Grado exponencial. Funcion exponencial. ¿Qué es una función exponencial?

Concentración de la atención:

Definición. Función especie se llama funcion exponencial .

Comentario. Exclusión básica a números 0; 1 y valores negativos a explicado por las siguientes circunstancias:

La expresión analítica en sí una x en estos casos, conserva su significado y se puede encontrar en la resolución de problemas. Por ejemplo, para la expresión x y punto x = 1; y = 1 entra en el rango de valores aceptables.

Construya gráficas de funciones: y .



Gráfica de una función exponencial
y= a X, a > 1	y= a X , 0< a < 1

Propiedades de la función exponencial

Propiedades de la función exponencial	y= a X, a > 1	y= a X , 0< a < 1
Alcance de la función
2. Rango de valores de función
3. Intervalos de comparación con la unidad	a X> 0, un X > 1	a X > 0, 0< a X < 1
	a X < 0, 0< a X < 1	a X < 0, a X > 1
4. Par, impar.	La función no es ni par ni impar (función general).
5. Monotonía.	aumenta monótonamente por R	disminuye monótonamente por R
6. Extremos.	La función exponencial no tiene extremos.
7.Asíntota	Eje O X es una asíntota horizontal.
8. Para cualquier valor real X y y;

Cuando se llena la tabla, las tareas se resuelven en paralelo con el llenado.

Tarea número 1. (Encontrar el dominio de la función).

Qué valores de argumento son válidos para las funciones:

Tarea número 2. (Encontrar el rango de la función).

La figura muestra la gráfica de una función. Especifique el alcance y el alcance de la función:

Tarea número 3. (Indicar los intervalos de comparación con la unidad).

Compara cada una de las siguientes potencias con una:

Tarea número 4. (Estudiar la función de monotonicidad).

Comparar números reales por magnitud metro y norte si:

Tarea número 5. (Estudiar la función de monotonicidad).

Saca una conclusión sobre la base. a, si:

y(x) = 10x; f(x) = 6x; z(x) - 4x

¿Cómo son las gráficas de funciones exponenciales entre sí para x > 0, x = 0, x< 0?

En un plano de coordenadas, se trazan gráficos de funciones:

y(x) = (0,1) x ; f(x) = (0.5) x ; z(x) = (0.8) x .

¿Cómo son las gráficas de funciones exponenciales entre sí para x > 0, x = 0, x< 0?

Número una de las constantes más importantes en matemáticas. Por definición, es igual al límite de la sucesión con ilimitado creciente . Designacion mi introducido Leonhard Euler en 1736. Calculó los primeros 23 dígitos de este número en notación decimal, y el número en sí recibió el nombre de Napier "número no par".

Número mi juega un papel especial en el análisis matemático. Funcion exponencial con base mi, llamado el exponente y denotado y = e x.

Primeros signos números mi Fácil de recordar: dos, una coma, siete, el año del nacimiento de León Tolstoi: dos veces, cuarenta y cinco, noventa, cuarenta y cinco.

Tareas para el hogar:

Kolmogorov, página 35; nº 445-447; 451; 453.

Repita el algoritmo para construir gráficos de funciones que contengan una variable bajo el signo del módulo.

Lección #2

Tema: Una función exponencial, sus propiedades y gráfica.

Objetivo: Comprobar la calidad de asimilación del concepto de "función exponencial"; formar habilidades en el reconocimiento de una función exponencial, en el uso de sus propiedades y gráficos, para enseñar a los estudiantes a usar las formas analíticas y gráficas de registrar una función exponencial; proporcionar un ambiente de trabajo en el aula.

Equipo: tablero, carteles

Formulario de lección: aula

tipo de lección: lección práctica

tipo de lección: lección de entrenamiento de habilidades

Plan de estudios

1. Momento organizacional

2. Trabajo independiente y revisión de tareas

3. Resolución de problemas

4. Resumiendo

5. Tarea

durante las clases.

1. Momento organizacional :

Hola. Abra los cuadernos, escriba la fecha de hoy y el tema de la lección "Función exponencial". Hoy continuaremos estudiando la función exponencial, sus propiedades y gráfica.

2. Trabajo independiente y revisión de tareas .

Objetivo: comprobar la calidad de asimilación del concepto de "función exponencial" y comprobar el cumplimiento de la parte teórica de la tarea

Método: tarea de prueba, encuesta frontal

Como tarea, te dieron números del libro de problemas y un párrafo del libro de texto. No revisaremos la ejecución de los números del libro de texto ahora, pero entregarán sus cuadernos al final de la lección. Ahora se probará la teoría en forma de una pequeña prueba. La tarea es la misma para todos: se le da una lista de funciones, debe averiguar cuáles de ellas son indicativas (subrayarlas). Y junto a la función exponencial, debes escribir si es creciente o decreciente.

Opción 1

Responder

D) - exponencial, decreciente

opcion 2

Responder

D) - exponencial, decreciente

D) - indicativo, creciente

Opción 3

Responder

PERO) - indicativo, creciente

B) - exponencial, decreciente

Opción 4

Responder

PERO) - exponencial, decreciente

A) - indicativo, creciente

Ahora recordemos juntos ¿qué función se llama exponencial?

Una función de la forma , donde y , se llama función exponencial.

¿Cuál es el alcance de esta función?

Todos los números reales.

¿Cuál es el rango de la función exponencial?

Todos los números reales positivos.

Decrece si la base es mayor que cero pero menor que uno.

¿Cuándo decrece una función exponencial en su dominio?

Aumenta si la base es mayor que uno.

3. Resolución de problemas

Objetivo: formar habilidades en el reconocimiento de una función exponencial, en el uso de sus propiedades y gráficos, para enseñar a los estudiantes a usar las formas analíticas y gráficas de registrar una función exponencial

Método: demostración por parte del maestro de la resolución de problemas típicos, trabajo oral, trabajo en la pizarra, trabajo en un cuaderno, conversación del maestro con los estudiantes.

Las propiedades de la función exponencial se pueden usar cuando se comparan 2 o más números. Por ejemplo: No. 000. Compara los valores y si a) ..gif" width="37" height="20 src=">, entonces este es un trabajo bastante complicado: tendríamos que sacar la raíz cúbica de 3 y 9, y compararlos. Pero sabemos que aumenta, esto está en su propia cola significa que cuando el argumento aumenta, el valor de la función aumenta, es decir, nos basta con comparar los valores del argumento entre sí y, obviamente, eso (se puede demostrar en un cartel con una función exponencial creciente). Y siempre al resolver tales ejemplos, primero determine la base de la función exponencial, compare con 1, determine la monotonicidad y proceda a comparar los argumentos. En el caso de una función decreciente: a medida que aumenta el argumento, el valor de la función disminuye, por lo tanto, se cambia el signo de la desigualdad al pasar de la desigualdad de argumentos a la desigualdad de funciones. Luego resolvemos oralmente: b)

GRAMO)

- No. 000. Compara los números: a) y

Por lo tanto, la función es creciente, entonces

Por qué ?

Función creciente y

Por lo tanto, la función es decreciente, entonces

Ambas funciones crecen en todo su dominio de definición, ya que son exponenciales con base mayor que uno.

¿Cuál es el significado de eso?

Construimos gráficos:

Qué función crece más rápido cuando se esfuerza https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">

Qué función disminuye más rápido cuando se esfuerza https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">

En el intervalo, ¿cuál de las funciones tiene el mayor valor en un punto particular?

D), https://pandia.ru/text/80/379/images/image068_0.gif" width="69" height="57 src=">. Primero, averigüemos el alcance de estas funciones. ¿coincidir?

Sí, el dominio de estas funciones son todos los números reales.

Nombre el alcance de cada una de estas funciones.

Los rangos de estas funciones coinciden: todos los números reales positivos.

Determinar el tipo de monotonicidad de cada una de las funciones.

Las tres funciones decrecen en todo su dominio de definición, ya que son exponenciales con una base menor que uno y mayor que cero.

¿Cuál es el punto singular de la gráfica de una función exponencial?

¿Cuál es el significado de eso?

Cualquiera que sea la base del grado de una función exponencial, si el exponente es 0, entonces el valor de esta función es 1.

Construimos gráficos:

Analicemos los gráficos. ¿Cuántos puntos de intersección tienen las gráficas de funciones?

¿Qué función disminuye más rápido cuando se esfuerza? https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif

¿Qué función crece más rápido cuando se esfuerza? https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif

En el intervalo, ¿cuál de las funciones tiene el mayor valor en un punto particular?

¿Por qué las funciones exponenciales con diferentes bases tienen un solo punto de intersección?

Las funciones exponenciales son estrictamente monótonas en todo su dominio de definición, por lo que solo pueden intersecarse en un punto.

La próxima tarea se centrará en el uso de esta propiedad. № 000. Encuentra el valor más grande y más pequeño de una función dada en un intervalo dado a). Recuerde que una función estrictamente monótona toma sus valores mínimo y máximo en los extremos de un intervalo dado. Y si la función es creciente, entonces su valor más grande estará en el extremo derecho del segmento y el más pequeño en el extremo izquierdo del segmento (demostración en el cartel, usando la función exponencial como ejemplo). Si la función es decreciente, entonces su valor más grande estará en el extremo izquierdo del segmento y el más pequeño en el extremo derecho del segmento (demostración en el cartel, usando la función exponencial como ejemplo). La función es creciente porque, por lo tanto, el valor más pequeño de la función estará en el punto https://pandia.ru/text/80/379/images/image075_0.gif" width="145" height="29" >.puntos b ) , en) d) resolver cuadernos por su cuenta, lo comprobaremos oralmente.

Los estudiantes resuelven el problema en su cuaderno.

función decreciente

el mayor valor de la función en el segmento

el valor más pequeño de la función en el segmento

función creciente

el valor más pequeño de la función en el segmento

el mayor valor de la función en el segmento

- № 000. Encuentra el valor más grande y más pequeño de una función dada en un intervalo dado a) . Esta tarea es casi igual a la anterior. Pero aquí no se da un segmento, sino un rayo. Sabemos que la función es creciente y no tiene ni el valor más grande ni el más pequeño en toda la recta numérica https://pandia.ru/text/80/379/images/image063_0.gif" width="68" height = "20">, y tiende a en , es decir, en el rayo, la función en tiende a 0, pero no tiene su valor más pequeño, pero tiene el valor más grande en el punto . puntos b) , en) , g) Resuelva sus propios cuadernos, lo comprobaremos oralmente.

Funcion exponencial es una generalización del producto de n números iguales a a :
y (n) = un norte = un un un un,
al conjunto de los números reales x :
y (x) = x.
Aquí a es un número real fijo, que se llama la base de la función exponencial.
Una función exponencial con base a también se llama exponencial a base a.

La generalización se lleva a cabo de la siguiente manera.
Para x naturales = 1, 2, 3,... , la función exponencial es el producto de x factores:
.
Además, tiene las propiedades (1.5-8) (), que se derivan de las reglas para multiplicar números. En cero y valores negativos de números enteros, la función exponencial está determinada por las fórmulas (1.9-10). Para valores fraccionarios x = m/n de números racionales, se determina por la fórmula (1.11). Para real, la función exponencial se define como el límite de la secuencia:
,
donde es una sucesión arbitraria de números racionales que convergen en x : .
Con esta definición, la función exponencial queda definida para todo , y satisface las propiedades (1.5-8), así como para x natural.

En la página "Definición y prueba de las propiedades de una función exponencial" se da una formulación matemática rigurosa de la definición de una función exponencial y una prueba de sus propiedades.

Propiedades de la función exponencial

La función exponencial y = a x tiene las siguientes propiedades sobre el conjunto de los números reales () :
(1.1) es definido y continuo, para , para todos ;
(1.2) cuando un ≠ 1 tiene muchos significados;
(1.3) estrictamente aumenta en , estrictamente disminuye en ,
es constante en ;
(1.4) a ;
a ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Otras fórmulas útiles
.
La fórmula para convertir a una función exponencial con una base de potencia diferente:

Para b = e , obtenemos la expresión de la función exponencial en términos del exponente:

valores privados

, , , , .

La figura muestra gráficas de la función exponencial
y (x) = x
para cuatro valores bases de grado:a= 2 , un = 8 , un = 1/2 y un = 1/8 . Se puede ver que para un > 1 función exponencial es monótonamente creciente. Cuanto mayor sea la base del grado a, más fuerte será el crecimiento. A 0 < a < 1 función exponencial es monótonamente decreciente. Cuanto menor sea el exponente a, mayor será la disminución.

Ascendiendo descendiendo

La función exponencial en es estrictamente monótona, por lo que no tiene extremos. Sus principales propiedades se presentan en la tabla.

	y = un x , un > 1	y = x, 0 < a < 1
Dominio	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Rango de valores	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Monótono	aumenta monótonamente	disminuye monótonamente
ceros, y= 0	No	No
Puntos de intersección con el eje y, x = 0	y= 1	y= 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

Función inversa

El recíproco de una función exponencial con base de grado a es el logaritmo en base a.

si, entonces
.
si, entonces
.

Diferenciación de la función exponencial

Para derivar una función exponencial se debe reducir su base al número e, aplicar la tabla de derivadas y la regla para derivar una función compleja.

Para hacer esto, necesitas usar la propiedad de los logaritmos.
y la fórmula de la tabla de derivadas:
.

Sea dada una función exponencial:
.
Lo llevamos a la base e:

Aplicamos la regla de diferenciación de una función compleja. Para ello introducimos una variable

Después

De la tabla de derivadas tenemos (reemplace la variable x con z):
.
Como es una constante, la derivada de z con respecto a x es
.
Según la regla de derivación de una función compleja:
.

Derivada de la función exponencial

.
Derivada de orden n:
.
Derivación de fórmulas > > >

Un ejemplo de derivación de una función exponencial

Encontrar la derivada de una función
y= 35x

Solución

Expresamos la base de la función exponencial en términos del número e.
3 = e log 3
Después
.
Introducimos una variable
.
Después

De la tabla de derivadas encontramos:
.
Porque el 5ln 3 es una constante, entonces la derivada de z con respecto a x es:
.
De acuerdo con la regla de diferenciación de una función compleja, tenemos:
.

Responder

Integral

Expresiones en términos de números complejos

Considere la función de número complejo z:
F (z) = az
donde z = x + iy ; i 2 = - 1 .
Expresamos la constante compleja a en términos del módulo r y el argumento φ :
un = r mi yo φ
Después

.
El argumento φ no está definido de manera única. En general
φ = φ 0 + 2 pn,
donde n es un número entero. Por lo tanto, la función f (z) también es ambiguo. A menudo se considera su principal importancia
.