La fórmula para calcular el coseno del ángulo entre vectores. Producto escalar de vectores

Ángulo entre dos vectores , :

Si el ángulo entre dos vectores es agudo, entonces su producto escalar es positivo; si el ángulo entre los vectores es obtuso, entonces el producto escalar de estos vectores es negativo. El producto escalar de dos vectores distintos de cero es cero si y solo si estos vectores son ortogonales.

Ejercicio. Encuentre el ángulo entre los vectores y

Decisión. Coseno del ángulo buscado

16. Cálculo del ángulo entre rectas, una recta y un plano

Ángulo entre recta y plano la intersección de esta línea y no perpendicular a ella es el ángulo entre la línea y su proyección sobre este plano.

Determinar el ángulo entre una recta y un plano nos permite concluir que el ángulo entre una recta y un plano es el ángulo entre dos rectas que se cortan: la recta misma y su proyección sobre el plano. Por lo tanto, el ángulo entre una recta y un plano es un ángulo agudo.

El ángulo entre una línea perpendicular y un plano se considera igual a , y el ángulo entre una línea paralela y un plano no se determina en absoluto o se considera igual a .

§ 69. Cálculo del ángulo entre rectas.

El problema de calcular el ángulo entre dos rectas en el espacio se resuelve de la misma forma que en el plano (§ 32). Denote por φ el ángulo entre las líneas yo 1 y yo 2 , y a través de ψ - el ángulo entre los vectores de dirección un y b estas líneas rectas.

Entonces sí

ψ 90° (Fig. 206.6), luego φ = 180° - ψ. Es obvio que en ambos casos la igualdad cos φ = |cos ψ| es cierta. Por la fórmula (1) § 20 tenemos

por lo tanto,

Deje que las rectas estén dadas por sus ecuaciones canónicas

Luego, el ángulo φ entre las líneas se determina usando la fórmula

Si una de las líneas (o ambas) está dada por ecuaciones no canónicas, entonces para calcular el ángulo, debe encontrar las coordenadas de los vectores de dirección de estas líneas y luego usar la fórmula (1).

17. Líneas paralelas, Teoremas sobre líneas paralelas

Definición. Dos rectas en un plano se llaman paralelo si no tienen puntos en común.

Dos rectas en tres dimensiones se llaman paralelo si están en el mismo plano y no tienen puntos en común.

Ángulo entre dos vectores.

De la definición del producto escalar:

Condición de ortogonalidad de dos vectores:

Condición de colinealidad para dos vectores:

Se sigue de la definición 5 - . De hecho, de la definición del producto de un vector por un número, se sigue. Por lo tanto, con base en la regla de igualdad vectorial, escribimos , , , lo que implica . Pero el vector resultante de la multiplicación de un vector por un número es colineal al vector .

Proyección de vector a vector:

Ejemplo 4. Dados los puntos , , , .

Encuentre el producto escalar.

Decisión. encontramos por la fórmula del producto escalar de vectores dada por sus coordenadas. En la medida en

, ,

Ejemplo 5 Dados los puntos , , , .

Encuentra la proyección.

Decisión. En la medida en

, ,

Con base en la fórmula de proyección, tenemos

Ejemplo 6 Dados los puntos , , , .

Encuentra el ángulo entre los vectores y .

Decisión. Tenga en cuenta que los vectores

, ,

no son colineales, ya que sus coordenadas no son proporcionales:

Estos vectores tampoco son perpendiculares, ya que su producto escalar es .

Encontremos,

Inyección encontrar a partir de la fórmula:

Ejemplo 7 Determine para qué vectores y colineal

Decisión. En el caso de colinealidad, las coordenadas correspondientes de los vectores y debe ser proporcional, es decir:

De aquí y .

Ejemplo 8. Determine en qué valor del vector y son perpendiculares.

Decisión. Vector y son perpendiculares si su producto escalar es cero. De esta condición obtenemos: . Es decir, .

Ejemplo 9. Encontrar , Si , , .

Decisión. Por las propiedades del producto escalar tenemos:

Ejemplo 10. Encuentre el ángulo entre los vectores y , donde y - vectores unitarios y el ángulo entre los vectores y es igual a 120o.

Decisión. Tenemos: , ,

Finalmente tenemos: .

5B. producto vectorial.

Definición 21.arte vectorial vector a vector se llama vector , o , definido por las siguientes tres condiciones:

1) El módulo del vector es , donde es el ángulo entre los vectores y , es decir .

De ello se deduce que el módulo de un producto vectorial es numéricamente igual al área de un paralelogramo construido sobre vectores y como sobre lados.

2) El vector es perpendicular a cada uno de los vectores y ( ; ), es decir perpendicular al plano del paralelogramo construido sobre los vectores y .

3) El vector está dirigido de modo que, visto desde su extremo, el giro más corto de vector a vector sería en sentido contrario a las agujas del reloj (los vectores , , forman un triple recto).

¿Cómo calcular ángulos entre vectores?

Al estudiar geometría, surgen muchas preguntas sobre el tema de los vectores. El estudiante experimenta dificultades particulares cuando es necesario encontrar los ángulos entre los vectores.

Términos básicos

Antes de considerar los ángulos entre vectores, es necesario familiarizarse con la definición de vector y el concepto de ángulo entre vectores.

Un vector es un segmento que tiene una dirección, es decir, un segmento para el cual están definidos su principio y fin.

El ángulo entre dos vectores en un plano que tienen un origen común es el menor de los ángulos, por el cual se requiere mover uno de los vectores alrededor de un punto común, a una posición donde sus direcciones coinciden.

Fórmula de solución

Una vez que comprendas qué es un vector y cómo se determina su ángulo, puedes calcular el ángulo entre vectores. La fórmula de solución para esto es bastante simple, y el resultado de su aplicación será el valor del coseno del ángulo. Por definición, es igual al cociente del producto escalar de vectores y el producto de sus longitudes.

El producto escalar de vectores se considera como la suma de las coordenadas correspondientes de los vectores multiplicadores multiplicados entre sí. La longitud de un vector, o su módulo, se calcula como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus coordenadas.

Habiendo recibido el valor del coseno del ángulo, puede calcular el valor del ángulo mismo usando una calculadora o usando una tabla trigonométrica.

Ejemplo

Después de descubrir cómo calcular el ángulo entre vectores, la solución al problema correspondiente se vuelve simple y directa. Como ejemplo, considere el problema simple de encontrar la magnitud de un ángulo.

En primer lugar, será más conveniente calcular los valores de las longitudes de los vectores y su producto escalar necesarios para resolver. Usando la descripción anterior, obtenemos:

Sustituyendo los valores obtenidos en la fórmula, calculamos el valor del coseno del ángulo deseado:

Este número no es uno de los cinco valores de coseno comunes, por lo que para obtener el valor del ángulo, deberá usar una calculadora o la tabla trigonométrica de Bradis. Pero antes de obtener el ángulo entre los vectores, la fórmula se puede simplificar para eliminar el signo negativo adicional:

La respuesta final se puede dejar de esta forma para mantener la precisión, o se puede calcular el valor del ángulo en grados. Según la tabla de Bradis, su valor será de aproximadamente 116 grados y 70 minutos, y la calculadora mostrará un valor de 116,57 grados.

Cálculo de ángulos en espacio n-dimensional

Al considerar dos vectores en el espacio tridimensional, es mucho más difícil entender de qué ángulo estamos hablando si no se encuentran en el mismo plano. Para simplificar la percepción, puede dibujar dos segmentos de intersección que formen el ángulo más pequeño entre ellos, y será el deseado. A pesar de la presencia de una tercera coordenada en el vector, el proceso de cómo se calculan los ángulos entre vectores no cambiará. Calcula el producto escalar y módulos de vectores, el arcocoseno de su cociente y será la respuesta a este problema.

En geometría, a menudo surgen problemas con espacios que tienen más de tres dimensiones. Pero para ellos, el algoritmo para encontrar la respuesta es similar.

Diferencia entre 0 y 180 grados

Uno de los errores comunes al escribir una respuesta a un problema diseñado para calcular el ángulo entre vectores es la decisión de escribir que los vectores son paralelos, es decir, el ángulo deseado resultó ser 0 o 180 grados. Esta respuesta es incorrecta.

Habiendo recibido un valor de ángulo de 0 grados como resultado de la solución, la respuesta correcta sería designar los vectores como codireccionales, es decir, los vectores tendrán la misma dirección. En el caso de obtener 180 grados, los vectores serán de naturaleza de direcciones opuestas.

Vectores específicos

Al encontrar los ángulos entre los vectores, se puede encontrar uno de los tipos especiales, además de los codirigidos y de dirección opuesta descritos anteriormente.

Varios vectores paralelos a un plano se llaman coplanares.
Los vectores que tienen la misma longitud y dirección se llaman iguales.
Los vectores que se encuentran en la misma línea recta, independientemente de su dirección, se llaman colineales.
Si la longitud del vector es cero, es decir, su principio y su final coinciden, entonces se llama cero, y si es uno, entonces se llama uno.

¿Cómo encontrar el ángulo entre vectores?

¡ayudame por favor! Conozco la fórmula pero no puedo descifrarla.
vector a (8; 10; 4) vector b (5; -20; -10)

Alejandro Titov

El ángulo entre los vectores dado por sus coordenadas se encuentra de acuerdo con el algoritmo estándar. Primero necesitas encontrar el producto escalar de los vectores a y b: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Sustituimos aquí las coordenadas de estos vectores y consideramos:
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
A continuación, determinamos las longitudes de cada uno de los vectores. La longitud o módulo de un vector es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus coordenadas:
|un| = raíz de (x1^2 + y1^2 + z1^2) = raíz de (8^2 + 10^2 + 4^2) = raíz de (64 + 100 + 16) = raíz de 180 = 6 raíces de 5
|b| = raíz cuadrada de (x2^2 + y2^2 + z2^2) = raíz cuadrada de (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = raíz cuadrada de (25 + 400 + 100 ) = raíz cuadrada de 525 = 5 raíces de 21.
Multiplicamos estas longitudes. Obtenemos 30 raíces de 105.
Y finalmente, dividimos el producto escalar de vectores por el producto de las longitudes de estos vectores. Obtenemos -200 / (30 raíces de 105) o
- (4 raíces de 105) / 63. Este es el coseno del ángulo entre los vectores. Y el ángulo mismo es igual al arco coseno de este número
f \u003d arccos (-4 raíces de 105) / 63.
Si conté bien.

Cómo calcular el seno de un ángulo entre vectores a partir de las coordenadas de los vectores

mijail tkachev

Multiplicamos estos vectores. Su producto punto es igual al producto de las longitudes de estos vectores y el coseno del ángulo entre ellos.
El ángulo es desconocido para nosotros, pero las coordenadas son conocidas.
Escribámoslo matemáticamente así.
Sea, dados los vectores a(x1;y1) y b(x2;y2)
Entonces

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

Discutimos.
a*b-producto escalar de vectores es igual a la suma de los productos de las coordenadas correspondientes de las coordenadas de estos vectores, es decir, igual a x1*x2+y1*y2

|a|*|b|-producto de longitudes vectoriales es igual a √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2).

Entonces el coseno del ángulo entre los vectores es:

cosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

Conociendo el coseno de un ángulo, podemos calcular su seno. Vamos a discutir cómo hacerlo:

Si el coseno de un ángulo es positivo, entonces este ángulo se encuentra en 1 o 4 cuartos, por lo que su seno es positivo o negativo. Pero como el ángulo entre los vectores es menor o igual a 180 grados, entonces su seno es positivo. Argumentamos de manera similar si el coseno es negativo.

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

Eso es todo)))) buena suerte para resolverlo)))

Dmitri Levishchev

El hecho de que sea imposible seno directamente no es cierto.
Además de la fórmula:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
También está este:
||=|a|*|b|*sin A
Es decir, en lugar del producto escalar, puedes tomar el módulo del producto vectorial.

Al estudiar geometría, surgen muchas preguntas sobre el tema de los vectores. El estudiante experimenta dificultades particulares cuando es necesario encontrar los ángulos entre los vectores.

Términos básicos

Antes de considerar los ángulos entre vectores, es necesario familiarizarse con la definición de vector y el concepto de ángulo entre vectores.

Un vector es un segmento que tiene una dirección, es decir, un segmento para el cual están definidos su principio y fin.

Fórmula de solución

Habiendo recibido el valor del coseno del ángulo, puede calcular el valor del ángulo mismo usando una calculadora o usando una tabla trigonométrica.

Ejemplo

En primer lugar, será más conveniente calcular los valores de las longitudes de los vectores y su producto escalar necesarios para resolver. Usando la descripción anterior, obtenemos:

Sustituyendo los valores obtenidos en la fórmula, calculamos el valor del coseno del ángulo deseado:

Cálculo de ángulos en espacio n-dimensional

En geometría, a menudo surgen problemas con espacios que tienen más de tres dimensiones. Pero para ellos, el algoritmo para encontrar la respuesta es similar.

Diferencia entre 0 y 180 grados

Vectores específicos

Al encontrar los ángulos entre los vectores, se puede encontrar uno de los tipos especiales, además de los codirigidos y de dirección opuesta descritos anteriormente.

Varios vectores paralelos a un plano se llaman coplanares.
Los vectores que tienen la misma longitud y dirección se llaman iguales.
Los vectores que se encuentran en la misma línea recta, independientemente de su dirección, se llaman colineales.
Si la longitud del vector es cero, es decir, su principio y su final coinciden, entonces se llama cero, y si es uno, entonces se llama uno.

Producto escalar de vectores

Seguimos tratando con vectores. En la primera lección Vectores para tontos hemos considerado el concepto de vector, acciones con vectores, coordenadas vectoriales y los problemas más simples con vectores. Si llegaste a esta página por primera vez desde un motor de búsqueda, te recomiendo leer el artículo introductorio anterior, ya que para poder asimilar el material, necesitas guiarte en los términos y la notación que uso, tener conocimientos básicos de vectores. y ser capaz de resolver problemas elementales. Esta lección es una continuación lógica del tema, y en ella analizaré en detalle tareas típicas que usan el producto escalar de vectores. Este es un trabajo MUY IMPORTANTE.. Trate de no omitir los ejemplos, están acompañados de una bonificación útil: la práctica lo ayudará a consolidar el material cubierto y "obtener su mano" para resolver problemas comunes de geometría analítica.

Sumar vectores, multiplicar un vector por un número…. Sería ingenuo pensar que a los matemáticos no se les ha ocurrido otra cosa. Además de las acciones ya consideradas, existen otras operaciones con vectores, a saber: producto escalar de vectores, producto vectorial de vectores y producto mixto de vectores. El producto escalar de vectores nos es familiar desde la escuela, los otros dos productos están tradicionalmente relacionados con el curso de matemáticas superiores. Los temas son simples, el algoritmo para resolver muchos problemas es estereotipado y comprensible. La única cosa. Hay una cantidad decente de información, por lo que no es deseable tratar de dominar y resolver TODO Y DE UNA VEZ. Esto es especialmente cierto para los tontos, créanme, el autor no quiere sentirse como Chikatilo de las matemáticas. Bueno, tampoco de las matemáticas, por supuesto =) Los estudiantes más preparados pueden usar los materiales de forma selectiva, en cierto sentido, "adquirir" los conocimientos que faltan, para ti seré un inofensivo Conde Drácula =)

Finalmente, abramos un poco la puerta y echemos un vistazo a lo que sucede cuando dos vectores se encuentran...

Definición del producto escalar de vectores.
Propiedades del producto escalar. Tareas típicas

El concepto de producto punto

primero sobre ángulo entre vectores. Creo que todos entienden intuitivamente cuál es el ángulo entre vectores, pero por si acaso, un poco más. Considere vectores libres distintos de cero y . Si posponemos estos vectores desde un punto arbitrario, obtenemos una imagen que muchos ya han presentado mentalmente:

Lo confieso, aquí describí la situación solo a nivel de comprensión. Si necesita una definición estricta del ángulo entre vectores, consulte el libro de texto, pero para tareas prácticas, en principio, no la necesitamos. También AQUÍ Y MÁS ALLÁ, a veces ignoraré los vectores cero debido a su poca importancia práctica. Hice una reserva específicamente para los visitantes avanzados del sitio, quienes pueden reprocharme el carácter incompleto teórico de algunas de las siguientes declaraciones.

puede tomar valores de 0 a 180 grados (de 0 a radianes) inclusive. Analíticamente, este hecho se escribe como una doble desigualdad:

(en radianes).

En la literatura, el ícono del ángulo a menudo se omite y se escribe simplemente.

Definición: El producto escalar de dos vectores es un NÚMERO igual al producto de las longitudes de estos vectores y el coseno del ángulo entre ellos:

Esa es una definición bastante estricta.

Nos centramos en la información esencial:

Designacion: el producto escalar se denota por o simplemente .

El resultado de la operación es un NÚMERO: Multiplica un vector por un vector para obtener un número. De hecho, si las longitudes de los vectores son números, el coseno del ángulo es un número, entonces su producto también será un número.

Solo un par de ejemplos de calentamiento:

Ejemplo 1

Decisión: Usamos la fórmula . En este caso:

Responder:

Los valores del coseno se pueden encontrar en tabla trigonométrica. Recomiendo imprimirlo: se requerirá en casi todas las secciones de la torre y se requerirá muchas veces.

Desde un punto de vista puramente matemático, el producto escalar es adimensional, es decir, el resultado, en este caso, es solo un número y listo. Desde el punto de vista de los problemas de la física, el producto escalar siempre tiene un cierto significado físico, es decir, después del resultado se debe indicar una u otra unidad física. El ejemplo canónico de calcular el trabajo de una fuerza se puede encontrar en cualquier libro de texto (la fórmula es exactamente un producto escalar). El trabajo de una fuerza se mide en julios, por lo tanto, la respuesta se escribirá de manera bastante específica, por ejemplo.

Ejemplo 2

encontrar si , y el ángulo entre los vectores es .

Este es un ejemplo de autodecisión, la respuesta está al final de la lección.

Ángulo entre vectores y valor del producto escalar

En el Ejemplo 1, el producto escalar resultó ser positivo y en el Ejemplo 2 resultó ser negativo. Averigüemos de qué depende el signo del producto escalar. Veamos nuestra fórmula: . Las longitudes de los vectores distintos de cero son siempre positivas: , por lo que el signo solo puede depender del valor del coseno.

Nota: Para una mejor comprensión de la información a continuación, es mejor estudiar el gráfico de coseno en el manual Gráficas y propiedades de funciones. Vea cómo se comporta el coseno en el segmento.

Como ya se señaló, el ángulo entre los vectores puede variar dentro de , y son posibles los siguientes casos:

1) Si inyección entre vectores picante: (de 0 a 90 grados), luego , y el producto escalar será positivo codirigido, entonces el ángulo entre ellos se considera cero y el producto escalar también será positivo. Como , entonces la fórmula se simplifica: .

2) Si inyección entre vectores desafilado: (de 90 a 180 grados), luego , y en consecuencia, el producto escalar es negativo: . Caso especial: si los vectores dirigido de manera opuesta, entonces el ángulo entre ellos se considera desplegada: (180 grados). El producto escalar también es negativo, ya que

Las afirmaciones inversas también son verdaderas:

1) Si , entonces el ángulo entre estos vectores es agudo. Alternativamente, los vectores son codireccionales.

2) Si , entonces el ángulo entre estos vectores es obtuso. Alternativamente, los vectores están dirigidos de manera opuesta.

Pero el tercer caso es de particular interés:

3) Si inyección entre vectores derecho: (90 grados) entonces y el producto escalar es cero: . Lo contrario también es cierto: si , entonces . La declaración compacta se formula de la siguiente manera: El producto escalar de dos vectores es cero si y solo si los vectores dados son ortogonales. Notación matemática breve:

! Nota : repetir fundamentos de la logica matematica: el icono de consecuencia lógica de doble cara generalmente se lee "si y solo entonces", "si y solo si". Como puede ver, las flechas están dirigidas en ambas direcciones: "de esto sigue esto, y viceversa, de esto sigue esto". Por cierto, ¿cuál es la diferencia con el ícono de seguimiento unidireccional? Reclamaciones de iconos sólo eso que "de esto sigue esto", y no el hecho de que lo contrario es cierto. Por ejemplo: , pero no todos los animales son panteras, por lo que el ícono no se puede usar en este caso. Al mismo tiempo, en lugar del icono puede utilice un icono de un solo lado. Por ejemplo, al resolver el problema, descubrimos que llegamos a la conclusión de que los vectores son ortogonales: - tal registro será correcto, e incluso más apropiado que .

El tercer caso es de gran importancia práctica., ya que permite comprobar si los vectores son ortogonales o no. Resolveremos este problema en la segunda sección de la lección.

Propiedades del producto punto

Volvamos a la situación cuando dos vectores codirigido. En este caso, el ángulo entre ellos es cero, y la fórmula del producto escalar toma la forma: .

¿Qué sucede si un vector se multiplica por sí mismo? Está claro que el vector está codirigido consigo mismo, por lo que usamos la fórmula simplificada anterior:

el numero se llama cuadrado escalar vector , y se denotan como .

Por lo tanto, el cuadrado escalar de un vector es igual al cuadrado de la longitud del vector dado:

A partir de esta igualdad, puedes obtener una fórmula para calcular la longitud de un vector:

Si bien parece oscuro, las tareas de la lección pondrán todo en su lugar. Para resolver problemas, también necesitamos propiedades del producto escalar.

Para vectores arbitrarios y cualquier número, las siguientes propiedades son verdaderas:

1) - desplazable o conmutativo Ley del producto escalar.

2) - distribución o distributivo Ley del producto escalar. En pocas palabras, puede abrir paréntesis.

3) - combinación o de asociación Ley del producto escalar. La constante se puede sacar del producto escalar.

A menudo, todo tipo de propiedades (¡que también deben probarse!) son percibidas por los estudiantes como basura innecesaria, que solo debe memorizarse y olvidarse de manera segura inmediatamente después del examen. Parecería que lo importante aquí, todos ya saben desde el primer grado que el producto no cambia por una permutación de los factores:. Debo advertirles, en matemáticas superiores con tal enfoque es fácil estropear las cosas. Así, por ejemplo, la propiedad conmutativa no es válida para matrices algebraicas. no es cierto para producto vectorial de vectores. Por lo tanto, al menos es mejor profundizar en las propiedades que encontrará en el curso de matemáticas superiores para comprender qué se puede y qué no se puede hacer.

Ejemplo 3

Decisión: Primero, aclaremos la situación con el vector. ¿Que es todo esto? La suma de los vectores y es un vector bien definido, que se denota por . La interpretación geométrica de acciones con vectores se puede encontrar en el artículo. Vectores para tontos. El mismo perejil con un vector es la suma de los vectores y .

Entonces, según la condición, se requiere encontrar el producto escalar. En teoría, es necesario aplicar la fórmula de trabajo , pero el problema es que no conocemos las longitudes de los vectores y el ángulo entre ellos. Pero en la condición, se dan parámetros similares para los vectores, así que iremos por el otro lado:

(1) Sustituimos expresiones de vectores .

(2) Abrimos los paréntesis según la regla de la multiplicación de polinomios, un trabalenguas vulgar se puede encontrar en el artículo Números complejos o Integración de una función fraccionaria-racional. No me repetiré =) Por cierto, la propiedad distributiva del producto escalar nos permite abrir los paréntesis. Tenemos el derecho.

(3) En el primer y último término, escribimos de forma compacta los cuadrados escalares de los vectores: . En el segundo término, usamos la conmutabilidad del producto escalar: .

(4) Aquí hay términos similares: .

(5) En el primer término, usamos la fórmula del cuadrado escalar, que se mencionó no hace mucho. En el último término, respectivamente, funciona lo mismo: . El segundo término se expande de acuerdo con la fórmula estándar .

(6) Sustituir estas condiciones , y CUIDADOSAMENTE realice los cálculos finales.

Responder:

El valor negativo del producto escalar indica el hecho de que el ángulo entre los vectores es obtuso.

La tarea es típica, aquí hay un ejemplo para una solución independiente:

Ejemplo 4

Encuentre el producto escalar de los vectores y , si se sabe que .

Ahora otra tarea común, solo para la nueva fórmula de longitud de vector. Las designaciones aquí se superpondrán un poco, así que para mayor claridad, lo reescribiré con una letra diferente:

Ejemplo 5

Encuentre la longitud del vector si .

Decisión será como sigue:

(1) Suministramos la expresión vectorial .

(2) Usamos la fórmula de longitud: , mientras que tenemos una expresión entera como el vector "ve".

(3) Usamos la fórmula de la escuela para el cuadrado de la suma. Presta atención a cómo funciona aquí curiosamente: - de hecho, este es el cuadrado de la diferencia, y, de hecho, es así. Aquellos que lo deseen pueden reordenar los vectores en lugares: - Resultó lo mismo excepto por un reordenamiento de los términos.

(4) Lo que sigue ya es familiar de los dos problemas anteriores.

Responder:

Como estamos hablando de longitud, no olvide indicar la dimensión - "unidades".

Ejemplo 6

Encuentre la longitud del vector si .

Este es un ejemplo de bricolaje. Solución completa y respuesta al final de la lección.

Seguimos extrayendo cosas útiles del producto escalar. Veamos nuestra fórmula de nuevo. . Por la regla de la proporción, restablecemos las longitudes de los vectores al denominador del lado izquierdo:

Intercambiemos las partes:

¿Cuál es el significado de esta fórmula? Si se conocen las longitudes de dos vectores y su producto escalar, entonces se puede calcular el coseno del ángulo entre estos vectores y, en consecuencia, el ángulo mismo.

¿El producto escalar es un número? Número. ¿Las longitudes de los vectores son números? Números. Entonces una fracción también es un número. Y si se conoce el coseno del ángulo: , luego usando la función inversa es fácil encontrar el ángulo en sí: .

Ejemplo 7

Encuentre el ángulo entre los vectores y , si se sabe que .

Decisión: Usamos la fórmula:

En la etapa final de los cálculos, se utilizó una técnica: la eliminación de la irracionalidad en el denominador. Para eliminar la irracionalidad, multipliqué el numerador y el denominador por .

Así que si , entonces:

Los valores de las funciones trigonométricas inversas se pueden encontrar por tabla trigonométrica. Aunque esto rara vez sucede. En los problemas de geometría analítica, aparece con mucha más frecuencia algún oso torpe, y el valor del ángulo se tiene que encontrar aproximadamente usando una calculadora. De hecho, veremos esta imagen una y otra vez.

Responder:

Nuevamente, no olvide especificar la dimensión: radianes y grados. Personalmente, para "eliminar todas las preguntas" deliberadamente, prefiero indicar ambos (a menos, por supuesto, por condición, que se requiera presentar la respuesta solo en radianes o solo en grados).

Ahora podrá hacer frente a una tarea más difícil por su cuenta:

Ejemplo 7*

Se dan las longitudes de los vectores y el ángulo entre ellos. Encuentre el ángulo entre los vectores , .

La tarea no es tan difícil como de múltiples vías.
Analicemos el algoritmo de solución:

1) De acuerdo con la condición, se requiere encontrar el ángulo entre los vectores y , por lo que debe usar la fórmula .

2) Encontramos el producto escalar (ver Ejemplos No. 3, 4).

3) Encuentra la longitud del vector y la longitud del vector (ver Ejemplos No. 5, 6).

4) El final de la solución coincide con el Ejemplo No. 7: conocemos el número , lo que significa que es fácil encontrar el ángulo en sí:

Solución corta y respuesta al final de la lección.

La segunda sección de la lección está dedicada al mismo producto escalar. coordenadas. Será aún más fácil que en la primera parte.

Producto escalar de vectores,
dado por coordenadas en una base ortonormal

Responder:

No hace falta decir que tratar con coordenadas es mucho más agradable.

Ejemplo 14

Encuentre el producto escalar de vectores y si

Este es un ejemplo de bricolaje. Aquí puede usar la asociatividad de la operación, es decir, no cuente, pero inmediatamente saque el triple del producto escalar y multiplique por el último. Solución y respuesta al final de la lección.

Al final del párrafo, un ejemplo provocativo de cálculo de la longitud de un vector:

Ejemplo 15

Encontrar longitudes de vectores , Si

Decisión: de nuevo se sugiere el método de la sección anterior: pero hay otra manera:

Encontremos el vector:

Y su longitud según la fórmula trivial:

¡El producto escalar no es relevante aquí en absoluto!

Qué tan fuera de negocio está cuando se calcula la longitud de un vector:
Detenerse. ¿Por qué no aprovechar la propiedad de longitud obvia de un vector? ¿Qué se puede decir acerca de la longitud de un vector? Este vector es 5 veces más largo que el vector. La dirección es opuesta, pero no importa, porque estamos hablando de longitud. Obviamente, la longitud del vector es igual al producto módulo números por longitud de vector:
- el signo del módulo "come" el posible menos del número.

Por lo tanto:

Responder:

La fórmula para el coseno del ángulo entre vectores que están dados por coordenadas

Ahora tenemos información completa para que la fórmula derivada anteriormente para el coseno del ángulo entre vectores expresar en términos de coordenadas vectoriales:

Coseno del ángulo entre vectores planos y, dado en la base ortonormal, se expresa por la formula:
.

Coseno del ángulo entre vectores espaciales, dado en la base ortonormal , se expresa por la formula:

Ejemplo 16

Se dan tres vértices de un triángulo. Encuentra (ángulo del vértice).

Decisión: Por condición, el dibujo no es obligatorio, pero aún así:

El ángulo requerido está marcado con un arco verde. Recordamos inmediatamente la designación escolar del ángulo: - especial atención a medio letra - este es el vértice del ángulo que necesitamos. Por brevedad, también podría escribirse de manera simple.

Del dibujo es bastante obvio que el ángulo del triángulo coincide con el ángulo entre los vectores y , en otras palabras: .

Es deseable aprender a realizar el análisis realizado mentalmente.

Encontremos los vectores:

Calculemos el producto escalar:

Y las longitudes de los vectores:

Coseno de un ángulo:

Es este orden de la tarea que recomiendo a los tontos. Los lectores más avanzados pueden escribir los cálculos "en una línea":

Aquí hay un ejemplo de un valor de coseno "malo". El valor resultante no es definitivo, por lo que no tiene mucho sentido deshacerse de la irracionalidad en el denominador.

Encontremos el ángulo:

Si miras el dibujo, el resultado es bastante plausible. Para comprobar el ángulo también se puede medir con un transportador. No dañe el revestimiento del monitor =)

Responder:

En la respuesta, no olvides que preguntó sobre el ángulo del triángulo(y no del ángulo entre los vectores), no olvide indicar la respuesta exacta: y el valor aproximado del ángulo: encontrado con una calculadora.

Aquellos que han disfrutado del proceso pueden calcular los ángulos y asegurarse de que la igualdad canónica sea verdadera.

Ejemplo 17

Un triángulo está dado en el espacio por las coordenadas de sus vértices. Encuentre el ángulo entre los lados y

Este es un ejemplo de bricolaje. Solución completa y respuesta al final de la lección.

Se dedicará un pequeño apartado final a las proyecciones, en el que también está “involucrado” el producto escalar:

Proyección de un vector sobre un vector. Proyección de vectores sobre ejes de coordenadas.
Cosenos directores de vectores

Considere vectores y :

Proyectamos el vector sobre el vector, para esto omitimos desde el principio y el final del vector perpendiculares por vector (líneas punteadas verdes). Imagina que los rayos de luz caen perpendicularmente sobre un vector. Entonces el segmento (línea roja) será la "sombra" del vector. En este caso, la proyección de un vector sobre un vector es la LONGITUD del segmento. Es decir, LA PROYECCIÓN ES UN NÚMERO.

Este NÚMERO se denota de la siguiente manera: , "vector grande" denota un vector CUAL proyecto, "vector subíndice pequeño" denota el vector SOBRE EL que se proyecta.

La entrada en sí dice así: “la proyección del vector “a” sobre el vector “ser””.

¿Qué sucede si el vector "ser" es "demasiado corto"? Dibujamos una línea recta que contenga el vector "ser". Y el vector "a" ya estará proyectado a la dirección del vector "be", simplemente, en una línea recta que contiene el vector "ser". Lo mismo sucederá si el vector "a" se deja de lado en el trigésimo reino; aún se podrá proyectar fácilmente en la línea que contiene el vector "ser".

Si el ángulo entre vectores picante(como en la imagen), entonces

Si los vectores ortogonal, entonces (la proyección es un punto cuyas dimensiones se supone que son cero).

Si el ángulo entre vectores desafilado(en la figura, reordenar mentalmente la flecha del vector), luego (la misma longitud, pero tomada con un signo menos).

Aparte estos vectores desde un punto:

Obviamente, al mover un vector, su proyección no cambia

¡A sus órdenes!

1. Elimina la irracionalidad en el denominador:

3. Resuelve la ecuación exponencial:

4. Resuelve la desigualdad:

La raíz cuadrada aritmética existe solo de un número no negativo y siempre se expresa mediante un número no negativo., por lo que esta desigualdad será cierta para todos X, cumpliendo la condición: 2-х≥0. De aquí obtenemos: x≤2. Escribimos la respuesta como un intervalo numérico: (-∞; 2).

5. Resuelve la desigualdad: 7 x > -1.

A-priorato: una función exponencial se llama función de la forma y \u003d a x, donde a > 0, a ≠ 1, x es cualquier número. El rango de la función exponencial es el conjunto de todos los números positivos, ya que un número positivo elevado a cualquier potencia será positivo. Por eso 7 x >0 para cualquier x, y más aún 7 x > -1, es decir la desigualdad es cierta para todo x ∈ (-∞; +∞).

6. Convertir a producto:

Aplicamos la fórmula para la suma de senos: la suma de los senos de dos ángulos es igual al doble del producto del seno de la mitad de la suma de estos ángulos y el coseno de su mitad de la diferencia.

8. Se sabe que f(x) = -15x+3. ¿Para qué valores de x, f(x)=0?

Sustituimos el número 0 en lugar de f (x) y resolvemos la ecuación:

15x+3=0 ⇒ -15x=-3 ⇒ x=3:15 ⇒ x = 1/5.

11 . En la primera y segunda aleaciones, el cobre y el zinc están en una proporción de 5:2 y 3:4. ¿Qué cantidad de cada aleación se debe tomar para obtener 28 kg de una nueva aleación con el mismo contenido de cobre y zinc?

Entendemos que la nueva aleación contendrá 14 kg de cobre y 14 kg de zinc. Todos los problemas similares se resuelven de la misma manera: forman una ecuación, en las partes izquierda y derecha de la cual la misma cantidad de sustancia (tomemos cobre), escrita de diferentes maneras (según las condiciones específicas del problema). Tenemos 14 kg de cobre en la nueva aleación que estarán compuestos de cobre de ambas aleaciones. Sea la masa de la primera aleación X kg, entonces la masa de la segunda aleación es ( 28)kg. En la primera aleación hay 5 partes de cobre y 2 partes de zinc, por lo tanto el cobre será (5/7) de x kg. Para hallar una fracción de un número, multiplica la fracción por el número dado. En la segunda aleación, 3 partes de cobre y 4 partes de zinc, es decir, el cobre contiene (3/7) de (28's) kg. Asi que:

12. Resuelve la ecuación: log 2 8 x = -1.

Por definición de un logaritmo:

8 x = 2 -1 ⇒ 2 3x = 2 -1 ⇒ 3x = -1 ⇒ x = -1/3.

15. Encuentra la derivada de la función f(x) = -ln cosx 2 .

20. Encuentra el valor de una expresión:

El módulo de un número solo se puede expresar como un número no negativo. Si hay una expresión negativa debajo del signo del módulo, al abrir los corchetes del módulo, todos los términos se escriben con signos opuestos.

22. Resolver el sistema de desigualdades:

Primero, resolvemos cada desigualdad por separado.

Tenga en cuenta que el período común más pequeño para estas funciones será 2π, por lo tanto, tanto la izquierda como la derecha se atribuyeron 2πn. Respuesta C).

23. Encuentra el área de la figura acotada por la gráfica de la función y=3-|x-3| y recta y=0.

La gráfica de esta función consistirá en dos semirrectas que salen de un punto. Escribamos las ecuaciones de las rectas. Para x≥3 desarrollamos los corchetes modulares y obtenemos: y=3-x+3 ⇒ y=6-x. para x<3 получаем функцию: y=3+x-3 ⇒ y=x.

Un triángulo delimitado por la gráfica de una función y un segmento del eje x es una figura cuya área se debe encontrar. Por supuesto, prescindiremos de las integrales aquí. Encontramos el área de un triángulo como la mitad del producto de su base y la altura dibujada a esta base. Nuestra base es igual a 6 segmentos unitarios, y la altura dibujada a esta base es igual a 3 segmentos unitarios. El área será de 9 metros cuadrados. unidades

24. Encuentra el coseno del ángulo A de un triángulo con vértices en los puntos A(1; 4), B(-2; 3), C(4; 2).

Para encontrar las coordenadas de un vector dadas por las coordenadas de sus extremos, necesitas restar las coordenadas del principio de las coordenadas del final.

El ángulo A está formado por los vectores:

25. Hay 23 bolas en una caja: rojas, blancas y negras. Hay 11 veces más bolas blancas que rojas. ¿Cuántas bolas negras?

Que sea en la caja X bolas rojas Entonces los blancos 11x pelotas.

Rojo y blanco x+11x= 12x pelotas. Por lo tanto, bolas negras 23-12h. Como se trata de un número entero de bolas, el único valor posible es x=1. Resulta: 1 bola roja, 11 bolas blancas y 11 bolas negras

Instrucción

Se dan dos vectores distintos de cero en el plano, trazados desde un punto: vector A con coordenadas (x1, y1) B con coordenadas (x2, y2). Inyección entre ellos se denota como θ. Para encontrar la medida en grados del ángulo θ, necesitas usar la definición del producto escalar.

El producto escalar de dos vectores distintos de cero es un número igual al producto de las longitudes de estos vectores y el coseno del ángulo entre ellos, es decir, (A,B)=|A|*|B|*cos(θ) . Ahora necesitas expresar el coseno del ángulo a partir de esto: cos(θ)=(A,B)/(|A|*|B|).

El producto escalar también se puede encontrar usando la fórmula (A,B)=x1*x2+y1*y2, ya que el producto de dos vectores distintos de cero es igual a la suma de los productos de los vectores correspondientes. Si el producto escalar de vectores distintos de cero es igual a cero, entonces los vectores son perpendiculares (el ángulo entre ellos es de 90 grados) y se pueden omitir otros cálculos. Si el producto escalar de dos vectores es positivo, entonces el ángulo entre estos vectores agudo, y si es negativo, entonces el ángulo es obtuso.

Ahora calcula las longitudes de los vectores A y B usando las fórmulas: |A|=√(x1²+y1²), |B|=√(x2²+y2²). La longitud de un vector se calcula como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus coordenadas.

Sustituye los valores encontrados del producto escalar y las longitudes de los vectores en la fórmula del ángulo obtenido en el paso 2, es decir, cos(θ)=(x1*x2+y1*y2)/(√(x1²+ y1²)+√(x2²+y2²)). Ahora, sabiendo el valor de , para encontrar la medida en grados del ángulo entre vectores necesita usar la tabla de Bradis o tomar de esto: θ=arccos(cos(θ)).

Si los vectores A y B están dados en el espacio tridimensional y tienen coordenadas (x1, y1, z1) y (x2, y2, z2), respectivamente, entonces se suma una coordenada más al encontrar el coseno del ángulo. En este caso coseno: cos(θ)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(√(x1²+y1²+z1²)+√(x2²+y2²+z2²)).

Consejo útil

Si dos vectores no se trazan desde un punto, entonces para encontrar el ángulo entre ellos por traslación paralela, debe combinar los comienzos de estos vectores.
El ángulo entre dos vectores no puede ser mayor de 180 grados.

Fuentes:

como calcular el angulo entre vectores
Ángulo entre recta y plano

Para resolver muchos problemas, tanto teóricos como aplicados, de física y álgebra lineal, es necesario calcular el ángulo entre vectores. Esta tarea aparentemente simple puede causar muchas dificultades si no comprende claramente la esencia del producto escalar y qué valor aparece como resultado de este producto.

Instrucción

El ángulo entre vectores en un espacio vectorial lineal es el ángulo mínimo en el que se logra la codirección de los vectores. Uno de los vectores se transporta alrededor de su punto de partida. De la definición, se vuelve obvio que el valor del ángulo no puede exceder los 180 grados (ver el paso).

En este caso, se supone con bastante razón que en un espacio lineal, cuando los vectores se transfieren en paralelo, el ángulo entre ellos no cambia. Por tanto, para el cálculo analítico del ángulo no importa la orientación espacial de los vectores.

El resultado del producto escalar es un número, de lo contrario, un escalar. Recuerde (es importante saberlo) para evitar errores en cálculos posteriores. La fórmula para el producto escalar, ubicado en un plano o en el espacio de vectores, tiene la forma (ver la figura para el paso).

Si los vectores están ubicados en el espacio, realice el cálculo de manera similar. Lo único será la aparición del término en el dividendo: este es el término para la aplicación, es decir la tercera componente del vector. En consecuencia, al calcular el módulo de vectores, también se debe tener en cuenta la componente z, luego, para vectores ubicados en el espacio, la última expresión se transforma de la siguiente manera (ver Figura 6 al paso).

Un vector es un segmento de línea con una dirección dada. El ángulo entre vectores tiene un significado físico, por ejemplo, al encontrar la longitud de la proyección de un vector sobre un eje.

Instrucción

Ángulo entre dos vectores distintos de cero utilizando el cálculo del producto escalar. Por definición, el producto es igual al producto de las longitudes y el ángulo entre ellas. Por otro lado, se calcula el producto interior para dos vectores a con coordenadas (x1; y1) y b con coordenadas (x2; y2): ab = x1x2 + y1y2. De estas dos formas, el producto escalar es fácil de inclinar entre vectores.

Encuentra las longitudes o módulos de los vectores. Para nuestros vectores a y b: |a| = (x1² + y1²)^1/2, |b| = (x2² + y2²)^1/2.

Encuentra el producto interno de los vectores multiplicando sus coordenadas por pares: ab = x1x2 + y1y2. De la definición del producto escalar ab = |a|*|b|*cos α, donde α es el ángulo entre los vectores. Entonces obtenemos que x1x2 + y1y2 = |a|*|b|*cos α. Entonces cos α = (x1x2 + y1y2)/(|a|*|b|) = (x1x2 + y1y2)/((x1² + y1²)(x2² + y2²))^1/2.

Encuentre el ángulo α utilizando las tablas de Bradys.

Videos relacionados

Nota

El producto escalar es una característica escalar de las longitudes de los vectores y el ángulo entre ellos.

El plano es uno de los conceptos básicos en geometría. Un plano es una superficie para la cual la afirmación es verdadera: cualquier línea recta que conecte dos de sus puntos pertenece por completo a esta superficie. Los planos generalmente se denotan con letras griegas α, β, γ, etc. Dos planos siempre se cortan en una recta que pertenece a ambos planos.

Instrucción

Considere los semiplanos α y β formados en la intersección de . Ángulo formado por una recta a y dos semiplanos α y β por un ángulo diedro. En este caso, los semiplanos que forman un ángulo diedro por caras, la línea a a lo largo de la cual se cortan los planos se llama borde del ángulo diedro.

Ángulo diedro, como un ángulo plano, en grados. Para hacer un ángulo diedro, es necesario elegir un punto arbitrario O en su cara.En ambos, se dibujan dos rayos a que pasan por el punto O. El ángulo resultante AOB se llama ángulo lineal del ángulo diédrico a.

Entonces, sean dados el vector V = (a, b, c) y el plano A x + B y + C z = 0, donde A, B y C son las coordenadas de la normal N. Entonces el coseno del ángulo α entre los vectores V y N es: cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

Para calcular el ángulo en grados o radianes, debe calcular la función inversa al coseno de la expresión resultante, es decir, arcocoseno: α \u003d arscos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

Ejemplo: encontrar inyección Entre vector(5, -3, 8) y avión, dada por la ecuación general 2 x - 5 y + 3 z = 0. Solución: anotar las coordenadas del vector normal del plano N = (2, -5, 3). Sustituye todos los valores conocidos en la fórmula anterior: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Videos relacionados

Escribe una ecuación y aísla el coseno de ella. Según una fórmula, el producto escalar de vectores es igual a sus longitudes multiplicadas entre sí y por el coseno ángulo, y por el otro - la suma de los productos de coordenadas a lo largo de cada uno de los ejes. Igualando ambas fórmulas, podemos concluir que el coseno ángulo debe ser igual a la razón de la suma de los productos de las coordenadas al producto de las longitudes de los vectores.

Escriba la ecuación resultante. Para hacer esto, necesitamos designar ambos vectores. Digamos que se dan en un sistema cartesiano 3D y sus puntos de partida están en una cuadrícula. La dirección y la magnitud del primer vector estarán dadas por el punto (X₁,Y₁,Z₁), el segundo - (X₂,Y₂,Z₂), y el ángulo se indicará con la letra γ. Entonces las longitudes de cada uno de los vectores pueden ser, por ejemplo, según el teorema de Pitágoras para formado por sus proyecciones en cada uno de los ejes de coordenadas: √(X₁² + Y₁² + Z₁²) y √(X₂² + Y₂² + Z₂²). Sustituye estas expresiones en la fórmula formulada en el paso anterior y obtendrás la igualdad: cos(γ) = (X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁²) * √(X₂² + Y₂² + Z₂² )).

Usa el hecho de que la suma de los cuadrados seno y compañía seno desde ángulo un valor siempre da uno. Por lo tanto, elevando lo obtenido en el paso anterior para co seno elevado al cuadrado y restado de la unidad, y luego