número primo es un número natural (entero positivo) que es divisible sin resto por solo dos números naturales: por sí mismo. En otras palabras, un número primo tiene exactamente dos divisores naturales: y el propio número.
Por definición, el conjunto de todos los divisores de un número primo es de dos elementos, es decir es un conjunto.
El conjunto de todos los números primos se denota con el símbolo . Así, en virtud de la definición del conjunto de primos, podemos escribir: .
La secuencia de números primos se ve así:
Teorema fundamental de la aritmética
Teorema fundamental de la aritmética establece que todo número natural mayor que uno se puede representar como un producto de números primos, y la única forma hasta el orden de los factores. Por lo tanto, números primos son elementales bloques de construcción» conjuntos de números naturales.
Descomposición de un número natural title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> в произведение простых чисел называют !} canónico:
donde es un número primo, y . Por ejemplo, la expansión canónica de un número natural se ve así: .
La representación de un número natural como producto de números primos también se denomina factorización de números.
Propiedades de los números primos
Tamiz de Eratóstenes
Uno de los algoritmos más famosos para buscar y reconocer números primos es tamiz de Eratóstenes. Entonces, este algoritmo recibió su nombre del matemático griego Eratóstenes de Cirene, a quien se considera el autor del algoritmo.
Para encontrar todos los números primos menores que un número dado, siguiendo el método de Eratóstenes, debes seguir estos pasos:
Paso 1. escribe todo enteros de dos a , es decir .
Paso 2 Asigne un valor a una variable, es decir, un valor igual al número primo más pequeño.
Paso 3 Eliminar en la lista todos los números de a múltiplos de , es decir, números: .
Paso 4 Encuentre el primer número sin cruzar en la lista mayor que y asigne el valor de ese número a la variable.
Paso 5 Repita los pasos 3 y 4 hasta alcanzar el número.
El proceso de aplicación del algoritmo se verá así:
Todos los números restantes sin cruzar en la lista al final del proceso de aplicación del algoritmo serán un conjunto de números primos desde hasta .
la hipótesis de Goldbach
Portada del libro "El tío Petros y la conjetura de Goldbach"
A pesar de que los matemáticos han estudiado los números primos durante mucho tiempo, hoy en día muchos problemas relacionados siguen sin resolverse. Uno de los problemas sin resolver más famosos es conjetura de Goldbach, que se formula de la siguiente manera:
- ¿Es cierto que todo número par mayor que dos puede representarse como la suma de dos números primos (conjetura binaria de Goldbach)?
- ¿Es cierto que todo número impar mayor que 5 se puede representar como una suma? tres simples números (conjetura ternaria de Goldbach)?
Cabe decir que la hipótesis ternaria de Goldbach es un caso especial de la hipótesis binaria de Goldbach, o como dicen los matemáticos, la hipótesis ternaria de Goldbach es más débil que la hipótesis binaria de Goldbach.
La conjetura de Goldbach se hizo ampliamente conocida fuera de la comunidad matemática en el año 2000 gracias a un truco de marketing publicitario de las editoriales Bloomsbury USA (EE. UU.) y Faber and Faber (Reino Unido). Estas editoriales, habiendo publicado el libro "La conjetura del tío Petros y Goldbach" ("La conjetura del tío Petros y Goldbach"), prometieron pagar un premio de 1 millón de dólares estadounidenses dentro de los 2 años a partir de la fecha de publicación del libro a quien prueba la conjetura de Goldbach. A veces se confunde el mencionado premio de las editoriales con los premios por resolver los Problemas del Premio del Milenio. No se equivoquen, la Hipótesis de Goldbach no está catalogada como un Desafío del Milenio por el Instituto Clay, aunque está muy relacionada con la hipótesis de Riemann uno de los Retos del Milenio.
El libro "Números simples. Largo camino al infinito
Portada del libro “El Mundo de las Matemáticas. Números simples. Largo camino al infinito
Además, recomiendo leer un fascinante libro de divulgación científica, cuya anotación dice: “La búsqueda de números primos es uno de los problemas más paradójicos de las matemáticas. Los científicos han estado tratando de resolverlo durante varios milenios, pero, al adquirir nuevas versiones e hipótesis, este misterio aún permanece sin resolver. La aparición de los números primos no está sujeta a ningún sistema: surgen espontáneamente en una serie de números naturales, ignorando todos los intentos de los matemáticos por identificar patrones en su secuencia. Este libro permitirá al lector seguir la evolución de las ideas científicas desde la antigüedad hasta nuestros días e introducirá las teorías más curiosas de la búsqueda de los números primos.
Además, citaré el comienzo del segundo capítulo de este libro: “Los números primos son uno de los temas importantes que nos devuelven a los inicios mismos de las matemáticas, y luego, por el camino de la complejidad creciente, nos llevan al corte borde de las matemáticas. ciencia moderna. Por lo tanto, sería muy útil rastrear la fascinante y compleja historia de la teoría de los números primos: cómo se desarrolló exactamente, cómo se recopilaron exactamente los hechos y verdades que ahora se consideran generalmente aceptados. En este capítulo veremos cómo generaciones de matemáticos han estudiado detenidamente los números naturales en busca de una regla que prediga la aparición de los números primos, regla que, en el transcurso de la búsqueda, se hizo cada vez más elusiva. También profundizaremos en el contexto histórico: en qué condiciones trabajaron los matemáticos y en qué medida su trabajo implicó prácticas místicas y semirreligiosas que no se parecen en nada a los métodos científicos utilizados en nuestro tiempo. Sin embargo, lentamente y con dificultad, se preparó el terreno para las nuevas visiones que inspiraron a Fermat y Euler en los siglos XVII y XVIII.”
Los números primos son uno de los fenómenos matemáticos más interesantes que ha atraído la atención de científicos y ciudadanos comunes durante más de dos milenios. A pesar de que ahora vivimos en la era de las computadoras y los programas de información más modernos, muchos misterios de los números primos aún no se han resuelto, incluso hay aquellos que los científicos no saben cómo abordar.
Los números primos son, como se sabe por el curso de la aritmética elemental, aquellos que son divisibles sin resto solo por uno y por sí mismo. Por cierto, si un número natural es divisible, además de los enumerados anteriormente, por otro número, entonces se llama compuesto. Uno de los teoremas más famosos establece que cualquier número compuesto puede representarse como el único producto posible de números primos.
Algunos datos interesantes. Primero, la unidad es única en el sentido de que, de hecho, no pertenece ni a los números primos ni a los compuestos. Al mismo tiempo, en la comunidad científica todavía se acostumbra atribuirlo al primer grupo, ya que formalmente cumple plenamente con sus requisitos.
En segundo lugar, el único número par que se ha colado en el grupo de los "números primos" es, por supuesto, dos. Cualquier otro número par simplemente no puede llegar aquí, ya que por definición, además de sí mismo y uno, también es divisible por dos.
Los números primos, cuya lista, como se mencionó anteriormente, puede comenzar con uno, son una serie infinita, tan infinita como la serie de los números naturales. Basado en el teorema fundamental de la aritmética, se puede llegar a la conclusión de que los números primos nunca se interrumpen y nunca terminan, ya que de lo contrario la serie de los números naturales se interrumpiría inevitablemente.
Los números primos no aparecen aleatoriamente en la serie natural, como podría parecer a primera vista. Después de analizarlos cuidadosamente, puede notar inmediatamente varias características, las más curiosas de las cuales están asociadas con los llamados números "gemelos". Se llaman así porque, de alguna manera incomprensible, terminaron uno al lado del otro, separados solo por un delimitador par (cinco y siete, diecisiete y diecinueve).
Si los miras de cerca, notarás que la suma de estos números es siempre un múltiplo de tres. Además, al dividir por un triple del compañero izquierdo, el resto siempre sigue siendo un dos y el derecho, uno. Además, la distribución misma de estos números a lo largo de la serie natural se puede predecir si toda esta serie se representa en forma de sinusoides oscilatorios, cuyos puntos principales se forman cuando los números se dividen por tres y dos.
Los números primos no solo son objeto de un escrutinio minucioso por parte de matemáticos de todo el mundo, sino que se han utilizado con éxito durante mucho tiempo para compilar varias series de números, que es la base, incluso para la codificación. Al mismo tiempo, se debe reconocer que una gran cantidad de misterios asociados con estos maravillosos elementos aún esperan ser resueltos, muchas preguntas no solo tienen un significado filosófico, sino también práctico.
Todos los números naturales, excepto uno, se dividen en primos y compuestos. Un número primo es un número natural que tiene solo dos divisores: uno y él mismo.. Todos los demás se llaman compuestos. El estudio de las propiedades de los números primos se ocupa de una sección especial de las matemáticas: la teoría de números. En la teoría de anillos, los números primos están relacionados con elementos irreducibles.
Aquí hay una secuencia de números primos a partir de 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73 , 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, ...etc.
Según el teorema fundamental de la aritmética, todo número natural mayor que uno se puede representar como un producto de números primos. Sin embargo, esta es la única forma de representar los números naturales hasta el orden de los factores. En base a esto, podemos decir que los números primos son las partes elementales de los números naturales.
Tal representación de un número natural se llama descomposición de un número natural en números primos o factorización de un número.
Uno de los más antiguos y formas efectivas calcular números primos es el "tamiz de Erastótenes".
La práctica ha demostrado que después de calcular números primos usando el tamiz Erastofen, se requiere verificar si el número dado es primo. Para ello, se desarrolló pruebas especiales, las llamadas pruebas de primalidad. El algoritmo de estas pruebas es probabilístico. La mayoría de las veces se utilizan en criptografía.
Por cierto, para algunas clases de números existen pruebas especializadas de primalidad efectiva. Por ejemplo, para probar la simplicidad de los números de Mersenne, se usa la prueba de Lucas-Lehmer, y para probar la simplicidad de los números de Fermat, se usa la prueba de Pepin.
Todos sabemos que hay infinitos números. Surge con razón la pregunta: ¿cuántos números primos hay entonces? También hay un número infinito de números primos. La prueba más antigua de este juicio es la prueba de Euclides, que se expone en los Elementos. La demostración de Euclides es la siguiente:
Imagina que el número de números primos es finito. Multipliquémoslos y sumamos uno. El número resultante no se puede dividir por ninguno del conjunto finito de números primos, porque el resto de dividir por cualquiera de ellos da uno. Por tanto, el número debe ser divisible por algún primo no incluido en este conjunto.
El teorema de distribución de números primos establece que el número de primos menores que n, denotados π(n), crece como n / ln(n).
A través de miles de años de estudio de los números primos, se ha descubierto que el número primo más grande conocido es 243112609 − 1. Este número tiene 12 978 189 dígitos decimales y es un primo de Mersenne (M43112609). Este descubrimiento se realizó el 23 de agosto de 2008 en el Departamento de Matemáticas de la Universidad de uCLA como parte de la búsqueda distribuida de números primos de Mersenne de GIMPS.
Casa rasgo distintivo números de Mersenne es la presencia de una prueba de primalidad de Luc-Lehmer altamente eficiente. Con él, los números primos de Mersenne son, durante un largo período de tiempo, los números primos más grandes conocidos.
Sin embargo, hasta el día de hoy, muchas preguntas sobre números primos no han recibido respuestas exactas. En el V Congreso Matemático Internacional, Edmund Landau formuló los principales problemas en el campo de los números primos:
El problema de Goldbach, o primer problema de Landau, consiste en probar o refutar que todo número par mayor que dos se puede representar como la suma de dos primos, y todo número impar mayor que 5 se puede representar como la suma de tres números primos.
El segundo problema de Landau requiere encontrar una respuesta a la pregunta: ¿existe un conjunto infinito de "gemelos simples" - números primos, cuya diferencia es igual a 2?
La conjetura de Legendre o tercer problema de Landau es: ¿es cierto que entre n2 y (n + 1)2 siempre hay un número primo?
Cuarto problema de Landau: ¿Es infinito el conjunto de números primos de la forma n2 + 1?
Además de los problemas anteriores, existe el problema de determinar un número infinito de números primos en muchas secuencias enteras como el número de Fibonacci, el número de Fermat, etc.
Lista de divisores. Por definición, el número norte es primo solo si no es divisible por 2 y cualquier número entero que no sea 1 y él mismo. La fórmula anterior elimina pasos innecesarios y ahorra tiempo: por ejemplo, después de verificar si un número es divisible por 3, no es necesario verificar si es divisible por 9.
- La función floor(x) redondea x al entero más cercano menor o igual que x.
Aprende sobre aritmética modular. La operación "x mod y" (mod es la abreviatura de la palabra latina "modulo", que significa "módulo") significa "dividir x entre y y encontrar el resto". En otras palabras, en aritmética modular, al llegar a una cierta cantidad, Lo que es llamado módulo, los números "vuelven" a cero. Por ejemplo, un reloj mide el tiempo en módulo 12: muestra las 10, 11 y 12 en punto y luego vuelve a 1.
- Muchas calculadoras tienen una tecla mod. El final de esta sección muestra cómo calcular manualmente esta función para números grandes.
Aprende sobre las trampas del Pequeño Teorema de Fermat. Todos los números para los que no se cumplen las condiciones de prueba son compuestos, pero los números restantes son solo probablemente se consideran simples. Si desea evitar resultados incorrectos, busque norte en la lista de "Números de Carmichael" (números compuestos que satisfacen esta prueba) y "Números de Fermat pseudo-primos" (estos números cumplen las condiciones de la prueba solo para algunos valores un).
Si es conveniente, utilice la prueba de Miller-Rabin. Aunque este método bastante engorroso para los cálculos manuales, a menudo se utiliza en programas de computador. Proporciona una velocidad aceptable y da menos errores que el método de Fermat. Número compuesto no se tomará como simple si los cálculos se realizan para valores superiores a ¼ un. Si eliges al azar varios significados un y para todos ellos la prueba dará resultado positivo, se puede suponer con un alto grado de certeza que norte es un número primo.
Para números grandes, utilice la aritmética modular. Si no tiene una calculadora con la función mod a la mano o la calculadora no está diseñada para operaciones con tal números grandes, utilice las propiedades de potencia y la aritmética modular para facilitar los cálculos. A continuación se muestra un ejemplo para 3 50 (\ estilo de visualización 3 ^ (50)) modelo 50:
- Reescriba la expresión en una forma más conveniente: mod 50. Al calcular manualmente, pueden ser necesarias simplificaciones adicionales.
- (3 25 ∗ 3 25) (\displaystyle (3^(25)*3^(25))) mod 50 = mod 50 mod 50) mod 50. Aquí hemos tenido en cuenta la propiedad de la multiplicación modular.
- 3 25 (\ estilo de visualización 3 ^ (25)) módulo 50 = 43.
- (3 25 (\ estilo de visualización (3^ (25)) modelo 50 ∗ 3 25 (\displaystyle *3^(25)) mod 50) mod 50 = (43 ∗ 43) (\displaystyle (43*43)) modo 50.
- = 1849 (\ estilo de visualización = 1849) modo 50.
- = 49 (\ estilo de visualización = 49).
Un número primo es un número natural que solo es divisible por sí mismo y por uno.
El resto de los números se llaman compuestos.
números naturales simples
Pero no todos los números naturales son primos.
Los números naturales simples son solo aquellos que son divisibles solo por sí mismos y por uno.
Ejemplos de números primos:
2; 3; 5; 7; 11; 13;...
enteros simples
De ello se deduce que sólo los números naturales son números primos.
Esto significa que los números primos son necesariamente naturales.
Pero todos los números naturales también son enteros.
Por tanto, todos los números primos son enteros.
Ejemplos de números primos:
2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23;...
Incluso los números primos
Sólo hay un número primo par, y ese es dos.
Todos los demás números primos son impares.
¿Por qué un número par mayor que dos no puede ser un número primo?
Pero como todo número par mayor que dos será divisible por sí mismo, no por uno, sino por dos, es decir, tal número siempre tendrá tres divisores, y posiblemente más.
