Dijeljenje složenih razlomaka s različitim nazivnicima. Množenje i dijeljenje razlomaka

T vrsta razreda: ONZ (otkrivanje novih znanja - prema tehnologiji aktivacijske metode nastave).

Osnovni ciljevi:

Izvesti metode dijeljenja razlomka prirodnim brojem;
Formirati sposobnost dijeljenja razlomka prirodnim brojem;
Ponoviti i konsolidirati podjelu razlomaka;
Osposobiti sposobnost smanjivanja razlomaka, analiziranja i rješavanja problema.

Demo materijal opreme:

1. Zadaci za ažuriranje znanja:

Usporedi izraze:

Referenca:

2. Probni (individualni) zadatak.

1. Izvrši podjelu:

2. Izvedite dijeljenje bez izvođenja cijelog lanca izračuna: .

Reference:

Kada dijelite razlomak prirodnim brojem, nazivnik možete pomnožiti s tim brojem, a brojnik ostaviti istim.

Ako je brojnik djeljiv prirodnim brojem, tada pri dijeljenju razlomka ovim brojem možete brojnik podijeliti brojem, a nazivnik ostaviti isti.

Tijekom nastave

I. Motivacija (samoopredjeljenje) da aktivnosti učenja.

Svrha pozornice:

Organizirati aktualizaciju zahtjeva za učenika na dijelu odgojno-obrazovnih aktivnosti („mora”);
Organizirati aktivnosti učenika radi uspostavljanja tematskog okvira (“Ja mogu”);
Stvoriti uvjete da učenik ima unutarnju potrebu za uključivanjem u obrazovne aktivnosti („Želim“).

Organizacija obrazovni proces u fazi I.

Zdravo! Drago mi je što vas sve vidim na satu matematike. Nadam se da je obostrano.

Dečki, koja ste nova znanja stekli na prošloj lekciji? (Podijelite razlomke).

Pravo. Što vam pomaže podijeliti razlomke? (Pravilo, svojstva).

Gdje će nam to znanje? (U primjerima, jednadžbama, zadacima).

Dobro napravljeno! U prošloj lekciji si dobro prošao. Želite li i sami danas otkriti nova znanja? (Da).

Onda idi! A moto lekcije je izjava “Matematika se ne može naučiti gledajući kako to radi tvoj susjed!”.

II. Aktualizacija znanja i fiksiranje individualne poteškoće u probnoj radnji.

Svrha pozornice:

Organizirati aktualizaciju proučavanih metoda djelovanja, dovoljnih za izgradnju novih znanja. Popravite ove metode verbalno (u govoru) i simbolički (standardno) i generalizirajte ih;
Organizirati aktualizaciju mentalnih operacija i kognitivnih procesa dovoljnih za izgradnju novog znanja;
Motivirati za probnu radnju i njezinu samostalnu provedbu i opravdanje;
Predstaviti individualni zadatak za probnu radnju i analizirati je kako bi se identificirali novi sadržaji učenja;
Organizirati fiksiranje obrazovnog cilja i teme sata;
Organizirati provedbu probne radnje i otklanjanje poteškoća;
Organizirajte analizu primljenih odgovora i zabilježite pojedinačne poteškoće u provođenju probne radnje ili opravdavanju iste.

Organizacija obrazovnog procesa na II.

Frontalno, pomoću tableta (pojedinačne ploče).

1. Usporedi izraze:

(Ovi izrazi su jednaki)

Koje ste zanimljive stvari primijetili? (Brojnik i nazivnik djelitelja, brojnik i nazivnik djelitelja u svakom izrazu uvećani za isti broj puta. Dakle, dividende i djelitelje u izrazima predstavljaju razlomci koji su međusobno jednaki).

Pronađite značenje izraza i zapišite ga na tabletu. (2)

Kako napisati ovaj broj kao razlomak?

Kako ste izveli akciju podjele? (Djeca izgovaraju pravilo, učitelj visi na ploči slovne oznake)

2. Izračunajte i zabilježite samo rezultate:

3. Zbrojite svoje rezultate i zapišite svoj odgovor. (2)

Kako se zove broj dobiven u zadatku 3? (prirodno)

Mislite li da možete razlomak podijeliti prirodnim brojem? (Da, pokušat ćemo)

Pokušaj ovo.

4. Individualni (probni) zadatak.

Napravite dijeljenje: (samo primjer a)

Koje ste pravilo koristili za podjelu? (Prema pravilu dijeljenja razlomka s razlomkom)

Sada podijelite razlomak prirodnim brojem na jednostavan način, bez izvođenja cijelog lanca izračuna: (primjer b). Dajem ti 3 sekunde za ovo.

Tko nije uspio izvršiti zadatak u 3 sekunde?

Tko je to napravio? (nema takvih)

Zašto? (ne znamo put)

Što si dobio? (poteškoće)

Što misliš da ćemo raditi na satu? (Podijelite razlomke prirodnim brojevima)

Tako je, otvorite svoje bilježnice i zapišite temu lekcije "Dijeljenje razlomka prirodnim brojem".

Zašto ova tema zvuči novo kada već znate dijeliti razlomke? (Trebam novi način)

Pravo. Danas ćemo uspostaviti tehniku koja pojednostavljuje dijeljenje razlomka prirodnim brojem.

III. Identifikacija mjesta i uzroka poteškoća.

Svrha pozornice:

Organizirati obnovu dovršenih operacija i popraviti (verbalno i simbolično) mjesto - korak, operaciju, gdje je nastala poteškoća;
Organizirati korelaciju učeničkih radnji s korištenom metodom (algoritmom) i fiksiranje u vanjskom govoru uzroka poteškoće - onih specifičnih znanja, vještina ili sposobnosti koje nisu dovoljne za rješavanje početnog problema ove vrste.

Organizacija obrazovnog procesa na III.

Koji ste zadatak morali ispuniti? (Podijelite razlomak prirodnim brojem bez izvođenja cijelog lanca izračuna)

Što vam je uzrokovalo poteškoće? (Nije moguće riješiti u kratkom vremenu na brz način)

Koja je svrha naše lekcije? (Pronađite brz način za dijeljenje razlomka prirodnim brojem)

Što će vam pomoći? (Već poznato pravilo za dijeljenje razlomaka)

IV. Izrada projekta izlaza iz poteškoća.

Svrha pozornice:

Pojašnjenje svrhe projekta;
Izbor metode (pojašnjenje);
Definicija sredstava (algoritam);
Izgradnja plana za postizanje cilja.

Organizacija obrazovnog procesa u fazi IV.

Vratimo se na testni slučaj. Jeste li rekli da dijelite po pravilu dijeljenja razlomaka? (Da)

Da biste to učinili, zamijenite prirodni broj razlomkom? (Da)

Što mislite koji korak(e) možete preskočiti?

(Lanac rješenja je otvoren na ploči:

Analizirajte i donesite zaključak. (Korak 1)

Ako nema odgovora, rezimiramo kroz pitanja:

Gdje je nestao prirodni djelitelj? (do nazivnika)

Je li se brojnik promijenio? (Ne)

Dakle, koji se korak može "izostaviti"? (Korak 1)

Plan akcije:

Pomnožite nazivnik razlomka prirodnim brojem.
Brojnik se ne mijenja.
Dobivamo novi razlomak.

V. Realizacija izvedenog projekta.

Svrha pozornice:

Organizirati komunikacijsku interakciju u svrhu realizacije izrađenog projekta usmjerenog na stjecanje znanja koja nedostaje;
Organizirati fiksiranje izgrađene metode radnje u govoru i znakovima (uz pomoć standarda);
Organizirati rješenje izvornog problema i zabilježiti prevladavanje poteškoće;
Organizirajte pojašnjenje opće prirode novog znanja.

Organizacija obrazovnog procesa na V.

Sada brzo pokrenite testni slučaj na novi način.

Možete li sada brzo završiti zadatak? (Da)

Objasni kako si to napravio? (Djeca govore)

To znači da smo dobili novo znanje: pravilo za dijeljenje razlomka prirodnim brojem.

Dobro napravljeno! Reci to u parovima.

Zatim jedan učenik govori razredu. Pravilo-algoritam popravljamo usmeno i u obliku standarda na ploči.

Sada unesite oznake slova i zapišite formulu za naše pravilo.

Učenik zapisuje na ploču izgovarajući pravilo: kada razlomak dijelite prirodnim brojem, nazivnik možete pomnožiti s tim brojem, a brojnik ostaviti istim.

(Svi zapisuju formulu u bilježnice).

A sada još jednom analizirajte lanac rješavanja probnog zadatka invertiranjem Posebna pažnja odgovoriti. Što su učinili? (Brojnik razlomka 15 podijeljen je (smanjen) brojem 3)

Koji je ovo broj? (prirodno, djelitelj)

Pa kako drugačije možete podijeliti razlomak prirodnim brojem? (Provjerite: ako je brojnik razlomka djeljiv s ovim prirodnim brojem, tada brojnik možete podijeliti s tim brojem, rezultat upisati u brojnik novog razlomka, a nazivnik ostaviti isti)

Ovu metodu napišite u obliku formule. (Učenik zapisuje pravilo na ploču. Svatko zapisuje formulu u bilježnice.)

Vratimo se na prvu metodu. Može li se koristiti ako a:n? (Da ovo opći način)

A kada je druga metoda prikladna za korištenje? (Kada je brojnik razlomka djeljiv prirodnim brojem bez ostatka)

VI. Primarna konsolidacija s izgovorom u vanjskom govoru.

Svrha pozornice:

Organizirati usvajanje od strane djece nove metode djelovanja pri rješavanju tipičnih problema s njihovim izgovorom u vanjskom govoru (frontalno, u parovima ili skupinama).

Organizacija obrazovnog procesa u fazi VI.

Izračunaj na novi način:

Br. 363 (a; d) - nastupiti za tablom, izgovarajući pravilo.
br. 363 (d; f) - u paru s provjerom uzorka.

VII. Samostalan rad sa samotestiranjem prema standardu.

Svrha pozornice:

Organizirati samostalno izvršenje zadaće učenika za novi način djelovanja;
Organizirati samotestiranje na temelju usporedbe sa standardom;
Prema rezultatima provedbe samostalan rad organizirati odraz usvajanja novog načina djelovanja.

Organizacija obrazovnog procesa na VII.

Izračunaj na novi način:

br. 363 (b; c)

Učenici provjeravaju standard, zapažaju ispravnost izvedbe. Analiziraju se uzroci grešaka i ispravljaju greške.

Učiteljica pita one učenike koji su pogriješili, koji je razlog?

U ovoj fazi važno je da svaki učenik samostalno provjeri svoj rad.

VIII. Uključenost u sustav znanja i ponavljanja.

Svrha pozornice:

Organizirati utvrđivanje granica primjene novih znanja;
Organizirajte ponavljanje obrazovnih sadržaja potrebnih za osiguravanje smislenog kontinuiteta.

Organizacija obrazovnog procesa na VIII.

Organizirati fiksiranje neriješenih poteškoća u satu kao smjer za buduće aktivnosti učenja;

Organizirajte raspravu i snimanje domaće zadaće.

Organizacija obrazovnog procesa na IX.

1. Dijalog:

Dečki, koja ste nova saznanja danas otkrili? (Naučili smo dijeliti razlomak prirodnim brojem na jednostavan način)

Formulirajte opći način. (Oni kažu)

Na koji način i u kojim slučajevima ga još uvijek možete koristiti? (Oni kažu)

Koja je prednost nove metode?

Jesmo li postigli cilj lekcije? (Da)

Koje ste znanje koristili za postizanje cilja? (Oni kažu)

Jeste li uspjeli?

Koje su bile poteškoće?

2. Domaća zadaća: klauzula 3.2.4.; br. 365 (l, n, o, p); broj 370.

3. Učitelj, nastavnik, profesor: Drago mi je da su danas svi bili aktivni, uspjeli pronaći izlaz iz poteškoća. I što je najvažnije, nisu bili susjedi kada se otvarala i okrupnjavala nova. Hvala djeco na lekciji!

Sada kada smo naučili kako zbrajati i množiti pojedinačne razlomke, možemo razmotriti više složene strukture. Na primjer, što ako se zbrajanje, oduzimanje i množenje razlomaka javljaju u jednom zadatku?

Prije svega, trebate pretvoriti sve razlomke u nepravilne. Zatim uzastopno izvodimo tražene radnje - istim redoslijedom kao i za obične brojeve. Naime:

Prvo se izvodi eksponencijalizacija - riješite se svih izraza koji sadrže eksponente;
Zatim - dijeljenje i množenje;
Posljednji korak je zbrajanje i oduzimanje.

Naravno, ako u izrazu postoje zagrade, redoslijed radnji se mijenja – prvo se mora uzeti u obzir sve što je unutar zagrada. I zapamtite o nepravilnim razlomcima: trebate odabrati cijeli dio tek kada su sve ostale radnje već dovršene.

Prevedimo sve razlomke iz prvog izraza u neispravne, a zatim izvršimo sljedeće radnje:

Sada pronađimo vrijednost drugog izraza. Ne postoje razlomci s cijelim dijelom, ali postoje zagrade, pa prvo izvodimo zbrajanje, a tek onda dijeljenje. Imajte na umu da je 14 = 7 2 . Zatim:

Konačno, razmotrite treći primjer. Ovdje postoje zagrade i diploma - bolje ih je računati zasebno. S obzirom da je 9 = 3 3 , imamo:

Obratite pažnju na posljednji primjer. Da biste razlomak podigli na stepen, morate zasebno podići brojnik na ovaj stepen, a posebno nazivnik.

Možete odlučiti drugačije. Ako se prisjetimo definicije stupnja, problem će se svesti na uobičajeno množenje razlomaka:

Višekatni razlomci

Do sada smo razmatrali samo "čiste" razlomke, kada su brojnik i nazivnik obični brojevi. To je u skladu s definicijom brojčanog razlomka danom u prvoj lekciji.

Ali što ako se složeniji objekt stavi u brojnik ili nazivnik? Na primjer, drugi frakcija? Takve se konstrukcije javljaju prilično često, osobito pri radu s dugim izrazima. Evo nekoliko primjera:

Postoji samo jedno pravilo za rad s višekatnim frakcijama: morate ih se odmah riješiti. Uklanjanje "dodatnih" podova je prilično jednostavno, ako se sjećate da frakcijska traka znači standardnu operaciju dijeljenja. Stoga se bilo koji razlomak može prepisati na sljedeći način:

Koristeći ovu činjenicu i slijedeći proceduru, lako možemo svesti bilo koju višekatnu frakciju na redovnu. Pogledajte primjere:

Zadatak. Pretvorite višekatne razlomke u uobičajene:

U svakom slučaju prepisujemo glavni razlomak, zamjenjujući liniju dijeljenja znakom dijeljenja. Također zapamtite da se bilo koji cijeli broj može predstaviti kao razlomak s nazivnikom 1. To jest, 12 = 12/1; 3 = 3/1. dobivamo:

U posljednjem primjeru razlomci su smanjeni prije konačnog množenja.

Specifičnosti rada s višekatnim frakcijama

Postoji jedna suptilnost u razlomcima na više katova koja se uvijek mora zapamtiti, inače možete dobiti pogrešan odgovor, čak i ako su svi izračuni bili točni. Pogledaj:

U brojniku je zaseban broj 7, au nazivniku - razlomak 12/5;
Brojnik je razlomak 7/12, a nazivnik je jedan broj 5.

Dakle, za jedan rekord, dva smo dobili potpuno različita tumačenja. Ako prebrojite, odgovori će također biti drugačiji:

Kako biste osigurali da se unos uvijek čita nedvosmisleno, upotrijebite jednostavno pravilo: linija dijeljenja glavnog razlomka mora biti duža od ugniježđene crte. Po mogućnosti nekoliko puta.

Ako slijedite ovo pravilo, gornji razlomci trebaju biti napisani na sljedeći način:

Da, vjerojatno je ružan i zauzima previše mjesta. Ali izbrojit ćete točno. Konačno, nekoliko primjera gdje se razlomci na više razina doista pojavljuju:

Zadatak. Pronađite vrijednosti izraza:

Dakle, poradimo na prvom primjeru. Pretvorimo sve razlomke u nepravilne, a zatim izvršimo operacije zbrajanja i dijeljenja:

Učinimo isto s drugim primjerom. Pretvorite sve razlomke u neispravne i izvršite potrebne operacije. Kako ne bih dosadio čitatelju, izostavit ću neke očite izračune. Imamo:

Zbog činjenice da brojnik i nazivnik glavnih razlomaka sadrže zbrojeve, pravilo za pisanje višekatnih razlomaka se automatski poštuje. Također, u posljednjem primjeru namjerno smo ostavili broj 46/1 u obliku razlomka kako bismo izvršili dijeljenje.

Također napominjem da u oba primjera frakcijska traka zapravo zamjenjuje zagrade: prije svega pronašli smo zbroj, a tek onda - količnik.

Netko će reći da je prijelaz na nepravilne razlomke u drugom primjeru bio očito suvišan. Možda je to tako. No, tako se osiguravamo od pogrešaka, jer bi se sljedeći put primjer mogao pokazati puno kompliciranijim. Odaberite za sebe što je važnije: brzina ili pouzdanost.

§ 87. Zbrajanje razlomaka.

Zbrajanje razlomaka ima mnogo sličnosti sa zbrajanjem cijelih brojeva. Zbrajanje razlomaka je radnja koja se sastoji u tome da se nekoliko zadanih brojeva (članova) spoji u jedan broj (zbroj), koji sadrži sve jedinice i razlomke jedinica članova.

Razmotrit ćemo redom tri slučaja:

1. Zbrajanje razlomaka s istim nazivnicima.
2. Zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima.
3. Zbrajanje mješovitih brojeva.

1. Zbrajanje razlomaka s istim nazivnicima.

Razmotrimo primjer: 1 / 5 + 2 / 5 .

Uzmite segment AB (slika 17), uzmite ga kao jedinicu i podijelite na 5 jednakih dijelova, tada će dio AC ovog segmenta biti jednak 1/5 odsječka AB, a dio istog segmenta CD bit će jednak 2/5 AB.

Iz crteža se vidi da ako uzmemo odsječak AD, onda će on biti jednak 3/5 AB; ali segment AD je upravo zbroj segmenata AC i CD. Dakle, možemo napisati:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Uzimajući u obzir ove članove i dobiveni iznos, vidimo da je brojnik zbroja dobiven zbrajanjem brojnika članova, a nazivnik je ostao nepromijenjen.

Odavde dobivamo sljedeće pravilo: Da biste zbrojili razlomke s istim nazivnicima, morate zbrojiti njihove brojnike i ostaviti isti nazivnik.

Razmotrimo primjer:

2. Zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima.

Zbrojimo razlomke: 3/4 + 3/8 Prvo ih treba svesti na najmanji zajednički nazivnik:

Međuveza 6/8 + 3/8 nije mogla biti napisana; napisali smo to ovdje radi veće jasnoće.

Dakle, da biste zbrajali razlomke s različitim nazivnicima, prvo ih morate dovesti na najmanji zajednički nazivnik, zbrojiti njihove brojnike i potpisati zajednički nazivnik.

Razmotrimo primjer (napisat ćemo dodatne faktore preko odgovarajućih razlomaka):

3. Zbrajanje mješovitih brojeva.

Zbrojimo brojeve: 2 3 / 8 + 3 5 / 6.

Najprije dovedemo razlomke naših brojeva na zajednički nazivnik i ponovno ih prepišemo:

Sada dodajte cijeli broj i razlomak u nizu:

§ 88. Oduzimanje razlomaka.

Oduzimanje razlomaka definira se na isti način kao i oduzimanje cijelih brojeva. To je radnja kojom se, s obzirom na zbroj dvaju i jednog od njih, pronalazi drugi pojam. Razmotrimo redom tri slučaja:

1. Oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima.
2. Oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima.
3. Oduzimanje mješovitih brojeva.

1. Oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima.

Razmotrimo primjer:

13 / 15 - 4 / 15

Uzmimo odsječak AB (slika 18), uzmimo ga kao jedinicu i podijelimo na 15 jednakih dijelova; tada će AC dio ovog segmenta biti 1/15 od AB, a AD dio istog segmenta će odgovarati 13/15 AB. Odvojimo još jedan segment ED, jednak 4/15 AB.

Od 13/15 trebamo oduzeti 4/15. Na crtežu to znači da se segment ED mora oduzeti od segmenta AD. Kao rezultat toga, segment AE će ostati, što je 9/15 segmenta AB. Tako možemo napisati:

Primjer koji smo napravili pokazuje da je brojnik razlike dobiven oduzimanjem brojnika, a nazivnik je ostao isti.

Stoga, da biste oduzeli razlomke s istim nazivnicima, trebate oduzeti brojnik oduzetog od brojnika minusa i ostaviti isti nazivnik.

2. Oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima.

Primjer. 3/4 - 5/8

Prvo, smanjimo ove razlomke na najmanji zajednički nazivnik:

Međuveza 6 / 8 - 5 / 8 ovdje je napisana radi jasnoće, ali se može preskočiti u budućnosti.

Dakle, da biste od razlomka oduzeli razlomak, prvo ih morate dovesti do najmanjeg zajedničkog nazivnika, zatim od brojnika minusa oduzeti brojnik oduzetog i potpisati zajednički nazivnik pod njihovom razlikom.

Razmotrimo primjer:

3. Oduzimanje mješovitih brojeva.

Primjer. 10 3 / 4 - 7 2 / 3 .

Dovedemo razlomke minuenda i oduzetog na najmanji zajednički nazivnik:

Od cjeline smo oduzeli cjelinu, a od razlomka razlomak. Ali postoje slučajevi kada je razlomački dio subtrahenda veći od razlomka minuenda. U takvim slučajevima trebate uzeti jednu jedinicu iz cjelobrojnog dijela minuenda, podijeliti je na one dijelove u kojima je izražen razlomak i dodati razlomku minuenda. A onda će se oduzimanje izvesti na isti način kao u prethodnom primjeru:

§ 89. Množenje razlomaka.

Kada proučavamo množenje razlomaka, razmotrit ćemo sljedeća pitanja:

1. Množenje razlomka cijelim brojem.
2. Pronalaženje razlomka zadanog broja.
3. Množenje cijelog broja razlomkom.
4. Množenje razlomka s razlomkom.
5. Množenje mješovitih brojeva.
6. Pojam interesa.
7. Pronalaženje postotaka zadanog broja. Razmotrimo ih uzastopno.

1. Množenje razlomka cijelim brojem.

Množenje razlomka cijelim brojem ima isto značenje kao i množenje cijelog broja cijelim brojem. Množenje razlomka (množitelja) cijelim brojem (množitelj) znači sastavljanje zbroja identičnih članova, u kojem je svaki član jednak množeniku, a broj članova jednak množitelju.

Dakle, ako trebate pomnožiti 1/9 sa 7, to se može učiniti ovako:

Lako smo dobili rezultat, budući da se radnja svela na zbrajanje razlomaka s istim nazivnicima. Stoga,

Razmatranje ove radnje pokazuje da je množenje razlomka cijelim brojem jednako povećanju tog razlomka onoliko puta koliko ima jedinica u cijelom broju. A budući da se povećanje razlomka postiže ili povećanjem njegova brojnika

ili smanjenjem njegovog nazivnika , tada brojnik možemo ili pomnožiti cijelim brojem, ili nazivnik podijeliti s njim, ako je takva podjela moguća.

Odavde dobivamo pravilo:

Da biste razlomak pomnožili cijelim brojem, trebate brojnik pomnožiti s ovim cijelim brojem i ostaviti isti nazivnik ili, ako je moguće, podijeliti nazivnik s ovim brojem, a brojnik ostane nepromijenjen.

Prilikom množenja moguće su kratice, na primjer:

2. Pronalaženje razlomka zadanog broja. Mnogo je zadataka u kojima morate pronaći ili izračunati dio zadanog broja. Razlika između ovih zadataka i drugih je u tome što oni daju broj nekih objekata ili mjernih jedinica i potrebno je pronaći dio tog broja, koji je ovdje također označen određenim razlomkom. Da bismo olakšali razumijevanje, prvo ćemo navesti primjere takvih problema, a zatim predstaviti način njihovog rješavanja.

Zadatak 1. Imao sam 60 rubalja; 1/3 ovog novca potrošio sam na kupnju knjiga. Koliko su knjige koštale?

Zadatak 2. Vlak mora prijeći udaljenost između gradova A i B, jednaku 300 km. Već je prešao 2/3 te udaljenosti. Koliko je ovo kilometara?

Zadatak 3. U selu ima 400 kuća, 3/4 su zidane, ostale su drvene. Koliko kuće od cigle?

Ovdje su neki od mnogih problema s kojima se moramo nositi da bismo pronašli djelić zadanog broja. Obično se nazivaju problemima za pronalaženje djelića zadanog broja.

Rješenje problema 1. Od 60 rubalja. Potrošio sam 1/3 na knjige; Dakle, da biste pronašli cijenu knjiga, trebate podijeliti broj 60 s 3:

Rješenje problema 2. Značenje problema je da morate pronaći 2/3 od 300 km. Izračunaj prvu 1/3 od 300; to se postiže dijeljenjem 300 km s 3:

300: 3 = 100 (to je 1/3 od 300).

Da biste pronašli dvije trećine od 300, trebate udvostručiti dobiveni količnik, odnosno pomnožiti s 2:

100 x 2 = 200 (to je 2/3 od 300).

Rješenje problema 3. Ovdje trebate odrediti broj kuća od cigle, kojih je 3/4 od 400. Najprije pronađimo 1/4 od 400,

400: 4 = 100 (to je 1/4 od 400).

Za izračunavanje tri četvrtine od 400, dobiveni kvocijent se mora utrostručiti, odnosno pomnožiti s 3:

100 x 3 = 300 (to je 3/4 od 400).

Na temelju rješenja ovih problema možemo izvesti sljedeće pravilo:

Da biste pronašli vrijednost razlomka iz zadanog broja, trebate ovaj broj podijeliti s nazivnikom razlomka i pomnožiti dobiveni kvocijent s njegovim brojnikom.

3. Množenje cijelog broja razlomkom.

Ranije (§ 26) utvrđeno je da množenje cijelih brojeva treba shvatiti kao zbrajanje identičnih članova (5 x 4 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20). U ovom stavku (stav 1.) utvrđeno je da množenje razlomka cijelim brojem znači pronalaženje zbroja identičnih članova koji je jednak ovom razlomku.

U oba slučaja množenje se sastojalo od pronalaženja zbroja identičnih članova.

Sada prelazimo na množenje cijelog broja s razlomkom. Ovdje ćemo se susresti s takvim, na primjer, množenjem: 9 2 / 3. Sasvim je očito da se prethodna definicija množenja ne odnosi na ovaj slučaj. To je vidljivo iz činjenice da takvo množenje ne možemo zamijeniti zbrajanjem jednakih brojeva.

Zbog toga ćemo morati dati novu definiciju množenja, odnosno, drugim riječima, odgovoriti na pitanje što treba razumjeti pod množenjem razlomkom, kako treba shvatiti tu radnju.

Značenje množenja cijelog broja razlomkom jasno je iz sljedeće definicije: pomnožiti cijeli broj (množitelj) s razlomkom (množitelj) znači pronaći ovaj razlomak množitelja.

Naime, množenje 9 s 2/3 znači pronaći 2/3 od devet jedinica. U prethodnom paragrafu takvi problemi su riješeni; pa je lako shvatiti da smo na kraju sa 6.

Ali sada se postavlja zanimljivo i važno pitanje: zašto baš na prvi pogled razne aktivnosti kako pronaći zbroj jednaki brojevi i pronalaženje razlomka broja, u aritmetici se nazivaju istom riječju "množenje"?

To se događa jer prethodna radnja (ponavljanje broja s pojmovima nekoliko puta) i nova radnja (pronalaženje djelića broja) daju odgovor na homogena pitanja. To znači da ovdje polazimo od razmatranja da se homogena pitanja ili zadaci rješavaju jednom te istom radnjom.

Da biste to razumjeli, razmotrite sljedeći problem: „1 m tkanine košta 50 rubalja. Koliko će koštati 4 m takve tkanine?

Ovaj se problem rješava množenjem broja rubalja (50) s brojem metara (4), tj. 50 x 4 = 200 (rubalji).

Uzmimo isti problem, ali u njemu će količina tkanine biti izražena kao razlomak: „1 m tkanine košta 50 rubalja. Koliko će koštati 3/4 m takve tkanine?

Ovaj problem također treba riješiti množenjem broja rubalja (50) s brojem metara (3/4).

Brojeve u njemu također možete mijenjati nekoliko puta bez promjene značenja problema, na primjer, uzmite 9/10 m ili 2 3/10 m, itd.

Budući da ti zadaci imaju isti sadržaj i razlikuju se samo po brojevima, radnje koje se koriste u njihovom rješavanju nazivamo istom riječju – množenje.

Kako se cijeli broj množi s razlomkom?

Uzmimo brojeve na koje smo naišli u zadnjem zadatku:

Prema definiciji, moramo pronaći 3/4 od 50. Prvo nađemo 1/4 od 50, a zatim 3/4.

1/4 od 50 je 50/4;

3/4 od 50 je .

Stoga.

Razmotrimo još jedan primjer: 12 5 / 8 = ?

1/8 od 12 je 12/8,

5/8 broja 12 je .

Stoga,

Odavde dobivamo pravilo:

Da biste cijeli broj pomnožili s razlomkom, trebate cijeli broj pomnožiti s brojnikom razlomka i ovaj umnožak učiniti brojnikom, a nazivnik zadanog razlomka potpisati kao nazivnik.

Ovo pravilo pišemo slovima:

Da bi ovo pravilo bilo savršeno jasno, treba imati na umu da se razlomak može smatrati količnikom. Stoga je korisno usporediti pronađeno pravilo s pravilom množenja broja s količnikom, koje je navedeno u § 38.

Morate imati na umu da prije izvođenja množenja trebate učiniti (ako je moguće) posjekotine, Na primjer:

4. Množenje razlomka s razlomkom. Množenje razlomka razlomkom ima isto značenje kao i množenje cijelog broja razlomkom, odnosno kada množite razlomak razlomkom, trebate pronaći razlomak u množitelju iz prvog razlomka (množitelja).

Naime, množenje 3/4 s 1/2 (pola) znači pronaći polovicu od 3/4.

Kako množite razlomak s razlomkom?

Uzmimo primjer: 3/4 puta 5/7. To znači da morate pronaći 5/7 od 3/4. Pronađite prvo 1/7 od 3/4, a zatim 5/7

1/7 od 3/4 bi se izrazilo ovako:

5/7 brojevi 3/4 bit će izraženi na sljedeći način:

Tako,

Drugi primjer: 5/8 puta 4/9.

1/9 od 5/8 je ,

4/9 brojevi 5/8 su .

Tako,

Iz ovih primjera može se zaključiti sljedeće pravilo:

Da biste razlomak pomnožili razlomkom, trebate pomnožiti brojnik s brojnikom, a nazivnik s nazivnikom i prvi umnožak učiniti brojnikom, a drugi umnožak nazivnikom proizvoda.

Ovo je pravilo u opći pogled može se napisati ovako:

Prilikom množenja potrebno je napraviti (ako je moguće) redukcije. Razmotrimo primjere:

5. Množenje mješovitih brojeva. Budući da se mješoviti brojevi lako mogu zamijeniti nepravilnim razlomcima, ova se okolnost obično koristi pri množenju mješovitih brojeva. To znači da se u onim slučajevima kada su množitelj, ili množitelj, ili oba faktora izraženi kao mješoviti brojevi, oni se zamjenjuju nepravilnim razlomcima. Pomnožite, na primjer, mješovite brojeve: 2 1/2 i 3 1/5. Pretvorimo svaku od njih u pravi razlomak a zatim ćemo dobivene razlomke pomnožiti prema pravilu množenja razlomka s razlomkom:

Pravilo. Za množenje mješovitih brojeva, prvo ih morate pretvoriti u nepravilne razlomke, a zatim množiti prema pravilu množenja razlomka s razlomkom.

Bilješka. Ako je jedan od faktora cijeli broj, tada se množenje može izvesti na temelju zakona distribucije na sljedeći način:

6. Pojam interesa. Pri rješavanju zadataka i pri izvođenju raznih praktičnih proračuna koristimo se sve vrste razlomaka. Ali treba imati na umu da mnoge količine za sebe ne priznaju bilo kakve, već prirodne podrazdjele. Na primjer, možete uzeti stoti dio (1/100) rublje, to će biti peni, dvije stotinke su 2 kopejke, tri stotine su 3 kopejke. Možete uzeti 1/10 rublje, to će biti "10 kopejki, ili novčić. Možete uzeti četvrtinu rublje, tj. 25 kopejki, pola rublje, tj. 50 kopejki (pedeset kopejki). Ali oni praktički doniraju Nemojte uzeti, na primjer, 2/7 rubalja jer rublja nije podijeljena na sedmine.

Mjerna jedinica za težinu, tj. kilogram, dopušta, prije svega, decimalne podjele, na primjer, 1/10 kg ili 100 g. I takve frakcije kilograma kao što su 1/6, 1/11, 1/ 13 su neuobičajeni.

Općenito, naše (metričke) mjere su decimalne i dopuštaju decimalne podjele.

Međutim, treba napomenuti da je iznimno korisno i prikladno u velikom broju slučajeva koristiti istu (jednoličnu) metodu podjele veličina. Dugogodišnje iskustvo pokazalo je da je tako opravdana podjela podjela na "stotke". Razmotrimo nekoliko primjera vezanih uz najrazličitija područja ljudske prakse.

1. Cijena knjiga je smanjena za 12/100 od prethodne cijene.

Primjer. Prethodna cijena knjige je 10 rubalja. Pala je za 1 rublju. 20 kop.

2. Štedionice tijekom godine isplaćuju štedišama 2/100 iznosa koji se stavlja na štednju.

Primjer. 500 rubalja stavlja se u blagajnu, prihod od ovog iznosa za godinu je 10 rubalja.

3. Broj maturanata jedne škole bio je 5/100 od ukupnog broja učenika.

PRIMJER U školi je studiralo samo 1200 učenika, od kojih je 60 završilo školu.

Stoti dio broja naziva se postotak..

Riječ "postotak" posuđena je iz latinski a njegov korijen "cent" znači sto. Zajedno s prijedlogom (procentum), ova riječ znači "za stotinu". Značenje ovog izraza proizlazi iz činjenice da je u početku u stari Rim kamate je bio novac koji je dužnik plaćao zajmodavcu "za svakih sto". Riječ "cent" čuje se u takvim poznatim riječima: centner (sto kilograma), centimetar (kažu centimetar).

Na primjer, umjesto da kažemo da je tvornica proizvela 1/100 svih proizvoda koje je proizvela tijekom prošlog mjeseca, reći ćemo ovo: tvornica je proizvela jedan posto otpada tijekom proteklog mjeseca. Umjesto da kažemo: pogon je proizveo 4/100 proizvoda više od utvrđenog plana, reći ćemo: pogon je premašio plan za 4 posto.

Gornji primjeri mogu se drugačije izraziti:

1. Cijena knjiga je niža za 12 posto od prethodne cijene.

2. Štedionice plaćaju štedišama 2 posto godišnje od iznosa uloženog u štednju.

3. Broj maturanata jedne škole iznosio je 5 posto od broja svih učenika u školi.

Kako bismo skratili slovo, uobičajeno je umjesto riječi "postotak" pisati znak %.

Međutim, treba imati na umu da se znak % obično ne piše u izračunima, već se može napisati u iskazu problema i u konačnom rezultatu. Kada izvodite izračune, trebate napisati razlomak s nazivnikom 100 umjesto cijelog broja s ovom ikonom.

Morate biti u mogućnosti zamijeniti cijeli broj navedenom ikonom razlomkom s nazivnikom 100:

Suprotno tome, trebate se naviknuti pisati cijeli broj s naznačenom ikonom umjesto razlomka s nazivnikom 100:

7. Pronalaženje postotaka zadanog broja.

Zadatak 1.Škola je dobila 200 kubika. m drva za ogrjev, od čega 30% otpada na breza. Koliko je bilo brezovog drveta?

Smisao ovog problema je da je brezovo ogrjev samo dio ogrjevnog drva koje je dostavljeno školi, a taj dio se izražava kao razlomak 30/100. Dakle, pred nama je zadatak da pronađemo djelić broja. Da bismo ga riješili, moramo 200 pomnožiti s 30 / 100 (zadaci za pronalaženje razlomka broja rješavaju se množenjem broja s razlomkom.).

Dakle, 30% od 200 jednako je 60.

Razlomak 30/100 koji se susreće u ovom zadatku može se smanjiti za 10. Ovu redukciju bilo bi moguće izvesti od samog početka; rješenje problema se ne bi promijenilo.

Zadatak 2. U kampu je bilo 300 djece različite dobi. Djeca od 11 godina bila su 21%, djeca od 12 godina bila su 61% i konačno 13-godišnjaci bili su 18%. Koliko je djece svake dobi bilo u kampu?

U ovom zadatku trebate izvesti tri izračuna, odnosno sukcesivno pronaći broj djece od 11 godina, zatim od 12 godina i na kraju od 13 godina.

Dakle, ovdje će biti potrebno pronaći razlomak broja tri puta. Učinimo to:

1) Koliko je djece imalo 11 godina?

2) Koliko je djece imalo 12 godina?

3) Koliko je djece imalo 13 godina?

Nakon rješavanja zadatka, korisno je zbrojiti pronađene brojeve; njihov zbroj bi trebao biti 300:

63 + 183 + 54 = 300

Također treba obratiti pažnju na činjenicu da je zbroj postotaka navedenih u stanju problema 100:

21% + 61% + 18% = 100%

Ovo sugerira da ukupni broj djeca koja su bila u kampu uzeta je kao 100%.

3 a da cha 3. Radnik je primao 1200 rubalja mjesečno. Od toga je 65% potrošio na hranu, 6% na stan i grijanje, 4% na plin, struju i radio, 10% na kulturne potrebe i 15% uštedio. Koliko je novca potrošeno na potrebe navedene u zadatku?

Da biste riješili ovaj problem, morate 5 puta pronaći razlomak broja 1200. Učinimo to.

1) Koliko se novca troši na hranu? Zadatak kaže da je ovaj trošak 65% svih zarada, tj. 65/100 od broja 1200. Izračunajmo:

2) Koliko je novca plaćeno za stan s grijanjem? Raspravljajući kao i prethodni, dolazimo do sljedeće računice:

3) Koliko ste novca platili za plin, struju i radio?

4) Koliko se novca troši na kulturne potrebe?

5) Koliko je novca radnik uštedio?

Za provjeru je korisno dodati brojeve koji se nalaze u ovih 5 pitanja. Iznos bi trebao biti 1200 rubalja. Sva zarada se uzima kao 100%, što je lako provjeriti zbrajanjem postotaka navedenih u opisu problema.

Riješili smo tri problema. Unatoč tome što su se ti zadaci odnosili na različite stvari (dostava drva za ogrjev za školu, broj djece različite dobi, troškovi radnika), rješavani su na isti način. To se dogodilo jer je u svim zadacima bilo potrebno pronaći nekoliko posto zadanih brojeva.

§ 90. Dijeljenje razlomaka.

Kada proučavamo dijeljenje razlomaka, razmotrit ćemo sljedeća pitanja:

1. Podijelite cijeli broj cijelim brojem.
2. Dijeljenje razlomka cijelim brojem
3. Dijeljenje cijelog broja razlomkom.
4. Dijeljenje razlomka razlomkom.
5. Dijeljenje mješovitih brojeva.
6. Pronalaženje broja s obzirom na njegov razlomak.
7. Pronalaženje broja po postotku.

Razmotrimo ih uzastopno.

1. Podijelite cijeli broj cijelim brojem.

Kao što je naznačeno u odjeljku o cijelim brojevima, dijeljenje je radnja koja se sastoji u činjenici da se, s obzirom na umnožak dvaju čimbenika (dividenda) i jednog od tih čimbenika (djelitelj), pronađe drugi faktor.

Dijeljenje cijelog broja cijelim brojem razmatrali smo u odjelu cijelih brojeva. Tamo smo susreli dva slučaja dijeljenja: dijeljenje bez ostatka ili "u potpunosti" (150:10 = 15) i dijeljenje s ostatkom (100:9 = 11 i 1 u ostatku). Stoga možemo reći da u području cijelih brojeva nije uvijek moguće točno dijeljenje, jer dividenda nije uvijek umnožak djelitelja i cijelog broja. Nakon uvođenja množenja razlomkom, možemo smatrati svaki slučaj dijeljenja cijelih brojeva mogućim (isključuje se samo dijeljenje s nulom).

Na primjer, dijeljenje 7 s 12 znači pronaći broj čiji bi umnožak puta 12 bio 7. Ovaj broj je razlomak 7/12 jer je 7/12 12 = 7. Drugi primjer: 14: 25 = 14/25 jer je 14/25 25 = 14.

Dakle, da biste cijeli broj podijelili cijelim brojem, trebate napraviti razlomak čiji je brojnik jednak dividendi, a nazivnik je djelitelj.

2. Dijeljenje razlomka cijelim brojem.

Podijelite razlomak 6/7 sa 3. Prema gore datoj definiciji dijeljenja, ovdje imamo umnožak (6/7) i jedan od faktora (3); potrebno je pronaći takav drugi faktor koji bi, kada se pomnoži s 3, dao zadani proizvod 6/7. Očito, trebao bi biti tri puta manji od ovog proizvoda. To znači da je zadatak koji je pred nas bio smanjiti razlomak 6/7 za 3 puta.

Već znamo da se smanjenje razlomka može izvršiti ili smanjenjem brojnika ili povećanjem nazivnika. Stoga možete napisati:

U ovom slučaju brojnik 6 je djeljiv s 3, pa brojnik treba smanjiti za 3 puta.

Uzmimo još jedan primjer: 5 / 8 podijeljeno s 2. Ovdje brojnik 5 nije djeljiv s 2, što znači da će nazivnik morati pomnožiti s ovim brojem:

Na temelju toga možemo navesti pravilo: Da biste razlomak podijelili cijelim brojem, trebate brojnik razlomka podijeliti s tim cijelim brojem(ako je moguće), ostavljajući isti nazivnik, ili pomnožite nazivnik razlomka s tim brojem, ostavljajući isti brojnik.

3. Dijeljenje cijelog broja razlomkom.

Neka je potrebno podijeliti 5 s 1 / 2, tj. pronaći broj koji će, nakon množenja s 1 / 2, dati umnožak 5. Očito, ovaj broj mora biti veći od 5, budući da je 1 / 2 pravi razlomak, a kod množenja broja s pravim razlomkom umnožak mora biti manji od množitelja. Da bi bilo jasnije, napišimo naše radnje na sljedeći način: 5: 1 / 2 = x , dakle x 1 / 2 \u003d 5.

Moramo pronaći takav broj x , što bi, kada se pomnoži s 1/2, dalo 5. Budući da množenje određenog broja s 1/2 znači pronalaženje 1/2 ovog broja, onda, dakle, 1/2 nepoznati broj x je 5, a cijeli broj x dvostruko više, tj. 5 2 \u003d 10.

Dakle 5: 1 / 2 = 5 2 = 10

Provjerimo:

Razmotrimo još jedan primjer. Neka je potrebno podijeliti 6 sa 2/3. Pokušajmo najprije pomoću crteža pronaći željeni rezultat (slika 19).

sl.19

Nacrtajte odsječak AB, jednak 6 nekih jedinica, i svaku jedinicu podijelite na 3 jednaka dijela. U svakoj jedinici tri trećine (3/3) u cijelom segmentu AB je 6 puta veće, tj. e. 18/3. Povezujemo uz pomoć malih zagrada 18 dobivenih segmenata od 2; Bit će samo 9 segmenata. To znači da je razlomak 2/3 sadržan u b jedinicama 9 puta, ili, drugim riječima, razlomak 2/3 je 9 puta manji od 6 cijelih jedinica. Stoga,

Kako dobiti ovaj rezultat bez crteža koristeći samo izračune? Argumentirati ćemo na sljedeći način: potrebno je podijeliti 6 s 2 / 3, tj. potrebno je odgovoriti na pitanje koliko puta je 2 / 3 sadržano u 6. Najprije saznajmo: koliko je puta 1 / 3 sadržano u 6? U cijeloj jedinici - 3 trećine, au 6 jedinica - 6 puta više, tj. 18 trećina; da bismo pronašli ovaj broj, moramo 6 pomnožiti s 3. Dakle, 1/3 je sadržano u b jedinicama 18 puta, a 2/3 je sadržano u b jedinicama ne 18 puta, već upola manje puta, tj. 18: 2 = 9 Dakle, prilikom dijeljenja 6 sa 2/3 učinili smo sljedeće:

Odavde dobivamo pravilo za dijeljenje cijelog broja s razlomkom. Da biste cijeli broj podijelili razlomkom, trebate ovaj cijeli broj pomnožiti s nazivnikom danog razlomka i, čineći ovaj umnožak brojnikom, podijeliti ga s brojnikom zadanog razlomka.

Pravilo pišemo slovima:

Da bi ovo pravilo bilo savršeno jasno, treba imati na umu da se razlomak može smatrati količnikom. Stoga je korisno pronađeno pravilo usporediti s pravilom dijeljenja broja s količnikom, koje je navedeno u § 38. Imajte na umu da je tamo dobivena ista formula.

Prilikom podjele moguće su kratice, na primjer:

4. Dijeljenje razlomka razlomkom.

Neka je potrebno podijeliti 3/4 sa 3/8. Što će označavati broj koji će se dobiti dijeljenjem? Odgovorit će na pitanje koliko puta je razlomak 3/8 sadržan u razlomku 3/4. Da bismo razumjeli ovo pitanje, napravimo crtež (slika 20).

Uzmite segment AB, uzmite ga kao jedinicu, podijelite ga na 4 jednaka dijela i označite 3 takva dijela. Segment AC bit će jednak 3/4 segmenta AB. Podijelimo sada svaki od četiri početna segmenta na pola, tada će se segment AB podijeliti na 8 jednakih dijelova i svaki takav dio će biti jednak 1/8 segmenta AB. Spojimo 3 takva segmenta s lukovima, tada će svaki od segmenata AD i DC biti jednak 3/8 segmenta AB. Crtež pokazuje da je segment jednak 3/8 sadržan u segmentu jednakom 3/4 točno 2 puta; Dakle, rezultat dijeljenja može se napisati ovako:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Razmotrimo još jedan primjer. Neka je potrebno podijeliti 15/16 s 3/32:

Možemo zaključiti ovako: trebamo pronaći broj koji će, nakon množenja s 3/32, dati proizvod jednak 15/16. Zapišimo izračune ovako:

15 / 16: 3 / 32 = x

3 / 32 x = 15 / 16

3/32 nepoznati broj x čine 15/16

1/32 nepoznati broj x je ,

32 / 32 brojeva x šminka .

Stoga,

Dakle, da biste razlomak podijelili razlomkom, trebate pomnožiti brojnik prvog razlomka s nazivnikom drugog, a nazivnik prvog razlomka pomnožiti brojnikom drugog i prvi proizvod učiniti brojnikom i drugo nazivnik.

Napišimo pravilo pomoću slova:

Prilikom podjele moguće su kratice, na primjer:

5. Dijeljenje mješovitih brojeva.

Prilikom dijeljenja mješovitih brojeva, prvo ih je potrebno pretvoriti u nepravilni razlomci, zatim podijelite dobivene razlomke prema pravilima za dijeljenje razlomaka. Razmotrimo primjer:

Pretvorite mješovite brojeve u nepravilne razlomke:

Sada podijelimo:

Dakle, da biste podijelili mješovite brojeve, trebate ih pretvoriti u nepravilne razlomke, a zatim podijeliti prema pravilu za dijeljenje razlomaka.

6. Pronalaženje broja s obzirom na njegov razlomak.

Među razne zadatke na razlomcima, ponekad postoje i oni u kojima je dana vrijednost nekog razlomka nepoznatog broja i potrebno je pronaći taj broj. Ova vrsta problema bit će inverzna problemu pronalaženja razlomka zadanog broja; tamo je zadan broj i trebalo je pronaći neki djelić tog broja, ovdje je zadan djelić broja i potrebno je pronaći sam taj broj. Ova ideja će postati još jasnija ako se okrenemo rješenju ove vrste problema.

Zadatak 1. Prvog dana staklari su ostaklili 50 prozora, što je 1/3 svih prozora izgrađene kuće. Koliko prozora ima u ovoj kući?

Odluka. Problem kaže da 50 ostakljenih prozora čini 1/3 svih prozora kuće, što znači da je ukupno 3 puta više prozora, t.j.

Kuća je imala 150 prozora.

Zadatak 2. U trgovini je prodano 1.500 kg brašna, što je 3/8 ukupne zalihe brašna u trgovini. Koja je bila početna zaliha brašna u trgovini?

Odluka. Iz stanja zadatka se vidi da prodanih 1500 kg brašna čini 3/8 ukupne zalihe; to znači da će 1/8 ove zalihe biti 3 puta manje, tj. da biste ga izračunali, trebate smanjiti 1500 za 3 puta:

1500: 3 = 500 (to je 1/8 dionice).

Očito će cijela zaliha biti 8 puta veća. Stoga,

500 8 \u003d 4.000 (kg).

Početna zaliha brašna u trgovini iznosila je 4.000 kg.

Iz razmatranja ovog problema može se izvesti sljedeće pravilo.

Da biste pronašli broj prema zadanoj vrijednosti njegovog razlomka, dovoljno je ovu vrijednost podijeliti s brojnikom razlomka i rezultat pomnožiti nazivnikom razlomka.

Rješili smo dva zadatka o pronalaženju broja s obzirom na njegov razlomak. Takvi se problemi, kao što se posebno dobro vidi iz zadnjeg, rješavaju s dvije radnje: dijeljenjem (kada se pronađe jedan dio) i množenjem (kada se pronađe cijeli broj).

Međutim, nakon što smo proučili dijeljenje razlomaka, navedeni problemi se mogu riješiti jednom radnjom, a to je: dijeljenje razlomkom.

Na primjer, posljednji zadatak može se riješiti u jednoj radnji ovako:

U budućnosti ćemo rješavati problem pronalaženja broja po razlomku u jednoj radnji – dijeljenju.

7. Pronalaženje broja po postotku.

U ovim zadacima morat ćete pronaći broj, poznavajući nekoliko posto tog broja.

Zadatak 1. Početkom ove godine dobio sam od štedionice 60 rubalja. prihod od iznosa koji sam stavio u štednju prije godinu dana. Koliko sam novca stavio u štedionicu? (Blagajne daju štedišama 2% prihoda godišnje.)

Smisao problema je u tome što sam određenu svotu novca stavio u štedionicu i tamo je ležao godinu dana. Nakon godinu dana od nje sam dobio 60 rubalja. prihod, što je 2/100 novca koji sam uložio. Koliko sam novca položio?

Stoga, poznavajući dio tog novca, izražen na dva načina (u rubljama i u razlomcima), moramo pronaći cijeli, još nepoznati iznos. Ovo je običan problem pronalaženja broja s obzirom na njegov razlomak. Dijeljenjem se rješavaju sljedeći zadaci:

Dakle, 3000 rubalja uloženo je u štedionicu.

Zadatak 2. Ribari su u dva tjedna ispunili mjesečni plan za 64%, pripremivši 512 tona ribe. Kakav je bio njihov plan?

Iz stanja problema doznaje se da su ribari odradili dio plana. Ovaj dio iznosi 512 tona, što je 64% plana. Koliko tona ribe treba uloviti prema planu, ne znamo. Rješenje zadatka sastojat će se u pronalaženju ovog broja.

Takvi se zadaci rješavaju dijeljenjem:

Dakle, prema planu treba pripremiti 800 tona ribe.

Zadatak 3. Vlak je išao iz Rige za Moskvu. Kada je prošao 276. kilometar, jedan od putnika upitao je konduktera u prolazu koliki su dio puta već prešli. Na to je kondukter odgovorio: "Već smo prešli 30% cijelog putovanja." Koja je udaljenost od Rige do Moskve?

Iz stanja zadatka se vidi da 30% puta od Rige do Moskve iznosi 276 km. Trebamo pronaći cijelu udaljenost između ovih gradova, tj. za ovaj dio pronaći cjelinu:

§ 91. Recipročni brojevi. Zamjena dijeljenja množenjem.

Uzmimo razlomak 2/3 i presložimo brojnik na mjesto nazivnika, dobivamo 3/2. Dobili smo razlomak, recipročnu vrijednost ovog.

Da biste dobili razlomak recipročan zadanom, trebate staviti njegov brojnik na mjesto nazivnika, a nazivnik na mjesto brojnika. Na taj način možemo dobiti razlomak koji je recipročan bilo kojem razlomku. Na primjer:

3/4, obrnuto 4/3; 5/6, obrnuto 6/5

Dva razlomka koja imaju svojstvo da je brojnik prvog nazivnik drugog, a nazivnik prvog brojnik drugog naziva se međusobno inverzne.

Sada razmislimo o tome koji će razlomak biti recipročan od 1/2. Očito će biti 2/1, ili samo 2. Tražeći recipročnu vrijednost ovoga, dobili smo cijeli broj. I ovaj slučaj nije izoliran; naprotiv, za sve razlomke s brojnikom 1 (jedan), recipročni će biti cijeli brojevi, na primjer:

1 / 3, inverzno 3; 1/5, obrnuto 5

Budući da smo se pri pronalaženju recipročnih vrijednosti susreli i s cijelim brojevima, ubuduće nećemo govoriti o recipročnim vrijednostima, već o recipročne.

Hajde da shvatimo kako napisati recipročnu vrijednost cijelog broja. Za razlomke to se rješava jednostavno: trebate staviti nazivnik na mjesto brojnika. Na isti način možete dobiti recipročnu vrijednost cijelog broja, budući da bilo koji cijeli broj može imati nazivnik 1. Stoga će recipročna vrijednost od 7 biti 1 / 7, jer je 7 \u003d 7 / 1; za broj 10 obrnuto je 1/10 jer je 10 = 10/1

Ova ideja se može izraziti na drugi način: recipročna vrijednost zadanog broja dobiva se dijeljenjem jedan s zadanim brojem. Ova izjava vrijedi ne samo za cijele brojeve, već i za razlomke. Doista, ako želite napisati broj, inverzni razlomak 5/9, onda možemo uzeti 1 i podijeliti ga s 5/9, t.j.

Istaknimo sada jednu imovine međusobno recipročni brojevi, koji će nam biti korisni: umnožak međusobno recipročnih brojeva jednak je jedan. Doista:

Koristeći ovo svojstvo, možemo pronaći recipročne vrijednosti na sljedeći način. Nađimo recipročnu vrijednost 8.

Označimo ga slovom x , zatim 8 x = 1, dakle x = 1 / 8 . Nađimo drugi broj, obrnut od 7/12, označimo ga slovom x , zatim 7/12 x = 1, dakle x = 1:7 / 12 ili x = 12 / 7 .

Ovdje smo uveli pojam recipročnih brojeva kako bismo malo dopunili informacije o podjeli razlomaka.

Kada broj 6 podijelimo s 3/5, radimo sljedeće:

Obratite posebnu pozornost na izraz i usporedite ga sa zadanim: .

Ako izraz uzmemo zasebno, bez veze s prethodnim, onda je nemoguće riješiti pitanje odakle je došao: od dijeljenja 6 s 3/5 ili od množenja 6 s 5/3. U oba slučaja rezultat je isti. Tako da možemo reći da se dijeljenje jednog broja drugim može zamijeniti množenjem dividende s recipročnom vrijednosti djelitelja.

Primjeri koje navodimo u nastavku u potpunosti potvrđuju ovaj zaključak.

S razlomcima možete izvesti sve radnje, uključujući dijeljenje. Ovaj članak prikazuje podjelu obični razlomci. Dat će se definicije, razmotriti primjeri. Zadržimo se na podjeli razlomaka prirodnim brojevima i obrnuto. Razmatrat će se dijeljenje običnog razlomka mješovitim brojem.

Podjela običnih razlomaka

Dijeljenje je obrnuto od množenja. Prilikom dijeljenja nepoznati množitelj nalazi se na poznato djelo i drugi čimbenik, gdje mu je zadano značenje sačuvano s običnim razlomcima.

Ako je potrebno podijeliti obični razlomak a b s c d, tada da biste odredili takav broj, trebate pomnožiti s djeliteljem c d, to će na kraju dati dividendu a b. Uzmimo broj i zapišimo ga a b · d c , gdje je d c recipročna vrijednost c d broja. Jednakosti se mogu napisati korištenjem svojstava množenja, i to: a b d c c d = a b d c c d = a b 1 = a b , gdje je izraz a b d c kvocijent dijeljenja a b s c d .

Odavde dobivamo i formuliramo pravilo za dijeljenje običnih razlomaka:

Definicija 1

Da biste obični razlomak a b podijelili s c d, trebate pomnožiti dividendu s recipročnom vrijednosti djelitelja.

Zapišimo pravilo kao izraz: a b: c d = a b d c

Pravila dijeljenja svode se na množenje. Da biste se toga držali, morate biti dobro upućeni u izvođenje množenja običnih razlomaka.

Prijeđimo na dijeljenje običnih razlomaka.

Primjer 1

Izvrši dijeljenje 9 7 na 5 3 . Rezultat zapišite kao razlomak.

Odluka

Broj 5 3 je recipročan od 3 5 . Morate koristiti pravilo za dijeljenje običnih razlomaka. Ovaj izraz pišemo na sljedeći način: 9 7: 5 3 \u003d 9 7 3 5 \u003d 9 3 7 5 \u003d 27 35.

Odgovor: 9 7: 5 3 = 27 35 .

Kada smanjujete razlomke, trebate odabrati cijeli dio ako je brojnik veći od nazivnika.

Primjer 2

Podijelite 8 15: 24 65 . Odgovor napiši kao razlomak.

Odluka

Rješenje je prelazak s dijeljenja na množenje. Zapisujemo ga u ovom obliku: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Potrebno je napraviti smanjenje, a to se radi na sljedeći način: 8 65 15 24 \u003d 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 \u003d 13 3 3 \u003d 13 9

Odaberemo cijeli broj i dobijemo 13 9 = 1 4 9 .

Odgovor: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .

Dijeljenje izvanrednog razlomka prirodnim brojem

Koristimo se pravilom dijeljenja razlomka prirodnim brojem: da biste a b podijelili prirodnim brojem n, trebate samo nazivnik pomnožiti s n. Odavde dobivamo izraz: a b: n = a b · n .

Pravilo dijeljenja posljedica je pravila množenja. Stoga reprezentacija prirodni broj u obliku razlomka dat će jednakost ove vrste: a b: n \u003d a b: n 1 \u003d a b 1 n \u003d a b n.

Razmotrimo ovu dijeljenje razlomka brojem.

Primjer 3

Podijelite razlomak 1645 brojem 12.

Odluka

Primijenite pravilo za dijeljenje razlomka brojem. Dobivamo izraz kao što je 16 45: 12 = 16 45 12 .

Smanjimo razlomak. Dobivamo 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135 .

Odgovor: 16 45: 12 = 4 135 .

Dijeljenje prirodnog broja običnim razlomkom

Slično je i pravilo dijeljenja oko pravilo dijeljenja prirodnog broja običnim razlomkom: da bi se prirodni broj n podijelio običnim a b , potrebno je broj n pomnožiti s recipročnim razlomkom a b .

Na temelju pravila imamo n: a b \u003d n b a, a zahvaljujući pravilu množenja prirodnog broja običnim razlomkom, dobivamo svoj izraz u obliku n: a b \u003d n b a. Ovu podjelu potrebno je razmotriti na primjeru.

Primjer 4

Podijelite 25 sa 15 28 .

Odluka

Moramo prijeći s dijeljenja na množenje. Zapisujemo u obliku izraza 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15 . Smanjimo razlomak i dobijemo rezultat u obliku razlomka 46 2 3 .

Odgovor: 25: 15 28 = 46 2 3 .

Dijeljenje običnog razlomka mješovitim brojem

Prilikom dijeljenja običnog razlomka mješovitim brojem, lako možete zasjati u dijeljenju običnih razlomaka. Treba prevesti mješoviti broj u nepravilan razlomak.

Primjer 5

Podijelite razlomak 35 16 s 3 1 8 .

Odluka

Budući da je 3 1 8 mješoviti broj, predstavimo ga kao nepravilan razlomak. Tada dobivamo 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8 . Sada podijelimo razlomke. Dobivamo 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10

Odgovor: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .

Dijeljenje mješovitog broja vrši se na isti način kao i obični brojevi.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Za rješavanje raznih zadataka iz kolegija matematike fizika mora podijeliti razlomke. To je vrlo lako učiniti ako znate određena pravila za izvođenje ove matematičke operacije.

Prije nego što prijeđemo na formuliranje pravila o dijeljenju razlomaka, prisjetimo se nekih matematičkih pojmova:

Vrh razlomka naziva se brojnik, a dno naziva nazivnik.
Prilikom dijeljenja brojevi se nazivaju ovako: dividenda: djelitelj = količnik

Kako dijeliti razlomke: jednostavni razlomci

Da biste podijelili dva jednostavna razlomka, pomnožite dividendu s recipročnom vrijednosti djelitelja. Taj se razlomak naziva i obrnutim razlomak, jer se dobiva zamjenom brojnika i nazivnika. Na primjer:

3/77: 1/11 = 3 /77 * 11 /1 = 3/7

Kako podijeliti razlomke: mješoviti razlomci

Ako moramo podijeliti mješovite razlomke, onda je i ovdje sve prilično jednostavno i jasno. Prvo pretvorite mješoviti razlomak u obični nepravilni razlomak. Da bismo to učinili, nazivnik takvog razlomka pomnožimo cijelim brojem i rezultatskom proizvodu dodamo brojnik. Kao rezultat, dobili smo novi brojnik mješovitog razlomka, a njegov nazivnik će ostati nepromijenjen. Daljnje dijeljenje razlomaka provodit će se na isti način kao i dijeljenje jednostavnih razlomaka. Na primjer:

10 2/3: 4/15 = 32/3: 4/15 = 32/3 * 15 /4 = 40/1 = 40

Kako podijeliti razlomak brojem

Da bi se prosti razlomak podijelio brojem, potonji treba napisati kao razlomak (nepravilan). To je vrlo lako učiniti: ovaj je broj napisan umjesto brojnika, a nazivnik takvog razlomka jednak je jedan. Daljnja podjela se provodi na uobičajeni način. Pogledajmo ovo na primjeru:

5/11: 7 = 5/11: 7/1 = 5/11 * 1/7 = 5/77

Kako podijeliti decimale

Često odrasla osoba ima poteškoća, ako je potrebno, bez pomoći kalkulatora, podijeliti cijeli broj ili decimalni razlomak na decimalni razlomak.

Dakle, napraviti podjelu decimalni razlomci, samo trebate precrtati zarez u djelitelju i prestati obraćati pažnju na to. U djeljivom se zarez mora pomaknuti udesno točno onoliko znakova koliko je bio u razlomku djelitelja, dodajući nule ako je potrebno. A zatim proizvesti uobičajeno dijeljenje cijelim brojem. Da ovo bude jasnije, uzmimo sljedeći primjer.