Mucha gente piensa que las desigualdades exponenciales son algo tan complicado e incomprensible. Y que aprender a resolverlos es casi un gran arte, que solo los Elegidos son capaces de comprender...
¡Tonterías completas! Las desigualdades exponenciales son fáciles. Y siempre son fáciles de resolver. Bueno, casi siempre. :)
Hoy analizaremos este tema a lo largo y ancho. Esta lección será muy útil para aquellos que recién comienzan a comprender esta sección de las matemáticas escolares. Comencemos con tareas simples y pasemos a cuestiones más complejas. Hoy no habrá asperezas, pero lo que estás a punto de leer será suficiente para resolver la mayoría de las desigualdades en todo tipo de control y trabajo independiente. Y en este tu examen también.
Como siempre, comencemos con una definición. Una desigualdad exponencial es cualquier desigualdad que contiene una función exponencial. En otras palabras, siempre se puede reducir a una desigualdad de la forma
\[((a)^(x)) \gtb\]
Donde el papel de $b$ puede ser un número ordinario, o tal vez algo más difícil. ¿Ejemplos? Sí, por favor:
\[\begin(alinear) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ cuádruple ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4 )(X))). \\\fin(alinear)\]
Creo que el significado es claro: hay una función exponencial $((a)^(x))$, se compara con algo y luego se le pide que encuentre $x$. En casos especialmente clínicos, en lugar de la variable $x$, pueden poner alguna función $f\left(x \right)$ y así complicar un poco la desigualdad. :)
Por supuesto, en algunos casos, la desigualdad puede parecer más severa. Por ejemplo:
\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]
O incluso esto:
En general, la complejidad de tales desigualdades puede ser muy diferente, pero al final se reducen a una construcción simple $((a)^(x)) \gt b$. Y de alguna manera nos ocuparemos de tal diseño (especialmente en casos clínicos, cuando no se nos ocurra nada, los logaritmos nos ayudarán). Por lo tanto, ahora aprenderemos cómo resolver construcciones tan simples.
Solución de las desigualdades exponenciales más simples
Veamos algo muy simple. Por ejemplo, aquí está:
\[((2)^(x)) \gt4\]
Obviamente, el número de la derecha se puede reescribir como una potencia de dos: $4=((2)^(2))$. Por lo tanto, la desigualdad original se reescribe en una forma muy conveniente:
\[((2)^(x)) \gt((2)^(2))\]
Y ahora las manos están ansiosas por "tachar" los doses, parados en las bases de los grados, para obtener la respuesta $x \gt 2$. Pero antes de tachar nada, recordemos las potencias de dos:
\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]
Como puede ver, cuanto mayor sea el número en el exponente, mayor será el número de salida. "¡Gracias, Cap!" uno de los estudiantes exclamará. ¿Ocurre de manera diferente? Desafortunadamente, sucede. Por ejemplo:
\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ derecha))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 );...\]
Aquí también todo es lógico: cuanto mayor es el grado, más veces se multiplica el número 0,5 por sí mismo (es decir, se divide por la mitad). Por lo tanto, la secuencia de números resultante es decreciente, y la diferencia entre la primera y la segunda secuencia está solo en la base:
- Si la base de grado $a \gt 1$, entonces a medida que crece el exponente $n$, el número $((a)^(n))$ también crecerá;
- Por el contrario, si $0 \lt a \lt 1$, entonces a medida que el exponente $n$ crece, el número $((a)^(n))$ disminuirá.
Resumiendo estos hechos, obtenemos la declaración más importante, en la que se basa toda la solución de desigualdades exponenciales:
Si $a \gt 1$, entonces la desigualdad $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ es equivalente a la desigualdad $x \gt n$. Si $0 \lt a \lt 1$, entonces la desigualdad $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ es equivalente a la desigualdad $x \lt n$.
En otras palabras, si la base es mayor que uno, simplemente puede eliminarla; el signo de desigualdad no cambiará. Y si la base es menor que uno, entonces también se puede quitar, pero también habrá que cambiar el signo de la desigualdad.
Tenga en cuenta que no hemos considerado las opciones $a=1$ y $a\le 0$. Porque en estos casos hay incertidumbre. Supongamos cómo resolver una desigualdad de la forma $((1)^(x)) \gt 3$? Un uno elevado a cualquier potencia dará de nuevo un uno; nunca obtendremos un tres o más. Aquellos. no hay soluciones
Con bases negativas, es aún más interesante. Considere, por ejemplo, la siguiente desigualdad:
\[((\izquierda(-2 \derecha))^(x)) \gt 4\]
A primera vista, todo es simple:
¿Correctamente? ¡Pero no! Basta con sustituir un par de números pares y un par de números impares en lugar de $x$ para asegurarse de que la solución es incorrecta. Echar un vistazo:
\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]
Como puede ver, los signos se alternan. Pero todavía hay grados fraccionarios y otros de estaño. ¿Cómo, por ejemplo, ordenaría contar $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (menos dos elevado a la raíz de siete)? ¡De ninguna manera!
Por lo tanto, por definición, asumimos que en todas las desigualdades exponenciales (y ecuaciones, por cierto, también) $1\ne a \gt 0$. Y luego todo se resuelve de manera muy simple:
\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Rightarrow \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\fin(alinear) \derecha.\]
En general, recuerde una vez más la regla principal: si la base en la ecuación exponencial es mayor que uno, simplemente puede eliminarla; y si la base es menor que uno, también se puede quitar, pero esto cambiará el signo de la desigualdad.
Ejemplos de solución
Entonces, considere algunas desigualdades exponenciales simples:
\[\begin(alinear) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\fin(alinear)\]
La tarea principal es la misma en todos los casos: reducir las desigualdades a la forma más simple $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Esto es lo que haremos ahora con cada desigualdad, y al mismo tiempo repetiremos las propiedades de las potencias y la función exponencial. ¡Entonces vamos!
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]
¿Qué se puede hacer aquí? Bueno, a la izquierda ya tenemos una expresión demostrativa: no es necesario cambiar nada. Pero a la derecha hay algún tipo de basura: una fracción, ¡e incluso una raíz en el denominador!
Sin embargo, recuerda las reglas para trabajar con fracciones y potencias:
\[\begin(alinear) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\fin(alinear)\]
¿Qué significa? Primero, podemos deshacernos fácilmente de la fracción convirtiéndola en un exponente negativo. Y en segundo lugar, dado que el denominador es la raíz, sería bueno convertirlo en un grado, esta vez con un exponente fraccionario.
Apliquemos estas acciones secuencialmente al lado derecho de la desigualdad y veamos qué sucede:
\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \right))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \right)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]
No olvides que al elevar un grado a una potencia, se suman los exponentes de estos grados. Y en general, cuando se trabaja con ecuaciones y desigualdades exponenciales, es absolutamente necesario conocer al menos las reglas más simples para trabajar con potencias:
\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\fin(alinear)\]
En realidad, acabamos de aplicar la última regla. Por lo tanto, nuestra desigualdad original se reescribirá de la siguiente manera:
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Rightarrow ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ fracción(1)(3)))\]
Ahora nos deshacemos del dos en la base. Como 2 > 1, el signo de desigualdad sigue siendo el mismo:
\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]
¡Esa es toda la solución! La dificultad principal no está en absoluto en la función exponencial, sino en la transformación competente de la expresión original: debe llevarla con cuidado y lo más rápido posible a su forma más simple.
Considere la segunda desigualdad:
\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]
Bien bien. Aquí estamos esperando fracciones decimales. Como he dicho muchas veces, en cualquier expresión con potencias, debe deshacerse de las fracciones decimales; a menudo, esta es la única forma de ver una solución rápida y fácil. Esto es de lo que nos desharemos:
\[\begin(alinear) & 0,1=\frac(1)(10);\quad 0,01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ derecha))^(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Rightarrow ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \right))^(2)). \\\fin(alinear)\]
Ante nosotros está nuevamente la desigualdad más simple, e incluso con la base 1/10, es decir menos que uno. Bueno, quitamos las bases, cambiando simultáneamente el signo de "menor" a "mayor", y obtenemos:
\[\begin(alinear) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\fin(alinear)\]
Obtuvimos la respuesta final: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Tenga en cuenta que la respuesta es exactamente el conjunto, y en ningún caso lo es la construcción de la forma $x \lt -1$. Porque formalmente tal construcción no es un conjunto en absoluto, sino una desigualdad con respecto a la variable $x$. Sí, es muy simple, ¡pero no es la respuesta!
Nota IMPORTANTE. Esta desigualdad podría resolverse de otra manera: reduciendo ambas partes a una potencia con una base mayor que uno. Echar un vistazo:
\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Rightarrow ((\left(((10)^(-1)) \right))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]
Después de tal transformación, nuevamente obtenemos una desigualdad exponencial, pero con una base de 10> 1. Y esto significa que simplemente puede tachar la decena: el signo de desigualdad no cambiará. Obtenemos:
\[\begin(alinear) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt-2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\fin(alinear)\]
Como puedes ver, la respuesta es exactamente la misma. Al mismo tiempo, nos salvamos de la necesidad de cambiar el letrero y, en general, recordamos algunas reglas allí. :)
\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]
Sin embargo, no dejes que eso te asuste. Independientemente de lo que esté en los indicadores, la tecnología para resolver la desigualdad en sí sigue siendo la misma. Por lo tanto, notamos primero que 16 = 2 4 . Reescribamos la desigualdad original teniendo en cuenta este hecho:
\[\begin(alinear) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(alinear)\]
¡Hurra! ¡Obtuvimos la desigualdad cuadrada habitual! El signo no ha cambiado en ninguna parte, ya que la base es un dos, un número mayor que uno.
Función ceros en la recta numérica
Ordenamos los signos de la función $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - obviamente, su gráfica será una parábola con ramas hacia arriba, por lo que habrá “ventajas " en los lados. Estamos interesados en la región donde la función es menor que cero, es decir $x\in \left(2;5 \right)$ es la respuesta al problema original.
Finalmente, considere otra desigualdad:
\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]
Nuevamente vemos una función exponencial con una fracción decimal en la base. Convirtamos esta fracción en una fracción común:
\[\begin(align) & 0,2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2)^(1+((x)^(2))))=((\left(((5)^(-1)) \right))^(1+((x)^(2) )))=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(alinear)\]
En este caso, aprovechamos el comentario hecho anteriormente: redujimos la base al número 5\u003e 1 para simplificar nuestra decisión adicional. Hagamos lo mismo con el lado derecho:
\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ derecha))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]
Reescribamos la desigualdad original, teniendo en cuenta ambas transformaciones:
\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(-1\cdot \left(1+) ((x)^(2)) \right)))\ge ((5)^(-2))\]
Las bases en ambos lados son iguales y mayores que uno. No hay otros términos a la derecha ni a la izquierda, así que simplemente "tachamos" los cincos y obtenemos una expresión muy simple:
\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(alinear)\]
Aquí es donde hay que tener cuidado. A muchos estudiantes les gusta simplemente sacar la raíz cuadrada de ambos lados de la desigualdad y escribir algo como $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. Nunca debes hacer esto, ya que la raíz del cuadrado exacto es el módulo, y de ninguna manera la variable original:
\[\sqrt(((x)^(2)))=\izquierda| x\derecha|\]
Sin embargo, trabajar con módulos no es la experiencia más agradable, ¿verdad? Así que no trabajaremos. En cambio, simplemente movemos todos los términos hacia la izquierda y resolvemos la desigualdad habitual usando el método de intervalo:
$\begin(alinear) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(alinear)$
Nuevamente, marcamos los puntos obtenidos en la recta numérica y observamos los signos:
Tenga en cuenta: los puntos están sombreados. Como estábamos resolviendo una desigualdad no estricta, todos los puntos del gráfico están sombreados. Por tanto, la respuesta será: $x\in \left[ -1;1 \right]$ no es un intervalo, sino un segmento.
En general, me gustaría señalar que no hay nada complicado en las desigualdades exponenciales. El significado de todas las transformaciones que realizamos hoy se reduce a un algoritmo simple:
- Encuentre la base a la que reduciremos todos los grados;
- Realiza cuidadosamente las transformaciones para obtener una desigualdad de la forma $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Por supuesto, en lugar de las variables $x$ y $n$, puede haber funciones mucho más complejas, pero esto no cambia el significado;
- Tacha las bases de los grados. En este caso, el signo de la desigualdad puede cambiar si la base $a \lt 1$.
De hecho, este es un algoritmo universal para resolver todas esas desigualdades. Y todo lo demás que se le dirá sobre este tema son solo trucos y trucos específicos para simplificar y acelerar la transformación. Aquí tienes uno de esos trucos de los que hablaremos ahora. :)
método de racionalización
Considere otro lote de desigualdades:
\[\begin(alinear) & ((\texto( )\!\!\pi\!\!\texto( ))^(x+7)) \gt ((\texto( )\!\!\pi \!\!\texto( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \right))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]
Bueno, ¿qué tienen de especial? También son ligeros. Aunque, ¡para! ¿Pi está elevado a una potencia? ¿Qué clase de tontería?
¿Y cómo elevar el número $2\sqrt(3)-3$ a una potencia? ¿O $3-2\sqrt(2)$? Los compiladores de los problemas obviamente bebieron demasiado "Espino" antes de sentarse a trabajar. :)
De hecho, no hay nada malo con estas tareas. Déjame recordarte: una función exponencial es una expresión de la forma $((a)^(x))$, donde la base $a$ es cualquier número positivo, excepto uno. El número π es positivo, ya lo sabemos. Los números $2\sqrt(3)-3$ y $3-2\sqrt(2)$ también son positivos; esto es fácil de ver si los comparamos con cero.
¿Resulta que todas estas desigualdades "aterradoras" no son diferentes de las simples discutidas anteriormente? ¿Y lo hacen de la misma manera? Sí, absolutamente correcto. Sin embargo, usando su ejemplo, me gustaría considerar un truco que ahorra mucho tiempo en trabajos y exámenes independientes. Hablaremos sobre el método de racionalización. Así que atención:
Cualquier desigualdad exponencial de la forma $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ es equivalente a la desigualdad $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ derecha) \gt 0 $.
Ese es todo el método. :) ¿Pensaste que habría algún tipo de próximo juego? ¡Nada como esto! Pero este simple hecho, escrito literalmente en una sola línea, simplificará enormemente nuestro trabajo. Echar un vistazo:
\[\begin(matriz) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\texto( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matriz)\]
¡Aquí no hay más funciones exponenciales! Y no tienes que recordar si el signo cambia o no. Pero surge un nuevo problema: ¿qué hacer con el jodido multiplicador \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? No sabemos cuál es el valor exacto de pi. Sin embargo, el capitán parece insinuar lo obvio:
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\approx 3,14... \gt 3\Rightarrow \text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1\gt3-1=2\]
En general, el valor exacto de π no nos molesta mucho - solo es importante que entendamos que en cualquier caso $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t .e. es una constante positiva, y podemos dividir ambos lados de la desigualdad por ella:
\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]
Como puedes ver, en cierto punto, tuvimos que dividir por menos uno, y el signo de desigualdad cambió. Al final, expandí el trinomio cuadrado según el teorema de Vieta - es obvio que las raíces son iguales a $((x)_(1))=5$ y $((x)_(2))=- 1$. Entonces todo se resuelve por el método clásico de los intervalos:
Resolvemos la desigualdad por el método de los intervalos Todos los puntos están perforados porque la desigualdad original es estricta. Estamos interesados en el área con valores negativos, por lo que la respuesta es $x\in \left(-1;5 \right)$. Esa es la solución. :)
Pasemos a la siguiente tarea:
\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]
Todo es simple aquí, porque hay una unidad a la derecha. Y recordamos que una unidad es cualquier número elevado a la potencia de cero. Incluso si este número es una expresión irracional, de pie en la base a la izquierda:
\[\begin(alinear) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2 \sqrt(3)-3\right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3 \derecho))^(0)); \\\fin(alinear)\]
Así que vamos a racionalizar:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]
Solo queda ocuparse de los signos. El multiplicador $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ no contiene la variable $x$; es solo una constante y necesitamos averiguar su signo. Para hacer esto, tenga en cuenta lo siguiente:
\[\begin(matriz) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \right)=0 \\\end(matriz)\]
¡Resulta que el segundo factor no es solo una constante, sino una constante negativa! Y al dividir por ella, el signo de la desigualdad original cambiará al contrario:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(alinear)\]
Ahora todo se vuelve bastante obvio. Las raíces del trinomio cuadrado de la derecha son $((x)_(1))=0$ y $((x)_(2))=2$. Los marcamos en la recta numérica y observamos los signos de la función $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:
El caso cuando estamos interesados en los intervalos laterales Nos interesan los intervalos marcados con un signo más. Solo queda escribir la respuesta:
Pasemos al siguiente ejemplo:
\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ derecha))^(16-x))\]
Bueno, aquí todo es bastante obvio: las bases son potencias del mismo número. Por lo tanto, escribiré todo brevemente:
\[\begin(matriz) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Downarrow \\ ((\left(((3)^(-1)) \right))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \right))^(16-x)) \\\end(matriz)\]
\[\begin(alinear) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ izquierda(16-x\derecha))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]
Como puedes ver, en el proceso de transformaciones, tuvimos que multiplicar por un número negativo, por lo que cambió el signo de la desigualdad. Al final, volví a aplicar el teorema de Vieta para factorizar un trinomio cuadrado. Como resultado, la respuesta será la siguiente: $x\in \left(-8;4 \right)$ - aquellos que lo deseen pueden verificar esto dibujando una recta numérica, marcando puntos y contando signos. Mientras tanto, pasaremos a la última desigualdad de nuestro "conjunto":
\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]
Como puedes ver, la base es nuevamente un número irracional y la unidad está nuevamente a la derecha. Por lo tanto, reescribimos nuestra desigualdad exponencial de la siguiente manera:
\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ derecha))^(0))\]
Racionalicemos:
\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]
Sin embargo, es bastante obvio que $1-\sqrt(2) \lt 0$, ya que $\sqrt(2)\approx 1.4... \gt 1$. Por tanto, el segundo factor vuelve a ser una constante negativa, por la que se pueden dividir ambas partes de la desigualdad:
\[\begin(matriz) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\fin(matriz)\]
\[\begin(alinear) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(alinear)\]
Cambiar a otra base
Un problema aparte en la resolución de desigualdades exponenciales es la búsqueda de la base "correcta". Desafortunadamente, a primera vista de la tarea, no siempre es obvio qué tomar como base y qué hacer como el grado de esta base.
Pero no te preocupes: aquí no hay tecnologías mágicas ni "secretas". En matemáticas, cualquier habilidad que no pueda ser algorítmica puede desarrollarse fácilmente a través de la práctica. Pero para ello tendrás que resolver problemas de diferentes niveles de complejidad. Por ejemplo, estos son:
\[\begin(alinear) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ fin(alinear)\]
¿Difícil? ¿Aterrador? ¡Sí, es más fácil que un pollo en el asfalto! Intentemos. Primera desigualdad:
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]
Bueno, creo que todo está claro aquí:
Reescribimos la desigualdad original, reduciendo todo a la base "dos":
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Rightarrow \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]
Sí, sí, entendiste bien: acabo de aplicar el método de racionalización descrito anteriormente. Ahora tenemos que trabajar con cuidado: tenemos una desigualdad fraccionaria-racional (esta es una que tiene una variable en el denominador), así que antes de igualar algo a cero, necesitas reducir todo a un denominador común y deshacerte del factor constante .
\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(alinear)\]
Ahora usamos el método de intervalo estándar. Numerador ceros: $x=\pm 4$. El denominador tiende a cero solo cuando $x=0$. En total, hay tres puntos que deben marcarse en la recta numérica (todos los puntos están tachados, porque el signo de desigualdad es estricto). Obtenemos:
Caso más complicado: tres raíces Como puede suponer, el sombreado marca los intervalos en los que la expresión de la izquierda toma valores negativos. Por lo tanto, dos intervalos entrarán en la respuesta final a la vez:
Los extremos de los intervalos no están incluidos en la respuesta porque la desigualdad original era estricta. No se requiere más validación de esta respuesta. En este sentido, las desigualdades exponenciales son mucho más simples que las logarítmicas: sin DPV, sin restricciones, etc.
Pasemos a la siguiente tarea:
\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]
Aquí tampoco hay problemas, ya que sabemos que $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, por lo que toda la desigualdad se puede reescribir así:
\[\begin(alinear) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Flecha derecha ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\izquierda(-2\derecha)\derecha. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(alinear)\]
Tenga en cuenta: en la tercera línea, decidí no perder el tiempo en tonterías e inmediatamente dividí todo por (−2). Minul entró en el primer grupo (ahora hay ventajas en todas partes) y el dos se redujo con un multiplicador constante. Esto es exactamente lo que debe hacer cuando realiza cálculos reales para el trabajo independiente y de control: no necesita pintar cada acción y transformación directamente.
A continuación, entra en juego el conocido método de los intervalos. Ceros del numerador: pero no los hay. Porque el discriminante será negativo. A su vez, el denominador se establece en cero solo cuando $x=0$, como la última vez. Bueno, está claro que la fracción tomará valores positivos a la derecha de $x=0$, y negativos a la izquierda. Como solo nos interesan los valores negativos, la respuesta final es $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.
\[((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1\]
¿Y qué se debe hacer con fracciones decimales en desigualdades exponenciales? Así es: deshazte de ellos convirtiéndolos en ordinarios. Aquí estamos traduciendo:
\[\begin(alinear) & 0,16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Rightarrow ((\left(0,16 \right))^(1+2x)) =((\izquierda(\frac(4)(25) \derecha))^(1+2x)); \\ & 6,25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Rightarrow ((\left(6,25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25)(4) \derecha))^(x)). \\\fin(alinear)\]
Bueno, ¿qué obtuvimos en las bases de las funciones exponenciales? Y tenemos dos números mutuamente recíprocos:
\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Rightarrow ((\left(\frac(25)(4) \ derecha))^(x))=((\left(((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1)) \right))^(x))=((\ izquierda(\frac(4)(25) \derecha))^(-x))\]
Por lo tanto, la desigualdad original se puede reescribir de la siguiente manera:
\[\begin(alinear) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \derecho))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\fin(alinear)\]
Por supuesto, al multiplicar potencias con la misma base, sus indicadores se suman, lo que sucedió en la segunda línea. Además, hemos representado la unidad de la derecha, también como potencia en base 4/25. Solo queda racionalizar:
\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]
Tenga en cuenta que $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, es decir el segundo factor es una constante negativa, y al dividirlo, el signo de la desigualdad cambiará:
\[\begin(alinear) & x+1-0\le 0\Rightarrow x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]
Finalmente, la última desigualdad del "conjunto" actual:
\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]
En principio, la idea de la solución aquí también es clara: todas las funciones exponenciales que componen la desigualdad deben reducirse a la base "3". Pero para ello hay que trastear un poco con raíces y grados:
\[\begin(alinear) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\fin(alinear)\]
Dados estos hechos, la desigualdad original se puede reescribir de la siguiente manera:
\[\begin(alinear) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3) ^(2)) \right))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\fin(alinear)\]
Preste atención a la segunda y tercera líneas de cálculo: antes de hacer algo con la desigualdad, asegúrese de llevarla a la forma de la que hablamos desde el principio de la lección: $((a)^(x)) \lt ( (a)^(n))$. Siempre que tenga multiplicadores a la izquierda o a la derecha, constantes adicionales, etc., no se puede realizar ninguna racionalización y "tachadura" de los motivos! Innumerables tareas se han hecho mal debido a un malentendido de este simple hecho. Yo mismo observo constantemente este problema con mis alumnos cuando recién comenzamos a analizar desigualdades exponenciales y logarítmicas.
Pero volvamos a nuestra tarea. Intentemos esta vez prescindir de la racionalización. Recordamos: la base del grado es mayor que uno, por lo que los triples simplemente se pueden tachar; el signo de desigualdad no cambiará. Obtenemos:
\[\begin(alinear) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(alinear)\]
Eso es todo. Respuesta final: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.
Resaltar una expresión estable y reemplazar una variable
En conclusión, propongo resolver cuatro desigualdades exponenciales más, que ya son bastante difíciles para estudiantes no preparados. Para hacerles frente, debe recordar las reglas para trabajar con títulos. En particular, poniendo factores comunes fuera de paréntesis.
Pero lo más importante es aprender a entender: qué es exactamente lo que se puede poner entre paréntesis. Tal expresión se llama estable: puede denotarse con una nueva variable y, por lo tanto, deshacerse de la función exponencial. Entonces, veamos las tareas:
\[\begin(alinear) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(align)\]
Comencemos con la primera línea. Escribamos esta desigualdad por separado:
\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]
Tenga en cuenta que $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, por lo que el lado derecho puede ser reescrito:
Tenga en cuenta que no hay otras funciones exponenciales excepto $((5)^(x+1))$ en la desigualdad. Y, en general, la variable $x$ no aparece en ningún otro lugar, así que introduzcamos una nueva variable: $((5)^(x+1))=t$. Obtenemos la siguiente construcción:
\[\begin(alinear) & 5t+t\ge 6; \\ & 6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(alinear)\]
Volvemos a la variable original ($t=((5)^(x+1))$), y al mismo tiempo recordamos que 1=5 0 . Tenemos:
\[\begin(alinear) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ &x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\fin(alinear)\]
¡Esa es toda la solución! Respuesta: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Pasemos a la segunda desigualdad:
\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]
Todo es lo mismo aquí. Tenga en cuenta que $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Entonces el lado izquierdo se puede reescribir:
\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \right. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Rightarrow x\in \left[ 2;+\infty \right). \\\fin(alinear)\]
Así es aproximadamente como necesita tomar una decisión sobre el control real y el trabajo independiente.
Bueno, intentemos algo más difícil. Por ejemplo, aquí hay una desigualdad:
\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]
¿Cuál es el problema aquí? En primer lugar, las bases de las funciones exponenciales de la izquierda son diferentes: 5 y 25. Sin embargo, 25 \u003d 5 2, por lo que el primer término se puede transformar:
\[\begin(alinear) & ((25)^(x+1,5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1,5))= ((5)^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(alinear )\]
Como puede ver, al principio trajimos todo a la misma base, y luego notamos que el primer término se reduce fácilmente al segundo; basta con expandir el exponente. Ahora podemos introducir con seguridad una nueva variable: $((5)^(2x+2))=t$, y toda la desigualdad se reescribirá así:
\[\begin(alinear) & 5t-t\ge 2500; \\ & 4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\ & 2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(alinear)\]
De nuevo, ¡no hay problema! Respuesta final: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Pasando a la desigualdad final en la lección de hoy:
\[((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]
Lo primero a lo que debes prestar atención es, por supuesto, a la fracción decimal en la base del primer grado. Es necesario deshacerse de él y, al mismo tiempo, llevar todas las funciones exponenciales a la misma base: el número "2":
\[\begin(align) & 0,5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Rightarrow ((\left(0,5 \right))^(-4x- 8))=((\left(((2)^(-1)) \right))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Rightarrow ((16)^(x+1,5))=((\left(((2)^(4)) \right))^( x+1.5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(alinear)\]
Genial, hemos dado el primer paso, todo ha llevado a la misma base. Ahora necesitamos resaltar la expresión estable. Tenga en cuenta que $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Si introducimos una nueva variable $((2)^(4x+6))=t$, entonces la desigualdad original se puede reescribir de la siguiente manera:
\[\begin(alinear) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0.5. \\\fin(alinear)\]
Naturalmente, puede surgir la pregunta: ¿cómo descubrimos que 256 = 2 8 ? Desafortunadamente, aquí solo necesitas saber las potencias de dos (y al mismo tiempo las potencias de tres y cinco). Bueno, o divide 256 entre 2 (puedes dividir, ya que 256 es un número par) hasta obtener el resultado. Se verá algo como esto:
\[\begin(alinear) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(alinear )\]
Lo mismo ocurre con el tres (los números 9, 27, 81 y 243 son sus potencias), y con el siete (también sería bueno recordar los números 49 y 343). Bueno, los cinco también tienen títulos “hermosos” que debes conocer:
\[\begin(alinear) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\fin(alinear)\]
Por supuesto, todos estos números, si se desea, pueden restaurarse en la mente, simplemente multiplicándolos sucesivamente entre sí. Sin embargo, cuando tienes que resolver varias desigualdades exponenciales, y cada una de ellas es más difícil que la anterior, lo último en lo que quieres pensar es en las potencias de algunos números. Y en este sentido, estos problemas son más complejos que las desigualdades "clásicas", que se resuelven por el método del intervalo.
La solución de la mayoría de los problemas matemáticos está relacionada de alguna manera con la transformación de expresiones numéricas, algebraicas o funcionales. Esto se aplica especialmente a la solución. En las variantes USE en matemáticas, este tipo de tareas incluye, en particular, la tarea C3. Aprender a resolver tareas de C3 es importante no solo para aprobar con éxito el examen, sino también porque esta habilidad será útil al estudiar un curso de matemáticas en la educación superior.
Al realizar las tareas C3, debe resolver varios tipos de ecuaciones y desigualdades. Entre ellos se encuentran módulos racionales, irracionales, exponenciales, logarítmicos, trigonométricos, contenedores (valores absolutos), así como combinados. Este artículo analiza los principales tipos de ecuaciones y desigualdades exponenciales, así como varios métodos para resolverlas. Lea sobre cómo resolver otros tipos de ecuaciones y desigualdades en el encabezado "" en artículos dedicados a métodos para resolver problemas C3 de las variantes USE en matemáticas.
Antes de proceder al análisis de determinados ecuaciones y desigualdades exponenciales, como tutor de matemáticas, te sugiero repasar parte del material teórico que necesitaremos.
Funcion exponencial
¿Qué es una función exponencial?
Ver función y = una x, dónde a> 0 y a≠ 1, llamado funcion exponencial.
Principal propiedades de la función exponencial y = una x:
Gráfica de una función exponencial
La gráfica de la función exponencial es expositor:
Gráficas de funciones exponenciales (exponentes)
Solución de ecuaciones exponenciales
indicativo llamadas ecuaciones en las que la variable desconocida se encuentra sólo en exponentes de cualquier potencia.
para soluciones ecuaciones exponenciales necesita saber y ser capaz de usar el siguiente teorema simple:
Teorema 1. ecuación exponencial a F(X) = a gramo(X) (dónde a > 0, a≠ 1) es equivalente a la ecuación F(X) = gramo(X).
Además, es útil recordar las fórmulas básicas y acciones con grados:
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Ejemplo 1 Resuelve la ecuación:
Solución: use las fórmulas anteriores y la sustitución:
La ecuación entonces se convierte en:
El discriminante de la ecuación cuadrática obtenida es positivo:
Title="(!LANG:Renderizado por QuickLaTeX.com">!}
Esto significa que esta ecuación tiene dos raíces. Los encontramos:
Volviendo a la sustitución, obtenemos:
La segunda ecuación no tiene raíces, ya que la función exponencial es estrictamente positiva en todo el dominio de definición. Resolvamos el segundo:
Teniendo en cuenta lo dicho en el Teorema 1, pasamos a la ecuación equivalente: X= 3. Esta será la respuesta a la tarea.
Responder: X = 3.
Ejemplo 2 Resuelve la ecuación:
Solución: la ecuación no tiene restricciones en el área de valores admisibles, ya que la expresión radical tiene sentido para cualquier valor X(funcion exponencial y = 9 4 -X positivo y no igual a cero).
Resolvemos la ecuación por transformaciones equivalentes usando las reglas de multiplicación y división de potencias:
La última transición se realizó de acuerdo con el Teorema 1.
Responder:X= 6.
Ejemplo 3 Resuelve la ecuación:
Solución: ambos lados de la ecuación original se pueden dividir por 0.2 X. Esta transición será equivalente, ya que esta expresión es mayor que cero para cualquier valor X(la función exponencial es estrictamente positiva en su dominio). Entonces la ecuación toma la forma:
Responder: X = 0.
Ejemplo 4 Resuelve la ecuación:
Solución: simplificamos la ecuación a una elemental mediante transformaciones equivalentes usando las reglas de división y multiplicación de potencias dadas al comienzo del artículo:
Dividiendo ambos lados de la ecuación por 4 X, como en el ejemplo anterior, es una transformación equivalente, ya que esta expresión no es igual a cero para ningún valor X.
Responder: X = 0.
Ejemplo 5 Resuelve la ecuación:
Solución: función y = 3X, de pie en el lado izquierdo de la ecuación, es creciente. Función y = —X-2/3, de pie en el lado derecho de la ecuación, es decreciente. Esto significa que si las gráficas de estas funciones se cruzan, como máximo en un punto. En este caso, es fácil adivinar que las gráficas se cortan en el punto X= -1. No habrá otras raíces.
Responder: X = -1.
Ejemplo 6 Resuelve la ecuación:
Solución: simplificamos la ecuación por transformaciones equivalentes, teniendo en cuenta en todas partes que la función exponencial es estrictamente mayor que cero para cualquier valor X y utilizando las reglas de cálculo del producto y de las potencias parciales dadas al principio del artículo:
Responder: X = 2.
Resolver desigualdades exponenciales
indicativo llamadas desigualdades en las que la variable desconocida está contenida sólo en los exponentes de algunas potencias.
para soluciones desigualdades exponenciales Se requiere el conocimiento del siguiente teorema:
Teorema 2. si un a> 1, entonces la desigualdad a F(X) > a gramo(X) es equivalente a una desigualdad del mismo significado: F(X) > gramo(X). Si 0< a < 1, то показательное неравенство a F(X) > a gramo(X) es equivalente a una desigualdad de significado opuesto: F(X) < gramo(X).
Ejemplo 7 Resuelve la desigualdad:
Solución: representar la desigualdad original en la forma:
Divide ambos lados de esta desigualdad por 3 2 X, y (debido a la positividad de la función y= 3 2X) el signo de desigualdad no cambiará:
Usemos una sustitución:
Entonces la desigualdad toma la forma:
Entonces, la solución a la desigualdad es el intervalo:
pasando a la sustitución inversa, obtenemos:
La desigualdad de la izquierda, debido a la positividad de la función exponencial, se cumple automáticamente. Usando la conocida propiedad del logaritmo, pasamos a la desigualdad equivalente:
Como la base del grado es un número mayor que uno, equivalente (por el Teorema 2) será el paso a la siguiente desigualdad:
Así que finalmente conseguimos responder:
Ejemplo 8 Resuelve la desigualdad:
Solución: Usando las propiedades de la multiplicación y división de potencias, reescribimos la desigualdad en la forma:
Introduzcamos una nueva variable:
Con esta sustitución, la desigualdad toma la forma:
Multiplica el numerador y el denominador de la fracción por 7, obtenemos la siguiente desigualdad equivalente:
Entonces, la desigualdad se satisface con los siguientes valores de la variable t:
Entonces, volviendo a la sustitución, obtenemos:
Como la base del grado aquí es mayor que uno, es equivalente (por el Teorema 2) pasar a la desigualdad:
Finalmente obtenemos responder:
Ejemplo 9 Resuelve la desigualdad:
Solución:
Dividimos ambos lados de la desigualdad por la expresión:
Siempre es mayor que cero (porque la función exponencial es positiva), por lo que no es necesario cambiar el signo de desigualdad. Obtenemos:
t , que están en el intervalo:
Pasando a la sustitución inversa, encontramos que la desigualdad original se divide en dos casos:
La primera desigualdad no tiene solución debido a la positividad de la función exponencial. Resolvamos el segundo:
Ejemplo 10 Resuelve la desigualdad:
Solución:
Ramas de parábola y = 2X+2-X 2 están dirigidos hacia abajo, por lo que está acotado superiormente por el valor que alcanza en su vértice:
Ramas de parábola y = X 2 -2X+2, que está en el indicador, están dirigidos hacia arriba, lo que significa que está limitado desde abajo por el valor que alcanza en su parte superior:
Al mismo tiempo, la función resulta estar acotada por abajo y = 3 X 2 -2X+2 en el lado derecho de la ecuación. Alcanza su valor más pequeño en el mismo punto que la parábola en el índice, y este valor es igual a 3 1 = 3. Entonces, la desigualdad original solo puede ser verdadera si la función de la izquierda y la función de la derecha toman el valor , igual a 3 (la intersección de los rangos de estas funciones es solo este número). Esta condición se cumple en un solo punto. X = 1.
Responder: X= 1.
Para aprender a resolver ecuaciones y desigualdades exponenciales, necesitas capacitarte constantemente en su solución. Diversos manuales metodológicos, libros de problemas de matemáticas elementales, colecciones de problemas competitivos, clases de matemáticas en la escuela, así como lecciones individuales con un tutor profesional pueden ayudarte en esta difícil tarea. Le deseo sinceramente éxito en su preparación y resultados brillantes en el examen.
sergey valerievich
PD ¡Queridos invitados! No escriba solicitudes para resolver sus ecuaciones en los comentarios. Desafortunadamente, no tengo tiempo para esto en absoluto. Se eliminarán tales mensajes. Por favor, lea el artículo. Quizás en él encuentre respuestas a preguntas que no le permitieron resolver su tarea por su cuenta.
Las ecuaciones y desigualdades exponenciales son aquellas ecuaciones y desigualdades en las que la incógnita está contenida en el exponente.
La solución de ecuaciones exponenciales a menudo se reduce a resolver la ecuación a x \u003d a b, donde a > 0, a ≠ 1, x es una incógnita. Esta ecuación tiene una sola raíz x \u003d b, ya que el siguiente teorema es verdadero:
Teorema. Si a > 0, a ≠ 1 y a x 1 = a x 2, entonces x 1 = x 2.
Justifiquemos la aseveración considerada.
Suponga que la igualdad x 1 = x 2 no se cumple, es decir x1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, entonces la función exponencial y \u003d a x aumenta y por lo tanto la desigualdad a x 1< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >una x 2 En ambos casos, obtuvimos una contradicción a la condición a x 1 = a x 2 .
Consideremos varias tareas.
Resuelve la ecuación 4 ∙ 2 x = 1.
Solución.
Escribimos la ecuación en la forma 2 2 ∙ 2 x = 2 0 - 2 x + 2 = 2 0 x = -2.
Responder. x = -2.
Resuelve la ecuación 2 3x ∙ 3 x = 576.
Solución.
Como 2 3x \u003d (2 3) x \u003d 8 x, 576 \u003d 24 2, la ecuación se puede escribir en la forma 8 x ∙ 3 x \u003d 24 2 o en la forma 24 x \u003d 24 2.
De aquí obtenemos x = 2.
Responder. x = 2
Resuelve la ecuación 3 x + 1 - 2∙3 x - 2 = 25.
Solución.
Poniendo entre paréntesis el factor común 3 x - 2 en el lado izquierdo, obtenemos 3 x - 2 ∙ (3 3 - 2) \u003d 25 - 3 x - 2 ∙ 25 \u003d 25,
de donde 3 x - 2 = 1, es decir x - 2 = 0, x = 2.
Responder. x = 2
Resuelve la ecuación 3 x = 7 x.
Solución.
Dado que 7 x ≠ 0, la ecuación se puede escribir como 3 x / 7 x = 1, por lo tanto (3/7) x = 1, x = 0.
Responder. x = 0.
Resuelve la ecuación 9 x - 4 ∙ 3 x - 45 = 0.
Solución.
Al reemplazar 3 x \u003d a, esta ecuación se reduce a una ecuación cuadrática a 2 - 4a - 45 \u003d 0.
Resolviendo esta ecuación, encontramos sus raíces: a 1 \u003d 9 y 2 \u003d -5, de donde 3 x \u003d 9, 3 x \u003d -5.
La ecuación 3 x \u003d 9 tiene una raíz 2, y la ecuación 3 x \u003d -5 no tiene raíces, ya que la función exponencial no puede tomar valores negativos.
Responder. x = 2
Resolver desigualdades exponenciales a menudo se reduce a resolver desigualdades a x > a b o a x< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.
Consideremos algunas tareas.
Resolver la desigualdad de 3 x< 81.
Solución.
Escribimos la desigualdad en la forma 3 x< 3 4 . Так как 3 >1, entonces la función y \u003d 3 x es creciente.
Por lo tanto, para x< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .
Así, para x< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.
Responder. X< 4.
Resuelve la desigualdad 16 x +4 x - 2 > 0.
Solución.
Denotemos 4 x = t, luego obtenemos la desigualdad cuadrática t2 + t - 2 > 0.
Esta desigualdad se cumple para t< -2 и при t > 1.
Como t = 4 x, obtenemos dos desigualdades 4 x< -2, 4 х > 1.
La primera desigualdad no tiene solución, ya que 4 x > 0 para todo x ∈ R.
Escribimos la segunda desigualdad en la forma 4 x > 4 0 , de donde x > 0.
Responder. x > 0.
Resuelve gráficamente la ecuación (1/3) x = x - 2/3.
Solución.
1) Tracemos los gráficos de las funciones y \u003d (1/3) xey \u003d x - 2/3.
2) Con base en nuestra figura, podemos concluir que las gráficas de las funciones consideradas se cortan en un punto con la abscisa x ≈ 1. La verificación prueba que
x \u003d 1 - la raíz de esta ecuación:
(1/3) 1 = 1/3 y 1 - 2/3 = 1/3.
En otras palabras, hemos encontrado una de las raíces de la ecuación. 
3) Encontrar otras raíces o probar que no las hay. La función (1/3) x es decreciente, y la función y \u003d x - 2/3 es creciente. Por lo tanto, para x > 1, los valores de la primera función son menores a 1/3, y la segunda es mayor a 1/3; en x< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 y x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.
Responder. x = 1.
Nótese que de la solución de este problema, en particular, se sigue que la desigualdad (1/3) x > x – 2/3 se cumple para x< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.
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