales casos: "¡No hagas preguntas estúpidas!" Una persona se cae, comienza a ser tímida, su sorpresa se desvanece gradualmente y trata de no mostrarla nuevamente por el resto de su vida (¡lo cual es una pena!).

Pero en este libro, nos sorprenderemos lo más posible, recordando las palabras de Bertolt Brecht: “No hay preguntas estúpidas, solo hay respuestas estúpidas”.

¿Cuál es la ruta más corta desde la casa en llamas hasta la estación de bomberos? El "ángulo de incidencia" con el que el camión de bomberos llega al río debe ser igual al "ángulo de reflexión" con el que se precipitará hacia el fuego.

Por supuesto, las personas se pueden dividir en tontos e inteligentes, grandes y pequeños, difieren en el idioma, la religión y la cosmovisión. También puedes imaginar una división como esta:

1) personas que nunca se sorprenden;

2) personas que se sorprenden, pero no piensan en el fenómeno que las sorprendió;

3) personas que, sorprendidas, preguntan “¿por qué?”;

4) personas que, sorprendidas, recurren al número y la medida.

Dependiendo de las condiciones de vida, las tradiciones, el grado de educación, también existen todos los posibles pasos "intermedios". Los pensadores de la antigüedad y de la Edad Media se asombraban ante el mundo y reflexionaban sobre sus misterios. Pero solo ocasionalmente tuvieron la oportunidad de medir cualquier fenómeno.

Solo en el Renacimiento, es decir, en el siglo XVI, se llegó a la conclusión de que la medición es mejor que la fe ciega o el razonamiento escolástico. Esto fue facilitado por intereses económicos, que solo podían satisfacerse a través del desarrollo de las ciencias naturales, a través de mediciones cuantitativas. (Vemos que, en esencia, el valor de cambio se "mediba" con la ayuda del dinero). Para el siglo XVI. la óptica era ciencia de vanguardia. De una bola de cristal llena de agua, que servía de lente de enfoque, surgió una lupa, y de ella un microscopio y un telescopio. Holanda, la mayor potencia marítima en aquellos días, necesitaba buenos telescopios para la flota con el fin de ver la costa peligrosa antes de tiempo o alejarse a tiempo del enemigo. La óptica aseguró el éxito y la confiabilidad de la navegación. Por lo tanto, fue en los Países Bajos donde muchos científicos se dedicaron a ello. El holandés Willebrord, Snell van Rooyen, que se hacía llamar Snellius (1580-1626), observó (cosa que, por cierto, muchos antes que él habían visto) cómo un delgado haz de luz se reflejaba en un espejo. Simplemente midió el ángulo de incidencia y el ángulo de reflexión del haz (cosa que nadie había hecho antes que él) y estableció la ley: el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión.

Ahora, en retrospectiva, esta ley nos parece algo que se da por sentado. Pero en aquellos días tuvo una enorme significación, se podría decir, ideológica, que despertó el pensamiento filosófico hasta el siglo XIX.

Plantémonos el siguiente problema matemático: se produjo un incendio en alguna casa. Se llama a los bomberos y hay que sacar agua del río para la extinción. ¿Dónde debe recogerlo para llevarlo a la casa en llamas lo más rápido posible?

La respuesta es: el lugar debe elegirse de tal manera que el ángulo de aproximación al río sea igual al ángulo de salida de él en línea recta a la casa en llamas. En este caso, la longitud total de los segmentos de ruta será mínima. (Tal principio de mínimo-máximo se consideraba anteriormente como una manifestación de la "voluntad de Dios").

La ley de reflexión de Snell explica el fenómeno de la reflexión especular, a lo que sólo hay que añadir por qué es característico sólo de superficies brillantes y lisas. De hecho, las superficies rugosas también obedecen la ley de la reflexión. Pero debido a su aspereza, parecen consistir en pequeños espejos, dirigidos al azar en todas direcciones. Además, el material que consideramos como espejo debe absorber muy poca luz y no ser transparente. Tales cualidades se distinguen, por ejemplo, por los metales pulidos, el agua tranquila sobre un fondo oscuro, algunas piedras pulidas y, sobre todo, el vidrio colocado sobre un sustrato opaco.

Cada punto del objeto corresponde a su reflejo en el espejo, y por tanto en él nuestro ojo derecho se desplaza hacia el lado izquierdo. Como resultado de esta transferencia de puntos, los objetos que se encuentran más alejados en el espejo también parecen reducirse de acuerdo con las leyes de la perspectiva. Técnicamente, podemos reconstruir la imagen del espejo como si estuviera ubicada detrás de la superficie del vidrio. Pero esto es sólo una percepción aparente. No es casualidad que los animales y los niños pequeños se miren a menudo detrás del espejo; creen que la imagen acecha detrás, como un cuadro visto fuera de una ventana. El hecho de la inversión de la izquierda y la derecha es realizado correctamente solo por adultos.

ESPEJO CON TRANSPORTADOR

Uno de los mitos griegos habla de Narciso, que yacía durante horas en la orilla del lago, admirando su reflejo en el agua.

Si Narciso fuera un hombre rico, probablemente se habría comprado un espejo de metal pulido. En aquellos días, no era tan fácil hacer brillar como un espejo una pieza de acero o bronce del tamaño de una palma. Además, la superficie de dicho espejo se oxidaba y tenía que limpiarse a diario. El espectro latino en alemán se ha convertido en Spiegel ("Spiegel" - un espejo). De lo que podemos concluir que los romanos trajeron espejos a Alemania.

Recién en el siglo XI. Aparecieron los espejos de cristal que conocemos. Una de las primeras menciones de ellos pertenece al juglar francés Vensant de Beauvais. Según él, en tales espejos, el plomo se superpuso al vidrio desde abajo. Obviamente, es innecesario comentar el contexto en el que el juglar menciona el espejo. Y en 1773 en Nuremberg ya había una tienda de espejos. Desde entonces, la fabricación de espejos se ha convertido en una importante rama de la artesanía europea.

Venecia fue el primer país (en ese momento tenía el estatus de estado independiente), que comenzó a emitir patentes de invención. En 1507, los hermanos Danzalo del Gallo recibieron una patente para la fabricación de espejos de cristal. Hoy, en el mercado de antigüedades, los espejos venecianos son un tesoro. En aquellos días, se colocaba una fina lámina de estaño debajo de la placa de vidrio (el estaño se enrolla fácilmente en rollos). Se vertió mercurio sobre la lámina, que formó una amalgama con el estaño. Dado que el vapor de mercurio es muy tóxico, este método se prohibió hace mucho tiempo y se reemplazó por el plateado.

En un espejo de esquina rectangular (en un ángulo entre los espejos de 90°), se conservan las posiciones "derecha" e "izquierda".

Durante mucho tiempo, se ha conservado la técnica de proteger una capa delgada de metal con una capa de barniz. Hoy en día, las láminas de vidrio se mueven a lo largo de un transportador, donde una solución de sal de plata y un agente reductor se aplican sucesivamente a su superficie con pistolas rociadoras, lo que precipita la plata pura de la solución en una forma finamente dispersa (coloidal); luego se aplica una capa de cobre sobre una fina capa de plata, protegiendo la película de plata, y finalmente se barnizan ambos metales. La cinta transportadora se mueve a una velocidad de aproximadamente 2,5 m/min. La producción mensual de una unidad de este tipo es de unos 40.000 m2 de espejo. Si algún lector demasiado "inteligente" tiene la intención de raspar plata de un gran espejo de pared para decorar a su esposa o a un amigo, entonces es útil que sepa que la capa de plata en el espejo es tan delgada que "el juego no vale la pena". vela." Se deposita menos de 1 g de plata en 1 m 2 de la superficie del espejo.

La fabricación de vidrio alguna vez fue considerada un gran arte. Hubo una historia que en la época del emperador romano Tiberio (42 a. C.), alguien descubrió el vidrio de seguridad. Tiberio ordenó la ejecución de este hombre para que su descubrimiento no provocara la depreciación del vidrio. Hoy en día, los inventores que trabajan en la industria del vidrio no tienen por qué temer un destino similar. Por el contrario, todos los esfuerzos se reducen a hacer el vidrio lo más barato posible.

Entre las sustancias sólidas de origen inorgánico (piedra, metal), el vidrio ocupa un lugar especial. Estrictamente hablando, ciertas propiedades del vidrio lo acercan a un líquido. La mayoría de las sustancias en estado sólido y líquido se comportan de manera diferente. La forma más fácil de observar el agua y el hielo. El agua está en forma de gotas líquidas. Exactamente a 0°C, el agua pura comienza a cristalizar. La temperatura de solidificación permanece en cero hasta que toda el agua se convierte en hielo. Incluso en el Ártico, con una helada de -50 °C, el agua bajo el hielo mantiene una temperatura de 0 °C. Solo cuando toda el agua se ha ido, el hielo puede enfriarse más. El hielo como cuerpo sólido tiene una estructura cristalina. Dentro de sus pequeños parches, los cristales, encontramos una simetría distinta. Esta simetría se reconoce en los rayos X (radiografías).

El vidrio es otra cosa. No hay cristales en él. No hay una transición brusca a cierta temperatura de un estado líquido a un estado sólido (o viceversa). El vidrio fundido (masa de vidrio) permanece sólido en un amplio rango de temperaturas. Si tomamos la viscosidad del agua como 1, entonces la viscosidad del vidrio fundido a 1400 ° C es 13 500. Si el vidrio se enfría a 1000 ° C, se vuelve maleable y 2 millones de veces más viscoso que el agua. (Por ejemplo, un tubo o lámina de vidrio cargado se hunde con el tiempo). A temperaturas aún más bajas, el vidrio se convierte en un líquido de una viscosidad infinitamente alta.

El componente principal de los vidrios es el dióxido de silicio, o sílice, - SiO 2. En estado puro, está representado en la naturaleza por la arena de cuarzo blanco. El dióxido de silicio cristaliza de forma relativamente gradual durante la transición del estado fundido al estado sólido. Un fundido de cuarzo se puede enfriar por debajo de su temperatura de solidificación sin volverse sólido. Hay muchos otros líquidos y soluciones que también se pueden sobreenfriar. Pero solo el cuarzo se presta a sobreenfriarse tanto que pierde su capacidad de formar cristales. El dióxido de silicio permanece entonces "libre de cristales", es decir, "líquido".

Sería demasiado costoso procesar cuarzo puro, principalmente debido a su punto de fusión relativamente alto. Por lo tanto, los vidrios técnicos contienen solo del 50 al 80 % de dióxido de silicio. Para bajar el punto de fusión, se introducen aditivos de óxido de sodio, alúmina y cal en la composición de dichos vidrios. La obtención de determinadas propiedades se consigue añadiendo algunos productos químicos más. El famoso vidrio de plomo, que se pule cuidadosamente en la fabricación de cuencos o jarrones, debe su brillo a la presencia de alrededor del 18% de plomo en él.

El vidrio de espejo contiene componentes predominantemente baratos que reducen el punto de fusión. En grandes baños (como los llaman los fabricantes de vidrio), que contienen más de 1000 toneladas de vidrio, primero se funden sustancias de bajo punto de fusión. La soda fundida y otros químicos disuelven el cuarzo (como el agua disuelve la sal). Por un medio tan simple, es posible convertir el dióxido de silicio en un estado líquido ya a una temperatura de aproximadamente 1000 ° C (aunque en su forma pura comienza a derretirse solo a temperaturas mucho más altas). Para gran molestia de los vidrieros, se liberan gases del vidrio fundido. A 1000°C, la masa fundida es aún demasiado viscosa para la salida libre de burbujas de gas. Para la desgasificación, debe llevarse a una temperatura de 1400-1600°C. Estas altas temperaturas se alcanzan en los llamados hornos de vidrio regenerativos, inventados en 1856 por Friedrich Siemens. En ellos, los gases de escape se calientan mediante cámaras de precalentamiento revestidas con materiales refractarios. Tan pronto como estas cámaras están suficientemente calientes, se les suministran los gases combustibles y el aire necesario para su combustión. Los gases que surgen durante la combustión mezclan uniformemente el vidrio fundido; de lo contrario, no sería fácil mezclar miles de toneladas de masa fundida viscosa.

El horno de fundición de vidrio moderno es un horno continuo. De un lado, se alimentan las sustancias iniciales que, debido a una ligera inclinación, se mueven, convirtiéndose gradualmente en vidrio fundido, hacia el lado opuesto (la distancia entre las paredes del horno es de aproximadamente 50 m). Allí, una porción medida con precisión del vidrio terminado ingresa a los rollos enfriados. Una cinta de vidrio de varios metros de ancho se extiende a lo largo de toda la sección de enfriamiento de cien metros. Al final de esta sección de la máquina, se corta en láminas del formato y tamaño deseado para espejos o cristales de ventanas.

La dureza del vidrio es conocida (en alemán existe incluso la expresión "duro como el vidrio"). En el poema de Pushkin "Eugene Onegin", Tatyana, enamorada, graba un nombre caro en el cristal de una ventana con un anillo de diamantes ( Aparentemente, el autor está familiarizado con la traducción de Pushkin. En el original, Tatyana "escribía con un bonito dedo sobre un cristal empañado". - Nota, traducción). Hoy en día, los "diamantes" para cortar vidrio están hechos de piedras sintéticas o aleaciones duras. El vidrio también se distingue por una buena cantidad de resistencia a la compresión. Esta propiedad se utiliza para crear vidrieras, particiones decorativas. Por el contrario, la resistencia a la tracción del vidrio es insignificante. Los vidrios de alta resistencia son una novedad hoy en día. Entre otras aplicaciones, se utilizan para tuberías en la industria química. La transparencia también es importante para un espejo. El vidrio normal transmite del 70 al 90% de la luz visible. La transparencia del vidrio sigue siendo una condición indispensable para la fabricación de buenos espejos. Para la luz ultravioleta (≈ 10 15 -10 16 Hz), el vidrio no es transparente. En los primeros días de la primavera, cuando todavía hace frío, pero el sol empieza a calentar, hay curtidores fanáticos que se sientan junto a las ventanas, exponiendo el rostro a los rayos del sol. Pero todos sus esfuerzos son en vano si no se insertan anteojos especiales en los marcos, transparentes a los rayos ultravioleta.

Aquellos que tienen varios espejos en su departamento deben haber notado que su calidad es diferente. En primer lugar, un buen espejo no debe tener rayas que distorsionen la imagen. Tales rayas ocurren debido a la fusión incompleta del vidrio o al enfriamiento desigual.

El brillo de un espejo se puede mejorar tanto por la composición del vidrio como por un cuidadoso tratamiento de la superficie (esmerilado y pulido).

Y, sin embargo, es sorprendente: así como Narciso en la antigüedad, recostado en la orilla de un lago, admiraba su reflejo en el agua, ¡así nosotros, la gente moderna, nos miramos en los espejos, que son esencialmente “líquidos”!

Sin embargo, en el futuro, lo más probable es que la producción de espejos siga el camino del uso de una película de plástico sobre la que se deposita una fina capa de metal.

DEL TRILLAGE AL RADAR

Por supuesto que no: basta con reflejar la imagen del espejo una segunda vez en el espejo para ver tu verdadero rostro. A menudo, en las casas todavía hay los llamados enrejados. Tienen un espejo principal grande en el centro y dos espejos más pequeños a los lados. Mucha gente piensa que estos espejos laterales sirven solo para mirar los rizos detrás de las orejas. Pero si dicho espejo lateral se coloca en ángulo recto con el del medio, entonces puede verse exactamente en la forma en que lo ven los demás. Cierra tu ojo izquierdo, y tu reflejo en el segundo espejo repetirá tu movimiento con tu ojo izquierdo. Antes del trellis, puedes elegir si quieres verte en una imagen especular o en una imagen directa.

Un espejo de esquina con un ángulo recto entre sus espejos constituyentes tiene otras propiedades interesantes. Si lo hace a partir de dos espejos pequeños, puede ver por sí mismo que en un espejo de este tipo con una solución rectangular (y ahora solo estamos hablando de eso), el haz de luz reflejado siempre es paralelo al haz incidente. Esta es una propiedad muy importante. ¡Pero no el único! Cuando el espejo de la esquina se gira alrededor del eje que conecta los espejos (dentro de ciertos límites), el haz reflejado no cambiará su dirección.

En tecnología, los espejos generalmente no se fabrican, sino que se usa un prisma rectangular, en el que las caras correspondientes proporcionan una trayectoria de haz de espejo.

Los prismas rectangulares, como si "doblaran" la trayectoria del rayo como un "acordeón", manteniendo su longitud requerida, dada por la distancia focal de la lente, permiten reducir las dimensiones de los dispositivos ópticos. En binoculares prismáticos, los rayos de luz con la ayuda de tales dispositivos giran 180 °.

En pinturas antiguas se pueden ver capitanes y generales con catalejos exorbitantemente largos. Los espejos en ángulo han transformado los viejos catalejos en binoculares modernos.

Los jugadores de billar están familiarizados desde hace mucho tiempo con la acción de la reflexión. Sus "espejos" son los lados del campo de juego, y las trayectorias de las bolas juegan el papel de un haz de luz. Habiendo golpeado el lado cerca de la esquina, la pelota rueda hacia el lado ubicado en ángulo recto y, reflejada desde allí, retrocede paralela a la dirección del primer impacto.

La propiedad del haz reflejado de mantener la dirección cuando el espejo de la esquina gira alrededor de su eje se usa ampliamente en tecnología. Entonces, en un reflector de esquina de espejo triédrico, el haz mantiene una dirección constante, a pesar de las fuertes oscilaciones del espejo. En forma, dicho espejo es un cubo con una esquina recortada. Y en este caso, en la práctica, no se utilizan tres espejos, sino el prisma de vidrio correspondiente con bordes de espejo.

Un área importante de aplicación de un espejo triédrico es un reflector de esquina (ojo de gato, reflector) en bicicletas, motocicletas, paneles de seguridad de señales, limitadores de carreteras. Cualquiera que sea el lado que incida la luz sobre un reflector de este tipo, el reflejo de la luz siempre conserva la dirección de la fuente de luz.

Los reflectores de esquina de espejo triédrico juegan un papel importante en la tecnología de radar. Los aviones y los grandes barcos de acero reflejan el haz del radar. A pesar de su importante dispersión, esa pequeña fracción de las ondas de radio reflejadas que regresan al radar suele ser suficiente para reconocer el objeto.

La situación es peor con los botes pequeños, los flotadores de señales y los veleros de plástico. Para objetos pequeños, el reflejo es demasiado débil. Los yates de plástico son tan "transparentes" a las ondas de radio, que operan con tecnología de radar, como los cristales de las ventanas a la luz del sol. Por lo tanto, los yates de vela y las boyas de señales están equipados con reflectores de esquina metálicos. La longitud de los bordes de dicho "espejo" es de solo unos 30 cm, pero esto es suficiente para devolver un eco lo suficientemente potente.

Volvamos una vez más al espejo de la esquina de dos espejos conectados. Giremos su eje hacia la derecha o hacia la izquierda: nuestra imagen también se inclinará hacia un lado. Incluso podemos tumbarlo si colocamos el eje del espejo en horizontal. Pero al inclinar aún más el espejo, notaremos que la imagen se "endereza". Por supuesto, y buscaremos una explicación para esto. Encaja perfectamente con el tema de este libro.

El espejo de la esquina tiene un plano de simetría que biseca el espacio entre ambos espejos. Con una forma adecuada, puede tener otro plano perpendicular a los espejos, pero no lo consideraremos aquí. Sólo nos interesa el plano de simetría que pasa entre los espejos en el que, por así decirlo, ambos espejos se reflejan mutuamente.

Cada plano de simetría cambia, como ya sabemos, de derecha a izquierda (y viceversa). Pero esta es una percepción algo simplificada. Si el plano de simetría pudiera hablar, diría: “Yo no cambio de derecha a izquierda, ni de arriba a abajo. Ni siquiera sé qué es. Solo muestro punto por punto todo lo que está a un lado o al otro de mí. Si una persona con su eje longitudinal se encuentra paralela a su eje, cambiaré sus lados derecho e izquierdo, pero si la misma persona con su eje longitudinal es perpendicular a mi eje (porque yo siempre permanezco sin cambios), entonces cambiaré lo que la gente llamar arriba y abajo ". Como ves, todo depende del punto de vista.

Pero al final, lo que se puede medir y contar es verdad. Hoy en día, no vemos muchos logros en la medición de los ángulos de incidencia y reflexión del haz por parte de Snell. Pero no debemos olvidar que los científicos del siglo XVI. tales descubrimientos rompieron más de veinte siglos de tradición.

Entre los secretos de la televisión, se conoce un truco para reducir al actor, quien, en el contexto de todo el entorno, "de tamaño natural" parece una pequeña muñeca. En ocasiones, el espectador puede ver al actor al mismo tiempo en dos escalas: en primer plano al tamaño habitual y en segundo plano a un tamaño reducido.

Cualquiera que tenga experiencia en fotografía entiende cómo se logra tal efecto. Primero se filma una versión reducida y luego el actor actúa frente a una pantalla en la que se proyecta su imagen reducida.

El famoso "mago" Jochen Zmeck en su fascinante libro "El mundo mágico de la magia" ( Zmeck J. Wunderwelt Magie. Berlín: Heuchel-Verlag, Kunst und Gesellschaft, 1974) describe cómo se pueden hacer tales milagros sin fotografía. Cuando un objeto reducido debe aparecer en el espacio por sí mismo, con la ayuda de un espejo cóncavo, su imagen se proyecta de tal manera que parece estar de pie sobre un soporte.

El ilusionista Alexander Furst construyó este truco de la siguiente manera. El espectador vio un pequeño escenario con artistas muy reducidos. Para proyectarlos de esta forma en una pantalla, Furst usó un espejo en ángulo en su construcción. Fue frente a él que los artistas se movieron. Pero el espejo los volteó 180° y así los puso “de cabeza”, y esta imagen ya fue volteada por el espejo cóncavo y arrojada sobre un pequeño escenario. Una condición indispensable para el efecto era la limpieza impecable de todos los espejos.

Por supuesto, el "mago" podría demostrar no solo la aparición de algunos objetos, sino también su desaparición a la velocidad del rayo, tan pronto como pronunció el mágico "simsalabim" (y, por supuesto, apagar la fuente de luz o apagar el espejo). Cuán encantador tal teatro Tanagra (como se llaman tales espectáculos) se puede ver mirando a través de binoculares invertidos. Reducido, como si el mundo concentrado se viera muy interesante en él. El principio de funcionamiento de ambos binoculares prismáticos y el teatro Tanagra es el mismo. Solo en un caso se utilizan lentes, y en el otro caso se utiliza un espejo cóncavo.

SOBRE zurdos y diestros

Ahora que sabemos cómo funcionan los espejos y cómo se fabrican, pensemos un poco más en lo que vemos en un espejo en nuestra vida diaria.

Puede convertirse en un hobby: analizar cada objeto en términos de simetría. Recuerde que si corta un objeto a lo largo de su plano de simetría y coloca una de las mitades perpendicular al espejo, entonces la segunda mitad "cortada" aparecerá en el espejo. Por lo tanto, ya sea que estemos hablando de un espejo o de un plano de simetría, estamos hablando, en esencia, de fenómenos del mismo orden.

En principio, todos los trucos ópticos "mágicos" posibles se basan en la transición "sin costuras" de una imagen a su reflejo en el espejo. Puede comprender y reproducir fácilmente el secreto de la "dama cortada por la mitad" y otros trucos similares utilizando un enrejado que consta de varios espejos. Gire uno de los espejos pequeños hacia adentro para que se pueda ver claramente en el espejo grande. Coloque su mano en el borde de un espejo pequeño de modo que su dedo medio quede paralelo al borde, y verá en el espejo que su mano consta de dos dedos meñique y dos dedos anulares. Saca tu dedo meñique y dos dedos se mueven en el espejo. Un poco de imaginación, y este "número" se puede preparar para la demostración en la noche de casa. La condición para el éxito aquí, como en un espectáculo de variedades o un circo, es la limpieza impecable del espejo. Un espejo bueno y lo suficientemente grande (para que sus bordes no sean visibles) no se nota a los ojos.

Los cubos siempre se producen con la expectativa de que se tomen con la mano derecha. Pero todos los zurdos preferirían un cucharón con un diseño de "espejo".

Después de separar mentalmente sillas, mesas, jarrones, personas, animales, casas y árboles por planos de simetría, por supuesto, queremos buscar cuerpos asimétricos.

Ya hemos mencionado las escaleras de caracol y el roscado en espiral. Quizás deberíamos aclarar una vez más la propiedad de la asimetría: es imposible dibujar un plano de simetría a través de un objeto asimétrico ( El autor aquí se refiere a simétricos sólo a aquellos cuerpos que tienen planos de simetría. En la doctrina moderna de la simetría, todas las figuras que consisten en partes iguales que se repiten regularmente se denominan cuerpos simétricos. En particular, las figuras con líneas helicoidales, consideradas como sistemas infinitamente extendidos, tienen ejes helicoidales de simetría, es decir, se consideran simétricas. - Aprox. educar). Por lo tanto, no se puede reflejar “correctamente” en el espejo. Y viceversa: cada espiral gira en el espejo "en la otra dirección". El giro a la izquierda se convierte en derecho. La mano izquierda se convierte en la derecha. ¿Quizás de ahí provienen las palabras "zurdo" y "diestro"?

Sin embargo, aquí puede surgir una objeción: ¿cómo puede una persona, una criatura dotada de un plano de simetría, "intercambiar" manos u orejas en un espejo?

Para entender, imagina que solo se ve una mano en el espejo, sin su dueño. Puede probarlo usted mismo, de pie frente al espejo, coloque una mano frente a él. O simplemente eche un vistazo de cerca a sus guantes. Se relacionan entre sí como una imagen y su imagen especular. ¡Pero si cortas un cubo en el medio, no distinguirás las mitades! Se combinan (mentalmente) sin ninguna dificultad.

La superficie de la taza es simétrica: puedes beber de ella tanto a la derecha como a la izquierda. Pero nuestros abuelos usaban copas especiales para barbos. Desde arriba, dicha taza tenía una visera para que un bigote orgulloso no se mojara en café. El agujero por el que llenaban la copa y bebían estaba a un lado. Esta copa ya no es simétrica. Se hizo para la mano izquierda o derecha.

Las tijeras suelen estar hechas para la mano derecha. Inmediatamente notará esto tan pronto como intente cortar una uña con las tijeras en su mano izquierda. Los cubos también se hacen siempre para la mano derecha. Entre las bagatelas de recuerdo, los sacacorchos para la mano izquierda a veces se venden como curiosidad: después de todo, es muy inconveniente para un zurdo abrir una botella con un sacacorchos normal. Asimétricos, por supuesto, son objetos tales como la hélice de un barco o un avión. Anteriormente, los hidroaviones grandes tenían dos hélices: un empujador y un tirador. No es difícil imaginar cómo giraban. O tome, por ejemplo, un sacapuntas en la mano derecha y gire la mina con la izquierda. Inmediatamente notará que aquí también hay asimetría.

Finalmente, mire guitarras, violines y otros instrumentos de cuerda. Son simétricos (si no tiene en cuenta el grosor de las cuerdas y la ubicación de las clavijas). Pero todo el sistema de violín y arco es asimétrico. ¡Sería interesante saber si hay zurdos entre los violinistas!

CHARLIE CHAPLIN Y NUDOS DE MAR

Y las grandes personas tienen sus problemas. Una pregunta muy importante para una figura pública: ¿dónde poner las manos? En El gran dictador, el consumado Charlie Chaplin intenta encontrar una solución a este problema antes de mostrarse al pueblo. Se para frente a un espejo. Por supuesto, lo mejor sería simplemente poner las manos en los bolsillos. ¡Pero no puedes dejar caer tu dignidad! Y así Chaplin pasa por todas las posiciones imaginables. Finalmente, cruza los brazos sobre el pecho en una pose, en su opinión, la más impresionante de sus contemporáneos.

Mirando pinturas, monumentos o retratos ceremoniales, es fácil ver que solo hay unas pocas posiciones de manos espectaculares. Pero a nosotros sólo nos interesan los brazos cruzados. Si no duda en probar esto, encontrará que hay dos opciones. Su mano derecha se acuesta de modo que su cepillo quede oculto debajo del antebrazo izquierdo. O viceversa: la mano derecha descansa sobre el antebrazo izquierdo y la izquierda está oculta debajo de la mano derecha.

El nudo de mar recto es simétrico. "Nudo de mujer" asimétrico

Imagina que estas no son manos, sino cordones de zapatos. También se pueden voltear de izquierda a derecha o de derecha a izquierda.

En el lenguaje de los marineros, una conexión tan simple se llama "media bayoneta". Si no puede creer que ha atado sus extremidades con un nudo, pida que le den un extremo de una cuerda en cada uno de sus brazos cruzados. Ahora saque las manos de las axilas: habrá un nudo de "media bayoneta" en la cuerda.

A esta “mitad” del nudo, naturalmente, se le debe agregar la segunda mitad para hacer un nudo sólido. Pero si intentas hacer esto, ¡ten cuidado! Hay dos opciones posibles aquí. Si coloca "correctamente" los extremos de la cuerda, obtendrá un nudo de "bayoneta plana". En cuanto los pongas “mal”, terminarás con un “nudo de mujer” que inspira disgusto en todo marinero. El "nudo de bebé" está bien apretado y es muy difícil desatarlo. La "bayoneta plana" también está bien apretada, pero es muy fácil de desatar, solo tiene que mover los extremos correspondientes uno hacia el otro. Para nosotros, en ambos casos, hay otra diferencia significativa: la "bayoneta plana" es simétrica y el "nudo de mujer" es asimétrico.

Pero volvamos a Charlie Chaplin. Ambos brazos cruzados (o extremos de la cuerda) reproducen esencialmente las vueltas del tornillo y carecen de simetría. Por lo tanto, los extremos se entrelazan y es imposible traducir mentalmente uno en el otro. Se relacionan como una imagen y su imagen especular. Y si atas una "media bayoneta" frente a un espejo, tu reflejo en el espejo lo atará "al revés". Para que se obtenga un nudo de mar correcto después de la segunda superposición, se debe anudar en una imagen de espejo con respecto a la primera.

Las cuerdas o cables se pueden torcer de izquierda a derecha o de derecha a izquierda. Hay cuerdas (y cables) torcidos de derecha a izquierda a lo largo de la letra Z y torcidos de izquierda a derecha a lo largo de la letra S. Esto se refiere al elemento medio largo de la letra, dirigido a lo largo de las fibras de la cuerda. La disposición de estos elementos en letras se refleja entre sí, lo que se aplica en la misma medida a las cuerdas correspondientes.

¿Sabrán estos jóvenes que se han "atado" las manos una frente a la otra con un nudo de izquierda y derecha?

Sin embargo, si comienza a mirar su tendedero, puede resultar que no sea un séquito en absoluto, sino un tejido. Las cuerdas torcidas se estiran bajo carga y las cuerdas tejidas casi no. (¡Un tendedero que se estira cuando se cuelga ropa mojada no es muy conveniente!) Por cierto, es interesante que el caracol enrolle su casa en forma de Z.

En un libro especial sobre nudos marinos, encontramos alrededor de 4.000 problemas diferentes de atado de cuerdas. Muchos de estos nudos son muy atractivos a la vista, pero irremediablemente asimétricos.

En las imágenes que representan barcos de vela antiguos, puedes ver cómo los marineros suben a los mástiles en las escaleras de cuerda. Para los marineros, esto se llama "escalar los obenques". Los vientos son largas cuerdas o cables que se extienden desde los costados del barco hasta el mástil. Se les unen "travesaños" de cuerda. Estos aparejos cortos deben sujetarse "bien" (¡en ningún caso con un nudo de "bayoneta plana"!). El aspecto de tal fijación se muestra en la figura. A simple vista parece simétrico, pero no lo es. Todo tipo de nudos decorativos producen la misma impresión. Se pueden encontrar tanto en productos de arte como en uniformes militares.

El nudo náutico de bayoneta plana nos da otro gran ejemplo de simetría. Aquí es necesario considerar no solo la simetría de la forma, sino también la simetría de la carga. Nuestro nudo cruzado se puede atar (¡correctamente!) De tal manera que los extremos de la cuerda se unen primero, que luego deben tensarse. Pero también puede atarlo de tal manera que el extremo cargado esté conectado al libre, descargado (nudo de "autoapertura"). En la forma anudada, ambos nudos son prácticamente indistinguibles. Sin embargo, si carga un nudo atado incorrectamente, no se sostendrá. Como dicen los marineros, el nudo se “romperá”.

Es él quien es utilizado en sus actuaciones por magos e ilusionistas. Anteriormente, cuando todavía existían hamacas en los barcos, siempre había asistentes útiles para sujetar una hamaca a un principiante. Naturalmente, en medio de la noche, el crédulo recién llegado terminó en el suelo.

Los matemáticos y los ingenieros a menudo tienen que lidiar con nudos y resolver problemas relacionados. Teóricamente, es interesante saber qué tipos de nodos existen. Pero a los profesionales les preocupa una pregunta diferente: cómo crear un centro de transporte para el movimiento sin obstáculos de los flujos de automóviles o personas. Dichos "nodos" se pueden ver en el mapa topológico del transporte subterráneo y de superficie en Berlín.

Incluso hay patentes para nudos. Existe, por ejemplo, una patente estadounidense basada en un nudo especial: una tira de Möbius. El matemático alemán August Ferdinand Möbius (1790-1868) torció una cinta plana una vez en un ángulo de 180° y pegó ambos extremos. Esta cinta es increíble. Si, habiendo tocado uno de sus lados con el dedo (notamos cuál), lo deslizamos a lo largo de la superficie, encontraremos que esta cinta tiene solo una superficie (una cinta que no está torcida de esta manera, por supuesto, tiene dos superficies ). La patente se basa en esta propiedad. Cuando se usa una correa de transmisión (se dice en la descripción de la patente), su lado interior, que pasa sobre las ruedas motrices y motrices, se desgasta con el tiempo y se vuelve inutilizable. Cuando se utiliza una cinta de Möbius, la diferencia entre la superficie interior y exterior desaparece esencialmente y, en consecuencia, se reduce considerablemente el desgaste de la correa. De hecho, fue patentado.

Un nudo que se desata por sí mismo y que suelen utilizar los magos. Si tira del extremo "deseado", el nudo se deshará

Si hacemos transparente la tira de Möbius y le ponemos algún icono, digamos la letra N, entonces se encontrará que las figuras opuestas se correlacionan como una imagen y su imagen especular. ¡Esto es bastante curioso, considerando que las letras "recta" y "opuesta" están en el mismo lado de la cinta! Después de todo, la cinta generalmente tiene una sola superficie.

Al construir intersecciones complejas, es importante conocer una propiedad de los nodos, que derivaremos con la ayuda de un experimento. Dibuja cualquier centro de transporte. Puede ser confuso y equivocado. Marque solo cada intersección con una letra, por supuesto, en cada caso diferente. Ahora mueva su lápiz o dedo a través de su dibujo en la dirección opuesta a donde dibujó. Y cada vez que pases por un cruce, anota la letra correspondiente. Para que el resultado (que estamos tratando de encontrar) sea más claro, escriba las letras en dos filas: de izquierda a derecha o de arriba a abajo. Solo es importante que alternes las intersecciones (dependiendo de si la calle pasa por encima o por debajo de la otra). Y no importa cómo tomó la primera intersección: superior o inferior. Cuando la tableta esté lista y la haya revisado correctamente, encontrará que cada letra que indica una intersección aparece una vez en cada una de las filas.

Imagina que tienes que diseñar un sistema de semáforos para controlar el paso de vehículos. Una fila tendrá todos los semáforos en verde, mientras que todos los semáforos en la otra fila deben estar en rojo.

Los magos aficionados utilizan el conocimiento de la teoría de los nudos para un "experimento de lectura de la mente". Pide dibujar un nudo similar y marcarlo con letras (sin mirar), y luego se ofrece a rodear el obstáculo, nombrando las letras (que el mago escribe de acuerdo con el patrón ya conocido). En algún momento, dos intersecciones "se confunden". Y el mago, "leyendo" los pensamientos, llama a las letras que encuentra. Es fácil comprobar que las letras mezcladas aparecerán dos veces en la misma fila.

Para concluir este apartado, una pregunta más: ¿qué pasa si la cinta de Möbius se corta a lo largo? En el caso de una cinta simple, no invertida, esto es claro: se obtendrán dos nuevas cintas, que serán el doble de estrechas que la primera. ¡Es difícil imaginar lo que sucederá con la cinta de Möbius, que previamente retorcimos antes de pegar sus extremos! Si después de un turno un lado ya ha "desaparecido", entonces en este caso puede esperar cualquier cosa. Planteemos la pregunta de manera un poco diferente: ¿qué sucede si el propietario de una transmisión por correa patentada la corta a lo largo para ahorrar dos transmisiones por correa? La experiencia nos dice que dos cintas nuevas no funcionarán. Aparecerá una cinta cerrada, el doble de larga. Aunque está entrelazado, como cualquier cinta normal, nuevamente tiene dos lados.

TRANSPORTE DE LECHE Y PISO DE BAÑO

Retroceda unas cuantas páginas y eche otro vistazo a los cinco sólidos platónicos. Solo estos cinco cuerpos (repitamos esto nuevamente) se pueden construir a partir de las mismas figuras planas regulares: caras.

El tetraedro nos es familiar de la vida cotidiana. Compramos productos lácteos en bolsas tetraédricas. Hace algún tiempo, se discutió la cuestión de por qué se usa un tetraedro, y no un hexaedro, es decir, un cubo, para estos fines. Después de todo, el cubo tiene la superficie más pequeña (después de la pelota) en relación con el volumen. Por tanto, con dicho envase para el mismo volumen de leche, se necesitaría menos material de envasado que con envases en tetraedros. Sin embargo, si observamos los desarrollos de ambos cuerpos, veremos que los tetraedros se pueden construir a partir de una cinta en movimiento continuo. Pero los cubos de una cinta simple no funcionarán. Siempre sobresaldrán dos cuadrados, por lo que siempre habrá muchos más restos que cuando se pegan paquetes de tetraedro.

Este pequeño ejemplo te permite analizar un error común. A menudo, en la búsqueda de la solución óptima, nos olvidamos de determinar exactamente qué debe optimizarse. Un proverbio bajo alemán dice: "Lo que le sienta bien a un búho no le conviene a un ruiseñor". De una manera moderna, suena algo así: "Si creas las condiciones óptimas para los ruiseñores, ¿qué tendrán que hacer los búhos?" (¡Y viceversa!)

En nuestro problema de empaque, se pueden hacer muchas preguntas, dependiendo de qué debería ser exactamente óptimo:

1. ¿Qué da la menor cantidad de envases para la misma cantidad de contenido? (Pelota, cubo)

2. ¿Cuál es el cuerpo más fácil de obtener de una hoja plana con un simple plegado? (¡Cinco sólidos platónicos, es decir, no una bola!)

3. Cuando está ensamblado, ¿qué cuerpo tiene la tira de conexión más corta que se puede pegar, soldar o conectar de alguna otra manera? (Tetraedro.)

4. Al cortar, ¿qué cuerpo se recorta menos? (Tetraedro.)

5. ¿Qué cuerpos se pueden doblar con más fuerza, sin espacios? (Cubo, tetraedro.)

6. ¿Qué cuerpo es menos probable que "confunda" las caras si debe estar sobre cierto lado hacia arriba (por ejemplo, para que la marca sea visible)? (Un tetraedro tiene la menor cantidad de caras).

Al hacer estas seis preguntas, es fácil ver cuán cuidadosamente debemos especificar lo que estamos tratando de optimizar.

Si nos enfrentamos a la tarea de desarrollar una forma de embalaje para la carga destinada a su envío por vía aérea, los puntos 1 (formato de embalaje pequeño) y 5 (embalaje hermético y sin huecos) serán los criterios determinantes de optimización, ya que cada gramo cuesta un dinero extra en transporte aéreo. Pero al elegir contenedores para transportar leche, el punto 3 (la longitud más corta de la línea de pegado) juega el papel principal, y aún más importante: el punto 4 (desperdicio mínimo). Aquí se suman las ventajas de los puntos 5 (densidad de empaque) y 6 (menor probabilidad de apilar paquetes en el lado equivocado).

Si recorre este "nodo" a lo largo de la flecha, las letras aparecerán una vez en la fila "indirecta" y una vez, en la directa

Los futurólogos ya se enfrentan hoy a un problema: ¿compraremos leche en tetraedros en el 2000 o solo en polvo, o tal vez tendremos que volver a jugar con las latas de leche?

Sin embargo, en este libro estamos interesados ​​principalmente en preguntas que están más cerca del tema.

De hecho, es sorprendente que también se pueda construir un poliedro a partir de pentágonos. ¿Y por qué es imposible a partir de hexágonos? Además, ¿se puede construir un hexágono a partir de seis triángulos?

Obviamente, el punto aquí no está solo en la figura plana original en sí (triángulo, cuadrado, pentágono), sino también en cómo estas superficies, contiguas, están conectadas entre sí. Si los hexágonos se colocan sobre la mesa, queda claro que cubren el plano sin espacios. Esto también es cierto para triángulos y cuadrados. Pero es imposible plegar un cuerpo tridimensional a partir de hexágonos sin deformarlos. Si aún intenta hacer un poliedro de hexágonos de este tipo con una ligera presión, sus caras se doblarán y la forma se acercará a la esférica.

Un tipo especial de estructura de balón es un balón de fútbol. Millones de personas ven esta pelota en la pantalla del televisor muchas veces a la semana. Cientos de miles lo ven "en especie", en el estadio. Todo el mundo sabe que los neumáticos de la pelota están formados por figuras blancas y negras. Pero, curiosamente, solo unos pocos pueden decir con certeza de qué tipo de polígonos está hecho. Incluso los futbolistas dudan cuando recuerdan si es de cinco o de hexágonos. Este es un ejemplo típico de nuestro descuido en la vida cotidiana.

Antiguamente, el neumático de cuero se fabricaba a partir de rodajas de dos puntas, parecidas a las que se cortan sobre la piel de una naranja. La mayoría de las pelotas modernas tienen un neumático hecho de polígonos curvos. Pesa unos 300 g con una circunferencia de bola de unos 64 cm y se compone de 12 "campos" negros y 20 blancos. La arista de cada polígono, independientemente del número de sus esquinas, mide 4,3 cm de largo Alrededor de cada pentágono negro hay seis hexágonos blancos.

Como ya se mencionó, en el plano, un hexágono rodeado por otros seis hexágonos forma un motivo de un patrón continuo. Un pentágono rodeado por cinco hexágonos no llena todo el plano sin espacios. Pero si, con un poco de esfuerzo, conectamos dichos polígonos hechos de cuero, obtenemos (con una muy buena aproximación) una pelota: nuestra pelota de fútbol. Los hexágonos deformados espacialmente también se utilizan en la construcción de estructuras ligeras modernas.

Así, a partir de figuras planas no deformadas del mismo tipo y tamaño, solo se pueden combinar cinco sólidos platónicos.

Se abren grandes oportunidades para combinaciones de figuras planas al componer patrones a partir de azulejos (por ejemplo, en el piso del baño). Repiten sin cesar motivos de triángulos equiláteros, cuadrados y hexágonos. Pero con las tejas pentagonales, el solador apenas podía hacer nada. No se pueden doblar en un patrón similar.

Las propiedades especiales de un triángulo equilátero o isósceles (pues un cuadrado consta de dos triángulos isósceles y un hexágono de seis triángulos equiláteros) están asociadas a la suma de sus ángulos, que es 180°. La suma de los ángulos de cualquier n-ágono es (n - 2) 180°. Para un pentágono será (5-2) 180° = 540°. Dividiendo 540 por 5, obtenemos 108° para cada ángulo. En los puntos donde convergen todas las fichas, la suma de todos los ángulos debe ser 360°. ¡Pero a partir de ángulos iguales a 108°, es imposible hacer un ángulo total de 360°!

Ya dijimos que solo se puede hacer un patrón de mosaico si toma triángulos, cuadrados y hexágonos regulares. Sin embargo, esto es cierto solo cuando se aplican de lado a lado y de esquina a esquina. Pero estos tres tipos de polígonos mostrarán diferencias tan pronto como elijamos un motivo de diseño diferente para nuestro piso. Los cuadrados y los triángulos equiláteros llenarán todo el plano incluso si no se unen de esquina a esquina. En el motivo dispuesto con hexágonos, se forman espacios entre las esquinas y los lados contiguos. Pero estas brechas en sí mismas contribuyen a la creación de nuevos patrones encantadores. Para los hexágonos, hay cuatro motivos para combinarlos en un solo patrón con triángulos y cuadrados.

Además, se conocen dos combinaciones más en las que solo participan cuadrados y triángulos, y dos en las que, además, también se utilizan octógonos y dodecágonos. A muchos matemáticos les gustaba crear "patrones para mosaicos".

Entonces, se sabe que Johannes Kepler se dedicó a dibujar un patrón de hexágonos rodeados de triángulos. Es curioso que este patrón (y solo él) pueda tener una imagen especular. El resto de los patrones en el espejo no cambian. Solo se invierte el patrón de Kepler.

Tomando cualquier polígono y sin limitarnos a reglas especiales al conectarlos, podemos crear una gran variedad de patrones de mosaico. El cristalógrafo ruso E. S. Fedorov en 1891 demostró que en este caso se distinguen 17 grupos de simetría diferentes. En la práctica, estos grupos ya eran conocidos por los árabes y fueron utilizados por ellos en los mosaicos de la Alhambra en España.

El ojo humano tiende a romper patrones cada vez más, especialmente si contrastan en color, como un tablero de ajedrez, por ejemplo. Comencemos con un "tablero de ajedrez", que consta de solo dos filas de dos celdas. (En lugar de un tablero de ajedrez, puede usar cuatro mosaicos cuadrados en el piso o la pared).

¿Cómo se puede cortar un patrón de 2X2 por la mitad? Responder a esta pregunta, por supuesto, no es difícil. Solo una línea que pasa por el medio, ya sea de izquierda a derecha o de arriba a abajo, y separa dos celdas (izquierda o arriba).

Un tablero que consta de celdas de 3x3 no se puede dividir por la mitad (sin volver a dividir las celdas). En algunos juegos, sin embargo, se utilizan campos de juego 3X3, 5X5, etc., excluyendo la i del medio, de modo que al dividir el campo de juego por la mitad, se obtiene un número entero de celdas. Pero aquí ya no los consideraremos, y de aquellos que están formados por un número entero de celdas, la cabeza puede girar.

¿Cuántas posibilidades hay de bisecar un patrón formado por celdas de 4 x 4 sin cruzarlas? En este caso, despreciaremos la diferencia entre arriba - abajo e izquierda - derecha. (Dichas soluciones se pueden traducir entre sí con un simple giro). Cualquiera que juegue con esa división correctamente encontrará, al menos, 6 formas.

¿Y si intentas dividir el campo de 6x6 celdas? El fabricante de rompecabezas inglés Henry E. Dudeney encontró 255 formas de dividir ese campo. ¡Para un tablero de ajedrez con 64 celdas (8X8), la computadora calculó 92,263 opciones de división!

Hay muchos problemas similares con los que luchan los ajedrecistas y los matemáticos. Los problemas de este tipo siguen siendo favoritos: ¿cuántas reinas (o alfiles o torres) se pueden colocar en un tablero para que no se amenace entre sí? (Para aquellos que no juegan al ajedrez, se debe tener en cuenta que la reina tiene derecho a moverse en todas las direcciones, incluidas las diagonales, hasta donde quiera). Los amantes del ajedrez han determinado que puede haber 8 reinas en el tablero.

Aquí surge la siguiente pregunta: ¿cuántas opciones hay para su arreglo? En 1850, Franz Nauk publicó una respuesta en la "Gaceta ilustrada" de Leipzig: hay 12 posiciones básicas de este tipo.

Ya que hemos hablado mucho sobre los planos de espejo, esperamos que dibujes un plano de simetría en el tablero de ajedrez de arriba a abajo sin dudarlo. Esta será la primera solución.

Puede dibujar el siguiente plano de reflexión del espejo de izquierda a derecha, dos planos más pasarán en diagonal. Por lo tanto, hemos encontrado cuatro soluciones más. Ahora giremos el campo 180° y nuevamente dibujemos dos planos de reflejo de espejo diagonal y uno de arriba hacia abajo. Pero aquí ya no podemos dibujar un plano de simetría de izquierda a derecha: solo nos dará la misma imagen que ya hemos visto.

Así, por simple espejo y rotación, hemos añadido siete opciones más a la posición principal de las figuras. Con una sola excepción, esta operación es posible para todas las demás disposiciones básicas que ha encontrado la Ciencia. En el caso excepcional mencionado anteriormente, solo hay tres reflejos. En total, las reinas se pueden colocar simultáneamente en el tablero de ajedrez, sin amenazarse entre sí, en 92 posiciones diferentes.

Este ejemplo nos enseña cómo beneficiarnos de la presencia de la simetría. Por supuesto, primero era necesario establecer que solo 8 reinas pueden estar en el ole. Luego fue necesario desarrollar 12 posiciones iniciales básicas, lo que, por supuesto, no fue fácil. Pero las 80 variantes restantes se pueden encontrar sin ser un experto en ajedrez. Bastaba con saber cómo funciona el espejo. Por otro lado, debe admitirse que ciertamente hay muchos ajedrecistas destacados que nunca han oído hablar de los planos de simetría.

SOBRE LA CUESTIÓN DE LAS DEFINICIONES

Dicen que todo problema puede ser considerado desde tres puntos de vista: desde el mío, desde el tuyo y desde el punto de vista de los hechos.

Sin duda, algo hay en este aforismo. El vaso puede estar medio vacío o medio lleno. ¡Puede tener tanto como 5 rublos en su bolsillo o tan poco como 5 rublos! Los pasajeros están experimentando una fuerte tormenta y el maltratado capitán al mismo tiempo solo siente una brisa fresca.

Definamos qué es un tablero de ajedrez. Podemos decir que se trata de 64 celdas, ubicadas en 8 filas longitudinales de 8 celdas cada una, de manera que en general todas juntas forman un cuadrado. Pero puedes decirlo de otra manera: este es un cuadrado dividido en 64 celdas cuadradas iguales. (En ambos casos, también deberíamos hablar de campos en blanco y negro, pero como esta circunstancia no es esencial para nuestros propósitos, omitiremos esta parte de la definición). En el primer caso, formamos un cuadrado grande a partir de pequeños, en el segundo, dividimos uno grande en pequeños.

Por curiosidad, preguntémonos, ¿en cuántas partes se puede dividir un cuadrado para que aparezcan cuadrados pequeños pero idénticos? Obviamente, el cuadrado es divisible en al menos 4 cuadrados más pequeños. Es imposible dividirlo en 2 o 3 cuadrados. En la próxima división, cada uno de los cuatro cuadrados pequeños se dividirá en 4 aún más pequeños, es decir, habrá 16 cuadrados en total. Aprendimos el curso de la división. Cada vez que obtenemos el resultado multiplicando por 4. En consecuencia, la próxima vez que dividamos 16 cuadrados, obtenemos 64, es decir, un tablero de ajedrez. Sólo hay dos figuras planas que se pueden dividir en dos partes iguales, y estas partes serán reproducciones reducidas exactas de figuras grandes. Dado que estamos acostumbrados a reducir a la mitad todo lo que ocurre a nuestro alrededor, sólo hay que sorprenderse de que sólo en dos casos podamos satisfacer la condición formulada anteriormente. Estas son tales figuras: un triángulo isósceles en ángulo recto y un paralelogramo con una relación de aspecto de 1: √ 2.

Tal paralelogramo en un caso particular, en forma de rectángulo, juega un papel esencial en el arte y la tecnología. Un rectángulo cuyo lado largo es √2 veces más grande que su lado corto (es decir, 1,4142 veces) lo percibimos como proporcional. Es este o un formato cercano al que prefieren los artistas.

En fotografía se utilizan mucho los formatos 7X10 (anteriormente 6x9) y 13X18. Si calculas la relación de aspecto, resulta 10:7 ≈ 1,43 y 18:13 ≈ 1,38, es decir, números cercanos a √ 2 = 1,4142.

Más precisamente adhiérase a la proporción 1: √ 2 en la técnica. Se basa en el tamaño del papel. Entonces, con el formato AO (841 x 1189 mm), la relación de aspecto es 1,413 ≈ √ 2. Si doblas la hoja por la mitad, en el lado más grande, obtienes el formato A1 (841X1189 / 2, es decir, 841X594 mm ), donde 841:594 = 1,415. Luego, el lado grande se vuelve a doblar por la mitad. Resulta el formato A3. Con el siguiente plegado, obtenemos el conocido formato A4, en el que 291:210 \u003d 1.414. Esta división va más allá hasta el formato A8 (74:52).

Aquellos que se ocupan del papel saben que hay otras dos filas: para sobrecubiertas y otros fines. La fila B comienza en 1414:1000 = 1,414 y la fila C comienza en 1297:917 = 1,414...

El libro que está leyendo (y esperemos que no le falte interés) tiene un formato de 260x200 mm, y 260:200 = 1,3.

Por supuesto, notó que el formato del papel aquí no se indica exactamente como se acostumbra: no a través del producto de las partes, sino a través de su proporción, pero nos permitimos esto para mayor claridad.

Podríamos decir que el cálculo del tamaño de papel que cumple con el estándar se realiza redividiendo la hoja con una relación de aspecto de 1: √ 2, partiendo del formato 917X1297 mm. Pero sería más correcta otra definición: el cálculo estándar del papel se realiza agrandando proporcionalmente la hoja con una relación de aspecto de 1:√2, comenzando secuencialmente desde el formato 52X74 mm. En ambos casos, se debe hacer una reserva que en la división (o multiplicación) cada vez que se toma un lado con una longitud relativa de √ 2.

Recuerda que un rectángulo es solo un caso especial de un paralelogramo, y que un paralelogramo con una relación de aspecto de 1:√2, así como un triángulo isósceles rectángulo, se pueden dividir en dos copias más pequeñas.

Un paralelogramo con un lado igual a √3 se puede dividir en 3 partes similares reducidas. En forma general: un paralelogramo con una relación de aspecto de 1:√ n se puede dividir en n partes idénticas similares.

Hay muchas más figuras que tienen una variedad de opciones de separación. Consideraremos otro motivo, que a veces se presentaba en los antiguos pisos de baldosas en las esquinas. Estos son trapecios, que el reflejo del espejo convierte en un motivo integral del patrón. Aquí de nuevo hay un "reflejo". Esto significa que en tales patrones se permiten combinaciones de figuras planas que no pueden combinarse entre sí mediante rotación o rotación, es decir, "izquierda" y "derecha".

Cómo colocar barras o ladrillos para que la estructura no tenga "costuras"

La figura que se muestra aquí nos lleva a divisiones sin discontinuidad. Si, cuando se redujo el tamaño del papel, la superficie de la figura fue atravesada por un espacio (pliegue o línea), entonces en nuestro patrón principal hay líneas que no continúan, sino que descansan contra otras líneas. A veces es especialmente deseable evitar por completo la división con espacios. Digamos que nos gustaría que la pared de una casa de ladrillos no tuviera una costura que atraviese toda la pared de arriba a abajo. Las instrucciones para soldar tambores de calderas y tuberías de aceite de gran diámetro prohíben el contacto de dos costuras longitudinales y dos transversales. Solo una costura longitudinal en una dirección puede apoyar contra cada costura transversal o circular. La costura longitudinal de la otra dirección ciertamente debe desplazarse hacia un lado. Debido a esto, los desgarros en la costura longitudinal solo se extenderán a la siguiente costura transversal.

Ahora probablemente ya haya adivinado qué tarea se le ofrece: ensamblar la superficie que se muestra aquí a partir de piezas estándar (ladrillos, parquet o láminas de hojalata), sin violar su continuidad.

LEYENDAS DE MINEROS

En los viejos tiempos, los mineros eran personas puramente prácticas. No se molestaron en la cabeza con los nombres de todo tipo de rocas que encontraron en el socavón, sino que simplemente dividieron estas rocas y minerales en útiles e inútiles, innecesarios. De las entrañas se extraían los necesarios, de ellos se fundía cobre, plomo, plata y otros metales, y los innecesarios se tiraban a vertederos.

Para minerales útiles (en su opinión), buscaron nombres descriptivos y memorables. Puede que nunca veas una pirita en forma de lanza, pero sin mucha dificultad imagínala por su nombre. No es más difícil distinguir el mineral de hierro rojo del mineral de hierro marrón por su nombre.

Para piedras inútiles (como ya se mencionó, en su opinión), los mineros a menudo encontraron nombres en leyendas y leyendas. Entonces, por ejemplo, se produjo el nombre del brillo de cobalto del mineral. Los minerales de cobalto son similares a los minerales de plata y, a veces, se confundían con ellos cuando se extraían. Cuando no se podía fundir la plata a partir de dicho mineral, se creía que estaba hechizado por los espíritus de la montaña: los kobolds.

Cuando la mineralogía se convirtió en ciencia, se descubrieron una gran variedad de rocas y minerales. Y al mismo tiempo, surgieron más y más dificultades con la invención de nombres para ellos. Los nuevos minerales a menudo recibieron el nombre del lugar del descubrimiento (ilmenita - en las montañas Ilmensky) o en honor a una persona famosa (goethita - en honor a Goethe) o le dieron un nombre griego o latino.

Los museos se repusieron con grandiosas colecciones de piedras, que ya eran ilimitadas. Los análisis químicos tampoco ayudaron mucho, porque muchas sustancias de la misma composición a veces forman cristales de formas completamente diferentes. Basta recordar al menos los copos de nieve.

En 1850, el físico francés Auguste Bravais (1811-1863) presentó un principio geométrico para la clasificación de los cristales en función de su estructura interna. sustancias cristalinas. Brave imaginó una diminuta partícula elemental de un cristal en la base de una sustancia cristalina. Hoy, desde el banco de la escuela, sabemos que el mundo consiste en las partículas más pequeñas: átomos y moléculas. Pero Bravais operó en sus ideas con un diminuto "ladrillo" de un cristal e investigó qué ángulos podían ser entre las aristas y en qué proporciones podían estar sus lados entre sí ( Para mayor claridad, el autor simplifica la historia de la derivación de las redes de Bravais. El predecesor de Bravais, el cristalógrafo francés R. J. Hayuy (1743-1822), realmente imaginó que los cristales estaban formados por "ladrillos" elementales. O. Brave reemplazó estos "ladrillos" con sus centros de gravedad y así pasó del "ladrillo" de Gajuy a un entramado espacial. - Aprox. educar).

En un cubo, las tres aristas siempre forman un ángulo de 90° entre sí. Todos los lados tienen la misma longitud. Los ladrillos también tienen ángulos de 90°. Pero sus lados son de diferentes longitudes. En los copos de nieve, por el contrario, no encontraremos un ángulo de 90°, sino solo de 60 o 120°.

Brave encontró que hay 7 combinaciones de celdas con los mismos o diferentes lados (ejes) y ángulos. Para los ángulos, aceptó solo dos opciones: igual a 90° y no igual a 90°. Solo un ángulo en todo su sistema, como excepción, tiene 120°. En el peor de los casos, los tres ejes y todos los ángulos de la celda son de diferente magnitud, mientras que no tiene ángulos de 90 o 120 °. Todo en él está inclinado y torcido, y uno podría pensar que en el mundo de los cristales este no debería ser el lugar. Mientras tanto, incluyen, por ejemplo, el sulfato de cobre (sulfato de cobre), cuyos cristales azules suelen ser del agrado de todos.

En algunas de estas 7 cuadrículas espaciales, los "ladrillos" elementales se pueden empaquetar de diferentes maneras. Para nosotros, que hoy conocemos la estructura del átomo, esto no es difícil de imaginar y demostrar con la ayuda de pelotas de ping-pong. Pero hace 125 años, la brillante idea de Bravais fue innovadora y abrió nuevos caminos en la ciencia.Es muy probable que Bravais también procediera de patrones de mosaico o motivos de tablero de ajedrez.

Si dividimos los campos cuadrados por diagonales, surge un nuevo patrón de los cuadrados en las esquinas. En el espacio tridimensional, esto corresponde a un cubo descompuesto en seis pirámides. Cada una de estas pirámides es la mitad de un octaedro.

Aquellos que alguna vez han cultivado cristales de sal saben que la sal puede cristalizar en cubos, o tal vez en octaedros. En otras palabras, las observaciones experimentales serán consistentes con las consideraciones teóricas.

Después de probar posibles opciones de empaque para los siete sistemas de ejes, Bravais ideó 14 celosías. Los presentamos aquí en nuestra imagen atomista moderna.

Si observa más de cerca las redes de Bravais y trata de construir cristales mentalmente a partir de ellas, probablemente verá cómo puede dibujar planos y ejes de simetría en ellas. Estas posibilidades se expandirán inmediatamente si formamos nuevas caras en una de las celdas elementales. Tomemos un cubo (¡por supuesto, mentalmente!), colóquelo en una esquina y corte (todavía mentalmente) todas las esquinas, luego formará caras triangulares completamente nuevas. Y de las caras cuadradas surgirán los octógonos: así aparecerán nuevos motivos de simetría.

El análisis de los elementos de simetría en cada uno de los sistemas axiales de redes cristalinas conduce a la aparición de 32 clases de simetría. Toda la variedad de minerales en la naturaleza se subdivide sobre la base de 32 clases de simetría. Armados con este conocimiento, pensemos en la clasificación de los cinco sólidos de Platón. El hecho de que el cubo, con sus tres ejes iguales y sus tres ángulos rectos, pertenezca al sistema axial cúbico (singonia) no necesita demostración. Dentro de una subdivisión más detallada, pertenece a la clase de simetría pentágono-tetraédrica ( El sistema cúbico incluye 5 de 32 clases de simetría cristalográfica. Estos incluyen 5 variedades del cubo, que difieren en simetría. El cubo más simétrico tiene 9 planos de simetría, 3 ejes de simetría cuádruples, 4 triples y 6 dobles.El cubo menos simétrico, que se analiza en el texto, tiene solo tres ejes de simetría dobles y cuatro triples. - Aprox. educar). No daremos aquí los nombres de otras clases debido a su complejidad. Sin embargo, tenga en cuenta el término "tetraédrico", ya que el tetraedro es uno de los sólidos platónicos.

Y si tienes buena memoria, recordarás el pentágonodo-kaedro, que también se incluye en esta clase de simetría. La imagen muestra claramente cómo se puede formar un tetraedro a partir de un cubo. El resto de los sólidos platónicos también pertenecen al sistema cúbico. Los antiguos griegos, uno debe pensar, se habrían sentido terriblemente molestos si hubieran sabido que un mineral tan prosaico como la pirita de azufre tenía la misma simetría que sus cuerpos "perfectos".

El hombre es capaz de ver a través de la luz. Cuantos de luz: los fotones tienen las propiedades tanto de ondas como de partículas. Las fuentes de luz se dividen en primarias y secundarias. En los primarios -como el Sol, las lámparas, el fuego, las descargas eléctricas- nacen fotones como resultado de reacciones químicas, nucleares o termonucleares. Cualquier átomo sirve como fuente secundaria de luz: habiendo absorbido un fotón, entra en un estado excitado y tarde o temprano regresa al principal, emitiendo un nuevo fotón. Cuando un haz de luz golpea un objeto opaco, todos los fotones que componen el haz son absorbidos por los átomos en la superficie del objeto. Los átomos excitados devuelven casi inmediatamente la energía absorbida en forma de fotones secundarios, que se irradian uniformemente en todas las direcciones. Si la superficie es áspera, entonces los átomos en ella están dispuestos al azar, las propiedades de onda de la luz no aparecen y la intensidad de radiación total es igual a la suma algebraica de la intensidad de radiación de cada átomo reemitido. En este caso, independientemente del ángulo de visión, vemos el mismo flujo de luz reflejado en la superficie; este reflejo se llama difuso. De lo contrario, la luz se refleja en una superficie lisa, como un espejo, metal pulido, vidrio. En este caso, los átomos que vuelven a emitir luz están ordenados entre sí, la luz exhibe propiedades ondulatorias y las intensidades de las ondas secundarias dependen de las diferencias de fase de las fuentes de luz secundarias vecinas. Como resultado, las ondas secundarias se compensan entre sí en todas las direcciones, excepto en una sola, que se determina según una ley bien conocida: el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión. Los fotones parecen rebotar elásticamente en el espejo, por lo que sus trayectorias van desde los objetos que están, por así decirlo, detrás de él: son lo que una persona ve cuando se mira en el espejo. Es cierto que el mundo del espejo es diferente al nuestro: los textos se leen de derecha a izquierda, las manecillas del reloj giran en la dirección opuesta, y si levantas la mano izquierda, nuestro doble en el espejo levantará la derecha, y el los anillos están en la mano equivocada... A diferencia de la pantalla de cine, donde todos los espectadores ven la misma imagen, los reflejos en el espejo son diferentes para todos. Por ejemplo, la niña de la imagen no se ve a sí misma en el espejo, sino al fotógrafo (ya que él ve su reflejo). Para verse a sí mismo, necesita sentarse frente al espejo. Luego, los fotones que provienen de la cara en la dirección de la mirada caen sobre el espejo casi en ángulo recto y regresan. Cuando llegan a tus ojos, ves tu imagen al otro lado del cristal. Más cerca del borde del espejo, los ojos captan los fotones reflejados por él en un cierto ángulo. Esto significa que también vinieron en ángulo, es decir, de objetos ubicados a ambos lados de usted. Esto le permite verse en el espejo junto con el entorno. Pero siempre se refleja menos luz del espejo de la que cae, por dos razones: no hay superficies perfectamente lisas y la luz siempre calienta un poco el espejo. De los materiales ampliamente utilizados, la plata pulida refleja mejor la luz (más del 95%). Los espejos se hacían con él en la antigüedad. Pero al aire libre, la plata se empaña debido a la oxidación y el pulido se daña. Además, un espejo de metal es caro y pesado. Ahora se aplica una capa delgada de metal en la parte posterior del vidrio, protegiéndolo de daños con varias capas de pintura, y a menudo se usa aluminio en lugar de plata para ahorrar dinero. Su reflectancia es de alrededor del 90% y la diferencia es imperceptible a simple vista.