Cómo reemplazar una expresión con idénticamente igual. Transformaciones de identidad

Considere dos igualdades:

1. un 12 * un 3 = un 7 * un 8

Esta igualdad se cumplirá para cualquier valor de la variable a. El rango de valores válidos para esa igualdad será todo el conjunto de los números reales.

2. un 12: un 3 = un 2 * un 7 .

Esta desigualdad se cumplirá para todos los valores de la variable a, excepto para a igual a cero. El rango de valores aceptables para esta desigualdad será todo el conjunto de los números reales, excepto el cero.

Acerca de cada una de estas igualdades, se puede argumentar que será cierto para cualquier valores permitidos variable A. Tales ecuaciones en matemáticas se llaman identidades.

El concepto de identidad

Una identidad es una igualdad que se cumple para cualquier valor admisible de las variables. Si se sustituyen valores válidos en esta igualdad en lugar de variables, entonces se debe obtener la igualdad numérica correcta.

Vale la pena señalar que las verdaderas igualdades numéricas también son identidades. Las identidades, por ejemplo, serán propiedades de acciones sobre números.

3. a + b = b + a;

4. a + (b + c) = (a + b) + c;

6. a*(b*c) = (a*b)*c;

7. a*(b + c) = a*b + a*c;

11. a*(-1) = -a.

Si dos expresiones para cualquier variable admisible son respectivamente iguales, entonces tales expresiones se llaman idénticamente iguales. A continuación se muestran algunos ejemplos de expresiones idénticamente iguales:

1. (un 2) 4 y un 8;

2. a*b*(-a^2*b) y -a 3 *b 2 ;

3. ((x 3 *x 8)/x) y x 10 .

Siempre podemos reemplazar una expresión con cualquier otra expresión idénticamente igual a la primera. Tal reemplazo será una transformación idéntica.

Ejemplos de identidad

Ejemplo 1: Son las siguientes igualdades identidades:

1. un + 5 = 5 + un;

2. a*(-b) = -a*b;

3. 3*a*3*b = 9*a*b;

No todas las expresiones anteriores serán identidades. De estas igualdades, solo 1, 2 y 3 igualdades son identidades. Cualesquiera que sean los números que sustituimos en ellos, en lugar de las variables a y b, aún obtenemos las igualdades numéricas correctas.

Pero 4 la igualdad ya no es una identidad. Porque no para todos los valores admisibles se cumplirá esta igualdad. Por ejemplo, con los valores a = 5 y b = 2, obtienes el siguiente resultado:

Esta igualdad no es cierta, ya que el número 3 no es igual al número -3.

§ 2. Expresiones de identidad, identidad. Transformación de identidad de una expresión. Pruebas de identidad

Encontremos los valores de las expresiones 2(x - 1) 2x - 2 para los valores dados de la variable x. Escribimos los resultados en una tabla:

Se puede concluir que los valores de las expresiones 2(x - 1) 2x - 2 para cada valor dado de la variable x son iguales entre sí. Según la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la resta 2(x - 1) = 2x - 2. Por tanto, para cualquier otro valor de la variable x, el valor de la expresión 2(x - 1) 2x - 2 también será iguales entre sí. Tales expresiones se llaman idénticamente iguales.

Por ejemplo, las expresiones 2x + 3x y 5x son sinónimos, ya que para cada valor de la variable x, estas expresiones adquieren los mismos valores(esto se sigue de la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma, ya que 2x + 3x = 5x).

Considere ahora las expresiones 3x + 2y y 5xy. Si x \u003d 1 y b \u003d 1, entonces los valores correspondientes de estas expresiones son iguales entre sí:

3x + 2y \u003d 3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 \u003d 5; 5xy = 5 ∙ 1 ∙ 1 = 5.

Sin embargo, puede especificar valores de x e y para los cuales los valores de estas expresiones no serán iguales entre sí. Por ejemplo, si x = 2; y = 0, entonces

3x + 2y = 3 ∙ 2 + 2 ∙ 0 = 6, 5xy = 5 ∙ 20 = 0.

En consecuencia, existen tales valores de las variables para los cuales los valores correspondientes de las expresiones 3x + 2y y 5xy no son iguales entre sí. Por lo tanto, las expresiones 3x + 2y y 5xy no son idénticamente iguales.

Con base en lo anterior, las identidades, en particular, son igualdades: 2(x - 1) = 2x - 2 y 2x + 3x = 5x.

Una identidad es toda igualdad que registra propiedades conocidas de acciones sobre números. Por ejemplo,

a + b = b + a; (a + b) + c = a + (b + c); a(b + c) = ab + ac;

ab = ba; (ab)c = a(bc); a(b - c) = ab - ac.

También hay igualdades como identidades:

un + 0 = un; un ∙ 0 = 0; a ∙ (-b) = -ab;

a + (-a) = 0; un ∙ 1 = un; a ∙ (-b) = ab.

1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.

Si reducimos términos similares en la expresión -5x + 2x - 9, obtenemos que 5x + 2x - 9 \u003d 7x - 9. En este caso, dicen que la expresión 5x + 2x - 9 fue reemplazada por la expresión 7x - 9, que es idéntico a él.

Las transformaciones idénticas de expresiones con variables se realizan aplicando las propiedades de las operaciones sobre números. En particular, transformaciones idénticas con la apertura de paréntesis, la construcción de términos similares y similares.

Idénticas transformaciones se tienen que realizar al simplificar la expresión, es decir, reemplazando alguna expresión por otra idénticamente igual a ella, que debe ser más corta.

Ejemplo 1. Simplifica la expresión:

1) -0,3 m ∙ 5n;

2) 2(3x - 4) + 3(-4x + 7);

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a).

1) -0,3 m ∙ 5n = -0,3 ∙ 5mn = -1,5 mn;

2) 2(3x4) + 3(-4 + 7) = 6 X - 8 - 1 2x+ 21 = 6x + 13;

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a) = 2 + 5a - un + 2 b + 3 b - un= 3a + 5b + 2.

Para probar que la igualdad es una identidad (en otras palabras, para probar la identidad, uno usa transformaciones de identidad de expresiones.

Puede probar la identidad de una de las siguientes maneras:

• realizar transformaciones idénticas de su lado izquierdo, reduciéndolo así a la forma del lado derecho;
• realizar transformaciones idénticas de su lado derecho, reduciéndolo así a la forma del lado izquierdo;
• realizar transformaciones idénticas de ambas partes, elevando así ambas partes a las mismas expresiones.

Ejemplo 2. Demostrar la identidad:

1) 2x - (x + 5) - 11 \u003d x - 16;

2) 206 - 4a = 5(2a - 3b) - 7(2a - 5b);

3) 2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 13(2x - 5) + 21.

Desarrollo

1) Transformemos el lado izquierdo de esta igualdad:

2x - (x + 5) - 11 = 2x - X- 5 - 11 = x - 16.

Por transformaciones idénticas, la expresión del lado izquierdo de la igualdad se redujo a la forma del lado derecho y así se demostró que esta igualdad es una identidad.

2) Transformemos el lado derecho de esta igualdad:

5(2a - 3b) - 7(2a - 5b) = 10 a - 15 b - 14a + 35 b= 20b - 4a.

Mediante transformaciones idénticas, el lado derecho de la igualdad se redujo a la forma del lado izquierdo y así se demostró que esta igualdad es una identidad.

3) En este caso conviene simplificar tanto la parte izquierda como la derecha de la igualdad y comparar los resultados:

2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 6x - 16 + 20x- 28 \u003d 26x - 44;

13 (2x - 5) + 21 \u003d 26x - 65 + 21 \u003d 26x - 44.

Por transformaciones idénticas, las partes izquierda y derecha de la igualdad se redujeron a la misma forma: 26x - 44. Por lo tanto, esta igualdad es una identidad.

¿Qué expresiones se llaman idénticas? Da un ejemplo de expresiones idénticas. ¿A qué igualdad se le llama identidad? Da un ejemplo de identidad. ¿Cómo se llama la transformación de identidad de una expresión? ¿Cómo probar la identidad?

1. (Oral) O hay expresiones idénticamente iguales:

1) 2a + ay 3a;

2) 7x + 6 y 6 + 7x;

3) x + x + x y x 3;

4) 2(x - 2) y 2x - 4;

5) m - ny n - m;

6) 2a ∙ r y 2p ∙ a?

1. Son las expresiones idénticamente iguales:

1) 7x - 2x y 5x;

2) 5a - 4 y 4 - 5a;

3) 4m + n y n + 4m;

4) a + ay a 2;

5) 3(a - 4) y 3a - 12;

6) 5m ∙ n y 5m + n?

1. (Verbalmente) Es la identidad de la igualdad:

1) 2a + 106 = 12ab;

2) 7r - 1 = -1 + 7r;

3) 3(x - y) = 3x - 5y?

1. Paréntesis abierto:

1. Paréntesis abierto:

1. Reducir términos semejantes:

1. Nombra algunas expresiones expresiones idénticas 2a + 3a.
2. Simplifica la expresión usando las propiedades de permutación y conjunción de la multiplicación:

1) -2,5 x ∙ 4;

2) 4p ∙ (-1,5);

3) 0,2 x ∙ (0,3 g);

4)- x ∙<-7у).

1. Simplifica la expresión:

1) -2p ∙ 3,5;

2) 7a ∙ (-1,2);

3) 0,2 x ∙ (-3y);

4) - 1 m ∙ (-3n).

1. (Verbal) Simplifica la expresión:

1) 2x - 9 + 5x;

2) 7a - 3b + 2a + 3b;

4) 4a ∙ (-2b).

1. Reducir términos semejantes:

1) 56 - 8a + 4b - a;

2) 17 - 2p + 3p + 19;

3) 1,8 a + 1,9 b + 2,8 a - 2,9 b;

4) 5 - 7 s + 1,9 g + 6,9 s - 1,7 g.

1) 4(5x - 7) + 3x + 13;

2) 2(7 - 9a) - (4 - 18a);

3) 3(2p - 7) - 2(g - 3);

4) -(3m - 5) + 2(3m - 7).

1. Abra los paréntesis y reduzca los términos semejantes:

1) 3(8a - 4) + 6a;

2) 7p - 2(3p - 1);

3) 2(3x - 8) - 5(2x + 7);

4) 3(5m - 7) - (15m - 2).

1) 0,6x + 0,4(x - 20) si x = 2,4;

2) 1,3 (2a - 1) - 16,4 si a = 10;

3) 1,2 (m - 5) - 1,8 (10 - m), si m = -3,7;

4) 2x - 3(x + y) + 4y si x = -1, y = 1.

1. Simplifica la expresión y encuentra su valor:

1) 0,7 x + 0,3(x - 4) si x = -0,7;

2) 1.7 (y - 11) - 16.3, si v \u003d 20;

3) 0,6 (2a - 14) - 0,4 (5a - 1), si a = -1;

4) 5(m - n) - 4m + 7n si m = 1,8; n = -0,9.

1. Demostrar la identidad:

1) - (2x - y) \u003d y - 2x;

2) 2(x - 1) - 2x = -2;

3) 2(x - 3) + 3(x + 2) = 5x;

4) s - 2 = 5(s + 2) - 4(s + 3).

1. Demostrar la identidad:

1) -(m - 3n) = 3n - m;

2) 7(2 - p) + 7p = 14;

3) 5a = 3(a - 4) + 2(a + 6);

4) 4(m - 3) + 3(m + 3) = 7m - 3.

1. La longitud de uno de los lados del triángulo es un cm, y la longitud de cada uno de los otros dos lados es 2 cm más que él. Escribe el perímetro del triángulo como una expresión y simplifica la expresión.
2. El ancho del rectángulo es x cm y el largo es 3 cm más que el ancho. Escribe el perímetro del rectángulo como una expresión y simplifica la expresión.

1) x - (x - (2x - 3));

2) 5m - ((n - m) + 3n);

3) 4p - (3p - (2p - (r + 1)));

4) 5x - (2x - ((y - x) - 2y));

5) (6a - b) - (4a - 33b);

6) - (2,7 m - 1,5 n) + (2n - 0,48 m).

1. Expande los paréntesis y simplifica la expresión:

1) a - (a - (3a - 1));

2) 12m - ((a - m) + 12a);

3) 5 años - (6 años - (7 años - (8 años - 1)));

6) (2.1a - 2.8b) - (1a - 1b).

1. Demostrar la identidad:

1) 10x - (-(5x + 20)) = 5(3x + 4);

2) - (- 3p) - (-(8 - 5p)) \u003d 2 (4 - g);

3) 3(a - b - c) + 5(a - b) + 3c = 8(a - b).

1. Demostrar la identidad:

1) 12a - ((8a - 16)) \u003d -4 (4 - 5a);

2) 4(x + y -<) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).

1. Demostrar que el valor de la expresión

1,8(m - 2) + 1,4(2 - m) + 0,2(1,7 - 2m) no depende del valor de la variable.

1. Demuestre que para cualquier valor de la variable, el valor de la expresión

a - (a - (5a + 2)) - 5 (a - 8)

es el mismo numero

1. Demostrar que la suma de tres números pares consecutivos es divisible por 6.
2. Demuestra que si n es un número natural, entonces el valor de la expresión -2(2.5 n - 7) + 2 (3n - 6) es un número par.

Ejercicios para repetir

1. Una aleación que pesa 1,6 kg contiene 15% de cobre. ¿Cuántos kg de cobre contiene esta aleación?
2. ¿Qué porcentaje es el número 20 de su:

1) cuadrado;

1. El turista caminó durante 2 horas y anduvo en bicicleta durante 3 horas. En total, el turista recorrió 56 km. Encuentre la velocidad a la que el turista montó en bicicleta si es 12 km/h más que la velocidad a la que caminó.

Tareas interesantes para estudiantes perezosos.

1. 11 equipos participan en el campeonato de fútbol de la ciudad. Cada equipo juega un partido con los demás. Demostrar que en algún momento de la competición hay un equipo que ha jugado un número par de partidos o aún no ha jugado ninguno.

En el curso de estudiar álgebra, nos encontramos con los conceptos de polinomio (por ejemplo ($y-x$ ,$\ 2x^2-2x$ y así sucesivamente) y fracción algebraica (por ejemplo $\frac(x+5)(x )$ , $\frac(2x ^2)(2x^2-2x)$,$\ \frac(x-y)(y-x)$ etc.) La similitud de estos conceptos es que tanto en polinomios como en fracciones algebraicas hay variables y valores numéricos, acciones aritméticas: suma, resta, multiplicación, exponenciación La diferencia entre estos conceptos es que la división por una variable no se realiza en polinomios, y la división por una variable se puede realizar en fracciones algebraicas.

Tanto los polinomios como las fracciones algebraicas se denominan expresiones algebraicas racionales en matemáticas. Pero los polinomios son expresiones racionales enteras, y las expresiones fraccionarias algebraicas son expresiones racionales fraccionarias.

Es posible obtener una expresión algebraica completa a partir de una expresión fraccionariamente racional utilizando la transformación idéntica, que en este caso será la propiedad principal de una fracción: la reducción de fracciones. Veámoslo en la práctica:

Ejemplo 1

Transformar:$\ \frac(x^2-4x+4)(x-2)$

Decisión: Esta ecuación fraccionaria-racional se puede transformar usando la propiedad básica de la cancelación de fracciones, es decir dividiendo el numerador y el denominador por el mismo número o expresión que no sea $0$.

Esta fracción no se puede reducir inmediatamente, es necesario convertir el numerador.

Transformamos la expresión en el numerador de la fracción, para ello usamos la fórmula del cuadrado de la diferencia: $a^2-2ab+b^2=((a-b))^2$

La fracción tiene la forma

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\izquierda(x-2\derecha)(x-2))(x-2)\]

Ahora vemos que hay un factor común en el numerador y el denominador: esta es la expresión $x-2$, en la que reduciremos la fracción

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\izquierda(x-2\derecha)(x-2))(x-2)=x-2\]

Después de la reducción, hemos obtenido que la expresión original fraccionaria-racional $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ se ha convertido en un polinomio $x-2$, es decir todo racional.

Ahora prestemos atención al hecho de que las expresiones $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ y $x-2\ $ pueden considerarse idénticas no para todos los valores de la variable, porque para que exista una expresión racional-fraccionaria y sea posible la reducción por el polinomio $x-2$, el denominador de la fracción no debe ser igual a $0$ (así como el factor por el cual reducimos. En este ejemplo, el denominador y el factor son los mismos, pero no siempre es así).

Los valores de variables para los que existirá la fracción algebraica se denominan valores de variables válidos.

Ponemos una condición al denominador de la fracción: $x-2≠0$, luego $x≠2$.

Entonces las expresiones $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ y $x-2$ son idénticas para todos los valores de la variable excepto $2$.

Definición 1

idénticamente iguales Las expresiones son aquellas que son iguales para todos los valores posibles de la variable.

Una transformación idéntica es cualquier sustitución de la expresión original por otra idénticamente igual. Dichas transformaciones incluyen realizar acciones: suma, resta, multiplicación, sacar un factor común del paréntesis, llevar fracciones algebraicas a un denominador común, reducir fracciones algebraicas, llevar términos similares, etc. Debe tenerse en cuenta que una serie de transformaciones, como reducción, reducción de términos similares, pueden cambiar los valores permitidos de la variable.

Técnicas utilizadas para probar identidades

Convierta el lado izquierdo de la identidad al lado derecho o viceversa usando transformaciones de identidad

Reducir ambas partes a la misma expresión usando transformaciones idénticas

Transfiere las expresiones de una parte de la expresión a otra y prueba que la diferencia resultante es igual a $0$

Cuál de los métodos anteriores usar para probar una identidad dada depende de la identidad original.

Ejemplo 2

Demostrar la identidad $((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2$

Decisión: Para probar esta identidad, usamos el primero de los métodos anteriores, es decir, transformaremos el lado izquierdo de la identidad hasta que sea igual al lado derecho.

Considere el lado izquierdo de la identidad: $\ ((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)$- es la diferencia de dos polinomios. En este caso el primer polinomio es el cuadrado de la suma de tres términos, para elevar al cuadrado la suma de varios términos usamos la fórmula:

\[((a+b+c))^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\]

Para hacer esto, necesitamos multiplicar un número por un polinomio, recuerda que para esto necesitamos multiplicar el factor común fuera de los paréntesis por cada término del polinomio entre paréntesis, luego obtenemos:

$2(ab+ac+bc)=2ab+2ac+2bc$

Ahora volviendo al polinomio original, tomará la forma:

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)$

Tenga en cuenta que hay un signo "-" delante del corchete, lo que significa que cuando se abren los corchetes, todos los signos que estaban en los corchetes se invierten.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc$

Si traemos términos similares, entonces obtenemos que los monomios $2ab$, $2ac$,$\ 2bc$ y $-2ab$,$-2ac$, $-2bc$ se anulan entre sí, es decir su suma es igual a $0$.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc=a^2+b^2+c^2$

Entonces, por transformaciones idénticas, obtuvimos la expresión idéntica en el lado izquierdo de la identidad original

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2$

Tenga en cuenta que la expresión resultante muestra que la identidad original es verdadera.

Tenga en cuenta que en la identidad original se permiten todos los valores de la variable, lo que significa que hemos probado la identidad usando transformaciones idénticas, y es cierto para todos los valores permitidos de la variable.

Habiendo tenido una idea acerca de las identidades, es lógico pasar al conocimiento. En este artículo, responderemos a la pregunta de qué son las expresiones idénticamente iguales y también, usando ejemplos, descubriremos qué expresiones son idénticamente iguales y cuáles no.

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¿Qué son expresiones idénticamente iguales?

La definición de expresiones idénticamente iguales se da en paralelo con la definición de identidad. Esto sucede en la clase de álgebra en séptimo grado. En el libro de texto sobre álgebra para 7 clases, el autor Yu. N. Makarychev da la siguiente redacción:

Definición.

son expresiones cuyos valores son iguales para cualquiera de los valores de las variables incluidas en ellas. Las expresiones numéricas que corresponden a los mismos valores también se denominan idénticamente iguales.

Esta definición se usa hasta la clase 8, es válida para expresiones enteras, ya que tienen sentido para cualquier valor de las variables incluidas en ellas. Y en el grado 8 se especifica la definición de expresiones idénticamente iguales. Vamos a explicar con qué está conectado.

En el grado 8 se inicia el estudio de otro tipo de expresiones que, a diferencia de las expresiones enteras, pueden no tener sentido para algunos valores de variables. Esto hace necesario introducir definiciones de valores admisibles e inválidos de variables, así como el rango de valores admisibles de la ODV de una variable, y en consecuencia, aclarar la definición de expresiones idénticamente iguales.

Definición.

Dos expresiones cuyos valores son iguales para todos los valores admisibles de sus variables se denominan expresiones idénticamente iguales. También se dice que dos expresiones numéricas que tienen el mismo valor son idénticamente iguales.

En esta definición de expresiones idénticamente iguales, vale la pena aclarar el significado de la frase "para todos los valores admisibles de las variables incluidas en ellas". Implica todos esos valores de variables para los que ambas expresiones idénticamente iguales tienen sentido simultáneamente. Esta idea se aclarará en la siguiente sección considerando ejemplos.

La definición de expresiones idénticamente iguales en el libro de texto de A. G. Mordkovich se da de manera un poco diferente:

Definición.

Expresiones iguales idénticas son expresiones en los lados izquierdo y derecho de la identidad.

En significado, esta y las definiciones anteriores coinciden.

Ejemplos de expresiones idénticamente iguales

Las definiciones introducidas en el apartado anterior nos permiten traer ejemplos de expresiones idénticamente iguales.

Comencemos con expresiones numéricas idénticamente iguales. Las expresiones numéricas 1+2 y 2+1 son idénticamente iguales porque corresponden a valores iguales 3 y 3. Las expresiones 5 y 30:6 también son idénticamente iguales, al igual que las expresiones (2 2) 3 y 2 6 (los valores de las últimas expresiones son iguales debido a ). Pero las expresiones numéricas 3+2 y 3−2 no son idénticamente iguales, ya que corresponden a los valores 5 y 1, respectivamente, pero no son iguales.

Ahora damos ejemplos de expresiones idénticamente iguales con variables. Estas son las expresiones a+b y b+a. De hecho, para cualquier valor de las variables a y b, las expresiones escritas toman los mismos valores (que se deduce de los números). Por ejemplo, con a=1 y b=2 tenemos a+b=1+2=3 y b+a=2+1=3. Para cualquier otro valor de las variables a y b, también obtendremos valores iguales de estas expresiones. Las expresiones 0·x·y·z y 0 también son idénticamente iguales para cualquier valor de las variables x, y y z. Pero las expresiones 2 x y 3 x no son idénticamente iguales, ya que, por ejemplo, en x=1 sus valores no son iguales. De hecho, para x=1, la expresión 2 x es 2 1=2 y la expresión 3 x es 3 1=3.

Cuando las áreas de valores permitidos de las variables en las expresiones coinciden, como, por ejemplo, en las expresiones a+1 y 1+a, o a b 0 y 0, o y, y los valores de estas expresiones son iguales para todos los valores de las variables de estas áreas, entonces aquí todo está claro: estas expresiones son idénticas para todos los valores admisibles de las variables incluidas en ellas. Entonces a+1≡1+a para cualquier a , las expresiones a b 0 y 0 son idénticamente iguales para cualquier valor de las variables a y b , y las expresiones y son idénticamente iguales para todo x from ; edición S. A. Teliakovski. - 17ª ed. - M. : Educación, 2008. - 240 p. : enfermo. - ISBN 978-5-09-019315-3.

Después de haber tratado el concepto de identidades, podemos proceder al estudio de expresiones idénticamente iguales. El propósito de este artículo es explicar en qué consiste y mostrar con ejemplos qué expresiones serán idénticamente iguales a otras.

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Expresiones Iguales Idénticas: Definición

El concepto de expresiones idénticamente iguales generalmente se estudia junto con el concepto mismo de identidad en el marco de un curso de álgebra escolar. Aquí hay una definición básica tomada de un libro de texto:

Definición 1

idénticamente iguales entre sí habrá tales expresiones, cuyos valores serán los mismos para cualquier posible valor de las variables incluidas en su composición.

Además, tales expresiones numéricas se consideran idénticamente iguales, lo que corresponderá a los mismos valores.

Esta es una definición bastante amplia, que será cierta para todas las expresiones enteras, cuyo significado no cambia cuando cambian los valores de las variables. Sin embargo, más adelante se hace necesario aclarar esta definición, porque además de los números enteros, existen otro tipo de expresiones que no tendrán sentido con ciertas variables. De aquí surge el concepto de la admisibilidad e inadmisibilidad de determinados valores de variables, así como la necesidad de determinar el rango de valores admisibles. Formulemos una definición refinada.

Definición 2

Expresiones iguales idénticas son aquellas expresiones cuyos valores son iguales entre sí para cualesquiera valores válidos de las variables incluidas en su composición. Las expresiones numéricas serán idénticamente iguales entre sí, siempre que los valores sean los mismos.

La frase “para cualesquiera valores admisibles de las variables” indica todos aquellos valores de las variables para los que tendrán sentido ambas expresiones. Explicaremos esta posición más adelante, cuando demos ejemplos de expresiones idénticamente iguales.

También puede especificar la siguiente definición:

Definición 3

Las expresiones iguales idénticas son expresiones ubicadas en la misma identidad en los lados izquierdo y derecho.

Ejemplos de expresiones que son idénticamente iguales entre sí

Usando las definiciones dadas arriba, considere algunos ejemplos de tales expresiones.

Comencemos con las expresiones numéricas.

Ejemplo 1

Así, 2 + 4 y 4 + 2 serán idénticamente iguales entre sí, ya que sus resultados serán iguales a (6 y 6).

Ejemplo 2

De la misma manera, las expresiones 3 y 30 son idénticamente iguales: 10 , (2 2) 3 y 2 6 (para calcular el valor de la última expresión, es necesario conocer las propiedades del grado).

Ejemplo 3

Pero las expresiones 4 - 2 y 9 - 1 no serán iguales, ya que sus valores son diferentes.

Pasemos a ejemplos de expresiones literales. A + b y b + a serán idénticamente iguales, y esto no depende de los valores de las variables (la igualdad de expresiones en este caso está determinada por la propiedad conmutativa de la suma).

Ejemplo 4

Por ejemplo, si a es 4 yb es 5, los resultados seguirán siendo los mismos.

Otro ejemplo de expresiones idénticamente iguales con letras es 0 · x · y · z y 0 . Cualesquiera que sean los valores de las variables en este caso, al multiplicarlas por 0, darán 0. Las expresiones desiguales son 6 x y 8 x porque no serán iguales para ninguna x.

En el caso de que coincidan los rangos de valores admisibles de las variables, por ejemplo, en las expresiones a + 6 y 6 + a o a b 0 y 0, o x 4 y x, y los valores de las expresiones serán iguales para cualquier variable, entonces tales expresiones se consideran idénticamente iguales. Entonces, a + 8 = 8 + a para cualquier valor de a, y a · b · 0 = 0 también, ya que multiplicar cualquier número por 0 da como resultado 0. Las expresiones x 4 y x serán idénticamente iguales para cualquier x del intervalo [ 0 , + ∞) .

Pero el alcance de un valor válido en una expresión puede diferir del alcance de otra.

Ejemplo 5

Por ejemplo, tomemos dos expresiones: x − 1 y x - 1 · x x . Para el primero de ellos, el rango de valores aceptables de x será todo el conjunto de los números reales, y para el segundo, el conjunto de todos los números reales, excepto el cero, porque entonces obtendremos 0 en el denominador, y tal división no está definida. Estas dos expresiones tienen un rango común, formado por la intersección de dos rangos separados. Se puede concluir que ambas expresiones x - 1 · x x y x - 1 tendrán sentido para cualquier valor real de las variables, excepto para 0 .

La propiedad básica de la fracción también nos permite concluir que x - 1 x x y x - 1 serán iguales para cualquier x que no sea 0 . Esto significa que estas expresiones serán idénticamente iguales entre sí en el rango general de valores admisibles, y para cualquier x real no se puede hablar de igualdad idéntica.

Si reemplazamos una expresión con otra que es idénticamente igual a ella, entonces este proceso se llama transformación de identidad. Este concepto es muy importante, y hablaremos de él en detalle en un artículo separado.

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