Comenzaremos nuestra consideración de este tema estudiando el concepto de fracción como un todo, lo que nos dará una comprensión más completa del significado de una fracción ordinaria. Demos los términos principales y su definición, estudiemos el tema en una interpretación geométrica, es decir. en la línea de coordenadas, y también definir una lista de acciones básicas con fracciones.

Yandex.RTB R-A-339285-1

acciones del todo

Imagine un objeto que consta de varias partes completamente iguales. Por ejemplo, puede ser una naranja, que consta de varias rodajas idénticas.

Definición 1

Parte de un todo o parte es cada una de las partes iguales que forman el todo.

Obviamente, las acciones pueden ser diferentes. Para explicar claramente esta afirmación, imagine dos manzanas, una de las cuales está cortada en dos partes iguales y la segunda en cuatro. Está claro que el tamaño de las acciones resultantes para diferentes manzanas variará.

Las acciones tienen nombres propios, que dependen del número de acciones que componen el todo sujeto. Si un artículo tiene dos partes, cada una de ellas se definirá como una segunda parte de este artículo; cuando un objeto consta de tres partes, entonces cada una de ellas es un tercio, y así sucesivamente.

Definición 2

Mitad- una segunda parte del tema.

Tercero- un tercio de la materia.

Cuarto- una cuarta parte del sujeto.

Para acortar el registro, se introdujo la siguiente notación para acciones: mitad - 1 2 o 1/2; tercera - 1 3 o 1 / 3 ; una cuarta parte 1 4 o 1/4 y así sucesivamente. Las entradas con una barra horizontal se usan con más frecuencia.

El concepto de acción se expande naturalmente de objetos a magnitudes. Entonces, puedes usar fracciones de un metro (un tercio o una centésima) para medir objetos pequeños, como una de las unidades de longitud. Las acciones de otras cantidades se pueden aplicar de manera similar.

Fracciones comunes, definición y ejemplos.

Las fracciones ordinarias se utilizan para describir el número de acciones. Considere un ejemplo simple que nos acercará a la definición de una fracción ordinaria.

Imagina una naranja, que consta de 12 rodajas. Cada acción será entonces - un doceavo o 1/12. Dos acciones - 2/12; tres acciones - 3 / 12, etc. Las 12 partes o un número entero se verían así: 12 / 12 . Cada una de las entradas utilizadas en el ejemplo es un ejemplo de una fracción común.

Definición 3

fracción común es un registro de la forma m n o m / n , donde m y n son números naturales cualesquiera.

De acuerdo con esta definición, los ejemplos de fracciones ordinarias pueden ser entradas: 4 / 9, 1134, 91754. Y estas entradas: 11 5 , 1 , 9 4 , 3 no son fracciones ordinarias.

Numerador y denominador

numerador fracción común m n o m / n es un número natural m .

denominador fracción común m n o m / n es un número natural n .

Aquellos. el numerador es el número sobre la barra de una fracción ordinaria (o a la izquierda de la barra), y el denominador es el número debajo de la barra (a la derecha de la barra).

¿Cuál es el significado del numerador y el denominador? El denominador de una fracción ordinaria indica de cuántas acciones consta un elemento, y el numerador nos da información sobre cuántas acciones de este tipo se consideran. Por ejemplo, la fracción común 7 54 nos indica que un determinado objeto consta de 54 acciones, y para su consideración tomamos 7 de esas acciones.

Número natural como fracción con denominador 1

El denominador de una fracción ordinaria puede ser igual a uno. En este caso, es posible decir que el objeto (valor) en consideración es indivisible, es algo total. El numerador en dicha fracción indicará cuántos elementos de este tipo se toman, es decir, una fracción ordinaria de la forma m 1 tiene el significado de un número natural m . Esta afirmación sirve como justificación de la igualdad m 1 = m .

Escribamos la última igualdad así: m = m 1 . Nos dará la oportunidad de utilizar cualquier número natural en forma de fracción ordinaria. Por ejemplo, el número 74 es una fracción ordinaria de la forma 74 1 .

Definición 5

Cualquier número natural m puede escribirse como una fracción ordinaria, donde el denominador es uno: m 1 .

A su vez, cualquier fracción ordinaria de la forma m 1 puede ser representada por un número natural m .

Barra de fracción como signo de división

La representación anterior de un objeto dado como n partes no es más que una división en n partes iguales. Cuando un objeto se divide en n partes, tenemos la oportunidad de dividirlo en partes iguales entre n personas: todos obtienen su parte.

En el caso de que inicialmente tengamos m objetos idénticos (cada uno dividido en n partes), entonces estos m objetos pueden dividirse por igual entre n personas, dándole a cada uno una parte de cada uno de los m objetos. En este caso cada persona tendrá m acciones 1 n , ym acciones 1 n darán una fracción ordinaria m n . Por lo tanto, la fracción común m n puede usarse para representar la división de m artículos entre n personas.

El enunciado resultante establece una conexión entre las fracciones ordinarias y la división. Y esta relación se puede expresar de la siguiente manera : es posible significar la línea de una fracción como un signo de división, i.e. m/n=m:n.

Con la ayuda de una fracción ordinaria, podemos escribir el resultado de dividir dos números naturales. Por ejemplo, dividir 7 manzanas entre 10 personas se escribirá como 7 10: cada persona obtendrá siete décimas.

Fracciones comunes iguales y desiguales

La acción lógica es comparar fracciones ordinarias, porque es obvio que, por ejemplo, 1 8 de una manzana es diferente de 7 8 .

El resultado de comparar fracciones ordinarias puede ser: igual o desigual.

Definición 6

fracciones comunes iguales son fracciones ordinarias a b y c d , para las cuales se cumple la igualdad: a d = b c .

fracciones comunes desiguales- fracciones ordinarias a b y c d , para las cuales la igualdad: a · d = b · c no es cierta.

Un ejemplo de fracciones iguales: 1 3 y 4 12, ya que la igualdad 1 12 \u003d 3 4 es verdadera.

En el caso de que resulte que las fracciones no son iguales, generalmente también es necesario averiguar cuál de las fracciones dadas es menor y cuál es mayor. Para responder a estas preguntas, las fracciones ordinarias se comparan llevándolas a un denominador común y luego comparando los numeradores.

Números fraccionarios

Cada fracción es un registro de un número fraccionario, que en realidad es solo una “cáscara”, una visualización de la carga semántica. Pero aún así, por conveniencia, combinamos los conceptos de una fracción y un número fraccionario, simplemente hablando: una fracción.

Todos los números fraccionarios, como cualquier otro número, tienen su propia ubicación única en haz de coordenadas: existe una correspondencia biunívoca entre fracciones y puntos del rayo de coordenadas.

Para encontrar un punto en el rayo de coordenadas, que denota la fracción m n , es necesario posponer m segmentos en la dirección positiva desde el origen de coordenadas, la longitud de cada uno de los cuales será 1 n una fracción de un segmento unitario. Los segmentos se pueden obtener dividiendo un solo segmento en n partes idénticas.

Como ejemplo, denotemos el punto M en el rayo de coordenadas, que corresponde a la fracción 14 10 . La longitud del segmento, cuyos extremos es el punto O y el punto más cercano marcado con un pequeño trazo, es igual a 1 10 fracciones de la unidad de segmento. El punto correspondiente a la fracción 14 10 se encuentra a una distancia de 14 tales segmentos del origen.

Si las fracciones son iguales, es decir corresponden al mismo número fraccionario, entonces estas fracciones sirven como coordenadas del mismo punto en el rayo de coordenadas. Por ejemplo, las coordenadas en forma de fracciones iguales 1 3 , 2 6 , 3 9 , 5 15 , 11 33 corresponden a un mismo punto en el rayo de coordenadas, ubicado a una distancia de un tercio del segmento unitario, pospuesto desde el origen en la dirección positiva.

Aquí funciona el mismo principio que con los números enteros: en un rayo de coordenadas horizontal dirigido a la derecha, el punto al que corresponde la fracción grande se ubicará a la derecha del punto al que corresponde la fracción menor. Y viceversa: el punto cuya coordenada es la fracción menor se ubicará a la izquierda del punto que corresponde a la coordenada mayor.

Fracciones propias e impropias, definiciones, ejemplos.

La división de fracciones en propias e impropias se basa en la comparación del numerador y el denominador dentro de la misma fracción.

Definición 7

fracción propia es una fracción ordinaria en la que el numerador es menor que el denominador. Es decir, si la desigualdad m< n , то обыкновенная дробь m n является правильной.

Fracción impropia es una fracción cuyo numerador es mayor o igual que el denominador. Es decir, si la desigualdad indefinida es verdadera, entonces la fracción ordinaria m n es impropia.

He aquí algunos ejemplos: - fracciones propias:

Ejemplo 1

5 / 9 , 3 67 , 138 514 ;

Fracciones impropias:

Ejemplo 2

13 / 13 , 57 3 , 901 112 , 16 7 .

También es posible dar una definición de fracciones propias e impropias, basada en la comparación de una fracción con una unidad.

Definición 8

fracción propia es una fracción común que es menor que uno.

Fracción impropia es una fracción común igual o mayor que uno.

Por ejemplo, la fracción 8 12 es correcta, porque 8 12< 1 . Дроби 53 2 и 14 14 являются неправильными, т.к. 53 2 >1 y 14 14 = 1 .

Profundicemos un poco más en pensar por qué las fracciones en las que el numerador es mayor o igual que el denominador se llaman "impropias".

Considere la fracción impropia 8 8: nos dice que se toman 8 partes de un objeto que consta de 8 partes. Así, a partir de las ocho acciones disponibles, podemos componer un objeto completo, es decir. la fracción dada 8 8 representa esencialmente el objeto completo: 8 8 \u003d 1. Las fracciones en las que el numerador y el denominador son iguales reemplazan completamente al número natural 1.

Considere también las fracciones en las que el numerador excede al denominador: 11 5 y 36 3 . Está claro que la fracción 11 5 indica que podemos hacer dos objetos enteros con ella y todavía quedará una quinta parte. Aquellos. la fracción 11 5 es 2 objetos y otra 1 5 de ella. A su vez, 36 3 es una fracción, lo que esencialmente significa 12 objetos enteros.

Estos ejemplos nos permiten concluir que fracciones impropias es posible reemplazar con números naturales (si el numerador es divisible por el denominador sin resto: 8 8 \u003d 1; 36 3 \u003d 12) o la suma de un número natural y una fracción propia (si el numerador no es divisible por el denominador sin resto: 11 5 \u003d 2 + 1 5). Esta es probablemente la razón por la cual tales fracciones se llaman "impropias".

Aquí también nos encontramos con una de las habilidades numéricas más importantes.

Definición 9

Extrayendo la parte entera de una fracción impropia es una fracción impropia escrita como la suma de un número natural y una fracción propia.

También tenga en cuenta que existe una estrecha relación entre las fracciones impropias y los números mixtos.

Fracciones positivas y negativas

Arriba dijimos que cada fracción ordinaria corresponde a un número fraccionario positivo. Aquellos. fracciones ordinarias son fracciones positivas. Por ejemplo, las fracciones 5 17 , 6 98 , 64 79 son positivas, y cuando es necesario enfatizar la "positividad" de una fracción, se escribe con un signo más: + 5 17 , + 6 98 , + 64 79 .

Si asignamos un signo menos a una fracción ordinaria, entonces el registro resultante será un registro de un número fraccionario negativo, y en este caso estamos hablando de fracciones negativas. Por ejemplo, - 8 17 , - 78 14 etc.

Las fracciones positivas y negativas m n y - m n son números opuestos, por ejemplo, las fracciones 7 8 y - 7 8 son opuestas.

Las fracciones positivas, como cualquier número positivo en general, significan una suma, un cambio hacia arriba. A su vez, las fracciones negativas corresponden al consumo, un cambio en la dirección de la disminución.

Si consideramos la línea de coordenadas, veremos que las fracciones negativas se ubican a la izquierda del punto de referencia. Los puntos a los que corresponden las fracciones, que son opuestos (m n y -m n), se encuentran a la misma distancia del origen de las coordenadas O, pero a lo largo lados diferentes de ella.

Aquí también hablamos por separado de fracciones escritas en la forma 0 n . Tal fracción es igual a cero, es decir 0 norte = 0 .

Resumiendo todo lo anterior, hemos llegado al concepto más importante de los números racionales.

Definición 10

Numeros racionales es un conjunto de fracciones positivas, fracciones negativas y fracciones de la forma 0 n .

Acciones con fracciones

Hagamos una lista de las operaciones básicas con fracciones. En general, su esencia es la misma que las correspondientes operaciones con números naturales.

1. Comparación de fracciones: discutimos esta acción anteriormente.
2. Suma de fracciones: el resultado de sumar fracciones ordinarias es una fracción ordinaria (en un caso particular, reducida a un número natural).
3. La resta de fracciones es una acción, lo opuesto a la suma, cuando se determina una fracción desconocida a partir de una fracción conocida y una suma dada de fracciones.
4. Multiplicación de fracciones: esta acción se puede describir como encontrar una fracción a partir de una fracción. El resultado de multiplicar dos fracciones ordinarias es una fracción ordinaria (en un caso particular, igual a un número natural).
5. División de fracciones - acción, recíproco de la multiplicación, cuando determinamos la fracción por la que es necesario multiplicar la dada para obtener un producto conocido de dos fracciones.

Si nota un error en el texto, resáltelo y presione Ctrl+Enter

Una parte de una unidad o varias de sus partes se llama fracción simple u ordinaria. El número de partes iguales en que se divide la unidad se llama denominador, y el número de partes que se toman se llama numerador. La fracción se escribe como:

En este caso, a es el numerador, b es el denominador.

Si el numerador es menor que el denominador, entonces la fracción es menor que 1 y se llama fracción propia. Si el numerador es mayor que el denominador, entonces la fracción es mayor que 1, entonces la fracción se llama fracción impropia.

Si el numerador y el denominador de una fracción son iguales, entonces la fracción es igual.

1. Si el numerador se puede dividir por el denominador, entonces esta fracción es igual al cociente de la división:

Si la división se realiza con resto, entonces esta fracción impropia se puede representar mediante un número mixto, por ejemplo:

Entonces 9 es un cociente incompleto (la parte entera del número mixto),
1 - resto (numerador de la parte fraccionaria),
5 es el denominador.

Para convertir un número mixto en una fracción, multiplica la parte entera del número mixto por el denominador y suma el numerador de la parte fraccionaria.

El resultado obtenido será el numerador de una fracción ordinaria, y el denominador seguirá siendo el mismo.

Acciones con fracciones

Expansión de fracciones. El valor de una fracción no cambia si su numerador y denominador se multiplican por el mismo número distinto de cero.
Por ejemplo:

Reducción de fracciones. El valor de una fracción no cambia si su numerador y denominador se dividen por el mismo número distinto de cero.
Por ejemplo:

Comparación de fracciones. De dos fracciones con el mismo numerador, la mayor es la que tiene el menor denominador:

De dos fracciones con el mismo denominador, la que tiene el numerador más grande es mayor:

Para comparar fracciones que tienen diferentes numeradores y denominadores, es necesario expandirlas, es decir, llevarlas a un denominador común. Considere, por ejemplo, las siguientes fracciones:

Suma y resta de fracciones. Si los denominadores de las fracciones son iguales, entonces para sumar las fracciones, es necesario sumar sus numeradores, y para restar las fracciones, es necesario restar sus numeradores. La suma o diferencia resultante será el numerador del resultado, mientras que el denominador seguirá siendo el mismo. Si los denominadores de las fracciones son diferentes, primero debes reducir las fracciones a un denominador común. Al sumar números mixtos, sus partes enteras y fraccionarias se suman por separado. Al restar números mixtos, primero debe convertirlos a la forma de fracciones impropias, luego restar unos de otros y luego llevar el resultado, si es necesario, a la forma de un número mixto.

Multiplicación de fracciones. Para multiplicar fracciones, necesitas multiplicar sus numeradores y denominadores por separado y dividir el primer producto por el segundo.

división de fracciones. Para dividir un número por una fracción, debes multiplicar ese número por su recíproco.

Decimal es el resultado de dividir uno entre diez, cien, mil, etc. partes. Primero se escribe la parte entera del número, luego se coloca el punto decimal a la derecha. El primer dígito después del punto decimal significa el número de décimas, el segundo - el número de centésimos, el tercero - el número de milésimas, etc. Los números después del punto decimal se llaman lugares decimales.

Por ejemplo:

Propiedades decimales

Propiedades:

• La fracción decimal no cambia si se agregan ceros a la derecha: 4.5 = 4.5000.
• La fracción decimal no cambia si se eliminan los ceros ubicados al final de la fracción decimal: 0.0560000 = 0.056.
• El decimal aumenta en 10, 100, 1000, etc. veces, si mueve el punto decimal a uno, dos, tres, etc. posiciones a la derecha: 4.5 45 (la fracción ha aumentado 10 veces).
• El decimal se reduce en 10, 100, 1000, etc. veces, si mueve el punto decimal a uno, dos, tres, etc. posiciones a la izquierda: 4,5 0,45 (la fracción ha disminuido 10 veces).

Un decimal periódico contiene un grupo de dígitos que se repite infinitamente llamado período: 0.321321321321…=0,(321)

Operaciones con decimales

La suma y resta de decimales se realiza de la misma forma que la suma y resta de números enteros, solo se necesita escribir los decimales correspondientes uno debajo del otro.
Por ejemplo:

La multiplicación de fracciones decimales se lleva a cabo en varias etapas:

• Multiplicar decimales como números enteros, ignorando el punto decimal.
• Se aplica la regla: el número de lugares decimales en el producto es igual a la suma de los lugares decimales en todos los factores.

Por ejemplo:

La suma de los números de lugares decimales en los factores es: 2+1=3. Ahora necesita contar 3 dígitos desde el final del número resultante y poner un punto decimal: 0.675.

División de decimales. Dividir un decimal por un entero: si el dividendo menos divisor, entonces necesitas escribir cero en la parte entera del cociente y poner un punto decimal después. Luego, sin tener en cuenta el punto decimal del dividendo, sume el siguiente dígito de la parte fraccionaria a su parte entera y vuelva a comparar la parte entera resultante del dividendo con el divisor. Si el nuevo número es nuevamente menor que el divisor, se debe repetir la operación. Este proceso se repite hasta que el dividendo resultante sea mayor que el divisor. Después de eso, la división se realiza como para números enteros. Si el dividendo es mayor o igual que el divisor, primero dividimos su parte entera, escribimos el resultado de la división en el cociente y ponemos punto decimal. Después de eso, la división continúa, como en el caso de los números enteros.

Dividir una fracción decimal en otra: primero, los puntos decimales en el dividendo y el divisor se transfieren por el número de decimales en el divisor, es decir, hacemos que el divisor sea un número entero y se realizan las acciones descritas anteriormente.

Para convertir una fracción decimal en una ordinaria, es necesario tomar el número después del punto decimal como numerador, y tomar la k-ésima potencia de diez como denominador (k es el número de lugares decimales). La parte entera distinta de cero se conserva en la fracción común; se omite la parte entera cero.
Por ejemplo:

Para convertir una fracción ordinaria a un decimal, es necesario dividir el numerador por el denominador de acuerdo con las reglas de división.

Un porcentaje es la centésima parte de una unidad, por ejemplo: 5% significa 0,05. Una razón es el cociente de dividir un número por otro. La proporción es la igualdad de dos razones.

Por ejemplo:

La propiedad principal de la proporción: el producto de los miembros extremos de la proporción es igual al producto de sus miembros medios, es decir, 5x30 = 6x25. Dos cantidades mutuamente dependientes se llaman proporcionales si la relación de sus cantidades permanece sin cambios (coeficiente de proporcionalidad).

Así, se revelan las siguientes operaciones aritméticas.
Por ejemplo:

El conjunto de los números racionales incluye los números positivos y negativos (enteros y fraccionarios) y el cero. Más definición precisa números racionales, aceptados en matemáticas, los siguientes: un número se llama racional si se puede representar como una fracción irreducible ordinaria de la forma:, donde a y b son números enteros.

Para numero negativo el valor absoluto (módulo) es un número positivo que se obtiene cambiando su signo de "-" a "+"; por numero positivo y cero es el número en sí. Para designar el módulo de un número se utilizan dos rectas, dentro de las cuales se escribe dicho número, por ejemplo: |–5|=5.

Propiedades de valor absoluto

Sea el módulo de un número , para el cual las propiedades son válidas:

Un monomio es el producto de dos o más factores, cada uno de los cuales es un número, una letra o la potencia de una letra: 3 x a x b. El coeficiente se llama más a menudo sólo un factor numérico. Se dice que los monomios son similares si son iguales o difieren solo en los coeficientes. El grado de un monomio es la suma de los exponentes de todas sus letras. Si hay similares entre la suma de monomios, entonces la suma se puede reducir a más vista simple: 3 x a x b + 6 x a \u003d 3 x a x (b + 2). Esta operación se denomina coerción de términos semejantes o paréntesis.

Un polinomio es una suma algebraica de monomios. El grado de un polinomio es el mayor de los grados de los monomios incluidos en el polinomio dado.

Existen las siguientes fórmulas para la multiplicación abreviada:

Métodos de factorización:

Una fracción algebraica es una expresión de la forma , donde A y B pueden ser un número, un monomio, un polinomio.

Si dos expresiones (numérica y alfabética) están conectadas por el signo "=", se dice que forman la igualdad. Toda igualdad verdadera, válida para todos los valores numéricos admisibles de las letras incluidas en ella, se denomina identidad.

Una ecuación es una igualdad literal que es válida para ciertos valores de las letras incluidas en ella. Estas letras se denominan incógnitas (variables) y sus valores, en los que la ecuación dada se convierte en identidad, se denominan raíces de la ecuación.

Resolver una ecuación significa encontrar todas sus raíces. Se dice que dos o más ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas raíces.

• cero era la raíz de la ecuación;
• La ecuación solo tiene un número finito de raíces.

Principales tipos de ecuaciones algebraicas:

La ecuación lineal tiene ax + b = 0:

• si a x 0, hay una sola raíz x = -b/a;
• si a = 0, b ≠ 0, sin raíces;
• si a = 0, b = 0, la raíz es cualquier número real.

Ecuación xn = a, n N:

• si n es un número impar, tiene una raíz real igual a/n para cualquier a;
• si n es un número par, entonces para un 0, entonces tiene dos raíces.

Principal transformaciones idénticas: reemplazo de una expresión por otra, idénticamente igual a ella; transferencia de los términos de la ecuación de un lado al otro con signos opuestos; multiplicación o división de ambas partes de la ecuación por la misma expresión (número) distinta de cero.

Una ecuación lineal con una incógnita es una ecuación de la forma: ax+b=0, donde a y b son números conocidos yx es un valor desconocido.

Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas tienen la forma:

Donde a, b, c, d, e, f son números dados; x, y son desconocidos.

Números a, b, c, d - coeficientes para incógnitas; e, f - miembros libres. La solución a este sistema de ecuaciones se puede encontrar por dos métodos principales: el método de sustitución: de una ecuación expresamos una de las incógnitas a través de los coeficientes y la otra incógnita, y luego la sustituimos en la segunda ecuación, resolviendo la última ecuación , primero encontramos una incógnita, luego sustituimos el valor encontrado en la primera ecuación y encontramos la segunda incógnita; método de sumar o restar una ecuación de otra.

Operaciones con raíces:

Aritmética la raiz de la enésima grado de un número no negativo a se llama un número no negativo, enésimo grado que es igual a a. raíz algebraica enésimo grado de un número dado, se llama al conjunto de todas las raíces de ese número.

Los números irracionales, a diferencia de los racionales, no pueden representarse como una fracción irreducible ordinaria de la forma m/n, donde m y n son números enteros. Estos son números de un nuevo tipo que pueden calcularse con cierta precisión, pero no pueden ser reemplazados por un número racional. Pueden aparecer como resultado de medidas geométricas, por ejemplo: la relación entre la longitud de la diagonal de un cuadrado y la longitud de su lado es igual.

Una ecuación cuadrática es una ecuación algebraica de segundo grado ax2+bx+c=0, donde a, b, c son coeficientes numéricos o alfabéticos dados, x es una incógnita. Si dividimos todos los términos de esta ecuación por a, obtenemos como resultado x2+px+q=0 - la ecuación reducida p=b/a, q=c/a. Sus raíces se encuentran por la fórmula:

Si b2-4ac>0 entonces hay dos raíces distintas, b2-4ac=0 entonces hay dos raíces iguales; b2-4ac Ecuaciones que contienen módulos

Principales tipos de ecuaciones que contienen módulos:
1) |f(x)| = |g(x)|;
2) |f(x)| = g(x);
3) f1(x)|g1(x)| + f2(x)|g2(x)| + … + fn(x)|gn(x)| =0, n N, donde f(x), g(x), fk(x), gk(x) son funciones dadas.

En matemáticas, una fracción es un número que consta de una o más partes (fracciones) de una unidad. Según la forma de escritura, las fracciones se dividen en ordinarias (ejemplo \frac (5) (8)) y decimales (por ejemplo, 123,45).

Definición. Fracción ordinaria (o fracción simple)

Fracción ordinaria (simple) es un número de la forma \pm\frac(m)(n) donde m y n son números naturales. El número m se llama numerador esta fracción, y el número n es su denominador.

Una barra diagonal o horizontal indica un signo de división, es decir, \frac(m)(n)=()^m/n=m:n

Las fracciones ordinarias se dividen en dos tipos: propias e impropias.

Definición. Fracciones propias e impropias

Correcto Se llama fracción si el módulo del numerador es menor que el módulo del denominador. Por ejemplo, \frac(9)(11) , porque 9

Equivocado Se llama fracción si el módulo del numerador es mayor o igual que el módulo del denominador. Esta fracción es número racional, módulo mayor o igual a uno. Un ejemplo serían las fracciones \frac(11)(2) , \frac(2)(1) , -\frac(7)(5) , \frac(1)(1)

Junto con una fracción impropia, existe otra notación para un número, que se llama fracción mixta (número mixto). Tal fracción no es ordinaria.

Definición. fracción mixta(numero mixto)

fracción mixta Se llama fracción a la que se escribe como un número entero y una fracción propia y se entiende como la suma de este número y una fracción. Por ejemplo, 2\frac(5)(7)

(escrito como un número mixto) 2\frac(5)(7)=2+\frac(5)(7)=\frac(14)(7)+\frac(5)(7)=\frac(19) )(7) (no escrito como fracción impropia)

Una fracción es solo una representación de un número. El mismo número puede corresponder diferentes fracciones, tanto ordinarias como decimales. Formemos un signo de igualdad de dos fracciones ordinarias.

Definición. Signo de igualdad de fracciones

Las dos fracciones \frac(a)(b) y \frac(c)(d) son igual, si a\cdot d=b\cdot c . Por ejemplo, \frac(2)(3)=\frac(8)(12) ya que 2\cdot12=3\cdot8

De signo especificado sigue la propiedad básica de una fracción.

Propiedad. Propiedad básica de una fracción

Si el numerador y el denominador de una fracción dada se multiplican o dividen por el mismo número que no es igual a cero, entonces se obtendrá una fracción igual a la dada.

\frac(A)(B)=\frac(A\cdot C)(B\cdot C)=\frac(A:K)(B:K);\quad C \ne 0,\quad K \ne 0

Usando la propiedad básica de una fracción, puedes reemplazar una fracción dada con otra fracción igual a la dada, pero con un numerador y un denominador más pequeños. Esta sustitución se llama reducción de fracciones. Por ejemplo, \frac(12)(16)=\frac(6)(8)=\frac(3)(4) (aquí el numerador y el denominador se dividen primero por 2 y luego por 2 más). Una fracción puede reducirse si y solo si su numerador y denominador no son mutuamente excluyentes. números primos. Si el numerador y el denominador de una fracción dada son coprimos, entonces la fracción no se puede reducir, por ejemplo, \frac(3)(4) es una fracción irreducible.

Reglas para fracciones positivas:

De dos fracciones con los mismos denominadores mayor es la fracción cuyo numerador es mayor. Por ejemplo \frac(3)(15)

De dos fracciones con los mismos numeradores mayor es la fracción cuyo denominador es menor. Por ejemplo, \frac(4)(11)>\frac(4)(13) .

Para comparar dos fracciones con diferentes numeradores y denominadores, debes convertir ambas fracciones para que sus denominadores sean iguales. Esta transformación se llama reducción de fracciones a un denominador común.

fracciones

¡Atención!
Hay adicionales
material en la Sección Especial 555.
Para aquellos que fuertemente "no muy..."
Y para los que "mucho...")

Las fracciones en la secundaria no son muy molestas. Siendo por el momento. Hasta que te encuentras con exponentes con exponentes racionales y logaritmos. Y ahí…. Presionas, presionas la calculadora, y te muestra todo el marcador completo de algunos números. Tienes que pensar con la cabeza, como en tercer grado.

¡Tratemos con las fracciones, finalmente! Bueno, ¿¡cuánto puedes confundirte con ellos!? Además, todo es simple y lógico. Asi que, ¿Qué son las fracciones?

Tipos de fracciones. Transformaciones.

Las fracciones suceden tres tipos.

1. fracciones comunes , por ejemplo:

A veces, en lugar de una línea horizontal, ponen una barra oblicua: 1/2, 3/4, 19/5, bueno, etc. Aquí usaremos a menudo esta ortografía. El número de arriba se llama numerador, más bajo - denominador. Si constantemente confunde estos nombres (sucede ...), dígase la frase con la expresión: " Zzzzz¡recuerda! Zzzzz denominador - fuera zzzz u!" Mira, todo será recordado.)

Un guión, que es horizontal, que es oblicuo, significa división número de arriba (numerador) al número de abajo (denominador). ¡Y eso es! En lugar de un guión, es muy posible colocar un signo de división: dos puntos.

Cuando la división es posible por completo, debe hacerse. Entonces, en lugar de la fracción "32/8", es mucho más agradable escribir el número "4". Aquellos. 32 se divide simplemente por 8.

32/8 = 32: 8 = 4

No estoy hablando de la fracción "4/1". Que también es solo "4". Y si no se divide por completo, lo dejamos como una fracción. A veces hay que hacer lo contrario. Hacer una fracción de un número entero. Pero más sobre eso más adelante.

2. decimales , por ejemplo:

Es de esta forma que será necesario escribir las respuestas a las tareas "B".

3. Numeros mezclados , por ejemplo:

Los números mixtos prácticamente no se usan en la escuela secundaria. Para poder trabajar con ellos, deben convertirse a fracciones ordinarias. ¡Pero definitivamente necesitas saber cómo hacerlo! Y luego, ese número aparecerá en el rompecabezas y colgará ... Desde cero. ¡Pero recordamos este procedimiento! Un poco más bajo.

Más versátil fracciones comunes. Comencemos con ellos. Por cierto, si hay todo tipo de logaritmos, senos y otras letras en la fracción, esto no cambia nada. En el sentido de que todo las acciones con expresiones fraccionarias no son diferentes de las acciones con fracciones ordinarias!

Propiedad básica de una fracción.

¡Entonces vamos! En primer lugar, te sorprenderé. ¡Toda la variedad de transformaciones de fracciones es proporcionada por una sola propiedad! así se llama propiedad básica de una fracción. Recuerda: Si el numerador y el denominador de una fracción se multiplican (dividen) por el mismo número, la fracción no cambiará. Aquellos:

Está claro que puedes escribir más, hasta que estés azul en la cara. No dejes que los senos y los logaritmos te confundan, los trataremos más adelante. Lo principal que hay que entender es que todas estas diversas expresiones son la misma fracción . 2/3.

¿Y lo necesitamos, todas estas transformaciones? ¡Y cómo! Ahora lo verás por ti mismo. Primero, usemos la propiedad básica de una fracción para abreviaturas de fracciones. Parecería que la cosa es elemental. Dividimos el numerador y el denominador por el mismo número y ¡listo! ¡Es imposible equivocarse! Pero... el hombre es un ser creativo. ¡Puedes cometer errores en todas partes! Especialmente si tiene que reducir no una fracción como 5/10, sino una expresión fraccionaria con todo tipo de letras.

Puede encontrar cómo reducir fracciones de manera correcta y rápida sin hacer un trabajo innecesario en la Sección especial 555.

¡Un estudiante normal no se molesta en dividir el numerador y el denominador por el mismo número (o expresión)! ¡Simplemente tacha todo lo mismo desde arriba y desde abajo! Aquí es donde se esconde error tipico, disparate si quieres.

Por ejemplo, necesitas simplificar la expresión:

¡No hay nada que pensar, tachamos la letra "a" de arriba y el dos de abajo! Obtenemos:

Todo es correcto. Pero realmente compartiste El conjunto numerador y El conjunto denominador "a". Si está acostumbrado a simplemente tachar, entonces, rápidamente, puede tachar la "a" en la expresión

y obtener de nuevo

Lo cual sería categóricamente incorrecto. porque aquí El conjunto numerador en "a" ya no compartido! Esta fracción no se puede reducir. Por cierto, tal abreviatura es, um... un serio desafío para el maestro. ¡Esto no se perdona! ¿Recuerda? Al reducir, es necesario dividir El conjunto numerador y El conjunto ¡denominador!

Reducir fracciones hace la vida mucho más fácil. Obtendrá una fracción en alguna parte, por ejemplo 375/1000. ¿Y cómo trabajar con ella ahora? ¿Sin calculadora? ¿¡Multiplicar, decir, sumar, cuadrar!? Y si no eres demasiado perezoso, pero reduce con cuidado en cinco, e incluso en cinco, e incluso ... mientras se reduce, en resumen. ¡Obtenemos 3/8! Mucho más agradable, ¿verdad?

La propiedad básica de una fracción le permite convertir fracciones ordinarias a decimales y viceversa sin calculadora! Esto es importante para el examen, ¿verdad?

Cómo convertir fracciones de una forma a otra.

Es fácil con decimales. ¡Como se oye, así se escribe! Digamos 0,25. Es punto cero, veinticinco centésimas. Entonces escribimos: 25/100. Reducimos (dividemos el numerador y el denominador por 25), obtenemos la fracción habitual: 1/4. Todo. Sucede, y nada se reduce. Como 0.3. Esto es tres décimas, es decir, 3/10.

¿Qué pasa si los números enteros son distintos de cero? Está bien. Escribe la fracción entera sin comas en el numerador y en el denominador, lo que se escucha. Por ejemplo: 3.17. Esto es tres enteros, diecisiete centésimas. En el numerador escribimos 317 y en el denominador 100. Obtenemos 317/100. Nada se reduce, eso significa todo. Esta es la respuesta. ¡Watson elemental! De todo lo anterior, una conclusión útil: cualquier fracción decimal se puede convertir en una fracción común .

Pero la conversión inversa, ordinaria a decimal, algunos no pueden prescindir de una calculadora. ¡Pero debes hacerlo! ¿¡Cómo vas a escribir la respuesta en el examen!? Leemos cuidadosamente y dominamos este proceso.

¿Qué es una fracción decimal? ella tiene en el denominador siempre vale 10 o 100 o 1000 o 10000 y así sucesivamente. Si tu fracción habitual tiene ese denominador, no hay problema. Por ejemplo, 4/10 = 0,4. O 7/100 = 0,07. O 12/10 = 1,2. ¿Y si en la respuesta a la tarea de la sección "B" resultó 1/2? ¿Qué escribiremos en respuesta? Se requieren decimales...

Recordamos propiedad básica de una fracción ! Las matemáticas te permiten multiplicar favorablemente el numerador y el denominador por el mismo número. Para cualquiera, por cierto! Excepto cero, por supuesto. ¡Usemos esta función a nuestro favor! ¿Por qué se puede multiplicar el denominador, es decir, 2 para que se convierta en 10, o 100, o 1000 (más pequeño es mejor, por supuesto...)? 5, obviamente. Siéntete libre de multiplicar el denominador (esto es a nosotros necesario) por 5. Pero, entonces el numerador también debe ser multiplicado por 5. Esto ya es matemáticas¡demandas! Obtenemos 1/2 \u003d 1x5 / 2x5 \u003d 5/10 \u003d 0.5. Eso es todo.

Sin embargo, todo tipo de denominadores aparecen. Por ejemplo, la fracción 3/16 caerá. Pruébelo, descubra por qué multiplicar 16 para obtener 100 o 1000... ¿No funciona? Entonces simplemente puedes dividir 3 entre 16. A falta de una calculadora, tendrás que dividir en una esquina, en una hoja de papel, como enseñaban en los grados de primaria. Obtenemos 0.1875.

Y hay algunos denominadores muy malos. Por ejemplo, la fracción 1/3 no se puede convertir en un buen decimal. Tanto en una calculadora como en una hoja de papel, obtenemos 0.3333333... Esto significa que 1/3 en una fracción decimal exacta no traduce. Al igual que 1/7, 5/6 y así sucesivamente. Muchos de ellos son intraducibles. De ahí otra conclusión útil. No todas las fracciones comunes se convierten en decimales. !

Por cierto, esto información útil para autodiagnóstico. En la sección "B" en respuesta, debe escribir una fracción decimal. Y tienes, por ejemplo, 4/3. Esta fracción no se convierte a decimal. ¡Esto significa que en algún momento cometiste un error! Vuelve, comprueba la solución.

Entonces, con las fracciones ordinarias y decimales resueltas. Queda por tratar con números mixtos. Para trabajar con ellos, todos deben convertirse a fracciones ordinarias. ¿Cómo hacerlo? Puedes atrapar a un alumno de sexto grado y preguntarle. Pero no siempre habrá un alumno de sexto grado a la mano ... Tendremos que hacerlo nosotros mismos. Esto no es difícil. Multiplica el denominador de la parte fraccionaria por la parte entera y suma el numerador de la parte fraccionaria. Este será el numerador de una fracción común. ¿Qué pasa con el denominador? El denominador seguirá siendo el mismo. Suena complicado, pero en realidad es bastante simple. Veamos un ejemplo.

Deja en el problema que viste con horror el número:

Con calma, sin pánico, entendemos. La parte entera es 1. Uno. La parte fraccionaria es 3/7. Por tanto, el denominador de la parte fraccionaria es 7. Este denominador será el denominador de la fracción ordinaria. Contamos el numerador. Multiplicamos 7 por 1 (la parte entera) y sumamos 3 (el numerador de la parte fraccionaria). Obtenemos 10. Este será el numerador de una fracción ordinaria. Eso es todo. Parece aún más simple en notación matemática:

¿Claramente? ¡Entonces asegure su éxito! Convierte a fracciones comunes. Debería obtener 10/7, 7/2, 23/10 y 21/4.

La operación inversa, convertir una fracción impropia en un número mixto, rara vez se requiere en la escuela secundaria. Bueno, si... Y si no estás en la escuela secundaria, puedes buscar en la Sección 555 especial. En el mismo lugar, por cierto, aprenderás sobre fracciones impropias.

Bueno, casi todo. Recordaste los tipos de fracciones y entendiste cómo convertirlos de un tipo a otro. La pregunta sigue siendo: por qué ¿hazlo? ¿Dónde y cuándo aplicar este profundo conocimiento?

Contesto. Cualquier ejemplo sugiere acciones necesarias. Si en el ejemplo fracciones ordinarias, decimales e incluso Numeros mezclados, convertimos todo en fracciones ordinarias. siempre se puede hacer. Bueno, si se escribe algo como 0.8 + 0.3, entonces creemos que sí, sin ninguna traducción. ¿Por qué necesitamos trabajo extra? Elegimos la solución que sea conveniente a nosotros !

Si la tarea está llena de fracciones decimales, pero um ... algún tipo de maldad, ve a las ordinarias, ¡pruébalo! Mira, todo estará bien. Por ejemplo, tienes que elevar al cuadrado el número 0,125. ¡No es tan fácil si no has perdido el hábito de la calculadora! ¡No solo necesita multiplicar los números en una columna, sino también pensar dónde insertar la coma! ¡Ciertamente no funciona en mi mente! ¿Y si vas a una fracción ordinaria?

0,125 = 125/1000. Reducimos en 5 (esto es para empezar). Obtenemos 25/200. Una vez más en 5. Obtenemos 5/40. ¡Oh, se está encogiendo! ¡De vuelta a 5! Obtenemos 1/8. Cuadre fácilmente (¡en su mente!) y obtenga 1/64. ¡Todo!

Resumamos esta lección.

1. Hay tres tipos de fracciones. Números ordinarios, decimales y mixtos.

2. Decimales y números mixtos siempre se puede convertir a fracciones comunes. Traducción inversa no siempre disponible.

3. La elección del tipo de fracciones para trabajar con la tarea depende de esta misma tarea. En la presencia de diferentes tipos fracciones en una tarea, lo más confiable es cambiar a fracciones ordinarias.

Ahora puedes practicar. Primero, convierte estas fracciones decimales a fracciones ordinarias:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Debería obtener respuestas como esta (¡en un lío!):

Sobre esto terminaremos. En esta lección, refrescamos nuestra memoria puntos clave por fracciones Sucede, sin embargo, que no hay nada especial para refrescar...) Si alguien lo ha olvidado por completo, o aún no lo ha dominado... Esos pueden ir a una Sección 555 especial. Todos los conceptos básicos están detallados allí. muchos de repente entender todo están empezando. Y resuelven fracciones sobre la marcha).

Si te gusta este sitio...

Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).

Puedes practicar la resolución de ejemplos y averiguar tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendiendo - ¡con interés!)

puede familiarizarse con funciones y derivadas.

Este artículo es sobre fracciones comunes. Aquí nos familiarizaremos con el concepto de fracción de un todo, lo que nos llevará a la definición de fracción ordinaria. A continuación, nos detendremos en la notación aceptada para fracciones ordinarias y daremos ejemplos de fracciones, por ejemplo, sobre el numerador y el denominador de una fracción. Después de eso, daremos definiciones de fracciones correctas e incorrectas, positivas y negativas, y también consideraremos la posición de los números fraccionarios en el rayo de coordenadas. En conclusión, enumeramos las principales acciones con fracciones.

Navegación de página.

acciones del todo

Primero introducimos compartir concepto.

Supongamos que tenemos algún objeto formado por varias partes absolutamente idénticas (es decir, iguales). Para mayor claridad, puedes imaginar, por ejemplo, una manzana cortada en varias partes iguales, o una naranja, que consta de varias rodajas iguales. Cada una de estas partes iguales que componen el objeto entero se llama parte del todo o simplemente Comparte.

Tenga en cuenta que las acciones son diferentes. Expliquemos esto. Digamos que tenemos dos manzanas. Partamos la primera manzana en dos partes iguales y la segunda en 6 partes iguales. Está claro que la parte de la primera manzana será diferente de la parte de la segunda manzana.

Dependiendo del número de acciones que componen el objeto completo, estas acciones tienen sus propios nombres. analicemos compartir nombres. Si el objeto consta de dos partes, cualquiera de ellas se denomina segunda parte del todo; si el objeto consta de tres partes, entonces cualquiera de ellas se llama una tercera parte, y así sucesivamente.

Un segundo tiempo tiene un nombre especial - mitad. Un tercio se llama tercera, y uno cuádruple - cuarto.

En aras de la brevedad, lo siguiente designaciones de acciones. Una segunda parte se designa como o 1/2, una tercera parte - como o 1/3; una cuarta parte - como o 1/4, y así sucesivamente. Tenga en cuenta que la notación con una barra horizontal se usa con más frecuencia. Para consolidar el material, demos un ejemplo más: la entrada denota ciento sesenta y siete del total.

El concepto de acción se extiende naturalmente desde los objetos hasta las magnitudes. Por ejemplo, una de las medidas de longitud es el metro. Para medir longitudes menores a un metro, se pueden usar fracciones de un metro. Así que puedes usar, por ejemplo, medio metro o una décima o milésima de metro. Las cuotas de otras cantidades se aplican de forma similar.

Fracciones comunes, definición y ejemplos de fracciones.

Para describir el número de acciones se utilizan fracciones comunes. Pongamos un ejemplo que nos permitirá acercarnos a la definición de fracciones ordinarias.

Deje que una naranja conste de 12 partes. Cada acción en este caso representa una doceava parte de una naranja entera, es decir, . Denotemos dos tiempos como , tres tiempos como , y así sucesivamente, 12 tiempos como . Cada una de estas entradas se llama fracción ordinaria.

Ahora vamos a dar un general definición de fracciones comunes.

La definición expresada de fracciones ordinarias nos permite traer ejemplos de fracciones comunes: 5/10 , , 21/1 , 9/4 , . Y aquí están los registros. no se ajustan a la definición expresada de fracciones ordinarias, es decir, no son fracciones ordinarias.

Numerador y denominador

Por conveniencia, en fracciones ordinarias distinguimos numerador y denominador.

Definición.

Numerador fracción ordinaria (m/n) es un número natural m.

Definición.

Denominador fracción ordinaria (m/n) es un número natural n.

Entonces, el numerador está ubicado arriba de la barra de fracciones (a la izquierda de la barra oblicua), y el denominador está debajo de la barra de fracciones (a la derecha de la barra oblicua). Por ejemplo, tomemos una fracción ordinaria 17/29, el numerador de esta fracción es el número 17 y el denominador es el número 29.

Queda por discutir el significado contenido en el numerador y el denominador de una fracción ordinaria. El denominador de la fracción muestra de cuántas acciones consta un artículo, el numerador, a su vez, indica el número de dichas acciones. Por ejemplo, el denominador 5 de la fracción 12/5 significa que un artículo consta de cinco partes, y el numerador 12 significa que se toman 12 de esas partes.

Número natural como fracción con denominador 1

El denominador de una fracción ordinaria puede ser igual a uno. En este caso, podemos suponer que el objeto es indivisible, en otras palabras, es algo completo. El numerador de tal fracción indica cuántos elementos enteros se toman. Así, una fracción ordinaria de la forma m/1 tiene el significado de un número natural m. Así comprobamos la igualdad m/1=m .

Reescribamos la última igualdad así: m=m/1 . Esta igualdad nos permite representar cualquier número natural m como una fracción ordinaria. Por ejemplo, el número 4 es la fracción 4/1 y el número 103498 es la fracción 103498/1.

Asi que, cualquier número natural m se puede representar como una fracción ordinaria con denominador 1 como m/1, y cualquier fracción ordinaria de la forma m/1 se puede reemplazar por un número natural m.

Barra de fracción como signo de división

La representación del objeto original en forma de n partes no es más que una división en n partes iguales. Después de dividir el artículo en n acciones, podemos dividirlo en partes iguales entre n personas; cada una recibirá una acción.

Si inicialmente tenemos m objetos idénticos, cada uno de los cuales se divide en n acciones, entonces podemos dividir igualmente estos m objetos entre n personas, dando a cada persona una parte de cada uno de los m objetos. En este caso, cada persona tendrá m acciones 1/n, ym acciones 1/n da una fracción ordinaria m/n. Por tanto, la fracción común m/n se puede utilizar para representar la división de m elementos entre n personas.

Entonces obtuvimos una conexión explícita entre las fracciones ordinarias y la división (ver la idea general de la división de números naturales). Esta relación se expresa de la siguiente manera: La barra de una fracción se puede entender como un signo de división, es decir, m/n=m:n.

Con la ayuda de una fracción ordinaria, puede escribir el resultado de dividir dos números naturales para los cuales la división no se realiza por un número entero. Por ejemplo, el resultado de dividir 5 manzanas entre 8 personas se puede escribir como 5/8, es decir, cada uno obtendrá cinco octavos de manzana: 5:8=5/8.

Fracciones ordinarias iguales y desiguales, comparación de fracciones

Una acción bastante natural es comparación de fracciones comunes, porque es claro que 1/12 de una naranja es diferente de 5/12, y 1/6 de una manzana es lo mismo que los otros 1/6 de esta manzana.

Como resultado de comparar dos fracciones ordinarias, se obtiene uno de los resultados: las fracciones son iguales o no iguales. En el primer caso tenemos fracciones comunes iguales, y en el segundo fracciones comunes desiguales. Demos una definición de fracciones ordinarias iguales y desiguales.

Definición.

igual, si la igualdad a d=b c es verdadera.

Definición.

Dos fracciones comunes a/b y c/d no es igual, si no se cumple la igualdad a d=b c.

Estos son algunos ejemplos de fracciones iguales. Por ejemplo, la fracción común 1/2 es igual a la fracción 2/4, ya que 1 4=2 2 (si es necesario, consulte las reglas y ejemplos de multiplicación de números naturales). Para mayor claridad, puede imaginar dos manzanas idénticas, la primera se corta por la mitad y la segunda, en 4 partes. Es obvio que dos cuartos de una manzana es 1/2 parte. Otros ejemplos de fracciones comunes iguales son las fracciones 4/7 y 36/63, y el par de fracciones 81/50 y 1620/1000.

Y las fracciones ordinarias 4/13 y 5/14 no son iguales, ya que 4 14=56 y 13 5=65, es decir, 4 14≠13 5. Otro ejemplo de fracciones comunes desiguales son las fracciones 17/7 y 6/4.

Si, al comparar dos fracciones ordinarias, resulta que no son iguales, es posible que deba averiguar cuál de estas fracciones ordinarias menos otra y cual más. Para averiguarlo, se usa la regla para comparar fracciones ordinarias, cuya esencia es llevar las fracciones comparadas a un denominador común y luego comparar los numeradores. La información detallada sobre este tema se recopila en el artículo Comparación de fracciones: reglas, ejemplos, soluciones.

Números fraccionarios

Cada fracción es un registro. numero fraccional. Es decir, una fracción es solo una "cáscara" de un número fraccionario, su apariencia, y toda la carga semántica está contenida precisamente en un número fraccionario. Sin embargo, por brevedad y conveniencia, el concepto de fracción y número fraccionario se combinan y simplemente se denominan fracción. Aquí es apropiado parafrasear un dicho muy conocido: decimos una fracción, nos referimos a un número fraccionario, decimos un número fraccionario, nos referimos a una fracción.

Fracciones en el haz de coordenadas

Todos los números fraccionarios correspondientes a fracciones ordinarias tienen su propio lugar único en , es decir, existe una correspondencia uno a uno entre las fracciones y los puntos del rayo de coordenadas.

Para llegar al punto correspondiente a la fracción m / n en el rayo de coordenadas, es necesario posponer m segmentos desde el origen en la dirección positiva, cuya longitud es 1 / n del segmento unitario. Dichos segmentos se pueden obtener dividiendo un solo segmento en n partes iguales, lo que siempre se puede hacer usando un compás y una regla.

Por ejemplo, mostremos el punto M en el rayo de coordenadas, correspondiente a la fracción 14/10. La longitud del segmento que termina en el punto O y el punto más cercano a él, marcado con un pequeño guión, es 1/10 de la unidad del segmento. El punto con la coordenada 14/10 se elimina del origen por 14 de esos segmentos.

Las fracciones iguales corresponden al mismo número fraccionario, es decir, las fracciones iguales son las coordenadas del mismo punto en el rayo de coordenadas. Por ejemplo, un punto corresponde a las coordenadas 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 en el rayo de coordenadas, ya que todas las fracciones escritas son iguales (está ubicado a una distancia de la mitad del segmento unitario, pospuesto desde el origen en sentido positivo).

En un rayo de coordenadas horizontal y dirigido a la derecha, el punto cuya coordenada es una fracción grande se ubica a la derecha del punto cuya coordenada es una fracción menor. De manera similar, el punto con la coordenada más pequeña se encuentra a la izquierda del punto con la coordenada más grande.

Fracciones propias e impropias, definiciones, ejemplos.

Entre las fracciones ordinarias, hay fracciones propias e impropias. Esta división básicamente tiene una comparación del numerador y el denominador.

Vamos a dar una definición de fracciones ordinarias propias e impropias.

Definición.

fracción propia es una fracción ordinaria, cuyo numerador es menor que el denominador, es decir, si m

Definición.

Fracción impropia es una fracción ordinaria en la que el numerador es mayor o igual que el denominador, es decir, si m≥n, entonces la fracción ordinaria es impropia.

Estos son algunos ejemplos de fracciones propias: 1/4 , , 32 765/909 003 . De hecho, en cada una de las fracciones ordinarias escritas, el numerador es menor que el denominador (si es necesario, consulte el artículo Comparación de números naturales), por lo que son correctas por definición.

Y aquí hay ejemplos de fracciones impropias: 9/9, 23/4,. En efecto, el numerador de la primera de las fracciones ordinarias escritas es igual al denominador, y en las fracciones restantes el numerador es mayor que el denominador.

También hay definiciones de fracciones propias e impropias basadas en la comparación de fracciones con uno.

Definición.

correcto si es menor que uno.

Definición.

La fracción común se llama equivocado, si es igual a uno o mayor que 1 .

Entonces la fracción ordinaria 7/11 es correcta, ya que 7/11<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1 y 27/27=1.

Pensemos en cómo las fracciones ordinarias con un numerador mayor o igual que el denominador merecen ese nombre: "incorrectas".

Tomemos como ejemplo la fracción impropia 9/9. Esta fracción significa que se toman nueve partes de un objeto, que consta de nueve partes. Es decir, a partir de las nueve acciones disponibles, podemos formar un sujeto completo. Es decir, la fracción impropia 9/9 esencialmente da un objeto completo, es decir, 9/9=1. En general, las fracciones impropias con un numerador igual al denominador denotan un objeto entero, y dicha fracción puede ser reemplazada por un número natural 1.

Ahora considera las fracciones impropias 7/3 y 12/4. Es bastante obvio que a partir de estos siete tercios podemos hacer dos objetos enteros (un objeto entero son 3 partes, luego para componer dos objetos enteros necesitamos 3 + 3 = 6 partes) y todavía habrá una tercera parte. Es decir, la fracción impropia 7/3 esencialmente significa 2 artículos e incluso 1/3 de la parte de dicho artículo. Y de doce cuartos podemos hacer tres objetos enteros (tres objetos con cuatro partes cada uno). Es decir, la fracción 12/4 esencialmente significa 3 objetos enteros.

Los ejemplos considerados nos llevan a la siguiente conclusión: las fracciones impropias pueden ser reemplazadas por números naturales, cuando el numerador se divide completamente por el denominador (por ejemplo, 9/9=1 y 12/4=3), o la suma de un número natural y una fracción propia, cuando el numerador no es divisible por el denominador (por ejemplo, 7/3=2+1/3). Quizás esto es precisamente lo que las fracciones impropias merecen tal nombre: "incorrecto".

De particular interés es la representación de una fracción impropia como la suma de un número natural y una fracción propia (7/3=2+1/3). Este proceso se llama la extracción de una parte entera de una fracción impropia y merece una consideración separada y más cuidadosa.

También vale la pena señalar que existe una relación muy estrecha entre las fracciones impropias y los números mixtos.

Fracciones positivas y negativas

Cada fracción ordinaria corresponde a un número fraccionario positivo (ver el artículo números positivos y negativos). Es decir, las fracciones ordinarias son fracciones positivas. Por ejemplo, las fracciones ordinarias 1/5, 56/18, 35/144 son fracciones positivas. Cuando es necesario enfatizar la positividad de una fracción, se coloca un signo más delante, por ejemplo, +3/4, +72/34.

Si coloca un signo menos delante de una fracción ordinaria, esta entrada corresponderá a un número fraccionario negativo. En este caso, se puede hablar de fracciones negativas. Estos son algunos ejemplos de fracciones negativas: −6/10 , −65/13 , −1/18 .

Las fracciones positivas y negativas m/n y −m/n son números opuestos. Por ejemplo, las fracciones 5/7 y −5/7 son fracciones opuestas.

Las fracciones positivas, como los números positivos en general, denotan un aumento, un ingreso, un cambio en algún valor hacia arriba, etc. Las fracciones negativas corresponden a un gasto, una deuda, un cambio en cualquier valor en la dirección de disminución. Por ejemplo, una fracción negativa -3/4 puede interpretarse como una deuda, cuyo valor es 3/4.

En las fracciones negativas horizontales y dirigidas a la derecha se encuentran a la izquierda del punto de referencia. Los puntos de la recta coordenada cuyas coordenadas son la fracción positiva m/n y la fracción negativa −m/n se encuentran a la misma distancia del origen, pero en lados opuestos del punto O .

Aquí vale la pena mencionar las fracciones de la forma 0/n. Estas fracciones son iguales al número cero, es decir, 0/n=0.

Las fracciones positivas, las fracciones negativas y las fracciones 0/n se combinan para formar números racionales.

Acciones con fracciones

Una acción con fracciones ordinarias, la comparación de fracciones, ya la hemos considerado anteriormente. Se definen cuatro aritméticas más operaciones con fracciones- suma, resta, multiplicación y división de fracciones. Detengámonos en cada uno de ellos.

La esencia general de las acciones con fracciones es similar a la esencia de las acciones correspondientes con números naturales. Hagamos una analogía.

Multiplicación de fracciones puede considerarse como una acción en la que se encuentra una fracción a partir de una fracción. Para aclarar, pongamos un ejemplo. Supongamos que tenemos 1/6 de una manzana y necesitamos tomar 2/3 de ella. La parte que necesitamos es el resultado de multiplicar las fracciones 1/6 y 2/3. El resultado de multiplicar dos fracciones ordinarias es una fracción ordinaria (que en un caso particular es igual a un número natural). Además, recomendamos estudiar la información del artículo multiplicación de fracciones: reglas, ejemplos y soluciones.

Bibliografía.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartburd S.I. Matemáticas: libro de texto para 5 celdas. Instituciones educacionales.
• Vilenkin N. Ya. etc Matemáticas. Grado 6: libro de texto para instituciones educativas.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemáticas (un manual para aspirantes a escuelas técnicas).