Todos los números naturales, excepto uno, se dividen en primos y compuestos. Un número primo es un número natural que tiene solo dos divisores: uno y él mismo.. Todos los demás se llaman compuestos. El estudio de las propiedades de los números primos se ocupa de una sección especial de las matemáticas: la teoría de números. En la teoría de anillos, los números primos están relacionados con elementos irreducibles.

Aquí hay una secuencia de números primos a partir de 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73 , 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, ...etc.

Según el teorema fundamental de la aritmética, todo número natural mayor que uno se puede representar como un producto de números primos. Sin embargo, esto es la única forma representación números naturales hasta el orden de los factores. En base a esto, podemos decir que los números primos son las partes elementales de los números naturales.

Tal representación de un número natural se llama descomposición de un número natural en números primos o factorización de un número.

Una de las formas más antiguas y efectivas de calcular números primos es la "tamiz de Erastótenes".

La práctica ha demostrado que después de calcular números primos usando el tamiz Erastofen, se requiere verificar si el número dado es primo. Para ello, se desarrolló pruebas especiales, las llamadas pruebas de primalidad. El algoritmo de estas pruebas es probabilístico. La mayoría de las veces se utilizan en criptografía.

Por cierto, para algunas clases de números existen pruebas especializadas de primalidad efectiva. Por ejemplo, para probar la simplicidad de los números de Mersenne, se usa la prueba de Lucas-Lehmer, y para probar la simplicidad de los números de Fermat, se usa la prueba de Pepin.

Todos sabemos que hay infinitos números. Surge con razón la pregunta: ¿cuántos números primos hay entonces? También hay un número infinito de números primos. La prueba más antigua de este juicio es la prueba de Euclides, que se expone en los Elementos. La demostración de Euclides es la siguiente:

Imagina que el número de números primos es finito. Multipliquémoslos y sumamos uno. El número resultante no se puede dividir por ninguno del conjunto finito de números primos, porque el resto de dividir por cualquiera de ellos da uno. Por tanto, el número debe ser divisible por algún primo no incluido en este conjunto.

El teorema de distribución de números primos establece que el número de primos menores que n, denotados π(n), crece como n / ln(n).

A través de miles de años de estudio de los números primos, se ha descubierto que el número primo más grande conocido es 243112609 − 1. Este número tiene 12 978 189 dígitos decimales y es un primo de Mersenne (M43112609). Este descubrimiento se realizó el 23 de agosto de 2008 en el Departamento de Matemáticas de la Universidad de uCLA como parte de la búsqueda distribuida de números primos de Mersenne de GIMPS.

Casa rasgo distintivo números de Mersenne es la presencia de una prueba de primalidad de Luc-Lehmer altamente eficiente. Con él, los números primos de Mersenne son, durante un largo período de tiempo, los números primos más grandes conocidos.

Sin embargo, hasta el día de hoy, muchas preguntas sobre números primos no han recibido respuestas exactas. En el V Congreso Matemático Internacional, Edmund Landau formuló los principales problemas en el campo de los números primos:

El problema de Goldbach o primer problema de Landau es que hay que probar o refutar que todo número par mayor que dos se puede representar como la suma de dos números primos, y todo número impar mayor que 5 se puede representar como la suma tres simples números.
El segundo problema de Landau requiere encontrar una respuesta a la pregunta: ¿existe un conjunto infinito de "gemelos simples" - números primos, cuya diferencia es igual a 2?
La conjetura de Legendre o tercer problema de Landau es: ¿es cierto que entre n2 y (n + 1)2 siempre hay un número primo?
Cuarto problema de Landau: ¿Es infinito el conjunto de números primos de la forma n2 + 1?
Además de los problemas anteriores, existe el problema de determinar un número infinito de números primos en muchas secuencias enteras como el número de Fibonacci, el número de Fermat, etc.

Desde la época de los antiguos griegos, los números primos han sido muy atractivos para los matemáticos. Ellos están constantemente buscando diferentes caminos su ubicación, pero la mayoría manera efectiva Se considera que "atrapar" los números primos es el método encontrado por el astrónomo y matemático alejandrino Eratóstenes. Este método ya tiene unos 2000 años.

que numeros son primos

¿Cómo definir un número primo? Muchos números son divisibles por otros números. El número por el cual un número entero es divisible se llama divisor.

En este caso, estamos hablando de división sin resto. Por ejemplo, el número 36 se puede dividir por 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y por sí mismo, es decir, por 36. Entonces 36 tiene 9 divisores. El número 23 es divisible solo por sí mismo y por 1, es decir, este número tiene 2 divisores, este número es primo.

Los números que tienen solo dos divisores se llaman números primos. Es decir, un número que es divisible sin resto solo por sí mismo y por uno se llama número primo.

Para los matemáticos, el descubrimiento de patrones en una serie de números, que luego pueden usarse para construir hipótesis, es un evento muy agradable. Pero los números primos se niegan a obedecer ningún patrón. Pero hay una forma de definir los números primos. Este método fue encontrado por Eratóstenes, se llama el "tamiz de Eratóstenes". Veamos una variante de tal "tamiz", presentada en forma de una tabla de números hasta 48, y comprendamos cómo se compila.

En esta tabla, todos los números primos menores de 48 están marcados naranja . Se encuentran así:

• 1 - tiene un solo divisor y por lo tanto no es un número primo;
• 2 es el número primo más pequeño y el único par, ya que todos los demás números pares son divisibles por 2, es decir, tienen al menos 3 divisores, estos números se reducen a columna morada;
• 3 es un número primo, tiene dos divisores, todos los demás números que son divisibles por 3 están excluidos; estos números se resumen en la columna amarilla. La columna marcada en morado y amarillo contiene números divisibles por 2 y 3;
• 5 es un número primo, todos los números que son divisibles por 5 están excluidos; estos números están rodeados por un óvalo verde;
• 7 es un número primo, todos los números que son divisibles por 7 están encerrados en un círculo rojo, no son primos;

Todos los números no primos están marcados en azul. Además, esta tabla se puede compilar a imagen y semejanza.

números primos representan uno de los fenómenos matemáticos más interesantes que ha atraído la atención de científicos y ciudadanos comunes durante más de dos milenios. A pesar de que ahora vivimos en la era de las computadoras y los programas de información más modernos, muchos misterios de los números primos aún no se han resuelto, incluso hay aquellos que los científicos no saben cómo abordar.

Los números primos son, como se sabe por el curso de la aritmética elemental, aquellos que son divisibles sin resto solo por uno y por sí mismo. Por cierto, si un número natural es divisible, además de los enumerados anteriormente, por otro número, entonces se llama compuesto. Uno de los teoremas más famosos establece que cualquier número compuesto puede representarse como el único producto posible de números primos.

Algunos datos interesantes. Primero, la unidad es única en el sentido de que, de hecho, no pertenece ni a los números primos ni a los compuestos. Al mismo tiempo, en la comunidad científica todavía se acostumbra atribuirlo al primer grupo, ya que formalmente cumple plenamente con sus requisitos.

En segundo lugar, el único número par que se ha colado en el grupo de los "números primos" es, por supuesto, dos. Cualquier otro número par simplemente no puede llegar aquí, ya que por definición, además de sí mismo y uno, también es divisible por dos.

Los números primos, cuya lista, como se mencionó anteriormente, puede comenzar con uno, son una serie infinita, tan infinita como la serie de los números naturales. Basado en el teorema fundamental de la aritmética, se puede llegar a la conclusión de que los números primos nunca se interrumpen y nunca terminan, ya que de lo contrario la serie de los números naturales se interrumpiría inevitablemente.

Los números primos no aparecen aleatoriamente en la serie natural, como podría parecer a primera vista. Después de analizarlos cuidadosamente, puede notar inmediatamente varias características, las más curiosas de las cuales están asociadas con los llamados números "gemelos". Se llaman así porque, de alguna manera incomprensible, terminaron uno al lado del otro, separados solo por un delimitador par (cinco y siete, diecisiete y diecinueve).

Si los miras de cerca, notarás que la suma de estos números es siempre un múltiplo de tres. Además, al dividir por un triple del compañero izquierdo, el resto siempre sigue siendo un dos y el derecho, uno. Además, la distribución misma de estos números a lo largo de la serie natural se puede predecir si toda esta serie se representa en forma de sinusoides oscilatorios, cuyos puntos principales se forman cuando los números se dividen por tres y dos.

Los números primos no solo son objeto de un escrutinio minucioso por parte de los matemáticos de todo el mundo, sino que se han utilizado con éxito durante mucho tiempo para compilar varias series de números, que es la base, incluso para el cifrado. Al mismo tiempo, se debe reconocer que una gran cantidad de misterios asociados con estos maravillosos elementos aún esperan ser resueltos, muchas preguntas no solo tienen un significado filosófico, sino también práctico.

Un número primo es un número natural que solo es divisible por sí mismo y por uno.

El resto de los números se llaman compuestos.

números naturales simples

Pero no todos los números naturales son primos.

Los números naturales simples son solo aquellos que son divisibles solo por sí mismos y por uno.

Ejemplos de números primos:

2; 3; 5; 7; 11; 13;...

enteros simples

De ello se deduce que sólo los números naturales son números primos.

Esto significa que los números primos son necesariamente naturales.

Pero todos los números naturales también son enteros.

Por tanto, todos los números primos son enteros.

Ejemplos de números primos:

2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23;...

Incluso los números primos

Sólo hay un número primo par, y ese es dos.

Todos los demás números primos son impares.

¿Por qué un número par mayor que dos no puede ser un número primo?

Pero como todo número par mayor que dos será divisible por sí mismo, no por uno, sino por dos, es decir, tal número siempre tendrá tres divisores, y posiblemente más.

El artículo trata los conceptos de números primos y compuestos. Se dan definiciones de tales números con ejemplos. Damos una demostración de que el número de números primos es ilimitado y hacemos una entrada en la tabla de números primos utilizando el método de Eratóstenes. Se darán pruebas de si un número es primo o compuesto.

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Números primos y compuestos: definiciones y ejemplos

Los números primos y compuestos se clasifican como enteros positivos. Deben ser mayores que uno. Los divisores también se dividen en simples y compuestos. Para comprender el concepto de números compuestos, primero es necesario estudiar los conceptos de divisores y múltiplos.

Definición 1

Los números primos son números enteros que son mayores que uno y tienen dos divisores positivos, es decir, ellos mismos y 1.

Definición 2

Los números compuestos son números enteros que son mayores que uno y tienen al menos tres divisores positivos.

Uno no es un número primo ni compuesto. Solo tiene un divisor positivo, por lo que es diferente de todos los demás números positivos. Todos los números enteros positivos se llaman naturales, es decir, se usan para contar.

Definición 3

números primos Son números naturales que tienen solo dos divisores positivos.

Definición 4

Número compuesto es un número natural que tiene más de dos divisores positivos.

Cualquier número mayor que 1 es primo o compuesto. De la propiedad de divisibilidad tenemos que el 1 y el número a serán siempre divisores de cualquier número a, es decir, será divisible por sí mismo y por 1. Damos la definición de números enteros.

Definición 5

Los números naturales que no son primos se llaman números compuestos.

Números primos: 2, 3, 11, 17, 131, 523. Son divisibles solo por ellos mismos y por 1. Números compuestos: 6, 63, 121, 6697. Es decir, el número 6 se puede descomponer en 2 y 3, y el 63 en 1, 3, 7, 9, 21, 63, y el 121 en 11, 11, es decir, sus divisores serán 1, 11, 121. El número 6697 se descompondrá en 37 y 181. Tenga en cuenta que los conceptos de números primos y números primos relativos son conceptos diferentes.

Para facilitar el uso de números primos, debe usar una tabla:

Una tabla para todos los números naturales existentes no es realista, ya que hay un número infinito de ellos. Cuando los números alcancen tamaños de 10000 o 1000000000, entonces deberías pensar en usar el tamiz de Eratóstenes.

Considere un teorema que explica la última afirmación.

Teorema 1

El menor divisor positivo de un número natural mayor que 1 distinto de 1 es un número primo.

Prueba 1

Suponga que a es un número natural mayor que 1, b es el divisor más pequeño que no es uno de a. Debemos probar que b es un número primo usando el método de la contradicción.

Digamos que b es un número compuesto. De aquí tenemos que hay un divisor para b , que es diferente tanto de 1 como de b . Tal divisor se denota como b 1 . Es necesario que la condición 1< b 1 < b se ha completado.

Se puede ver a partir de la condición de que a es divisible por b, b es divisible por b 1, lo que significa que el concepto de divisibilidad se expresa de esta manera: a = segundo q y b = b 1 q 1 , de donde a = b 1 (q 1 q) , donde q y q 1 son números enteros. Según la regla de la multiplicación de números enteros, tenemos que el producto de números enteros es un número entero con una igualdad de la forma a = b 1 · (q 1 · q) . Se puede ver que b 1 es el divisor de a. Desigualdad 1< b 1 < b no coincide, porque obtenemos que b es el divisor distinto de 1 positivo más pequeño de a.

Teorema 2

Hay infinitos números primos.

Prueba 2

Supongamos que tomamos un número finito de números naturales n y los denotamos como p 1 , p 2 , … , p n . Consideremos una variante de encontrar un número primo diferente a los indicados.

Considere el número p, que es igual a p 1 , p 2 , … , p n + 1 . No es igual a cada uno de los números correspondientes a primos de la forma p 1 , p 2 , … , p n . El número p es primo. Entonces el teorema se considera probado. Si es compuesto, entonces necesitamos tomar la notación p n + 1 y mostrar el desajuste del divisor con cualquiera de p 1 , p 2 , ... , p n .

Si esto no fuera así, entonces, con base en la propiedad de divisibilidad del producto p 1 , p 2 , … , p n , obtenemos que sería divisible por p n + 1 . Tenga en cuenta que la expresión p n + 1 el número p se divide igual a la suma p 1 , p 2 , … , p n + 1 . Obtenemos que la expresión p n + 1 el segundo término de esta suma, que es igual a 1, debe dividirse, pero esto es imposible.

Se puede ver que cualquier número primo se puede encontrar entre cualquier número de primos dados. De ello se deduce que hay infinitos números primos.

Dado que hay muchos números primos, las tablas se limitan a los números 100, 1000, 10000, etc.

Al compilar una tabla de números primos, se debe tener en cuenta el hecho de que dicha tarea requiere una verificación secuencial de números, desde 2 hasta 100. Si no hay divisor, se registra en la tabla; si es compuesto, entonces no se ingresa en la tabla.

Consideremos paso a paso.

Si comienza con el número 2, entonces solo tiene 2 divisores: 2 y 1, lo que significa que se puede ingresar en la tabla. También con el número 3. El número 4 es compuesto, debe descomponerse en 2 y 2. El número 5 es primo, lo que significa que se puede fijar en la tabla. Haz esto hasta el número 100.

Este método es inconveniente y requiere mucho tiempo. Puedes hacer una mesa, pero tienes que gastar un gran número de tiempo. Es necesario utilizar criterios de divisibilidad, lo que acelerará el proceso de búsqueda de divisores.

El método que usa el tamiz de Eratóstenes se considera el más conveniente. Echemos un vistazo a las tablas a continuación. Para empezar se escriben los números 2, 3, 4,..., 50.

Ahora debes tachar todos los números que son múltiplos de 2. Hacer tachado secuencial. Obtenemos una tabla de la forma:

Pasemos a tachar los números que son múltiplos de 5. Obtenemos:

Tachamos los números que son múltiplos de 7, 11. Finalmente la mesa parece

Pasemos a la formulación del teorema.

Teorema 3

El divisor positivo y distinto de 1 más pequeño del número base a no excede a , donde a es raíz aritmética numero dado

Prueba 3

Es necesario designar b divisor más pequeño número compuesto a. Hay un número entero q, donde a = b · q, y tenemos que b ≤ q. Una desigualdad de la forma b > q porque se viola la condición. Ambos lados de la desigualdad b ≤ q deben multiplicarse por cualquier numero positivo b , no igual a 1 . Obtenemos que b b ≤ b q , donde b 2 ≤ a y b ≤ a .

Del teorema probado se puede ver que la eliminación de números en la tabla conduce al hecho de que es necesario comenzar con un número que es igual a b 2 y satisface la desigualdad b 2 ≤ a . Es decir, si tachas números que son múltiplos de 2, entonces el proceso comienza desde 4, y los que son múltiplos de 3 comienzan desde 9, y así hasta 100.

La compilación de una tabla de este tipo utilizando el teorema de Eratóstenes dice que cuando se tachan todos los números compuestos, quedan números primos que no superan n. En el ejemplo donde n = 50 , tenemos que n = 50 . De aquí obtenemos que la criba de Eratóstenes tamiza todos los números compuestos que no son mas valor raiz de 50 La búsqueda de números se realiza tachando.

Antes de resolver, es necesario averiguar si el número es primo o compuesto. A menudo se utilizan criterios de divisibilidad. Veamos esto en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1

Demuestra que 898989898989898989 es un número compuesto.

Decisión

La suma de los dígitos del número dado es 9 8 + 9 9 = 9 17 . Entonces el número 9 17 es divisible por 9, basado en el signo de divisibilidad por 9. Se sigue que es compuesto.

Tales signos no pueden probar la primacía de un número. Si se necesita verificación, se deben tomar otras medidas. La forma más adecuada es enumerar números. Durante el proceso, se pueden encontrar números primos y compuestos. Es decir, los números en valor no deben exceder un . Es decir, el número a debe descomponerse en factores primos. si esto es cierto, entonces el número a puede considerarse primo.

Ejemplo 2

Determine el número compuesto o primo 11723.

Decisión

Ahora necesitas encontrar todos los divisores para el número 11723. Necesidad de evaluar 11723 .

De aquí vemos que 11723< 200 , то 200 2 = 40 000 , y 11 723< 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 menos que número 200 .

Para una estimación más precisa del número 11723, es necesario escribir la expresión 108 2 = 11 664, y 109 2 = 11 881 , entonces 108 2 < 11 723 < 109 2 . De esto se deduce que 11723< 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.

Al descomponer, obtenemos que 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 son todos números primos. Todo este proceso se puede representar como división por una columna. Es decir, divide 11723 entre 19. El número 19 es uno de sus factores, ya que obtenemos una división sin resto. Representemos la división por una columna:

Se sigue que 11723 es un número compuesto, porque además de sí mismo y 1 tiene un divisor 19 .

Responder: 11723 es un número compuesto.

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