¿Cuál es el seno de alfa. Identidades trigonométricas básicas, sus formulaciones y derivaciones

La trigonometría, como ciencia, se originó en el Antiguo Oriente. Los astrónomos desarrollaron las primeras proporciones trigonométricas para crear un calendario preciso y orientarse según las estrellas. Estos cálculos se relacionan con la trigonometría esférica, mientras que en el curso escolar estudian la razón de los lados y el ángulo de un triángulo plano.

La trigonometría es una rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades de las funciones trigonométricas y la relación entre los lados y los ángulos de los triángulos.

Durante el apogeo de la cultura y la ciencia en el primer milenio d. C., el conocimiento se extendió desde el Antiguo Oriente hasta Grecia. Pero los principales descubrimientos de la trigonometría son mérito de los hombres del califato árabe. En particular, el científico turcomano al-Marazvi introdujo funciones como tangente y cotangente, compiló las primeras tablas de valores para senos, tangentes y cotangentes. El concepto de seno y coseno fue introducido por científicos indios. Se dedica mucha atención a la trigonometría en las obras de grandes figuras de la antigüedad como Euclides, Arquímedes y Eratóstenes.

Cantidades básicas de trigonometría

Las funciones trigonométricas básicas de un argumento numérico son seno, coseno, tangente y cotangente. Cada uno de ellos tiene su propia gráfica: seno, coseno, tangente y cotangente.

Las fórmulas para calcular los valores de estas cantidades se basan en el teorema de Pitágoras. Los escolares lo conocen mejor en la formulación: "pantalones pitagóricos, iguales en todas las direcciones", ya que la prueba se da en el ejemplo de un triángulo rectángulo isósceles.

El seno, el coseno y otras dependencias establecen una relación entre los ángulos agudos y los lados de cualquier triángulo rectángulo. Damos fórmulas para calcular estas cantidades para el ángulo A y trazamos la relación de las funciones trigonométricas:

Como puede ver, tg y ctg son funciones inversas. Si representamos el cateto a como el producto del seno A y la hipotenusa c, y el cateto b como el coseno A * c, obtenemos las siguientes fórmulas para la tangente y la cotangente:

círculo trigonométrico

Gráficamente, la relación de las cantidades mencionadas se puede representar de la siguiente manera:

El círculo, en este caso, representa todos los valores posibles del ángulo α, de 0° a 360°. Como se puede ver en la figura, cada función toma un valor negativo o positivo dependiendo del ángulo. Por ejemplo, sen α estará con signo “+” si α pertenece a los cuartos I y II del círculo, es decir, está en el rango de 0° a 180°. Con α de 180° a 360° (III y IV cuartos), sen α solo puede ser un valor negativo.

Tratemos de construir tablas trigonométricas para ángulos específicos y descubramos el significado de las cantidades.

Los valores de α iguales a 30°, 45°, 60°, 90°, 180° y así sucesivamente se denominan casos especiales. Los valores de las funciones trigonométricas para ellos se calculan y presentan en forma de tablas especiales.

Estos ángulos no fueron elegidos por casualidad. La designación π en las tablas es para radianes. Rad es el ángulo en el que la longitud de un arco circular corresponde a su radio. Este valor se introdujo para establecer una relación universal, cuando se calcula en radianes, no importa la longitud real del radio en cm.

Los ángulos en las tablas de funciones trigonométricas corresponden a valores en radianes:

Entonces, no es difícil adivinar que 2π es un círculo completo o 360°.

Propiedades de las funciones trigonométricas: seno y coseno

Para considerar y comparar las propiedades básicas de seno y coseno, tangente y cotangente, es necesario dibujar sus funciones. Esto se puede hacer en forma de una curva ubicada en un sistema de coordenadas bidimensional.

Considere una tabla comparativa de propiedades para una onda sinusoidal y una onda coseno:

Determinar si una función es par o no es muy sencillo. Basta con imaginar un círculo trigonométrico con signos de cantidades trigonométricas y "doblar" mentalmente el gráfico en relación con el eje OX. Si los signos son iguales, la función es par; en caso contrario, es impar.

La introducción de radianes y la enumeración de las principales propiedades de la onda sinusoide y coseno nos permiten traer el siguiente patrón:

Es muy fácil verificar la exactitud de la fórmula. Por ejemplo, para x = π/2, el seno es igual a 1, al igual que el coseno de x = 0. La comprobación se puede realizar consultando tablas o trazando curvas de función para valores dados.

Propiedades de la tangente y la cotangente

Los gráficos de las funciones tangente y cotangente difieren significativamente de la onda sinusoide y coseno. Los valores tg y ctg son inversos entre sí.

1. Y = tgx.
2. La tangente tiende a los valores de y en x = π/2 + πk, pero nunca los alcanza.
3. El período positivo más pequeño de la tangente es π.
4. Tg (- x) \u003d - tg x, es decir, la función es impar.
5. Tg x = 0, para x = πk.
6. La función es creciente.
7. Tg x › 0, para x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, para x ϵ (— π/2 + πk, πk).
9. Derivada (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x .

Considere la representación gráfica de la cotangentoide a continuación en el texto.

Las principales propiedades de la cotangentoide:

1. Y = ctgx.
2. A diferencia de las funciones seno y coseno, en la tangente Y puede tomar los valores del conjunto de todos los números reales.
3. La cotangentoide tiende a los valores de y en x = πk, pero nunca los alcanza.
4. El período positivo más pequeño de la cotangentoide es π.
5. Ctg (- x) \u003d - ctg x, es decir, la función es impar.
6. Ctg x = 0, para x = π/2 + πk.
7. La función es decreciente.
8. Ctg x › 0, para x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, para x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. Derivada (ctg x)' = - 1/sen 2 ⁡x Fix

Instrucción

Usa la función arcoseno para calcular el valor de un ángulo en grados si conoces el valor de ese ángulo. si un inyección denotada por la letra α, en términos generales, la solución se puede escribir de la siguiente manera: α = arcsin(sin(α)).

Si tiene la oportunidad de usar una computadora, es más fácil usar el sistema operativo incorporado para cálculos prácticos. En las últimas dos versiones de Windows, puede iniciarlo así: presione la tecla Win, escriba "ka" y presione Entrar. En versiones anteriores de este sistema operativo, busque el enlace "Calculadora" en la subsección "Estándar" de la sección "Todos los programas" del menú principal del sistema.

Después de iniciar la aplicación, cámbiela a un modo que le permita trabajar con funciones trigonométricas. Esto se puede hacer seleccionando la línea "Ingeniería" en la sección "Ver" del menú de la calculadora o presionando Alt + 2.

Introduzca un valor de seno. Por defecto, la interfaz de la calculadora no tiene un botón para calcular el arcoseno. Para poder utilizar esta función, debe invertir los valores predeterminados de los botones: haga clic en el botón Inv en la ventana del programa. En versiones anteriores, este botón se reemplaza por una casilla de verificación con la misma designación: márquela.

Puede utilizar en los cálculos y varios servicios, que son más que suficientes en Internet. Por ejemplo, vaya a la página http://planetcalc.com/326/, desplácese un poco hacia abajo y en el campo Entrada ingrese el valor del seno. Para iniciar el procedimiento de cálculo, hay un botón llamado Calcular: haga clic en él. Encontrará el resultado de los cálculos en la primera línea de la tabla debajo de este botón. Además del arcoseno, muestra tanto los valores como el arco tangente del valor introducido.

La función trigonométrica del seno inverso se llama arcoseno. Puede tomar valores dentro de la mitad del número de pi, tanto positivos como negativos, cuando se mide en radianes. Cuando se miden en grados, estos valores estarán, respectivamente, en el rango de -90° a +90°.

Instrucción

Algunos valores "redondos" no tienen que calcularse, son más fáciles de recordar. Por ejemplo: - si el argumento de la función es cero, entonces el valor del arcoseno de él también es cero; - de 1/2 es 30 ° o 1/6 Pi, si se mide; - el arcoseno de -1/2 es igual a -30° o -1/6 de pi en ;- arcoseno de 1 es 90° o 1/2 de pi en radianes;- arcoseno de -1 es -90° o -1/2 de pi en radianes;

Para medir los valores de esta función a partir de otros argumentos, lo más sencillo es utilizar la calculadora estándar de Windows, si dispones de ella. Para comenzar, abra el menú principal en el botón "Inicio" (o presionando la tecla WIN), vaya a la sección "Todos los programas", luego a la subsección "Accesorios" y haga clic en el elemento "Calculadora".

Cambie la interfaz de la calculadora al modo operativo que le permite calcular funciones trigonométricas. Para hacer esto, abra la sección "Ver" en su menú y seleccione el elemento "Ingeniería" o "Científico" (según el sistema operativo utilizado).

Ingrese el valor del argumento a partir del cual calcular el arco tangente. Esto se puede hacer haciendo clic en los botones de la interfaz de la calculadora con el mouse, presionando las teclas o copiando el valor (CTRL + C) y luego pegándolo (CTRL + V) en el campo de entrada de la calculadora.

Seleccione las unidades en las que desea obtener el resultado del cálculo de la función. Debajo del campo de entrada hay tres opciones, de las cuales debe seleccionar (haciendo clic con el mouse) una - , radianes o rads.

Marque la casilla de verificación que invierte las funciones indicadas en los botones de la interfaz de la calculadora. Junto a él hay una breve inscripción Inv.

Haga clic en el botón pecado. La calculadora invertirá la función adjunta, realizará el cálculo y le presentará el resultado en las unidades dadas.

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Sobre un triángulo rectángulo, como el más simple de los polígonos, varios científicos perfeccionaron sus conocimientos en el campo de la trigonometría allá por aquellos días en que nadie ni siquiera llamaba a esta área de las matemáticas con esa palabra. Por lo tanto, hoy no es posible indicar el autor que reveló patrones en las proporciones de las longitudes de los lados y las magnitudes de los ángulos en esta figura geométrica plana. Tales relaciones se denominan funciones trigonométricas y se dividen en varios grupos, el principal de los cuales se considera convencionalmente funciones "directas". Solo se asignan dos funciones a este grupo, y una de ellas es seno.

Instrucción

Por definición, en un triángulo rectángulo uno de los ángulos es de 90°, y debido al hecho de que la suma de sus ángulos en la geometría euclidiana debe ser igual a 180°, los otros dos ángulos son (es decir, 90°). Las regularidades de las proporciones de precisamente estos ángulos y longitudes de los lados describen funciones trigonométricas.

La función, llamada seno de un ángulo agudo, determina la relación entre las longitudes de dos lados de un triángulo rectángulo, uno de los cuales se encuentra opuesto a este ángulo agudo y el otro es adyacente a él y se encuentra opuesto al ángulo recto. Dado que el lado opuesto al ángulo recto en dicho triángulo se llama hipotenusa, y los otros dos son los catetos, las funciones seno se pueden formular como la relación entre las longitudes del cateto y la hipotenusa.

Además de una definición tan sencilla de esta función trigonométrica, existen otras más complejas: mediante un círculo en coordenadas cartesianas, mediante series, mediante ecuaciones diferenciales y funcionales. Esta función es continua, es decir, sus argumentos ("dominio de definiciones") pueden ser cualquier número, desde infinitamente negativo hasta infinitamente positivo. Y los valores máximos de esta función están limitados por el rango de -1 a +1: este es el "rango de sus valores". El seno toma su valor mínimo en un ángulo de 270°, que corresponde a 3/Pi, y el máximo se obtiene en 90° (½ de Pi). Los valores de la función se vuelven cero a 0°, 180°, 360°, etc. De todo esto se sigue que el seno es una función periódica y su periodo es igual a 360° o el doble del número Pi.

Para cálculos prácticos de los valores de esta función a partir de un argumento dado, puede usarlo; la gran mayoría de ellos (incluida la calculadora de software integrada en el sistema operativo de su computadora) tienen la opción correspondiente.

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Seno y coseno- estas son funciones trigonométricas directas para las que existen varias definiciones - a través de un círculo en un sistema de coordenadas cartesianas, a través de soluciones de una ecuación diferencial, a través de ángulos agudos en un triángulo rectángulo. Cada una de estas definiciones le permite deducir la relación entre estas dos funciones. La siguiente es quizás la forma más sencilla de expresar coseno a través del seno - a través de sus definiciones de ángulos agudos de un triángulo rectángulo.

Instrucción

Exprese el seno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo en términos de las longitudes de los lados de esta figura. Según la definición, el seno del ángulo (α) debe ser la relación entre la longitud del lado (a) opuesto a él, el cateto, y la longitud del lado (c) opuesto al ángulo recto, la hipotenusa: sen (a) = a/c.

Encuentre una fórmula similar para coseno pero el mismo ángulo. Por definición, este valor debe expresarse como la relación entre la longitud del lado (b) adyacente a esta esquina (el segundo lado) y la longitud del lado (c) opuesto al ángulo recto: cos (a) \u003d aire acondicionado

Reescribe la ecuación que sigue del teorema de Pitágoras de tal manera que use las relaciones entre los catetos y la hipotenusa derivadas en los dos pasos anteriores. Para hacer esto, primero divida ambos del original de este teorema (a² + b² = c²) por el cuadrado de la hipotenusa (a² / c² + b² / c² = 1), y luego reescriba la igualdad resultante de esta forma: (a /c)² + (b/c)² = 1.

Reemplace en la expresión resultante la relación de las longitudes de los catetos y la hipotenusa con funciones trigonométricas, según las fórmulas del primer y segundo paso: sen² (a) + cos² (a) \u003d 1. Express coseno de la igualdad resultante: cos(a) = √(1 - sin²(a)). Este problema se puede resolver de forma general.

Si, además del general, necesita obtener un resultado numérico, use, por ejemplo, la calculadora integrada en el sistema operativo Windows. Un enlace a su lanzamiento en la subsección "Estándar" de la sección "Todos los programas" del menú del sistema operativo. Este enlace está redactado de manera concisa: "Calculadora". Para poder calcular funciones trigonométricas desde este programa, habilite su interfaz de "ingeniería": presione la combinación de teclas Alt + 2.

Ingrese el valor del seno del ángulo en las condiciones y haga clic en el botón de la interfaz con la designación x²; esto elevará al cuadrado el valor original. Luego escriba *-1 en el teclado, presione Enter, escriba +1 y presione Enter nuevamente; de ​​esta manera restará el cuadrado del seno de la unidad. Haga clic en la tecla del icono radical para extraer el cuadrado y obtener el resultado final.

El estudio de los triángulos ha sido realizado por matemáticos durante varios milenios. La ciencia de los triángulos, la trigonometría, utiliza cantidades especiales: seno y coseno.

Triángulo rectángulo

Inicialmente, el seno y el coseno surgieron debido a la necesidad de calcular cantidades en triángulos rectángulos. Se notó que si el valor de la medida en grados de los ángulos en un triángulo rectángulo no cambia, entonces la relación de aspecto, sin importar cuánto cambien estos lados en longitud, siempre permanece igual.

Así se introdujeron los conceptos de seno y coseno. El seno de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo es la razón del cateto opuesto a la hipotenusa, y el coseno es la razón del cateto adyacente a la hipotenusa.

Teoremas de cosenos y senos

Pero los cosenos y senos se pueden usar no solo en triángulos rectángulos. Para encontrar el valor de un ángulo obtuso o agudo, el lado de cualquier triángulo, basta con aplicar el teorema del coseno y el seno.

El teorema del coseno es bastante simple: "El cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo entre ellos".

Hay dos interpretaciones del teorema del seno: pequeña y extendida. Según la pequeña: "En un triángulo, los ángulos son proporcionales a los lados opuestos". Este teorema a menudo se extiende debido a la propiedad del círculo circunscrito a un triángulo: "En un triángulo, los ángulos son proporcionales a los lados opuestos, y su relación es igual al diámetro del círculo circunscrito".

Derivados

Una derivada es una herramienta matemática que muestra qué tan rápido cambia una función con respecto a un cambio en su argumento. Los derivados se utilizan en geometría y en varias disciplinas técnicas.

Al resolver problemas, debe conocer los valores tabulares de las derivadas de las funciones trigonométricas: seno y coseno. La derivada del seno es el coseno, y la derivada del coseno es el seno, pero con signo menos.

Aplicación en matemáticas

Con especial frecuencia, los senos y los cosenos se usan para resolver triángulos rectángulos y problemas relacionados con ellos.

La conveniencia de senos y cosenos también se refleja en la tecnología. Los ángulos y los lados eran fáciles de evaluar usando los teoremas del coseno y el seno, rompiendo formas y objetos complejos en triángulos "simples". Los ingenieros y, a menudo lidiando con cálculos de relación de aspecto y medidas de grado, dedicaron mucho tiempo y esfuerzo a calcular cosenos y senos de ángulos que no son de mesa.

Luego vinieron al rescate las tablas de Bradis, que contenían miles de valores de senos, cosenos, tangentes y cotangentes de diferentes ángulos. En la época soviética, algunos maestros obligaron a sus pupilos a memorizar las páginas de las tablas de Bradis.

Radian - el valor angular del arco, a lo largo de la longitud igual al radio o 57.295779513 ° grados.

Grado (en geometría) - 1/360 de un círculo o 1/90 de un ángulo recto.

π = 3,141592653589793238462… (valor aproximado de pi).

Tabla de cosenos para ángulos: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

En este artículo, mostraremos cómo definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente de ángulo y número en trigonometría. Aquí hablaremos sobre notación, daremos ejemplos de registros, daremos ilustraciones gráficas. En conclusión, trazamos un paralelo entre las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente en trigonometría y geometría.

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Definición de seno, coseno, tangente y cotangente

Sigamos cómo se forma el concepto de seno, coseno, tangente y cotangente en el curso de matemáticas escolares. En las lecciones de geometría, se da la definición de seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo. Y posteriormente se estudia la trigonometría, que se refiere al seno, coseno, tangente y cotangente del ángulo de giro y del número. Damos todas estas definiciones, damos ejemplos y damos los comentarios necesarios.

Ángulo agudo en un triángulo rectángulo

Del curso de geometría se conocen las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo. Se dan como la razón de los lados de un triángulo rectángulo. Te presentamos sus formulaciones.

Definición.

Seno de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo es la razón del cateto opuesto a la hipotenusa.

Definición.

Coseno de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo es la razón del cateto adyacente a la hipotenusa.

Definición.

Tangente de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo es la razón del cateto opuesto al cateto adyacente.

Definición.

Cotangente de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo es la razón del cateto adyacente al cateto opuesto.

Allí también se introduce la notación de seno, coseno, tangente y cotangente: sen, cos, tg y ctg, respectivamente.

Por ejemplo, si ABC es un triángulo rectángulo con un ángulo recto C, entonces el seno del ángulo agudo A es igual a la razón del cateto opuesto BC a la hipotenusa AB, es decir, sen∠A=BC/AB.

Estas definiciones le permiten calcular los valores de seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo agudo a partir de las longitudes conocidas de los lados de un triángulo rectángulo, así como a partir de los valores conocidos de seno, coseno, tangente, cotangente y la longitud de uno de los lados, hallar las longitudes de los otros lados. Por ejemplo, si supiéramos que en un triángulo rectángulo el cateto AC es 3 y la hipotenusa AB es 7 , entonces podríamos calcular el coseno del ángulo agudo A por definición: cos∠A=AC/AB=3/7 .

Ángulo de rotación

En trigonometría, comienzan a observar el ángulo de manera más amplia: introducen el concepto de ángulo de rotación. El ángulo de rotación, a diferencia de un ángulo agudo, no está limitado a marcos de 0 a 90 grados, el ángulo de rotación en grados (y en radianes) se puede expresar mediante cualquier número real de −∞ a +∞.

Bajo esta luz, las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente ya no son un ángulo agudo, sino un ángulo de magnitud arbitraria: el ángulo de rotación. Se dan a través de las coordenadas x e y del punto A 1 , al que pasa el llamado punto inicial A(1, 0) después de que gira un ángulo α alrededor del punto O, el comienzo de un sistema de coordenadas cartesiano rectangular y el centro del círculo unitario.

Definición.

Seno de ángulo de rotaciónα es la ordenada del punto A 1 , es decir, senα=y .

Definición.

coseno del ángulo de rotaciónα se llama la abscisa del punto A 1 , es decir, cosα=x .

Definición.

Tangente del ángulo de rotaciónα es el cociente entre la ordenada del punto A 1 y su abscisa, es decir, tgα=y/x .

Definición.

La cotangente del ángulo de rotación.α es la razón de la abscisa del punto A 1 a su ordenada, es decir, ctgα=x/y .

El seno y el coseno están definidos para cualquier ángulo α, ya que siempre podemos determinar la abscisa y la ordenada del punto, que se obtiene al girar el punto inicial el ángulo α. Y la tangente y la cotangente no están definidas para ningún ángulo. La tangente no está definida para aquellos ángulos α en los que el punto inicial va a un punto de abscisa cero (0, 1) o (0, −1) , y esto tiene lugar en los ángulos 90°+180° k , k∈Z (π /2+π krad). De hecho, para tales ángulos de rotación, la expresión tgα=y/x no tiene sentido, ya que contiene una división por cero. En cuanto a la cotangente, no está definida para ángulos α en los que el punto de partida va a un punto con ordenada cero (1, 0) o (−1, 0) , y este es el caso de ángulos 180° k , k ∈Z (π k rad).

Entonces, el seno y el coseno están definidos para cualquier ángulo de rotación, la tangente está definida para todos los ángulos excepto 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad), y la cotangente es para todos los ángulos excepto 180 ° ·k , k∈Z (π·k rad).

Las notaciones que ya conocemos aparecen en las definiciones sin, cos, tg y ctg, también se utilizan para denotar el seno, coseno, tangente y cotangente del ángulo de rotación (a veces se puede encontrar la notación tan y cot correspondiente a tangente y cotangente). Entonces el seno del ángulo de rotación de 30 grados se puede escribir como sen30°, los registros tg(−24°17′) y ctgα corresponden a la tangente del ángulo de rotación −24 grados 17 minutos y la cotangente del ángulo de rotación α . Recuerda que al escribir la medida de un ángulo en radianes, a menudo se omite la notación "rad". Por ejemplo, el coseno de un ángulo de rotación de tres pi rads generalmente se denota cos3 π.

Como conclusión de este párrafo, vale la pena señalar que al hablar sobre el seno, el coseno, la tangente y la cotangente del ángulo de rotación, a menudo se omite la frase "ángulo de rotación" o la palabra "rotación". Es decir, en lugar de la frase "seno del ángulo de rotación alfa", generalmente se usa la frase "seno del ángulo de alfa", o incluso más corto: "seno de alfa". Lo mismo se aplica al coseno, la tangente y la cotangente.

Digamos también que las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo son consistentes con las definiciones recién dadas para el seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo de rotación que va de 0 a 90 grados Justificaremos esto.

Números

Definición.

Seno, coseno, tangente y cotangente de un número t es un número igual al seno, coseno, tangente y cotangente del ángulo de rotación en t radianes, respectivamente.

Por ejemplo, el coseno de 8 π es, por definición, un número igual al coseno de un ángulo de 8 π rad. Y el coseno del ángulo en 8 π rad es igual a uno, por lo tanto, el coseno del número 8 π es igual a 1.

Hay otro enfoque para la definición del seno, coseno, tangente y cotangente de un número. Consiste en que a cada número real t se le asigna un punto de la circunferencia unitaria centrado en el origen del sistema de coordenadas rectangulares, ya partir de las coordenadas de este punto se determinan el seno, el coseno, la tangente y la cotangente. Detengámonos en esto con más detalle.

Mostremos cómo se establece la correspondencia entre los números reales y los puntos de la circunferencia:

• al número 0 se le asigna el punto de partida A(1, 0) ;
• un número positivo t está asociado con un punto en el círculo unitario, al que llegaremos si nos movemos alrededor del círculo desde el punto inicial en sentido antihorario y recorremos un camino de longitud t;
• un número negativo t está asociado a un punto del círculo unitario, al que llegaremos si nos movemos alrededor del círculo desde el punto inicial en el sentido de las agujas del reloj y recorremos un camino de longitud |t| .

Ahora pasemos a las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente del número t. Supongamos que el número t corresponde a un punto del círculo A 1 (x, y) (por ejemplo, el número &pi/2; corresponde al punto A 1 (0, 1) ).

Definición.

El seno de un número t es la ordenada del punto del círculo unitario correspondiente al número t, es decir, sint=y.

Definición.

El coseno de un número t se llama abscisa del punto del círculo unitario correspondiente al número t, es decir, cost=x.

Definición.

Tangente de un número t es la razón de la ordenada a la abscisa del punto del círculo unitario correspondiente al número t, es decir, tgt=y/x. En otra formulación equivalente, la tangente del número t es la relación entre el seno de este número y el coseno, es decir, tgt=sint/cost.

Definición.

Cotangente de un numero t es la razón de la abscisa a la ordenada del punto del círculo unitario correspondiente al número t, es decir, ctgt=x/y. Otra formulación es la siguiente: la tangente del número t es la razón del coseno del número t al seno del número t: ctgt=cost/sint.

Aquí observamos que las definiciones que se acaban de dar concuerdan con la definición dada al comienzo de esta subsección. En efecto, el punto del círculo unitario correspondiente al número t coincide con el punto obtenido al girar el punto inicial un ángulo de t radianes.

También vale la pena aclarar este punto. Digamos que tenemos una entrada sin3. ¿Cómo entender si se trata del seno del número 3 o del seno del ángulo de rotación de 3 radianes? Esto suele quedar claro por el contexto; de lo contrario, probablemente no importe.

Funciones trigonométricas de argumento angular y numérico

De acuerdo con las definiciones dadas en el párrafo anterior, cada ángulo de rotación α corresponde a un valor bien definido de sinα, así como el valor de cosα. Además, todos los ángulos de rotación distintos de 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) corresponden a los valores tgα , y distintos de 180° k , k∈Z (π k rad ) son los valores de ctgα. Por lo tanto senα, cosα, tgα y ctgα son funciones del ángulo α. En otras palabras, estas son funciones del argumento angular.

Del mismo modo, podemos hablar de las funciones seno, coseno, tangente y cotangente de un argumento numérico. De hecho, cada número real t corresponde a un valor bien definido de sint , así como de cost . Además, todos los números que no sean π/2+π·k , k∈Z corresponden a los valores tgt , y los números π·k , k∈Z corresponden a los valores ctgt .

Las funciones seno, coseno, tangente y cotangente se denominan funciones trigonométricas básicas.

Por lo general, queda claro por el contexto que estamos tratando con funciones trigonométricas de un argumento angular o un argumento numérico. De lo contrario, podemos considerar la variable independiente como una medida del ángulo (el argumento del ángulo) y como un argumento numérico.

Sin embargo, la escuela estudia principalmente funciones numéricas, es decir, funciones cuyos argumentos, así como sus correspondientes valores de función, son números. Por lo tanto, si estamos hablando de funciones, entonces es recomendable considerar las funciones trigonométricas como funciones de argumentos numéricos.

Conexión de definiciones de geometría y trigonometría.

Si consideramos el ángulo de rotación α de 0 a 90 grados, entonces los datos en el contexto de la trigonometría de la definición de seno, coseno, tangente y cotangente del ángulo de rotación son totalmente consistentes con las definiciones de seno, coseno , tangente y cotangente de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo, que se dan en el curso de geometría. Justifiquemos esto.

Dibuje un círculo unitario en el sistema de coordenadas cartesianas rectangulares Oxy. Tenga en cuenta el punto de partida A(1, 0) . Girémoslo en un ángulo α que va de 0 a 90 grados, obtenemos el punto A 1 (x, y) . Dejemos caer la perpendicular A 1 H desde el punto A 1 al eje Ox.

Es fácil ver que en un triángulo rectángulo el ángulo A 1 OH es igual al ángulo de rotación α, la longitud del cateto OH adyacente a este ángulo es igual a la abscisa del punto A 1, es decir, |OH |=x, la longitud del cateto A 1 H opuesto al ángulo es igual a la ordenada del punto A 1 , es decir, |A 1 H|=y , y la longitud de la hipotenusa OA 1 es igual a uno , ya que es el radio del círculo unitario. Entonces, por definición de la geometría, el seno de un ángulo agudo α en un triángulo rectángulo A 1 OH es igual a la razón del cateto opuesto a la hipotenusa, es decir, sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. Y por definición de trigonometría, el seno del ángulo de rotación α es igual a la ordenada del punto A 1, es decir, senα=y. Esto demuestra que la definición del seno de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo es equivalente a la definición del seno del ángulo de rotación α para α de 0 a 90 grados.

De manera similar, se puede demostrar que las definiciones de coseno, tangente y cotangente de un ángulo agudo α son consistentes con las definiciones de coseno, tangente y cotangente del ángulo de rotación α.

Bibliografía.

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Comenzamos nuestro estudio de trigonometría con un triángulo rectángulo. Definamos qué son el seno y el coseno, así como la tangente y la cotangente de un ángulo agudo. Estos son los fundamentos de la trigonometría.

Recordar que ángulo recto es un ángulo igual a 90 grados. En otras palabras, la mitad de la esquina desplegada.

Esquina filosa- menos de 90 grados.

Ángulo obtuso- mayor de 90 grados. En relación con tal ángulo, "contundente" no es un insulto, sino un término matemático :-)

Dibujemos un triángulo rectángulo. Generalmente se denota un ángulo recto. Tenga en cuenta que el lado opuesto a la esquina se denota con la misma letra, solo que pequeña. Entonces, se denota el lado opuesto al ángulo A.

Un ángulo se denota con la letra griega correspondiente.

Hipotenusa Un triángulo rectángulo es el lado opuesto al ángulo recto.

Piernas- lados opuestos esquinas agudas.

El cateto opuesto a la esquina se llama opuesto(relativo al ángulo). La otra pierna, que se encuentra a un lado de la esquina, se llama adyacente.

Seno El ángulo agudo en un triángulo rectángulo es la razón del cateto opuesto a la hipotenusa:

Cosenoángulo agudo en un triángulo rectángulo - la relación entre el cateto adyacente y la hipotenusa:

Tangenteángulo agudo en un triángulo rectángulo: la relación entre el cateto opuesto y el adyacente:

Otra definición (equivalente): la tangente de un ángulo agudo es la relación entre el seno de un ángulo y su coseno:

Cotangenteángulo agudo en un triángulo rectángulo: la relación entre el cateto adyacente y el opuesto (o, de manera equivalente, la relación entre el coseno y el seno):

Preste atención a las proporciones básicas para seno, coseno, tangente y cotangente, que se dan a continuación. Nos serán útiles para resolver problemas.

Probemos algunos de ellos.

Bien, hemos dado definiciones y fórmulas escritas. Pero, ¿por qué necesitamos seno, coseno, tangente y cotangente?

Lo sabemos la suma de los angulos de cualquier triangulo es.

Conocemos la relación entre fiestas triángulo rectángulo. Este es el teorema de Pitágoras: .

Resulta que conociendo dos ángulos en un triángulo, puedes encontrar el tercero. Conociendo dos lados en un triángulo rectángulo, puedes encontrar el tercero. Entonces, para los ángulos, su proporción, para los lados, los suyos. Pero, ¿qué hacer si en un triángulo rectángulo se conocen un ángulo (excepto el recto) y un lado, pero necesita encontrar otros lados?

Esto es a lo que se enfrentaba la gente en el pasado, haciendo mapas de la zona y del cielo estrellado. Después de todo, no siempre es posible medir directamente todos los lados de un triángulo.

Seno, coseno y tangente - también se les llama funciones trigonométricas del ángulo- dar la razón entre fiestas y esquinas triángulo. Conociendo el ángulo, puedes encontrar todas sus funciones trigonométricas usando tablas especiales. Y conociendo los senos, cosenos y tangentes de los ángulos de un triángulo y uno de sus lados, puedes encontrar el resto.

También dibujaremos una tabla de valores de seno, coseno, tangente y cotangente para ángulos "buenos" de a.

Observe los dos guiones rojos en la tabla. Para los valores correspondientes de los ángulos, la tangente y la cotangente no existen.

Analicemos varios problemas de trigonometría del Banco de tareas FIPI.

1. En un triángulo, el ángulo es , . Encontrar .

El problema se resuelve en cuatro segundos.

En la medida en , .

2. En un triángulo, el ángulo es , , . Encontrar .

Hallemos por el teorema de Pitágoras.

Problema resuelto.

A menudo, en los problemas hay triángulos con ángulos y o con ángulos y . ¡Memoriza las proporciones básicas para ellos de memoria!

Para un triángulo con ángulos y el cateto opuesto al ángulo en es igual a la mitad de la hipotenusa.

Un triángulo con ángulos y es isósceles. En él, la hipotenusa es veces más grande que el cateto.

Consideramos problemas para resolver triángulos rectángulos, es decir, para encontrar lados o ángulos desconocidos. ¡Pero eso no es todo! En las variantes del examen de matemáticas, existen muchas tareas donde aparece el seno, coseno, tangente o cotangente del ángulo exterior del triángulo. Más sobre esto en el siguiente artículo.

El seno es una de las funciones trigonométricas básicas, cuya aplicación no se limita solo a la geometría. Las tablas para calcular funciones trigonométricas, como las calculadoras de ingeniería, no siempre están disponibles, y el cálculo del seno a veces es necesario para resolver varios problemas. En general, el cálculo del seno ayudará a consolidar las habilidades de dibujo y el conocimiento de las identidades trigonométricas.

Juegos de regla y lápiz.

Una tarea simple: ¿cómo encontrar el seno de un ángulo dibujado en papel? Para resolverlo, necesitas una regla normal, un triángulo (o un compás) y un lápiz. La forma más sencilla de calcular el seno de un ángulo es dividiendo el lado más largo de un triángulo con un ángulo recto, la hipotenusa. Por lo tanto, primero debe completar el ángulo agudo de la figura de un triángulo rectángulo dibujando una línea perpendicular a uno de los rayos a una distancia arbitraria del vértice del ángulo. Será necesario observar un ángulo de exactamente 90 °, para lo cual necesitamos un triángulo clerical.

Usar una brújula es un poco más preciso, pero llevará más tiempo. En uno de los rayos, debe marcar 2 puntos a cierta distancia, establecer un radio en la brújula aproximadamente igual a la distancia entre los puntos y dibujar semicírculos con centros en estos puntos hasta que estas líneas se crucen. Al conectar los puntos de intersección de nuestros círculos entre sí, obtenemos una estricta perpendicular al rayo de nuestro ángulo, solo queda extender la línea hasta que se interseca con otro rayo.

En el triángulo resultante, debe medir el lado opuesto a la esquina y el lado largo en uno de los rayos con una regla. La relación de la primera medida con la segunda será el valor deseado del seno del ángulo agudo.

Encuentra el seno para un ángulo mayor a 90°

Para un ángulo obtuso, la tarea no es mucho más difícil. Es necesario dibujar un rayo desde el vértice en dirección opuesta usando una regla para formar una línea recta con uno de los rayos del ángulo que nos interesa. Con el ángulo agudo resultante, debe proceder como se describe anteriormente, los senos de los ángulos adyacentes, que forman juntos un ángulo desarrollado de 180 °, son iguales.

Cálculo del seno a partir de otras funciones trigonométricas

Además, el cálculo del seno es posible si se conocen los valores de otras funciones trigonométricas del ángulo o al menos la longitud de los lados del triángulo. Las identidades trigonométricas nos ayudarán con esto. Veamos ejemplos comunes.

¿Cómo encontrar el seno con un coseno conocido de un ángulo? La primera identidad trigonométrica, proveniente del teorema de Pitágoras, dice que la suma de los cuadrados del seno y el coseno del mismo ángulo es igual a uno.

¿Cómo encontrar el seno con una tangente conocida de un ángulo? La tangente se obtiene dividiendo el cateto lejano por el cercano o dividiendo el seno por el coseno. Así, el seno será el producto del coseno y la tangente, y el cuadrado del seno será el cuadrado de este producto. Reemplazamos el coseno al cuadrado con la diferencia entre la unidad y el seno al cuadrado según la primera identidad trigonométrica y, mediante manipulaciones simples, traemos la ecuación para calcular el seno al cuadrado a través de la tangente, respectivamente, para calcular el seno, tendrás que extraer la raíz del resultado obtenido.

¿Cómo encontrar el seno con una cotangente conocida de un ángulo? El valor de la cotangente se puede calcular dividiendo la longitud del cateto cercano del ángulo del cateto por la longitud del lejano, así como dividiendo el coseno por el seno, es decir, la cotangente es la función inversa de la tangente con respecto al número 1. Para calcular el seno, puede calcular la tangente usando la fórmula tg α \u003d 1 / ctg α y usar la fórmula en la segunda opción. También puede derivar una fórmula directa por analogía con la tangente, que se verá así.

Cómo encontrar el seno de los tres lados de un triángulo

Hay una fórmula para encontrar la longitud del lado desconocido de cualquier triángulo, no solo un triángulo rectángulo, dados dos lados conocidos usando la función trigonométrica del coseno del ángulo opuesto. Ella se ve así.