La derivada de una función es uno de los temas más difíciles en el currículo escolar. No todos los graduados responderán a la pregunta de qué es un derivado.
Este artículo explica de manera simple y clara qué es un derivado y por qué es necesario.. No lucharemos ahora por el rigor matemático de la presentación. Lo más importante es entender el significado.
Recordemos la definición:
La derivada es la tasa de cambio de la función.
La figura muestra gráficas de tres funciones. ¿Cuál crees que crece más rápido?
La respuesta es obvia: la tercera. Tiene la tasa de cambio más alta, es decir, la derivada más grande.
Aquí hay otro ejemplo.
Kostya, Grisha y Matvey consiguieron trabajo al mismo tiempo. Veamos cómo cambiaron sus ingresos durante el año:
Puedes ver todo en el gráfico de inmediato, ¿verdad? Los ingresos de Kostya se han más que duplicado en seis meses. Y los ingresos de Grisha también aumentaron, pero solo un poco. Y los ingresos de Matthew se redujeron a cero. Las condiciones iniciales son las mismas, pero la tasa de cambio de la función, es decir, derivado, - diferente. En cuanto a Matvey, la derivada de su ingreso es generalmente negativa.
Intuitivamente, podemos estimar fácilmente la tasa de cambio de una función. Pero, ¿cómo lo hacemos?
Lo que realmente estamos viendo es qué tan abruptamente sube (o baja) la gráfica de la función. En otras palabras, qué tan rápido cambia y con x. Obviamente, la misma función en diferentes puntos puede tener un valor diferente de la derivada, es decir, puede cambiar más rápido o más lento.
La derivada de una función se denota por .
Vamos a mostrar cómo encontrar usando la gráfica.
Se dibuja una gráfica de alguna función. Tome un punto en él con una abscisa. Dibuja una tangente a la gráfica de la función en este punto. Queremos evaluar qué tan abruptamente sube la gráfica de la función. Un valor útil para esto es tangente de la pendiente de la tangente.
La derivada de una función en un punto es igual a la tangente de la pendiente de la tangente trazada a la gráfica de la función en ese punto.
Tenga en cuenta: como ángulo de inclinación de la tangente, tomamos el ángulo entre la tangente y la dirección positiva del eje.
A veces los estudiantes preguntan cuál es la tangente a la gráfica de una función. Esta es una línea recta que tiene el único punto común con el gráfico de esta sección, además, como se muestra en nuestra figura. Parece una tangente a un círculo.
Encontremos . Recordamos que la tangente de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo es igual a la razón del cateto opuesto al contiguo. Del triangulo:
Encontramos la derivada usando la gráfica sin siquiera saber la fórmula de la función. Tales tareas se encuentran a menudo en el examen de matemáticas bajo el número.
Hay otra correlación importante. Recuerda que la recta viene dada por la ecuación
La cantidad en esta ecuación se llama pendiente de una recta. Es igual a la tangente del ángulo de inclinación de la recta al eje.
.
eso lo conseguimos
Recordemos esta fórmula. Expresa el significado geométrico de la derivada.
La derivada de una función en un punto es igual a la pendiente de la tangente trazada a la gráfica de la función en ese punto.
En otras palabras, la derivada es igual a la tangente de la pendiente de la tangente.
Ya hemos dicho que la misma función en diferentes puntos puede tener una derivada diferente. Veamos cómo se relaciona la derivada con el comportamiento de la función.
Dibujemos una gráfica de alguna función. Permita que esta función aumente en algunas áreas y disminuya en otras, y en diferentes proporciones. Y que esta función tenga puntos máximos y mínimos.
En un punto, la función es creciente. La tangente a la gráfica, dibujada en el punto, forma un ángulo agudo con la dirección positiva del eje. Entonces la derivada es positiva en el punto.
En el punto, nuestra función es decreciente. La tangente en este punto forma un ángulo obtuso con la dirección positiva del eje. Como la tangente de un ángulo obtuso es negativa, la derivada en el punto es negativa.
Esto es lo que sucede:
Si una función es creciente, su derivada es positiva.
Si decrece, su derivada es negativa.
¿Y qué pasará en los puntos máximo y mínimo? Vemos que en (punto máximo) y (punto mínimo) la tangente es horizontal. Por lo tanto, la tangente de la pendiente de la tangente en estos puntos es cero y la derivada también es cero.
El punto es el punto máximo. En este punto, el aumento de la función se reemplaza por una disminución. En consecuencia, el signo de la derivada cambia en el punto de "más" a "menos".
En el punto, el punto mínimo, la derivada también es igual a cero, pero su signo cambia de "menos" a "más".
Conclusión: con la ayuda de la derivada se puede averiguar todo lo que nos interesa sobre el comportamiento de la función.
Si la derivada es positiva, entonces la función es creciente.
Si la derivada es negativa, entonces la función es decreciente.
En el punto máximo, la derivada es cero y cambia de signo de más a menos.
En el punto mínimo, la derivada también es cero y cambia de signo de menos a más.
Escribimos estos hallazgos en forma de tabla:
| aumenta | punto máximo | disminuye | punto mínimo | aumenta | |
| + | 0 | - | 0 | + |
Hagamos dos pequeñas aclaraciones. Necesitará uno de ellos cuando resuelva problemas de examen. Otro - en el primer año, con un estudio más serio de funciones y derivadas.
Un caso es posible cuando la derivada de una función en algún punto es igual a cero, pero la función no tiene un máximo ni un mínimo en este punto. Este llamado :
En un punto, la tangente a la gráfica es horizontal y la derivada es cero. Sin embargo, antes del punto, la función aumentó, y después del punto continúa aumentando. El signo de la derivada no cambia, se ha mantenido positivo como era.
También sucede que en el punto de máximo o mínimo, la derivada no existe. En el gráfico, esto corresponde a una ruptura brusca, cuando es imposible trazar una tangente en un punto dado.
Pero, ¿cómo encontrar la derivada si la función no está dada por un gráfico, sino por una fórmula? En este caso, se aplica
En el problema B9 se da una gráfica de una función o derivada, a partir de la cual se requiere determinar una de las siguientes cantidades:
- El valor de la derivada en algún punto x 0,
- Puntos altos o bajos (puntos extremos),
- Intervalos de funciones crecientes y decrecientes (intervalos de monotonicidad).
Las funciones y derivadas presentadas en este problema son siempre continuas, lo que simplifica mucho la solución. A pesar de que la tarea pertenece a la sección de análisis matemático, está bastante al alcance incluso de los estudiantes más débiles, ya que aquí no se requieren conocimientos teóricos profundos.
Para encontrar el valor de la derivada, los puntos extremos y los intervalos de monotonicidad, existen algoritmos simples y universales; todos ellos se discutirán a continuación.
Lea atentamente la condición del problema B9 para no cometer errores estúpidos: a veces aparecen textos bastante voluminosos, pero hay pocas condiciones importantes que afectan el curso de la solución.
Cálculo del valor de la derivada. método de dos puntos
Si al problema se le da una gráfica de la función f(x), tangente a esta gráfica en algún punto x 0 , y se requiere encontrar el valor de la derivada en ese punto, se aplica el siguiente algoritmo:
- Encuentre dos puntos "adecuados" en el gráfico tangente: sus coordenadas deben ser enteras. Denotemos estos puntos como A (x 1 ; y 1) y B (x 2 ; y 2). Escriba las coordenadas correctamente: este es el punto clave de la solución, y cualquier error aquí conduce a una respuesta incorrecta.
- Conociendo las coordenadas, es fácil calcular el incremento del argumento Δx = x 2 − x 1 y el incremento de la función Δy = y 2 − y 1 .
- Finalmente, encontramos el valor de la derivada D = Δy/Δx. En otras palabras, debe dividir el incremento de la función por el incremento del argumento, y esta será la respuesta.
Una vez más, observamos: los puntos A y B deben buscarse precisamente en la tangente, y no en la gráfica de la función f(x), como suele ser el caso. La tangente necesariamente contendrá al menos dos de esos puntos, de lo contrario, el problema se formula incorrectamente.
Considere los puntos A (−3; 2) y B (−1; 6) y encuentre los incrementos:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.
Encontremos el valor de la derivada: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.
Tarea. La figura muestra el gráfico de la función y \u003d f (x) y la tangente en el punto con la abscisa x 0. Encuentra el valor de la derivada de la función f(x) en el punto x 0 .
Considere los puntos A (0; 3) y B (3; 0), encuentre incrementos:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.
Ahora encontramos el valor de la derivada: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.
Tarea. La figura muestra el gráfico de la función y \u003d f (x) y la tangente en el punto con la abscisa x 0. Encuentra el valor de la derivada de la función f(x) en el punto x 0 .
Considere los puntos A (0; 2) y B (5; 2) y encuentre incrementos:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.
Queda por encontrar el valor de la derivada: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.
Del último ejemplo, podemos formular la regla: si la tangente es paralela al eje OX, la derivada de la función en el punto de contacto es igual a cero. En este caso, ni siquiera necesita calcular nada, solo mire el gráfico.
Cálculo de puntos altos y bajos
A veces, en lugar de una gráfica de una función en el problema B9, se da una gráfica derivada y se requiere encontrar el punto máximo o mínimo de la función. En este escenario, el método de dos puntos es inútil, pero hay otro algoritmo aún más simple. Primero, definamos la terminología:
- El punto x 0 se llama el punto máximo de la función f(x) si la siguiente desigualdad se cumple en alguna vecindad de este punto: f(x 0) ≥ f(x).
- El punto x 0 se llama el punto mínimo de la función f(x) si la siguiente desigualdad se cumple en alguna vecindad de este punto: f(x 0) ≤ f(x).
Para encontrar los puntos máximos y mínimos en la gráfica de la derivada, basta con realizar los siguientes pasos:
- Vuelva a dibujar la gráfica de la derivada, eliminando toda la información innecesaria. Como muestra la práctica, los datos adicionales solo interfieren con la decisión. Por lo tanto, marcamos los ceros de la derivada en el eje de coordenadas, y eso es todo.
- Encuentra los signos de la derivada en los intervalos entre ceros. Si para algún punto x 0 se sabe que f'(x 0) ≠ 0, entonces solo son posibles dos opciones: f'(x 0) ≥ 0 o f'(x 0) ≤ 0. El signo de la derivada es fácil de determinar a partir del dibujo original: si el gráfico de la derivada se encuentra por encima del eje OX, entonces f'(x) ≥ 0. Por el contrario, si el gráfico de la derivada se encuentra por debajo del eje OX, entonces f'(x) ≤ 0.
- Comprobamos nuevamente los ceros y signos de la derivada. Donde el signo cambia de menos a más, hay un punto mínimo. Por el contrario, si el signo de la derivada cambia de más a menos, este es el punto máximo. El conteo siempre se hace de izquierda a derecha.
Este esquema funciona solo para funciones continuas; no hay otros en el problema B9.
Tarea. La figura muestra una gráfica de la derivada de la función f(x) definida en el intervalo [−5; 5]. Encuentra el punto mínimo de la función f(x) en este segmento.
Eliminemos la información innecesaria: dejaremos solo los bordes [−5; 5] y los ceros de la derivada x = −3 y x = 2.5. También tenga en cuenta los signos:
Obviamente, en el punto x = −3, el signo de la derivada cambia de menos a más. Este es el punto mínimo.
Tarea. La figura muestra una gráfica de la derivada de la función f(x) definida en el intervalo [−3; 7]. Encuentra el punto máximo de la función f(x) en este segmento.
Redibujemos el gráfico, dejando solo los límites [−3; 7] y los ceros de la derivada x = −1.7 y x = 5. Note los signos de la derivada en el gráfico resultante. Tenemos:
Obviamente, en el punto x = 5, el signo de la derivada cambia de más a menos: este es el punto máximo.
Tarea. La figura muestra una gráfica de la derivada de la función f(x) definida en el intervalo [−6; 4]. Encuentra el número de puntos máximos de la función f(x) que pertenecen al intervalo [−4; 3].
De las condiciones del problema se sigue que es suficiente considerar sólo la parte del gráfico acotada por el segmento [−4; 3]. Por lo tanto, construimos un nuevo gráfico, en el que marcamos solo los límites [−4; 3] y los ceros de la derivada dentro de él. Es decir, los puntos x = −3.5 y x = 2. Obtenemos:
En este gráfico, solo hay un punto máximo x = 2. Es en él que el signo de la derivada cambia de más a menos.
Una pequeña nota sobre puntos con coordenadas no enteras. Por ejemplo, en el último problema se consideró el punto x = −3,5, pero con el mismo acierto podemos tomar x = −3,4. Si el problema está formulado correctamente, dichos cambios no deberían afectar la respuesta, ya que los puntos "sin lugar fijo de residencia" no están directamente involucrados en la solución del problema. Por supuesto, con puntos enteros tal truco no funcionará.
Encontrar intervalos de aumento y disminución de una función
En tal problema, como los puntos de máximo y mínimo, se propone encontrar áreas en las que la propia función crece o decrece a partir de la gráfica de la derivada. Primero, definamos qué es ascendente y descendente:
- Una función f(x) se llama creciente en un segmento si para dos puntos cualesquiera x 1 y x 2 de este segmento el enunciado es verdadero: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). En otras palabras, cuanto mayor sea el valor del argumento, mayor será el valor de la función.
- Una función f(x) se llama decreciente en un segmento si para dos puntos cualesquiera x 1 y x 2 de este segmento el enunciado es verdadero: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Aquellas. un valor mayor del argumento corresponde a un valor menor de la función.
Formulamos condiciones suficientes para aumentar y disminuir:
- Para que una función continua f(x) crezca en el segmento , es suficiente que su derivada dentro del segmento sea positiva, es decir f'(x) ≥ 0.
- Para que una función continua f(x) decrezca en el segmento , es suficiente que su derivada dentro del segmento sea negativa, es decir f'(x) ≤ 0.
Aceptamos estas afirmaciones sin pruebas. Así, obtenemos un esquema para encontrar intervalos de aumento y disminución, que es en muchos aspectos similar al algoritmo para calcular puntos extremos:
- Eliminar toda la información redundante. En el gráfico original de la derivada, estamos interesados principalmente en los ceros de la función, por lo que los dejamos solo.
- Marca los signos de la derivada en los intervalos entre ceros. Donde f'(x) ≥ 0, la función crece, y donde f'(x) ≤ 0, decrece. Si el problema tiene restricciones en la variable x, las marcamos adicionalmente en el nuevo gráfico.
- Ahora que conocemos el comportamiento de la función y la restricción, resta calcular el valor requerido en el problema.
Tarea. La figura muestra una gráfica de la derivada de la función f(x) definida en el intervalo [−3; 7.5]. Encuentra los intervalos de la función decreciente f(x). En tu respuesta, escribe la suma de los enteros incluidos en estos intervalos.
Como de costumbre, volvemos a dibujar el gráfico y marcamos los límites [−3; 7.5], así como los ceros de la derivada x = −1.5 y x = 5.3. Luego marcamos los signos de la derivada. Tenemos:
Dado que la derivada es negativa en el intervalo (− 1.5), este es el intervalo de la función decreciente. Queda por sumar todos los enteros que están dentro de este intervalo:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.
Tarea. La figura muestra una gráfica de la derivada de la función f(x) definida sobre el segmento [−10; 4]. Encuentra los intervalos de la función creciente f(x). En tu respuesta, escribe la longitud del mayor de ellos.
Deshagámonos de la información redundante. Dejamos solo los límites [−10; 4] y ceros de la derivada, que esta vez resultó ser cuatro: x = −8, x = −6, x = −3 y x = 2. Fíjate en los signos de la derivada y obtén la siguiente imagen:
Estamos interesados en los intervalos de función creciente, es decir donde f'(x) ≥ 0. Hay dos intervalos de este tipo en el gráfico: (−8; −6) y (−3; 2). Calculemos sus longitudes:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.
Como se requiere encontrar la longitud del mayor de los intervalos, escribimos el valor l 2 = 5 en respuesta.
Serguéi Nikiforov
Si la derivada de una función es de signo constante en un intervalo, y la función en sí es continua en sus límites, entonces los puntos límite se adjuntan tanto a intervalos crecientes como decrecientes, lo que corresponde completamente a la definición de funciones crecientes y decrecientes.
Farit Yamaev 26.10.2016 18:50
Hola. ¿Cómo (sobre qué base) se puede argumentar que en el punto donde la derivada es igual a cero, la función aumenta? Dar razones. De lo contrario, es solo el capricho de alguien. ¿Por qué teorema? Y también prueba. Gracias.
Servicio de soporte
El valor de la derivada en un punto no está directamente relacionado con el incremento de la función en el intervalo. Considere, por ejemplo, funciones: todas aumentan en el intervalo
Vladlen Pisarev 02.11.2016 22:21
Si una función es creciente en el intervalo (a;b) y es definida y continua en los puntos ayb, entonces es creciente en el segmento . Aquellas. el punto x=2 está incluido en el intervalo dado.
Aunque, por regla general, el aumento y la disminución no se consideran en un segmento, sino en un intervalo.
Pero en el mismo punto x=2, la función tiene un mínimo local. Y cómo explicar a los niños que cuando están buscando puntos de aumento (decrecimiento), entonces no contamos los puntos de extremo local, sino que entran en los intervalos de aumento (decrecimiento).
Teniendo en cuenta que la primera parte del examen es para el "grupo medio de kindergarten", entonces tales matices probablemente sean excesivos.
Por separado, muchas gracias por el "Resolveré el examen" a todos los empleados: una excelente guía.
Serguéi Nikiforov
Se puede obtener una explicación sencilla si partimos de la definición de una función creciente/decreciente. Déjame recordarte que suena así: una función se llama creciente/decreciente en el intervalo si el argumento mayor de la función corresponde a un valor mayor/menor de la función. Tal definición no utiliza el concepto de derivada de ninguna manera, por lo que no pueden surgir preguntas sobre los puntos donde la derivada desaparece.
irina ismakova 20.11.2017 11:46
Buena tarde. Aquí en los comentarios veo creencias de que se deben incluir fronteras. Digamos que estoy de acuerdo con esto. Pero mire, por favor, su solución al problema 7089. Allí, al especificar intervalos de aumento, los límites no están incluidos. Y eso afecta la respuesta. Aquellas. las soluciones de las tareas 6429 y 7089 se contradicen entre sí. Por favor, aclare esta situación.
Alejandro Ivanov
Las tareas 6429 y 7089 tienen preguntas completamente diferentes.
En uno hay intervalos de crecimiento y en el otro hay intervalos con derivada positiva.
No hay contradicción.
Los extremos están incluidos en los intervalos de aumento y disminución, pero los puntos en los que la derivada es igual a cero no entran en los intervalos en los que la derivada es positiva.
A Z 28.01.2019 19:09
Colegas, hay un concepto de aumento en un punto
(ver Fichtenholtz por ejemplo)
y su comprensión del aumento en el punto x=2 es contraria a la definición clásica.
Aumentar y disminuir es un proceso y me gustaría adherirme a este principio.
En cualquier intervalo que contenga el punto x=2, la función no es creciente. Por lo tanto, la inclusión del punto dado x=2 es un proceso especial.
Por lo general, para evitar confusiones, la inclusión de los extremos de los intervalos se dice por separado.
Alejandro Ivanov
La función y=f(x) se llama creciente en algún intervalo si el valor mayor del argumento de este intervalo corresponde al valor mayor de la función.
En el punto x = 2, la función es diferenciable, y en el intervalo (2; 6) la derivada es positiva, lo que significa que en el intervalo )
