Logaritmos con la misma base. Ecuaciones y desigualdades. que es un logaritmo

El logaritmo de un número positivo b en base a (a>0, a no es igual a 1) es un número c tal que a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Tenga en cuenta que el logaritmo de un número no positivo no está definido. Además, la base del logaritmo debe ser numero positivo, que no es igual a 1. Por ejemplo, si elevamos al cuadrado -2, obtenemos el número 4, pero esto no significa que el logaritmo en base -2 de 4 sea 2.

Identidad logarítmica básica

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Es importante que los dominios de definición de las partes derecha e izquierda de esta fórmula sean diferentes. El lado izquierdo está definido solo para b>0, a>0 y a ≠ 1. El lado derecho está definido para cualquier b, y no depende de a en absoluto. Por lo tanto, la aplicación de la "identidad" logarítmica básica en la resolución de ecuaciones y desigualdades puede conducir a un cambio en el DPV.

Dos consecuencias obvias de la definición del logaritmo

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Efectivamente, al elevar el número a a la primera potencia, obtenemos el mismo número, y al elevarlo a la potencia cero, obtenemos uno.

El logaritmo del producto y el logaritmo del cociente

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Me gustaría advertir a los escolares contra el uso irreflexivo de estas fórmulas al resolver ecuaciones y desigualdades logarítmicas. Cuando se usan "de izquierda a derecha", la ODZ se estrecha, y cuando se pasa de la suma o diferencia de logaritmos al logaritmo del producto o cociente, la ODZ se expande.

De hecho, la expresión log a (f (x) g (x)) se define en dos casos: cuando ambas funciones son estrictamente positivas o cuando f(x) y g(x) son ambas menores que cero.

Transformando esta expresión en la suma log a f (x) + log a g (x), nos vemos obligados a restringirnos solo al caso cuando f(x)>0 y g(x)>0. Hay un estrechamiento del área. valores permitidos, y esto es categóricamente inaceptable, porque puede conducir a la pérdida de soluciones. Existe un problema similar para la fórmula (6).

El grado se puede sacar del signo del logaritmo

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

Y de nuevo me gustaría pedir precisión. Considere el siguiente ejemplo:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

El lado izquierdo de la igualdad obviamente está definido para todos los valores de f(x) excepto cero. ¡El lado derecho es solo para f(x)>0! Quitando la potencia del logaritmo, volvemos a estrechar la ODZ. El procedimiento inverso conduce a una ampliación del rango de valores admisibles. Todos estos comentarios se aplican no solo a la potencia de 2, sino también a cualquier potencia par.

Fórmula para mudarse a una nueva base

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Ese caso raro cuando la ODZ no cambia durante la conversión. Si has elegido sabiamente la base c (positiva y distinta de 1), la fórmula para pasar a una nueva base es perfectamente segura.

Si elegimos el número b como una nueva base c, obtenemos una importante caso especial fórmulas (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Algunos ejemplos simples con logaritmos

Ejemplo 1 Calcular: lg2 + lg50.
Decisión. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Usamos la fórmula para la suma de logaritmos (5) y la definición del logaritmo decimal.

Ejemplo 2 Calcular: lg125/lg5.
Decisión. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Usamos la nueva fórmula de transición base (8).

Tabla de fórmulas relacionadas con logaritmos

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

Vamos a explicarlo más fácil. Por ejemplo, \(\log_(2)(8)\) es igual a la potencia a la que se debe elevar \(2\) para obtener \(8\). De esto queda claro que \(\log_(2)(8)=3\).

Ejemplos:		\(\log_(5)(25)=2\)		porque \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		porque \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		porque \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argumento y base del logaritmo

Cualquier logaritmo tiene la siguiente "anatomía":

El argumento del logaritmo generalmente se escribe en su nivel, y la base se escribe en subíndice más cerca del signo del logaritmo. Y esta entrada se lee así: "el logaritmo de veinticinco en base de cinco".

¿Cómo calcular el logaritmo?

Para calcular el logaritmo, debe responder la pregunta: ¿hasta qué punto se debe elevar la base para obtener el argumento?

por ejemplo, calcula el logaritmo: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) ¿A qué potencia se debe elevar \(4\) para obtener \(16\)? Obviamente el segundo. Asi que:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) ¿A qué potencia se debe elevar \(\sqrt(5)\) para obtener \(1\)? ¿Y qué grado hace que cualquier número sea una unidad? ¡Cero, por supuesto!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) ¿A qué potencia se debe elevar \(\sqrt(7)\) para obtener \(\sqrt(7)\)? En el primero, cualquier número en el primer grado es igual a sí mismo.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) ¿A qué potencia se debe elevar \(3\) para obtener \(\sqrt(3)\)? De sabemos que es una potencia fraccionaria, lo que significa Raíz cuadrada es el grado \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Ejemplo : Calcula el logaritmo \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Decisión :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Necesitamos encontrar el valor del logaritmo, denotemoslo como x. Ahora usemos la definición del logaritmo: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Leftrightarrow\) \(a^(b)=c\)
\((4\raíz cuadrada(2))^(x)=8\)		¿Qué vincula \(4\sqrt(2)\) y \(8\)? Dos, porque ambos números se pueden representar por dos: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		A la izquierda, usamos las propiedades de grado: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) y \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Las bases son iguales, se procede a la igualdad de indicadores
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Multiplica ambos lados de la ecuación por \(\frac(2)(5)\)
		La raíz resultante es el valor del logaritmo

Responder : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

¿Por qué se inventó el logaritmo?

Para entender esto, resolvamos la ecuación: \(3^(x)=9\). Simplemente haga coincidir \(x\) para que la igualdad funcione. Por supuesto, \(x=2\).

Ahora resuelve la ecuación: \(3^(x)=8\) ¿A qué es igual x? Ese es el punto.

Los más ingeniosos dirán: "X es un poco menos que dos". ¿Cómo se escribe exactamente este número? Para responder a esta pregunta, se les ocurrió el logaritmo. Gracias a él, la respuesta aquí se puede escribir como \(x=\log_(3)(8)\).

Quiero enfatizar que \(\log_(3)(8)\), así como cualquier logaritmo es solo un numero. Sí, parece inusual, pero es corto. Porque si quisiéramos escribirlo en la forma fracción decimal, entonces se vería así: \(1.892789260714.....\)

Ejemplo : Resuelve la ecuación \(4^(5x-4)=10\)

Decisión :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) y \(10\) no se pueden reducir a la misma base. Así que aquí no puedes prescindir del logaritmo. Usemos la definición del logaritmo: \(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Voltear la ecuación para que x esté a la izquierda
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Antes que nosotros. Mueve \(4\) a la derecha. Y no le tengas miedo al logaritmo, trátalo como un número normal.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Divide la ecuación por 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Aquí está nuestra raíz. Sí, parece inusual, pero la respuesta no es elegida.

Responder : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Logaritmos decimales y naturales

Como se indica en la definición del logaritmo, su base puede ser cualquier número positivo excepto uno \((a>0, a\neq1)\). Y entre todas las bases posibles, hay dos que ocurren con tanta frecuencia que con ellas se inventó una notación abreviada especial para los logaritmos:

Logaritmo natural: un logaritmo cuya base es el número de Euler \(e\) (igual a aproximadamente \(2.7182818…\)), y el logaritmo se escribe como \(\ln(a)\).

Es decir, \(\ln(a)\) es lo mismo que \(\log_(e)(a)\)

Logaritmo decimal: Un logaritmo cuya base es 10 se escribe \(\lg(a)\).

Es decir, \(\lg(a)\) es lo mismo que \(\log_(10)(a)\), donde \(a\) es un número.

Identidad logarítmica básica

Los logaritmos tienen muchas propiedades. Uno de ellos se llama "Identidad logarítmica básica" y se ve así:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Esta propiedad se deriva directamente de la definición. Veamos cómo surgió esta fórmula.

Recuerde la definición corta del logaritmo:

si \(a^(b)=c\), entonces \(\log_(a)(c)=b\)

Es decir, \(b\) es lo mismo que \(\log_(a)(c)\). Entonces podemos escribir \(\log_(a)(c)\) en lugar de \(b\) en la fórmula \(a^(b)=c\) . Resultó \(a^(\log_(a)(c))=c\) - la identidad logarítmica principal.

Puedes encontrar el resto de las propiedades de los logaritmos. Con su ayuda, puede simplificar y calcular los valores de expresiones con logaritmos, que son difíciles de calcular directamente.

Ejemplo : Encuentra el valor de la expresión \(36^(\log_(6)(5))\)

Decisión :

Responder : \(25\)

¿Cómo escribir un número como un logaritmo?

Como se mencionó anteriormente, cualquier logaritmo es solo un número. Lo contrario también es cierto: cualquier número se puede escribir como un logaritmo. Por ejemplo, sabemos que \(\log_(2)(4)\) es igual a dos. Entonces puedes escribir \(\log_(2)(4)\) en lugar de dos.

Pero \(\log_(3)(9)\) también es igual a \(2\), por lo que también puedes escribir \(2=\log_(3)(9)\) . Similarmente con \(\log_(5)(25)\), y con \(\log_(9)(81)\), etc. Es decir, resulta

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Por lo tanto, si lo necesitamos, podemos escribir los dos como un logaritmo con cualquier base en cualquier lugar (incluso en una ecuación, incluso en una expresión, incluso en una desigualdad), simplemente escriba la base cuadrada como argumento.

Es lo mismo con un triple: se puede escribir como \(\log_(2)(8)\), o como \(\log_(3)(27)\), o como \(\log_(4)( 64) \) ... Aquí escribimos la base en el cubo como argumento:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Y con cuatro:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Y con menos uno:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

Y con un tercio:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Cualquier número \(a\) se puede representar como un logaritmo con base \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Ejemplo : Encuentra el valor de una expresión \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Decisión :

Responder : \(1\)

Como sabes, al multiplicar expresiones con potencias, sus exponentes siempre suman (a b * a c = a b + c). Esta ley matemática fue derivada por Arquímedes, y más tarde, en el siglo VIII, el matemático Virasen creó una tabla de indicadores de números enteros. Fueron ellos quienes sirvieron para el descubrimiento posterior de los logaritmos. Se pueden encontrar ejemplos del uso de esta función en casi todas partes donde se requiere simplificar la engorrosa multiplicación a una simple suma. Si dedicas 10 minutos a leer este artículo, te explicaremos qué son los logaritmos y cómo trabajar con ellos. Lenguaje sencillo y accesible.

Definición en matemáticas

El logaritmo es una expresión de la siguiente forma: log a b=c, es decir, el logaritmo de cualquier número no negativo (es decir, cualquier positivo) "b" por su base "a" se considera la potencia de "c" , a la que se debe elevar la base "a", para que al final se obtenga el valor "b". Analicemos el logaritmo usando ejemplos, digamos que hay una expresión log 2 8. ¿Cómo encontrar la respuesta? Es muy simple, necesitas encontrar un grado tal que de 2 al grado requerido obtengas 8. Después de hacer algunos cálculos en tu mente, ¡obtenemos el número 3! Y con razón, porque 2 elevado a 3 da el número 8 en la respuesta.

Variedades de logaritmos.

Para muchos alumnos y estudiantes, este tema parece complicado e incomprensible, pero de hecho, los logaritmos no dan tanto miedo, lo principal es comprender su significado general y recordar sus propiedades y algunas reglas. Hay tres ciertos tipos expresiones logarítmicas:

1. Logaritmo natural ln a, donde la base es el número de Euler (e = 2,7).
2. Decimal a, donde la base es 10.
3. El logaritmo de cualquier número b en base a>1.

Cada uno de ellos se decide de manera estándar, que incluye simplificación, reducción y posterior reducción a un logaritmo utilizando teoremas logarítmicos. Para obtener los valores correctos de los logaritmos, se deben recordar sus propiedades y la secuencia de acciones en sus decisiones.

Reglas y algunas restricciones

En matemáticas existen varias reglas-limitaciones que se aceptan como un axioma, es decir, no están sujetas a discusión y son verdaderas. Por ejemplo, no puedes dividir números por cero, y también es imposible sacar una raíz par de números negativos. Los logaritmos también tienen sus propias reglas, siguiendo las cuales puede aprender fácilmente a trabajar incluso con expresiones logarítmicas largas y amplias:

• la base "a" debe ser siempre mayor que cero, y al mismo tiempo no ser igual a 1, de lo contrario la expresión perderá su significado, porque "1" y "0" en cualquier grado son siempre iguales a sus valores;
• si a > 0, entonces a b > 0, resulta que "c" debe ser mayor que cero.

¿Cómo resolver logaritmos?

Por ejemplo, dada la tarea de encontrar la respuesta a la ecuación 10 x \u003d 100. Es muy fácil, debe elegir tal potencia elevando el número diez al que obtenemos 100. Esto, por supuesto, es 10 2 \u003d 100.

Ahora representemos esta expresión como una expresión logarítmica. Obtenemos log 10 100 = 2. Al resolver logaritmos, todas las acciones convergen prácticamente en encontrar el grado en que se debe ingresar la base del logaritmo para obtener un número dado.

Para determinar con precisión el valor de un grado desconocido, debe aprender a trabajar con una tabla de grados. Se parece a esto:

Como puede ver, algunos exponentes se pueden adivinar intuitivamente si tiene una mentalidad técnica y conocimiento de la tabla de multiplicar. Sin embargo, por valores grandes necesitas una tabla de grados. Puede ser utilizado incluso por aquellos que no entienden nada en temas matemáticos complejos. La columna de la izquierda contiene números (base a), la fila superior de números es el valor de la potencia c, a la que se eleva el número a. En la intersección de las celdas se determinan los valores de los números, que son la respuesta (a c =b). Tomemos, por ejemplo, la primera celda con el número 10 y elévela al cuadrado, obtenemos el valor 100, que se indica en la intersección de nuestras dos celdas. ¡Todo es tan simple y fácil que incluso el humanista más real lo entenderá!

Ecuaciones y desigualdades

Resulta que bajo ciertas condiciones, el exponente es el logaritmo. Por lo tanto, cualquier expresión numérica matemática se puede escribir como una ecuación logarítmica. Por ejemplo, 3 4 =81 se puede escribir como el logaritmo de 81 en base 3, que es cuatro (log 3 81 = 4). Para potencias negativas, las reglas son las mismas: 2 -5 = 1/32 lo escribimos como un logaritmo, obtenemos log 2 (1/32) = -5. Una de las secciones más fascinantes de las matemáticas es el tema de los "logaritmos". Consideraremos ejemplos y soluciones de ecuaciones un poco más abajo, inmediatamente después de estudiar sus propiedades. Ahora veamos cómo son las desigualdades y cómo distinguirlas de las ecuaciones.

Se da una expresión de la siguiente forma: log 2 (x-1) > 3 - es una desigualdad logarítmica, ya que el valor desconocido "x" está bajo el signo del logaritmo. Y también en la expresión se comparan dos cantidades: el logaritmo del número buscado en base dos es mayor que el número tres.

La diferencia más importante entre ecuaciones logarítmicas y desigualdades es que las ecuaciones con logaritmos (por ejemplo, el logaritmo de 2 x = √9) implican uno o más valores numéricos específicos en la respuesta, mientras que al resolver la desigualdad, tanto el rango de valores aceptables y los puntos que rompen esta función. Como consecuencia, la respuesta no es un simple conjunto de números individuales, como en la respuesta de la ecuación, sino una serie o conjunto continuo de números.

Teoremas básicos sobre logaritmos

Al resolver tareas primitivas sobre encontrar los valores del logaritmo, es posible que no se conozcan sus propiedades. Sin embargo, cuando se trata de ecuaciones o desigualdades logarítmicas, en primer lugar, es necesario comprender claramente y aplicar en la práctica todas las propiedades básicas de los logaritmos. Nos familiarizaremos con ejemplos de ecuaciones más adelante, primero analicemos cada propiedad con más detalle.

1. La identidad básica se ve así: a logaB =B. Solo se aplica si a es mayor que 0, no igual a uno, y B es mayor que cero.
2. El logaritmo del producto se puede representar en la siguiente fórmula: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Además, requisito previo es: d, s 1 y s 2 > 0; a≠1. Puedes dar una demostración de esta fórmula de logaritmos, con ejemplos y una solución. Sea log a s 1 = f 1 y log a s 2 = f 2 , luego a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Obtenemos que s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (propiedades de grado ), y además por definición: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, lo cual debía demostrarse.
3. El logaritmo del cociente se ve así: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. El teorema en forma de fórmula toma la siguiente forma: log a q b n = n/q log a b.

Esta fórmula se llama "propiedad del grado del logaritmo". Se parece a las propiedades de los grados ordinarios, y no es de extrañar, porque todas las matemáticas se basan en postulados regulares. Veamos la prueba.

Deje log a b \u003d t, resulta a t \u003d b. Si elevas ambas partes a la potencia m: a tn = b n ;

pero como a tn = (a q) nt/q = b n , entonces log a q b n = (n*t)/t, entonces log a q b n = n/q log a b. El teorema ha sido probado.

Ejemplos de problemas y desigualdades

Los tipos más comunes de problemas de logaritmos son ejemplos de ecuaciones y desigualdades. Se encuentran en casi todos los libros de problemas y también se incluyen en la parte obligatoria de los exámenes de matemáticas. Para ingresar a una universidad o aprobar las pruebas de ingreso en matemáticas, debe saber cómo resolver dichas tareas correctamente.

Desafortunadamente, no existe un plan o esquema único para resolver y determinar el valor desconocido del logaritmo, sin embargo, se pueden aplicar ciertas reglas a cada desigualdad matemática o ecuación logarítmica. En primer lugar, debe averiguar si la expresión se puede simplificar o reducir a vista general. Puedes simplificar expresiones logarítmicas largas si usas sus propiedades correctamente. Conozcámoslos pronto.

A la hora de resolver ecuaciones logarítmicas, es necesario determinar qué tipo de logaritmo tenemos ante nosotros: un ejemplo de expresión puede contener un logaritmo natural o uno decimal.

Aquí hay ejemplos ln100, ln1026. Su solución se reduce al hecho de que necesita determinar el grado en que la base 10 será igual a 100 y 1026, respectivamente. para soluciones logaritmos naturales se deben aplicar identidades logarítmicas o sus propiedades. Veamos ejemplos de resolución de problemas logarítmicos de varios tipos.

Cómo usar fórmulas logarítmicas: con ejemplos y soluciones

Entonces, veamos ejemplos del uso de los teoremas principales sobre logaritmos.

1. La propiedad del logaritmo del producto se puede utilizar en tareas donde es necesario ampliar gran importancia números b en factores más simples. Por ejemplo, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. La respuesta es 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - como puedes ver, al aplicar la cuarta propiedad del grado del logaritmo, logramos resolver a simple vista una expresión compleja e irresoluble. Solo es necesario factorizar la base y luego sacar los valores de los exponentes del signo del logaritmo.

tareas del examen

Los logaritmos a menudo se encuentran en los exámenes de ingreso, especialmente en muchos problemas de logaritmos en el Examen Estatal Unificado (examen estatal para todos los graduados de la escuela). Por lo general, estas tareas están presentes no solo en la parte A (la parte de prueba más fácil del examen), sino también en la parte C (las tareas más difíciles y voluminosas). El examen implica un conocimiento exacto y perfecto del tema "Logaritmos naturales".

Los ejemplos y la resolución de problemas se toman de las versiones oficiales del examen. Veamos cómo se resuelven tales tareas.

Dado log 2 (2x-1) = 4. Solución:
reescribamos la expresión, simplificándola un poco log 2 (2x-1) = 2 2 , por la definición del logaritmo obtenemos que 2x-1 = 2 4 , por lo tanto 2x = 17; x = 8,5.

• Todos los logaritmos se reducen mejor a la misma base para que la solución no sea engorrosa y confusa.
• Todas las expresiones bajo el signo del logaritmo se indican como positivas, por lo tanto, al quitar el exponente del exponente de la expresión, que está bajo el signo del logaritmo y como su base, la expresión que queda bajo el logaritmo debe ser positiva.

Los logaritmos, como cualquier número, se pueden sumar, restar y convertir de todas las formas posibles. Pero como los logaritmos no son números del todo ordinarios, aquí hay reglas, que se llaman propiedades básicas.

Estas reglas deben conocerse; ningún problema logarítmico serio puede resolverse sin ellas. Además, hay muy pocos: todo se puede aprender en un día. Entonces empecemos.

Suma y resta de logaritmos

Considere dos logaritmos con la misma base: log un X y registro un y. Luego se pueden sumar y restar, y:

1. Iniciar sesión un X+log un y= registro un (X · y);
2. Iniciar sesión un X−log un y= registro un (X : y).

Entonces, la suma de los logaritmos es igual al logaritmo del producto, y la diferencia es el logaritmo del cociente. Nota: momento clave aquí - mismos motivos. ¡Si las bases son diferentes, estas reglas no funcionan!

Estas fórmulas te ayudarán a calcular expresión logarítmica incluso cuando no se consideran sus partes individuales (ver la lección "Qué es un logaritmo"). Echa un vistazo a los ejemplos y verás:

logaritmo 6 4 + logaritmo 6 9.

Como las bases de los logaritmos son las mismas, usamos la fórmula de la suma:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Tarea. Encuentra el valor de la expresión: log 2 48 − log 2 3.

Las bases son las mismas, usamos la fórmula de la diferencia:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Tarea. Encuentra el valor de la expresión: log 3 135 − log 3 5.

De nuevo, las bases son las mismas, por lo que tenemos:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Como puede ver, las expresiones originales están formadas por logaritmos "malos", que no se consideran por separado. Pero después de las transformaciones resultan números bastante normales. Con base en este hecho, muchos papeles de prueba. Sí, control: en el examen se ofrecen expresiones similares con toda seriedad (a veces, prácticamente sin cambios).

Quitando el exponente del logaritmo

Ahora compliquemos un poco la tarea. ¿Qué pasa si hay un grado en la base o argumento del logaritmo? Entonces el exponente de este grado se puede sacar del signo del logaritmo de acuerdo con las siguientes reglas:

Es fácil ver que la última regla sigue a las dos primeras. Pero es mejor recordarlo de todos modos; en algunos casos, reducirá significativamente la cantidad de cálculos.

Por supuesto, todas estas reglas tienen sentido si se observa el logaritmo ODZ: un > 0, un ≠ 1, X> 0. Y una cosa más: aprenda a aplicar todas las fórmulas no solo de izquierda a derecha, sino también viceversa, es decir puede ingresar los números antes del signo del logaritmo en el logaritmo mismo. Esto es lo que se requiere con mayor frecuencia.

Tarea. Encuentra el valor de la expresión: log 7 49 6 .

Eliminemos el grado en el argumento según la primera fórmula:
registro 7 49 6 = 6 registro 7 49 = 6 2 = 12

Tarea. Encuentre el valor de la expresión:

[Pie de figura]

Nótese que el denominador es un logaritmo cuya base y argumento son potencias exactas: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Tenemos:

[Pie de figura]

Creo que el último ejemplo necesita aclaración. ¿Dónde se han ido los logaritmos? Hasta el último momento, trabajamos solo con el denominador. Presentaron la base y el argumento del logaritmo que estaba allí en forma de grados y sacaron los indicadores: obtuvieron una fracción de "tres pisos".

Ahora veamos la fracción principal. El numerador y el denominador tienen el mismo número: log 2 7. Dado que log 2 7 ≠ 0, podemos reducir la fracción: 2/4 permanecerán en el denominador. De acuerdo con las reglas de la aritmética, los cuatro se pueden transferir al numerador, lo cual se hizo. El resultado es la respuesta: 2.

Transición a una nueva fundación

Hablando de las reglas para sumar y restar logaritmos, enfaticé específicamente que solo funcionan con las mismas bases. ¿Qué pasa si las bases son diferentes? ¿Y si no son potencias exactas del mismo número?

Las fórmulas para la transición a una nueva base vienen al rescate. Los formulamos en forma de teorema:

Deja que el logaritmo registre un X. Entonces para cualquier número C tal que C> 0 y C≠ 1, la igualdad es verdadera:

[Pie de figura]

En particular, si ponemos C = X, obtenemos:

[Pie de figura]

De la segunda fórmula se deduce que es posible intercambiar la base y el argumento del logaritmo, pero en este caso se "invierte" toda la expresión, es decir el logaritmo está en el denominador.

Estas fórmulas rara vez se encuentran en expresiones numéricas ordinarias. Es posible evaluar cuán convenientes son solo al resolver ecuaciones y desigualdades logarítmicas.

Sin embargo, hay tareas que no se pueden resolver en absoluto, excepto moviéndose a una nueva base. Consideremos un par de estos:

Tarea. Encuentra el valor de la expresión: log 5 16 log 2 25.

Tenga en cuenta que los argumentos de ambos logaritmos son exponentes exactos. Saquemos los indicadores: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; registro 2 25 = registro 2 5 2 = 2 registro 2 5;

Ahora volteemos el segundo logaritmo:

[Pie de figura]

Como el producto no cambia con la permutación de factores, multiplicamos tranquilamente cuatro por dos y luego calculamos los logaritmos.

Tarea. Encuentra el valor de la expresión: log 9 100 lg 3.

La base y el argumento del primer logaritmo son potencias exactas. Escribámoslo y eliminemos los indicadores:

[Pie de figura]

Ahora deshagámonos del logaritmo decimal pasando a una nueva base:

[Pie de figura]

Identidad logarítmica básica

A menudo, en el proceso de resolución se requiere representar un número como un logaritmo en una base dada. En este caso, las fórmulas nos ayudarán:

En el primer caso, el número norte se convierte en el exponente del argumento. Número norte puede ser absolutamente cualquier cosa, porque es solo el valor del logaritmo.

La segunda fórmula es en realidad una definición parafraseada. Se llama la identidad logarítmica básica.

De hecho, ¿qué sucederá si el número b elevar a la potencia para que b en esta medida da un número un? Así es: este es el mismo número un. Lea este párrafo detenidamente nuevamente: muchas personas "se cuelgan" de él.

Al igual que las nuevas fórmulas de conversión de bases, la identidad logarítmica básica es a veces la única solución posible.

Tarea. Encuentre el valor de la expresión:

[Pie de figura]

Tenga en cuenta que log 25 64 = log 5 8 - acaba de sacar el cuadrado de la base y el argumento del logaritmo. Dadas las reglas para multiplicar potencias con la misma base, obtenemos:

[Pie de figura]

Si alguien no está al tanto, esta fue una tarea real del examen :)

Unidad logarítmica y cero logarítmico

En conclusión, daré dos identidades que son difíciles de llamar propiedades; más bien, estas son consecuencias de la definición del logaritmo. Se encuentran constantemente en problemas y, sorprendentemente, crean problemas incluso para estudiantes "avanzados".

1. Iniciar sesión un un= 1 es la unidad logarítmica. Recuerda de una vez por todas: el logaritmo en cualquier base un de esta base en sí es igual a uno.
2. Iniciar sesión un 1 = 0 es cero logarítmico. Base un puede ser cualquier cosa, pero si el argumento es uno, ¡el logaritmo es cero! porque un 0 = 1 es una consecuencia directa de la definición.

Esas son todas las propiedades. ¡Asegúrate de practicar poniéndolos en práctica! Descargue la hoja de trucos al comienzo de la lección, imprímala y resuelva los problemas.

Seguimos estudiando logaritmos. En este artículo hablaremos de cálculo de logaritmos, este proceso se llama logaritmo. Primero, nos ocuparemos del cálculo de logaritmos por definición. A continuación, considere cómo se encuentran los valores de los logaritmos usando sus propiedades. Después de eso, nos detendremos en el cálculo de logaritmos a través de los valores dados inicialmente de otros logaritmos. Finalmente, aprendamos a usar tablas de logaritmos. Toda la teoría se proporciona con ejemplos con soluciones detalladas.

Navegación de página.

Cálculo de logaritmos por definición

En los casos más simples, es posible realizar rápida y fácilmente encontrar el logaritmo por definición. Echemos un vistazo más de cerca a cómo se lleva a cabo este proceso.

Su esencia es representar el número b en la forma a c , de donde, por la definición del logaritmo, el número c es el valor del logaritmo. Es decir, por definición, encontrar el logaritmo corresponde a la siguiente cadena de igualdades: log a b=log a a c =c .

Entonces, el cálculo del logaritmo, por definición, se reduce a encontrar un número c tal que a c \u003d b, y el número c en sí mismo es el valor deseado del logaritmo.

Dada la información de los párrafos anteriores, cuando el número bajo el signo del logaritmo está dado por algún grado de la base del logaritmo, entonces puede indicar de inmediato a qué es igual el logaritmo: es igual al exponente. Vamos a mostrar ejemplos.

Ejemplo.

Encuentra log 2 2 −3 , y también calcula el logaritmo natural de e 5.3 .

Decisión.

La definición del logaritmo nos permite decir de inmediato que log 2 2 −3 = −3 . De hecho, el número bajo el signo del logaritmo es igual a la base 2 a la potencia −3.

De manera similar, encontramos el segundo logaritmo: lne 5.3 =5.3.

Responder:

log 2 2 −3 = −3 y lne 5.3 =5.3 .

Si el número b bajo el signo del logaritmo no se da como la potencia de la base del logaritmo, entonces debe considerar cuidadosamente si es posible llegar a una representación del número b en la forma a c . A menudo esta representación es bastante obvia, especialmente cuando el número bajo el signo del logaritmo es igual a la base a la potencia de 1, o 2, o 3,...

Ejemplo.

Calcule los logaritmos log 5 25 y .

Decisión.

Es fácil ver que 25=5 2 , esto te permite calcular el primer logaritmo: log 5 25=log 5 5 2 =2 .

Procedemos al cálculo del segundo logaritmo. Un número se puede representar como una potencia de 7: (ver si es necesario). Por lo tanto, .

Reescribamos el tercer logaritmo en siguiente formulario. Ahora puedes ver eso , de donde concluimos que . Por lo tanto, por la definición del logaritmo .

Brevemente, la solución podría escribirse de la siguiente manera:

Responder:

logaritmo 5 25=2 , y .

Cuando hay un valor suficientemente grande bajo el signo del logaritmo número natural, entonces no está de más descomponerlo en factores primos. A menudo ayuda representar un número como una potencia de la base del logaritmo y, por lo tanto, calcular este logaritmo por definición.

Ejemplo.

Encuentra el valor del logaritmo.

Decisión.

Algunas propiedades de los logaritmos le permiten especificar inmediatamente el valor de los logaritmos. Estas propiedades incluyen la propiedad del logaritmo de uno y la propiedad del logaritmo de un número igual a la base: log 1 1=log a a 0 =0 y log a a=log a a 1 =1 . Es decir, cuando el número 1 o el número a está bajo el signo del logaritmo, igual a la base del logaritmo, entonces en estos casos los logaritmos son 0 y 1, respectivamente.

Ejemplo.

¿Cuáles son los logaritmos y lg10?

Decisión.

Como , se sigue de la definición del logaritmo .

En el segundo ejemplo, el número 10 bajo el signo del logaritmo coincide con su base, por lo que el logaritmo decimal de diez es igual a uno, es decir, lg10=lg10 1 =1.

Responder:

Y lg10=1 .

Tenga en cuenta que calcular logaritmos por definición (que discutimos en el párrafo anterior) implica el uso de la igualdad log a a p = p , que es una de las propiedades de los logaritmos.

En la práctica, cuando el número bajo el signo del logaritmo y la base del logaritmo se representan fácilmente como potencia de algún número, es muy conveniente utilizar la fórmula , que corresponde a una de las propiedades de los logaritmos. Considere un ejemplo de cómo encontrar el logaritmo, que ilustra el uso de esta fórmula.

Ejemplo.

Calcula el logaritmo de .

Decisión.

Responder:

.

Las propiedades de los logaritmos no mencionadas anteriormente también se utilizan en el cálculo, pero hablaremos de esto en los siguientes párrafos.

Encontrar logaritmos en términos de otros logaritmos conocidos

La información en este párrafo continúa con el tema del uso de las propiedades de los logaritmos en su cálculo. Pero aquí la principal diferencia es que las propiedades de los logaritmos se usan para expresar el logaritmo original en términos de otro logaritmo, cuyo valor se conoce. Tomemos un ejemplo para aclarar. Digamos que sabemos que log 2 3≈1.584963 , entonces podemos encontrar, por ejemplo, log 2 6 haciendo una pequeña transformación usando las propiedades del logaritmo: registro 2 6=registro 2 (2 3)=registro 2 2+registro 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

En el ejemplo anterior, nos bastó con usar la propiedad del logaritmo del producto. Sin embargo, mucho más a menudo tienes que usar un arsenal más amplio de propiedades de logaritmos para calcular el logaritmo original en términos de los dados.

Ejemplo.

Calcula el logaritmo de 27 en base 60 si se sabe que log 60 2=a y log 60 5=b .

Decisión.

Entonces necesitamos encontrar log 60 27 . Es fácil ver que 27=3 3 , y el logaritmo original, debido a la propiedad del logaritmo del grado, se puede reescribir como 3·log 60 3 .

Ahora veamos cómo se puede expresar log 60 3 en términos de logaritmos conocidos. La propiedad del logaritmo de un número igual a la base te permite escribir el logaritmo de igualdad 60 60=1 . Por otro lado, log 60 60=log60(2 2 3 5)= registro 60 2 2 + registro 60 3 + registro 60 5 = 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Por lo tanto, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Por lo tanto, log 60 3=1−2 log 60 2−log 60 5=1−2 a−b.

Finalmente, calculamos el logaritmo original: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Responder:

log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Por separado, vale la pena mencionar el significado de la fórmula para la transición a una nueva base del logaritmo de la forma. . Te permite pasar de logaritmos con cualquier base a logaritmos con una base específica, cuyos valores se conocen o es posible encontrarlos. Por lo general, del logaritmo original, según la fórmula de transición, se pasa a logaritmos en una de las bases 2, e o 10, ya que para estas bases existen tablas de logaritmos que permiten calcular sus valores con cierto grado. de precisión En la siguiente sección, mostraremos cómo se hace esto.

Tablas de logaritmos, su uso.

Para un cálculo aproximado de los valores de los logaritmos, se puede utilizar tablas de logaritmos. Las más utilizadas son la tabla de logaritmos en base 2, la tabla de logaritmos naturales y la tabla de logaritmos decimales. Cuando se trabaja en el sistema numérico decimal, es conveniente utilizar una tabla de logaritmos en base diez. Con su ayuda, aprenderemos a encontrar los valores de los logaritmos.

La tabla presentada permite, con una precisión de una diezmilésima, encontrar los valores de los logaritmos decimales de los números del 1.000 al 9.999 (con tres decimales). El principio de encontrar el valor del logaritmo usando la tabla de logaritmos decimales se analizará en ejemplo específico- Mucho más claro. Encontremos lg1,256 .

En la columna de la izquierda de la tabla de logaritmos decimales encontramos los dos primeros dígitos del número 1,256, es decir, encontramos 1,2 (este número está rodeado en azul para mayor claridad). El tercer dígito del número 1.256 (número 5) se encuentra en la primera o última línea a la izquierda de la doble línea (este número está encerrado en un círculo rojo). El cuarto dígito del número original 1.256 (número 6) se encuentra en la primera o última línea a la derecha de la doble línea (este número está rodeado por un círculo verde). Ahora encontramos los números en las celdas de la tabla de logaritmos en la intersección de la fila marcada y las columnas marcadas (estos números están resaltados naranja). La suma de los números marcados da el valor deseado del logaritmo decimal hasta cuarto personaje después de la coma, es decir, log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

¿Es posible, usando la tabla anterior, encontrar los valores de los logaritmos decimales de números que tienen más de tres dígitos después del punto decimal y también van más allá de los límites de 1 a 9.999? Sí tu puedes. Vamos a mostrar cómo se hace esto con un ejemplo.

Calculemos lg102.76332 . primero tienes que escribir número en forma estándar : 102,76332=1,0276332 10 2 . Después de eso, la mantisa debe redondearse al tercer decimal, tenemos 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, mientras que el logaritmo decimal original es aproximadamente igual al logaritmo del número resultante, es decir, tomamos lg102.76332≈lg1.028·10 2 . Ahora aplica las propiedades del logaritmo: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Finalmente encontramos el valor del logaritmo lg1.028 según la tabla de logaritmos decimales lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Como resultado, todo el proceso de cálculo del logaritmo se ve así: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2≈0.012+2=2.012.

En conclusión, vale la pena señalar que al usar la tabla de logaritmos decimales, puede calcular el valor aproximado de cualquier logaritmo. Para hacer esto, basta con usar la fórmula de transición para ir a logaritmos decimales, encontrar sus valores en la tabla y realizar los cálculos restantes.

Por ejemplo, calculemos log 2 3 . De acuerdo con la fórmula para la transición a una nueva base del logaritmo, tenemos . De la tabla de logaritmos decimales encontramos lg3≈0.4771 y lg2≈0.3010. Por lo tanto, .

Bibliografía.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. y otros Álgebra y los comienzos del análisis: un libro de texto para los grados 10-11 de instituciones educativas generales.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemáticas (un manual para aspirantes a escuelas técnicas).