Ejemplos de suma de fracciones ordinarias con distinto denominador. Cómo restar fracciones con diferentes denominadores

¡Nota! Antes de escribir una respuesta final, vea si puede reducir la fracción que recibió.

Resta de fracciones con el mismo denominador ejemplos:

,

,

Restar una fracción propia de uno.

Si es necesario restar de la unidad una fracción que es correcta, la unidad se convierte a la forma de una fracción impropia, su denominador es igual al denominador de la fracción restada.

Un ejemplo de restar una fracción propia de uno:

El denominador de la fracción a restar = 7 , es decir, representamos la unidad en la forma fracción impropia 7/7 y resta de acuerdo con la regla para restar fracciones con el mismo denominador.

Restar una fracción propia de un número entero.

Reglas para restar fracciones - correcto de entero (número natural):

• Traducimos las fracciones dadas, que contienen una parte entera, en fracciones impropias. Obtenemos los términos normales (no importa si son diferentes denominadores), que consideramos de acuerdo con las reglas dadas anteriormente;
• A continuación, calculamos la diferencia de las fracciones que recibimos. Como resultado, casi encontraremos la respuesta;
• Realizamos la transformación inversa, es decir, nos deshacemos de la fracción impropia: seleccionamos la parte entera en la fracción.

Restar una fracción propia de un número entero: representamos un número natural como un número mixto. Aquellas. tomamos una unidad en un número natural y la traducimos a la forma de una fracción impropia, el denominador es el mismo que el de la fracción restada.

Ejemplo de resta de fracciones:

En el ejemplo, reemplazamos la unidad con una fracción impropia 7/7 y en lugar de 3 escribimos numero mixto y la fracción se le quitó a la parte fraccionaria.

Resta de fracciones con distinto denominador.

O, para decirlo de otra manera, resta de diferentes fracciones.

Regla para restar fracciones con distinto denominador. Para restar fracciones con diferentes denominadores, es necesario, primero, llevar estas fracciones al mínimo común denominador (LCD), y solo después de eso, restar como con fracciones con los mismos denominadores.

El común denominador de varias fracciones es MCM (mínimo común múltiplo) números naturales, que son los denominadores de estas fracciones.

¡Atención! si en fracción final el numerador y el denominador tienen factores comunes, entonces la fracción debe reducirse. Una fracción impropia se representa mejor como una fracción mixta. ¡Dejar el resultado de la resta sin reducir la fracción donde sea posible es una solución inconclusa para el ejemplo!

Procedimiento para restar fracciones con distinto denominador.

• encontrar el MCM para todos los denominadores;
• poner multiplicadores adicionales para todas las fracciones;
• multiplicar todos los numeradores por un factor adicional;
• escribimos los productos resultantes en el numerador, firmando un denominador común debajo de todas las fracciones;
• restar los numeradores de las fracciones, firmando el común denominador debajo de la diferencia.

De la misma manera, la suma y resta de fracciones se realiza en presencia de letras en el numerador.

Resta de fracciones, ejemplos:

Resta de fracciones mixtas.

En resta de fracciones mixtas (números) por separado, la parte entera se resta de la parte entera y la parte fraccionaria se resta de la parte fraccionaria.

La primera opción es restar fracciones mixtas.

Si las partes fraccionarias lo mismo denominadores y numerador de la parte fraccionaria del minuendo (le restamos) ≥ el numerador de la parte fraccionaria del sustraendo (le restamos).

Por ejemplo:

La segunda opción es restar fracciones mixtas.

Cuando las partes fraccionarias varios denominadores. Para empezar, reducimos las partes fraccionarias a un denominador común, y luego restamos la parte entera de la parte entera y la fraccionaria de la fraccionaria.

Por ejemplo:

La tercera opción es restar fracciones mixtas.

La parte fraccionaria del minuendo es menor que la parte fraccionaria del sustraendo.

Ejemplo:

Porque las partes fraccionarias tienen diferentes denominadores, lo que significa que, como en la segunda opción, primero llevamos las fracciones ordinarias a un denominador común.

El numerador de la parte fraccionaria del minuendo es menor que el numerador de la parte fraccionaria del sustraendo.3 < 14. Entonces, tomamos una unidad de la parte entera y traemos esta unidad a la forma de una fracción impropia con el mismo denominador y numerador. = 18.

En el numerador del lado derecho escribimos la suma de los numeradores, luego abrimos los paréntesis en el numerador del lado derecho, es decir, multiplicamos todo y damos similares. No abrimos corchetes en el denominador. Es costumbre dejar el producto en los denominadores. Obtenemos:

Las fracciones son números ordinarios, también se pueden sumar y restar. Pero debido al hecho de que tienen un denominador, aquí se requieren reglas más complejas que para los números enteros.

Considere el caso más simple, cuando hay dos fracciones con los mismos denominadores. Entonces:

Para sumar fracciones con el mismo denominador, suma sus numeradores y deja el denominador sin cambios.

Para restar fracciones con los mismos denominadores, es necesario restar el numerador de la segunda del numerador de la primera fracción y nuevamente dejar el denominador sin cambios.

Dentro de cada expresión, los denominadores de las fracciones son iguales. Por definición de suma y resta de fracciones, obtenemos:

Como puede ver, nada complicado: simplemente sume o reste los numeradores, y eso es todo.

Pero incluso en tal acciones simples la gente se las arregla para cometer errores. La mayoría de las veces olvidan que el denominador no cambia. Por ejemplo, al agregarlos, también comienzan a sumar, y esto es fundamentalmente incorrecto.

para deshacerse de mal hábito Sumar los denominadores es bastante fácil. Intenta hacer lo mismo al restar. Como resultado, el denominador será cero y la fracción (¡de repente!) perderá su significado.

Por lo tanto, recuerda de una vez por todas: al sumar y restar, ¡el denominador no cambia!

Además, muchas personas cometen errores al sumar varias fracciones negativas. Hay confusión con los signos: dónde poner un menos y dónde, un más.

Este problema también es muy fácil de resolver. Es suficiente recordar que el signo menos antes del signo de fracción siempre se puede transferir al numerador, y viceversa. Y por supuesto, no olvides dos sencillas reglas:

1. Más veces menos da menos;
2. Dos negativos hacen un afirmativo.

Analicemos todo esto con ejemplos concretos:

Tarea. Encuentre el valor de la expresión:

En el primer caso, todo es simple, y en el segundo, agregaremos menos a los numeradores de fracciones:

¿Qué pasa si los denominadores son diferentes?

No puedes sumar directamente fracciones con diferentes denominadores. Al menos, este método es desconocido para mí. Sin embargo, las fracciones originales siempre se pueden reescribir para que los denominadores sean los mismos.

Hay muchas formas de convertir fracciones. Tres de ellos se discuten en la lección " Llevar fracciones a un denominador común", por lo que no nos detendremos aquí. Echemos un vistazo a algunos ejemplos:

Tarea. Encuentre el valor de la expresión:

En el primer caso, llevamos las fracciones a un denominador común utilizando el método "en cruz". En la segunda, buscaremos el LCM. Tenga en cuenta que 6 = 2 3; 9 = 3 · 3. Los últimos factores en estas expansiones son iguales y los primeros son coprimos. Por lo tanto, MCM(6; 9) = 2 3 3 = 18.

¿Qué pasa si la fracción tiene una parte entera?

Puedo complacerte: diferentes denominadores de fracciones no son el mayor mal. Se producen muchos más errores cuando se resalta la parte completa en los términos fraccionarios.

Por supuesto, para tales fracciones existen algoritmos propios de suma y resta, pero son bastante complicados y requieren un largo estudio. mejor uso un circuito sencillo abajo:

1. Convierta todas las fracciones que contengan una parte entera en impropias. Obtenemos términos normales (aunque con diferentes denominadores), que se calculan de acuerdo con las reglas discutidas anteriormente;
2. En realidad, calcula la suma o diferencia de las fracciones resultantes. Como resultado, prácticamente encontraremos la respuesta;
3. Si esto es todo lo que se requería en la tarea, realizamos la transformación inversa, es decir nos deshacemos de la fracción impropia, resaltando la parte entera en ella.

Las reglas para cambiar a fracciones impropias y resaltar la parte entera se describen en detalle en la lección "¿Qué es una fracción numérica?". Si no lo recuerda, asegúrese de repetir. Ejemplos:

Tarea. Encuentre el valor de la expresión:

Todo es simple aquí. Los denominadores dentro de cada expresión son iguales, por lo que queda por convertir todas las fracciones en impropias y contar. Tenemos:

Para simplificar los cálculos, omití algunos pasos obvios en los últimos ejemplos.

Una pequeña nota a los dos últimos ejemplos, donde se restan fracciones con una parte entera resaltada. El menos antes de la segunda fracción significa que se resta toda la fracción, y no solo su parte entera.

Vuelve a leer esta oración, mira los ejemplos y piensa en ello. Aquí es donde los principiantes cometen muchos errores. Les encanta dar tales tareas a trabajo de control. También los encontrará repetidamente en las pruebas de esta lección, que se publicará en breve.

Resumen: Esquema General de Computación

En conclusión, daré un algoritmo general que te ayudará a encontrar la suma o diferencia de dos o más fracciones:

1. Si una parte entera está resaltada en una o más fracciones, convierta estas fracciones en impropias;
2. Lleve todas las fracciones a un denominador común de cualquier forma que le resulte conveniente (a menos, por supuesto, que los compiladores de los problemas lo hayan hecho);
3. Sumar o restar los números resultantes de acuerdo con las reglas para sumar y restar fracciones con los mismos denominadores;
4. Reduzca el resultado si es posible. Si la fracción resultó ser incorrecta, seleccione la parte entera.

Recuerde que es mejor resaltar la parte completa al final de la tarea, justo antes de escribir la respuesta.

Digamos que Aquiles corre diez veces más rápido que la tortuga y está mil pasos detrás de ella. Durante el tiempo que Aquiles corre esta distancia, la tortuga se arrastra cien pasos en la misma dirección. Cuando Aquiles haya corrido cien pasos, la tortuga se arrastrará otros diez pasos, y así sucesivamente. El proceso continuará indefinidamente, Aquiles nunca alcanzará a la tortuga.

Este razonamiento se convirtió en un shock lógico para todas las generaciones posteriores. Aristóteles, Diógenes, Kant, Hegel, Gilbert... Todos ellos, de una forma u otra, consideraron las aporías de Zenón. El susto fue tan fuerte que" ... las discusiones continúan en el momento actual, la comunidad científica aún no ha podido llegar a una opinión común sobre la esencia de las paradojas ... análisis matemático, teoría de conjuntos, nuevos físicos y enfoques filosóficos; ninguno de ellos se convirtió en una solución universalmente aceptada para el problema...“[Wikipedia, “Aporias de Zeno”]. Todos entienden que están siendo engañados, pero nadie entiende cuál es el engaño.

Desde el punto de vista de las matemáticas, Zenón en su aporía demostró claramente la transición del valor a. Esta transición implica aplicar en lugar de constantes. Según tengo entendido, el aparato matemático para aplicar unidades de medida variables o aún no se ha desarrollado o no se ha aplicado a la aporía de Zenón. La aplicación de nuestra lógica habitual nos lleva a una trampa. Nosotros, por la inercia del pensamiento, aplicamos las unidades constantes de tiempo al recíproco. Desde un punto de vista físico, esto parece una desaceleración en el tiempo hasta que se detiene por completo en el momento en que Aquiles alcanza a la tortuga. Si el tiempo se detiene, Aquiles ya no puede alcanzar a la tortuga.

Si le damos la vuelta a la lógica a la que estamos acostumbrados, todo encaja. Aquiles corre a una velocidad constante. Cada segmento subsiguiente de su camino es diez veces más corto que el anterior. En consecuencia, el tiempo empleado en superarlo es diez veces menor que el anterior. Si aplicamos el concepto de "infinito" en esta situación, entonces sería correcto decir "Aquiles alcanzará infinitamente rápido a la tortuga".

¿Cómo evitar esta trampa lógica? Permanezca en unidades de tiempo constantes y no cambie a valores recíprocos. En el lenguaje de Zeno, se ve así:

En el tiempo que tarda Aquiles en correr mil pasos, la tortuga se arrastra cien pasos en la misma dirección. Durante el siguiente intervalo de tiempo, igual al primero, Aquiles correrá otros mil pasos y la tortuga se arrastrará cien pasos. Ahora Aquiles está ochocientos pasos por delante de la tortuga.

Este enfoque describe adecuadamente la realidad sin paradojas lógicas. Pero esto no es una solución completa al problema. La afirmación de Einstein sobre la insuperabilidad de la velocidad de la luz es muy similar a la aporía de Zenón "Aquiles y la tortuga". Todavía tenemos que estudiar, repensar y resolver este problema. Y la solución hay que buscarla no en números infinitamente grandes, sino en unidades de medida.

Otra interesante aporía de Zenón habla de una flecha voladora:

Una flecha que vuela está inmóvil, ya que en todo momento está en reposo, y como está en reposo en todo momento, siempre está en reposo.

En esta aporía, la paradoja lógica se supera de manera muy simple: basta aclarar que en cada momento del tiempo la flecha voladora está en reposo en diferentes puntos del espacio, lo que, en realidad, es movimiento. Hay otro punto a señalar aquí. A partir de una fotografía de un automóvil en la carretera, es imposible determinar el hecho de su movimiento o la distancia hasta él. Para determinar el hecho del movimiento del automóvil, se necesitan dos fotografías tomadas desde el mismo punto en diferentes momentos, pero no se pueden usar para determinar la distancia. Para determinar la distancia al automóvil, necesita dos fotografías tomadas de diferentes puntos espacio en un punto en el tiempo, pero es imposible determinar el hecho del movimiento a partir de ellos (naturalmente, aún se necesitan datos adicionales para los cálculos, la trigonometría lo ayudará). en que me quiero enfocar Atención especial, es que dos puntos en el tiempo y dos puntos en el espacio son cosas diferentes que no deben confundirse, porque brindan diferentes oportunidades de exploración.

miércoles, 4 de julio de 2018

Muy bien, las diferencias entre set y multiset se describen en Wikipedia. Miramos.

Como puede ver, "el conjunto no puede tener dos elementos idénticos", pero si hay elementos idénticos en el conjunto, dicho conjunto se denomina "multiconjunto". Los seres razonables nunca comprenderán tal lógica del absurdo. Este es el nivel de los loros que hablan y los monos entrenados, en los que la mente está ausente de la palabra "completamente". Los matemáticos actúan como formadores ordinarios, predicándonos sus ideas absurdas.

Érase una vez, los ingenieros que construyeron el puente estaban en un bote debajo del puente durante las pruebas del puente. Si el puente se derrumbaba, el mediocre ingeniero moría bajo los escombros de su creación. Si el puente podía soportar la carga, el talentoso ingeniero construyó otros puentes.

Por mucho que los matemáticos se escondan detrás de la frase "fíjate, estoy en la casa", o más bien "las matemáticas estudian conceptos abstractos", hay un cordón umbilical que los conecta inextricablemente con la realidad. Este cordón umbilical es dinero. Aplicable teoría matemática conjuntos a los propios matemáticos.

Estudiamos muy bien las matemáticas y ahora estamos sentados en la caja, pagando salarios. Aquí un matemático viene a nosotros por su dinero. Le contamos la cantidad total y la colocamos en nuestra mesa en diferentes montones, en los que ponemos billetes de la misma denominación. Luego tomamos un billete de cada montón y le damos al matemático su "conjunto de salarios matemáticos". Le explicamos las matemáticas de que recibirá el resto de los billetes sólo cuando demuestre que el conjunto sin elementos idénticos no es igual al conjunto con los mismos elementos. Aquí es donde la diversión comienza.

En primer lugar, la lógica de los diputados funcionará: "¡puedes aplicarlo a otros, pero no a mí!" Además, comenzarán las garantías de que en los billetes de la misma denominación existen números de billetes diferentes, por lo que no pueden considerarse elementos idénticos. Bueno, contamos el salario en monedas, no hay números en las monedas. Aquí el matemático comenzará a recordar convulsivamente la física: en diferentes monedas hay cantidad diferente la suciedad, la estructura cristalina y la disposición atómica de cada moneda es única...

Y ahora tengo más interés Preguntar: ¿dónde está el límite más allá del cual los elementos de un conjunto múltiple se convierten en elementos de un conjunto y viceversa? Tal línea no existe: todo lo deciden los chamanes, la ciencia aquí ni siquiera está cerca.

Mira aquí. Seleccionamos estadios de fútbol con la misma área de campo. El área de los campos es la misma, lo que significa que tenemos un conjunto múltiple. Pero si consideramos los nombres de los mismos estadios, obtenemos mucho, porque los nombres son diferentes. Como puede ver, el mismo conjunto de elementos es a la vez un conjunto y un conjunto múltiple. ¿Cuánta razón? Y aquí el matemático-chamán-shuller saca un as de triunfo de la manga y comienza a hablarnos sobre un set o un multiset. En cualquier caso, nos convencerá de que tiene razón.

Para comprender cómo los chamanes modernos operan con la teoría de conjuntos, vinculándola a la realidad, basta con responder una pregunta: ¿en qué se diferencian los elementos de un conjunto de los elementos de otro conjunto? Les mostraré, sin ningún "concebible como no un todo único" o "no concebible como un todo único".

domingo, 18 de marzo de 2018

La suma de las cifras de un número es una danza de chamanes con pandereta, que nada tiene que ver con las matemáticas. Sí, en las lecciones de matemáticas se nos enseña a encontrar la suma de los dígitos de un número y usarlo, pero los chamanes son para eso, para enseñar a sus descendientes sus habilidades y sabiduría, de lo contrario, los chamanes simplemente se extinguirán.

¿Necesitas pruebas? Abra Wikipedia e intente encontrar la página "Suma de dígitos de un número". ella no existe No existe una fórmula en matemáticas mediante la cual puedas encontrar la suma de los dígitos de cualquier número. Después de todo, los números son símbolos gráficos con los que escribimos números, y en el lenguaje de las matemáticas, la tarea suena así: "Encuentra la suma de los símbolos gráficos que representan cualquier número". Los matemáticos no pueden resolver este problema, pero los chamanes pueden hacerlo elementalmente.

Averigüemos qué y cómo hacemos para encontrar la suma de los dígitos de un número dado. Entonces, digamos que tenemos el número 12345. ¿Qué se necesita hacer para encontrar la suma de los dígitos de este número? Consideremos todos los pasos en orden.

1. Escriba el número en una hoja de papel. ¿Qué hemos hecho? Hemos convertido el número en un símbolo gráfico numérico. Esto no es una operación matemática.

2. Cortamos una imagen recibida en varias imágenes que contienen números separados. Cortar una imagen no es una operación matemática.

3. Convierta caracteres gráficos individuales en números. Esto no es una operación matemática.

4. Suma los números resultantes. Ahora eso es matemáticas.

La suma de los dígitos del número 12345 es 15. Estos son los "cursos de corte y costura" de los chamanes utilizados por los matemáticos. Pero eso no es todo.

Desde el punto de vista de las matemáticas, no importa en qué sistema numérico escribimos el número. Entonces, en diferentes sistemas cómputo, la suma de las cifras de un mismo número será diferente. En matemáticas, el sistema numérico se indica como un subíndice a la derecha del número. Con un número grande 12345 No quiero engañar a mi cabeza, considere el número 26 del artículo sobre. Escribamos este número en sistemas numéricos binarios, octales, decimales y hexadecimales. No consideraremos cada paso bajo un microscopio, ya lo hemos hecho. Veamos el resultado.

Como puedes ver, en diferentes sistemas numéricos, la suma de los dígitos del mismo número es diferente. Este resultado no tiene nada que ver con las matemáticas. Es como encontrar el área de un rectángulo en metros y centímetros te daría resultados completamente diferentes.

El cero en todos los sistemas numéricos tiene el mismo aspecto y no tiene suma de dígitos. Este es otro argumento a favor del hecho de que . Una pregunta para los matemáticos: ¿cómo se denota en matemáticas aquello que no es un número? ¿Qué, para los matemáticos, no existe nada más que números? Para los chamanes, puedo permitir esto, pero para los científicos, no. La realidad no se trata solo de números.

El resultado obtenido debe considerarse como prueba de que los sistemas numéricos son unidades de medida de los números. Después de todo, no podemos comparar números con diferentes unidades de medida. Si las mismas acciones con diferentes unidades de medida de la misma cantidad conducen a resultados diferentes después de compararlos, entonces no tiene nada que ver con las matemáticas.

¿Qué son las matemáticas reales? Esto es cuando el resultado acción matemática no depende del valor del número, la unidad de medida utilizada y de quién realiza esta acción.

¡Ay! ¿No es este el baño de mujeres?
- ¡Mujer joven! ¡Este es un laboratorio para estudiar la santidad indefinida de las almas al ascender al cielo! Nimbus arriba y flecha arriba. ¿Qué otro baño?

Femenino... Un halo en la parte superior y una flecha hacia abajo es masculino.

Si tiene una obra de arte de diseño de este tipo delante de sus ojos varias veces al día,

Entonces no es de extrañar que de repente encuentres un icono extraño en tu coche:

Personalmente, me esfuerzo por ver menos cuatro grados en una persona que hace caca (una imagen) (composición de varias imágenes: signo menos, número cuatro, designación de grados). Y no considero tonta a esta chica que no sabe física. Ella solo tiene un estereotipo de arco de percepción de imágenes gráficas. Y los matemáticos nos enseñan esto todo el tiempo. Aquí hay un ejemplo.

1A no es "menos cuatro grados" o "una a". Este es el "hombre cagando" o el número "veintiséis" en el sistema numérico hexadecimal. Aquellas personas que trabajan constantemente en este sistema numérico perciben automáticamente el número y la letra como un símbolo gráfico.

Sumar fracciones con los mismos denominadores

La suma de fracciones es de dos tipos:

1. Sumar fracciones con los mismos denominadores
2. Sumar fracciones con diferente denominador

Comencemos con la suma de fracciones con los mismos denominadores. Todo es simple aquí. Para sumar fracciones con los mismos denominadores, debe sumar sus numeradores y dejar el denominador sin cambios. Por ejemplo, vamos a sumar las fracciones y . Sumamos los numeradores y dejamos el denominador sin cambios:

Este ejemplo se puede entender fácilmente si pensamos en una pizza que se divide en cuatro partes. Si le agregas pizza a la pizza, obtienes pizza:

Ejemplo 2 Sumar fracciones y .

La respuesta resultó no fracción propia. Si llega el final de la tarea, es costumbre deshacerse de las fracciones impropias. Para deshacerse de una fracción impropia, debe seleccionar la parte entera en ella. En nuestro caso, la parte completa se distingue fácilmente: dos dividido por dos es igual a uno:

Este ejemplo se puede entender fácilmente si pensamos en una pizza que se divide en dos partes. Si agrega más pizzas a la pizza, obtiene una pizza entera:

Ejemplo 3. Sumar fracciones y .

Nuevamente, agregue los numeradores y deje el denominador sin cambios:

Este ejemplo se puede entender fácilmente si pensamos en una pizza que se divide en tres partes. Si agrega más pizzas a la pizza, obtiene pizzas:

Ejemplo 4 Encontrar el valor de una expresión.

Este ejemplo se resuelve exactamente igual que los anteriores. Se deben sumar los numeradores y dejar el denominador sin cambios:

Intentemos representar nuestra solución usando una imagen. Si agregas pizzas a una pizza y agregas más pizzas, obtienes 1 pizza entera y más pizzas.

Como puedes ver, sumar fracciones con los mismos denominadores no es difícil. Es suficiente entender las siguientes reglas:

1. Para sumar fracciones con el mismo denominador, debe sumar sus numeradores y dejar el denominador sin cambios;

Sumar fracciones con diferente denominador

Ahora vamos a aprender a sumar fracciones con diferentes denominadores. Al sumar fracciones, los denominadores de esas fracciones deben ser iguales. Pero no siempre son los mismos.

Por ejemplo, se pueden sumar fracciones porque tienen el mismo denominador.

Pero las fracciones no se pueden sumar a la vez, porque estas fracciones tienen diferentes denominadores. En tales casos, las fracciones deben reducirse al mismo denominador (común).

Hay varias formas de reducir fracciones al mismo denominador. Hoy consideraremos solo uno de ellos, ya que el resto de los métodos pueden parecer complicados para un principiante.

La esencia de este método radica en que se busca el primero (MCM) de los denominadores de ambas fracciones. Luego se divide el MCM por el denominador de la primera fracción y se obtiene el primer factor adicional. Hacen lo mismo con la segunda fracción: se divide el NOC por el denominador de la segunda fracción y se obtiene el segundo factor adicional.

Luego, los numeradores y denominadores de las fracciones se multiplican por sus factores adicionales. Como resultado de estas acciones, las fracciones que tenían distintos denominadores se convierten en fracciones que tienen los mismos denominadores. Y ya sabemos cómo sumar tales fracciones.

Ejemplo 1. suma fracciones y

En primer lugar, encontramos el mínimo común múltiplo de los denominadores de ambas fracciones. El denominador de la primera fracción es el número 3 y el denominador de la segunda fracción es el número 2. El mínimo común múltiplo de estos números es 6

MCM (2 y 3) = 6

Ahora volvamos a las fracciones y . Primero, dividimos el MCM por el denominador de la primera fracción y obtenemos el primer factor adicional. MCM es el número 6, y el denominador de la primera fracción es el número 3. Divida 6 entre 3, obtenemos 2.

El número resultante 2 es el primer factor adicional. Lo escribimos hasta la primera fracción. Para hacer esto, hacemos una pequeña línea oblicua sobre la fracción y escribimos el factor adicional encontrado arriba:

Hacemos lo mismo con la segunda fracción. Dividimos el MCM por el denominador de la segunda fracción y obtenemos el segundo factor adicional. MCM es el número 6, y el denominador de la segunda fracción es el número 2. Divida 6 entre 2, obtenemos 3.

El número resultante 3 es el segundo factor adicional. Lo escribimos en la segunda fracción. Nuevamente, hacemos una pequeña línea oblicua sobre la segunda fracción y escribimos el factor adicional encontrado arriba:

Ahora estamos listos para agregar. Queda por multiplicar los numeradores y denominadores de fracciones por sus factores adicionales:

Fíjate bien a lo que hemos llegado. Llegamos a la conclusión de que las fracciones que tenían diferentes denominadores se convirtieron en fracciones que tenían los mismos denominadores. Y ya sabemos cómo sumar tales fracciones. Completemos este ejemplo hasta el final:

Así termina el ejemplo. Para agregar resulta.

Intentemos representar nuestra solución usando una imagen. Si le agregas pizzas a una pizza, obtienes una pizza entera y otro sexto de pizza:

La reducción de fracciones al mismo denominador (común) también se puede representar usando una imagen. Llevando las fracciones y a un denominador común, obtenemos las fracciones y . Estas dos fracciones estarán representadas por las mismas rebanadas de pizza. La única diferencia será que esta vez se dividirán en partes iguales (reducidas al mismo denominador).

El primer dibujo muestra una fracción (cuatro piezas de seis) y la segunda imagen muestra una fracción (tres piezas de seis). Juntando estas piezas obtenemos (siete piezas de seis). Esta fracción es incorrecta, por lo que hemos resaltado la parte entera en ella. El resultado fue (una pizza entera y otra sexta pizza).

Tenga en cuenta que hemos pintado ejemplo dado demasiado detallado EN Instituciones educacionales no se acostumbra escribir de manera tan detallada. Debe poder encontrar rápidamente el MCM de ambos denominadores y factores adicionales, así como multiplicar rápidamente los factores adicionales encontrados por sus numeradores y denominadores. Estando en la escuela, tendríamos que escribir este ejemplo de la siguiente manera:

Pero también está la otra cara de la moneda. Si no se toman notas detalladas en las primeras etapas del estudio de las matemáticas, entonces las preguntas del tipo “¿De dónde viene ese número?”, “¿Por qué las fracciones de repente se convierten en fracciones completamente diferentes? «.

Para que sea más fácil sumar fracciones con diferentes denominadores, puede usar las siguientes instrucciones paso a paso:

1. Encuentra el MCM de los denominadores de fracciones;
2. Divide el MCM por el denominador de cada fracción y obtén un multiplicador adicional para cada fracción;
3. Multiplicar los numeradores y denominadores de fracciones por sus factores adicionales;
4. Suma fracciones que tienen los mismos denominadores;
5. Si la respuesta resultó ser una fracción impropia, seleccione su parte entera;

Ejemplo 2 Encontrar el valor de una expresión. .

Usemos las instrucciones anteriores.

Paso 1. Encuentra el MCM de los denominadores de fracciones

Encuentra el MCM de los denominadores de ambas fracciones. Los denominadores de las fracciones son los números 2, 3 y 4

Paso 2. Divide el MCM por el denominador de cada fracción y obtén un multiplicador adicional para cada fracción

Divide el MCM por el denominador de la primera fracción. MCM es el número 12, y el denominador de la primera fracción es el número 2. Dividimos 12 entre 2, obtenemos 6. Obtuvimos el primer factor adicional 6. Lo escribimos sobre la primera fracción:

Ahora dividimos el MCM por el denominador de la segunda fracción. MCM es el número 12, y el denominador de la segunda fracción es el número 3. Dividimos 12 entre 3, obtenemos 4. Obtuvimos el segundo factor adicional 4. Lo escribimos sobre la segunda fracción:

Ahora dividimos el MCM por el denominador de la tercera fracción. MCM es el número 12, y el denominador de la tercera fracción es el número 4. Dividimos 12 entre 4, obtenemos 3. Obtuvimos el tercer factor adicional 3. Lo escribimos sobre la tercera fracción:

Paso 3. Multiplica los numeradores y denominadores de fracciones por tus factores adicionales

Multiplicamos los numeradores y denominadores por nuestros factores adicionales:

Paso 4. Suma fracciones que tienen el mismo denominador

Llegamos a la conclusión de que las fracciones que tenían diferentes denominadores se convirtieron en fracciones que tienen los mismos denominadores (comunes). Queda por sumar estas fracciones. Agregar:

La suma no cabía en una línea, así que movimos la expresión restante a la siguiente línea. Esto está permitido en matemáticas. Cuando una expresión no cabe en una línea, se traslada a la línea siguiente y es necesario poner un signo igual (=) al final de la primera línea y al principio. nueva línea. El signo igual en la segunda línea indica que esta es una continuación de la expresión que estaba en la primera línea.

Paso 5. Si la respuesta resultó ser una fracción impropia, seleccione la parte entera en ella

Nuestra respuesta es una fracción impropia. Debemos destacar toda la parte de ella. Resaltamos:

tengo una respuesta

Resta de fracciones con el mismo denominador

Hay dos tipos de resta de fracciones:

1. Resta de fracciones con el mismo denominador
2. Resta de fracciones con diferente denominador

Primero, aprendamos a restar fracciones con los mismos denominadores. Todo es simple aquí. Para restar otro de una fracción, debe restar el numerador de la segunda fracción del numerador de la primera fracción y dejar el denominador igual.

Por ejemplo, busquemos el valor de la expresión . Para resolver este ejemplo, es necesario restar el numerador de la segunda fracción del numerador de la primera fracción y dejar el denominador sin cambios. Hagámoslo:

Este ejemplo se puede entender fácilmente si pensamos en una pizza que se divide en cuatro partes. Si cortas pizzas de una pizza, obtienes pizzas:

Ejemplo 2 Halla el valor de la expresión.

Nuevamente, reste el numerador de la segunda fracción del numerador de la primera fracción y deje el denominador sin cambios:

Este ejemplo se puede entender fácilmente si pensamos en una pizza que se divide en tres partes. Si cortas pizzas de una pizza, obtienes pizzas:

Ejemplo 3 Encontrar el valor de una expresión.

Este ejemplo se resuelve exactamente igual que los anteriores. Del numerador de la primera fracción, debe restar los numeradores de las fracciones restantes:

Como puedes ver, no hay nada complicado en restar fracciones con los mismos denominadores. Es suficiente entender las siguientes reglas:

1. Para restar otro de una fracción, debe restar el numerador de la segunda fracción del numerador de la primera fracción y dejar el denominador sin cambios;
2. Si la respuesta resultó ser una fracción impropia, entonces debe seleccionar la parte completa.

Resta de fracciones con diferente denominador

Por ejemplo, una fracción se puede restar de una fracción, ya que estas fracciones tienen los mismos denominadores. Pero una fracción no se puede restar de una fracción, porque estas fracciones tienen diferentes denominadores. En tales casos, las fracciones deben reducirse al mismo denominador (común).

El denominador común se encuentra de acuerdo con el mismo principio que usamos al sumar fracciones con diferentes denominadores. En primer lugar, encuentra el MCM de los denominadores de ambas fracciones. Luego se divide el MCM por el denominador de la primera fracción y se obtiene el primer factor adicional, que se escribe sobre la primera fracción. De igual forma, se divide el MCM por el denominador de la segunda fracción y se obtiene un segundo factor adicional, el cual se escribe sobre la segunda fracción.

Luego, las fracciones se multiplican por sus factores adicionales. Como resultado de estas operaciones, las fracciones que tenían diferentes denominadores se convierten en fracciones que tienen los mismos denominadores. Y ya sabemos cómo restar tales fracciones.

Ejemplo 1 Encuentra el valor de una expresión:

Estas fracciones tienen diferentes denominadores, por lo que debes llevarlas al mismo denominador (común).

Primero, encontramos el MCM de los denominadores de ambas fracciones. El denominador de la primera fracción es 3 y el denominador de la segunda fracción es 4. El mínimo común múltiplo de estos números es 12

MCM (3 y 4) = 12

Ahora volvamos a las fracciones y

Encontremos un factor adicional para la primera fracción. Para ello, dividimos el MCM por el denominador de la primera fracción. MCM es el número 12, y el denominador de la primera fracción es el número 3. Dividimos 12 entre 3, obtenemos 4. Escribimos el cuatro sobre la primera fracción:

Hacemos lo mismo con la segunda fracción. Dividimos el MCM por el denominador de la segunda fracción. MCM es el número 12, y el denominador de la segunda fracción es el número 4. Divida 12 entre 4, obtenemos 3. Escriba un triple sobre la segunda fracción:

Ahora estamos listos para la resta. Queda por multiplicar las fracciones por sus factores adicionales:

Llegamos a la conclusión de que las fracciones que tenían diferentes denominadores se convirtieron en fracciones que tenían los mismos denominadores. Y ya sabemos cómo restar tales fracciones. Completemos este ejemplo hasta el final:

tengo una respuesta

Intentemos representar nuestra solución usando una imagen. Si cortas pizzas de una pizza, obtienes pizzas.

Esta es la versión detallada de la solución. Estando en la escuela, tendríamos que resolver este ejemplo de una manera más corta. Tal solución se vería así:

La reducción de fracciones ya un denominador común también se puede representar usando una imagen. Llevando estas fracciones a un denominador común, obtenemos las fracciones y . Estas fracciones estarán representadas por las mismas porciones de pizza, pero esta vez estarán divididas en las mismas fracciones (reducidas al mismo denominador):

El primer dibujo muestra una fracción (ocho piezas de doce), y la segunda imagen muestra una fracción (tres piezas de doce). Al cortar tres piezas de ocho piezas, obtenemos cinco piezas de doce. La fracción describe estas cinco piezas.

Ejemplo 2 Encontrar el valor de una expresión.

Estas fracciones tienen diferentes denominadores, por lo que primero debes llevarlas al mismo denominador (común).

Encuentra el MCM de los denominadores de estas fracciones.

Los denominadores de las fracciones son los números 10, 3 y 5. El mínimo común múltiplo de estos números es 30

MCM(10, 3, 5) = 30

Ahora encontramos factores adicionales para cada fracción. Para ello, dividimos el MCM por el denominador de cada fracción.

Encontremos un factor adicional para la primera fracción. MCM es el número 30, y el denominador de la primera fracción es el número 10. Al dividir 30 entre 10, obtenemos el primer factor adicional 3. Lo escribimos sobre la primera fracción:

Ahora encontramos un factor adicional para la segunda fracción. Divide el MCM por el denominador de la segunda fracción. MCM es el número 30, y el denominador de la segunda fracción es el número 3. Al dividir 30 entre 3, obtenemos el segundo factor adicional 10. Lo escribimos sobre la segunda fracción:

Ahora encontramos un factor adicional para la tercera fracción. Divide el MCM por el denominador de la tercera fracción. MCM es el número 30, y el denominador de la tercera fracción es el número 5. Dividiendo 30 entre 5, obtenemos el tercer factor adicional 6. Lo escribimos sobre la tercera fracción:

Ahora todo está listo para la resta. Queda por multiplicar las fracciones por sus factores adicionales:

Llegamos a la conclusión de que las fracciones que tenían diferentes denominadores se convirtieron en fracciones que tienen los mismos denominadores (comunes). Y ya sabemos cómo restar tales fracciones. Terminemos este ejemplo.

La continuación del ejemplo no cabe en una línea, por lo que movemos la continuación a la siguiente línea. No te olvides del signo igual (=) en la nueva línea:

La respuesta resultó ser una fracción correcta, y todo parece encajarnos, pero es demasiado engorroso y feo. Deberíamos hacerlo más fácil. ¿Qué se puede hacer? Puedes reducir esta fracción.

Para reducir una fracción, necesitas dividir su numerador y denominador por (mcd) los números 20 y 30.

Entonces, encontramos el MCD de los números 20 y 30:

Ahora volvemos a nuestro ejemplo y dividimos el numerador y el denominador de la fracción por el MCD encontrado, es decir, por 10

tengo una respuesta

Multiplicar una fracción por un número

Para multiplicar una fracción por un número, debes multiplicar el numerador de la fracción dada por este número y dejar el mismo denominador.

Ejemplo 1. Multiplica la fracción por el número 1.

Multiplica el numerador de la fracción por el número 1

La entrada puede entenderse como tomando la mitad 1 vez. Por ejemplo, si tomas pizza 1 vez, obtienes pizza

De las leyes de la multiplicación, sabemos que si el multiplicando y el multiplicador se intercambian, entonces el producto no cambiará. Si la expresión se escribe como , entonces el producto seguirá siendo igual a . Nuevamente, la regla para multiplicar un número entero y una fracción funciona:

Esta entrada puede entenderse como tomando la mitad de la unidad. Por ejemplo, si hay 1 pizza entera y tomamos la mitad, entonces tendremos pizza:

Ejemplo 2. Encontrar el valor de una expresión.

Multiplica el numerador de la fracción por 4

La respuesta es una fracción impropia. Tomemos una parte entera:

La expresión se puede entender como tomando dos cuartos 4 veces. Por ejemplo, si tomas pizzas 4 veces, obtienes dos pizzas enteras.

Y si intercambiamos el multiplicando y el multiplicador en lugares, obtenemos la expresión. También será igual a 2. Esta expresión se puede entender como tomar dos pizzas de cuatro pizzas enteras:

Multiplicación de fracciones

Para multiplicar fracciones, necesitas multiplicar sus numeradores y denominadores. Si la respuesta es una fracción impropia, debe seleccionar la parte entera en ella.

Ejemplo 1 Halla el valor de la expresión.

Obtuve una respuesta. Es deseable reducir fracción dada. La fracción se puede reducir en 2. Entonces la solución final tomará la siguiente forma:

La expresión puede entenderse como tomar una pizza de media pizza. Digamos que tenemos media pizza:

¿Cómo sacar dos tercios de esta mitad? Primero debes dividir esta mitad en tres partes iguales:

Y toma dos de estas tres piezas:

Conseguiremos pizza. Recuerda cómo se ve una pizza dividida en tres partes:

Una rebanada de esta pizza y las dos rebanadas que tomamos tendrán las mismas dimensiones:

En otras palabras, estamos hablando del mismo tamaño de pizza. Por lo tanto, el valor de la expresión es

Ejemplo 2. Encontrar el valor de una expresión.

Multiplica el numerador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción, y el denominador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción:

La respuesta es una fracción impropia. Tomemos una parte entera:

Ejemplo 3 Encontrar el valor de una expresión.

Multiplica el numerador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción, y el denominador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción:

La respuesta resultó ser una fracción correcta, pero será buena si se reduce. Para reducir esta fracción, necesitas dividir el numerador y el denominador de esta fracción por el mayor común divisor(gcd) números 105 y 450.

Entonces, encontremos el MCD de los números 105 y 450:

Ahora dividimos el numerador y el denominador de nuestra respuesta al MCD que ahora hemos encontrado, es decir, por 15

Representar un número entero como una fracción

Cualquier número entero se puede representar como una fracción. Por ejemplo, el número 5 se puede representar como . De esto, cinco no cambiará su significado, ya que la expresión significa “el número cinco dividido por uno”, y esto, como sabes, es igual a cinco:

números inversos

Ahora nos familiarizaremos con tema interesante en matemáticas. Se llama "números inversos".

Definición. Invertir al númeroun es el número que, cuando se multiplica porun da una unidad.

Sustituyamos en esta definición en lugar de una variable un número 5 e intenta leer la definición:

Invertir al número 5 es el número que, cuando se multiplica por 5 da una unidad.

¿Es posible encontrar un número que multiplicado por 5 dé como resultado uno? Resulta que puedes. Representemos cinco como una fracción:

Luego multiplica esta fracción por sí misma, simplemente intercambia el numerador y el denominador. En otras palabras, multipliquemos la fracción por sí misma, solo que invertida:

¿Cuál será el resultado de esto? Si continuamos resolviendo este ejemplo, obtenemos uno:

Esto quiere decir que el inverso del número 5 es el número, ya que al multiplicar 5 por uno se obtiene uno.

El recíproco también se puede encontrar para cualquier otro número entero.

También puedes encontrar el recíproco de cualquier otra fracción. Para hacer esto, es suficiente darle la vuelta.

División de una fracción por un número

Digamos que tenemos media pizza:

Dividámoslo a partes iguales entre dos. ¿Cuántas pizzas recibirá cada uno?

Se puede observar que después de partir la mitad de la pizza, se obtuvieron dos partes iguales, cada una de las cuales constituye una pizza. Entonces todos reciben una pizza.

La división de fracciones se realiza mediante recíprocos. números inversos le permite reemplazar la división con la multiplicación.

Para dividir una fracción por un número, debes multiplicar esta fracción por el recíproco del divisor.

Usando esta regla, escribiremos la división de nuestra mitad de la pizza en dos partes.

Entonces, necesitas dividir la fracción por el número 2. Aquí el dividendo es una fracción y el divisor es 2.

Para dividir una fracción por el número 2, debes multiplicar esta fracción por el recíproco del divisor 2. El recíproco del divisor 2 es una fracción. entonces tienes que multiplicar por

Considera la fracción $\frac63$. Su valor es 2, ya que $\frac63 =6:3 = 2$. ¿Qué sucede si el numerador y el denominador se multiplican por 2? $\frac63\times 2=\frac(12)(6)$. Obviamente, el valor de la fracción no ha cambiado, por lo que $\frac(12)(6)$ también es igual a 2 cuando y. multiplicar el numerador y el denominador por 3 y obtienes $\frac(18)(9)$, o por 27 y obtienes $\frac(162)(81)$ o por 101 y obtienes $\frac(606)(303)$. En cada uno de estos casos, el valor de la fracción que obtenemos al dividir el numerador por el denominador es 2. Esto significa que no ha cambiado.

El mismo patrón se observa en el caso de otras fracciones. Si el numerador y el denominador de la fracción $\frac(120)(60)$ (igual a 2) se divide por 2 (resultado de $\frac(60)(30)$), o por 3 (resultado de $\ frac(40)(20) $), o por 4 (el resultado de $\frac(30)(15)$) y así sucesivamente, entonces en cada caso el valor de la fracción permanece sin cambios e igual a 2.

Esta regla también se aplica a las fracciones que no son iguales. número entero.

Si el numerador y el denominador de la fracción $\frac(1)(3)$ se multiplican por 2, obtenemos $\frac(2)(6)$, es decir, el valor de la fracción no ha cambiado. Y de hecho, si divides la tarta en 3 partes y coges una de ellas, o la divides en 6 partes y coges 2 partes, obtendrás la misma cantidad de tarta en ambos casos. Por lo tanto, los números $\frac(1)(3)$ y $\frac(2)(6)$ son idénticos. Formulemos una regla general.

El numerador y el denominador de cualquier fracción se pueden multiplicar o dividir por el mismo número, y el valor de la fracción no cambia.

Esta regla es muy útil. Por ejemplo, permite en algunos casos, pero no siempre, evitar operaciones con números grandes.

Por ejemplo, podemos dividir el numerador y el denominador de la fracción $\frac(126)(189)$ por 63 y obtener la fracción $\frac(2)(3)$ que es mucho más fácil de calcular. Un ejemplo más. Podemos dividir el numerador y el denominador de la fracción $\frac(155)(31)$ por 31 y obtener la fracción $\frac(5)(1)$ o 5, ya que 5:1=5.

En este ejemplo, nos encontramos por primera vez una fracción cuyo denominador es 1. Tales fracciones juegan un papel importante en los cálculos. Debe recordarse que cualquier número se puede dividir por 1 y su valor no cambiará. Es decir, $\frac(273)(1)$ es igual a 273; $\frac(509993)(1)$ es igual a 509993 y así sucesivamente. Por lo tanto, no necesitamos dividir números por , ya que todo número entero se puede representar como una fracción con un denominador de 1.

Con tales fracciones, cuyo denominador es igual a 1, es posible producir el mismo operaciones aritmeticas, como con todas las demás fracciones: $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30)(1)$, $\frac(4)(1) \times \frac ( 3)(1)=\frac(12)(1)$.

Te preguntarás de qué sirve representar un número entero como una fracción, que tendrá una unidad debajo de la barra, porque es más conveniente trabajar con un número entero. Pero el hecho es que la representación de un número entero como una fracción nos permite producir más eficientemente Varias actividades cuando estamos tratando con números enteros y fraccionarios al mismo tiempo. Por ejemplo, para aprender sumar fracciones con distinto denominador. Supongamos que necesitamos sumar $\frac(1)(3)$ y $\frac(1)(5)$.

Sabemos que solo puedes sumar fracciones cuyos denominadores sean iguales. Entonces, necesitamos aprender cómo llevar fracciones a tal forma cuando sus denominadores son iguales. En este caso, nuevamente necesitamos el hecho de que puedes multiplicar el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número sin cambiar su valor.

Primero, multiplicamos el numerador y el denominador de la fracción $\frac(1)(3)$ por 5. Obtenemos $\frac(5)(15)$, el valor de la fracción no ha cambiado. Luego multiplicamos el numerador y el denominador de la fracción $\frac(1)(5)$ por 3. Obtenemos $\frac(3)(15)$, nuevamente el valor de la fracción no ha cambiado. Por lo tanto, $\frac(1)(3)+\frac(1)(5)=\frac(5)(15)+\frac(3)(15)=\frac(8)(15)$.

Ahora intentemos aplicar este sistema a la suma de números que contienen tanto partes enteras como fraccionarias.

Necesitamos sumar $3 + \frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$. Primero, convertimos todos los términos en fracciones y obtenemos: $\frac31 + \frac(1)(3)+\frac(5)(4)$. Ahora necesitamos llevar todas las fracciones a un denominador común, para esto multiplicamos el numerador y el denominador de la primera fracción por 12, la segunda por 4 y la tercera por 3. Como resultado, obtenemos $\frac(36) (12) + \frac(4 )(12)+\frac(15)(12)$, que es igual a $\frac(55)(12)$. Si quieres deshacerte de fracción impropia, se puede convertir en un número que consta de un entero y una parte fraccionaria: $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ o $4\frac( 7)(12)$.

Todas las reglas que permiten operaciones con fracciones, que acabamos de estudiar, también son válidas en el caso de los números negativos. Entonces, -1: 3 se puede escribir como $\frac(-1)(3)$, y 1: (-3) como $\frac(1)(-3)$.

Dado que tanto dividir un número negativo entre un número positivo como dividir un número positivo entre un número negativo da como resultado números negativos, en ambos casos obtendremos la respuesta en forma de número negativo. Es decir

$(-1) : 3 = \frac(1)(3)$ o $1 : (-3) = \frac(1)(-3)$. El signo menos, cuando se escribe de esta manera, se refiere a la fracción completa como un todo, y no al numerador o al denominador por separado.

Por otro lado, (-1) : (-3) se puede escribir como $\frac(-1)(-3)$, y como cuando dividimos un número negativo por otro número negativo, obtenemos numero positivo, entonces $\frac(-1)(-3)$ se puede escribir como $+\frac(1)(3)$.

La suma y resta de fracciones negativas se realiza de la misma forma que la suma y resta de fracciones positivas. Por ejemplo, ¿cuánto es $1- 1\frac13$? Representemos ambos números como fracciones y obtengamos $\frac(1)(1)-\frac(4)(3)$. Reduzcamos las fracciones a un denominador común y obtengamos $\frac(1 \times 3)(1 \times 3)-\frac(4)(3)$, es decir, $\frac(3)(3)-\frac( 4) (3)$, o $-\frac(1)(3)$.