La progresión geométrica, junto con la aritmética, es importante serie numérica, que se estudia en el curso de álgebra escolar en el grado 9. En este artículo, consideraremos el denominador de una progresión geométrica y cómo su valor afecta sus propiedades.
Definición de progresión geométrica
Primero, definamos esto serie de números. Una progresión geométrica es una serie. numeros racionales, que se forma multiplicando secuencialmente su primer elemento por un número constante llamado denominador.
Por ejemplo, los números de la serie 3, 6, 12, 24,... son una progresión geométrica, porque si multiplicamos 3 (el primer elemento) por 2, obtenemos 6. Si multiplicamos 6 por 2, obtenemos 12, y así sucesivamente.
Los miembros de la secuencia bajo consideración generalmente se denotan con el símbolo ai, donde i es un número entero que indica el número del elemento en la serie.
La definición anterior de una progresión se puede escribir en el lenguaje matemático de la siguiente manera: an = bn-1 * a1, donde b es el denominador. Es fácil verificar esta fórmula: si n = 1, entonces b1-1 = 1, y obtenemos a1 = a1. Si n = 2, entonces an = b * a1, y nuevamente llegamos a la definición de la serie de números bajo consideración. Se puede continuar con un razonamiento similar para valores grandes norte.
El denominador de una progresión geométrica.
El número b determina completamente qué carácter tendrá toda la serie numérica. El denominador b puede ser positivo, negativo, mayor o menor que uno. Todas las opciones anteriores conducen a diferentes secuencias:
- b > 1. Hay una serie creciente de números racionales. Por ejemplo, 1, 2, 4, 8, ... Si el elemento a1 es negativo, toda la secuencia aumentará solo en módulo, pero disminuirá teniendo en cuenta el signo de los números.
- b = 1. A menudo, este caso no se denomina progresión, ya que fila regular los mismos números racionales. Por ejemplo, -4, -4, -4.
fórmula para la suma
Antes de proceder a la consideración de problemas específicos usando el denominador del tipo de progresión bajo consideración, se debe dar una fórmula importante para la suma de sus primeros n elementos. La fórmula es: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).
Puede obtener esta expresión usted mismo si considera una secuencia recursiva de miembros de la progresión. También tenga en cuenta que en la fórmula anterior, es suficiente conocer solo el primer elemento y el denominador para encontrar la suma de un número arbitrario de términos.
Secuencia infinitamente decreciente
Arriba había una explicación de lo que es. Ahora, conociendo la fórmula de Sn, apliquémosla a esta serie de números. Dado que cualquier número cuyo módulo no exceda de 1 tiende a cero cuando se eleva a grandes potencias, es decir, b∞ => 0 si -1
Dado que la diferencia (1 - b) siempre será positiva, independientemente del valor del denominador, el signo de la suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente S∞ está determinado únicamente por el signo de su primer elemento a1.
Ahora consideraremos varios problemas, donde mostraremos cómo aplicar el conocimiento adquirido a números específicos.
Tarea número 1. Cálculo de elementos desconocidos de la progresión y la suma.
Dada una progresión geométrica, el denominador de la progresión es 2 y su primer elemento es 3. ¿Cuáles serán sus términos 7 y 10 y cuál es la suma de sus siete elementos iniciales?
La condición del problema es bastante simple e implica el uso directo de las fórmulas anteriores. Entonces, para calcular el elemento de número n, usamos la expresión an = bn-1 * a1. Para el 7º elemento tenemos: a7 = b6 * a1, sustituyendo los datos conocidos, obtenemos: a7 = 26 * 3 = 192. Hacemos lo mismo para el 10º miembro: a10 = 29 * 3 = 1536.
Usamos la conocida fórmula de la suma y determinamos este valor para los primeros 7 elementos de la serie. Tenemos: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.
Tarea número 2. Determinar la suma de elementos arbitrarios de la progresión.
Sea -2 el denominador de la progresión exponencial bn-1 * 4, donde n es un número entero. Es necesario determinar la suma del 5° al 10° elemento de esta serie, inclusive.
El problema planteado no puede resolverse directamente utilizando fórmulas conocidas. Puedes resolverlo con 2 varios métodos. En aras de la exhaustividad, presentamos ambos.
Método 1. Su idea es simple: debe calcular las dos sumas correspondientes de los primeros términos y luego restar el otro de uno. Calcula la suma menor: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Ahora calculamos la gran suma: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Tenga en cuenta que en última expresión solo se sumaron 4 términos, ya que el 5º ya está incluido en la suma que hay que calcular según la condición del problema. Finalmente, sacamos la diferencia: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.
Método 2. Antes de sustituir números y contar, puedes obtener una fórmula para la suma entre los términos m y n de la serie en cuestión. Actuamos exactamente de la misma manera que en el método 1, solo que trabajamos primero con la representación simbólica de la suma. Tenemos: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Puede sustituir números conocidos en la expresión resultante y calcular el resultado final: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.
Tarea número 3. ¿Cuál es el denominador?
Sea a1 = 2, encuentre el denominador de la progresión geométrica, siempre que su suma infinita sea 3, y se sepa que esta es una serie decreciente de números.
De acuerdo con la condición del problema, no es difícil adivinar qué fórmula se debe utilizar para resolverlo. Por supuesto, por la suma de una progresión infinitamente decreciente. Tenemos: S∞ = a1 / (1 - b). De donde expresamos el denominador: b = 1 - a1 / S∞. Queda por sustituir valores conocidos y obtenga el número requerido: b = 1 - 2/3 = -1/3 o -0.333(3). Este resultado lo podemos comprobar cualitativamente si recordamos que para este tipo de sucesiones el módulo b no debe ir más allá de 1. Como ves, |-1 / 3|
Tarea número 4. Restaurar una serie de números.
Sean dados 2 elementos de una serie numérica, por ejemplo, el 5º es igual a 30 y el 10º es igual a 60. Es necesario restituir toda la serie a partir de estos datos, sabiendo que cumple las propiedades de una progresión geométrica.
Para resolver el problema, primero debes escribir la expresión correspondiente para cada miembro conocido. Tenemos: a5 = b4 * a1 y a10 = b9 * a1. Ahora dividimos la segunda expresión por la primera, obtenemos: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. A partir de aquí determinamos el denominador tomando la raíz de quinto grado de la razón de los miembros conocidos de la condición del problema, b = 1.148698. El número resultante se sustituye en una de las expresiones para elemento conocido, obtenemos: a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698)4 = 17,2304966.
Así, hemos encontrado cuál es el denominador de la progresión bn, y la progresión geométrica bn-1 * 17,2304966 = an, donde b = 1,148698.
¿Dónde se usan las progresiones geométricas?
Si no hubiera aplicación de esta serie numérica en la práctica, entonces su estudio quedaría reducido a un interés puramente teórico. Pero existe tal aplicación.
Los 3 ejemplos más famosos se enumeran a continuación:
- La paradoja de Zenón, en la que el ágil Aquiles no puede alcanzar a la lenta tortuga, se resuelve utilizando el concepto de una secuencia de números infinitamente decreciente.
- Si se colocan granos de trigo en cada celda del tablero de ajedrez de modo que se coloque 1 grano en la primera celda, 2 en la segunda, 3 en la tercera y así sucesivamente, se necesitarán 18446744073709551615 granos para llenar todas las celdas de ¡el tablero!
- En el juego "Tower of Hanoi", para reorganizar los discos de una barra a otra, es necesario realizar operaciones 2n - 1, es decir, su número crece exponencialmente a partir de la cantidad de discos n utilizados.
Instrucción
10, 30, 90, 270...
Se requiere encontrar el denominador de una progresión geométrica.
Decisión:
1 opción Tomemos un miembro arbitrario de la progresión (por ejemplo, 90) y dividámoslo por el anterior (30): 90/30=3.
Si se conoce la suma de varios miembros de una progresión geométrica o la suma de todos los miembros de una progresión geométrica decreciente, entonces para encontrar el denominador de la progresión, use las fórmulas apropiadas:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), donde Sn es la suma de los primeros n términos de la progresión geométrica y
S = b1/(1-q), donde S es la suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente (la suma de todos los miembros de la progresión con un denominador menor que uno).
Ejemplo.
El primer término de una progresión geométrica decreciente es igual a uno, y la suma de todos sus términos es igual a dos.
Se requiere determinar el denominador de esta progresión.
Decisión:
Sustituye los datos de la tarea en la fórmula. Conseguir:
2=1/(1-q), de donde – q=1/2.
Una progresión es una secuencia de números. En una progresión geométrica, cada término subsiguiente se obtiene multiplicando el anterior por un cierto número q, llamado denominador de la progresión.
Instrucción
Si se conocen dos miembros vecinos de las geométricas b(n+1) y b(n), para obtener el denominador es necesario dividir el número con un número grande por el que le precede: q=b(n +1)/b(n). Esto se sigue de la definición de la progresión y su denominador. Una condición importante es que el primer término y denominador de la progresión no sea igual a cero, de lo contrario se considera indefinido.
Así, se establecen las siguientes relaciones entre los miembros de la progresión: b2=b1 q, b3=b2 q, … , b(n)=b(n-1) q. Mediante la fórmula b(n)=b1 q^(n-1) se puede calcular cualquier miembro de una progresión geométrica, en la que se conocen el denominador q y el miembro b1. Además, cada uno de los módulos de progresión es igual al promedio de sus miembros vecinos: |b(n)|=√, por lo que la progresión obtuvo su .
Un análogo de una progresión geométrica es el más simple. funcion exponencial y=a^x, donde x está en el exponente, a es un número. En este caso, el denominador de la progresión es el mismo que el primer término y es igual al número una. El valor de la función y puede entenderse como enésimo término progresiones si el argumento x se toma como número natural n (contador).
Consideremos una serie.
7 28 112 448 1792...
Está absolutamente claro que el valor de cualquiera de sus elementos es exactamente cuatro veces mayor que el anterior. Así que esta serie es una progresión.
Una progresión geométrica es una secuencia infinita de números caracteristica principal que es que el siguiente número se obtiene del anterior multiplicando por algún número específico. Esto se expresa mediante la siguiente fórmula.
a z +1 =a z q, donde z es el número del elemento seleccionado.
En consecuencia, z ∈ N.
El período en que la escuela está estudiando. progresión geométrica- Grado 9. Los ejemplos le ayudarán a entender el concepto:
0.25 0.125 0.0625...
Con base en esta fórmula, el denominador de la progresión se puede encontrar de la siguiente manera:
Ni q ni b z pueden ser cero. Además, cada uno de los elementos de la progresión no debe ser igual a cero.
En consecuencia, para encontrar el siguiente número de la serie, debe multiplicar el último por q.
Para especificar esta progresión, debe especificar su primer elemento y denominador. Después de eso, es posible encontrar cualquiera de los términos subsiguientes y su suma.
Variedades
Dependiendo de q y a 1, esta progresión se divide en varios tipos:
- Si tanto a 1 como q son mayores que uno, entonces dicha secuencia es una progresión geométrica que aumenta con cada elemento siguiente. A continuación se presenta un ejemplo de ello.
Ejemplo: a 1 =3, q=2 - ambos parámetros son mayores que uno.
Entonces la secuencia numérica se puede escribir así:
3 6 12 24 48 ...
- Si |q| menos que uno, es decir, la multiplicación por ella es equivalente a la división, entonces una progresión con condiciones similares es una progresión geométrica decreciente. A continuación se presenta un ejemplo de ello.
Ejemplo: a 1 =6, q=1/3 - a 1 es mayor que uno, q es menor.
Entonces la secuencia numérica se puede escribir de la siguiente manera:
6 2 2/3 ... - cualquier elemento es 3 veces mayor que el siguiente.
- Signo-variable. si q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.
Ejemplo: a 1 = -3 , q = -2 - ambos parámetros son menores que cero.
Entonces la sucesión se puede escribir así:
3, 6, -12, 24,...
Fórmulas
Para un uso conveniente de las progresiones geométricas, existen muchas fórmulas:
- Fórmula del z-ésimo miembro. Le permite calcular el elemento bajo un número específico sin calcular los números anteriores.
Ejemplo:q = 3, un 1 = 4. Se requiere calcular el cuarto elemento de la progresión.
Decisión:un 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.
- La suma de los primeros elementos cuyo número es z. Le permite calcular la suma de todos los elementos de una secuencia hastauna zinclusivo.
Desde (1-q) está en el denominador, entonces (1 - q)≠ 0, por lo que q no es igual a 1.
Nota: si q=1, entonces la progresión sería una serie de un número que se repite infinitamente.
La suma de una progresión geométrica, ejemplos:un 1 = 2, q= -2. Calcular S 5 .
Decisión:S 5 = 22 - cálculo por fórmula.
- Importe si |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.
Ejemplo:un 1 = 2 , q= 0,5. Encuentra la cantidad.
Decisión:Talla = 2 · = 4
Talla = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4
Algunas propiedades:
- propiedad característica. Si la siguiente condición realizado para cualquierz, entonces la serie numérica dada es una progresión geométrica:
una z 2 = una z -1 · unz+1
- Además, el cuadrado de cualquier número de una progresión geométrica se obtiene sumando los cuadrados de otros dos números cualesquiera de una serie dada, si son equidistantes de este elemento.
una z 2 = una z - t 2 + una z + t 2 , dondetes la distancia entre estos números.
- Elementosdifieren en quna vez.
- Los logaritmos de los elementos de progresión también forman una progresión, pero ya aritmética, es decir, cada uno de ellos es mayor que el anterior en un número determinado.
Ejemplos de algunos problemas clásicos
Para comprender mejor qué es una progresión geométrica, los ejemplos con una solución para el grado 9 pueden ayudar.
- Condiciones:un 1 = 3, un 3 = 48. Encuentraq.
Solución: cada elemento subsiguiente es mayor que el anterior enq una vez.Es necesario expresar unos elementos a través de otros utilizando un denominador.
Por lo tanto,un 3 = q 2 · un 1
Al sustituirq= 4
- Condiciones:un 2 = 6, un 3 = 12. Calcula S 6 .
Decisión:Para ello, basta con encontrar q, el primer elemento, y sustituirlo en la fórmula.
un 3 = q· un 2 , por lo tanto,q= 2
un 2 = q un 1,Es por eso un 1 = 3
S 6 = 189
- · un 1 = 10, q= -2. Encuentra el cuarto elemento de la progresión.
Solución: para ello basta con expresar el cuarto elemento por el primero y por el denominador.
un 4 = q 3· un 1 = -80
Ejemplo de aplicación:
- El cliente del banco hizo un depósito por un monto de 10,000 rublos, según los términos de los cuales cada año el cliente agregará el 6% del monto principal. ¿Cuánto dinero habrá en la cuenta después de 4 años?
Solución: La cantidad inicial es de 10 mil rublos. Entonces, un año después de la inversión, la cuenta tendrá una cantidad igual a 10,000 + 10,000 · 0,06 = 10000 1,06
En consecuencia, la cantidad en la cuenta después de otro año se expresará de la siguiente manera:
(10000 1,06) 0,06 + 10000 1,06 = 1,06 1,06 10000
Es decir, cada año la cantidad aumenta en 1,06 veces. Esto significa que para encontrar la cantidad de fondos en la cuenta después de 4 años, basta con encontrar el cuarto elemento de la progresión, que viene dado por el primer elemento igual a 10 mil y el denominador igual a 1,06.
S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625
Ejemplos de tareas para calcular la suma:
En varios problemas, se utiliza una progresión geométrica. Un ejemplo para encontrar la suma se puede dar de la siguiente manera:
un 1 = 4, q= 2, calcularS5.
Solución: todos los datos necesarios para el cálculo son conocidos, solo necesita sustituirlos en la fórmula.
S 5 = 124
- un 2 = 6, un 3 = 18. Calcula la suma de los primeros seis elementos.
Decisión:
Geom. progresión, cada siguiente elemento es q veces mayor que el anterior, es decir, para calcular la suma, necesitas saber el elementoun 1 y denominadorq.
un 2 · q = un 3
q = 3
Del mismo modo, tenemos que encontrarun 1 , sabiendoun 2 yq.
un 1 · q = un 2
un 1 =2
S 6 = 728.
A este número se le llama denominador de una progresión geométrica, es decir, cada término difiere del anterior en q veces. (Supondremos que q ≠ 1, de lo contrario todo es demasiado trivial). Es fácil ver que la fórmula general del n-ésimo miembro de la progresión geométrica es b n = b 1 q n – 1 ; términos con números b n y b m difieren en q n – m veces.Ya en el antiguo Egipto, no solo conocían la aritmética, sino también la progresión geométrica. Aquí, por ejemplo, hay una tarea del papiro Rhind: “Siete caras tienen siete gatos; cada gato come siete ratones, cada ratón come siete mazorcas de maíz, cada mazorca puede producir siete medidas de cebada. ¿Qué tan grandes son los números en esta serie y su suma?
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Arroz. 1. Problema de progresión geométrica del Antiguo Egipto |
Esta tarea se repitió muchas veces con diferentes variaciones entre otros pueblos en otras épocas. Por ejemplo, en escrito en el siglo XIII. El "Libro del ábaco" de Leonardo de Pisa (Fibonacci) tiene un problema en el que aparecen 7 ancianas camino de Roma (obviamente peregrinas), cada una de las cuales tiene 7 mulas, cada una de las cuales tiene 7 bolsas, cada una de las cuales contiene 7 panes, cada uno de los cuales tiene 7 cuchillos, cada uno de los cuales está en 7 vainas. El problema pregunta cuántos elementos hay.
La suma de los primeros n miembros de la progresión geométrica S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1) . Esta fórmula se puede demostrar, por ejemplo, de la siguiente manera: S n \u003d b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1.
Sumemos el número b 1 q n a S n y obtengamos:
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Por lo tanto, S n (q - 1) = b 1 (q n - 1), y obtenemos la fórmula necesaria.
Ya en una de las tablillas de arcilla de la antigua Babilonia, que data del siglo VI. antes de Cristo es decir, contiene la suma 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1. Es cierto que, como en varios otros casos, no sabemos dónde los babilonios conocían este hecho. .
El rápido crecimiento de la progresión geométrica en varias culturas, en particular en la India, se utiliza repetidamente como símbolo visual de la inmensidad del universo. En la conocida leyenda sobre la aparición del ajedrez, el gobernante le da a su inventor la oportunidad de elegir él mismo una recompensa, y le pide tantos granos de trigo como se obtendrán si se coloca uno en la primera celda del tablero de ajedrez. , dos en el segundo, cuatro en el tercero, ocho en el cuarto, etc., cada vez que se duplica el número. Vladyka pensó que eran, como máximo, unos cuantos sacos, pero calculó mal. Es fácil ver que para los 64 cuadrados del tablero de ajedrez el inventor debería haber recibido (2 64 - 1) grano, que se expresa como un número de 20 dígitos; incluso si se sembrara toda la superficie de la Tierra, se necesitarían al menos 8 años para recolectar la cantidad requerida de granos. Esta leyenda a veces se interpreta como una referencia a las posibilidades casi ilimitadas que se esconden en el juego de ajedrez.
El hecho de que este número sea realmente de 20 dígitos es fácil de ver:
2 64 \u003d 2 4 ∙ (2 10) 6 \u003d 16 1024 6 ≈ 16 1000 6 \u003d 1.6 10 19 (un cálculo más preciso da 1.84 10 19). Pero me pregunto si puedes averiguar con qué dígito termina este número.
Una progresión geométrica es creciente si el denominador es mayor que 1 en valor absoluto, o decreciente si es menor que uno. En el último caso, el número q n puede volverse arbitrariamente pequeño para n suficientemente grande. Mientras que un exponencial creciente aumenta inesperadamente rápido, un exponencial decreciente disminuye con la misma rapidez.
Cuanto mayor sea n, más débil será el número q n difiere de cero, y más cerca será la suma de n miembros de la progresión geométrica S n \u003d b 1 (1 - q n) / (1 - q) al número S \u003d b 1 / (1 - q) . (Así razonó, por ejemplo, F. Viet). El número S se llama la suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente. Sin embargo, durante muchos siglos la cuestión de cuál es el significado de la sumatoria de TODA la progresión geométrica, con su infinito número de términos, no fue lo suficientemente clara para los matemáticos.
Se puede ver una progresión geométrica decreciente, por ejemplo, en las aporías de Zenón "Morder" y "Aquiles y la tortuga". En el primer caso, se muestra claramente que todo el camino (suponiendo longitud 1) es la suma de un número infinito de segmentos 1/2, 1/4, 1/8, etc. Así, por supuesto, es como es desde el punto de vista de las ideas sobre la progresión geométrica infinita de suma finita. Y sin embargo, ¿cómo puede ser esto?
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Arroz. 2. Progresión con un factor de 1/2 |
En la aporía de Aquiles, la situación es un poco más complicada, porque aquí el denominador de la progresión no es igual a 1/2, sino a algún otro número. Supongamos, por ejemplo, que Aquiles corre con velocidad v, la tortuga se mueve con velocidad u y la distancia inicial entre ellos es l. Aquiles recorrerá esta distancia en el tiempo l/v, la tortuga recorrerá una distancia lu/v durante este tiempo. Cuando Aquiles recorre este segmento, la distancia entre él y la tortuga será igual a l (u / v) 2, etc. Resulta que alcanzar a la tortuga significa encontrar la suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente con la primera término l y el denominador u/v. Esta suma, el segmento que eventualmente recorrerá Aquiles hasta el punto de encuentro con la tortuga, es igual a l/(1 - u/v) = lv/(v - u) . Pero, nuevamente, cómo se debe interpretar este resultado y por qué tiene algún sentido, no estuvo muy claro durante mucho tiempo.
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Arroz. 3. Progresión geométrica con coeficiente 2/3 |
Arquímedes utilizó la suma de una progresión geométrica para determinar el área de un segmento de una parábola. Sea el segmento dado de la parábola delimitado por la cuerda AB y sea la tangente en el punto D de la parábola paralela a AB. Sea C el punto medio de AB , E el punto medio de AC , F el punto medio de CB . Dibujar líneas paralelas a DC a través de los puntos A , E , F , B ; Sea la tangente dibujada en el punto D, estas líneas se cortan en los puntos K, L, M, N. Dibujemos también los segmentos AD y DB. Sea la recta EL cortada a la recta AD en el punto G ya la parábola en el punto H; la recta FM corta a la recta DB en el punto Q y a la parábola en el punto R. Según la teoría general de las secciones cónicas, DC es el diámetro de una parábola (es decir, un segmento paralelo a su eje); él y la tangente en el punto D pueden servir como ejes de coordenadas x e y, en los que la ecuación de la parábola se escribe como y 2 \u003d 2px (x es la distancia desde D a cualquier punto de un diámetro dado, y es la longitud de un segmento paralelo a una tangente dada desde este punto de diámetro hasta algún punto de la parábola misma).
En virtud de la ecuación de la parábola, DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH , DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA , y como DK = 2DL , entonces KA = 4LH . Como KA = 2LG, LH = HG. El área del segmento ADB de la parábola es igual al área del triángulo ΔADB y las áreas de los segmentos AHD y DRB combinados. A su vez, el área del segmento AHD es igualmente igual al área del triángulo AHD y los segmentos restantes AH y HD, con cada uno de los cuales se puede realizar la misma operación: dividir en un triángulo (Δ) y los dos segmentos restantes (), etc.:
El área del triángulo ΔAHD es igual a la mitad del área del triángulo ΔALD (tienen una base común AD y las alturas difieren en 2 veces), que, a su vez, es igual a la mitad del área de el triángulo ΔAKD, y por lo tanto la mitad del área del triángulo ΔACD. Así, el área del triángulo ΔAHD es igual a la cuarta parte del área del triángulo ΔACD. Asimismo, el área del triángulo ΔDRB es igual a la cuarta parte del área del triángulo ΔDFB. Entonces, las áreas de los triángulos ∆AHD y ∆DRB, juntas, son iguales a la cuarta parte del área del triángulo ∆ADB. Repitiendo esta operación aplicada a los segmentos AH, HD, DR y RB, también se seleccionarán triángulos de ellos, cuyo área, en conjunto, será 4 veces menor que el área de los triángulos ΔAHD y ΔDRB, en conjunto, y por lo tanto 16 veces menor, que el área del triángulo ΔADB. Etc:
Así, Arquímedes demostró que "todo segmento encerrado entre una línea recta y una parábola es cuatro tercios de un triángulo, teniendo con él la misma base e igual altura".
La fórmula para el n-ésimo miembro de una progresión geométrica es algo muy simple. Tanto en significado como en general. Pero hay todo tipo de problemas para la fórmula del n-ésimo miembro, desde muy primitivos hasta bastante serios. Y en el proceso de nuestro conocimiento, definitivamente los consideraremos a ambos. Bueno, ¿nos vemos?)
Entonces, para empezar, en realidad fórmulanorte
Aqui esta ella:
segundo norte = b 1 · q norte -1
Fórmula como fórmula, nada sobrenatural. Parece aún más simple y compacto que la fórmula similar para . El significado de la fórmula también es simple, como una bota de fieltro.
Esta fórmula le permite encontrar CUALQUIER miembro de una progresión geométrica POR SU NÚMERO " norte".
Como puedes ver, el significado es una completa analogía con una progresión aritmética. Conocemos el número n; también podemos calcular el término bajo este número. Lo que nosotros queremos. No multiplicando secuencialmente por "q" muchas, muchas veces. Ese es todo el punto.)
Entiendo que a este nivel de trabajo con progresiones, todas las cantidades incluidas en la fórmula ya te deben quedar claras, pero considero mi deber descifrar cada una. Por si acaso.
Entonces vamos:
b 1 – primero miembro de una progresión geométrica;
q – ;
norte- número de miembro;
segundo norte – enésimo (norteth) miembro de una progresión geométrica.
Esta fórmula vincula los cuatro parámetros principales de cualquier progresión geométrica: bnorte, b 1 , q y norte. Y alrededor de estas cuatro figuras clave, giran todas las tareas en progresión.
"¿Y cómo se muestra?"- Escucho una pregunta curiosa... ¡Elemental! ¡Mirar!
que es igual a segundo miembro de progresión? ¡No hay problema! Escribimos directamente:
segundo 2 = segundo 1 q
¿Y el tercer miembro? ¡Tampoco hay problema! Multiplicamos el segundo término de nuevo enq.
Me gusta esto:
segundo 3 \u003d segundo 2 q
Recuerda ahora que el segundo término, a su vez, es igual a b 1 q y sustituye esta expresión en nuestra igualdad:
segundo 3 = segundo 2 q = (segundo 1 q) q = segundo 1 q q = segundo 1 q 2
Obtenemos:
B 3 = segundo 1 q 2
Ahora leamos nuestra entrada en ruso: El tercero término es igual al primer término multiplicado por q en segundo grado. ¿Lo entiendes? ¿Todavía no? Bien, un paso más.
¿Cuál es el cuarto término? ¡Todos iguales! Multiplicar anterior(es decir, el tercer término) en q:
segundo 4 \u003d segundo 3 q \u003d (segundo 1 q 2) q \u003d segundo 1 q 2 q \u003d segundo 1 q 3
Total:
B 4 = segundo 1 q 3
Y nuevamente traducimos al ruso: cuatro término es igual al primer término multiplicado por q en tercera grado.
Etc. ¿Así que cómo? ¿Captaste el patrón? ¡Sí! Para cualquier término con cualquier número, el número de factores iguales q (es decir, la potencia del denominador) siempre será uno menos que el número del miembro deseadonorte.
Por tanto, nuestra fórmula será, sin opciones:
segundo norte =b 1 · q norte -1
Eso es todo.)
Bueno, resolvamos los problemas, ¿de acuerdo?)
Resolver problemas en una fórmulanorteth término de una progresión geométrica.
Comencemos, como de costumbre, con una aplicación directa de la fórmula. Aquí hay un problema típico:
Se sabe exponencialmente que b 1 = 512 y q = -1/2. Encuentre el décimo término de la progresión.
Por supuesto, este problema se puede resolver sin ninguna fórmula. Como una progresión geométrica. Pero necesitamos entrar en calor con la fórmula del término n, ¿no? Aquí estamos rompiendo.
Nuestros datos para aplicar la fórmula son los siguientes.
El primer término es conocido. Este es el 512.
b 1 = 512.
También se conoce el denominador de la progresión: q = -1/2.
Solo queda averiguar a qué es igual el número del término n. ¡No hay problema! ¿Nos interesa el décimo término? Así que sustituimos diez en lugar de n en la fórmula general.
Y calcula cuidadosamente la aritmética:
Respuesta 1
Como puedes ver, el décimo término de la progresión resultó ser con menos. No es de extrañar: el denominador de la progresión es -1/2, es decir, negativo número. Y esto nos dice que los signos de nuestra progresión se alternan, sí.)
Todo es simple aquí. Y aquí hay un problema similar, pero un poco más complicado en términos de cálculos.
En progresión geométrica, sabemos que:
b 1 = 3
Encuentre el decimotercer término de la progresión.
Todo es igual, solo que esta vez el denominador de la progresión - irracional. Raíz de dos. Bueno, no es gran cosa. La fórmula es algo universal, se adapta a cualquier número.
Trabajamos directamente según la fórmula:
La fórmula, por supuesto, funcionó como debería, pero... aquí es donde algunos colgarán. ¿Qué hacer a continuación con la raíz? ¿Cómo elevar una raíz a la duodécima potencia?
Cómo, cómo ... Debe comprender que cualquier fórmula, por supuesto, es algo bueno, ¡pero el conocimiento de todas las matemáticas anteriores no se cancela! ¿Cómo criar? ¡Sí, recuerda las propiedades de los grados! Cambiemos la raíz a grado fraccionario y - por la fórmula de elevar una potencia a una potencia.
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Respuesta: 192
y todas las cosas).
¿Cuál es la principal dificultad en la aplicación directa de la fórmula del n-ésimo término? ¡Sí! La principal dificultad es trabajar con grados! A saber, la exponenciación de números negativos, fracciones, raíces y construcciones similares. Entonces, aquellos que tengan problemas con esto, ¡una solicitud urgente para repetir los grados y sus propiedades! De lo contrario, disminuirá la velocidad en este tema, sí ...)
Ahora resolvamos problemas típicos de búsqueda uno de los elementos de la formula si todos los demás están dados. Para la solución exitosa de tales problemas, la receta es única y simple para el horror: escribir la fórmulanorteth miembro en general! Justo en el cuaderno junto a la condición. Y luego, a partir de la condición, averiguamos qué se nos da y qué no es suficiente. Y expresamos el valor deseado de la fórmula. ¡Todo!
Por ejemplo, un problema tan inofensivo.
El quinto término de una progresión geométrica con denominador 3 es 567. Encuentra el primer término de esta progresión.
Nada complicado. Trabajamos directamente según el hechizo.
¡Escribimos la fórmula del término n!
segundo norte = b 1 · q norte -1
¿Qué se nos da? Primero, se da el denominador de la progresión: q = 3.
Además, se nos da quinto miembro: b 5 = 567 .
¿Todo? ¡No! ¡También nos dan el número n! Este es un cinco: n = 5.
Espero que ya entiendas lo que hay en el registro. b 5 = 567 dos parámetros están ocultos a la vez: este es el quinto miembro (567) y su número (5). En una lección similar ya hablé sobre esto, pero creo que no está de más recordarlo aquí).
Ahora sustituimos nuestros datos en la fórmula:
567 = b 1 3 5-1
Consideramos aritmética, simplificamos y obtenemos una ecuación lineal simple:
81 b 1 = 567
Resolvemos y obtenemos:
b 1 = 7
Como puede ver, no hay problemas para encontrar el primer miembro. Pero al buscar el denominador q y numeros norte puede haber sorpresas. Y también debes estar preparado para ellos (sorpresas), sí).
Por ejemplo, tal problema:
El quinto término de una progresión geométrica con denominador positivo es 162, y el primer término de esta progresión es 2. Encuentra el denominador de la progresión.
Esta vez se nos dan los miembros primero y quinto, y se nos pide encontrar el denominador de la progresión. Aquí empezamos.
Escribimos la fórmulanortemiembro!
segundo norte = b 1 · q norte -1
Nuestros datos iniciales serán los siguientes:
b 5 = 162
b 1 = 2
norte = 5
No hay suficiente valor q. ¡No hay problema! Encontrémoslo ahora.) Sustituimos todo lo que sabemos en la fórmula.
Obtenemos:
162 = 2q 5-1
2 q 4 = 162
q 4 = 81
Una ecuación simple de cuarto grado. Pero ahora - ¡cuidadosamente! En esta etapa de la solución, muchos estudiantes inmediatamente extraen con alegría la raíz (de cuarto grado) y obtienen la respuesta q=3 .
Me gusta esto:
q4 = 81
q = 3
Pero en general, esta es una respuesta inconclusa. O mejor dicho, incompleto. ¿Por qué? El punto es que la respuesta q = -3 también cabe: (-3) 4 también sería 81!
Esto se debe a que la ecuación de potencia x norte = un siempre ha dos raíces opuestas en inclusonorte . Más y menos:
Ambos encajan.
Por ejemplo, resolver (es decir, segundo grados)
x2 = 9
Por alguna razón no te sorprende la apariencia. dos raíces x=±3? Es lo mismo aqui. y con cualquier otro incluso grado (cuarto, sexto, décimo, etc.) será el mismo. Detalles - en el tema sobre
Entonces la solución correcta sería:
q 4 = 81
q= ±3
Bien, tenemos las señales resueltas. ¿Cuál es la correcta, más o menos? Bueno, volvemos a leer la condición del problema en busca de información adicional. Por supuesto, puede que no exista, pero en este problema tal información disponible. En nuestra condición, se afirma directamente que se da una progresión con denominador positivo.
Así que la respuesta es obvia:
q = 3
Todo es simple aquí. ¿Qué crees que pasaría si el enunciado del problema fuera así?
El quinto término de una progresión geométrica es 162 y el primer término de esta progresión es 2. Encuentra el denominador de la progresión.
¿Cual es la diferencia? ¡Sí! en la condición ninguna cosa sin mención del denominador. Ni directa ni indirectamente. Y aquí el problema ya tendría dos soluciones!
q = 3 y q = -3
¡Sí Sí! Y con más y menos.) Matemáticamente, este hecho significaría que hay dos progresiones que se ajusten a la tarea. Y para cada uno, su propio denominador. Para divertirse, practique y escriba los primeros cinco términos de cada uno).
Ahora vamos a practicar para encontrar el número de miembro. Este es el más difícil, sí. Pero también más creativo.
Dada una progresión geométrica:
3; 6; 12; 24; …
¿Qué número es 768 en esta progresión?
El primer paso es el mismo: escribir la fórmulanortemiembro!
segundo norte = b 1 · q norte -1
Y ahora, como de costumbre, reemplazamos los datos que conocemos. Hm... ¡no encaja! ¿Dónde está el primer miembro, dónde está el denominador, dónde está todo lo demás?
Dónde, dónde... ¿Por qué necesitamos ojos? ¿Pestañas aleteando? Esta vez la progresión se nos da directamente en la forma secuencias.¿Podemos ver el primer término? ¡Vemos! Este es un triple (b 1 = 3). ¿Qué pasa con el denominador? Todavía no lo vemos, pero es muy fácil de contar. Si, por supuesto, usted entiende.
Aquí consideramos. Directamente según el significado de una progresión geométrica: tomamos cualquiera de sus miembros (excepto el primero) y lo dividimos por el anterior.
Al menos así:
q = 24/12 = 2
¿Qué más sabemos? También conocemos algún miembro de esta progresión, igual a 768. Bajo algún número n:
segundo norte = 768
No sabemos su número, pero nuestra tarea es precisamente encontrarlo). Así que estamos buscando. Ya hemos descargado todos los datos necesarios para la sustitución en la fórmula. imperceptiblemente.)
Aquí sustituimos:
768 = 3 2norte -1
Hacemos elementales: dividimos ambas partes por tres y reescribimos la ecuación en la forma habitual: lo desconocido a la izquierda, lo conocido a la derecha.
Obtenemos:
2 norte -1 = 256
Aquí hay una ecuación interesante. Necesitamos encontrar "n". ¿Qué es inusual? Sí, no discuto. En realidad, es el más simple. Se llama así porque la incógnita (en este caso, es el número norte) se encuentra en indicador grado.
En la etapa de familiarización con una progresión geométrica (este es el noveno grado), no se enseña a resolver ecuaciones exponenciales, sí ... Este es un tema para la escuela secundaria. Pero no hay nada terrible. Incluso si no sabe cómo se resuelven tales ecuaciones, tratemos de encontrar nuestro norte guiada por la lógica simple y el sentido común.
Empezamos a discutir. A la izquierda tenemos un deuce hasta cierto punto. Todavía no sabemos qué es exactamente este grado, pero esto no da miedo. ¡Pero por otro lado, sabemos firmemente que este grado es igual a 256! Entonces recordemos hasta qué punto el dos nos da 256. ¿Recuerdas? ¡Sí! EN octavo grados!
256 = 2 8
Si no recordaste o con el reconocimiento de los grados del problema, entonces también está bien: elevamos sucesivamente los dos al cuadrado, al cubo, a la cuarta potencia, a la quinta, y así sucesivamente. La selección, de hecho, pero a este nivel, es todo un paseo.
De una forma u otra, obtendremos:
2 norte -1 = 2 8
norte-1 = 8
norte = 9
Entonces 768 es noveno miembro de nuestra progresión. Eso es todo, problema resuelto.)
Respuesta: 9
¿Qué? ¿Aburrido? ¿Cansado de la primaria? Estoy de acuerdo. Yo también. Pasemos al siguiente nivel.)
Tareas más complejas.
Y ahora resolvemos los acertijos más abruptamente. No es exactamente genial, pero en el que tienes que trabajar un poco para llegar a la respuesta.
Por ejemplo, así.
Encuentra el segundo término de una progresión geométrica si su cuarto término es -24 y el séptimo término es 192.
Este es un clásico del género. Se conocen dos miembros diferentes de la progresión, pero se debe encontrar un miembro más. Además, todos los miembros NO son vecinos. Lo que confunde al principio, sí...
Como en , consideramos dos métodos para resolver tales problemas. La primera forma es universal. Algebraico. Funciona perfectamente con cualquier fuente de datos. Así que ahí es donde vamos a empezar.)
Pintamos cada término según la fórmula nortemiembro!
Todo es exactamente igual que con una progresión aritmética. Solo que esta vez estamos trabajando con otro formula general. Eso es todo.) Pero la esencia es la misma: tomamos y Sucesivamente sustituimos nuestros datos iniciales en la fórmula del n-ésimo término. Para cada miembro - el suyo propio.
Para el cuarto término escribimos:
b 4 = b 1 · q 3
-24 = b 1 · q 3
Hay. Una ecuación está completa.
Para el séptimo término escribimos:
b 7 = b 1 · q 6
192 = b 1 · q 6
En total, se obtuvieron dos ecuaciones para la misma progresión .
Montamos un sistema a partir de ellos:
A pesar de su formidable apariencia, el sistema es bastante simple. La forma más obvia de resolver es la sustitución habitual. expresamos b 1 de la ecuación superior y sustituir en la inferior:
Jugando un poco con la ecuación inferior (reduciendo los exponentes y dividiendo por -24) se obtiene:
q 3 = -8
Por cierto, ¡se puede llegar a la misma ecuación de una manera más simple! ¿Qué? Ahora les mostraré otra forma secreta, pero muy hermosa, poderosa y útil de resolver tales sistemas. Tales sistemas, en cuyas ecuaciones se asientan solo funciona Al menos en uno. llamado método de división de términos una ecuación a otra.
Entonces tenemos un sistema:
En ambas ecuaciones de la izquierda - trabaja, y a la derecha hay solo un número. Esta es una muy buena señal.) ¡Tomemos y ... dividamos, digamos, la ecuación inferior por la superior! Que significa, dividir una ecuacion por otra? Muy simple. Nosotros tomamos lado izquierdo una ecuación (inferior) y dividimos ella en lado izquierdo otra ecuación (superior). El lado derecho es similar: lado derecho una ecuacion dividimos sobre el lado derecho otro.
Todo el proceso de división se ve así:
Ahora, reduciendo todo lo que se reduce, obtenemos:
q 3 = -8
¿Qué tiene de bueno este método? ¡Sí, porque en el proceso de tal división, todo lo malo e inconveniente se puede reducir de manera segura y queda una ecuación completamente inofensiva! Por eso es tan importante tener solo multiplicaciones en al menos una de las ecuaciones del sistema. No hay multiplicación, no hay nada que reducir, sí...
En general, este método (como muchas otras formas no triviales de resolver sistemas) incluso merece una lección aparte. Definitivamente lo miraré más de cerca. Algún día…
Sin embargo, no importa cómo resuelva el sistema, en cualquier caso, ahora necesitamos resolver la ecuación resultante:
q 3 = -8
No hay problema: extraemos la raíz (cúbica) y ¡listo!
Tenga en cuenta que no es necesario poner más / menos aquí al extraer. Tenemos una raíz de tercer grado impar. Y la respuesta es la misma, sí.
Entonces, se encuentra el denominador de la progresión. menos dos ¡Bien! El proceso está en marcha.)
Para el primer término (digamos de la ecuación superior) obtenemos:
¡Bien! Conocemos el primer término, conocemos el denominador. Y ahora tenemos la oportunidad de encontrar a cualquier miembro de la progresión. Incluido el segundo).
Para el segundo miembro, todo es bastante simple:
b 2 = b 1 · q= 3 (-2) = -6
Respuesta: -6
Entonces, hemos resuelto la forma algebraica de resolver el problema. ¿Complicado? No mucho, estoy de acuerdo. ¿Largo y aburrido? Sí definitivamente. Pero a veces puede reducir significativamente la cantidad de trabajo. Para esto hay manera gráfica. Bueno viejo y familiar para nosotros por .)
¡Dibujemos el problema!
¡Sí! Exactamente. Una vez más representamos nuestra progresión en el eje numérico. No necesariamente por una regla, no es necesario mantener intervalos iguales entre miembros (que, por cierto, ¡no serán iguales, porque la progresión es geométrica!), sino simplemente esquemáticamente dibujar nuestra secuencia.
Lo tengo así:
Ahora mira la imagen y piensa. ¿Cuántos factores iguales "q" comparten cuatro y séptimo miembros? ¡Así es, tres!
Por lo tanto, tenemos todo el derecho de escribir:
-24q 3 = 192
Desde aquí ahora es fácil encontrar q:
q 3 = -8
q = -2
Eso es genial, el denominador ya está en nuestro bolsillo. Y ahora volvemos a mirar la imagen: ¿cuántos denominadores de este tipo se encuentran entre segundo y cuatro miembros? ¡Dos! Por lo tanto, para registrar la conexión entre estos miembros, elevaremos el denominador al cuadrado.
Aquí escribimos:
b 2 · q 2 = -24 , donde b 2 = -24/ q 2
Sustituimos nuestro denominador encontrado en la expresión para b 2 , contamos y obtenemos:
Respuesta: -6
Como puede ver, todo es mucho más simple y rápido que a través del sistema. ¡Además, aquí ni siquiera necesitábamos contar el primer término! En absoluto.)
Aquí hay una luz de camino tan simple y visual. Pero también tiene un serio inconveniente. ¿Adivinado? ¡Sí! Solo es bueno para piezas muy cortas de progresión. Aquellos donde las distancias entre los miembros que nos interesan no son muy grandes. Pero en todos los demás casos ya es difícil dibujar una imagen, sí ... Entonces resolvemos el problema analíticamente, a través de un sistema). Y los sistemas son algo universal. Trato con cualquier número.
Otra épica:
El segundo término de la progresión geométrica es 10 más que el primero, y el tercer término es 30 más que el segundo. Encuentre el denominador de la progresión.
¿Qué es genial? ¡De nada! Todos iguales. Volvemos a traducir la condición del problema a álgebra pura.
1) Pintamos cada término según la fórmula nortemiembro!
Segundo término: b 2 = b 1 q
Tercer término: b 3 \u003d b 1 q 2
2) Anotamos la relación entre los miembros a partir de la condición del problema.
Leyendo la condición: "El segundo término de una progresión geométrica es 10 más que el primero".¡Detente, esto es valioso!
Entonces escribimos:
b 2 = b 1 +10
Y traducimos esta frase a pura matemática:
b 3 = b 2 +30
Tenemos dos ecuaciones. Los combinamos en un sistema:
El sistema parece simple. Pero hay muchos índices diferentes para las letras. ¡Sustituyamos en lugar del segundo y tercer miembro de su expresión por el primer miembro y denominador! ¿En vano, o qué, los pintamos?
Obtenemos:
Pero tal sistema ya no es un regalo, sí... ¿Cómo solucionar esto? Desafortunadamente, el hechizo secreto universal para resolver complejos no lineal No hay sistemas en matemáticas y no puede haberlos. ¡Es fantástico! Pero lo primero que debe venir a su mente al tratar de romper una nuez tan dura es averiguar Pero, ¿no se reduce una de las ecuaciones del sistema a una forma hermosa, que facilita, por ejemplo, expresar una de las variables en términos de otra?
Adivinemos. La primera ecuación del sistema es claramente más simple que la segunda. Lo torturaremos.) ¿Por qué no intentar desde la primera ecuación? algo expresar a través ¿algo? Como queremos encontrar el denominador q, entonces sería más ventajoso para nosotros expresar b 1 a través de q.
Así que intentemos hacer este procedimiento con la primera ecuación, usando las buenas y antiguas:
segundo 1 q = segundo 1 +10
segundo 1 q - segundo 1 \u003d 10
b 1 (q-1) = 10
¡Todo! Aquí hemos expresado innecesario nosotros la variable (b 1) a través de necesario(q). Sí, no es la expresión más simple recibida. Algún tipo de fracción ... Pero nuestro sistema es de un nivel decente, sí).
Típico. Qué hacer, lo sabemos.
Escribimos ODZ (¡necesariamente!) :
q ≠ 1
Multiplicamos todo por el denominador (q-1) y reducimos todas las fracciones:
10 q 2 = 10 q + 30(q-1)
Dividimos todo por diez, abrimos los corchetes, recogemos todo a la izquierda:
q 2 – 4 q + 3 = 0
Resolvemos la resultante y obtenemos dos raíces:
q 1 = 1
q 2 = 3
Solo hay una respuesta final: q = 3 .
Respuesta: 3
Como puedes ver, la forma de resolver la mayoría de los problemas para la fórmula del n-ésimo miembro de una progresión geométrica es siempre la misma: leemos atentamente condición del problema y, usando la fórmula del término n, traducimos toda la información útil en álgebra pura.
A saber:
1) Escribimos por separado cada miembro dado en el problema según la fórmulanortemiembro.
2) A partir de la condición del problema, traducimos la conexión entre los miembros a una forma matemática. Componemos una ecuación o un sistema de ecuaciones.
3) Resolvemos la ecuación o sistema de ecuaciones resultante, encontramos los parámetros desconocidos de la progresión.
4) En caso de una respuesta ambigua, leemos cuidadosamente la condición del problema en busca de información adicional (si la hay). También verificamos la respuesta recibida con las condiciones de la ODZ (si corresponde).
Y ahora enumeramos los principales problemas que con mayor frecuencia conducen a errores en el proceso de resolución de problemas de progresión geométrica.
1. Aritmética elemental. Operaciones con fracciones y números negativos.
2. Si al menos uno de estos tres puntos es un problema, inevitablemente se equivocará en este tema. Desafortunadamente... Así que no seas perezoso y repite lo que se mencionó anteriormente. Y siga los enlaces - vaya. A veces ayuda.)
Fórmulas modificadas y recurrentes.
Y ahora veamos un par de problemas de examen típicos con una presentación menos familiar de la condición. ¡Sí, sí, lo has adivinado! Este es modificado y recurrente fórmulas del n-ésimo miembro. Ya hemos encontrado tales fórmulas y trabajado en progresión aritmética. Aquí todo es parecido. La esencia es la misma.
Por ejemplo, tal problema de la OGE:
La progresión geométrica viene dada por la fórmula segundo norte = 3 2 norte . Encuentre la suma del primer y cuarto término.
Esta vez la progresión se nos da no del todo como de costumbre. Una especie de fórmula. ¿Así que lo que? Esta fórmula es también una fórmulanortemiembro! Todos sabemos que la fórmula del término n se puede escribir tanto en forma general, mediante letras, como para progresión específica. Con específico primer término y denominador.
En nuestro caso, de hecho, se nos da una fórmula de término general para una progresión geométrica con los siguientes parámetros:
b 1 = 6
q = 2
¿Vamos a comprobar?) Escribamos la fórmula del n-ésimo término en forma general y sustituyamos en ella b 1 y q. Obtenemos:
segundo norte = b 1 · q norte -1
segundo norte= 6 2norte -1
Simplificamos, usando factorización y propiedades de potencia, y obtenemos:
segundo norte= 6 2norte -1 = 3 2 2norte -1 = 3 2norte -1+1 = 3 2norte
Como puedes ver, todo es justo. Pero nuestro objetivo contigo no es demostrar la derivación de una fórmula específica. Esto es así, una digresión lírica. Puramente para entender.) Nuestro objetivo es resolver el problema de acuerdo con la fórmula que se nos da en la condición. ¿Lo captas?) Así que estamos trabajando con la fórmula modificada directamente.
Contamos el primer término. Sustituto norte=1 en la fórmula general:
b 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6
Me gusta esto. Por cierto, no soy demasiado perezoso y una vez más llamaré su atención sobre un error típico con el cálculo del primer término. NO mires la fórmula segundo norte= 3 2norte, ¡apresúrate inmediatamente a escribir que el primer miembro es una troika! Es un gran error, sí...)
Continuamos. Sustituto norte=4 y considere el cuarto término:
b 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48
Y finalmente, calculamos la cantidad requerida:
b 1 + b 4 = 6+48 = 54
Respuesta: 54
Otro problema.
La progresión geométrica viene dada por las condiciones:
b 1 = -7;
segundo norte +1 = 3 segundo norte
Encuentre el cuarto término de la progresión.
Aquí la progresión viene dada por la fórmula recurrente. Bueno esta bien.) Cómo trabajar con esta fórmula - También lo sabemos.
Aquí estamos actuando. Paso a paso.
1) contando dos sucesivo miembro de la progresión.
El primer término ya se nos da. menos siete. Pero el segundo término siguiente se puede calcular fácilmente usando la fórmula recursiva. Si entiendes cómo funciona, por supuesto.)
Aquí consideramos el segundo término según el famoso primero:
b 2 = 3 b 1 = 3 (-7) = -21
2) Consideramos el denominador de la progresión
También no hay problema. Directo, comparte segundo polla en primero.
Obtenemos:
q = -21/(-7) = 3
3) Escribe la fórmulanorteth miembro en la forma habitual y considere el miembro deseado.
Entonces, conocemos el primer término, el denominador también. Aquí escribimos:
segundo norte= -7 3norte -1
b 4 = -7 3 3 = -7 27 = -189
Respuesta: -189
Como puede ver, trabajar con tales fórmulas para una progresión geométrica no es esencialmente diferente de trabajar con una progresión aritmética. Solo es importante comprender la esencia general y el significado de estas fórmulas. Bueno, el significado de la progresión geométrica también debe entenderse, sí). Y entonces no habrá errores estúpidos.
Bueno, ¿vamos a decidir por nuestra cuenta?)
Tareas bastante elementales, para el calentamiento:
1. Dada una progresión geométrica en la que b 1 = 243, y q = -2/3. Encuentre el sexto término de la progresión.
2. El término común de una progresión geométrica viene dado por la fórmula segundo norte = 5∙2 norte +1 . Encuentra el número del último miembro de tres dígitos de esta progresión.
3. La progresión geométrica viene dada por las condiciones:
b 1 = -3;
segundo norte +1 = 6 segundo norte
Encuentre el quinto término de la progresión.
Un poco más complicado:
4. Dada una progresión geométrica:
b 1 =2048; q =-0,5
¿Cuál es el sexto término negativo de la misma?
¿Qué parece súper difícil? De nada. La lógica y la comprensión del significado de la progresión geométrica salvarán. Bueno, la fórmula del enésimo término, por supuesto.
5. El tercer término de la progresión geométrica es -14 y el octavo término es 112. Encuentra el denominador de la progresión.
6. La suma del primer y segundo término de una progresión geométrica es 75, y la suma del segundo y tercer término es 150. Encuentra el sexto término de la progresión.
Respuestas (en desorden): 6; -3888; -uno; 800; -32; 448.
Eso es casi todo. Solo queda aprender a contar. la suma de los primeros n términos de una progresión geométrica si descubrir progresión geométrica infinitamente decreciente y su cantidad. ¡Algo muy interesante e inusual, por cierto! Más sobre eso en lecciones posteriores.)
