Logaritmos: ejemplos y soluciones. Expresiones logarítmicas. ejemplos

El logaritmo de un número. norte por razon un se llama exponente X , a la que hay que subir un para obtener el número norte

Siempre que
,
,

De la definición del logaritmo se sigue que
, es decir.
- esta igualdad es la identidad logarítmica básica.

Los logaritmos en base 10 se llaman logaritmos decimales. En vez de
escribe
.

logaritmos básicos mi se llaman naturales y se denotan
.

Propiedades básicas de los logaritmos.

El logaritmo de la unidad para cualquier base es cero.

El logaritmo del producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

3) El logaritmo del cociente es igual a la diferencia de los logaritmos

Factor
se llama el módulo de transición de los logaritmos en la base un a logaritmos en la base b .

Usando las propiedades 2-5, a menudo es posible reducir el logaritmo de una expresión compleja al resultado de operaciones aritméticas simples sobre logaritmos.

Por ejemplo,

Tales transformaciones del logaritmo se llaman logaritmos. Las transformaciones recíprocas de logaritmos se llaman potenciación.

Capítulo 2. Elementos de las matemáticas superiores.

1. Límites

límite de función
es un número finito A si, al esforzarse xx 0 para cada predeterminado
, hay un numero
que tan pronto como
, entonces
.

Una función que tiene un límite difiere de él en una cantidad infinitesimal:
, donde - b.m.w., es decir
.

Ejemplo. Considere la función
.

al esforzarse
, función y va a cero:

1.1. Teoremas básicos sobre límites.

El límite de un valor constante es igual a este valor constante

.

El límite de la suma (diferencia) de un número finito de funciones es igual a la suma (diferencia) de los límites de estas funciones.

El límite de un producto de un número finito de funciones es igual al producto de los límites de estas funciones.

El límite del cociente de dos funciones es igual al cociente de los límites de estas funciones si el límite del denominador no es igual a cero.

Límites notables

,
, donde

1.2. Ejemplos de cálculo de límites

Sin embargo, no todos los límites se calculan tan fácilmente. Más a menudo, el cálculo del límite se reduce a la divulgación de la incertidumbre de tipo: o .

.

2. Derivada de una función

Tengamos una función
, continuo en el segmento
.

Argumento consiguió un poco de impulso
. Entonces la función se incrementará
.

Valor del argumento corresponde al valor de la función
.

Valor del argumento
corresponde al valor de la función.

Por lo tanto, .

Encontremos el límite de esta relación en
. Si este límite existe, entonces se llama la derivada de la función dada.

Definición de la 3derivada de una función dada
por argumento llamado límite de la razón del incremento de la función al incremento del argumento, cuando el incremento del argumento tiende arbitrariamente a cero.

Derivada de función
se puede denotar de la siguiente manera:

; ; ; .

Definición 4La operación de encontrar la derivada de una función se llama diferenciación.

2.1. El significado mecánico de la derivada.

Considere el movimiento rectilíneo de algún cuerpo rígido o punto material.

Deja que en algún momento punto de movimiento
estaba a distancia desde la posición inicial
.

Después de un período de tiempo
ella se movió una distancia
. Actitud =- velocidad media punto material
. Encontremos el límite de esta razón, teniendo en cuenta que
.

En consecuencia, la determinación de la velocidad instantánea de un punto material se reduce a encontrar la derivada de la trayectoria con respecto al tiempo.

2.2. Valor geométrico de la derivada

Supongamos que tenemos una función definida gráficamente
.

Arroz. 1. El significado geométrico de la derivada

si un
, entonces el punto
, se moverá a lo largo de la curva, acercándose al punto
.

Por lo tanto
, es decir. el valor de la derivada dado el valor del argumento es igual numéricamente a la tangente del ángulo formado por la tangente en un punto dado con la dirección positiva del eje
.

2.3. Tabla de fórmulas básicas de diferenciación.

Función de potencia

Funcion exponencial

función logarítmica

Funcion trigonometrica

función trigonométrica inversa

2.4. Reglas de diferenciación.

Derivado de

Derivada de la suma (diferencia) de funciones

Derivada del producto de dos funciones

La derivada del cociente de dos funciones

2.5. Derivado de función compleja.

Deja que la función
tal que se puede representar como

y
, donde la variable es un argumento intermedio, entonces

La derivada de una función compleja es igual al producto de la derivada de la función dada con respecto al argumento intermedio por la derivada del argumento intermedio con respecto a x.

Ejemplo 1.

Ejemplo2.

3. Función diferencial.

Dejalo ser
, diferenciable en algún intervalo
Déjalo ir en esta función tiene una derivada

,

entonces puedes escribir

(1),

donde - una cantidad infinitesimal,

porque en

Multiplicando todos los términos de la igualdad (1) por
tenemos:

Donde
- b.m.v. orden superior.

Valor
se llama diferencial de la función
y denotado

.

3.1. El valor geométrico del diferencial.

Deja que la función
.

Figura 2. El significado geométrico del diferencial.

.

Obviamente, la diferencial de la función
es igual al incremento de la ordenada de la tangente en el punto dado.

3.2. Derivadas y diferenciales de varios órdenes.

Sí hay
, entonces
se llama la primera derivada.

La derivada de la primera derivada se llama derivada de segundo orden y se escribe
.

Derivada del orden n de la función
se llama derivada de orden (n-1) y se escribe:

.

La diferencial de la diferencial de una función se llama segunda diferencial o diferencial de segundo orden.

.

.

3.3 Resolución de problemas biológicos mediante diferenciación.

Tarea 1. Los estudios han demostrado que el crecimiento de una colonia de microorganismos obedece a la ley
, donde norte – número de microorganismos (en miles), t – tiempo (días).

b) ¿Aumentará o disminuirá la población de la colonia durante este período?

Responder. La colonia crecerá en tamaño.

Tarea 2. El agua del lago se analiza periódicamente para controlar el contenido de bacterias patógenas. A través de t días después de la prueba, la concentración de bacterias se determina por la relación

.

¿Cuándo llegará la concentración mínima de bacterias al lago y será posible nadar en él?

Solución Una función alcanza máximo o mínimo cuando su derivada es cero.

,

Determinemos que el máximo o mínimo será en 6 días. Para hacer esto, tomamos la segunda derivada.

Respuesta: Después de 6 días habrá una concentración mínima de bacterias.

Como sabes, al multiplicar expresiones con potencias, sus exponentes siempre suman (a b * a c = a b + c). Esta ley matemática fue derivada por Arquímedes, y más tarde, en el siglo VIII, el matemático Virasen creó una tabla de indicadores de números enteros. Fueron ellos quienes sirvieron para el descubrimiento posterior de los logaritmos. Se pueden encontrar ejemplos del uso de esta función en casi todas partes donde se requiere simplificar la engorrosa multiplicación a una simple suma. Si dedicas 10 minutos a leer este artículo, te explicaremos qué son los logaritmos y cómo trabajar con ellos. Lenguaje sencillo y accesible.

Definición en matemáticas

El logaritmo es una expresión de la siguiente forma: log a b=c, es decir, el logaritmo de cualquier número no negativo (es decir, cualquier positivo) "b" por su base "a" se considera la potencia de "c" , a la que se debe elevar la base "a", para que al final se obtenga el valor "b". Analicemos el logaritmo usando ejemplos, digamos que hay una expresión log 2 8. ¿Cómo encontrar la respuesta? Es muy simple, necesitas encontrar un grado tal que de 2 al grado requerido obtengas 8. Después de hacer algunos cálculos en tu mente, ¡obtenemos el número 3! Y con razón, porque 2 elevado a 3 da el número 8 en la respuesta.

Variedades de logaritmos.

Para muchos alumnos y estudiantes, este tema parece complicado e incomprensible, pero de hecho, los logaritmos no dan tanto miedo, lo principal es comprender su significado general y recordar sus propiedades y algunas reglas. Hay tres ciertos tipos expresiones logarítmicas:

1. Logaritmo natural ln a, donde la base es el número de Euler (e = 2,7).
2. Decimal a, donde la base es 10.
3. El logaritmo de cualquier número b en base a>1.

Cada uno de ellos se decide de manera estándar, que incluye simplificación, reducción y posterior reducción a un logaritmo utilizando teoremas logarítmicos. Para obtener los valores correctos de los logaritmos, se deben recordar sus propiedades y el orden de las acciones en sus decisiones.

Reglas y algunas restricciones

En matemáticas existen varias reglas-limitaciones que se aceptan como un axioma, es decir, no están sujetas a discusión y son verdaderas. Por ejemplo, no puede dividir números por cero, y también es imposible sacar una raíz par de números negativos. Los logaritmos también tienen sus propias reglas, siguiendo las cuales puede aprender fácilmente a trabajar incluso con expresiones logarítmicas largas y amplias:

• la base "a" siempre debe ser mayor que cero, y al mismo tiempo no ser igual a 1, de lo contrario la expresión perderá su significado, porque "1" y "0" en cualquier grado son siempre iguales a sus valores;
• si a > 0, entonces a b > 0, resulta que "c" debe ser mayor que cero.

¿Cómo resolver logaritmos?

Por ejemplo, se dio la tarea de encontrar la respuesta a la ecuación 10 x \u003d 100. Es muy fácil, debe elegir tal potencia, elevando el número diez a lo que obtenemos 100. Esto, por supuesto, es 10 2 \u003d 100.

Ahora representemos esta expresión como una expresión logarítmica. Obtenemos log 10 100 = 2. Al resolver logaritmos, todas las acciones convergen prácticamente en encontrar el grado en que se debe ingresar la base del logaritmo para obtener un número dado.

Para determinar con precisión el valor de un grado desconocido, debe aprender a trabajar con una tabla de grados. Se parece a esto:

Como puede ver, algunos exponentes se pueden adivinar intuitivamente si tiene una mentalidad técnica y conocimiento de la tabla de multiplicar. Sin embargo, por valores grandes necesitas una tabla de grados. Puede ser utilizado incluso por aquellos que no entienden nada en temas matemáticos complejos. La columna de la izquierda contiene números (base a), la fila superior de números es el valor de la potencia c, a la que se eleva el número a. En la intersección de las celdas se determinan los valores de los números, que son la respuesta (a c =b). Tomemos, por ejemplo, la primera celda con el número 10 y elévela al cuadrado, obtenemos el valor 100, que se indica en la intersección de nuestras dos celdas. ¡Todo es tan simple y fácil que incluso el humanista más real lo entenderá!

Ecuaciones y desigualdades

Resulta que bajo ciertas condiciones, el exponente es el logaritmo. Por lo tanto, cualquier expresión numérica matemática se puede escribir como una ecuación logarítmica. Por ejemplo, 3 4 =81 se puede escribir como el logaritmo de 81 en base 3, que es cuatro (log 3 81 = 4). Para potencias negativas, las reglas son las mismas: 2 -5 = 1/32 lo escribimos como un logaritmo, obtenemos log 2 (1/32) = -5. Una de las secciones más fascinantes de las matemáticas es el tema de los "logaritmos". Consideraremos ejemplos y soluciones de ecuaciones un poco más abajo, inmediatamente después de estudiar sus propiedades. Ahora veamos cómo son las desigualdades y cómo distinguirlas de las ecuaciones.

Se da una expresión de la siguiente forma: log 2 (x-1) > 3 - es una desigualdad logarítmica, ya que el valor desconocido "x" está bajo el signo del logaritmo. Y también en la expresión se comparan dos cantidades: el logaritmo del número buscado en base dos es mayor que el número tres.

La diferencia más importante entre ecuaciones logarítmicas y desigualdades es que las ecuaciones con logaritmos (por ejemplo, el logaritmo de 2 x = √9) implican uno o más valores numéricos específicos en la respuesta, mientras que al resolver desigualdades se definen como un área valores permitidos, y los puntos de discontinuidad de esta función. Como consecuencia, la respuesta no es un simple conjunto de números individuales, como en la respuesta de la ecuación, sino una serie o conjunto continuo de números.

Teoremas básicos sobre logaritmos

Al resolver tareas primitivas sobre encontrar los valores del logaritmo, es posible que no se conozcan sus propiedades. Sin embargo, cuando se trata de ecuaciones o desigualdades logarítmicas, en primer lugar, es necesario comprender claramente y aplicar en la práctica todas las propiedades básicas de los logaritmos. Nos familiarizaremos con ejemplos de ecuaciones más adelante, primero analicemos cada propiedad con más detalle.

1. La identidad básica se ve así: a logaB =B. Solo se aplica si a es mayor que 0, no igual a uno, y B es mayor que cero.
2. El logaritmo del producto se puede representar en la siguiente fórmula: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Además, requisito previo es: d, s 1 y s 2 > 0; a≠1. Puedes dar una demostración de esta fórmula de logaritmos, con ejemplos y una solución. Sea log a s 1 = f 1 y log a s 2 = f 2 , luego a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Obtenemos que s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (propiedades de grado ), y además por definición: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, lo cual debía demostrarse.
3. El logaritmo del cociente se ve así: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. El teorema en forma de fórmula toma la siguiente forma: log a q b n = n/q log a b.

Esta fórmula se llama "propiedad del grado del logaritmo". Se parece a las propiedades de los grados ordinarios, y no es de extrañar, porque todas las matemáticas se basan en postulados regulares. Veamos la prueba.

Deje log a b \u003d t, resulta a t \u003d b. Si elevas ambas partes a la potencia m: a tn = b n ;

pero como a tn = (a q) nt/q = b n , entonces log a q b n = (n*t)/t, entonces log a q b n = n/q log a b. El teorema ha sido probado.

Ejemplos de problemas y desigualdades

Los tipos más comunes de problemas de logaritmos son ejemplos de ecuaciones y desigualdades. Se encuentran en casi todos los libros de problemas y también se incluyen en la parte obligatoria de los exámenes de matemáticas. Para ingresar a una universidad o aprobar las pruebas de ingreso en matemáticas, debe saber cómo resolver dichas tareas correctamente.

Desafortunadamente, no existe un plan o esquema único para resolver y determinar el valor desconocido del logaritmo, sin embargo, se pueden aplicar ciertas reglas a cada desigualdad matemática o ecuación logarítmica. En primer lugar, debe averiguar si la expresión se puede simplificar o reducir a vista general. simplificar largo expresiones logarítmicas Puedes, si usas sus propiedades correctamente. Conozcámoslos pronto.

Al decidir ecuaciones logarítmicas, es necesario determinar qué tipo de logaritmo tenemos ante nosotros: un ejemplo de expresión puede contener un logaritmo natural o uno decimal.

Aquí hay ejemplos ln100, ln1026. Su solución se reduce al hecho de que necesita determinar el grado en que la base 10 será igual a 100 y 1026, respectivamente. para soluciones logaritmos naturales se deben aplicar identidades logarítmicas o sus propiedades. Veamos ejemplos de resolución de problemas logarítmicos de varios tipos.

Cómo usar fórmulas logarítmicas: con ejemplos y soluciones

Entonces, veamos ejemplos del uso de los teoremas principales sobre logaritmos.

1. La propiedad del logaritmo del producto se puede utilizar en tareas donde es necesario ampliar gran importancia números b en factores más simples. Por ejemplo, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. La respuesta es 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - como puedes ver, usando la cuarta propiedad del grado del logaritmo, logramos resolver a primera vista una expresión compleja e irresoluble. Solo es necesario factorizar la base y luego sacar los valores de los exponentes del signo del logaritmo.

tareas del examen

Los logaritmos a menudo se encuentran en los exámenes de ingreso, especialmente en muchos problemas logarítmicos en el Examen Estatal Unificado (examen estatal para todos los graduados de la escuela). Por lo general, estas tareas están presentes no solo en la parte A (la parte de prueba más fácil del examen), sino también en la parte C (las tareas más difíciles y voluminosas). El examen implica un conocimiento exacto y perfecto del tema "Logaritmos naturales".

Los ejemplos y la resolución de problemas se toman de las versiones oficiales del examen. Veamos cómo se resuelven tales tareas.

Dado log 2 (2x-1) = 4. Solución:
reescribamos la expresión, simplificándola un poco log 2 (2x-1) = 2 2 , por la definición del logaritmo obtenemos que 2x-1 = 2 4 , por lo tanto 2x = 17; x = 8,5.

• Todos los logaritmos se reducen mejor a la misma base para que la solución no sea engorrosa y confusa.
• Todas las expresiones bajo el signo del logaritmo se indican como positivas, por lo tanto, al sacar el exponente del exponente de la expresión, que está bajo el signo del logaritmo y como su base, la expresión que queda bajo el logaritmo debe ser positiva.

Con el desarrollo de la sociedad, la complejidad de la producción, las matemáticas también se desarrollaron. Movimiento de lo simple a lo complejo. Del método habitual de contabilidad de suma y resta, con su repetición repetida, llegaron al concepto de multiplicación y división. La reducción de la operación repetida multiplicada se convirtió en el concepto de exponenciación. Las primeras tablas de la dependencia de los números en la base y el número de exponenciación fueron compiladas en el siglo VIII por el matemático indio Varasena. A partir de ellos, puede contar el tiempo de aparición de los logaritmos.

Reseña histórica

El renacimiento de Europa en el siglo XVI también estimuló el desarrollo de la mecánica. T requirió una gran cantidad de cálculo relacionado con la multiplicación y la división números de varios dígitos. Las mesas antiguas hicieron un gran servicio. Permitieron reemplazar operaciones complejas a los más simples: suma y resta. Gran paso adelante fue el trabajo del matemático Michael Stiefel, publicado en 1544, en el que se dio cuenta de la idea de muchos matemáticos. Esto hizo posible el uso de tablas no solo para grados en la forma números primos, sino también para los racionales arbitrarios.

En 1614, el escocés John Napier, desarrollando estas ideas, introdujo por primera vez nuevo término"logaritmo de un número". Se compilaron nuevas tablas complejas para calcular los logaritmos de senos y cosenos, así como tangentes. Esto redujo en gran medida el trabajo de los astrónomos.

Comenzaron a aparecer nuevas tablas, que fueron utilizadas con éxito por los científicos durante tres siglos. Pasó mucho tiempo antes nueva operación en álgebra adquirió su forma acabada. Se definió el logaritmo y se estudiaron sus propiedades.

Recién en el siglo XX, con el advenimiento de la calculadora y la computadora, la humanidad abandonó las antiguas tablas que habían funcionado con éxito a lo largo del siglo XIII.

Hoy llamamos al logaritmo de b en base a el número x, que es la potencia de a, para obtener el número b. Esto se escribe como una fórmula: x = log a(b).

Por ejemplo, log 3(9) será igual a 2. Esto es obvio si sigues la definición. Si elevamos 3 a la potencia de 2, obtenemos 9.

Así, la definición formulada pone solo una restricción, los números a y b deben ser reales.

Variedades de logaritmos.

La definición clásica se llama logaritmo real y en realidad es una solución a la ecuación a x = b. La opción a = 1 está en el límite y no tiene interés. Nota: 1 elevado a cualquier potencia es 1.

Valor real del logaritmo definido solo si la base y el argumento es mayor que 0, y la base no debe ser igual a 1.

Lugar especial en el campo de las matemáticas. jugar a los logaritmos, que serán nombrados en función del valor de su base:

Reglas y restricciones

La propiedad fundamental de los logaritmos es la regla: el logaritmo de un producto es igual a la suma logarítmica. log abp = log a(b) + log a(p).

Como variante de esta declaración, será: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), la función cociente es igual a la diferencia de las funciones.

Es fácil ver de las dos reglas anteriores que: log a(b p) = p * log a(b).

Otras propiedades incluyen:

Comentario. No cometa un error común: el logaritmo de la suma no es igual a la suma de los logaritmos.

Durante muchos siglos, la operación de encontrar el logaritmo fue una tarea que requería bastante tiempo. Los matemáticos utilizaron la conocida fórmula de la teoría logarítmica de la expansión en un polinomio:

ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* ((x^n)/n), donde n es número natural mayor que 1, lo que determina la precisión del cálculo.

Los logaritmos con otras bases se calcularon utilizando el teorema del paso de una base a otra y la propiedad del logaritmo del producto.

Dado que este método es muy laborioso y al resolver problemas prácticos difíciles de implementar, utilizaron tablas de logaritmos precompiladas, lo que aceleró enormemente todo el trabajo.

En algunos casos, se usaron gráficos de logaritmos especialmente compilados, lo que dio menos precisión, pero aceleró significativamente la búsqueda del valor deseado. La curva de la función y = log a(x), construida sobre varios puntos, permite usar la regla habitual para encontrar los valores de la función en cualquier otro punto. Durante mucho tiempo, los ingenieros utilizaron el llamado papel cuadriculado para estos fines.

En el siglo XVII aparecieron las primeras condiciones auxiliares de computación analógica, que para siglo XIX adquirió un aspecto acabado. El dispositivo más exitoso se llamó la regla de cálculo. A pesar de la simplicidad del dispositivo, su aparición aceleró significativamente el proceso de todos los cálculos de ingeniería, y esto es difícil de sobrestimar. Actualmente, pocas personas están familiarizadas con este dispositivo.

El advenimiento de las calculadoras y las computadoras hizo que no tuviera sentido usar otros dispositivos.

Ecuaciones y desigualdades

Las siguientes fórmulas se usan para resolver varias ecuaciones y desigualdades usando logaritmos:

• Transición de una base a otra: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Como consecuencia de la versión anterior: log a(b) = 1 / log b(a).

Para resolver desigualdades, es útil saber:

• El valor del logaritmo será positivo solo si la base y el argumento son ambos mayores que o menos que uno; si se viola al menos una condición, el valor del logaritmo será negativo.
• Si la función logaritmo se aplica a los lados derecho e izquierdo de la desigualdad, y la base del logaritmo es mayor que uno, entonces se conserva el signo de la desigualdad; de lo contrario, cambia.

Ejemplos de tareas

Considere varias opciones para usar logaritmos y sus propiedades. Ejemplos con resolución de ecuaciones:

Considere la opción de colocar el logaritmo en el grado:

• Tarea 3. Calcula 25^log 5(3). Solución: en las condiciones del problema, la notación es similar a la siguiente (5^2)^log5(3) o 5^(2 * log 5(3)). Escribámoslo de otra manera: 5^log 5(3*2), o el cuadrado de un número como argumento de función se puede escribir como el cuadrado de la función misma (5^log 5(3))^2. Usando las propiedades de los logaritmos, esta expresión es 3^2. Respuesta: como resultado del cálculo obtenemos 9.

Uso práctico

Siendo una herramienta puramente matemática, parece lejos de ser vida real que el logaritmo de repente tomó gran importancia en la descripción de objetos mundo real. Es difícil encontrar una ciencia donde no se utilice. Esto se aplica plenamente no sólo a los campos del conocimiento natural, sino también a las humanidades.

Dependencias logarítmicas

Estos son algunos ejemplos de dependencias numéricas:

Mecanica y fisica

Históricamente, la mecánica y la física siempre se han desarrollado utilizando métodos de investigación matemática y, al mismo tiempo, sirvieron como incentivo para el desarrollo de las matemáticas, incluidos los logaritmos. La teoría de la mayoría de las leyes de la física está escrita en el lenguaje de las matemáticas. Damos solo dos ejemplos de la descripción de leyes físicas usando el logaritmo.

Es posible resolver el problema de calcular una cantidad tan compleja como la velocidad de un cohete utilizando la fórmula de Tsiolkovsky, que sentó las bases de la teoría de la exploración espacial:

V = I * ln(M1/M2), donde

• V es la velocidad final de la aeronave.
• I es el impulso específico del motor.
• M 1 es la masa inicial del cohete.
• M 2 - masa final.

Otro ejemplo importante- este es el uso en la fórmula de otro gran científico, Max Planck, que sirve para evaluar el estado de equilibrio en termodinámica.

S = k * ln (Ω), donde

• S es una propiedad termodinámica.
• k es la constante de Boltzmann.
• Ω es el peso estadístico de diferentes estados.

Química

Menos obvio sería el uso de fórmulas en química que contienen la relación de logaritmos. Aquí hay solo dos ejemplos:

• La ecuación de Nernst, la condición del potencial redox del medio en relación con la actividad de las sustancias y la constante de equilibrio.
• El cálculo de constantes como el índice de autoprolisis y la acidez de la solución tampoco está completo sin nuestra función.

psicología y biología

Y es completamente incomprensible lo que la psicología tiene que ver con eso. Resulta que la fuerza de la sensación está bien descrita por esta función como la relación inversa entre el valor de intensidad del estímulo y el valor de intensidad más bajo.

Después de los ejemplos anteriores, ya no sorprende que el tema de los logaritmos también sea muy utilizado en biología. Se pueden escribir volúmenes enteros sobre formas biológicas correspondientes a espirales logarítmicas.

Otras areas

Parece que la existencia del mundo es imposible sin la conexión con esta función, y gobierna todas las leyes. Especialmente cuando las leyes de la naturaleza están conectadas con progresión geométrica. Vale la pena consultar el sitio web de MatProfi, y hay muchos ejemplos de este tipo en las siguientes áreas de actividad:

La lista podría ser interminable. Habiendo dominado las leyes básicas de esta función, puedes sumergirte en el mundo de la sabiduría infinita.

Seguimos estudiando logaritmos. En este artículo hablaremos de cálculo de logaritmos, este proceso se llama logaritmo. Primero, nos ocuparemos del cálculo de logaritmos por definición. A continuación, considere cómo se encuentran los valores de los logaritmos usando sus propiedades. Después de eso, nos detendremos en el cálculo de logaritmos a través de los valores dados inicialmente de otros logaritmos. Finalmente, aprendamos a usar tablas de logaritmos. Toda la teoría se proporciona con ejemplos con soluciones detalladas.

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Cálculo de logaritmos por definición

En los casos más simples, es posible realizar rápida y fácilmente encontrar el logaritmo por definición. Echemos un vistazo más de cerca a cómo se lleva a cabo este proceso.

Su esencia es representar el número b en la forma a c , de donde, por la definición del logaritmo, el número c es el valor del logaritmo. Es decir, encontrar el logaritmo por definición corresponde a la siguiente cadena de igualdades: log a b=log a a c =c .

Entonces, el cálculo del logaritmo, por definición, se reduce a encontrar un número c tal que a c \u003d b, y el número c en sí mismo es el valor deseado del logaritmo.

Dada la información de los párrafos anteriores, cuando el número bajo el signo del logaritmo está dado por algún grado de la base del logaritmo, entonces puede indicar de inmediato a qué es igual el logaritmo: es igual al exponente. Vamos a mostrar ejemplos.

Ejemplo.

Encuentra log 2 2 −3 , y también calcula el logaritmo natural de e 5.3 .

Decisión.

La definición del logaritmo nos permite decir de inmediato que log 2 2 −3 = −3 . De hecho, el número bajo el signo del logaritmo es igual a la base 2 a la potencia −3.

De manera similar, encontramos el segundo logaritmo: lne 5.3 =5.3.

Responder:

log 2 2 −3 = −3 y lne 5.3 =5.3 .

Si el número b bajo el signo del logaritmo no se da como la potencia de la base del logaritmo, entonces debe considerar cuidadosamente si es posible llegar a una representación del número b en la forma a c . A menudo esta representación es bastante obvia, especialmente cuando el número bajo el signo del logaritmo es igual a la base a la potencia de 1, o 2, o 3,...

Ejemplo.

Calcule los logaritmos log 5 25 y .

Decisión.

Es fácil ver que 25=5 2 , esto te permite calcular el primer logaritmo: log 5 25=log 5 5 2 =2 .

Procedemos al cálculo del segundo logaritmo. Un número se puede representar como una potencia de 7: (ver si es necesario). Por lo tanto, .

Reescribamos el tercer logaritmo en siguiente formulario. Ahora puedes ver eso , de donde concluimos que . Por lo tanto, por la definición del logaritmo .

Brevemente, la solución podría escribirse de la siguiente manera:

Responder:

logaritmo 5 25=2 , y .

Cuando un número natural suficientemente grande está bajo el signo del logaritmo, entonces no está de más descomponerlo en factores primos. A menudo ayuda representar un número como una potencia de la base del logaritmo y, por lo tanto, calcular este logaritmo por definición.

Ejemplo.

Encuentra el valor del logaritmo.

Decisión.

Algunas propiedades de los logaritmos le permiten especificar inmediatamente el valor de los logaritmos. Estas propiedades incluyen la propiedad del logaritmo de uno y la propiedad del logaritmo de un número igual a la base: log 1 1=log a a 0 =0 y log a a=log a a 1 =1 . Es decir, cuando el número 1 o el número a está bajo el signo del logaritmo, igual a la base del logaritmo, entonces en estos casos los logaritmos son 0 y 1, respectivamente.

Ejemplo.

¿Cuáles son los logaritmos y lg10?

Decisión.

Como , se sigue de la definición del logaritmo .

En el segundo ejemplo, el número 10 bajo el signo del logaritmo coincide con su base, por lo que el logaritmo decimal de diez es igual a uno, es decir, lg10=lg10 1 =1.

Responder:

Y lg10=1 .

Tenga en cuenta que calcular logaritmos por definición (que discutimos en el párrafo anterior) implica el uso de la igualdad log a a p = p , que es una de las propiedades de los logaritmos.

En la práctica, cuando el número bajo el signo del logaritmo y la base del logaritmo se representan fácilmente como potencia de algún número, es muy conveniente utilizar la fórmula , que corresponde a una de las propiedades de los logaritmos. Considere un ejemplo de cómo encontrar el logaritmo, que ilustra el uso de esta fórmula.

Ejemplo.

Calcula el logaritmo de .

Decisión.

Responder:

.

Las propiedades de los logaritmos no mencionadas anteriormente también se utilizan en el cálculo, pero hablaremos de esto en los siguientes párrafos.

Encontrar logaritmos en términos de otros logaritmos conocidos

La información en este párrafo continúa con el tema del uso de las propiedades de los logaritmos en su cálculo. Pero aquí la principal diferencia es que las propiedades de los logaritmos se usan para expresar el logaritmo original en términos de otro logaritmo, cuyo valor se conoce. Tomemos un ejemplo para aclarar. Digamos que sabemos que log 2 3≈1.584963 , entonces podemos encontrar, por ejemplo, log 2 6 haciendo una pequeña transformación usando las propiedades del logaritmo: registro 2 6=registro 2 (2 3)=registro 2 2+registro 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

En el ejemplo anterior, nos bastó con usar la propiedad del logaritmo del producto. Sin embargo, mucho más a menudo tienes que usar un arsenal más amplio de propiedades de logaritmos para calcular el logaritmo original en términos de los dados.

Ejemplo.

Calcula el logaritmo de 27 en base 60 si se sabe que log 60 2=a y log 60 5=b .

Decisión.

Entonces necesitamos encontrar log 60 27 . Es fácil ver que 27=3 3 , y el logaritmo original, debido a la propiedad del logaritmo del grado, se puede reescribir como 3·log 60 3 .

Ahora veamos cómo se puede expresar log 60 3 en términos de logaritmos conocidos. La propiedad del logaritmo de un número igual a la base te permite escribir el logaritmo de igualdad 60 60=1 . Por otro lado, log 60 60=log60(2 2 3 5)= registro 60 2 2 + registro 60 3 + registro 60 5 = 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Por lo tanto, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Por lo tanto, log 60 3=1−2 log 60 2−log 60 5=1−2 a−b.

Finalmente, calculamos el logaritmo original: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Responder:

log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Por separado, vale la pena mencionar el significado de la fórmula para la transición a una nueva base del logaritmo de la forma. . Te permite pasar de logaritmos con cualquier base a logaritmos con una base específica, cuyos valores se conocen o es posible encontrarlos. Por lo general, del logaritmo original, según la fórmula de transición, se pasa a logaritmos en una de las bases 2, e o 10, ya que para estas bases existen tablas de logaritmos que permiten calcular sus valores con cierto grado. de precisión En la siguiente sección, mostraremos cómo se hace esto.

Tablas de logaritmos, su uso.

Para un cálculo aproximado de los valores de los logaritmos, se puede utilizar tablas de logaritmos. Las más utilizadas son la tabla de logaritmos en base 2, la tabla de logaritmos naturales y la tabla de logaritmos decimales. Cuando se trabaja en el sistema numérico decimal, es conveniente utilizar una tabla de logaritmos en base diez. Con su ayuda, aprenderemos a encontrar los valores de los logaritmos.

La tabla presentada permite, con una precisión de una diezmilésima, encontrar los valores de los logaritmos decimales de los números del 1.000 al 9.999 (con tres decimales). El principio de encontrar el valor del logaritmo usando la tabla de logaritmos decimales se analizará en ejemplo específico- Mucho más claro. Encontremos lg1,256 .

En la columna de la izquierda de la tabla de logaritmos decimales encontramos los dos primeros dígitos del número 1,256, es decir, encontramos 1,2 (este número está rodeado en azul para mayor claridad). El tercer dígito del número 1.256 (número 5) se encuentra en la primera o última línea a la izquierda de la doble línea (este número está encerrado en un círculo rojo). El cuarto dígito del número original 1.256 (número 6) se encuentra en la primera o última línea a la derecha de la doble línea (este número está rodeado por un círculo verde). Ahora encontramos los números en las celdas de la tabla de logaritmos en la intersección de la fila marcada y las columnas marcadas (estos números están resaltados naranja). La suma de los números marcados da el valor deseado del logaritmo decimal hasta cuarto signo después de la coma, es decir, log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

¿Es posible, usando la tabla anterior, encontrar los valores de los logaritmos decimales de números que tienen más de tres dígitos después del punto decimal y también van más allá de los límites de 1 a 9.999? Sí tu puedes. Vamos a mostrar cómo se hace esto con un ejemplo.

Calculemos lg102.76332 . primero tienes que escribir número en forma estándar : 102,76332=1,0276332 10 2 . Después de eso, la mantisa debe redondearse al tercer decimal, tenemos 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, mientras que el logaritmo decimal original es aproximadamente igual al logaritmo del número resultante, es decir, tomamos lg102.76332≈lg1.028·10 2 . Ahora aplica las propiedades del logaritmo: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Finalmente encontramos el valor del logaritmo lg1.028 según la tabla de logaritmos decimales lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Como resultado, todo el proceso de cálculo del logaritmo se ve así: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2≈0.012+2=2.012.

En conclusión, vale la pena señalar que al usar la tabla de logaritmos decimales, puede calcular el valor aproximado de cualquier logaritmo. Para hacer esto, basta con usar la fórmula de transición para ir a logaritmos decimales, encontrar sus valores en la tabla y realizar los cálculos restantes.

Por ejemplo, calculemos log 2 3 . De acuerdo con la fórmula para la transición a una nueva base del logaritmo, tenemos . De la tabla de logaritmos decimales encontramos lg3≈0.4771 y lg2≈0.3010. Por lo tanto, .

Bibliografía.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. y otros Álgebra y los comienzos del análisis: un libro de texto para los grados 10-11 de instituciones educativas generales.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemáticas (un manual para aspirantes a escuelas técnicas).

Empecemos con propiedades del logaritmo de la unidad. Su formulación es la siguiente: el logaritmo de la unidad es igual a cero, es decir, registrar un 1=0 para cualquier a>0, a≠1. La prueba es sencilla: dado que a 0 = 1 para cualquier a que satisfaga las condiciones anteriores a>0 y a≠1, entonces la igualdad probada log a 1=0 se sigue inmediatamente de la definición del logaritmo.

Demos ejemplos de aplicación de la propiedad considerada: log 3 1=0 , lg1=0 y .

Pasemos a la siguiente propiedad: el logaritmo de un numero igual a la base es igual a uno, es decir, registrar un a = 1 para a>0, a≠1. De hecho, dado que a 1 =a para cualquier a , entonces por la definición del logaritmo log a a=1 .

Ejemplos del uso de esta propiedad de los logaritmos son log 5 5=1 , log 5.6 5.6 y lne=1 .

Por ejemplo, log 2 2 7 =7 , log10 -4 =-4 y .

El logaritmo del producto de dos números positivos x e y es igual al producto de los logaritmos de estos números: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Demostremos la propiedad del logaritmo del producto. Debido a las propiedades del grado a log a x+log a y =a log a x a log a y, y dado que por la identidad logarítmica principal a log a x =x y a log a y =y , entonces a log a x a log a y =x y . Así, a log a x+log a y =x y , de donde se sigue la igualdad requerida por la definición del logaritmo.

Mostremos ejemplos del uso de la propiedad del logaritmo del producto: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 y .

La propiedad del logaritmo del producto se puede generalizar al producto de un número finito n de números positivos x 1 , x 2 , …, x n como log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . Esta igualdad se demuestra fácilmente.

Por ejemplo, el logaritmo natural de un producto se puede reemplazar por la suma de tres logaritmos naturales de los números 4 , e y .

Logaritmo del cociente de dos números positivos xey es igual a la diferencia entre los logaritmos de estos números. La propiedad del logaritmo cociente corresponde a una fórmula de la forma , donde a>0 , a≠1 , xey son algunos números positivos. La validez de esta fórmula se prueba como la fórmula para el logaritmo del producto: ya que , entonces por la definición del logaritmo .

Aquí hay un ejemplo del uso de esta propiedad del logaritmo: .

Movámonos a propiedad del logaritmo de grado. El logaritmo de un grado es igual al producto del exponente y el logaritmo del módulo de la base de este grado. Esta propiedad del logaritmo del grado la escribimos en forma de fórmula: log a b p =p log a |b|, donde a>0 , a≠1 , b y p son números tales que el grado de b p tiene sentido y b p >0 .

Primero probamos esta propiedad para b positivo. La identidad logarítmica básica nos permite representar el número b como a log a b , entonces b p =(a log a b) p , y la expresión resultante, debido a la propiedad de la potencia, es igual a a p log a b . Entonces llegamos a la igualdad b p =a p log a b , de la cual, por la definición del logaritmo, concluimos que log a b p =p log a b .

Queda por probar esta propiedad para b negativa. Aquí notamos que la expresión log a b p para b negativo tiene sentido solo para exponentes pares p (ya que el valor del grado b p debe ser mayor que cero, de lo contrario el logaritmo no tendrá sentido), y en este caso b p =|b| pag . Entonces bp =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, de donde log a b p =p log a |b| .

Por ejemplo, y ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 .

Se sigue de la propiedad anterior propiedad del logaritmo de la raíz: el logaritmo de la raíz de grado n es igual al producto de la fracción 1/n y el logaritmo de la expresión de la raíz, es decir, , donde a>0 , a≠1 , n es un número natural mayor que uno, b>0 .

La demostración se basa en la igualdad (ver ), que es válida para cualquier b positiva, y la propiedad del logaritmo del grado: .

Aquí hay un ejemplo del uso de esta propiedad: .

Ahora demostremos fórmula de conversión a la nueva base del logaritmo clase . Para ello basta probar la validez de la igualdad log c b=log a b log c a . La identidad logarítmica básica nos permite representar el número b como log a b , luego log c b=log c a log a b . Queda por usar la propiedad del logaritmo del grado: log c a log a b = log a b log c a. Así, queda demostrada la igualdad log c b=log a b log c a, lo que significa que también queda demostrada la fórmula para el paso a una nueva base del logaritmo.

Veamos un par de ejemplos de la aplicación de esta propiedad de los logaritmos: y .

La fórmula para pasar a una nueva base le permite pasar a trabajar con logaritmos que tienen una base "conveniente". Por ejemplo, se puede usar para ir a logaritmos naturales o decimales para que pueda calcular el valor del logaritmo de la tabla de logaritmos. La fórmula para el paso a una nueva base del logaritmo también permite en algunos casos encontrar el valor de un logaritmo dado, cuando se conocen los valores de unos logaritmos con otras bases.

Usado con frecuencia caso especial fórmulas para la transición a una nueva base del logaritmo para c=b de la forma . Esto muestra que log a b y log b a – . Por ejemplo, .

También se usa a menudo la fórmula , que es útil para encontrar valores logarítmicos. Para confirmar nuestras palabras, mostraremos cómo se calcula el valor del logaritmo de la forma a partir de ella. Tenemos . Para probar la fórmula basta con utilizar la fórmula de transición a la nueva base del logaritmo a: .

Queda por probar las propiedades de comparación de los logaritmos.

Demostremos que para cualquier número positivo b 1 y b 2 , b 1 log a b 2 , y para a>1, la desigualdad log a b 1

Finalmente, queda probar la última de las propiedades enumeradas de los logaritmos. Nos limitamos a probar su primera parte, es decir, demostramos que si a 1 > 1 , a 2 > 1 y a 1 1 es verdadero log a 1 b>log a 2 b . Los enunciados restantes de esta propiedad de los logaritmos se prueban mediante un principio similar.

Usemos el método opuesto. Supongamos que para 1 > 1 , 2 > 1 y 1 1 log a 1 b≤log a 2 b es cierto. Por las propiedades de los logaritmos, estas desigualdades se pueden reescribir como y respectivamente, y de ellos se sigue que log b a 1 ≤ log b a 2 y log b a 1 ≥ log b a 2, respectivamente. Entonces, por las propiedades de las potencias con las mismas bases, se deben satisfacer las igualdades b log b a 1 ≥b log b a 2 y b log b a 1 ≥b log b a 2, es decir, a 1 ≥a 2 . Por lo tanto, hemos llegado a una contradicción con la condición a 1

Bibliografía.