Él calculadora online descompone números en factores primos por enumeración de divisores primos. Si el número es grande, use un separador de dígitos para facilitar la presentación.
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Factorizar un número en factores primos: teoría, algoritmo, ejemplos y soluciones
Una de las formas más sencillas de factorizar un número es comprobar si el número dado es divisible por 2, 3, 5,... etc., es decir comprobar si un número es divisible por una serie de números primos. si el numero norte no es divisible por ningún número primo hasta , entonces este número es primo, porque si el número es compuesto, entonces tiene al menos dos factores y ambos no pueden ser mayores que .
Imaginemos el algoritmo de descomposición de números norte a factores primos. Prepare una tabla de números primos por adelantado. s=. Denote una serie de números primos a través de pag 1 , pag 2 , pag 3 , ...
Algoritmo para descomponer un número en divisores primos:
Ejemplo 1. Descomponer el número 153 en factores primos.
Decisión. Nos basta con tener una tabla de números primos hasta 
, es decir. 2, 3, 5, 7, 11.
Divide 153 por 2. 153 no es divisible por 2 sin resto. A continuación, dividimos 153 por el siguiente elemento de la tabla de números primos, es decir, por 3. 153:3=51. Completar la tabla:
A continuación, comprobamos si el número 17 es divisible por 3. El número 17 no es divisible por 3. Tampoco es divisible por los números 5, 7, 11. El siguiente divisor es mayor . Por lo tanto, 17 es un número primo que solo es divisible por sí mismo: 17:17=1. El procedimiento se ha detenido. completar la tabla:
Seleccionamos aquellos divisores en los que los números 153, 51, 17 se dividieron sin resto, es decir todos los números en el lado derecho de la tabla. Estos son los divisores 3, 3, 17. Ahora el número 153 se puede representar como un producto de números primos: 153=3 3 17.
Ejemplo 2. Descomponer el número 137 en factores primos.
Decisión. Calcular 
. Entonces, debemos verificar la divisibilidad del número 137 entre números primos hasta el 11: 2,3,5,7,11. Dividiendo alternativamente el número 137 entre estos números, encontramos que el número 137 no es divisible por ninguno de los números 2,3,5,7,11. Por lo tanto, 137 es un número primo.
En este artículo encontrarás toda la información necesaria que responde a la pregunta, como factorizar un numero. Dado primero Idea general sobre la descomposición de un número en factores primos, se dan ejemplos de expansiones. A continuación se muestra la forma canónica de factorizar un número en factores primos. Después de eso, se proporciona un algoritmo para descomponer números arbitrarios en factores primos y se dan ejemplos de descomposición de números usando este algoritmo. También considerado caminos alternativos, lo que le permite descomponer rápidamente números enteros pequeños en factores primos utilizando signos de divisibilidad y una tabla de multiplicar.
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¿Qué significa factorizar un número en factores primos?
Primero, veamos qué son los factores primos.
Es claro que como la palabra “factores” está presente en esta frase, entonces se realiza el producto de algunos números, y la palabra aclaratoria “primo” significa que cada factor es un número primo. Por ejemplo, en un producto de la forma 2 7 7 23 hay cuatro factores primos: 2 , 7 , 7 y 23 .
¿Qué significa factorizar un número en factores primos?
Esto significa que el número dado debe representarse como un producto de factores primos y el valor de este producto debe ser igual al número original. Como ejemplo, considere el producto de tres números primos 2 , 3 y 5 , es igual a 30 , entonces la factorización del número 30 en factores primos es 2 3 5 . Usualmente, la descomposición de un número en factores primos se escribe como una igualdad, en nuestro ejemplo será así: 30=2 3 5 . Por separado, enfatizamos que los factores primos en la expansión se pueden repetir. Esto se ilustra claramente con el siguiente ejemplo: 144=2 2 2 2 3 3 . Pero la representación de la forma 45=3 15 no es una descomposición en factores primos, ya que el número 15 es compuesto.
Surge la siguiente pregunta: “¿Y qué números se pueden descomponer en factores primos”?
En busca de una respuesta a la misma, presentamos el siguiente razonamiento. Los números primos, por definición, están entre los mayores que uno. Dado este hecho y , se puede argumentar que el producto de varios factores primos es un número entero numero positivo superando la unidad. Por lo tanto, la factorización se lleva a cabo solo para números enteros positivos que son mayores que 1.
Pero, ¿todos los números enteros mayores que un factor se convierten en factores primos?
Está claro que no hay manera de descomponer números enteros simples en factores primos. Esto se debe a que los números primos solo tienen dos divisores positivos, uno y sí mismo, por lo que no se pueden representar como un producto de dos o más números primos. Si un entero z pudiera representarse como un producto de los números primos a y b, entonces el concepto de divisibilidad nos permitiría concluir que z es divisible tanto por a como por b, lo cual es imposible debido a la simplicidad del número z. Sin embargo, se cree que cualquier número primo es en sí mismo su descomposición.
¿Qué pasa con los números compuestos? ¿Se despliegan? números compuestos en factores primos, y ¿están todos los números compuestos sujetos a tal descomposición? El teorema fundamental de la aritmética da una respuesta afirmativa a varias de estas preguntas. El teorema fundamental de la aritmética establece que cualquier entero a mayor que 1 se puede descomponer en el producto de factores primos p 1 , p 2 , ..., p n , mientras que la expansión tiene la forma a=p 1 p 2 .. .p n , y esta la descomposición es única, si no tenemos en cuenta el orden de los factores
Descomposición canónica de un número en factores primos
En la expansión de un número se pueden repetir los factores primos. Los factores primos repetidos se pueden escribir de manera más compacta usando . Deje que el factor primo p 1 ocurra s 1 veces en la descomposición del número a, el factor primo p 2 - s 2 veces, y así sucesivamente, p n - s n veces. Entonces la descomposición en factores primos del número a se puede escribir como un = pag 1 s 1 pag 2 s 2 pag norte s norte. Esta forma de escritura es la llamada factorización canónica de un número en factores primos.
Pongamos un ejemplo de descomposición canónica de un número en factores primos. Háganos saber la descomposición. 609 840=2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, su forma canónica es 609 840=2 4 3 2 5 7 11 2.
La descomposición canónica de un número en factores primos te permite encontrar todos los divisores del número y el número de divisores del número.
Algoritmo para descomponer un número en factores primos
Para hacer frente con éxito a la tarea de descomponer un número en factores primos, debe ser muy bueno con la información del artículo Números simples y compuestos.
La esencia del proceso de expansión de un número entero positivo y mayor que un número a se desprende de la demostración del teorema principal de la aritmética. El punto es encontrar secuencialmente los divisores primos más pequeños p 1 , p 2 , …,p n números a, a 1 , a 2 , …, a n-1 , lo que te permite obtener una serie de igualdades a=p 1 a 1 , donde a 1 = a:p 1 , a=p 1 a 1 =p 1 p 2 a 2 , donde a 2 =a 1:p 2 , …, a=p 1 p 2 …p n a n , donde a n =a n -1:pn. Cuando se obtiene a n =1, entonces la igualdad a=p 1 ·p 2 ·…·p n nos dará la descomposición requerida del número a en factores primos. Aquí también hay que señalar que pag 1 ≤ pag 2 ≤ pag 3 ≤…≤ pag norte.
Queda por tratar de encontrar los divisores primos más pequeños en cada paso, y tendremos un algoritmo para descomponer un número en factores primos. La tabla de números primos nos ayudará a encontrar divisores primos. Vamos a mostrar cómo usarlo para obtener el divisor primo más pequeño del número z.
Tomamos secuencialmente números primos de la tabla de números primos (2 , 3 , 5 , 7 , 11 y así sucesivamente) y dividimos el número dado z entre ellos. El primer número primo por el cual z es divisible por igual es su divisor primo más pequeño. Si el número z es primo, entonces su divisor primo más pequeño será el mismo número z. También debe recordarse aquí que si z no es número primo, entonces su mínimo divisor primo no excede el número , donde - de z . Por lo tanto, si entre los números primos que no exceden , no hubo un solo divisor del número z, entonces podemos concluir que z es un número primo (se escribe más sobre esto en la sección de teoría bajo el encabezado este número es primo o compuesto ).
Por ejemplo, mostremos cómo encontrar el divisor primo más pequeño del número 87. Tomamos el número 2. Divida 87 por 2, obtenemos 87: 2 = 43 (resto 1) (si es necesario, consulte el artículo). Es decir, al dividir 87 entre 2, el resto es 1, por lo que 2 no es divisor del número 87. Tomamos el siguiente número primo de la tabla de números primos, este es el número 3. Dividimos 87 por 3, obtenemos 87:3=29. Entonces 87 es divisible por 3, por lo que 3 es el divisor primo más pequeño de 87.
Nótese que en el caso general, para factorizar el número a, necesitamos una tabla de primos hasta un número no menor que . Tendremos que consultar esta tabla en cada paso, por lo que debemos tenerla a mano. Por ejemplo, para factorizar el número 95, necesitaremos una tabla de números primos hasta el 10 (ya que 10 es mayor que ). Y para descomponer el número 846 653, ya necesitarás una tabla de números primos hasta el 1000 (ya que 1000 es mayor que).
Ahora tenemos suficiente información para escribir Algoritmo para factorizar un número en factores primos. El algoritmo para expandir el número a es el siguiente:
- Clasificando secuencialmente los números de la tabla de números primos, encontramos el divisor primo más pequeño p 1 del número a, después de lo cual calculamos a 1 =a:p 1 . Si a 1 = 1 , entonces el número a es primo y es él mismo su descomposición en factores primos. Si a 1 es igual a 1, entonces tenemos a=p 1 ·a 1 y vamos al siguiente paso.
- Encontramos el divisor primo más pequeño p 2 del número a 1 , para esto clasificamos secuencialmente los números de la tabla de números primos, comenzando con p 1 , después de lo cual calculamos a 2 =a 1:p 2 . Si a 2 =1, entonces la descomposición deseada del número a en factores primos tiene la forma a=p 1 ·p 2 . Si a 2 es igual a 1, entonces tenemos a=p 1 ·p 2 ·a 2 y vamos al siguiente paso.
- Repasando los números de la tabla de números primos, comenzando con p 2 , encontramos el divisor primo más pequeño p 3 del número a 2 , después de lo cual calculamos a 3 =a 2:p 3 . Si a 3 =1, entonces la descomposición deseada del número a en factores primos tiene la forma a=p 1 ·p 2 ·p 3 . Si a 3 es igual a 1, entonces tenemos a=p 1 ·p 2 ·p 3 ·a 3 y vamos al siguiente paso.
- Encuentre el divisor primo más pequeño p n del número a n-1 ordenando los números primos, comenzando con p n-1 , así como a n =a n-1:p n , y a n es igual a 1 . Este paso es el último paso del algoritmo, aquí obtenemos la descomposición requerida del número a en factores primos: a=p 1 ·p 2 ·…·p n .
Todos los resultados obtenidos en cada paso del algoritmo para descomponer un número en factores primos se presentan para mayor claridad en la siguiente tabla, en la que los números a, a 1, a 2, ..., a n se escriben secuencialmente para a la izquierda de la barra vertical, ya la derecha de la barra, los divisores primos más pequeños correspondientes p 1 , p 2 , …, p n .
Solo queda considerar algunos ejemplos de la aplicación del algoritmo obtenido para descomponer números en factores primos.
Ejemplos de factorización prima
Ahora analizaremos en detalle Ejemplos de descomposición en factores primos. Al descomponer, aplicaremos el algoritmo del párrafo anterior. Comencemos con casos simples, y compliquémoslos gradualmente para enfrentar todos los posibles matices que surgen al descomponer números en factores primos.
Ejemplo.
Factoriza el número 78 en factores primos.
Decisión.
Comenzamos a buscar el primer divisor primo más pequeño p 1 del número a=78. Para hacer esto, comenzamos a clasificar secuencialmente los números primos de la tabla de números primos. Tomamos el número 2 y lo dividimos por 78, obtenemos 78:2=39. El número 78 se dividió por 2 sin resto, por lo que p 1 \u003d 2 es el primer divisor primo encontrado del número 78. En este caso a 1 =a:p 1 =78:2=39 . Así llegamos a la igualdad a=p 1 ·a 1 que tiene la forma 78=2·39 . Obviamente, un 1 =39 es diferente de 1, así que vamos al segundo paso del algoritmo.
Ahora buscamos el divisor primo más pequeño p 2 del número a 1 =39 . Comenzamos la enumeración de números de la tabla de números primos, comenzando con p 1 =2. Divida 39 por 2, obtenemos 39:2=19 (1 restante). Como 39 no es divisible por 2, 2 no es su divisor. Luego tomamos el siguiente número de la tabla de números primos (el número 3) y lo dividimos por 39, obtenemos 39:3=13. Por lo tanto, p 2 \u003d 3 es el divisor primo más pequeño del número 39, mientras que a 2 \u003d a 1: p 2 \u003d 39: 3=13. Tenemos la igualdad a=p 1 p 2 a 2 en la forma 78=2 3 13 . Como 2 = 13 es diferente de 1, pasamos al siguiente paso del algoritmo.
Aquí necesitamos encontrar el divisor primo más pequeño del número a 2 =13. En busca del divisor primo más pequeño p 3 del número 13, ordenaremos secuencialmente los números de la tabla de números primos, comenzando con p 2 =3. El número 13 no es divisible por 3, ya que 13:3=4 (resto 1), tampoco el 13 es divisible por 5, 7 y 11, ya que 13:5=2 (resto 3), 13:7=1 (resolución 6) y 13:11=1 (resolución 2) . El siguiente número primo es 13, y 13 es divisible por él sin resto, por lo tanto, el divisor primo más pequeño p 3 del número 13 es el mismo número 13, y a 3 =a 2:p 3 =13:13=1 . Como a 3 =1 , este paso del algoritmo es el último, y la descomposición deseada del número 78 en factores primos tiene la forma 78=2·3·13 (a=p 1 ·p 2 ·p 3 ).
Responder:
78=2 3 13 .
Ejemplo.
Expresar el número 83.006 como producto de factores primos.
Decisión.
En el primer paso del algoritmo para factorizar un número en factores primos, encontramos p 1 =2 y a 1 =a:p 1 =83 006:2=41 503 , de donde 83 006=2 41 503 .
En el segundo paso, encontramos que 2 , 3 y 5 no son divisores primos del número a 1 =41 503 , y el número 7 lo es, ya que 41 503: 7=5 929 . Tenemos p 2 =7 , a 2 =a 1:p 2 =41 503:7=5 929 . Así, 83 006=2 7 5 929 .
El divisor primo más pequeño de a 2 =5 929 es 7 , ya que 5 929:7=847 . Así, p 3 =7 , a 3 =a 2:p 3 =5 929:7=847 , de donde 83 006=2 7 7 847 .
Además encontramos que el divisor primo más pequeño p 4 del número a 3 =847 es igual a 7 . Entonces a 4 =a 3:p 4 =847:7=121 , entonces 83 006=2 7 7 7 121 .
Ahora encontramos el divisor primo más pequeño del número a 4 =121, es el número p 5 =11 (ya que 121 es divisible por 11 y no es divisible por 7). Entonces a 5 =a 4:p 5 =121:11=11 , y 83 006=2 7 7 7 11 11 .
Finalmente, el divisor primo más pequeño de a 5 =11 es p 6 =11 . Entonces a 6 =a 5:p 6 =11:11=1 . Como a 6 =1 , entonces este paso del algoritmo para descomponer un número en factores primos es el último, y la descomposición deseada tiene la forma 83 006=2·7·7·7·11·11 .
El resultado obtenido se puede escribir como una descomposición canónica del número en factores primos 83 006=2·7 3 ·11 2 .
Responder:
83 006=2 7 7 7 11 11=2 7 3 11 2 991 es un número primo. De hecho, no tiene un solo divisor primo que no exceda ( puede estimarse aproximadamente como , ya que es obvio que 991<40 2
), то есть, наименьшим делителем числа 991
является оно само. Тогда p 3 =991
и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1
. Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289
на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991
.
Responder:
897 924 289=937 967 991 .
Uso de pruebas de divisibilidad para factorización prima
En casos simples, puedes descomponer un número en factores primos sin usar el algoritmo de descomposición del primer párrafo de este artículo. Si los números no son grandes, entonces para descomponerlos en factores primos, a menudo es suficiente conocer los signos de divisibilidad. Damos ejemplos para aclaración.
Por ejemplo, necesitamos descomponer el número 10 en factores primos. Sabemos por la tabla de multiplicar que 2 5=10 y que los números 2 y 5 son obviamente primos, por lo que la descomposición en factores primos de 10 es 10=2 5 .
Otro ejemplo. Usando la tabla de multiplicar, descomponemos el número 48 en factores primos. Sabemos que seis ocho es cuarenta y ocho, es decir, 48=6 8. Sin embargo, ni el 6 ni el 8 son números primos. Pero sabemos que dos veces tres es seis, y dos veces cuatro es ocho, es decir, 6=2 3 y 8=2 4 . Entonces 48=6 8=2 3 2 4 . Queda por recordar que dos veces dos es cuatro, entonces obtenemos la descomposición deseada en factores primos 48=2 3 2 2 2 . Escribamos esta descomposición en forma canónica: 48=2 4 ·3 .
Pero al descomponer el número 3400 en factores primos, puedes usar los signos de divisibilidad. Los signos de divisibilidad por 10, 100 nos permiten afirmar que 3400 es divisible por 100, mientras que 3400=34 100, y 100 es divisible por 10, mientras que 100=10 10, por tanto, 3400=34 10 10. Y sobre la base del signo de divisibilidad por 2, se puede argumentar que cada uno de los factores 34, 10 y 10 es divisible por 2, obtenemos 3 400=34 10 10=2 17 2 5 2 5. Todos los factores en la expansión resultante son simples, por lo que esta expansión es la requerida. Solo queda reordenar los factores para que vayan en orden ascendente: 3 400=2 2 2 5 5 17 . También anotamos la descomposición canónica de este número en factores primos: 3 400=2 3 5 2 17 .
Al descomponer un número dado en factores primos, puedes usar a su vez tanto los signos de divisibilidad como la tabla de multiplicar. Representemos el número 75 como un producto de factores primos. El signo de divisibilidad por 5 nos permite afirmar que 75 es divisible por 5, mientras obtenemos que 75=5 15. Y de la tabla de multiplicar sabemos que 15=3 5 , por lo tanto, 75=5 3 5 . Esta es la descomposición deseada del número 75 en factores primos.
Bibliografía.
- Vilenkin N. Ya. etc Matemáticas. Grado 6: libro de texto para instituciones educativas.
- Vinogradov I. M. Fundamentos de la teoría de números.
- Mikhelovich Sh.Kh. Teoría de los números.
- Kulikov L. Ya. y otros Colección de problemas de álgebra y teoría de números: Libro de texto para estudiantes de fiz.-mat. especialidades de los institutos pedagógicos.
¿Qué significa factorizar? Esto significa encontrar números cuyo producto sea igual al número original.
Para entender lo que significa factorizar, considere un ejemplo.
Un ejemplo de factorización de un número.
Factoriza el número 8.
El número 8 se puede representar como un producto de 2 por 4:
Representando 8 como producto de 2 * 4 y de ahí la factorización.
Tenga en cuenta que esta no es la única factorización de 8.
Después de todo, 4 se factoriza de la siguiente manera:
A partir de aquí se pueden representar 8:
8 = 2 * 2 * 2 = 2 3
Revisemos nuestra respuesta. Hallemos a qué es igual la factorización:
Es decir, recibimos el número original, la respuesta es correcta.
factorizar el numero 24
¿Cómo factorizar el número 24?
Un número se llama primo si solo es divisible por 1 y por sí mismo.
El número 8 se puede representar como un producto de 3 por 8:
Aquí se factoriza el número 24. Pero la tarea dice "para factorizar el número 24", es decir necesitamos factores primos. Y en nuestra expansión, 3 es un factor primo y 8 no es un factor primo.
Cualquier número compuesto se puede expresar como el producto de sus divisores primos:
28 = 2 2 7
Las partes derechas de las igualdades obtenidas se llaman factorización prima números 15 y 28.
Factorizar un número compuesto dado en factores primos significa representar este número como un producto de sus divisores primos.
La descomposición de un número dado en factores primos se realiza de la siguiente manera:
- Primero debe elegir el número primo más pequeño de la tabla de números primos, por el cual este número compuesto es divisible sin resto, y realizar la división.
- A continuación, debe elegir nuevamente el número primo más pequeño por el cual el cociente ya obtenido se dividirá sin resto.
- La ejecución de la segunda acción se repite hasta obtener la unidad en el cociente.
Como ejemplo, factoricemos el número 940. Encuentra el número primo más pequeño que divide a 940. Este número es 2:
Ahora seleccionamos el número primo más pequeño por el cual es divisible 470. Este número es nuevamente 2:
El número primo más pequeño por el que 235 es divisible es 5:
El número 47 es primo, por lo que el número primo más pequeño por el que 47 es divisible es el número mismo:
Así, obtenemos el número 940, descompuesto en factores primos:
940 = 2 470 = 2 2 235 = 2 2 5 47
Si la descomposición de un número en factores primos dio como resultado varios factores idénticos, entonces, por brevedad, se pueden escribir como un grado:
940 = 2 2 5 47
Es más conveniente escribir la descomposición en factores primos de la siguiente manera: primero, escribimos el número compuesto dado y dibujamos una línea vertical a la derecha:
A la derecha de la línea, escribimos el divisor simple más pequeño por el cual el número compuesto dado es divisible:
Realizamos la división y escribimos el cociente resultante debajo del dividendo:
Con un cociente hacemos lo mismo que con un número compuesto dado, es decir, seleccionamos el número primo más pequeño por el que es divisible sin resto y realizamos la división. Y así repetimos hasta obtener la unidad en el cociente:
Tenga en cuenta que a veces es bastante difícil realizar la descomposición de un número en factores primos, ya que durante la descomposición podemos encontrarnos con un número grande que es difícil determinar sobre la marcha si es primo o compuesto. Y si es compuesto, entonces no siempre es fácil encontrar su divisor primo más pequeño.
Intentemos, por ejemplo, descomponer el número 5106 en factores primos:
Habiendo alcanzado el cociente 851, es difícil determinar inmediatamente su divisor más pequeño. Pasamos a la tabla de los números primos. Si en él hay un número que nos pone en dificultad, entonces es divisible sólo por sí mismo y por uno. El número 851 no está en la tabla de números primos, lo que significa que es compuesto. Solo queda dividirlo en números primos por el método de enumeración secuencial: 3, 7, 11, 13,..., y así sucesivamente hasta encontrar un divisor primo adecuado. Usando el método de enumeración, encontramos que 851 es divisible por el número 23.
(excepto 0 y 1) tienen al menos dos divisores: 1 y sí mismo. Los números que no tienen otros divisores se llaman sencillo números. Los números que tienen otros divisores se llaman Constitucion(o complejo) números. Hay un número infinito de números primos. Los siguientes son números primos que no exceden de 200:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,
47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,
103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,
157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.
Multiplicación- una de las cuatro operaciones aritméticas básicas, una operación matemática binaria en la que un argumento se suma tantas veces como muestra el otro. En aritmética, la multiplicación se entiende como un breve registro de la suma de un número específico de términos idénticos.
por ejemplo, la entrada 5 * 3 significa "suma tres cincos", es decir, 5 + 5 + 5. El resultado de la multiplicación se llama trabaja, y los números multiplicados son multiplicadores o factores. El primer factor a veces se llama " multiplicando».
Cualquier número compuesto se puede descomponer en factores primos. Con cualquier método se obtiene la misma descomposición, si no tenemos en cuenta el orden de escritura de los factores.
Factorización de un número (Factorización).
Factorización (factorización)- enumeración de divisores: un algoritmo para factorizar o probar la simplicidad de un número mediante una enumeración completa de todos los posibles divisores posibles.
Es decir, en términos simples, la factorización es el nombre del proceso de convertir números en factores, expresado en lenguaje científico.
La secuencia de acciones al descomponer en factores primos:
1. Comprueba si el número propuesto es primo.
2. Si no es así, seleccionamos, guiados por los signos de la división, un divisor de números primos empezando por el más pequeño (2, 3, 5...).
3. Repite esta acción hasta que el cociente sea un número primo.
