Dibuja un gráfico usando la derivada. Cómo realizar un estudio de función completa

Para un estudio completo de la función y trazar su gráfica, se recomienda utilizar el siguiente esquema:

1) encontrar el alcance de la función;

2) encontrar los puntos de discontinuidad de la función y las asíntotas verticales (si existen);

3) investigar el comportamiento de la función en el infinito, encontrar las asíntotas horizontales y oblicuas;

4) investigar la función de uniformidad (imparidad) y de periodicidad (para funciones trigonométricas);

5) encontrar extremos e intervalos de monotonicidad de la función;

6) determinar los intervalos de convexidad y puntos de inflexión;

7) encontrar puntos de intersección con los ejes de coordenadas, si es posible, y algunos puntos adicionales que refinen el gráfico.

El estudio de la función se realiza simultáneamente con la construcción de su gráfica.

Ejemplo 9 Explora la función y construye un gráfico.

1. Dominio de definición: ;

2. La función se rompe en los puntos
,
;

Investigamos la función por la presencia de asíntotas verticales.

;
,
─ asíntota vertical.

;
,
─ asíntota vertical.

3. Investigamos la función por la presencia de asíntotas oblicuas y horizontales.

Derecho
─ asíntota oblicua, si
,
.

,
.

Derecho
─ asíntota horizontal.

4. La función es par porque
. La paridad de la función indica la simetría de la gráfica con respecto al eje y.

5. Encuentra los intervalos de monotonicidad y los extremos de la función.

Encontremos los puntos críticos, es decir. puntos donde la derivada es 0 o no existe:
;
. tenemos tres puntos
;

. Estos puntos dividen todo el eje real en cuatro intervalos. Definamos los signos en cada uno de ellos.

En los intervalos (-∞; -1) y (-1; 0) la función crece, en los intervalos (0; 1) y (1; +∞) decrece. Al pasar por un punto
la derivada cambia de signo de más a menos, por lo tanto, en este punto, la función tiene un máximo
.

6. Busquemos intervalos de convexidad, puntos de inflexión.

Encontremos los puntos donde es 0, o no existe.

no tiene raíces reales.
,
,

puntos
y
dividir el eje real en tres intervalos. Definamos el signo en cada intervalo.

Así, la curva en los intervalos
y
convexo hacia abajo, en el intervalo (-1;1) convexo hacia arriba; no hay puntos de inflexión, ya que la función en los puntos
y
no especificado

7. Encuentra los puntos de intersección con los ejes.

con eje
la gráfica de la función se corta en el punto (0; -1), y con el eje
la gráfica no se corta porque el numerador de esta función no tiene raíces reales.

La gráfica de la función dada se muestra en la Figura 1.

Figura 1 ─ Gráfica de la función

Aplicación del concepto de derivada en economía. Función elasticidad

Estudiar procesos económicos y resolver otros tareas aplicadas A menudo se utiliza el concepto de elasticidad de una función.

Definición. Función elasticidad
se llama el límite de la razón del incremento relativo de la función al incremento relativo de la variable en
, . (VIII)

La elasticidad de una función muestra aproximadamente cuánto por ciento cambiará la función
al cambiar la variable independiente por 1%.

La elasticidad de una función se utiliza en el análisis de la demanda y el consumo. Si la elasticidad de la demanda (en valor absoluto)
, entonces la demanda se considera elástica si
─ neutral si
─ inelástica con respecto al precio (o al ingreso).

Ejemplo 10 Calcular la elasticidad de una función
y encuentre el valor del índice de elasticidad para = 3.

Solución: según la fórmula (VII) la elasticidad de la función:

Sea x=3 entonces
Esto significa que si la variable independiente aumenta un 1%, entonces el valor de la variable dependiente aumentará un 1,42%.

Ejemplo 11 Sea la función de demanda con respecto al precio tiene la forma
, donde ─ coeficiente constante. Encuentre el valor del índice de elasticidad de la función de demanda al precio x = 3 den. unidades

Solución: calcular la elasticidad de la función de demanda mediante la fórmula (VII)

Asumiendo
unidades monetarias, obtenemos
. Esto significa que al precio
Unidad monetaria un aumento de precio del 1% provocará una disminución de la demanda del 6%, es decir la demanda es elástica.

Examinemos la función \(y= \frac(x^3)(1-x) \) y construyamos su gráfica.

1. Dominio de definición.
El dominio de definición de una función racional (fracción) será: el denominador no es igual a cero, es decir \(1 -x \ne 0 => x \ne 1\). Dominio $$D_f= (-\infty; 1) \cup (1;+\infty)$$

2. Puntos de quiebre de una función y su clasificación.
La función tiene un punto de ruptura x = 1
examina el punto x= 1. Encuentra el límite de la función a la derecha y a la izquierda del punto de discontinuidad, a la derecha $$ \lim_(x \to 1+0) (\frac(x^3)(1-x )) = -\infty $$ ya la izquierda del punto $$ \lim_(x \to 1-0)(\frac(x^3)(1-x)) = +\infty $$ los límites unilaterales son \(\infty\).

La recta \(x = 1\) es una asíntota vertical.

3. Uniformidad de la función.
Verificando la paridad \(f(-x) = \frac((-x)^3)(1+x) \) la función no es ni par ni impar.

4. Ceros de la función (puntos de intersección con el eje Ox). Intervalos de constancia de función.
Función ceros ( punto de intersección con el eje Ox): igualamos \(y=0\), obtenemos \(\frac(x^3)(1-x) = 0 => x=0 \). La curva tiene un punto de intersección con el eje Ox con coordenadas \((0;0)\).

Intervalos de constancia de funciones.
En los intervalos considerados \((-\infty; 1) \cup (1;+\infty)\) la curva tiene un punto de intersección con el eje Ox , por lo que consideraremos el dominio de definición en tres intervalos.

Determinemos el signo de la función en los intervalos del dominio de definición:
intervalo \((-\infty; 0) \) encuentra el valor de la función en cualquier punto \(f(-4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
intervalo \((0; 1) \) encuentra el valor de la función en cualquier punto \(f(0.5) = \frac(x^3)(1-x) > 0 \), en este intervalo la función es positiva \(f(x ) > 0 \), es decir está por encima del eje x.
intervalo \((1;+\infty) \) encuentra el valor de la función en cualquier punto \(f(4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox

5. Puntos de intersección con el eje Oy: igualamos \(x=0 \), obtenemos \(f(0) = \frac(x^3)(1-x) = 0\). Coordenadas del punto de intersección con el eje Oy \((0; 0)\)

6. Intervalos de monotonicidad. Extremos de funciones.
Busquemos los puntos críticos (estacionarios), para ello hallamos la primera derivada y la igualamos a cero $$ y" = (\frac(x^3)(1-x))" = \frac(3x^2(1 -x) + x^3)( (1-x)^2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) $$ igual a 0 $$ \frac(x ^2(3 -2x))( (1-x)^2) = 0 => x_1 = 0 \quad x_2= \frac(3)(2)$$ Halla el valor de la función en este punto \(f (0) = 0\) y \(f(\frac(3)(2)) = -6.75\). Tengo dos puntos críticos con coordenadas \((0;0)\) y \((1.5;-6.75)\)

Intervalos de monotonicidad.
La función tiene dos puntos críticos (posibles puntos extremos), por lo que consideraremos la monotonicidad en cuatro intervalos:
intervalo \((-\infty; 0) \) encuentra el valor de la primera derivada en cualquier punto del intervalo \(f(-4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x )^2) >
intervalo \((0;1)\) encuentra el valor de la primera derivada en cualquier punto del intervalo \(f(0.5) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2 ) > 0\) , la función crece en este intervalo.
intervalo \((1;1.5)\) encuentra el valor de la primera derivada en cualquier punto del intervalo \(f(1.2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2 ) > 0\) , la función crece en este intervalo.
intervalo \((1.5; +\infty)\) encuentra el valor de la primera derivada en cualquier punto del intervalo \(f(4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x) ^ 2)< 0\), на этом интервале функция убывает.

Extremos de funciones.

En el estudio de la función se obtuvieron dos puntos críticos (estacionarios) en el intervalo del dominio de definición. Determinemos si son extremos. Considere el cambio en el signo de la derivada al pasar por los puntos críticos:

el punto \(x = 0\) la derivada cambia de signo de \(\quad +\quad 0 \quad + \quad\) - el punto no es un extremo.
el punto \(x = 1.5\) la derivada cambia de signo de \(\quad +\quad 0 \quad - \quad\) - el punto es el punto máximo.

7. Intervalos de convexidad y concavidad. Puntos de inflexión.

Para encontrar los intervalos de convexidad y concavidad, encontramos la segunda derivada de la función y la igualamos a cero $$y"" = (\frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) )"= \frac(2x (x^2-3x+3))((1-x)^3) $$ Igualar $$ a cero \frac(2x(x^2-3x+3))(( 1-x)^3)= 0 => 2x(x^2-3x+3) =0 => x=0$$ La función tiene un punto crítico de segundo tipo con coordenadas \((0;0)\ ).
Definamos la convexidad sobre los intervalos del dominio de definición, teniendo en cuenta el punto crítico de segunda especie (el punto de posible inflexión).

intervalo \((-\infty; 0)\) encuentra el valor de la segunda derivada en cualquier punto \(f""(-4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1- x)^ 3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
intervalo \((0; 1)\) encuentra el valor de la segunda derivada en cualquier punto \(f""(0.5) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x)^ 3) > 0 \), en este intervalo la segunda derivada de la función es positiva \(f""(x) > 0 \) la función es convexa hacia abajo (convexa).
intervalo \((1; \infty)\) encuentra el valor de la segunda derivada en cualquier punto \(f""(4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).

Puntos de inflexión.

Considere el cambio de signo de la segunda derivada al pasar por un punto crítico de segundo tipo:
En el punto \(x =0\) la segunda derivada cambia de signo de \(\quad - \quad 0 \quad + \quad\), la gráfica de la función cambia de convexidad, es decir este es el punto de inflexión con coordenadas \((0;0)\).

8. Asíntotas.

Asíntota vertical. La gráfica de la función tiene una asíntota vertical \(x =1\) (ver ítem 2).
Asíntota oblicua.
Para que la gráfica de la función \(y= \frac(x^3)(1-x) \) para \(x \to \infty\) tenga una asíntota oblicua \(y = kx+b\) , es necesario y suficiente , para que existan dos límites $$\lim_(x \to +\infty)=\frac(f(x))(x) =k $$ hallarlo $$ \lim_(x \ a \infty) (\frac( x^3)(x(1-x))) = \infty => k= \infty $$ y segundo límite $$ \lim_(x \to +\infty)(f( x) - kx) = b$ $, porque \(k = \infty\) - no hay asíntota oblicua.

Asíntota horizontal: para que exista la asíntota horizontal es necesario que exista el límite $$\lim_(x \to \infty)f(x) = b$$, encuéntralo $$ \lim_(x \to +\infty) (\frac( x^3)(1-x))= -\infty$$$$ \lim_(x \to -\infty)(\frac(x^3)(1-x))= -\infty $$
No hay asíntota horizontal.

9. Gráfica de la función.

Realizar un estudio completo y trazar un gráfico de función

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) Alcance de la función. Como la función es una fracción, necesitas encontrar los ceros del denominador.

1−x=0,⇒x=1.1−x=0,⇒x=1.

Excluimos el único punto x=1x=1 del área de definición de la función y obtenemos:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) Estudiemos el comportamiento de la función en la vecindad del punto de discontinuidad. Encuentre límites unilaterales:

Como los límites son iguales al infinito, el punto x=1x=1 es una discontinuidad de segunda especie, la recta x=1x=1 es una asíntota vertical.

3) Determinemos los puntos de intersección de la gráfica de la función con los ejes de coordenadas.

Encontremos los puntos de intersección con el eje de ordenadas OyOy, para lo cual igualamos x=0x=0:

Así, el punto de intersección con el eje OyOy tiene coordenadas (0;8)(0;8).

Encontremos los puntos de intersección con el eje de abscisas OxOx, para lo cual establecemos y=0y=0:

La ecuación no tiene raíces, por lo que no hay puntos de intersección con el eje OxOx.

Tenga en cuenta que x2+8>0x2+8>0 para cualquier xx. Por lo tanto, para x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) la función y>0y>0(toma valores positivos, el gráfico está sobre el eje x), para x∈(1;+∞)x∈(1;+∞) la función y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) La función no es ni par ni impar porque:

5) Investigamos la función de periodicidad. La función no es periódica, ya que es una función racional fraccionaria.

6) Investigamos la función de extremos y monotonicidad. Para ello, encontramos la primera derivada de la función:

Igualemos la primera derivada a cero y encontremos los puntos estacionarios (en los que y′=0y′=0):

Tenemos tres puntos críticos: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Dividimos todo el dominio de la función en intervalos por puntos dados y determinamos los signos de la derivada en cada intervalo:

Para x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) la derivada y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

Para x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) la derivada y′>0y′>0, la función crece en estos intervalos.

En este caso, x=−2x=−2 es un punto mínimo local (la función decrece y luego crece), x=4x=4 es un punto máximo local (la función crece y luego decrece).

Encontremos los valores de la función en estos puntos:

Así, el punto mínimo es (−2;4)(−2;4), el punto máximo es (4;−8)(4;−8).

7) Examinamos la función para torceduras y convexidad. Encontremos la segunda derivada de la función:

Igualar la segunda derivada a cero:

La ecuación resultante no tiene raíces, por lo que no hay puntos de inflexión. Además, cuando se cumple x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0, es decir, la función es cóncava cuando x∈(1;+∞)x∈(1 ;+ ∞) y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Investigamos el comportamiento de la función en el infinito, es decir, en .

Como los límites son infinitos, no hay asíntotas horizontales.

Intentemos determinar asíntotas oblicuas de la forma y=kx+by=kx+b. Calculamos los valores de k,bk,b según las fórmulas conocidas:

Encontramos que la función tiene una asíntota oblicua y=−x−1y=−x−1.

9) Puntos adicionales. Calculemos el valor de la función en algunos otros puntos para construir un gráfico con mayor precisión.

y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.

10) Con base en los datos obtenidos, construiremos un gráfico, lo complementaremos con asíntotas x=1x=1 (azul), y=−x−1y=−x−1 (verde) y marcaremos los puntos característicos (la intersección con la y -el eje es morado, los extremos son naranjas, los puntos adicionales son negros):

Tarea 4: Problemas geométricos, económicos (no tengo idea de qué, aquí hay una selección aproximada de problemas con una solución y fórmulas)

Ejemplo 3.23. un

Decisión. X y y y
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Como x = a/4 es el único punto crítico, comprobemos si el signo de la derivada cambia al pasar por este punto. Para xa/4 S "> 0, y para x > a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Ejemplo 3.24.

Decisión.
R = 2, H = 16/4 = 4.

Ejemplo 3.22. Encuentra los extremos de la función f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Decisión. Dado que f "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x - 2) (x - 3), entonces los puntos críticos de la función x 1 \u003d 2 y x 2 \u003d 3. Los puntos extremos pueden solo estar en estos puntos Entonces, cuando pasa por el punto x 1 \u003d 2, la derivada cambia de signo de más a menos, entonces en este punto la función tiene un máximo.Al pasar por el punto x 2 \u003d 3, el la derivada cambia de signo de menos a más, por lo tanto, en el punto x 2 \u003d 3, la función tiene un mínimo Cálculo de los valores de la función en puntos
x 1 = 2 y x 2 = 3, encontramos los extremos de la función: máximo f(2) = 14 y mínimo f(3) = 13.

Ejemplo 3.23. Es necesario construir un área rectangular cerca de la pared de piedra para que esté cercada con malla de alambre en tres lados y se una a la pared en el cuarto lado. Para esto hay un metros lineales de la red. ¿A qué relación de aspecto tendrá el sitio el área más grande?

Decisión. Denote los lados del sitio a través de X y y. El área del sitio es S = xy. Permitir y es la longitud del lado adyacente a la pared. Entonces, por condición, se debe cumplir la igualdad 2x + y = a. Por lo tanto y = a - 2x y S = x(a - 2x), donde
0 ≤ x ≤ a/2 (la longitud y el ancho del área no pueden ser negativos). S "= a - 4x, a - 4x = 0 para x = a/4, de donde
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Como x = a/4 es el único punto crítico, comprobemos si el signo de la derivada cambia al pasar por este punto. Para xa/4 S "> 0, y para x > a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Ejemplo 3.24. Se requiere hacer un tanque cilíndrico cerrado con una capacidad de V=16p ≈ 50 m 3 . ¿Cuáles deben ser las dimensiones del tanque (radio R y altura H) para utilizar la menor cantidad de material para su fabricación?

Decisión. El área de superficie total del cilindro es S = 2pR(R+H). Conocemos el volumen del cilindro V = pR 2 H Þ H = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Por lo tanto, S(R) = 2p(R 2 +16/R). Encontramos la derivada de esta función:
S "(R) \u003d 2p (2R- 16 / R 2) \u003d 4p (R- 8 / R 2). S " (R) \u003d 0 para R 3 \u003d 8, por lo tanto,
R = 2, H = 16/4 = 4.

Información similar.

Su privacidad es importante para nosotros. Por esta razón, hemos desarrollado una Política de privacidad que describe cómo usamos y almacenamos su información. Lea nuestra política de privacidad y háganos saber si tiene alguna pregunta.

Recopilación y uso de información personal

La información personal se refiere a los datos que se pueden utilizar para identificar o contactar a una persona específica.

Es posible que se le solicite que proporcione su información personal en cualquier momento cuando se comunique con nosotros.

Los siguientes son algunos ejemplos de los tipos de información personal que podemos recopilar y cómo podemos usar dicha información.

Qué información personal recopilamos:

• Cuando envía una solicitud en el sitio, podemos recopilar información diversa, incluido su nombre, número de teléfono, dirección de correo electrónico, etc.

Cómo usamos tu información personal:

• La información personal que recopilamos nos permite comunicarnos con usted e informarle sobre ofertas únicas, promociones y otros eventos y próximos eventos.
• De vez en cuando, podemos usar su información personal para enviarle avisos y mensajes importantes.
• También podemos utilizar la información personal para fines internos, como realizar auditorías, análisis de datos y diversas investigaciones para mejorar los servicios que brindamos y brindarle recomendaciones sobre nuestros servicios.
• Si participa en un sorteo, concurso o incentivo similar, podemos utilizar la información que proporcione para administrar dichos programas.

Divulgación a terceros

No divulgamos la información que recibimos de usted a terceros.

Excepciones:

• En caso de que sea necesario, de conformidad con la ley, orden judicial, en procedimientos judiciales y/o en base a solicitudes públicas o solicitudes de organismos estatales en el territorio de la Federación Rusa, divulgar su información personal. También podemos divulgar información sobre usted si determinamos que dicha divulgación es necesaria o apropiada por razones de seguridad, cumplimiento de la ley u otras razones de interés público.
• En el caso de una reorganización, fusión o venta, podemos transferir la información personal que recopilamos al tercero sucesor correspondiente.

Protección de datos personales

Tomamos precauciones, incluidas las administrativas, técnicas y físicas, para proteger su información personal de pérdida, robo y uso indebido, así como del acceso, divulgación, alteración y destrucción no autorizados.

Mantener su privacidad a nivel de empresa

Para garantizar que su información personal esté segura, comunicamos las prácticas de privacidad y seguridad a nuestros empleados y hacemos cumplir estrictamente las prácticas de privacidad.

Si en el problema es necesario realizar un estudio completo de la función f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 con la construcción de su gráfico, consideraremos este principio en detalle.

Para resolver un problema de este tipo, se deben utilizar las propiedades y gráficas de los principales funciones elementales. El algoritmo de investigación incluye los siguientes pasos:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Encontrar el dominio de definición

Dado que la investigación se lleva a cabo en el dominio de la función, es necesario comenzar con este paso.

Ejemplo 1

Detrás ejemplo dado implica encontrar los ceros del denominador para excluirlos del DPV.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Como resultado, puede obtener raíces, logaritmos, etc. Entonces la ODZ se puede buscar para la raíz de un grado par de tipo g (x) 4 por la desigualdad g (x) ≥ 0, para el logaritmo log a g (x) por la desigualdad g (x) > 0.

Investigación de los límites de ODZ y búsqueda de asíntotas verticales

Hay asíntotas verticales en los límites de la función, cuando los límites unilaterales en tales puntos son infinitos.

Ejemplo 2

Por ejemplo, considere los puntos fronterizos iguales a x = ± 1 2 .

Entonces es necesario estudiar la función para encontrar el límite unilateral. Entonces obtenemos que: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ lím x → - 1 2 + 0 f (x) = lím x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lím x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lím x → 1 2 - 0 f (x) = lím x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lím x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lím x → 1 2 - 0 f (x) = lím x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lím x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞

Esto muestra que los límites unilaterales son infinitos, lo que significa que las líneas x = ± 1 2 son las asíntotas verticales de la gráfica.

Investigación de la función y para pares o impares

Cuando se cumple la condición y (- x) = y (x), la función se considera par. Esto sugiere que la gráfica se ubica simétricamente con respecto a O y. Cuando se cumple la condición y (- x) = - y (x), la función se considera impar. Esto significa que la simetría va con respecto al origen de coordenadas. Si al menos una desigualdad falla, obtenemos una función de forma general.

El cumplimiento de la igualdad y (- x) = y (x) indica que la función es par. A la hora de construir hay que tener en cuenta que habrá simetría con respecto a O y.

Para resolver la desigualdad se utilizan intervalos de aumento y disminución con las condiciones f"(x) ≥ 0 y f"(x) ≤ 0, respectivamente.

Definición 1

Puntos estacionarios son puntos que vuelven la derivada a cero.

Puntos críticos son puntos interiores del dominio donde la derivada de la función es igual a cero o no existe.

A la hora de tomar una decisión, se deben tener en cuenta los siguientes puntos:

• para los intervalos existentes de aumento y disminución de la desigualdad de la forma f”(x) > 0, los puntos críticos no están incluidos en la solución;
• los puntos en los que se define la función sin una derivada finita deben incluirse en los intervalos de aumento y disminución (por ejemplo, y \u003d x 3, donde el punto x \u003d 0 define la función, la derivada tiene el valor de infinito en este punto, y " \u003d 1 3 x 2 3 , y " (0) = 1 0 = ∞ , x = 0 se incluye en el intervalo de aumento);
• para evitar desacuerdos, se recomienda utilizar literatura matemática, la cual es recomendada por el Ministerio de Educación.

La inclusión de puntos críticos en los intervalos de crecimiento y decrecimiento en el caso de que satisfagan el dominio de la función.

Definición 2

Para determinando los intervalos de aumento y disminución de la función, es necesario encontrar:

• derivado;
• puntos críticos;
• dividir el dominio de definición con la ayuda de puntos críticos en intervalos;
• determine el signo de la derivada en cada uno de los intervalos, donde + es un aumento y - es una disminución.

Ejemplo 3

Encuentra la derivada en el dominio f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

Decisión

Para resolver necesitas:

• encontrar puntos estacionarios, este ejemplo tiene x = 0;
• encontrar los ceros del denominador, el ejemplo toma el valor cero en x = ± 1 2 .

Exponemos puntos en el eje numérico para determinar la derivada en cada intervalo. Para hacer esto, basta con tomar cualquier punto del intervalo y hacer un cálculo. En un resultado positivo en el gráfico, representamos +, lo que significa un aumento en la función, y - significa su disminución.

Por ejemplo, f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, lo que significa que el primer intervalo a la izquierda tiene un signo +. Considere el número línea.

Responder:

• hay un aumento en la función en el intervalo - ∞ ; - 1 2 y (- 1 2 ; 0 ] ;
• hay una disminución en el intervalo [ 0 ; 1 2) y 1 2 ; +∞.

En el diagrama, usando + y -, se representan la positividad y la negatividad de la función, y las flechas indican decrecimiento y aumento.

Los puntos extremos de una función son los puntos donde se define la función ya través de los cuales la derivada cambia de signo.

Ejemplo 4

Si consideramos un ejemplo donde x \u003d 0, entonces el valor de la función en él es f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0. Cuando el signo de la derivada cambia de + a - y pasa por el punto x \u003d 0, entonces el punto con coordenadas (0; 0) se considera el punto máximo. Cuando el signo se cambia de - a +, obtenemos el punto mínimo.

La convexidad y la concavidad se determinan resolviendo desigualdades de la forma f "" (x) ≥ 0 y f "" (x) ≤ 0 . Menos a menudo usan el nombre protuberancia hacia abajo en lugar de concavidad, y protuberancia hacia arriba en lugar de protuberancia.

Definición 3

Para determinar los espacios de concavidad y convexidad necesario:

• encontrar la segunda derivada;
• encontrar los ceros de la función de la segunda derivada;
• romper el dominio de definición por los puntos que aparecen en intervalos;
• determinar el signo de la brecha.

Ejemplo 5

Encuentre la segunda derivada del dominio de definición.

Decisión

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Encontramos los ceros del numerador y el denominador, donde, usando nuestro ejemplo, tenemos que los ceros del denominador x = ± 1 2

Ahora necesitas poner puntos en la recta numérica y determinar el signo de la segunda derivada de cada intervalo. eso lo conseguimos

Responder:

• la función es convexa desde el intervalo - 1 2 ; 12;
• la función es cóncava a partir de los huecos - ∞ ; - 1 2 y 1 2 ; +∞.

Definición 4

punto de inflexión es un punto de la forma x 0 ; f(x0) . Cuando tiene una tangente a la gráfica de la función, entonces cuando pasa por x 0, la función cambia de signo al contrario.

En otras palabras, este es un punto por el cual pasa la segunda derivada y cambia de signo, y en los puntos mismos es igual a cero o no existe. Todos los puntos se consideran dominio de la función.

En el ejemplo se vio que no hay puntos de inflexión, ya que la segunda derivada cambia de signo al pasar por los puntos x = ± 1 2 . Ellos, a su vez, no están incluidos en el dominio de la definición.

Encontrar asíntotas horizontales y oblicuas

Al definir una función en el infinito, se deben buscar asíntotas horizontales y oblicuas.

Definición 5

asíntotas oblicuas se dibujan usando líneas dadas por la ecuación y = k x + b, donde k = lim x → ∞ f (x) x y b = lim x → ∞ f (x) - k x .

Para k = 0 y b no igual a infinito, encontramos que la asíntota oblicua se convierte en horizontal.

En otras palabras, las asíntotas son las rectas a las que tiende la gráfica de la función en el infinito. Esto contribuye a la construcción rápida de la gráfica de la función.

Si no hay asíntotas, pero la función está definida en ambos infinitos, es necesario calcular el límite de la función en estos infinitos para comprender cómo se comportará la gráfica de la función.

Ejemplo 6

Como ejemplo, considere que

k = lím x → ∞ f (x) x = lím x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lím x → ∞ (f (x) - k x) = lím x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

es una asíntota horizontal. Después de investigar la función, puede comenzar a construirla.

Cálculo del valor de una función en puntos intermedios

Para que el trazado sea más preciso, se recomienda encontrar varios valores de la función en puntos intermedios.

Ejemplo 7

Del ejemplo que hemos considerado, es necesario encontrar los valores de la función en los puntos x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4. Como la función es par, obtenemos que los valores coinciden con los valores en estos puntos, es decir, obtenemos x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x \u003d 1 4.

Escribamos y resolvamos:

F (- 2) = F (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 F (- 1) - F (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Para determinar los máximos y mínimos de la función, puntos de inflexión, puntos intermedios, es necesario construir asíntotas. Para una designación conveniente, se fijan intervalos de aumento, disminución, convexidad y concavidad. Considere la siguiente figura.

Es necesario dibujar líneas gráficas a través de los puntos marcados, lo que le permitirá acercarse a las asíntotas, siguiendo las flechas.

Con esto concluye el estudio completo de la función. Hay casos de construcción de algunas funciones elementales para las que se utilizan transformaciones geométricas.

Si nota un error en el texto, resáltelo y presione Ctrl+Enter