La fórmula para encontrar los primeros números de una progresión geométrica. Fórmula del enésimo término de una progresión geométrica

Para comodidad del lector, esta sección sigue exactamente el mismo plan que seguimos en la sección anterior.

1. Conceptos básicos.

Definición. Una sucesión numérica, cuyos miembros son todos distintos de 0 y cada miembro, a partir del segundo, se obtiene del miembro anterior multiplicándolo por el mismo número, se denomina progresión geométrica. En este caso, el número 5 se llama denominador de una progresión geométrica.

Así, una progresión geométrica es una sucesión numérica (b n) dada recursivamente por las relaciones

¿Es posible, observando una secuencia de números, determinar si se trata de una progresión geométrica? Pueden. Si está convencido de que la razón de cualquier miembro de la sucesión al miembro anterior es constante, entonces tiene una progresión geométrica.
Ejemplo 1

1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3.

Ejemplo 2

Esta es una progresión geométrica que
Ejemplo 3

Esta es una progresión geométrica que
Ejemplo 4

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

Esta es una progresión geométrica donde b 1 - 8, q = 1.

Tenga en cuenta que esta secuencia también es una progresión aritmética (consulte el Ejemplo 3 del § 15).

Ejemplo 5

2,-2,2,-2,2,-2.....

Esta es una progresión geométrica, en la que b 1 \u003d 2, q \u003d -1.

Obviamente, una progresión geométrica es una secuencia creciente si b 1 > 0, q > 1 (ver Ejemplo 1), y una secuencia decreciente si b 1 > 0, 0< q < 1 (см. пример 2).

Para indicar que la secuencia (b n) es una progresión geométrica, a veces es conveniente la siguiente notación:

El icono reemplaza la frase "progresión geométrica".
Notamos una propiedad curiosa y al mismo tiempo bastante obvia de una progresión geométrica:
Si la secuencia es una progresión geométrica, entonces la secuencia de cuadrados, es decir es una progresión geométrica.
En la segunda progresión geométrica, el primer término es igual a igual a q 2.
Si descartamos todos los términos que siguen a b n exponencialmente, entonces obtenemos una progresión geométrica finita
En los siguientes párrafos de esta sección, consideraremos las propiedades más importantes de una progresión geométrica.

2. Fórmula del término n-ésimo de una progresión geométrica.

Considere una progresión geométrica denominador q. Tenemos:

No es difícil adivinar que para cualquier número n la igualdad

Esta es la fórmula para el enésimo término de una progresión geométrica.

Comentario.

si has leído nota IMPORTANTE del párrafo anterior y lo entendió, entonces intente probar la fórmula (1) por inducción matemática, tal como se hizo para la fórmula del término n-ésimo de una progresión aritmética.

Reescribamos la fórmula del enésimo término de la progresión geométrica

e introduzca la notación: Obtenemos y \u003d mq 2, o, con más detalle,
El argumento x está contenido en el exponente, por lo que dicha función se llama función exponencial. Esto significa que una progresión geométrica puede considerarse como una función exponencial dada sobre el conjunto N de números naturales. En la fig. 96a muestra un gráfico de la función de la Fig. 966 - gráfico de función En ambos casos, tenemos puntos aislados (con abscisas x = 1, x = 2, x = 3, etc.) que se encuentran en alguna curva (ambas figuras muestran la misma curva, solo que ubicadas de manera diferente y representadas en escalas diferentes). Esta curva se llama exponente. Se discutirá más sobre la función exponencial y su gráfico en el curso de álgebra de grado 11.

Volvamos a los ejemplos 1-5 del párrafo anterior.

1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Esta es una progresión geométrica, en la que b 1 \u003d 1, q \u003d 3. Hagamos una fórmula para el enésimo término
2) Esta es una progresión geométrica, en la que vamos a formular el n-ésimo término

Esta es una progresión geométrica que Componer la fórmula para el n-ésimo término
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Esta es una progresión geométrica, en la que b 1 \u003d 8, q \u003d 1. Hagamos una fórmula para el enésimo término
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Esta es una progresión geométrica, en la que b 1 = 2, q = -1. Componer la fórmula para el n-ésimo término

Ejemplo 6

Dada una progresión geométrica

En todos los casos, la solución se basa en la fórmula del n-ésimo miembro de una progresión geométrica

a) Poniendo n = 6 en la fórmula del n-ésimo término de la progresión geométrica, obtenemos

b) tenemos

Como 512 \u003d 2 9, obtenemos n - 1 \u003d 9, n \u003d 10.

d) tenemos

Ejemplo 7

La diferencia entre los miembros séptimo y quinto de la progresión geométrica es 48, la suma de los miembros quinto y sexto de la progresión también es 48. Encuentra el duodécimo miembro de esta progresión.

Primera etapa. Elaboración de un modelo matemático.

Las condiciones de la tarea se pueden escribir brevemente de la siguiente manera:

Usando la fórmula del n-ésimo miembro de una progresión geométrica, obtenemos:
Entonces la segunda condición del problema (b 7 - b 5 = 48) se puede escribir como

La tercera condición del problema (b 5 +b 6 = 48) se puede escribir como

Como resultado, obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos variables b 1 y q:

que, en combinación con la condición 1) escrita anteriormente, es el modelo matemático del problema.

Segunda fase.

Trabajando con el modelo compilado. Igualando las partes izquierdas de ambas ecuaciones del sistema, obtenemos:

(Hemos dividido ambos lados de la ecuación en la expresión b 1 q 4 , que es diferente de cero).

De la ecuación q 2 - q - 2 = 0 encontramos q 1 = 2, q 2 = -1. Sustituyendo el valor q = 2 en la segunda ecuación del sistema, obtenemos
Sustituyendo el valor q = -1 en la segunda ecuación del sistema, obtenemos b 1 1 0 = 48; esta ecuación no tiene soluciones.

Entonces, b 1 \u003d 1, q \u003d 2: este par es la solución al sistema de ecuaciones compilado.

Ahora podemos escribir la progresión geométrica en cuestión: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .

Tercera etapa.

La respuesta a la pregunta del problema. Se requiere calcular b 12 . Tenemos

Respuesta: b 12 = 2048.

3. La fórmula de la suma de los miembros de una progresión geométrica finita.

Sea una progresión geométrica finita

Denotar por S n la suma de sus términos, i.e.

Vamos a derivar una fórmula para encontrar esta suma.

Comencemos con el caso más simple, cuando q = 1. Entonces la progresión geométrica b 1 ,b 2 , b 3 ,..., bn consta de n números iguales a b 1 , es decir la progresión es b 1 , b 2 , b 3 , ..., b 4 . La suma de estos números es nb 1 .

Sea ahora q = 1 Para encontrar S n usamos un método artificial: realicemos algunas transformaciones de la expresión S n q. Tenemos:

Realizando transformaciones, en primer lugar, utilizamos la definición de una progresión geométrica, según la cual (ver la tercera línea de razonamiento); en segundo lugar, sumaron y restaron por qué el significado de la expresión, por supuesto, no cambió (ver la cuarta línea de razonamiento); en tercer lugar, usamos la fórmula del n-ésimo miembro de una progresión geométrica:

De la fórmula (1) encontramos:

Esta es la fórmula para la suma de n miembros de una progresión geométrica (para el caso cuando q = 1).

Ejemplo 8

Dada una progresión geométrica finita

a) la suma de los miembros de la progresión; b) la suma de los cuadrados de sus miembros.

b) Arriba (ver p. 132) ya hemos señalado que si todos los miembros de una progresión geométrica se elevan al cuadrado, entonces se obtendrá una progresión geométrica con el primer miembro b 2 y el denominador q 2. Entonces la suma de los seis términos de la nueva progresión será calculada por

Ejemplo 9

Encuentre el octavo término de una progresión geométrica para la cual

De hecho, hemos probado el siguiente teorema.

Una sucesión numérica es una progresión geométrica si y solo si el cuadrado de cada uno de sus términos, excepto el primero (y el último, en el caso de una sucesión finita), es igual al producto de los términos anterior y posterior (una propiedad característica de una progresión geométrica).

La progresión geométrica, junto con la aritmética, es importante serie numérica, que se estudia en el curso de álgebra escolar en el grado 9. En este artículo, consideraremos el denominador de una progresión geométrica y cómo su valor afecta sus propiedades.

Definición de progresión geométrica

Primero, definamos esto serie de números. Una progresión geométrica es una serie. numeros racionales, que se forma multiplicando secuencialmente su primer elemento por un número constante llamado denominador.

Por ejemplo, los números de la serie 3, 6, 12, 24,... son una progresión geométrica, porque si multiplicamos 3 (el primer elemento) por 2, obtenemos 6. Si multiplicamos 6 por 2, obtenemos 12, y así sucesivamente.

Los miembros de la secuencia bajo consideración generalmente se denotan con el símbolo ai, donde i es un número entero que indica el número del elemento en la serie.

La definición anterior de una progresión se puede escribir en el lenguaje matemático de la siguiente manera: an = bn-1 * a1, donde b es el denominador. Es fácil verificar esta fórmula: si n = 1, entonces b1-1 = 1, y obtenemos a1 = a1. Si n = 2, entonces an = b * a1, y nuevamente llegamos a la definición de la serie de números bajo consideración. Se puede continuar con un razonamiento similar para valores grandes norte.

El denominador de una progresión geométrica.

El número b determina completamente qué carácter tendrá toda la serie numérica. El denominador b puede ser positivo, negativo, mayor o menor que uno. Todas las opciones anteriores conducen a diferentes secuencias:

b > 1. Hay una serie creciente de números racionales. Por ejemplo, 1, 2, 4, 8, ... Si el elemento a1 es negativo, toda la secuencia aumentará solo en módulo, pero disminuirá teniendo en cuenta el signo de los números.
b = 1. A menudo, este caso no se denomina progresión, ya que fila regular los mismos números racionales. Por ejemplo, -4, -4, -4.

fórmula para la suma

Antes de proceder a la consideración de problemas específicos usando el denominador del tipo de progresión bajo consideración, se debe dar una fórmula importante para la suma de sus primeros n elementos. La fórmula es: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Puede obtener esta expresión usted mismo si considera una secuencia recursiva de miembros de la progresión. También tenga en cuenta que en la fórmula anterior, es suficiente conocer solo el primer elemento y el denominador para encontrar la suma de un número arbitrario de términos.

Secuencia infinitamente decreciente

Arriba había una explicación de lo que es. Ahora, conociendo la fórmula de Sn, apliquémosla a esta serie de números. Dado que cualquier número cuyo módulo no exceda de 1 tiende a cero cuando se eleva a grandes potencias, es decir, b∞ => 0 si -1

Dado que la diferencia (1 - b) siempre será positiva, independientemente del valor del denominador, el signo de la suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente S∞ está determinado únicamente por el signo de su primer elemento a1.

Ahora consideraremos varios problemas, donde mostraremos cómo aplicar el conocimiento adquirido a números específicos.

Tarea número 1. Cálculo de elementos desconocidos de la progresión y la suma.

Dada una progresión geométrica, el denominador de la progresión es 2, y su primer elemento es 3. ¿Cuáles serán sus términos 7 y 10, y cuál es la suma de sus siete elementos iniciales?

La condición del problema es bastante simple e implica el uso directo de las fórmulas anteriores. Entonces, para calcular el elemento de número n, usamos la expresión an = bn-1 * a1. Para el 7º elemento tenemos: a7 = b6 * a1, sustituyendo los datos conocidos, obtenemos: a7 = 26 * 3 = 192. Hacemos lo mismo para el 10º miembro: a10 = 29 * 3 = 1536.

Usamos la conocida fórmula de la suma y determinamos este valor para los primeros 7 elementos de la serie. Tenemos: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Tarea número 2. Determinar la suma de elementos arbitrarios de la progresión.

Sea -2 el denominador de la progresión exponencial bn-1 * 4, donde n es un número entero. Es necesario determinar la suma del 5° al 10° elemento de esta serie, inclusive.

El problema planteado no puede resolverse directamente utilizando fórmulas conocidas. Puedes resolverlo con 2 varios métodos. En aras de la exhaustividad, presentamos ambos.

Método 1. Su idea es simple: debe calcular las dos sumas correspondientes de los primeros términos y luego restar el otro de uno. Calcula la suma menor: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Ahora calculamos la gran suma: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Tenga en cuenta que en última expresión solo se sumaron 4 términos, ya que el 5º ya está incluido en la suma que hay que calcular según la condición del problema. Finalmente, sacamos la diferencia: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Método 2. Antes de sustituir números y contar, puedes obtener una fórmula para la suma entre los términos m y n de la serie en cuestión. Actuamos exactamente de la misma manera que en el método 1, solo que trabajamos primero con la representación simbólica de la suma. Tenemos: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Puede sustituir números conocidos en la expresión resultante y calcular el resultado final: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Tarea número 3. ¿Cuál es el denominador?

Sea a1 = 2, encuentre el denominador de la progresión geométrica, siempre que su suma infinita sea 3, y se sepa que esta es una serie decreciente de números.

De acuerdo con la condición del problema, no es difícil adivinar qué fórmula se debe utilizar para resolverlo. Por supuesto, por la suma de una progresión infinitamente decreciente. Tenemos: S∞ = a1 / (1 - b). De donde expresamos el denominador: b = 1 - a1 / S∞. Queda por sustituir valores conocidos y obtenga el número requerido: b = 1 - 2/3 = -1/3 o -0.333(3). Este resultado lo podemos comprobar cualitativamente si recordamos que para este tipo de sucesiones el módulo b no debe ir más allá de 1. Como ves, |-1 / 3|

Tarea número 4. Restaurar una serie de números.

Sean dados 2 elementos de una serie numérica, por ejemplo, el 5º es igual a 30 y el 10º es igual a 60. Es necesario restituir toda la serie a partir de estos datos, sabiendo que cumple las propiedades de una progresión geométrica.

Para resolver el problema, primero debes escribir la expresión correspondiente para cada miembro conocido. Tenemos: a5 = b4 * a1 y a10 = b9 * a1. Ahora dividimos la segunda expresión por la primera, obtenemos: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. A partir de aquí determinamos el denominador tomando la raíz de quinto grado de la razón de los miembros conocidos de la condición del problema, b = 1.148698. El número resultante se sustituye en una de las expresiones para elemento conocido, obtenemos: a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698)4 = 17,2304966.

Así, hemos encontrado cuál es el denominador de la progresión bn, y la progresión geométrica bn-1 * 17,2304966 = an, donde b = 1,148698.

¿Dónde se usan las progresiones geométricas?

Si no hubiera aplicación de esta serie numérica en la práctica, entonces su estudio quedaría reducido a un interés puramente teórico. Pero existe tal aplicación.

Los 3 ejemplos más famosos se enumeran a continuación:

La paradoja de Zenón, en la que el ágil Aquiles no puede alcanzar a la lenta tortuga, se resuelve utilizando el concepto de una secuencia de números infinitamente decreciente.
Si se colocan granos de trigo en cada celda del tablero de ajedrez de modo que se coloque 1 grano en la primera celda, 2 en la segunda, 3 en la tercera y así sucesivamente, se necesitarán 18446744073709551615 granos para llenar todas las celdas de ¡el tablero!
En el juego "Tower of Hanoi", para reorganizar los discos de una barra a otra, es necesario realizar operaciones 2n - 1, es decir, su número crece exponencialmente a partir de la cantidad de discos n utilizados.

Instrucción

10, 30, 90, 270...

Se requiere encontrar el denominador de una progresión geométrica.
Decisión:

1 opción Tomemos un miembro arbitrario de la progresión (por ejemplo, 90) y dividámoslo por el anterior (30): 90/30=3.

Si se conoce la suma de varios miembros de una progresión geométrica o la suma de todos los miembros de una progresión geométrica decreciente, entonces para encontrar el denominador de la progresión, use las fórmulas apropiadas:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), donde Sn es la suma de los primeros n términos de la progresión geométrica y
S = b1/(1-q), donde S es la suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente (la suma de todos los miembros de la progresión con un denominador menor que uno).
Ejemplo.

El primer término de una progresión geométrica decreciente es igual a uno, y la suma de todos sus términos es igual a dos.

Se requiere determinar el denominador de esta progresión.
Decisión:

Sustituye los datos de la tarea en la fórmula. Conseguir:
2=1/(1-q), de donde – q=1/2.

Una progresión es una secuencia de números. En una progresión geométrica, cada término subsiguiente se obtiene multiplicando el anterior por algún número q, llamado denominador de la progresión.

Instrucción

Si se conocen dos miembros vecinos de las geométricas b(n+1) y b(n), para obtener el denominador es necesario dividir el número con un número grande por el que le precede: q=b(n +1)/b(n). Esto se sigue de la definición de la progresión y su denominador. Una condición importante es que el primer término y denominador de la progresión no sea igual a cero, de lo contrario se considera indefinido.

Así, se establecen las siguientes relaciones entre los miembros de la progresión: b2=b1 q, b3=b2 q, … , b(n)=b(n-1) q. Mediante la fórmula b(n)=b1 q^(n-1) se puede calcular cualquier miembro de una progresión geométrica, en la que se conocen el denominador q y el miembro b1. Además, cada uno de los módulos de progresión es igual al promedio de sus miembros vecinos: |b(n)|=√, por lo que la progresión obtuvo su .

Un análogo de una progresión geométrica es el más simple. funcion exponencial y=a^x, donde x está en el exponente, a es un número. En este caso, el denominador de la progresión es el mismo que el primer término y es igual al número una. El valor de la función y puede entenderse como enésimo miembro progresiones si el argumento x se toma como número natural n (contador).

Existe para la suma de los n primeros miembros de una progresión geométrica: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q). Esta fórmula es válida para q≠1. Si q=1, entonces la suma de los primeros n términos se calcula mediante la fórmula S(n)=n b1. Por cierto, la progresión se llamará creciente para q mayor que uno y b1 positivo. Cuando el denominador de la progresión, módulo no exceda de uno, la progresión se denominará decreciente.

caso especial progresión geométrica - una progresión geométrica infinitamente decreciente (b.u.g.p.). El hecho es que los miembros de una progresión geométrica decreciente disminuirán una y otra vez, pero nunca llegarán a cero. A pesar de esto, es posible encontrar la suma de todos los términos de tal progresión. Está determinado por la fórmula S=b1/(1-q). El número total de miembros n es infinito.

Para visualizar cómo puedes sumar un número infinito de números y no obtener infinito, hornea un pastel. Cortar la mitad de ella. Luego corte la mitad de la mitad, y así sucesivamente. Las piezas que obtendrás no son más que miembros de una progresión geométrica infinitamente decreciente con un denominador de 1/2. Si juntas todas estas piezas, obtienes el pastel original.

Los problemas de geometría son variedad especial Ejercicios que requieren pensamiento espacial. Si no puedes resolver el geométrico tarea trate de seguir las reglas a continuación.

Instrucción

Lea la condición del problema con mucho cuidado, si no recuerda o no entiende algo, vuelva a leerlo.

Trate de determinar qué tipo de problemas geométricos es, por ejemplo: computacional, cuando necesita encontrar algún valor, tareas para requerir una cadena lógica de razonamiento, tareas para construir usando una regla y un compás. Más problemas mixtos. Una vez que haya averiguado el tipo de problema, trate de pensar lógicamente.

Aplique el teorema necesario para este problema, si hay dudas o no hay ninguna opción, intente recordar la teoría que estudió sobre el tema relevante.

Haz un borrador del problema también. Trate de aplicar formas conocidas comprobando la exactitud de su solución.

Complete la solución del problema de forma ordenada en un cuaderno, sin manchas ni tachaduras, y lo más importante: quizás tome tiempo y esfuerzo resolver los primeros problemas geométricos. Sin embargo, una vez que domine este proceso, ¡comenzará a hacer clic en las tareas como locos y se divertirá haciéndolo!

Una progresión geométrica es una secuencia de números b1, b2, b3, ... , b(n-1), b(n) tal que b2=b1*q, b3=b2*q, ... , b(n ) =b(n-1)*q, b1≠0, q≠0. En otras palabras, cada miembro de la progresión se obtiene del anterior multiplicándolo por algún denominador distinto de cero de la progresión q.

Instrucción

Los problemas sobre una progresión se resuelven con mayor frecuencia compilando y siguiendo un sistema con respecto al primer término de la progresión b1 y el denominador de la progresión q. Para escribir ecuaciones, es útil recordar algunas fórmulas.

Cómo expresar el n-ésimo miembro de la progresión a través del primer miembro de la progresión y el denominador de la progresión: b(n)=b1*q^(n-1).

Considere por separado el caso |q|<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Consideremos una serie.

7 28 112 448 1792...

Está absolutamente claro que el valor de cualquiera de sus elementos es exactamente cuatro veces mayor que el anterior. Así que esta serie es una progresión.

Una progresión geométrica es una secuencia infinita de números, cuya característica principal es que el siguiente número se obtiene del anterior al multiplicar por algún número específico. Esto se expresa mediante la siguiente fórmula.

a z +1 =a z q, donde z es el número del elemento seleccionado.

En consecuencia, z ∈ N.

El período en el que se estudia una progresión geométrica en la escuela es el grado 9. Los ejemplos le ayudarán a entender el concepto:

0.25 0.125 0.0625...

Con base en esta fórmula, el denominador de la progresión se puede encontrar de la siguiente manera:

Ni q ni b z pueden ser cero. Además, cada uno de los elementos de la progresión no debe ser igual a cero.

En consecuencia, para encontrar el siguiente número de la serie, debe multiplicar el último por q.

Para especificar esta progresión, debe especificar su primer elemento y denominador. Después de eso, es posible encontrar cualquiera de los términos subsiguientes y su suma.

Variedades

Dependiendo de q y a 1, esta progresión se divide en varios tipos:

Si tanto a 1 como q son mayores que uno, entonces dicha secuencia es una progresión geométrica que aumenta con cada elemento siguiente. A continuación se presenta un ejemplo de ello.

Ejemplo: a 1 =3, q=2 - ambos parámetros son mayores que uno.

Entonces la secuencia numérica se puede escribir así:

3 6 12 24 48 ...

Si |q| menos que uno, es decir, la multiplicación por él es equivalente a la división, entonces una progresión con condiciones similares es una progresión geométrica decreciente. A continuación se presenta un ejemplo de ello.

Ejemplo: a 1 =6, q=1/3 - a 1 es mayor que uno, q es menor.

Entonces la secuencia numérica se puede escribir de la siguiente manera:

6 2 2/3 ... - cualquier elemento es 3 veces mayor que el siguiente.

Signo-variable. si q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Ejemplo: a 1 = -3 , q = -2 - ambos parámetros son menores que cero.

Entonces la sucesión se puede escribir así:

3, 6, -12, 24,...

Fórmulas

Para un uso conveniente de las progresiones geométricas, existen muchas fórmulas:

Fórmula del z-ésimo miembro. Le permite calcular el elemento bajo un número específico sin calcular los números anteriores.

Ejemplo:q = 3, un 1 = 4. Se requiere calcular el cuarto elemento de la progresión.

Decisión:un 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

La suma de los primeros elementos cuyo número es z. Le permite calcular la suma de todos los elementos de una secuencia hastauna zinclusivo.

Desde (1-q) está en el denominador, entonces (1 - q)≠ 0, por lo que q no es igual a 1.

Nota: si q=1, entonces la progresión sería una serie de un número que se repite infinitamente.

La suma de una progresión geométrica, ejemplos:un 1 = 2, q= -2. Calcular S 5 .

Decisión:S 5 = 22 - cálculo por fórmula.

Importe si |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Ejemplo:un 1 = 2 , q= 0,5. Encuentra la cantidad.

Decisión:Talla = 2 · = 4

Talla = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Algunas propiedades:

propiedad característica. Si la siguiente condición realizado para cualquierz, entonces la serie numérica dada es una progresión geométrica:

una z 2 = una z -1 · unz+1

Además, el cuadrado de cualquier número de una progresión geométrica se obtiene sumando los cuadrados de otros dos números cualesquiera de una serie dada, si son equidistantes de este elemento.

una z 2 = una z - t 2 + una z + t 2 , dondetes la distancia entre estos números.

Elementosdifieren en quna vez.
Los logaritmos de los elementos de progresión también forman una progresión, pero ya aritmética, es decir, cada uno de ellos es mayor que el anterior en un número determinado.

Ejemplos de algunos problemas clásicos

Para comprender mejor qué es una progresión geométrica, los ejemplos con una solución para el grado 9 pueden ayudar.

Condiciones:un 1 = 3, un 3 = 48. Encuentraq.

Solución: cada elemento subsiguiente es mayor que el anterior enq una vez.Es necesario expresar unos elementos a través de otros utilizando un denominador.

Por lo tanto,un 3 = q 2 · un 1

Al sustituirq= 4

Condiciones:un 2 = 6, un 3 = 12. Calcula S 6 .

Decisión:Para ello, basta con encontrar q, el primer elemento, y sustituirlo en la fórmula.

un 3 = q· un 2 , por lo tanto,q= 2

un 2 = q un 1,Es por eso un 1 = 3

S 6 = 189

· un 1 = 10, q= -2. Encuentra el cuarto elemento de la progresión.

Solución: para ello basta con expresar el cuarto elemento por el primero y por el denominador.

un 4 = q 3· un 1 = -80

Ejemplo de aplicación:

El cliente del banco hizo un depósito por un monto de 10,000 rublos, según los términos de los cuales cada año el cliente agregará el 6% del monto principal. ¿Cuánto dinero habrá en la cuenta después de 4 años?

Solución: La cantidad inicial es de 10 mil rublos. Entonces, un año después de la inversión, la cuenta tendrá una cantidad igual a 10,000 + 10,000 · 0,06 = 10000 1,06

En consecuencia, la cantidad en la cuenta después de otro año se expresará de la siguiente manera:

(10000 1,06) 0,06 + 10000 1,06 = 1,06 1,06 10000

Es decir, cada año la cantidad aumenta en 1,06 veces. Esto significa que para encontrar la cantidad de fondos en la cuenta después de 4 años, basta con encontrar el cuarto elemento de la progresión, que viene dado por el primer elemento igual a 10 mil y el denominador igual a 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Ejemplos de tareas para calcular la suma:

En varios problemas, se utiliza una progresión geométrica. Un ejemplo para encontrar la suma se puede dar de la siguiente manera:

un 1 = 4, q= 2, calcularS5.

Solución: todos los datos necesarios para el cálculo son conocidos, solo necesita sustituirlos en la fórmula.

S 5 = 124

un 2 = 6, un 3 = 18. Calcula la suma de los primeros seis elementos.

Decisión:

Geom. progresión, cada siguiente elemento es q veces mayor que el anterior, es decir, para calcular la suma, necesitas saber el elementoun 1 y denominadorq.

un 2 · q = un 3

q = 3

Del mismo modo, tenemos que encontrarun 1 , sabiendoun 2 yq.

un 1 · q = un 2

un 1 =2

S 6 = 728.

Primer nivel

Progresión geométrica. Guía completa con ejemplos (2019)

Secuencia numérica

Así que sentémonos y comencemos a escribir algunos números. Por ejemplo:

Puede escribir cualquier número, y puede haber tantos como desee (en nuestro caso, ellos). Por muchos números que escribamos, siempre podemos decir cuál de ellos es el primero, cuál el segundo, y así hasta el último, es decir, podemos numerarlos. Este es un ejemplo de una secuencia numérica:

Secuencia numérica es un conjunto de números, a cada uno de los cuales se le puede asignar un número único.

Por ejemplo, para nuestra sucesión:

El número asignado es específico de un solo número de secuencia. En otras palabras, no hay números de tres segundos en la secuencia. El segundo número (como el -ésimo número) es siempre el mismo.

El número con el número se llama el -ésimo miembro de la secuencia.

Por lo general, llamamos a toda la secuencia alguna letra (por ejemplo,), y cada miembro de esta secuencia, la misma letra con un índice igual al número de este miembro: .

En nuestro caso:

Los tipos de progresión más comunes son la aritmética y la geométrica. En este tema, hablaremos sobre el segundo tipo: progresión geométrica.

¿Por qué necesitamos una progresión geométrica y su historia?

Incluso en la antigüedad, el matemático italiano, el monje Leonardo de Pisa (más conocido como Fibonacci), se ocupó de las necesidades prácticas del comercio. El monje se enfrentó a la tarea de determinar cuál es la menor cantidad de pesas que se pueden usar para pesar las mercancías. En sus escritos, Fibonacci demuestra que tal sistema de pesos es óptimo: Esta es una de las primeras situaciones en las que las personas tuvieron que lidiar con una progresión geométrica, de la que probablemente haya oído hablar y de la que tenga al menos una idea general. Una vez que comprenda completamente el tema, piense por qué dicho sistema es óptimo.

En la actualidad, en la práctica de la vida, se manifiesta una progresión geométrica al invertir Dinero al banco, cuando el monto de los intereses se cobre sobre el monto acumulado en la cuenta del período anterior. En otras palabras, si deposita dinero en un depósito a plazo en una caja de ahorros, en un año el depósito aumentará con respecto al monto original, es decir la nueva cantidad será igual a la contribución multiplicada por. En otro año, esta cantidad aumentará en, i.е. la cantidad obtenida en ese momento se vuelve a multiplicar por y así sucesivamente. Una situación similar se describe en los problemas de cálculo de los llamados interés compuesto- el porcentaje se toma cada vez de la cantidad que está en la cuenta, teniendo en cuenta el interés anterior. Hablaremos de estas tareas un poco más adelante.

Hay muchos casos más simples en los que se aplica una progresión geométrica. Por ejemplo, la propagación de la influenza: una persona infectó a otra persona, ellos, a su vez, infectaron a otra persona y, por lo tanto, la segunda ola de infección: una persona y ellos, a su vez, infectaron a otra ... y así sucesivamente. .

Por cierto, una pirámide financiera, el mismo MMM, es un cálculo simple y seco según las propiedades de una progresión geométrica. ¿Interesante? Averigüémoslo.

Progresión geométrica.

Digamos que tenemos una secuencia numérica:

Inmediatamente responderás que es fácil y que el nombre de tal sucesión es una progresión aritmética con la diferencia de sus miembros. Qué tal algo como esto:

Si resta el número anterior del número siguiente, verá que cada vez obtiene una nueva diferencia (y así sucesivamente), pero la secuencia definitivamente existe y es fácil de notar: cada número siguiente es veces mayor que el anterior. !

Este tipo de secuencia se llama progresión geométrica y está marcado.

Una progresión geométrica ( ) es una secuencia numérica, cuyo primer término es diferente de cero, y cada término, a partir del segundo, es igual al anterior, multiplicado por el mismo número. Este número se llama denominador de una progresión geométrica.

Las restricciones de que el primer término ( ) no es igual y no son aleatorias. Digamos que no hay ninguno, y el primer término sigue siendo igual, y q es, hmm .. let, entonces resulta:

De acuerdo en que esto no es una progresión.

Como comprenderá, obtendremos los mismos resultados si es cualquier número distinto de cero, pero. En estos casos, simplemente no habrá progresión, ya que toda la serie de números será o todos ceros, o un número, y todos los demás ceros.

Ahora hablemos con más detalle sobre el denominador de una progresión geométrica, es decir, sobre.

Repitamos: - esto es un número, ¿Cuántas veces cambia cada término subsiguiente? progresión geométrica.

¿Qué crees que podría ser? Así es, positivo y negativo, pero no cero (hablamos de esto un poco más arriba).

Digamos que tenemos un positivo. Sea en nuestro caso, a. ¿Cuál es el segundo término y? Puedes responder fácilmente a eso:

Bien. En consecuencia, si, entonces todos los miembros subsiguientes de la progresión tienen el mismo signo - ellos positivo.

¿Qué pasa si es negativo? Por ejemplo, un. ¿Cuál es el segundo término y?

Es una historia completamente diferente.

Trate de contar el término de esta progresión. ¿Cuanto conseguiste? Tengo. Así, si, entonces se alternan los signos de los términos de la progresión geométrica. Es decir, si ves una progresión con signos alternos en sus miembros, entonces su denominador es negativo. Este conocimiento puede ayudarte a ponerte a prueba a la hora de resolver problemas sobre este tema.

Ahora practiquemos un poco: trate de determinar qué secuencias numéricas son una progresión geométrica y cuáles son aritméticas:

¿Entiendo? Compara nuestras respuestas:

Progresión geométrica - 3, 6.
Progresión aritmética - 2, 4.
No es una progresión aritmética ni geométrica: 1, 5, 7.

Volvamos a nuestra última progresión e intentemos encontrar su término de la misma manera que en la aritmética. Como habrás adivinado, hay dos formas de encontrarlo.

Multiplicamos sucesivamente cada término por.

Entonces, el -ésimo miembro de la progresión geométrica descrita es igual a.

Como ya adivinas, ahora tú mismo derivarás una fórmula que te ayudará a encontrar cualquier miembro de una progresión geométrica. ¿O ya lo ha sacado usted mismo, describiendo cómo encontrar el miembro th en etapas? Si es así, compruebe la exactitud de su razonamiento.

Ilustremos esto con el ejemplo de encontrar el -ésimo miembro de esta progresión:

En otras palabras:

Encuentre el valor de un miembro de una progresión geométrica dada.

¿Sucedió? Compara nuestras respuestas:

Fíjate que obtuviste exactamente el mismo número que en el método anterior, cuando multiplicamos sucesivamente por cada miembro anterior de la progresión geométrica.
Intentemos "despersonalizar" esta fórmula: la llevamos a una forma general y obtenemos:

La fórmula derivada es verdadera para todos los valores, tanto positivos como negativos. Compruébelo usted mismo calculando los términos de una progresión geométrica con las siguientes condiciones: , a.

¿Contaste? Comparemos los resultados:

Acepte que sería posible encontrar un miembro de la progresión de la misma manera que un miembro, sin embargo, existe la posibilidad de un error de cálculo. Y si ya hemos encontrado el término enésimo de una progresión geométrica, a, entonces qué podría ser más fácil que usar la parte “truncada” de la fórmula.

Una progresión geométrica infinitamente decreciente.

Más recientemente, hablamos sobre lo que puede ser mayor o menor que cero, sin embargo, existen valores especiales por los que se llama progresión geométrica. infinitamente decreciente.

¿Por qué crees que tiene ese nombre?
Para empezar, escribamos una progresión geométrica que consta de miembros.
Digamos, entonces:

Vemos que cada término subsiguiente es menor que el anterior en tiempos, pero ¿habrá algún número? Inmediatamente respondes - "no". Es por eso que lo infinitamente decreciente - decrece, decrece, pero nunca llega a ser cero.

Para entender claramente cómo se ve esto visualmente, intentemos dibujar un gráfico de nuestra progresión. Entonces, para nuestro caso, la fórmula toma la siguiente forma:

En los gráficos, estamos acostumbrados a generar dependencia, por lo tanto:

La esencia de la expresión no ha cambiado: en la primera entrada, mostramos la dependencia del valor de un miembro de progresión geométrica en su número ordinal, y en la segunda entrada, simplemente tomamos el valor de un miembro de progresión geométrica para, y el número ordinal fue designado no como, sino como. Todo lo que queda por hacer es trazar el gráfico.
Veamos que tienes. Aquí está el gráfico que obtuve:

¿Ver? La función decrece, tiende a cero, pero nunca lo cruza, por lo que es infinitamente decreciente. Marquemos nuestros puntos en la gráfica, y al mismo tiempo que coordenada y significa:

Trate de representar esquemáticamente un gráfico de una progresión geométrica si su primer término también es igual. Analiza ¿cuál es la diferencia con nuestro gráfico anterior?

¿Lograste? Aquí está el gráfico que obtuve:

Ahora que has entendido completamente los conceptos básicos del tema de la progresión geométrica: sabes qué es, sabes cómo encontrar su término y también sabes qué es una progresión geométrica infinitamente decreciente, pasemos a su propiedad principal.

Propiedad de una progresión geométrica.

¿Recuerdas la propiedad de los miembros de una progresión aritmética? Sí, sí, cómo encontrar el valor de un número determinado de una progresión cuando hay valores anteriores y posteriores de los miembros de esta progresión. ¿Recordado? Este:

Ahora nos enfrentamos exactamente a la misma pregunta para los términos de una progresión geométrica. Para derivar tal fórmula, comencemos a dibujar y razonar. Ya verás, es muy fácil, y si se te olvida, lo puedes sacar tú mismo.

Tomemos otra progresión geométrica simple, en la que conocemos y. ¿Como encontrar? Con una progresión aritmética, esto es fácil y simple, pero ¿cómo es aquí? De hecho, tampoco hay nada complicado en la geometría: solo necesita pintar cada valor que se nos da de acuerdo con la fórmula.

Usted pregunta, y ahora ¿qué hacemos con él? Sí, muy sencillo. Para empezar, representemos estas fórmulas en la figura e intentemos hacer varias manipulaciones con ellas para llegar a un valor.

Nos abstraemos de los números que nos dan, nos centraremos únicamente en su expresión a través de una fórmula. Necesitamos encontrar el valor resaltado en naranja, conociendo los términos adyacentes. Intentemos realizar varias acciones con ellos, como resultado de lo cual podemos obtener.

Suma.
Intentemos sumar dos expresiones y obtenemos:

A partir de esta expresión, como puede ver, no podremos expresar de ninguna manera, por lo tanto, probaremos otra opción: la resta.

Sustracción.

Como puede ver, tampoco podemos expresar a partir de esto, por lo tanto, intentaremos multiplicar estas expresiones entre sí.

Multiplicación.

Ahora fíjate bien en lo que tenemos, multiplicando los términos de una progresión geométrica que se nos ha dado en comparación con lo que hay que encontrar:

¿Adivina de qué estoy hablando? Correctamente, para encontrarlo, necesitamos sacar la raíz cuadrada de los números de progresión geométrica adyacentes al número deseado multiplicados entre sí:

Bueno. Usted mismo dedujo la propiedad de una progresión geométrica. Trate de escribir esta fórmula en forma general. ¿Sucedió?

¿Olvidó la condición cuando? Piense por qué es importante, por ejemplo, intente calcularlo usted mismo, en. ¿Qué sucede en este caso? Así es, una completa tontería, ya que la fórmula se ve así:

En consecuencia, no olvide esta limitación.

ahora calculemos cual es

Respuesta correcta - ! Si no olvidó el segundo valor posible al calcular, entonces es un gran compañero y puede proceder de inmediato al entrenamiento, y si lo olvidó, lea lo que se analiza a continuación y preste atención a por qué ambas raíces deben escribirse en la respuesta. .

Dibujemos nuestras dos progresiones geométricas, una con un valor y la otra con un valor, y verifiquemos si ambas tienen derecho a existir:

Para verificar si tal progresión geométrica existe o no, ¿es necesario ver si es la misma entre todos sus miembros dados? Calcula q para el primer y segundo caso.

¿Ves por qué tenemos que escribir dos respuestas? ¡Porque el signo del término requerido depende de si es positivo o negativo! Y como no sabemos qué es, necesitamos escribir ambas respuestas con un más y un menos.

Ahora que dominas los puntos principales y deduces la fórmula de la propiedad de una progresión geométrica, encuentra, sabiendo y

Compara tus respuestas con las correctas:

¿Qué piensas, qué pasaría si no nos dieran los valores de los miembros de la progresión geométrica adyacentes al número deseado, sino equidistantes de él? Por ejemplo, necesitamos encontrar, y dado y. ¿Podemos usar la fórmula que derivamos en este caso? Intenta confirmar o refutar esta posibilidad de la misma manera, describiendo en qué consiste cada valor, como lo hiciste al derivar la fórmula desde el principio, con.
¿Qué obtuviste?

Ahora mire cuidadosamente de nuevo.
y correspondientemente:

De esto podemos concluir que la fórmula funciona no solo con los vecinos con los términos deseados de una progresión geométrica, pero también con equidistante de lo que los miembros están buscando.

Por lo tanto, nuestra fórmula original se convierte en:

Es decir, si en el primer caso decíamos eso, ahora decimos que puede ser igual a cualquier número natural que sea menor. Lo principal es que sea el mismo para ambos números dados.

Practique con ejemplos específicos, ¡solo tenga mucho cuidado!

, . Encontrar.
, . Encontrar.
, . Encontrar.

¿Decidí? Espero que hayas estado muy atento y hayas notado un pequeño problema.

Comparamos los resultados.

En los dos primeros casos, aplicamos tranquilamente la fórmula anterior y obtenemos los siguientes valores:

En el tercer caso, al considerar detenidamente los números de serie de los números que nos dan, entendemos que no son equidistantes del número que buscamos: es el número anterior, pero quitado en posición, por lo que no es posible para aplicar la fórmula.

¿Cómo resolverlo? ¡En realidad no es tan difícil como parece! Anotemos contigo en qué consiste cada número que nos dan y el número deseado.

Entonces tenemos y. Veamos qué podemos hacer con ellos. Sugiero dividir. Obtenemos:

Sustituimos nuestros datos en la fórmula:

El siguiente paso que podemos encontrar: para esto, debemos sacar la raíz cúbica del número resultante.

Ahora veamos de nuevo lo que tenemos. Tenemos, pero necesitamos encontrar, y, a su vez, es igual a:

Encontramos todos los datos necesarios para el cálculo. Sustituir en la fórmula:

Nuestra respuesta: .

Intenta resolver otro mismo problema tú mismo:
Dado: ,
Encontrar:

¿Cuanto conseguiste? Tengo - .

Como puede ver, de hecho, necesita recuerda solo una formula- . Todo el resto lo puedes retirar tú mismo sin ninguna dificultad en cualquier momento. Para hacer esto, simplemente escriba la progresión geométrica más simple en una hoja de papel y anote a qué, según la fórmula anterior, es igual cada uno de sus números.

La suma de los términos de una progresión geométrica.

Ahora considere las fórmulas que nos permiten calcular rápidamente la suma de los términos de una progresión geométrica en un intervalo dado:

Para obtener la fórmula de la suma de los términos de una progresión geométrica finita, multiplicamos todas las partes de la ecuación anterior por. Obtenemos:

Fíjate bien: ¿qué tienen en común las dos últimas fórmulas? Así es, miembros comunes, por ejemplo, y así sucesivamente, excepto el primer y el último miembro. Intentemos restar la primera ecuación de la segunda ecuación. ¿Qué obtuviste?

Ahora exprese a través de la fórmula de un miembro de una progresión geométrica y sustituya la expresión resultante en nuestra última fórmula:

Agrupa la expresión. Deberías obtener:

Todo lo que queda por hacer es expresar:

En consecuencia, en este caso.

¿Y si? ¿Qué fórmula funciona entonces? Imagina una progresión geométrica en. ¿Cómo es ella? Correctamente una serie de números idénticos, respectivamente, la fórmula se verá así:

Al igual que con la progresión aritmética y geométrica, hay muchas leyendas. Uno de ellos es la leyenda de Seth, el creador del ajedrez.

Mucha gente sabe que el juego de ajedrez se inventó en la India. Cuando el rey hindú la conoció, quedó encantado con su ingenio y la variedad de posiciones posibles en ella. Al enterarse de que fue inventado por uno de sus súbditos, el rey decidió recompensarlo personalmente. Llamó al inventor y le ordenó pedirle lo que quisiera, prometiendo cumplir incluso el deseo más hábil.

Seta pidió tiempo para pensar, y cuando al día siguiente Seta apareció ante el rey, sorprendió al rey con la modestia sin igual de su pedido. Pidió un grano de trigo para la primera casilla del tablero, trigo para la segunda, para la tercera, para la cuarta, y así sucesivamente.

El rey se enojó y ahuyentó a Seth, diciendo que la petición del sirviente no era digna de la generosidad real, pero prometió que el sirviente recibiría sus granos por todas las celdas del tablero.

Y ahora la pregunta es: usando la fórmula para la suma de los miembros de una progresión geométrica, ¿calcular cuántos granos debe recibir Seth?

Empecemos a discutir. Dado que, según la condición, Seth pidió un grano de trigo para la primera celda del tablero, para la segunda, para la tercera, para la cuarta, etc., vemos que el problema se trata de una progresión geométrica. ¿Qué es igual en este caso?
Correctamente.

Total de celdas del tablero de ajedrez. respectivamente, . Tenemos todos los datos, solo queda sustituir en la fórmula y calcular.

Para representar al menos aproximadamente las "escalas" de un número dado, transformamos usando las propiedades del grado:

Por supuesto, si quieres, puedes tomar una calculadora y calcular con qué tipo de número terminas, y si no, tendrás que confiar en mi palabra: el valor final de la expresión será.
Es decir:

quintillones cuatrillones trillones billones de millones de mil.

Fuh) Si quiere imaginar la enormidad de este número, calcule qué tamaño de granero se necesitaría para acomodar la cantidad total de grano.
Con una altura de granero de m y un ancho de m, su longitud tendría que extenderse a km, es decir el doble de la distancia de la Tierra al Sol.

Si el rey fuera fuerte en matemáticas, podría ofrecerse al científico mismo para contar los granos, porque para contar un millón de granos, necesitaría al menos un día de conteo incansable, y dado que es necesario contar los quintillones, los granos habría que contarlos toda su vida.

Y ahora vamos a resolver un problema sencillo sobre la suma de términos de una progresión geométrica.
Vasya, un estudiante de quinto grado, se enfermó de gripe, pero continúa yendo a la escuela. Todos los días, Vasya infecta a dos personas que, a su vez, infectan a dos personas más, y así sucesivamente. Solo una persona en la clase. ¿En cuántos días toda la clase tendrá gripe?

Entonces, el primer miembro de una progresión geométrica es Vasya, es decir, una persona. º miembro de la progresión geométrica, estas son las dos personas a las que infectó el primer día de su llegada. La suma total de los miembros de la progresión es igual al número de alumnos 5A. En consecuencia, estamos hablando de una progresión en la que:

Sustituyamos nuestros datos en la fórmula de la suma de los términos de una progresión geométrica:

Toda la clase se enfermará en unos días. ¿No crees en fórmulas y números? Trate de retratar la "infección" de los estudiantes usted mismo. ¿Sucedió? Mira lo que me parece a mí:

Calcule usted mismo cuántos días los estudiantes contraerían la gripe si todos infectaran a una persona y hubiera una persona en la clase.

¿Qué valor obtuviste? Resultó que todos comenzaron a enfermarse después de un día.

Como puede ver, tal tarea y su dibujo se asemejan a una pirámide, en la que cada subsiguiente "trae" nuevas personas. Sin embargo, tarde o temprano llega un momento en que este último no puede atraer a nadie. En nuestro caso, si imaginamos que la clase está aislada, la persona de cierra la cadena (). Así, si una persona estuviera involucrada en una pirámide financiera en la que se entregaba dinero si traía a otros dos participantes, entonces la persona (o en el caso general) no traería a nadie, respectivamente, perdería todo lo que invirtió en esta estafa financiera. .

Todo lo que se dijo anteriormente se refiere a una progresión geométrica decreciente o creciente, pero, como recordarán, tenemos un tipo especial: una progresión geométrica infinitamente decreciente. ¿Cómo calcular la suma de sus miembros? ¿Y por qué este tipo de progresión tiene ciertas características? Averigüémoslo juntos.

Entonces, para empezar, veamos nuevamente esta imagen de una progresión geométrica infinitamente decreciente de nuestro ejemplo:

Y ahora veamos la fórmula para la suma de una progresión geométrica, derivada un poco antes:
o

¿Por qué nos esforzamos? Así es, la gráfica muestra que tiende a cero. Es decir, cuando será casi igual, respectivamente, al calcular la expresión, obtendremos casi. En este sentido, creemos que al calcular la suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente, se puede despreciar este corchete, ya que será igual.

- la fórmula es la suma de los términos de una progresión geométrica infinitamente decreciente.

¡IMPORTANTE! Usamos la fórmula para la suma de términos de una progresión geométrica infinitamente decreciente solo si la condición establece explícitamente que necesitamos encontrar la suma interminable el número de miembros.

Si se indica un número específico n, entonces usamos la fórmula para la suma de n términos, incluso si o.

Y ahora vamos a practicar.

Encuentra la suma de los primeros términos de una progresión geométrica con y.
Encuentra la suma de los términos de una progresión geométrica infinitamente decreciente con y.

Espero que hayas tenido mucho cuidado. Compara nuestras respuestas:

Ahora que sabes todo sobre la progresión geométrica, es hora de pasar de la teoría a la práctica. Los problemas exponenciales más comunes que se encuentran en el examen son los problemas de interés compuesto. Es sobre ellos que vamos a hablar.

Problemas para calcular el interés compuesto.

Debe haber oído hablar de la llamada fórmula de interés compuesto. ¿Entiendes lo que quiere decir? Si no, resolvámoslo, porque al darse cuenta del proceso en sí, comprenderá de inmediato qué tiene que ver la progresión geométrica con él.

Todos vamos al banco y sabemos que existen diferentes condiciones para los depósitos: este es el plazo, el mantenimiento adicional y el interés con dos formas diferentes de calcularlo: simple y complejo.

Con interés simple todo está más o menos claro: el interés se cobra una vez al final del plazo del depósito. Es decir, si estamos hablando de poner 100 rublos por año, entonces se acreditarán solo al final del año. En consecuencia, al final del depósito, recibiremos rublos.

Interés compuesto es una opción en la que capitalización de intereses, es decir. su adición al monto del depósito y el cálculo posterior de los ingresos no desde el inicial, sino desde el monto acumulado del depósito. La capitalización no ocurre constantemente, sino con cierta periodicidad. Como regla, tales períodos son iguales y la mayoría de las veces los bancos usan un mes, un trimestre o un año.

Digamos que ponemos todos los mismos rublos por año, pero con una capitalización mensual del depósito. ¿Qué obtenemos?

¿Entiendes todo aquí? Si no, vamos a hacerlo paso a paso.

Llevamos rublos al banco. Al final del mes, deberíamos tener una cantidad en nuestra cuenta que consiste en nuestros rublos más los intereses sobre ellos, es decir:

¿Estoy de acuerdo?

Podemos sacarlo del soporte y luego obtenemos:

De acuerdo, esta fórmula ya es más similar a la que escribimos al principio. Queda por tratar con porcentajes

En la condición del problema, se nos dice sobre el anual. Como saben, no multiplicamos por - convertimos porcentajes a decimales, es decir:

¿Derecha? Ahora te preguntas, ¿de dónde salió el número? ¡Muy simple!
Repito: la condición del problema dice sobre ANUAL intereses acumulados MENSUAL. Como sabéis, en un año de meses, respectivamente, el banco nos cobrará una parte de los intereses anuales por mes:

¿Dio cuenta? Ahora trata de escribir cómo se vería esta parte de la fórmula si dijera que el interés se calcula diariamente.
¿Lograste? Comparemos los resultados:

¡Bien hecho! Volvamos a nuestra tarea: anote cuánto se acreditará en nuestra cuenta para el segundo mes, teniendo en cuenta que se cobran intereses sobre el monto del depósito acumulado.
Esto es lo que me pasó:

O, en otras palabras:

Creo que ya notaron un patrón y vieron una progresión geométrica en todo esto. Escribe a qué equivaldrá su miembro, o dicho de otro modo, cuánto dinero recibiremos a final de mes.
¿Hecho? ¡Comprobación!

Como puede ver, si pone dinero en un banco durante un año a un interés simple, recibirá rublos, y si lo pone a una tasa compuesta, recibirá rublos. El beneficio es pequeño, pero esto sucede solo durante el año th, pero durante un período más largo, la capitalización es mucho más rentable:

Considere otro tipo de problema de interés compuesto. Después de lo que averiguaste, será elemental para ti. Entonces la tarea es:

Zvezda comenzó a invertir en la industria en 2000 con un capital en dólares. Todos los años desde 2001 ha obtenido un beneficio equivalente al capital del año anterior. ¿Cuánta ganancia recibirá la empresa Zvezda a fines de 2003, si la ganancia no se retiró de la circulación?

El capital de la empresa Zvezda en 2000.
- el capital de la empresa Zvezda en 2001.
- el capital de la empresa Zvezda en 2002.
- el capital de la empresa Zvezda en 2003.

O podemos escribir brevemente:

Para nuestro caso:

2000, 2001, 2002 y 2003.

Respectivamente:
rublos
Nótese que en este problema no tenemos división ni por ni por, ya que el porcentaje se da ANUALMENTE y se calcula ANUALMENTE. Es decir, al leer el problema de interés compuesto, preste atención a qué porcentaje se da y en qué período se cobra, y solo luego proceda a los cálculos.
Ahora ya sabes todo sobre la progresión geométrica.

Ejercicio.

Encuentre un término de una progresión geométrica si se sabe que, y
Hallar la suma de los primeros términos de una progresión geométrica, si se sabe que, y
MDM Capital comenzó a invertir en la industria en 2003 con un capital en dólares. Cada año desde 2004, ha obtenido una ganancia equivalente al capital del año anterior. La empresa "MSK Cash Flows" comenzó a invertir en la industria en 2005 por un monto de $ 10,000, comenzando a obtener una ganancia en 2006 por un monto de. ¿En cuántos dólares supera el capital de una empresa al de otra al cierre de 2007, si no se retiraron las utilidades de circulación?

Respuestas:

Como la condición del problema no dice que la progresión sea infinita y se requiere encontrar la suma de un número específico de sus miembros, el cálculo se realiza de acuerdo a la fórmula:
Empresa "MDM Capital":
2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
- aumenta en un 100%, es decir, 2 veces.
Respectivamente:
rublos
Flujos de efectivo de MSK:
2005, 2006, 2007.
- aumenta por, es decir, veces.
Respectivamente:
rublos
rublos

Resumamos.

1) Una progresión geométrica ( ) es una sucesión numérica, cuyo primer término es diferente de cero, y cada término, a partir del segundo, es igual al anterior, multiplicado por el mismo número. Este número se llama denominador de una progresión geométrica.

2) La ecuación de los miembros de una progresión geométrica -.

3) puede tomar cualquier valor, excepto y.

si, entonces todos los miembros posteriores de la progresión tienen el mismo signo - ellos positivo;
si, entonces todos los miembros posteriores de la progresión signos alternativos;
cuando - la progresión se llama infinitamente decreciente.

4), at - propiedad de una progresión geométrica (términos vecinos)

o
, en (términos equidistantes)

Cuando lo encuentres, no olvides que debe haber dos respuestas..

Por ejemplo,

5) La suma de los miembros de una progresión geométrica se calcula mediante la fórmula:
o

Si la progresión es infinitamente decreciente, entonces:
o

¡IMPORTANTE! Usamos la fórmula para la suma de términos de una progresión geométrica infinitamente decreciente solo si la condición establece explícitamente que es necesario encontrar la suma de un número infinito de términos.

6) Las tareas de interés compuesto también se calculan según la fórmula del enésimo miembro de una progresión geométrica, siempre que los fondos no hayan sido retirados de la circulación:

PROGRESIÓN GEOMÉTRICA. BREVEMENTE SOBRE LOS PRINCIPALES

Progresión geométrica( ) es una secuencia numérica, cuyo primer término es diferente de cero, y cada término, a partir del segundo, es igual al anterior, multiplicado por el mismo número. Este número se llama el denominador de una progresión geométrica.

Denominador de una progresión geométrica. puede tomar cualquier valor excepto y.

Si, entonces todos los miembros posteriores de la progresión tienen el mismo signo, son positivos;
si, entonces todos los miembros subsiguientes de la progresión alternan los signos;
cuando - la progresión se llama infinitamente decreciente.

Ecuación de miembros de una progresión geométrica - .

La suma de los términos de una progresión geométrica. calculado por la fórmula:
o