Ahora estamos listos para introducir el concepto más importante de la proyección de un vector sobre un eje. Se utiliza constantemente para resolver problemas físicos.
7.5.1 ¿Qué es la proyección de un vector sobre un eje?
Supongamos que se dan el vector ~a y el eje X. Se supone que el eje X tiene una escala que le permite medir las longitudes de los segmentos y asignarles la dimensión del vector ~a.
Desde el principio y el final del vector ~a dejamos caer perpendiculares al eje X; sean A y B las bases de estas perpendiculares (figura 7.26). Denote la longitud del segmento AB por jABj.
Arroz. 7.26. Proyección de un vector sobre un eje
Definición. El eje de proyección del vector ~a sobre el eje X es igual a la longitud del segmento AB, tomado con signo más si el ángulo " entre el vector ~a y el eje X es agudo, y tomado con signo menos, respectivamente, si " es obtuso (o desplegado). Si el ángulo es recto, entonces ax = 0.
En resumen, tenemos la siguiente fórmula:
La Figura 7.27 ilustra todas estas posibilidades.
Aquí, como siempre, a = j~aj es el módulo del vector ~a.
De hecho, si "< 90 , то формула (7.10 ) даёт длину левого красного отрезка на рис.7.27 .
Si "\u003e 90, entonces, moviéndose en la parte media de la Fig. 7.27 al ángulo adyacente al ángulo ", vemos que la fórmula (7.10) da la longitud del segmento rojo medio con un signo menos (debido a la negatividad del coseno), que es exactamente lo que necesitamos.
Finalmente, si " = 90 , entonces la fórmula (7.10 ) da ax = 0, ya que el coseno ángulo recto es igual a cero Así es exactamente como debería ser (lado derecho de la figura).
Supongamos ahora que al eje x se le da un origen adicional, de modo que sea el eje de coordenadas habitual. Luego tenemos una fórmula más para el eje de proyección, que también contiene los tres casos de la Figura 7.27 en forma ¾archivada¿.
Corolario 2. Sean x1 y x2 las coordenadas del principio y del final del vector ~a, respectivamente. Entonces el eje de proyección se calcula mediante la fórmula:
hacha = x2 x1 : |
En efecto, veamos la Fig. 7.28. Este es un caso de proyección positiva. Es obvio a partir de la figura que la diferencia x2 x1 es igual a la longitud del segmento rojo, y esta longitud en este caso es precisamente el eje de proyección.
Arroz. 7.28. Proyección de un vector sobre un eje. al corolario 2
¿Qué ocurrirá en los dos casos restantes (ax< 0 и ax = 0)? Убедитесь, пожалуйста, самостоятельно, что формула (7.11 ) и для них остаётся справедливой.
7.5.2 Propiedades de proyección de vector a eje
La operación de proyectar un vector sobre un eje concuerda notablemente bien con las operaciones de suma de vectores y multiplicación de vectores escalares. Es decir, cualquiera que sea el eje x, se cumplen las siguientes dos propiedades de diseño.
1. La proyección del vector ~a + b sobre el eje X es ax + bx .
Breve formulación verbal: la proyección de la suma de vectores es igual a la suma de sus proyecciones. Esto es cierto para la suma de cualquier número de vectores, no solo para dos.
Arroz. 7.29. ~c = ~a + b) cx = hacha | |||||||||
En primer lugar, ilustramos esta afirmación en la figura. Situemos el comienzo del siglo-
del toro b al final del vector ~a, y sea ~c = ~a + b (figura 7.29).
Sobre el esta figura se ve claramente que la proyección cx es igual a la suma de las longitudes de los segmentos rojo y verde, es decir, justo ax + bx.
Cierto, fig. 7.29 se hace para el caso ax > 0 y bx > 0. Para probar nuestra afirmación para todos a la vez valores posibles proyecciones ax y bx , realizaremos el siguiente razonamiento universal basado en la fórmula (7.11).
Entonces, dejemos que los vectores ~a y b se ubiquen arbitrariamente. Nuevamente inicio compatible |
||
del vector b con el final del vector ~a y denotemos ~c = ~a + b. Permitir: |
||
la coordenada del comienzo del vector ~a y al mismo tiempo el comienzo del vector ~c; |
||
la coordenada del final del vector ~a y al mismo tiempo el comienzo del vector b; |
||
coordenada del final del vector b y al mismo tiempo del final del vector ~c. |
||
Estas designaciones también están presentes en la Fig. 7.29.
Por la fórmula (7.11) tenemos: ax = x2 x1, bx = x3 x2, cx = x3 x1. Ahora es fácil ver que:
hacha + bx = (x2 x1 ) + (x3 x2 ) = x3 x1 = cx :
Nuestra primera propiedad de proyección queda así demostrada.
2. La proyección del vector ~a sobre el eje X es un X .
Formulación verbal: la proyección del producto de un escalar por un vector es igual al producto de un escalar por la proyección de un vector.
Empecemos de nuevo con una ilustración. El lado izquierdo de la figura 7.30 muestra un vector ~a con un eje de proyección positivo.
Arroz. 7.30. La proyección del vector ~a es igual a ax
Si multiplica el vector ~a por 2, entonces su longitud se duplicará, la proyección del vector también se duplicará (conservando el signo) y será igual a 2ax.
Si multiplicamos el vector ~a por 2, su longitud se duplicará nuevamente, pero la dirección se invertirá. La proyección cambiará de signo y será igual a 2ax.
Por lo tanto, la esencia de la segunda propiedad es clara y ahora podemos dar una prueba rigurosa.
Así que deja ~ . Vamos a demostrar que x x . b = ~a b = a
Usemos la fórmula (7.10) para esto. Tenemos:
ax = a cos "; bx = b cos ;
donde es el ángulo entre el vector y el eje, y el ángulo entre el vector y el eje. Excepto
Además, en virtud de la definición de multiplicación de un escalar por un vector:
Por lo tanto:
bx = j ja porque:
Si, entonces j j ; en este caso el vector ~ está codirigido con el vector, y por lo tanto.
> 0 = b~a = "
bx = a cos" = hacha:
Si, entonces j j ; en este caso, el vector ~ es opuesto en la dirección del vector
ru~a. Es fácil darse cuenta de que = " (por ejemplo, si " es sostenido, es decir, adyacente a él es obtuso y viceversa). Entonces tenemos:
bx = ()a cos(") = ()a(cos ") = a cos " = hacha :
Así, en todos los casos, se obtiene la relación buscada, y así queda completamente demostrada la segunda propiedad de la proyección.
7.5.3 Operación de diseño en física.
Las propiedades probadas de la operación de diseño son muy importantes para nosotros. En mecánica, por ejemplo, los usaremos en cada turno.
Así, la solución de muchos problemas de dinámica comienza con escribir la segunda ley de Newton en forma de vector. Tomemos, por ejemplo, un péndulo de masa m suspendido de un hilo. Para un péndulo, la segunda ley de Newton será:
Habiendo escrito la segunda ley de Newton en forma vectorial, procedemos a su proyección sobre
ejes adecuados. Tomamos la igualdad (7.12) y la proyectamos sobre el eje X: | |
máx = mgx + Tx + fx : |
Al pasar de la igualdad vectorial (7.12) a la igualdad escalar (7.13), ¡se utilizan ambas propiedades de diseño! Es decir, debido a la propiedad 1, hemos escrito la proyección de la suma de vectores como la suma de sus proyecciones; La propiedad 2 nos permite escribir las proyecciones de los vectores m~a y m~g como max y mgx.
Así, ambas propiedades de la operación de proyección aseguran la transición de igualdades vectoriales a escalares, y esta transición puede realizarse formalmente y sin pensar: descartamos las flechas en la notación de vectores y en su lugar ponemos índices de proyección. Así es exactamente como se ve la transición de la ecuación (7.12) a la ecuación (7.13).
Proyección vectorial algebraica en cualquier eje es igual al producto de la longitud del vector y el coseno del ángulo entre el eje y el vector:Derecha a b = |b|cos(a,b) o
Donde a b es el producto escalar de vectores , |a| - módulo del vector a .
Instrucción. Para encontrar la proyección del vector Пp a b en modo en línea debe especificar las coordenadas de los vectores a y b . En este caso, el vector se puede dar en el plano (dos coordenadas) y en el espacio (tres coordenadas). La solución resultante se guarda en un archivo de Word. Si los vectores están dados a través de las coordenadas de los puntos, entonces debes usar esta calculadora.
Clasificación de proyección vectorial
Tipos de proyecciones por definición proyección vectorial
Tipos de proyecciones por sistema de coordenadas
Propiedades de proyección vectorial
- La proyección geométrica de un vector es un vector (tiene una dirección).
- La proyección algebraica de un vector es un número.
Teoremas de proyección vectorial
Teorema 1. La proyección de la suma de vectores sobre cualquier eje es igual a la proyección de los términos de los vectores sobre el mismo eje.
Teorema 2. La proyección algebraica de un vector sobre cualquier eje es igual al producto de la longitud del vector y el coseno del ángulo entre el eje y el vector:
Derecha a b = |b|cos(a,b)
Tipos de proyecciones vectoriales
- proyección sobre el eje OX.
- proyección sobre el eje OY.
- proyección sobre un vector.
| Proyección sobre el eje OX | Proyección sobre el eje OY | Proyección a vector |
Si la dirección del vector A'B' coincide con la dirección del eje OX, entonces la proyección del vector A'B' tiene signo positivo.  | Si la dirección del vector A'B' coincide con la dirección del eje OY, entonces la proyección del vector A'B' tiene signo positivo.  | Si la dirección del vector A'B' coincide con la dirección del vector NM, entonces la proyección del vector A'B' tiene signo positivo.  |
Si la dirección del vector es opuesta a la dirección del eje OX, entonces la proyección del vector A'B' tiene signo negativo.  | Si la dirección del vector A'B' es opuesta a la dirección del eje OY, entonces la proyección del vector A'B' tiene signo negativo.  | Si la dirección del vector A'B' es opuesta a la dirección del vector NM, entonces la proyección del vector A'B' tiene signo negativo.  |
Si el vector AB es paralelo al eje OX, entonces la proyección del vector A'B' es igual al módulo del vector AB.   | Si el vector AB es paralelo al eje OY, entonces la proyección del vector A'B' es igual al módulo del vector AB.   | Si el vector AB es paralelo al vector NM, entonces la proyección del vector A'B' es igual al módulo del vector AB.   |
Si el vector AB es perpendicular al eje OX, entonces la proyección de A'B' es igual a cero (vector cero).   | Si el vector AB es perpendicular al eje OY, entonces la proyección de A'B' es igual a cero (un vector nulo).   | Si el vector AB es perpendicular al vector NM, entonces la proyección de A'B' es igual a cero (un vector nulo).   |
1. Pregunta: ¿Puede la proyección de un vector tener signo negativo? Respuesta: Sí, las proyecciones vectoriales pueden ser negativas. En este caso, el vector tiene la dirección opuesta (ver cómo están dirigidos el eje OX y el vector AB)
2. Pregunta: ¿Puede la proyección de un vector coincidir con el módulo del vector? Respuesta: Sí, puede. En este caso, los vectores son paralelos (o se encuentran en la misma línea).
3. Pregunta: ¿Puede la proyección de un vector ser igual a cero (vector cero)? Respuesta: Sí, puede. En este caso, el vector es perpendicular al eje correspondiente (vector).
Ejemplo 1 . El vector (Fig. 1) forma un ángulo de 60º con el eje OX (lo da el vector a). Si OE es una unidad de escala, entonces |b|=4, entonces 
.
De hecho, la longitud del vector ( proyección geométrica b) es igual a 2, y la dirección es la misma que la dirección del eje OX.
Ejemplo 2 . El vector (Fig. 2) forma un ángulo con el eje OX (con el vector a) (a,b) = 120 o . Longitud |b| el vector b es igual a 4, entonces pr a b=4 cos120 o = -2. 
De hecho, la longitud del vector es igual a 2 y la dirección es opuesta a la dirección del eje.
proyección vector en un eje se llama vector, que se obtiene multiplicando la proyección escalar de un vector en este eje y el vector unitario de este eje. Por ejemplo, si una x es proyección escalar vector un en el eje x, entonces una x i- su proyección vectorial sobre este eje.
Denotar proyección vectorial como el propio vector, pero con el índice del eje sobre el que se proyecta el vector. Entonces, la proyección vectorial del vector un en el eje x denote un X ( aceitoso una letra que indica un vector y un subíndice del nombre del eje) o (una letra que no está en negrita que indica un vector, pero con una flecha en la parte superior (!) y un subíndice del nombre del eje).
Proyección escalar vector por eje se llama número, cuyo valor absoluto es igual a la longitud del segmento del eje (en la escala seleccionada) encerrado entre las proyecciones del punto inicial y el punto final del vector. Por lo general, en lugar de la expresión proyección escalar simplemente di - proyección. La proyección se denota con la misma letra que el vector proyectado (en escritura normal, sin negrita), con un subíndice (normalmente) del nombre del eje sobre el que se proyecta este vector. Por ejemplo, si un vector se proyecta sobre el eje x un, entonces su proyección se denota a x . Al proyectar el mismo vector sobre otro eje, si el eje es Y, su proyección se denotará como y.
Para calcular la proyección vector en un eje (por ejemplo, el eje X) es necesario restar la coordenada del punto inicial a la coordenada de su punto final, es decir
y x \u003d x k - x n.
La proyección de un vector sobre un eje es un número. Además, la proyección puede ser positiva si el valor de x k es mayor que el valor de x n,
negativo si el valor de x k es menor que el valor de x n
e igual a cero si x k es igual a x n. 
La proyección de un vector sobre un eje también se puede encontrar conociendo el módulo del vector y el ángulo que forma con ese eje.
De la figura se puede ver que a x = a Cos α
es decir, la proyección del vector sobre el eje es igual al producto del módulo del vector y el coseno del ángulo entre la dirección del eje y dirección vectorial. Si el ángulo es agudo, entonces
Cos α > 0 y a x > 0, y si es obtuso, entonces el coseno ángulo obtuso es negativo, y la proyección del vector sobre el eje también será negativa.
Los ángulos contados desde el eje en sentido contrario a las agujas del reloj se consideran positivos y en la dirección, negativos. Sin embargo, dado que el coseno es una función par, es decir, Cos α = Cos (− α), al calcular las proyecciones, los ángulos se pueden contar tanto en sentido horario como antihorario.
Para encontrar la proyección de un vector sobre un eje, el módulo de este vector debe multiplicarse por el coseno del ángulo entre la dirección del eje y la dirección del vector.
Coordenadas vectoriales son los coeficientes de la única combinación lineal posible de vectores base en el sistema de coordenadas elegido igual al vector dado.
El eje es la dirección. Por lo tanto, la proyección sobre un eje o sobre una línea dirigida se considera la misma. La proyección puede ser algebraica o geométrica. En términos geométricos, la proyección de un vector sobre un eje se entiende como vector, y en términos algebraicos, es un número. Es decir, se utilizan los conceptos de proyección de un vector sobre un eje y proyección numérica de un vector sobre un eje.
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Si tenemos un eje L y un vector distinto de cero A B → , entonces podemos construir un vector A 1 B 1 ⇀ , denotando las proyecciones de sus puntos A 1 y B 1 .
A 1 B → 1 será la proyección del vector A B → sobre L .
Definición 1
La proyección del vector sobre el eje. se llama un vector, cuyo principio y final son proyecciones del principio y final del vector dado. n p L A B → → es costumbre denotar la proyección de A B → sobre L . Para construir una proyección sobre L, suelte las perpendiculares sobre L.
Ejemplo 1
Un ejemplo de la proyección de un vector sobre un eje.
En el plano de coordenadas O x y, se especifica un punto M 1 (x 1, y 1). Es necesario construir proyecciones sobre O x y O y para la imagen del radio vector del punto M 1 . Obtengamos las coordenadas de los vectores (x 1 , 0) y (0 , y 1) .
Si hablamos de la proyección de a → sobre un b distinto de cero o de la proyección de a → sobre la dirección b → , entonces nos referimos a la proyección de a → sobre el eje con el que coincide la dirección b →. La proyección a → sobre la línea definida por b → se denota n p b → a → → . Se sabe que cuando el ángulo está entre a → y b → , podemos considerar n p b → a → → y b → codireccionales. En el caso de que el ángulo sea obtuso, n p b → a → → yb → tienen direcciones opuestas. En la situación de perpendicularidad a → y b → , y a → es cero, la proyección de a → a lo largo de la dirección b → es un vector cero.
La característica numérica de la proyección de un vector sobre un eje es la proyección numérica de un vector sobre un eje dado.
Definición 2
Proyección numérica del vector sobre el eje. llame a un número que es igual al producto de la longitud de un vector dado y el coseno del ángulo entre el vector dado y el vector que determina la dirección del eje.
La proyección numérica de A B → sobre L se denota n p L A B → , y a → sobre b → - n p b → a → .
Basándonos en la fórmula, obtenemos n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ , donde a → es la longitud del vector a → , a ⇀ , b → ^ es el ángulo entre los vectores a → y segundo → .
Obtenemos la fórmula para calcular la proyección numérica: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . Es aplicable para longitudes conocidas a → y b → y el ángulo entre ellas. La fórmula es aplicable para coordenadas conocidas a → y b → , pero existe una versión simplificada.
Ejemplo 2
Encuentra la proyección numérica a → sobre una línea recta en la dirección b → con la longitud a → igual a 8 y el ángulo entre ellos es de 60 grados. Por condición tenemos a ⇀ = 8 , a ⇀ , b → ^ = 60 ° . Entonces, sustituimos los valores numéricos en la fórmula n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .
Responder: 4.
Con cos conocido (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → b → , tenemos a → , b → como producto escalar a → y b → . Siguiendo la fórmula n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ , podemos encontrar la proyección numérica a → dirigida a lo largo del vector b → y obtener n p b → a → = a → , b → b → . La fórmula es equivalente a la definición dada al principio de la cláusula.
Definición 3
La proyección numérica del vector a → sobre el eje que coincide en dirección con b → es el cociente del producto escalar de los vectores a → yb → a la longitud b → . La fórmula n p b → a → = a → , b → b → es aplicable para encontrar la proyección numérica de a → sobre una línea recta que coincide en la dirección con b → , con coordenadas a → y b → conocidas.
Ejemplo 3
Dado b → = (- 3 , 4) . Encuentre la proyección numérica a → = (1 , 7) sobre L .
Decisión
En el plano de coordenadas n p b → a → = a → , b → b → tiene la forma n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 , con a → = (a x , a y ) y segundo → = segundo X , segundo y . Para encontrar la proyección numérica del vector a → sobre el eje L, necesitas: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 = 1 (- 3) + 7 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5 .
Responder: 5.
Ejemplo 4
Encuentra la proyección a → sobre L , coincidiendo con la dirección b → , donde hay a → = - 2 , 3 , 1 y b → = (3 , - 2 , 6) . Se da un espacio tridimensional.
Decisión
Dado a → = a x , a y , a z y b → = b x , b y , b z calcular el producto escalar: a ⇀ , b → = a x b x + a y b y + a z b z . Encontramos la longitud b → por la fórmula b → = b x 2 + b y 2 + b z 2. De ello se deduce que la fórmula para determinar la proyección numérica a → será: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x b x + a y b y + a z b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .
Sustituimos los valores numéricos: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .
Respuesta: - 6 7 .
Veamos la conexión entre a → en L y la longitud de la proyección de a → en L . Dibuje un eje L agregando a → y b → desde un punto a L , después de lo cual dibujamos una línea perpendicular desde el final de a → a L y la proyectamos sobre L . Hay 5 variaciones de imagen:
Primero el caso cuando a → = n p b → a → → significa a → = n p b → a → → , por lo tanto n p b → a → = a → cos (a , → b → ^) = a → cos 0 ° = a → = n p b → un → → .
Segundo caso implica el uso de n p b → a → ⇀ = a → cos a → , b → , entonces n p b → a → = a → cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .
El tercero caso explica que cuando n p b → a → → = 0 → obtenemos n p b ⇀ a → = a → cos (a → , b → ^) = a → cos 90 ° = 0, entonces n p b → a → → = 0 y n p b → un → = 0 = norte pags segundo → un → → .
Cuatro caso muestra n p b → a → → = a → cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → cos (a → , b → ^), sigue n p b → a → = a → cos (a → , b → ^) = - norte pag segundo → un → → .
Quinto caso muestra a → = n p b → a → → , lo que significa a → = n p b → a → → , por lo tanto tenemos n p b → a → = a → cos a → , b → ^ = a → cos 180 ° = - a → = - norte pags segundo → un → .
Definición 4
La proyección numérica del vector a → sobre el eje L , que está dirigido como b → , tiene el significado:
- la longitud de la proyección del vector a → sobre L siempre que el ángulo entre a → y b → sea inferior a 90 grados o igual a 0: n p b → a → = n p b → a → → con la condición 0 ≤ (a → , segundo →) ^< 90 ° ;
- cero bajo la condición de perpendicularidad a → y b → : n p b → a → = 0 cuando (a → , b → ^) = 90 ° ;
- la longitud de la proyección a → sobre L, multiplicada por -1 cuando existe un ángulo obtuso o plano de los vectores a → y b → : n p b → a → = - n p b → a → → con la condición de 90°< a → , b → ^ ≤ 180 ° .
Ejemplo 5
Dada la longitud de la proyección a → sobre L , igual a 2 . Encuentra la proyección numérica a → dado que el ángulo es de 5 π 6 radianes.
Decisión
Se puede ver a partir de la condición de que este ángulo es obtuso: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .
Respuesta: - 2.
Ejemplo 6
Dado un plano O x y z con la longitud del vector a → igual a 6 3 , b → (- 2 , 1 , 2) con un ángulo de 30 grados. Encuentre las coordenadas de la proyección a → sobre el eje L.
Decisión
Primero, calculamos la proyección numérica del vector a → : n p L a → = n p b → a → = a → cos (a → , b →) ^ = 6 3 cos 30 ° = 6 3 3 2 = 9 .
Por condición, el ángulo es agudo, entonces la proyección numérica a → = es la longitud de la proyección del vector a → : n p L a → = n p L a → → = 9 . Este caso muestra que los vectores n p L a → → y b → están codirigidos, lo que significa que hay un número t para el cual la igualdad es cierta: n p L a → → = t · b → . De aquí vemos que n p L a → → = t b → , por lo que podemos encontrar el valor del parámetro t: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .
Entonces n p L a → → = 3 b → con las coordenadas de la proyección del vector a → sobre el eje L son b → = (- 2 , 1 , 2) , donde es necesario multiplicar los valores por 3 Tenemos n p L a → → = (- 6 , 3 , 6). Respuesta: (- 6 , 3 , 6) .
Es necesario repetir la información previamente estudiada sobre la condición de colinealidad del vector.
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Proyectar varias líneas y superficies en un plano le permite construir una representación visual de objetos en forma de dibujo. Consideraremos una proyección rectangular, en la que los rayos que se proyectan son perpendiculares al plano de proyección. PROYECCIÓN DE UN VECTOR EN UN PLANO considere el vector \u003d (Fig. 3.22), encerrado entre las perpendiculares caídas desde su principio y final.
 |
 |
Arroz. 3.22. Proyección vectorial de un vector sobre un plano.
Arroz. 3.23. Proyección vectorial de un vector sobre un eje.
En álgebra vectorial, a menudo es necesario proyectar un vector sobre un EJE, es decir, sobre una línea recta que tiene una determinada orientación. Tal diseño es fácil si el vector y el eje L se encuentran en el mismo plano (figura 3.23). Sin embargo, la tarea se vuelve más difícil cuando no se cumple esta condición. Construyamos la proyección del vector sobre el eje, cuando el vector y el eje no se encuentran en el mismo plano (Fig. 3.24).
Arroz. 3.24. Proyectar un vector a un eje
en general.
A través de los extremos del vector, dibujamos planos perpendiculares a la línea L. En la intersección con esta línea, estos planos definen dos puntos A1 y B1: el vector, que llamaremos la proyección vectorial de este vector. El problema de encontrar una proyección vectorial puede resolverse más simplemente si el vector se coloca en el mismo plano que el eje, lo cual es posible, ya que los vectores libres se consideran en álgebra vectorial.
Junto a la proyección vectorial, existe también la PROYECCIÓN ESCALAR, que es igual al módulo de la proyección vectorial si la proyección vectorial coincide con la orientación del eje L, y es igual al valor opuesto si la proyección vectorial y el eje L tiene la orientación opuesta. La proyección escalar se denotará por:
Las proyecciones vectoriales y escalares no siempre se separan terminológicamente estrictamente en la práctica. Generalmente se utiliza el término "proyección vectorial", entendiendo por esto la proyección escalar de un vector. A la hora de decidir, es necesario distinguir claramente entre estos conceptos. Siguiendo la tradición establecida, utilizaremos los términos "proyección vectorial", que implica una proyección escalar, y "proyección vectorial", de acuerdo con el significado establecido.
Demostremos un teorema que nos permita calcular la proyección escalar de un vector dado.
TEOREMA 5. La proyección de un vector sobre el eje L es igual al producto de su módulo por el coseno del ángulo entre el vector y el eje, es decir
(3.5)
Arroz. 3.25. Encontrar vector y escalar
Proyecciones vectoriales en el eje L
(y el eje L están igualmente orientados).
PRUEBA. Realicemos construcciones preliminares que nos permitan encontrar el ángulo. GRAMO Entre el vector y el eje L. Para hacer esto, construimos una línea recta MN paralela al eje L y que pasa por el punto O, el comienzo del vector (Fig. 3.25). El ángulo será el ángulo deseado. Dibujemos por los puntos A y O dos planos perpendiculares al eje L. Obtenemos:
Dado que el eje L y la línea MN son paralelos.
Destacamos dos casos de arreglo mutuo del vector y el eje L.
1. Deje que la proyección vectorial y el eje L estén igualmente orientados (figura 3.25). Entonces la proyección escalar correspondiente 
.
2. Sean L y L orientados en lados diferentes(Figura 3.26).
Arroz. 3.26. Encontrar las proyecciones vectoriales y escalares de un vector en el eje L (y el eje L está orientado en direcciones opuestas).
Por lo tanto, la afirmación del teorema se cumple en ambos casos.
TEOREMA 6. Si el comienzo del vector se reduce a un punto determinado del eje L, y este eje se encuentra en el plano s, el vector forma un ángulo con la proyección del vector sobre el plano s, y un ángulo con el vector proyección sobre el eje L, además, las propias proyecciones vectoriales forman un ángulo entre sí, entonces
