Como multiplicar fracciones por enteros. Multiplicación de fracciones y números recíprocos. ¿Cómo funciona la multiplicación?

Multiplicación y división de fracciones.

¡Atención!
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material en la Sección Especial 555.
Para aquellos que fuertemente "no muy..."
Y para los que "mucho...")

¡Esta operación es mucho mejor que la suma-resta! Porque es más fácil. Te recuerdo: para multiplicar una fracción por una fracción, necesitas multiplicar los numeradores (este será el numerador del resultado) y los denominadores (este será el denominador). Es decir:

Por ejemplo:

Todo es extremadamente simple.. ¡Y por favor no busques un denominador común! No lo necesito aquí...

Para dividir una fracción entre una fracción, debes voltear segundo(¡esto es importante!) fraccionarlos y multiplicarlos, es decir:

Por ejemplo:

Si se detecta la multiplicación o división con números enteros y fracciones, está bien. Al igual que con la suma, hacemos una fracción de un número entero con una unidad en el denominador, ¡y listo! Por ejemplo:

En la escuela secundaria, a menudo tienes que lidiar con fracciones de tres pisos (¡o incluso de cuatro pisos!). Por ejemplo:

¿Cómo llevar esta fracción a una forma decente? ¡Sí, muy fácil! Utilice la división a través de dos puntos:

¡Pero no te olvides del orden de división! A diferencia de la multiplicación, ¡esto es muy importante aquí! Por supuesto, no confundiremos 4:2 o 2:4. Pero en una fracción de tres pisos es fácil cometer un error. Tenga en cuenta, por ejemplo:

En el primer caso (expresión de la izquierda):

En la segunda (expresión de la derecha):

¿Siente la diferencia? 4 y 1/9!

¿Cuál es el orden de división? O corchetes, o (como aquí) la longitud de los guiones horizontales. Desarrolla un ojo. Y si no hay corchetes o guiones, como:

luego divide-multiplica en orden, de izquierda a derecha!

Y otro truco muy simple e importante. En acciones con grados, ¡te vendrá bien! Dividamos la unidad por cualquier fracción, por ejemplo, por 13/15:

¡El tiro ha dado la vuelta! Y siempre sucede. Al dividir 1 por cualquier fracción, el resultado es la misma fracción, solo que invertida.

Esas son todas las acciones con fracciones. La cosa es bastante sencilla, pero da errores más que suficientes. ¡Toma nota de los consejos prácticos y habrá menos (errores)!

Consejos prácticos:

1. ¡Lo más importante cuando se trabaja con expresiones fraccionarias es la precisión y la atención! ¡Estas no son palabras comunes, no son buenos deseos! ¡Esta es una necesidad severa! Haz todos los cálculos del examen como una tarea completa, con concentración y claridad. Es mejor escribir dos líneas extra en un borrador que equivocarse al calcular mentalmente.

2. En ejemplos con diferentes tipos de fracciones, vaya a fracciones ordinarias.

3. Reducimos todas las fracciones a la parada.

4. Reducimos expresiones fraccionarias de varios niveles a expresiones ordinarias usando la división a través de dos puntos (¡seguimos el orden de la división!).

5. Dividimos la unidad en una fracción en nuestra mente, simplemente dándole la vuelta a la fracción.

Estas son las tareas que debe completar. Las respuestas se dan después de todas las tareas. Utilice los materiales de este tema y consejos prácticos. Estima cuántos ejemplos podrías resolver correctamente. ¡La primera vez! ¡Sin calculadora! Y sacar las conclusiones correctas...

Recuerda la respuesta correcta obtenido de la segunda (especialmente la tercera) vez - ¡no cuenta! Así es la vida dura.

Asi que, resolver en modo examen ! Esto es preparación para el examen, por cierto. Resolvemos un ejemplo, comprobamos, resolvemos lo siguiente. Decidimos todo: revisamos nuevamente desde el primero hasta el último. Solamente después mira las respuestas.

Calcular:

¿Has decidido?

Buscando respuestas que coincidan con las tuyas. Específicamente las escribí en un lío, lejos de la tentación, por así decirlo... Aquí están, las respuestas, escritas con punto y coma.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Y ahora sacamos conclusiones. Si todo salió bien, ¡feliz por ti! ¡Los cálculos elementales con fracciones no son tu problema! Puedes hacer cosas más serias. Que no...

Así que tienes uno de dos problemas. O ambos a la vez.) Falta de conocimiento y (o) falta de atención. Pero esto soluble Problemas.

Si te gusta este sitio...

Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).

Puedes practicar la resolución de ejemplos y averiguar tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendiendo - ¡con interés!)

puede familiarizarse con funciones y derivadas.

La última vez aprendimos a sumar y restar fracciones (ver la lección "Suma y resta de fracciones"). El momento más difícil de esas acciones fue llevar fracciones a un denominador común.

Ahora es el momento de lidiar con la multiplicación y la división. La buena noticia es que estas operaciones son incluso más fáciles que la suma y la resta. Para empezar, considere el caso más simple, cuando hay dos fracciones positivas sin una parte entera distinguida.

Para multiplicar dos fracciones, necesitas multiplicar sus numeradores y denominadores por separado. El primer número será el numerador de la nueva fracción y el segundo será el denominador.

Para dividir dos fracciones, necesitas multiplicar la primera fracción por el segundo "invertido".

Designacion:

De la definición se sigue que la división de fracciones se reduce a la multiplicación. Para voltear una fracción, simplemente intercambia el numerador y el denominador. Por lo tanto, toda la lección consideraremos principalmente la multiplicación.

Como resultado de la multiplicación, puede surgir una fracción reducida (y a menudo surge), por supuesto, debe reducirse. Si, después de todas las reducciones, la fracción resultara incorrecta, deberá distinguirse en ella la parte entera. Pero lo que definitivamente no sucederá con la multiplicación es la reducción a un denominador común: sin métodos cruzados, factores máximos y mínimos comunes múltiplos.

Por definición tenemos:

Multiplicación de fracciones con parte entera y fracciones negativas

Si hay una parte entera en las fracciones, deben convertirse en impropias, y solo luego multiplicarse de acuerdo con los esquemas descritos anteriormente.

Si hay un signo menos en el numerador de una fracción, en el denominador o delante de él, se puede sacar de los límites de la multiplicación o eliminarlo por completo de acuerdo con las siguientes reglas:

1. Más veces menos da menos;
2. Dos negativos hacen un afirmativo.

Hasta ahora, estas reglas solo se han encontrado al sumar y restar fracciones negativas, cuando se requería deshacerse de la parte entera. Para un producto, se pueden generalizar para "quemar" varias desventajas a la vez:

1. Tachamos los menos en pares hasta que desaparezcan por completo. En un caso extremo, uno menos puede sobrevivir: el que no encontró una coincidencia;
2. Si no quedan menos, la operación está completa; puede comenzar a multiplicar. Si el último menos no está tachado, ya que no encontró un par, lo sacamos de los límites de la multiplicación. Obtienes una fracción negativa.

Tarea. Encuentre el valor de la expresión:

Traducimos todas las fracciones a impropias y luego sacamos los menos fuera de los límites de la multiplicación. Lo que queda se multiplica según las reglas habituales. Obtenemos:

Permítame recordarle una vez más que el signo menos que precede a una fracción con una parte entera resaltada se refiere específicamente a la fracción completa, y no solo a su parte entera (esto se aplica a los dos últimos ejemplos).

También presta atención a los números negativos: cuando se multiplican, se encierran entre paréntesis. Esto se hace para separar los signos menos de los signos de multiplicación y hacer que toda la notación sea más precisa.

Reducir fracciones sobre la marcha

La multiplicación es una operación muy laboriosa. Los números aquí son bastante grandes y, para simplificar la tarea, puede intentar reducir la fracción aún más. antes de la multiplicación. De hecho, en esencia, los numeradores y los denominadores de las fracciones son factores ordinarios y, por lo tanto, se pueden reducir utilizando la propiedad básica de una fracción. Echa un vistazo a los ejemplos:

Tarea. Encuentre el valor de la expresión:

Por definición tenemos:

En todos los ejemplos, los números que se han reducido y lo que queda de ellos están marcados en rojo.

Tenga en cuenta: en el primer caso, los multiplicadores se redujeron por completo. Las unidades permanecieron en su lugar, lo que, en general, puede omitirse. En el segundo ejemplo, no fue posible lograr una reducción completa, pero la cantidad total de cálculos aún disminuyó.

Sin embargo, ¡en ningún caso no utilice esta técnica al sumar y restar fracciones! Sí, a veces hay números similares que solo quieres reducir. Aquí, mira:

¡No puedes hacer eso!

El error ocurre debido a que al sumar una fracción, en el numerador de una fracción aparece la suma, y ​​no el producto de números. Por lo tanto, es imposible aplicar la propiedad principal de una fracción, ya que esta propiedad se ocupa específicamente de la multiplicación de números.

Simplemente no hay otra razón para reducir fracciones, por lo que la solución correcta al problema anterior se ve así:

Solución correcta:

Como puede ver, la respuesta correcta resultó no ser tan hermosa. En general, tenga cuidado.

) y el denominador por el denominador (obtenemos el denominador del producto).

Fórmula de multiplicación de fracciones:

Por ejemplo:

Antes de proceder con la multiplicación de numeradores y denominadores, es necesario verificar la posibilidad de reducción de fracciones. Si logras reducir la fracción, entonces te será más fácil seguir haciendo cálculos.

División de una fracción ordinaria por una fracción.

División de fracciones que involucran un número natural.

No es tan aterrador como parece. Como en el caso de la suma, convertimos un número entero en una fracción con una unidad en el denominador. Por ejemplo:

Multiplicación de fracciones mixtas.

Reglas para multiplicar fracciones (mixtas):

• convertir fracciones mixtas a impropias;
• multiplicar los numeradores y denominadores de fracciones;
• reducimos la fracción;
• si obtenemos una fracción impropia, entonces convertimos la fracción impropia en una mixta.

¡Nota! Para multiplicar una fracción mixta por otra fracción mixta, primero debe llevarlas a la forma de fracciones impropias y luego multiplicar de acuerdo con la regla para multiplicar fracciones ordinarias.

La segunda forma de multiplicar una fracción por un número natural.

Es más conveniente usar el segundo método de multiplicar una fracción ordinaria por un número.

¡Nota! Para multiplicar una fracción por un número natural, es necesario dividir el denominador de la fracción por este número y dejar el numerador sin cambios.

Del ejemplo anterior, está claro que esta opción es más conveniente cuando el denominador de una fracción se divide sin resto por un número natural.

Fracciones multinivel.

En la escuela secundaria, a menudo se encuentran fracciones de tres pisos (o más). Ejemplo:

Para llevar dicha fracción a su forma habitual, se usa la división a través de 2 puntos:

¡Nota! Al dividir fracciones, el orden de división es muy importante. Tenga cuidado, es fácil confundirse aquí.

Nota, Por ejemplo:

Al dividir uno entre cualquier fracción, el resultado será la misma fracción, solo que invertida:

Consejos prácticos para multiplicar y dividir fracciones:

1. Lo más importante al trabajar con expresiones fraccionarias es la precisión y la atención. Haga todos los cálculos con cuidado y precisión, concentración y claridad. Es mejor escribir algunas líneas extra en un borrador que confundirse con los cálculos en la cabeza.

2. En tareas con diferentes tipos de fracciones: vaya al tipo de fracciones ordinarias.

3. Reducimos todas las fracciones hasta que ya no sea posible reducir.

4. Traemos expresiones fraccionarias de varios niveles a expresiones ordinarias, usando la división a través de 2 puntos.

5. Dividimos la unidad en una fracción en nuestra mente, simplemente dándole la vuelta a la fracción.

Digamos que Aquiles corre diez veces más rápido que la tortuga y está mil pasos detrás de ella. En el tiempo que tarda Aquiles en correr esta distancia, la tortuga se arrastrará cien pasos en la misma dirección. Cuando Aquiles haya corrido cien pasos, la tortuga se arrastrará otros diez pasos, y así sucesivamente. El proceso continuará indefinidamente, Aquiles nunca alcanzará a la tortuga.

Este razonamiento se convirtió en un shock lógico para todas las generaciones posteriores. Aristóteles, Diógenes, Kant, Hegel, Gilbert... Todos ellos, de una forma u otra, consideraron las aporías de Zenón. El susto fue tan fuerte que" ... las discusiones continúan en la actualidad, la comunidad científica aún no ha logrado llegar a una opinión común sobre la esencia de las paradojas ... el análisis matemático, la teoría de conjuntos, nuevos enfoques físicos y filosóficos se involucraron en el estudio del tema ; ninguno de ellos se convirtió en una solución universalmente aceptada para el problema...“[Wikipedia, “Aporias de Zeno”]. Todos entienden que están siendo engañados, pero nadie entiende cuál es el engaño.

Desde el punto de vista de las matemáticas, Zenón en su aporía demostró claramente la transición del valor a. Esta transición implica aplicar en lugar de constantes. Según tengo entendido, el aparato matemático para aplicar unidades de medida variables o aún no se ha desarrollado o no se ha aplicado a la aporía de Zenón. La aplicación de nuestra lógica habitual nos lleva a una trampa. Nosotros, por la inercia del pensamiento, aplicamos unidades constantes de tiempo al recíproco. Desde un punto de vista físico, parece como si el tiempo se detuviera por completo en el momento en que Aquiles alcanza a la tortuga. Si el tiempo se detiene, Aquiles ya no puede alcanzar a la tortuga.

Si le damos la vuelta a la lógica a la que estamos acostumbrados, todo encaja. Aquiles corre a una velocidad constante. Cada segmento subsiguiente de su camino es diez veces más corto que el anterior. En consecuencia, el tiempo empleado en superarlo es diez veces menor que el anterior. Si aplicamos el concepto de "infinito" en esta situación, entonces sería correcto decir "Aquiles alcanzará infinitamente rápido a la tortuga".

¿Cómo evitar esta trampa lógica? Permanezca en unidades de tiempo constantes y no cambie a valores recíprocos. En el lenguaje de Zeno, se ve así:

En el tiempo que tarda Aquiles en correr mil pasos, la tortuga se arrastra cien pasos en la misma dirección. Durante el siguiente intervalo de tiempo, igual al primero, Aquiles correrá otros mil pasos y la tortuga se arrastrará cien pasos. Ahora Aquiles está ochocientos pasos por delante de la tortuga.

Este enfoque describe adecuadamente la realidad sin paradojas lógicas. Pero esto no es una solución completa al problema. La afirmación de Einstein sobre la insuperabilidad de la velocidad de la luz es muy similar a la aporía de Zenón "Aquiles y la tortuga". Todavía tenemos que estudiar, repensar y resolver este problema. Y la solución hay que buscarla no en números infinitamente grandes, sino en unidades de medida.

Otra interesante aporía de Zenón habla de una flecha voladora:

Una flecha voladora está inmóvil, ya que en cada momento del tiempo está en reposo, y como está en reposo en cada momento del tiempo, siempre está en reposo.

En esta aporía, la paradoja lógica se supera de manera muy simple: basta aclarar que en cada momento del tiempo la flecha voladora está en reposo en diferentes puntos del espacio, lo que, en realidad, es movimiento. Hay otro punto a señalar aquí. A partir de una fotografía de un automóvil en la carretera, es imposible determinar el hecho de su movimiento o la distancia hasta él. Para determinar el hecho del movimiento del automóvil, se necesitan dos fotografías tomadas desde el mismo punto en diferentes momentos, pero no se pueden usar para determinar la distancia. Para determinar la distancia al automóvil, necesita dos fotografías tomadas desde diferentes puntos en el espacio al mismo tiempo, pero no puede determinar el hecho del movimiento a partir de ellas (naturalmente, aún necesita datos adicionales para los cálculos, la trigonometría lo ayudará). Lo que quiero señalar en particular es que dos puntos en el tiempo y dos puntos en el espacio son dos cosas diferentes que no deben confundirse ya que brindan diferentes oportunidades de exploración.

miércoles, 4 de julio de 2018

Muy bien, las diferencias entre set y multiset se describen en Wikipedia. Miramos.

Como puede ver, "el conjunto no puede tener dos elementos idénticos", pero si hay elementos idénticos en el conjunto, dicho conjunto se denomina "multiconjunto". Los seres razonables nunca comprenderán tal lógica del absurdo. Este es el nivel de los loros que hablan y los monos entrenados, en los que la mente está ausente de la palabra "completamente". Los matemáticos actúan como formadores ordinarios, predicándonos sus ideas absurdas.

Érase una vez, los ingenieros que construyeron el puente estaban en un bote debajo del puente durante las pruebas del puente. Si el puente se derrumbaba, el mediocre ingeniero moría bajo los escombros de su creación. Si el puente podía soportar la carga, el talentoso ingeniero construyó otros puentes.

Por mucho que los matemáticos se escondan detrás de la frase "fíjate, estoy en la casa", o más bien "las matemáticas estudian conceptos abstractos", hay un cordón umbilical que los conecta inextricablemente con la realidad. Este cordón umbilical es dinero. Apliquemos la teoría matemática de conjuntos a los propios matemáticos.

Estudiamos muy bien las matemáticas y ahora estamos sentados en la caja, pagando salarios. Aquí un matemático viene a nosotros por su dinero. Le contamos la cantidad total y la colocamos en nuestra mesa en diferentes montones, en los que ponemos billetes de la misma denominación. Luego tomamos un billete de cada montón y le damos al matemático su "conjunto de salarios matemáticos". Le explicamos las matemáticas de que recibirá el resto de billetes sólo cuando demuestre que el conjunto sin elementos idénticos no es igual al conjunto con elementos idénticos. Aquí es donde la diversión comienza.

En primer lugar, la lógica de los diputados funcionará: "¡puedes aplicarlo a otros, pero no a mí!" Además, comenzarán las garantías de que en los billetes de la misma denominación existen números de billetes diferentes, por lo que no pueden considerarse elementos idénticos. Bueno, contamos el salario en monedas, no hay números en las monedas. Aquí el matemático recordará frenéticamente la física: diferentes monedas tienen diferentes cantidades de suciedad, la estructura cristalina y la disposición de los átomos de cada moneda es única...

Y ahora tengo la pregunta más interesante: ¿dónde está el límite más allá del cual los elementos de un conjunto múltiple se convierten en elementos de un conjunto y viceversa? Tal línea no existe: todo lo deciden los chamanes, la ciencia aquí ni siquiera está cerca.

Mira aquí. Seleccionamos estadios de fútbol con la misma área de campo. El área de los campos es la misma, lo que significa que tenemos un conjunto múltiple. Pero si consideramos los nombres de los mismos estadios, obtenemos mucho, porque los nombres son diferentes. Como puede ver, el mismo conjunto de elementos es a la vez un conjunto y un conjunto múltiple. ¿Cuánta razón? Y aquí el matemático-chamán-shuller saca un as de triunfo de la manga y comienza a hablarnos sobre un set o un multiset. En cualquier caso, nos convencerá de que tiene razón.

Para comprender cómo los chamanes modernos operan con la teoría de conjuntos, vinculándola a la realidad, basta con responder una pregunta: ¿en qué se diferencian los elementos de un conjunto de los elementos de otro conjunto? Les mostraré, sin ningún "concebible como no un todo único" o "no concebible como un todo único".

domingo, 18 de marzo de 2018

La suma de las cifras de un número es una danza de chamanes con pandereta, que nada tiene que ver con las matemáticas. Sí, en las lecciones de matemáticas se nos enseña a encontrar la suma de los dígitos de un número y usarlo, pero los chamanes son para eso, para enseñar a sus descendientes sus habilidades y sabiduría, de lo contrario, los chamanes simplemente se extinguirán.

¿Necesitas pruebas? Abra Wikipedia e intente encontrar la página "Suma de dígitos de un número". ella no existe No existe una fórmula en matemáticas mediante la cual puedas encontrar la suma de los dígitos de cualquier número. Después de todo, los números son símbolos gráficos con los que escribimos números, y en el lenguaje de las matemáticas, la tarea suena así: "Encuentra la suma de los símbolos gráficos que representan cualquier número". Los matemáticos no pueden resolver este problema, pero los chamanes pueden hacerlo elementalmente.

Averigüemos qué y cómo hacemos para encontrar la suma de los dígitos de un número dado. Entonces, digamos que tenemos el número 12345. ¿Qué se necesita hacer para encontrar la suma de los dígitos de este número? Consideremos todos los pasos en orden.

1. Escriba el número en una hoja de papel. ¿Qué hemos hecho? Hemos convertido el número en un símbolo gráfico numérico. Esto no es una operación matemática.

2. Cortamos una imagen recibida en varias imágenes que contienen números separados. Cortar una imagen no es una operación matemática.

3. Convierta caracteres gráficos individuales en números. Esto no es una operación matemática.

4. Suma los números resultantes. Ahora eso es matemáticas.

La suma de los dígitos del número 12345 es 15. Estos son los "cursos de corte y costura" de los chamanes utilizados por los matemáticos. Pero eso no es todo.

Desde el punto de vista de las matemáticas, no importa en qué sistema numérico escribimos el número. Entonces, en diferentes sistemas numéricos, la suma de los dígitos del mismo número será diferente. En matemáticas, el sistema numérico se indica como un subíndice a la derecha del número. Con un gran número de 12345, no quiero engañar a mi cabeza, considere el número 26 del artículo sobre. Escribamos este número en sistemas numéricos binarios, octales, decimales y hexadecimales. No consideraremos cada paso bajo un microscopio, ya lo hemos hecho. Veamos el resultado.

Como puedes ver, en diferentes sistemas numéricos, la suma de los dígitos del mismo número es diferente. Este resultado no tiene nada que ver con las matemáticas. Es como encontrar el área de un rectángulo en metros y centímetros te daría resultados completamente diferentes.

El cero en todos los sistemas numéricos tiene el mismo aspecto y no tiene suma de dígitos. Este es otro argumento a favor del hecho de que . Una pregunta para los matemáticos: ¿cómo se denota en matemáticas aquello que no es un número? ¿Qué, para los matemáticos, no existe nada más que números? Para los chamanes, puedo permitir esto, pero para los científicos, no. La realidad no se trata solo de números.

El resultado obtenido debe considerarse como prueba de que los sistemas numéricos son unidades de medida de los números. Después de todo, no podemos comparar números con diferentes unidades de medida. Si las mismas acciones con diferentes unidades de medida de la misma cantidad conducen a resultados diferentes después de compararlas, entonces esto no tiene nada que ver con las matemáticas.

¿Qué son las matemáticas reales? Esto es cuando el resultado de una acción matemática no depende del valor del número, la unidad de medida utilizada y de quién realiza esta acción.

¡Ay! ¿No es este el baño de mujeres?
- ¡Mujer joven! ¡Este es un laboratorio para estudiar la santidad indefinida de las almas al ascender al cielo! Nimbus arriba y flecha arriba. ¿Qué otro baño?

Femenino... Un halo en la parte superior y una flecha hacia abajo es masculino.

Si tiene una obra de arte de diseño de este tipo delante de sus ojos varias veces al día,

Entonces no es de extrañar que de repente encuentres un icono extraño en tu coche:

Personalmente, me esfuerzo por ver menos cuatro grados en una persona que hace caca (una imagen) (composición de varias imágenes: signo menos, número cuatro, designación de grados). Y no considero tonta a esta chica que no sabe física. Ella solo tiene un estereotipo de arco de percepción de imágenes gráficas. Y los matemáticos nos enseñan esto todo el tiempo. Aquí hay un ejemplo.

1A no es "menos cuatro grados" o "una a". Este es el "hombre cagando" o el número "veintiséis" en el sistema numérico hexadecimal. Aquellas personas que trabajan constantemente en este sistema numérico perciben automáticamente el número y la letra como un símbolo gráfico.

Multiplicación de fracciones ordinarias

Considere un ejemplo.

Que haya $\frac(1)(3)$ parte de una manzana en el plato. Necesitamos encontrar la parte $\frac(1)(2)$. La parte requerida es el resultado de multiplicar las fracciones $\frac(1)(3)$ y $\frac(1)(2)$. El resultado de multiplicar dos fracciones comunes es una fracción común.

Multiplicar dos fracciones comunes

Regla para multiplicar fracciones ordinarias:

El resultado de multiplicar una fracción por otra fracción es una fracción cuyo numerador es igual al producto de los numeradores de las fracciones multiplicadas, y el denominador es igual al producto de los denominadores:

Ejemplo 1

Multiplica las fracciones ordinarias $\frac(3)(7)$ y $\frac(5)(11)$.

Decisión.

Usemos la regla de la multiplicación de fracciones ordinarias:

\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]

Responder:$\frac(15)(77)$

Si como resultado de la multiplicación de fracciones se obtiene una fracción cancelable o impropia, entonces es necesario simplificarla.

Ejemplo 2

Multiplica las fracciones $\frac(3)(8)$ y $\frac(1)(9)$.

Decisión.

Usamos la regla para multiplicar fracciones ordinarias:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]

Como resultado, obtuvimos una fracción reducible (sobre la base de la división por $3$. Dividiendo el numerador y el denominador de la fracción por $3$, obtenemos:

\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]

Solución corta:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]

Responder:$\frac(1)(24).$

Al multiplicar fracciones, puedes reducir los numeradores y denominadores para encontrar su producto. En este caso, el numerador y el denominador de la fracción se descomponen en factores simples, luego de lo cual se reducen los factores repetidos y se encuentra el resultado.

Ejemplo 3

Calcula el producto de las fracciones $\frac(6)(75)$ y $\frac(15)(24)$.

Decisión.

Usemos la fórmula para multiplicar fracciones ordinarias:

\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]

Obviamente, el numerador y el denominador contienen números que se pueden reducir en pares por los números $2$, $3$ y $5$. Descomponemos el numerador y el denominador en factores simples y hacemos la reducción:

\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]

Responder:$\frac(1)(20).$

Al multiplicar fracciones, se puede aplicar la ley conmutativa:

Multiplicar una fracción por un número natural

La regla para multiplicar una fracción ordinaria por un número natural:

El resultado de multiplicar una fracción por un número natural es una fracción en la que el numerador es igual al producto del numerador de la fracción multiplicada por el número natural, y el denominador es igual al denominador de la fracción multiplicada:

donde $\frac(a)(b)$ es una fracción común, $n$ es un número natural.

Ejemplo 4

Multiplica la fracción $\frac(3)(17)$ por $4$.

Decisión.

Usemos la regla de multiplicar una fracción ordinaria por un número natural:

\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]

Responder:$\frac(12)(17).$

No te olvides de comprobar el resultado de la multiplicación por la contractibilidad de una fracción o por una fracción impropia.

Ejemplo 5

Multiplica la fracción $\frac(7)(15)$ por $3$.

Decisión.

Usemos la fórmula para multiplicar una fracción por un número natural:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]

Por el criterio de división por el número $3$), se puede determinar que la fracción resultante se puede reducir:

\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]

El resultado es una fracción impropia. Tomemos la parte entera:

\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]

Solución corta:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]

También fue posible reducir fracciones reemplazando los números en el numerador y el denominador con sus expansiones en factores primos. En este caso, la solución podría escribirse de la siguiente manera:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]

Responder:$1\frac(2)(5).$

Al multiplicar una fracción por un número natural, puedes usar la ley conmutativa:

División de fracciones ordinarias

La operación de división es la inversa de la multiplicación y su resultado es una fracción por la que debes multiplicar una fracción conocida para obtener un producto conocido de dos fracciones.

División de dos fracciones comunes

La regla para dividir fracciones ordinarias: Obviamente, el numerador y el denominador de la fracción resultante se pueden descomponer en factores simples y reducir:

\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]

Como resultado, obtuvimos una fracción impropia, de la cual seleccionamos la parte entera:

\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]

Responder:$1\frac(5)(9).$