Extraer una raíz es la operación inversa de la exponenciación. Es decir, extrayendo la raíz del número X, obtenemos un número que, elevado al cuadrado, dará el mismo número X.
Extraer la raíz es una operación bastante simple. Una tabla de cuadrados puede facilitar el trabajo de extracción. Porque es imposible recordar todos los cuadrados y raíces de memoria, y los números pueden ser grandes.
Extrayendo la raíz de un número
extracción raíz cuadrada fuera del número es simple. Además, esto se puede hacer no de inmediato, sino gradualmente. Por ejemplo, toma la expresión √256. Inicialmente, es difícil para una persona desconocida dar una respuesta de inmediato. Luego daremos los pasos. Primero, dividimos solo por el número 4, del cual sacamos el cuadrado seleccionado como raíz.
Empate: √(64 4), entonces será equivalente a 2√64. Y como saben, según la tabla de multiplicar 64 = 8 8. La respuesta será 2*8=16.
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Extracción de raíces complejas
La raíz cuadrada no se puede calcular a partir de números negativos, porque cualquier número elevado al cuadrado es numero positivo!
Un número complejo es un número i que elevado al cuadrado es -1. Eso es i2=-1.
En matemáticas, hay un número que se obtiene sacando la raíz del número -1.
Es decir, es posible calcular la raíz de numero negativo, pero esto ya se aplica a las matemáticas superiores, no a la escuela.
Considere un ejemplo de tal extracción de raíces: √(-49)=7*√(-1)=7i.
Calculadora de raíces en línea
Con la ayuda de nuestra calculadora, puedes calcular la extracción de un número de la raíz cuadrada:
Convertir expresiones que contienen la operación de extraer la raíz
La esencia de la transformación de expresiones radicales es descomponer el número radical en otros más simples, de los cuales se puede extraer la raíz. Como 4, 9, 25 y así sucesivamente.
Tomemos un ejemplo, √625. Dividimos la expresión radical por el número 5. Obtenemos √(125 5), repetimos la operación √(25 25), pero sabemos que 25 es 52. Entonces la respuesta es 5*5=25.
Pero hay números para los que no se puede calcular la raíz por este método y solo necesitas saber la respuesta o tener a mano una tabla de cuadrados.
√289=√(17*17)=17
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es hora de desmontar metodos de extraccion de raiz. Se basan en las propiedades de las raíces, en particular, en la igualdad, que es cierta para cualquier número no negativo b.
A continuación, consideraremos a su vez los principales métodos para extraer raíces.
Comencemos con el caso más simple: extraer raíces de números naturales usando una tabla de cuadrados, una tabla de cubos, etc.
Si las tablas de cuadrados, cubos, etc. no está a la mano, es lógico utilizar el método de extracción de la raíz, que consiste en descomponer la raíz del número en factores simples.
Por separado, vale la pena detenerse, lo cual es posible para raíces con exponentes impares.
Finalmente, considere un método que le permita encontrar secuencialmente los dígitos del valor de la raíz.
Empecemos.
Utilizando una tabla de cuadrados, una tabla de cubos, etc.
En los casos más sencillos, las tablas de cuadrados, cubos, etc. permiten extraer raíces. ¿Qué son estas mesas?
La tabla de cuadrados de números enteros del 0 al 99 inclusive (que se muestra a continuación) consta de dos zonas. La primera zona de la mesa se encuentra en fondo gris, te permite hacer un número del 0 al 99 seleccionando una fila específica y una columna específica. Por ejemplo, seleccionemos una fila de 8 decenas y una columna de 3 unidades, con esto fijamos el número 83. La segunda zona ocupa el resto de la mesa. Cada una de sus celdas se encuentra en la intersección de una determinada fila y una determinada columna, y contiene el cuadrado del número correspondiente del 0 al 99. En la intersección de nuestra fila elegida de 8 decenas y la columna 3 de uno, hay una celda con el número 6889, que es el cuadrado del número 83.
Las tablas de cubos, tablas de cuartas potencias de números del 0 al 99, etc. son similares a la tabla de cuadrados, solo que contienen cubos, cuartas potencias, etc. en la segunda zona. números correspondientes.
Tablas de cuadrados, cubos, cuartas potencias, etc. le permite extraer raíces cuadradas, raíces cúbicas, raíces cuartas, etc. respectivamente de los números en estas tablas. Expliquemos el principio de su aplicación en la extracción de raíces.
Digamos que necesitamos extraer la raíz de grado n del número a, mientras que el número a está contenido en la tabla de grados n. Según esta tabla, encontramos el número b tal que a=b n . Entonces 
, por lo tanto, el número b será la raíz buscada de grado n.
Como ejemplo, mostremos cómo se extrae la raíz cúbica de 19683 utilizando la tabla de cubos. Encontramos el número 19 683 en la tabla de cubos, de ella encontramos que este número es un cubo del número 27, por lo tanto, 
.
Está claro que las tablas de n-ésimo grado son muy convenientes cuando se extraen raíces. Sin embargo, a menudo no están disponibles y su compilación requiere una cierta cantidad de tiempo. Además, a menudo es necesario extraer raíces de números que no están contenidos en las tablas correspondientes. En estos casos, hay que recurrir a otros métodos de extracción de las raíces.
Descomposición de la raíz del número en factores primos
Suficiente manera conveniente, que permite extraer la raíz de un número natural (si, por supuesto, se extrae la raíz) es la descomposición de la raíz en factores primos. Su la esencia es la siguiente: después es bastante fácil representarlo como un grado con el indicador deseado, lo que le permite obtener el valor de la raíz. Expliquemos este punto.
Extraigamos la raíz de grado n de un número natural a, y su valor sea igual a b. En este caso, la igualdad a=b n es cierta. Número b como cualquier número natural se puede representar como un producto de todos sus factores primos p 1 , p 2 , ..., p m en la forma p 1 p 2 ... p m , y el número raíz a en este caso se representa como (p 1 p 2 ... p m) n. Dado que la descomposición del número en factores primos es única, la descomposición de la raíz a en factores primos se verá como (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , lo que hace posible calcular el valor de la raíz como .
Tenga en cuenta que si la factorización del número raíz a no se puede representar en la forma (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , entonces la raíz de grado n de dicho número a no se extrae por completo.
Abordemos esto al resolver ejemplos.
Ejemplo.
Saca la raíz cuadrada de 144 .
Decisión.
Si recurrimos a la tabla de cuadrados dada en el párrafo anterior, se ve claramente que 144=12 2 , de lo cual se desprende que la raíz cuadrada de 144 es 12 .
Pero a la luz de este punto, nos interesa cómo se extrae la raíz al descomponer la raíz número 144 en factores primos. Echemos un vistazo a esta solución.
vamos a descomponer 144 a factores primos:
Es decir, 144=2 2 2 2 3 3 . A partir de la descomposición resultante, se pueden realizar las siguientes transformaciones: 144=2 2 2 2 3 3=(2 2) 2 3 2 =(2 2 3) 2 =12 2. Por lo tanto, 
.
Usando las propiedades del grado y las propiedades de las raíces, la solución podría formularse de manera un poco diferente: .
Responder:
Para consolidar el material, considere las soluciones de dos ejemplos más.
Ejemplo.
Calcula el valor de la raíz.
Decisión.
La descomposición en factores primos de la raíz número 243 es 243=3 5 . Por lo tanto, 
.
Responder:
Ejemplo.
¿El valor de la raíz es un número entero?
Decisión.
Para responder a esta pregunta, descompongamos la raíz del número en factores primos y veamos si se puede representar como un cubo de un número entero.
Tenemos 285 768=2 3 3 6 7 2 . La descomposición resultante no se representa como un cubo de un número entero, ya que el grado factor primo 7 no es múltiplo de tres. Por lo tanto, la raíz cúbica de 285,768 no se toma por completo.
Responder:
No.
Sacar raíces de números fraccionarios
Es hora de averiguar cómo se extrae la raíz de un número fraccionario. Deje que el número raíz fraccionario se escriba como p/q. Según la propiedad de la raíz del cociente, se cumple la siguiente igualdad. De esta igualdad se sigue regla de la raíz de la fracción: La raíz de una fracción es igual al cociente de dividir la raíz del numerador por la raíz del denominador.
Veamos un ejemplo de extracción de una raíz de una fracción.
Ejemplo.
¿Cuál es la raíz cuadrada de fracción común 25/169 .
Decisión.
Según la tabla de cuadrados, encontramos que la raíz cuadrada del numerador de la fracción original es 5 y la raíz cuadrada del denominador es 13. Entonces 
. Esto completa la extracción de la raíz de una fracción ordinaria 25/169.
Responder:
La raíz de una fracción decimal o un número mixto se extrae después de reemplazar los números de raíz con fracciones ordinarias.
Ejemplo.
Saque la raíz cúbica del decimal 474.552.
Decisión.
Imagina el original decimal en forma de fracción ordinaria: 474.552=474552/1000. Entonces 
. Queda por sacar las raíces cúbicas que están en el numerador y denominador de la fracción resultante. Como 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 y 1 000=10 3 , entonces 
y 
. Solo queda completar los cálculos. 
.
Responder:
.
Sacar la raíz de un número negativo
Por separado, vale la pena detenerse en extraer raíces de números negativos. Al estudiar raíces, dijimos que cuando el exponente de la raíz es un número impar, entonces un número negativo puede estar bajo el signo de la raíz. Le dimos a tales notaciones el siguiente significado: para un número negativo −a y un exponente impar de la raíz 2 n−1, tenemos 
. Esta igualdad da regla para extraer raíces impares de números negativos: para extraer la raíz de un número negativo, debe extraer la raíz del número positivo opuesto y colocar un signo menos delante del resultado.
Consideremos una solución de ejemplo.
Ejemplo.
Encuentre el valor de la raíz.
Decisión.
Transformemos la expresión original para que aparezca un número positivo debajo del signo de la raíz: 
. Ahora numero mixto reemplazar con una fracción ordinaria: 
. Aplicamos la regla de sacar la raíz de una fracción ordinaria: 
. Queda por calcular las raíces en el numerador y denominador de la fracción resultante: 
.
Aquí hay un resumen de la solución: 
.
Responder:
.
Encontrando bit a bit el valor de la raíz
En el caso general, debajo de la raíz hay un número que, utilizando las técnicas discutidas anteriormente, no puede representarse como la n-ésima potencia de ningún número. Pero al mismo tiempo, existe la necesidad de conocer el valor de una raíz dada, al menos hasta cierto signo. En este caso, para extraer la raíz, puede usar un algoritmo que le permita obtener de manera consistente una cantidad suficiente de valores de los dígitos del número deseado.
en el primer paso este algoritmo necesita averiguar cuál es el bit más significativo del valor de la raíz. Para ello se elevan sucesivamente a la potencia n los números 0, 10, 100,… hasta obtener un número superior a la raíz. Entonces el número que elevamos a la potencia de n en el paso anterior indicará el orden superior correspondiente.
Por ejemplo, considere este paso del algoritmo al extraer la raíz cuadrada de cinco. Tomamos los números 0, 10, 100,... y los elevamos al cuadrado hasta obtener un número mayor a 5. Tenemos 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5 , lo que significa que el dígito más significativo será el dígito de las unidades. El valor de este bit, así como de los inferiores, se encontrará en los próximos pasos del algoritmo de extracción de raíz.
Todos los siguientes pasos del algoritmo tienen como objetivo el refinamiento sucesivo del valor de la raíz debido al hecho de que se encuentran los valores de los siguientes dígitos del valor deseado de la raíz, comenzando desde el más alto y moviéndose hacia el más bajo. . Por ejemplo, el valor de la raíz en el primer paso es 2 , en el segundo - 2.2 , en el tercero - 2.23 , y así sucesivamente 2.236067977 ... . Describamos cómo se encuentran los valores de los bits.
La búsqueda de los dígitos se realiza enumerándolos valores posibles 0, 1, 2, ..., 9 . En este caso, las n-ésimas potencias de los números correspondientes se calculan en paralelo y se comparan con el número raíz. Si en algún momento el valor del grado excede el número radical, entonces se considera encontrado el valor del dígito correspondiente al valor anterior, y se realiza la transición al siguiente paso del algoritmo de extracción de raíz, si esto no sucede, entonces el valor de este dígito es 9 .
Expliquemos todos estos puntos usando el mismo ejemplo de extraer la raíz cuadrada de cinco.
Primero, encuentra el valor del dígito de las unidades. Iteraremos sobre los valores 0, 1, 2,…, 9, calculando respectivamente 0 2, 1 2,…, 9 2 hasta obtener un valor mayor que el número radical 5. Todos estos cálculos se presentan convenientemente en forma de tabla: 
Entonces el valor del dígito de las unidades es 2 (porque 2 2<5
, а 2 3 >5 ). Pasemos a encontrar el valor del décimo lugar. En este caso, elevaremos al cuadrado los números 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, comparando los valores obtenidos con la raíz número 5: 
Desde 2.2 2<5
, а 2,3 2 >5 , entonces el valor del décimo lugar es 2 . Puede proceder a encontrar el valor del lugar de las centésimas: 
Entonces se encuentra el siguiente valor de la raíz de cinco, es igual a 2.23. Y así puedes seguir encontrando valores más allá: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .
Para consolidar el material, analizaremos la extracción de la raíz con una precisión de centésimas utilizando el algoritmo considerado.
Primero, definimos el dígito mayor. Para ello, elevamos al cubo los números 0, 10, 100, etc. hasta obtener un número mayor a 2,151.186. Tenemos 0 3 =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186 , por lo que el dígito más significativo es el dígito de las decenas.
Definamos su valor. 
Desde 10 3<2 151,186
, а 20 3 >2,151.186 , entonces el valor del dígito de las decenas es 1 . Pasemos a las unidades. 
Por lo tanto, el valor del lugar de las unidades es 2 . Pasemos a diez. 
Dado que incluso 12.9 3 es menor que el número radical 2 151.186 , el valor del décimo lugar es 9 . Queda por realizar el último paso del algoritmo, nos dará el valor de la raíz con la precisión requerida. 
En esta etapa, el valor de la raíz se encuentra hasta las centésimas: 
.
Como conclusión de este artículo, me gustaría decir que hay muchas otras formas de extraer raíces. Pero para la mayoría de las tareas, las que estudiamos anteriormente son suficientes.
Bibliografía.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Álgebra: libro de texto para 8 celdas. Instituciones educacionales.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. y otros Álgebra y los comienzos del análisis: un libro de texto para los grados 10-11 de instituciones educativas generales.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemáticas (un manual para aspirantes a escuelas técnicas).
Instrucción
Elija un número radical como un factor, cuya eliminación de debajo raíz expresión válida; de lo contrario, la operación se perderá. Por ejemplo, si bajo el signo raíz con un exponente igual a tres (raíz cúbica) vale número 128, luego de debajo del letrero se puede sacar, por ejemplo, número 5. Al mismo tiempo, la raíz número 128 habrá que dividirlo por 5 al cubo: ³√128 = 5∗³√(128/5³) = 5∗³√(128/125) = 5∗³√1.024. Si la presencia de un número fraccionario bajo el signo raíz no contradice las condiciones del problema, es posible en esta forma. Si necesita una opción más simple, primero divida la expresión radical en dichos factores enteros, la raíz cúbica de uno de los cuales será un número entero número M. Por ejemplo: ³√128 = ³√(64∗2) = ³√(4³∗2) = 4∗³√2.
Use para seleccionar los factores del número raíz, si no es posible calcular el grado del número en su mente. Esto es especialmente cierto para raíz m con un exponente mayor que dos. Si tiene acceso a Internet, puede hacer cálculos utilizando calculadoras integradas en los motores de búsqueda Google y Nigma. Por ejemplo, si necesita encontrar el factor entero más grande que se puede sacar del signo de la cúbica raíz para el número 250, luego vaya al sitio web de Google e ingrese la consulta "6 ^ 3" para verificar si es posible sacar de debajo del letrero raíz seis. El motor de búsqueda mostrará un resultado igual a 216. Por desgracia, 250 no se puede dividir sin resto por este número. Luego ingrese la consulta 5^3. El resultado será 125, y esto te permite dividir 250 en factores de 125 y 2, lo que significa sacarlo del signo. raíz número 5 saliendo de ahí número 2.
Fuentes:
- como sacarlo de debajo de la raiz
- La raíz cuadrada del producto.
sacar de debajo raíz uno de los factores es necesario en situaciones en las que necesita simplificar una expresión matemática. Hay casos en los que es imposible realizar los cálculos necesarios con una calculadora. Por ejemplo, si se utilizan letras de variables en lugar de números.
Instrucción
Descomponer la expresión radical en factores simples. Ver cuál de los factores se repite el mismo número de veces, indicado en los indicadores raíz, o más. Por ejemplo, necesitas llevar la raíz del número a a la cuarta potencia. En este caso, el número se puede representar como a*a*a*a = a*(a*a*a)=a*a3. indicador raíz en este caso corresponderá a factor a3. Debe sacarse del cartel.
Extraiga la raíz de los radicales resultantes por separado, cuando sea posible. extracción raíz es la operación algebraica inversa a la exponenciación. extracción raíz una potencia arbitraria a partir de un número, encuentre un número que, elevado a esta potencia arbitraria, dé como resultado un número dado. Si la extracción raíz no se puede producir, deje la expresión radical bajo el signo raíz la forma en que es Como resultado de las acciones anteriores, realizará una eliminación de debajo señal raíz.
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Nota
Tenga cuidado al escribir la expresión radical como factores: un error en esta etapa conducirá a resultados incorrectos.
Consejo útil
Al extraer raíces, es conveniente usar tablas especiales o tablas de raíces logarítmicas; esto reducirá significativamente el tiempo para encontrar la solución correcta.
Fuentes:
- signo de extracción de raíz en 2019
La simplificación de expresiones algebraicas se requiere en muchas ramas de las matemáticas, incluida la solución de ecuaciones de grados superiores, diferenciación e integración. Esto utiliza varios métodos, incluida la factorización. Para aplicar este método, necesita encontrar y sacar un común factor detrás paréntesis.
Instrucción
Sacando el factor común de paréntesis- uno de los métodos de descomposición más comunes. Esta técnica se utiliza para simplificar la estructura de expresiones algebraicas largas, es decir polinomios. El general puede ser un número, monomio o binomio, y para encontrarlo se utiliza la propiedad distributiva de la multiplicación.
Número: Mire de cerca los coeficientes de cada polinomio para ver si se pueden dividir por el mismo número. Por ejemplo, en la expresión 12 z³ + 16 z² - 4, lo obvio es factor 4. Después de la conversión, obtienes 4 (3 z³ + 4 z² - 1). En otras palabras, este número es el mínimo común divisor entero de todos los coeficientes.
Mononomio Determina si la misma variable está en cada uno de los términos del polinomio. Supongamos que este es el caso, ahora mira los coeficientes, como en el caso anterior. Ejemplo: 9 z^4 - 6 z³ + 15 z² - 3 z.
Cada elemento de este polinomio contiene la variable z. Además, todos los coeficientes son múltiplos de 3. Por tanto, el factor común será el monomio 3 z: 3 z (3 z³ - 2 z² + 5 z - 1).
Binomial.Para paréntesis general factor de dos, una variable y un número, que es un polinomio general. Por lo tanto, si factor-binomial no es obvio, entonces necesitas encontrar al menos una raíz. Resalta el término libre del polinomio, este es el coeficiente sin variable. Ahora aplique el método de sustitución a la expresión común de todos los divisores enteros del término libre.
Considere: z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4. Compruebe si alguno de los divisores enteros de 4 z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4 = 0. Halle z1 por sustitución simple = 1 y z2 = 2, entonces paréntesis los binomios (z - 1) y (z - 2) se pueden sacar. Para encontrar la expresión restante, usa la división secuencial en una columna.
Hecho 1.
\(\bullet\) Tome algún número no negativo \(a\) (es decir, \(a\geqslant 0\) ). Entonces (aritmética) raíz cuadrada del número \(a\) tal número no negativo se llama \(b\), al elevarlo al cuadrado obtenemos el número \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(igual que )\quad a=b^2\] De la definición se sigue que \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). ¡Estas restricciones son una condición importante para la existencia de una raíz cuadrada y deben recordarse!
Recuerda que cualquier número elevado al cuadrado da un resultado no negativo. Es decir, \(100^2=10000\geqslant 0\) y \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) ¿Qué es \(\sqrt(25)\) ? Sabemos que \(5^2=25\) y \((-5)^2=25\) . Como por definición tenemos que encontrar un número no negativo, \(-5\) no es adecuado, por lo tanto \(\sqrt(25)=5\) (ya que \(25=5^2\) ).
Encontrar el valor \(\sqrt a\) se llama sacar la raíz cuadrada del número \(a\) , y el número \(a\) se llama la expresión raíz.
\(\bullet\) Según la definición, las expresiones \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) , etc. no tiene sentido
Hecho 2.
Para cálculos rápidos, será útil aprender la tabla de cuadrados de los números naturales de \(1\) a \(20\) : \[\begin(matriz)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hlínea \end(matriz)\]
Hecho 3.
¿Qué se puede hacer con raíces cuadradas?
\(\bala\) La suma o diferencia de raíces cuadradas NO ES IGUAL a la raíz cuadrada de la suma o diferencia, es decir \[\raíz cuadrada a\pm\raíz cuadrada b\ne \raíz cuadrada(a\pm b)\] Por lo tanto, si necesita calcular, por ejemplo, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , entonces inicialmente debe encontrar los valores \(\sqrt(25)\) y \(\sqrt (49)\ ) y luego súmalos. Por lo tanto, \[\raíz cuadrada(25)+\raíz cuadrada(49)=5+7=12\] Si los valores \(\sqrt a\) o \(\sqrt b\) no se pueden encontrar al agregar \(\sqrt a+\sqrt b\), entonces dicha expresión no se convierte más y permanece como está. Por ejemplo, en la suma \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) podemos encontrar \(\sqrt(49)\) - esto es \(7\) , pero \(\sqrt 2\) no puede ser convertido de alguna manera, por eso \(\raíz cuadrada 2+\raíz cuadrada(49)=\raíz cuadrada 2+7\). Además, esta expresión, lamentablemente, no se puede simplificar de ninguna manera.\(\bullet\) El producto/cociente de raíces cuadradas es igual a la raíz cuadrada del producto/cociente, es decir \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (siempre que ambas partes de las igualdades tengan sentido)
Ejemplo: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\);
\(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\);
\(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Usando estas propiedades, es conveniente encontrar las raíces cuadradas de números grandes factorizándolos.
Considere un ejemplo. Encuentra \(\sqrt(44100)\) . Dado que \(44100:100=441\) , entonces \(44100=100\cdot 441\) . Según el criterio de divisibilidad, el número \(441\) es divisible por \(9\) (ya que la suma de sus dígitos es 9 y es divisible por 9), por tanto, \(441:9=49\), es decir, \(441=9\ cdot 49\) .
Así, obtuvimos: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Veamos otro ejemplo: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Vamos a mostrar cómo ingresar números bajo el signo de la raíz cuadrada usando el ejemplo de la expresión \(5\sqrt2\) (abreviatura de la expresión \(5\cdot \sqrt2\) ). Como \(5=\sqrt(25)\) , entonces \
Nótese también que, por ejemplo,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\raíz cuadrada a+\raíz cuadrada a=2\raíz cuadrada a\) .
¿Porqué es eso? Expliquemos con el ejemplo 1). Como ya entendiste, de alguna manera no podemos convertir el número \(\sqrt2\) . Imagina que \(\sqrt2\) es algún número \(a\) . En consecuencia, la expresión \(\sqrt2+3\sqrt2\) no es más que \(a+3a\) (un número \(a\) más tres números iguales \(a\) ). Y sabemos que esto es igual a cuatro de esos números \(a\) , es decir, \(4\sqrt2\) .
hecho 4.
\(\bullet\) A menudo se dice "no se puede extraer la raíz" cuando no es posible deshacerse del signo \(\sqrt () \ \) de la raíz (radical) al encontrar el valor de algún número. Por ejemplo, puede rootear el número \(16\) porque \(16=4^2\) , entonces \(\sqrt(16)=4\) . Pero extraer la raíz del número \(3\) , es decir, encontrar \(\sqrt3\) , es imposible, porque no existe tal número que al cuadrado dé \(3\) .
Tales números (o expresiones con tales números) son irracionales. Por ejemplo, números \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) etc. son irracionales.
También son irracionales los números \(\pi\) (el número “pi”, aproximadamente igual a \(3,14\) ), \(e\) (este número se llama número de Euler, aproximadamente igual a \(2 ,7\) ) etc
\(\bullet\) Tenga en cuenta que cualquier número será racional o irracional. Y juntos todos los números racionales y todos los irracionales forman un conjunto llamado conjunto de números reales (reales). Este conjunto se denota con la letra \(\mathbb(R)\) .
Esto significa que todos los números que conocemos actualmente se llaman números reales.
Hecho 5.
\(\bullet\) Módulo de un número real \(a\) es un número no negativo \(|a|\) igual a la distancia del punto \(a\) a \(0\) en el real línea. Por ejemplo, \(|3|\) y \(|-3|\) son iguales a 3, ya que las distancias de los puntos \(3\) y \(-3\) a \(0\) son las igual e igual a \(3 \) .
\(\bullet\) Si \(a\) es un número no negativo, entonces \(|a|=a\) .
Ejemplo: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Si \(a\) es un número negativo, entonces \(|a|=-a\) .
Ejemplo: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Dicen que para los números negativos, el módulo se "come" el menos, y los números positivos, así como el número \(0\), el módulo se queda sin cambios.
PERO esta regla solo se aplica a los números. Si tiene una \(x\) desconocida (o alguna otra incógnita) bajo el signo del módulo, por ejemplo, \(|x|\) , de la que no sabemos si es positiva, igual a cero o negativa, entonces deshacerse del módulo que no podemos. En este caso, esta expresión queda así: \(|x|\) . \(\bullet\) Las siguientes fórmulas son válidas: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text(proporcionado) a\geqslant 0\] A menudo se comete el siguiente error: dicen que \(\sqrt(a^2)\) y \((\sqrt a)^2\) son lo mismo. Esto es cierto solo cuando \(a\) es un número positivo o cero. Pero si \(a\) es un número negativo, entonces esto no es cierto. Basta considerar tal ejemplo. Tomemos el número \(-1\) en lugar de \(a\). Entonces \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , pero la expresión \((\sqrt (-1))^2\) no existe en absoluto (porque es ¡imposible poner números negativos bajo el signo raíz!).
Por lo tanto, llamamos su atención sobre el hecho de que \(\sqrt(a^2)\) no es igual a \((\sqrt a)^2\) ! Ejemplo 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), porque \(-\sqrt2<0\)
;
\(\fantasma(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Dado que \(\sqrt(a^2)=|a|\) , entonces \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (la expresión \(2n\) denota un número par)
Es decir, al sacar la raíz de un número que está en algún grado, este grado se reduce a la mitad.
Ejemplo:
1) \(\raíz cuadrada(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (tenga en cuenta que si el módulo no está configurado, resulta que la raíz del número es igual a \(-25 \); pero recordemos que, por definición de la raíz, esto no puede ser: al extraer la raíz, siempre debemos obtener un número positivo o cero)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (ya que cualquier número elevado a una potencia par no es negativo)
hecho 6.
¿Cómo comparar dos raíces cuadradas?
\(\bullet\) Verdadero para raíces cuadradas: si \(\sqrt a<\sqrt b\)
, то \(a
1) compare \(\sqrt(50)\) y \(6\sqrt2\) . Primero, transformamos la segunda expresión en \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Así, dado que \(50<72\)
, то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\)
. Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\)
.
2) ¿Entre qué enteros está \(\sqrt(50)\) ?
Dado que \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) , y \(49<50<64\)
, то \(7<\sqrt{50}<8\)
, то есть число \(\sqrt{50}\)
находится между числами \(7\)
и \(8\)
.
3) Compara \(\sqrt 2-1\) y \(0,5\) . Supongamos \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(alineado) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((añadir uno a ambos lados))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((cuadrar ambas partes))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(alineado)\] Vemos que hemos obtenido una desigualdad incorrecta. Por lo tanto, nuestra suposición era incorrecta y \(\sqrt 2-1<0,5\)
.
Tenga en cuenta que agregar un cierto número a ambos lados de la desigualdad no afecta su signo. Multiplicar/dividir ambas partes de la desigualdad por un número positivo tampoco afecta su signo, ¡pero multiplicar/dividir por un número negativo invierte el signo de la desigualdad!
Ambos lados de una ecuación/desigualdad pueden elevarse al cuadrado SOLO SI ambos lados no son negativos. Por ejemplo, en la desigualdad del ejemplo anterior, puedes elevar al cuadrado ambos lados, en la desigualdad \(-3<\sqrt2\)
нельзя (убедитесь в этом сами)!
\(\bullet\) Tenga en cuenta que \[\begin(alineado) &\sqrt 2\aprox. 1,4\\ &\sqrt 3\aprox. 1,7 \end(alineado)\]¡Conocer el significado aproximado de estos números te ayudará cuando compares números! \(\bullet\) Para sacar la raíz (si se saca) de algún número grande que no está en la tabla de cuadrados, primero hay que determinar entre qué “centenas” se encuentra, luego entre cuáles “decenas”, y luego determinar el último dígito de este número. Vamos a mostrar cómo funciona con un ejemplo.
Toma \(\sqrt(28224)\) . Sabemos que \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\) y así sucesivamente. Tenga en cuenta que \(28224\) está entre \(10\,000\) y \(40\,000\) . Por lo tanto, \(\sqrt(28224)\) está entre \(100\) y \(200\) .
Ahora determinemos entre qué “decenas” está nuestro número (es decir, por ejemplo, entre \(120\) y \(130\) ). También sabemos por la tabla de cuadrados que \(11^2=121\) , \(12^2=144\) etc., entonces \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900\ ) . Entonces vemos que \(28224\) está entre \(160^2\) y \(170^2\) . Por lo tanto, el número \(\sqrt(28224)\) está entre \(160\) y \(170\) .
Tratemos de determinar el último dígito. ¿Recordemos qué números de un solo dígito al elevar al cuadrado dan al final \ (4 \) ? Estos son \(2^2\) y \(8^2\) . Por lo tanto, \(\sqrt(28224)\) terminará en 2 u 8. Verifiquemos esto. Encuentra \(162^2\) y \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Por lo tanto \(\sqrt(28224)=168\) . ¡Voila!
Para resolver adecuadamente el examen de matemáticas, en primer lugar, es necesario estudiar el material teórico, que introduce numerosos teoremas, fórmulas, algoritmos, etc. A primera vista, puede parecer que esto es bastante simple. Sin embargo, encontrar una fuente en la que se presente la teoría para el Examen Estatal Unificado de matemáticas de una manera fácil y comprensible para estudiantes con cualquier nivel de preparación es, de hecho, una tarea bastante difícil. Los libros de texto escolares no siempre se pueden tener a mano. Y encontrar las fórmulas básicas para el examen de matemáticas puede ser difícil incluso en Internet.
¿Por qué es tan importante estudiar teoría en matemáticas, no solo para quienes toman el examen?
- Porque amplía tus horizontes. El estudio de material teórico en matemáticas es útil para cualquiera que quiera obtener respuestas a una amplia gama de preguntas relacionadas con el conocimiento del mundo. Todo en la naturaleza está ordenado y tiene una lógica clara. Esto es precisamente lo que se refleja en la ciencia, a través de la cual es posible comprender el mundo.
- Porque desarrolla el intelecto.. Al estudiar materiales de referencia para el examen de matemáticas, además de resolver varios problemas, una persona aprende a pensar y razonar lógicamente, a formular pensamientos de manera correcta y clara. Desarrolla la capacidad de analizar, generalizar, sacar conclusiones.
Lo invitamos a evaluar personalmente todas las ventajas de nuestro enfoque para la sistematización y presentación de materiales educativos.
Tienes dependencia de la calculadora? ¿O crees que, excepto con una calculadora o usando una tabla de cuadrados, es muy difícil calcular, por ejemplo,.
Sucede que los escolares están atados a una calculadora e incluso multiplican 0,7 por 0,5 presionando los botones preciados. Dicen, bueno, todavía sé cómo calcular, pero ahora ahorraré tiempo ... Habrá un examen ... luego me pondré tenso ...
Entonces, el hecho es que habrá muchos "momentos tensos" en el examen de todos modos ... Como dicen, el agua desgasta una piedra. Así que en el examen, las pequeñas cosas, si son muchas, pueden derribarte...
Minimicemos el número de posibles problemas.
Sacar la raíz cuadrada de un número grande
Ahora solo hablaremos del caso cuando el resultado de extraer la raíz cuadrada es un número entero.
Caso 1
Entonces, por todos los medios (por ejemplo, al calcular el discriminante) necesitamos calcular la raíz cuadrada de 86436.
Descompondremos el número 86436 en factores primos. Dividimos por 2, obtenemos 43218; nuevamente dividimos por 2, obtenemos 21609. El número no es divisible por 2 más. Pero como la suma de los dígitos es divisible por 3, entonces el número mismo es divisible por 3 (en términos generales, se puede ver que también es divisible por 9). . Una vez más dividimos por 3, obtenemos 2401. 2401 no es completamente divisible por 3. No divisible por cinco (no termina en 0 ni en 5).
Sospechamos divisibilidad por 7. De hecho, a ,
Entonces, ¡pedido completo!
Caso 2
Necesitamos calcular. Es inconveniente actuar de la misma manera que se describe anteriormente. Intentando factorizar...
El número 1849 no es completamente divisible por 2 (no es par)...
No es completamente divisible por 3 (la suma de los dígitos no es múltiplo de 3)...
No es completamente divisible por 5 (el último dígito no es 5 ni 0)...
No es completamente divisible por 7, no es divisible por 11, no es divisible por 13... Bueno, ¿cuánto tiempo nos llevará recorrer todos los números primos así?
Vamos a discutir un poco diferente.
Entendemos eso
Redujimos la búsqueda. Ahora clasificamos los números del 41 al 49. Además, está claro que dado que el último dígito del número es 9, vale la pena detenerse en las opciones 43 o 47: solo estos números, cuando se elevan al cuadrado, darán el último dígito 9.
Bueno, aquí ya, por supuesto, nos detenemos en 43. De hecho,
PD¿Cómo demonios multiplicamos 0,7 por 0,5?
Debes multiplicar 5 por 7, ignorando los ceros y signos, y luego separar, de derecha a izquierda, dos decimales. Obtenemos 0,35.
