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Cómo resolver el problema USE No. 13 para ecuaciones exponenciales y logarítmicas | 1C: Profesor

¿Qué necesita saber sobre ecuaciones exponenciales y logarítmicas para resolver problemas de USE en matemáticas?

En primer lugar, tarea No. 13 de la variante KIM USE, aunque con poca frecuencia, pero a veces es solo una ecuación que necesita no solo resolver, sino también (similar a la tarea de trigonometría) para elegir las raíces de la ecuación que satisfagan cualquier condición.

Entonces, una de las opciones para 2017 incluía la siguiente tarea:

a) Resuelve la ecuación 8 X – 7 . 4 X – 2 X +4 + 112 = 0.

b) Indica las raíces de esta ecuación que pertenecen al segmento.

Responder: a) 2; log 2 7 y b) log 2 7.

En otra versión, había tal tarea:

a) Resuelve la ecuación 6log 8 2 X– 5 log 8 X + 1 = 0

b) Encuentra todas las raíces de esta ecuación que pertenecen al segmento.

Responder: a) 2 y 2√ 2 ; b) 2.

Tambien habia esto:

a) Resuelve la ecuación 2log 3 2 (2cos X) – 5log 3 (2cos X) + 2 = 0.

b) Encuentra todas las raíces de esta ecuación que pertenecen al intervalo [π; 5π/2].

Responder: un) (π/6 + 2πk; -π/6 + 2πk, k∊Z) yb) 11π/6; 13π/6.

En segundo lugar, el estudio de métodos para resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas es bueno, ya que los métodos básicos para resolver ecuaciones y desigualdades en realidad usan las mismas ideas matemáticas.

Los principales métodos para resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas son fáciles de recordar, solo hay cinco: la reducción a la ecuación más simple, el uso de transiciones equivalentes, la introducción de nuevas incógnitas, el logaritmo y la factorización. Por separado, existe un método para usar las propiedades de funciones exponenciales, logarítmicas y de otro tipo en la resolución de problemas: a veces, la clave para resolver una ecuación es el dominio de definición, el rango de valores, la no negatividad, la delimitación, la uniformidad de las funciones incluidas en eso.

Como regla general, en el problema No. 13 hay ecuaciones que requieren el uso de los cinco métodos principales enumerados anteriormente. Cada uno de estos métodos tiene sus propias características que debe conocer, ya que es su desconocimiento lo que conduce a errores en la resolución de problemas.

¿Cuáles son los errores comunes que cometen los examinadores?

A menudo, al resolver ecuaciones que contienen una función de potencia exponencial, los estudiantes se olvidan de considerar uno de los casos en los que se cumple la igualdad. Como es bien sabido, las ecuaciones de esta forma equivalen a un conjunto de dos sistemas de condiciones (ver más abajo), estamos hablando del caso cuando un( X) = 1

Este error se debe a que al resolver la ecuación, el examinado utiliza formalmente la definición de la función exponencial (y= hacha, a>0, a ≠ 1): en un ≤ 0 la función exponencial no está realmente definida,

Pero en un = 1 está definida, pero no es exponencial, ya que la unidad en cualquier potencia real es idénticamente igual a sí misma. Esto significa que si en la ecuación considerada en un(X) = 1 hay una verdadera igualdad numérica, entonces los valores correspondientes de la variable serán las raíces de la ecuación.

Otro error es aplicar las propiedades de los logaritmos sin tener en cuenta el rango de valores aceptables. Por ejemplo, la conocida propiedad “el logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos” resulta tener una generalización:
registrar un( F(X)gramo(X)) = log a │ F(X)│ + log a │g( X)│, en F(X)gramo(X) > 0, un > 0, un ≠ 1

De hecho, para que se defina la expresión del lado izquierdo de esta igualdad, es suficiente que el producto de las funciones F y gramo fue positivo, pero las funciones en sí pueden ser tanto mayores como menores que cero al mismo tiempo, por lo tanto, al aplicar esta propiedad, es necesario utilizar el concepto de módulo.

Y hay muchos ejemplos de este tipo. Por lo tanto, para el desarrollo efectivo de métodos para resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas, es mejor utilizar los servicios que podrán hablar sobre tales "trampas" usando ejemplos de resolución de los problemas de examen correspondientes.

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En la tarea 13 del nivel de perfil del USE en matemáticas, es necesario resolver una ecuación, pero de mayor nivel de complejidad, ya que las tareas del antiguo nivel C parten de la tarea 13, y esta tarea puede denominarse C1. Pasemos a considerar ejemplos de tareas típicas.

Análisis de opciones típicas para tareas No. 13 USO en matemáticas a nivel de perfil

La primera versión de la tarea (versión demo 2018)

a) Resuelve la ecuación cos2x = 1-cos(p/2-x)

b) Encuentra todas las raíces de esta ecuación que pertenecen al intervalo [-5p/2;-p].

Algoritmo de solución:

1. t
2. Hacemos una sustitución inversa y resolvemos las ecuaciones trigonométricas más simples.

1. Construimos una recta numérica.
2. Le echamos raíces.
3. Marca los extremos del segmento.
4. Seleccionamos aquellos valores que se encuentran dentro del intervalo.
5. Anotamos la respuesta.

Decisión:

1. Transforma el lado derecho de la igualdad usando la fórmula de reducción cos( π/ 2−X)=pecado X. Tenemos:

cos2x = 1 - sen X.

Transformemos el lado izquierdo de la ecuación usando la fórmula del coseno de doble argumento, usando el seno:

cos(2x)=1−2sen 2 x

Obtenemos la siguiente ecuación: 1−sin 2 X=1−sin X

Ahora solo hay una función trigonométrica sen en la ecuación X.

2. Introducimos un reemplazo: t= pecado X. Resolvemos la ecuación cuadrática resultante:

1−2t 2 =1−yo,

−2t 2 +t=0,

t(−2t+1)=0,

t = 0 o -2t + 1 = 0,

t 1 \u003d 0 t 2 \u003d 1/2.

3. Hacer un reemplazo inverso:

pecado X= 0 o pecado X = ½

Resolvemos estas ecuaciones:

pecado X =0↔X=πn, nZ

pecado( X)=1/2↔X= (-1)n ∙( π/6)+πn, nZ.

Por lo tanto, obtenemos dos familias de soluciones.

1. En el párrafo anterior se obtuvieron dos familias, cada una de las cuales tiene infinitas soluciones. Es necesario averiguar cuáles de ellos están en un intervalo dado. Para hacer esto, construimos una recta numérica.

2. Le ponemos las raíces de ambas familias, marcándolas en verde (primera) y azul (segunda).

3. Marque los extremos del espacio en rojo.

4. En el intervalo indicado hay tres raíces que son tres raíces: −2 π ;−11π/ 6 y -7 π/ 6.

un) πn, nZ;(-1)n ∙( π/6)+πn, nZ

b) −2 π ;−11π 6;−7π 6

La segunda versión de la tarea (de Yaschenko, No. 1)

Algoritmo de solución:

1. Sustituimos esta función por una variable t y resuelve la ecuación cuadrática resultante.
2. Hacemos una sustitución inversa y resolvemos las ecuaciones exponenciales más simples, luego las trigonométricas.

1. Construimos un plano de coordenadas y un círculo de radio unidad sobre él.
2. Marcamos los puntos que son los extremos del segmento.
3. Seleccionamos aquellos valores que se encuentran dentro del segmento.
4. Anotamos la respuesta.

Decisión:

1. Introducimos el reemplazo t = 4 cos x. entonces la ecuación tomará la forma:

Resolvemos la ecuación cuadrática usando las fórmulas discriminante y raíces:

D \u003d segundo 2 - c \u003d 81 - 4 ∙ 4 ∙ 2 \u003d 49,

t 1 \u003d (9 - 7) / 8 \u003d ¼, t 2 \u003d (9 + 7) / 8 \u003d 2.

3. Volvemos a la variable x:

1. Construimos sobre él un plano de coordenadas y una circunferencia de radio unidad.

2. Marcamos los puntos que son los extremos del segmento.

3. Seleccione aquellos valores que se encuentran dentro del segmento..

Estas son raíces. Hay dos de ellos.

un)

b)

La tercera versión de la tarea (de Yaschenko, No. 6)

Algoritmo de solución:

1. Usando fórmulas trigonométricas, reducimos la ecuación a una forma que contiene solo una función trigonométrica.
2. Sustituimos esta función por una variable t y resuelve la ecuación cuadrática resultante.
3. Hacemos una sustitución inversa y resolvemos las ecuaciones exponenciales y luego trigonométricas más simples.

1. Resolvemos desigualdades para cada caso.
2. Anotamos la respuesta.

Decisión:

1. Por fórmulas de reducción .

2. Entonces esta ecuación tomará la forma:

3. Introducimos un reemplazo . Obtenemos:

Resolvemos la ecuación cuadrática habitual usando las fórmulas discriminante y raíces: