U ovoj lekciji ćemo izvesti formulu za zbroj članova konačne aritmetičke progresije i riješiti neke probleme pomoću te formule.
Tema: Progresije
Lekcija: Formula za zbroj članova konačne aritmetičke progresije
1. Uvod
Razmotrite problem: pronađite zbroj prirodnih brojeva od 1 do uključujući 100.
Dano: 1, 2, 3, ..., 98, 99, 100.
Pronađite: S100=1+2+3 … +98 + 99 + 100.
Rješenje: S100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)=101+101+101+…+101=101 x 50=5050.
Odgovor: 5050.
Niz prirodnih brojeva 1, 2, 3, ..., 98, 99, 100 je aritmetička progresija: a1=1, d=1.
Pronašli smo zbroj prvih sto prirodnih brojeva, tj. zbroj prvih n članovi aritmetičke progresije.
Razmatrano rješenje predložio je veliki matematičar Carl Friedrich Gauss, koji je živio u 19. stoljeću. Problem je riješio on u dobi od 5 godina.
Povijesna referenca: Johann Carl Friedrich Gauss (1777. - 1855.) - njemački matematičar, mehaničar, fizičar i astronom. Smatra se jednim od najvećih matematičara svih vremena, "kraljem matematičara". Dobitnik Copleyeve medalje (1838.), strani član Švedske (1821.) i Ruske (1824.) akademije znanosti, engleskog kraljevskog društva. Prema legendi, školski učitelj matematike, kako bi djecu dugo zaokupio, predložio im je da izračunaju zbroj brojeva od 1 do 100. Mladi Gauss je primijetio da su zbrojevi u paru od suprotnosti prema suprotnostima jednaki: 1+100 =101, 2+99=101, itd. i odmah dobio rezultat: 101x50=5050.
2. Derivacija formule za zbroj prvih n članova aritmetičke progresije
Razmotrimo sličan problem za proizvoljnu aritmetičku progresiju.
Nađi: zbroj prvih n članova aritmetičke progresije.
Pokažimo da su svi izrazi u zagradama jednaki jedni drugima, odnosno izrazu . Neka je d razlika aritmetičke progresije. Zatim:
I tako dalje. Stoga možemo napisati:
Odakle dobivamo formulu za zbroj prvih n članova aritmetičke progresije:
.
3. Rješavanje zadataka o primjeni formule za zbroj prvih n članova aritmetičke progresije
1. Riješite problem zbroja prirodnih brojeva od 1 do 100 koristeći formulu za zbroj prvih n članova aritmetičke progresije:
Rješenje: a1=1, d=1, n=100.
Opća formula:
.
U našem slučaju: .
Odgovor: 5050.
Opća formula:
. Pronađimo po formuli n-tog člana aritmetičke progresije: 
.
U našem slučaju: .
Da biste pronašli, prvo morate pronaći.
To se može učiniti pomoću opće formule .Prvo primijenite ovu formulu da biste pronašli razliku aritmetičke progresije.
tj. 
. Sredstva .
Sada možemo pronaći.
Korištenje formule za zbroj prvih n članova aritmetičke progresije
, nađimo .
4. Derivacija druge formule za zbroj prvih n članova aritmetičke progresije
Dobivamo drugu formulu za zbroj prvih n članova aritmetičke progresije, naime: dokazujemo da 
.
Dokaz:
U formuli za zbroj prvih n članova aritmetičke progresije zamijenimo izraz za , Naime . Dobivamo: , tj. . Q.E.D.
Analizirajmo dobivene formule. Za izračune po prvoj formuli morate znati prvi član, zadnji član i n po drugoj formuli - treba znati prvi pojam, razliku i n.
Konačno, primijetite da je u svakom slučaju Sn kvadratna funkcija od n, jer 
.
5. Rješavanje zadataka o primjeni druge formule za zbroj prvih n članova aritmetičke progresije
Opća formula:
.
U našem slučaju:.
Odgovor: 403.
2. Pronađite zbroj svih dvoznamenkastih brojeva koji su višekratnici broja 4.
(12; 16; 20; ...; 96) - skup brojeva koji zadovoljavaju uvjet zadatka.
Dakle, imamo aritmetičku progresiju.
n naći iz formule za:.
tj. 
. Sredstva .
Koristeći drugu formulu za zbroj prvih n članova aritmetičke progresije
, nađimo .
Potrebno je pronaći zbroj svih pojmova od 10. do zaključno 25.
Jedan od načina da se to riješi je sljedeći:
Stoga, .
6. Sažetak lekcije
Dakle, izveli smo formule za zbroj članova konačne aritmetičke progresije. Ove formule korištene su za rješavanje nekih problema.
U sljedećoj lekciji ćemo se upoznati s karakterističnim svojstvom aritmetičke progresije.
1. Makarychev Yu. N. i dr. Algebra 9. razred (udžbenik za srednju školu).-M.: Obrazovanje, 1992.
2. Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov, K. I. Algebra za 9. razred s produbljivanjem. studija matematika.-M.: Mnemozina, 2003.
3. Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G. Dodatna poglavlja školskog udžbenika algebre 9.-M .: Obrazovanje, 2002.
4. Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. Zbirka zadataka iz algebre za 8-9 razrede (udžbenik za učenike škola i razreda s dubljim proučavanjem matematike). - M .: Obrazovanje, 1996.
5. Mordkovich A. G. Algebra 9. razred, udžbenik za općeobrazovne ustanove. - M.: Mnemosyne, 2002.
6. Mordkovich A. G., Mishutina T. N., Tulchinskaya E. E. Algebra 9. razred, knjiga zadataka za obrazovne ustanove. - M.: Mnemosyne, 2002.
7. Glazer G. I. Povijest matematike u školi. 7-8 razredi (vodič za učitelje).-M.: Prosvjeta, 1983.
1. Fakultetska sekcija. ru u matematici.
2. Portal prirodnih znanosti.
3. Eksponencijalna. ru Obrazovna matematička stranica.
1. br. 362, 371, 377, 382 (Makarychev Yu. N. et al. Algebra, 9. razred).
2. br. 12.96 (Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. Zbirka zadataka iz algebre za 8.-9. razredi).
Prilikom izučavanja algebre u srednjoj školi (9. razred) jedna od važnih tema je proučavanje numeričkih nizova, koji uključuju progresije – geometrijske i aritmetičke. U ovom članku ćemo razmotriti aritmetičku progresiju i primjere s rješenjima.
Što je aritmetička progresija?
Da bismo to razumjeli, potrebno je dati definiciju progresije koja se razmatra, kao i navesti osnovne formule koje će se dalje koristiti u rješavanju problema.
Aritmetička ili algebarska progresija je takav skup uređenih racionalnih brojeva čiji se svaki član razlikuje od prethodnog za neki konstantan iznos. Ova vrijednost se naziva razlika. To jest, znajući bilo koji član uređenog niza brojeva i razliku, možete vratiti cjelokupnu aritmetičku progresiju.
Uzmimo primjer. Sljedeći niz brojeva bit će aritmetička progresija: 4, 8, 12, 16, ..., budući da je razlika u ovom slučaju 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Ali skup brojeva 3, 5, 8, 12, 17 više se ne može pripisati razmatranoj vrsti progresije, budući da razlika za njega nije konstantna vrijednost (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).
Važne formule
Sada dajemo osnovne formule koje će biti potrebne za rješavanje problema pomoću aritmetičke progresije. Neka a n označava n-ti član niza, gdje je n cijeli broj. Razlika je označena latiničnim slovom d. Tada su sljedeći izrazi istiniti:
- Za određivanje vrijednosti n-tog člana prikladna je formula: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
- Za određivanje zbroja prvih n članova: S n = (a n + a 1)*n/2.
Da bismo razumjeli bilo koji primjer aritmetičke progresije s rješenjem u 9. razredu, dovoljno je zapamtiti ove dvije formule, budući da su svi problemi tipa koji se razmatraju izgrađeni na njihovoj upotrebi. Također, ne zaboravite da je razlika u progresiji određena formulom: d = a n - a n-1 .
Primjer #1: Pronalaženje nepoznatog člana
Dajemo jednostavan primjer aritmetičke progresije i formule koje se moraju koristiti za rješavanje.
Neka je zadan niz 10, 8, 6, 4, ..., u njemu je potrebno pronaći pet članova.
Već iz uvjeta zadatka proizlazi da su prva 4 člana poznata. Peti se može definirati na dva načina:
- Izračunajmo prvo razliku. Imamo: d = 8 - 10 = -2. Slično, može se uzeti bilo koja dva druga pojma koji stoje jedan do drugog. Na primjer, d = 4 - 6 = -2. Budući da je poznato da je d \u003d a n - a n-1, onda d \u003d a 5 - a 4, odakle dobivamo: a 5 \u003d a 4 + d. Zamijenimo poznate vrijednosti: a 5 = 4 + (-2) = 2.
- Druga metoda također zahtijeva poznavanje razlike dotične progresije, pa je prvo trebate odrediti, kao što je prikazano gore (d = -2). Znajući da je prvi član a 1 = 10, koristimo formulu za n broj niza. Imamo: a n = (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Zamjenom n = 5 u zadnji izraz dobivamo: a 5 = 12-2 * 5 = 2.
Kao što vidite, oba rješenja dovode do istog rezultata. Imajte na umu da je u ovom primjeru razlika d progresije negativna. Takvi se nizovi nazivaju opadajućim jer je svaki sljedeći član manji od prethodnog.
Primjer #2: razlika u napredovanju
Sada ćemo malo zakomplicirati zadatak, dajte primjer kako
Poznato je da je u nekima 1. član jednak 6, a 7. član jednak 18. Potrebno je pronaći razliku i vratiti ovaj niz na 7. član.
Koristimo formulu da odredimo nepoznati pojam: a n = (n - 1) * d + a 1 . U njega zamjenjujemo poznate podatke iz uvjeta, odnosno brojeve a 1 i a 7, imamo: 18 \u003d 6 + 6 * d. Iz ovog izraza možete lako izračunati razliku: d = (18 - 6) / 6 = 2. Tako je odgovoreno na prvi dio zadatka.
Da biste vratili slijed na 7. član, trebali biste koristiti definiciju algebarske progresije, to jest, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, i tako dalje. Kao rezultat, vraćamo cijeli niz: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 i 7 = 18.
Primjer br. 3: napredovanje
Zakomplicirajmo još više stanje problema. Sada morate odgovoriti na pitanje kako pronaći aritmetičku progresiju. Možemo navesti sljedeći primjer: data su dva broja, na primjer, 4 i 5. Potrebno je napraviti algebarsku progresiju tako da između njih stanu još tri člana.
Prije nego počnemo rješavati ovaj problem, potrebno je razumjeti koje će mjesto zauzeti brojevi zauzimati u budućoj progresiji. Budući da će između njih biti još tri člana, zatim 1 \u003d -4 i 5 \u003d 5. Nakon što smo to utvrdili, prelazimo na zadatak koji je sličan prethodnom. Opet, za n-ti pojam, koristimo formulu, dobivamo: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Od: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2,25. Ovdje razlika nije cjelobrojna vrijednost, već je racionalan broj, tako da formule za algebarsku progresiju ostaju iste.
Sada dodajmo pronađenu razliku na 1 i vratimo nedostajuće članove progresije. Dobivamo: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u0 što se poklopilo sa stanjem problema.
Primjer #4: Prvi član progresije
Nastavljamo davati primjere aritmetičke progresije s rješenjem. U svim prethodnim problemima bio je poznat prvi broj algebarske progresije. Sada razmotrite problem drugačijeg tipa: neka su dana dva broja, pri čemu je a 15 = 50 i a 43 = 37. Potrebno je pronaći od kojeg broja počinje ovaj niz.
Formule koje su do sada korištene pretpostavljaju poznavanje a 1 i d. O ovim brojevima u stanju problema ništa se ne zna. Ipak, napišimo izraze za svaki pojam o kojem imamo informacije: a 15 = a 1 + 14 * d i a 43 = a 1 + 42 * d. Dobili smo dvije jednadžbe u kojima postoje 2 nepoznate veličine (a 1 i d). To znači da se problem svodi na rješavanje sustava linearnih jednadžbi.
Navedeni sustav najlakše je riješiti ako u svakoj jednadžbi izrazite 1, a zatim usporedite rezultirajuće izraze. Prva jednadžba: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; druga jednadžba: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Izjednačavanjem ovih izraza dobivamo: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, odakle je razlika d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (dana su samo 3 decimalna mjesta).
Znajući d, možete koristiti bilo koji od 2 gornja izraza za 1. Na primjer, prvo: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.
Ako postoje sumnje u rezultat, možete ga provjeriti, na primjer, odrediti 43. član progresije, koji je naveden u uvjetu. Dobivamo: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Mala pogreška je zbog činjenice da je u izračunima korišteno zaokruživanje na tisućinke.
Primjer #5: Zbroj
Pogledajmo sada neke primjere s rješenjima za zbroj aritmetičke progresije.
Neka je data brojčana progresija sljedećeg oblika: 1, 2, 3, 4, ...,. Kako izračunati zbroj 100 ovih brojeva?
Zahvaljujući razvoju računalne tehnologije, ovaj se problem može riješiti, odnosno uzastopno zbrajati sve brojeve, što će računalo učiniti čim osoba pritisne tipku Enter. Međutim, problem se može riješiti mentalno ako obratite pozornost da je prikazani niz brojeva algebarska progresija, a njegova razlika je 1. Primjenom formule za zbroj dobivamo: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
Zanimljivo je primijetiti da se ovaj problem naziva "Gaussovim", budući da ga je početkom 18. stoljeća slavni Nijemac, još u dobi od samo 10 godina, uspio u mislima riješiti u nekoliko sekundi. Dječak nije znao formulu za zbroj algebarske progresije, ali je primijetio da ako zbrojite parove brojeva koji se nalaze na rubovima niza, uvijek ćete dobiti isti rezultat, odnosno 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., a budući da će ti zbroji biti točno 50 (100 / 2), tada je za dobivanje točnog odgovora dovoljno pomnožiti 50 sa 101.
Primjer #6: zbroj pojmova od n do m
Drugi tipičan primjer zbroja aritmetičke progresije je sljedeći: zadani niz brojeva: 3, 7, 11, 15, ..., trebate pronaći koliki će biti zbroj njegovih članova od 8 do 14.
Problem se rješava na dva načina. Prvi od njih uključuje pronalaženje nepoznatih pojmova od 8 do 14, a zatim ih uzastopno zbrajati. Budući da postoji malo pojmova, ova metoda nije dovoljno naporna. Ipak, predlaže se rješavanje ovog problema drugom metodom, koja je univerzalnija.
Ideja je dobiti formulu za zbroj algebarske progresije između pojmova m i n, gdje su n > m cijeli brojevi. Za oba slučaja pišemo dva izraza za zbroj:
- S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
- S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.
Budući da je n > m, očito je da zbroj 2 uključuje prvi. Posljednji zaključak znači da ako uzmemo razliku između ovih zbroja, i dodamo joj pojam a m (u slučaju uzimanja razlike, ona se oduzme od zbroja S n), tada dobivamo potreban odgovor na problem. Imamo: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). U ovaj izraz potrebno je zamijeniti formule za n i a m. Tada dobivamo: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.
Dobivena formula je pomalo glomazna, međutim, zbroj S mn ovisi samo o n, m, a 1 i d. U našem slučaju, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Zamjenom ovih brojeva dobivamo: S mn = 301.
Kao što je vidljivo iz gornjih rješenja, svi se problemi temelje na poznavanju izraza za n-ti član i formule za zbroj skupa prvih članova. Prije nego počnete rješavati bilo koji od ovih problema, preporuča se da pažljivo pročitate uvjet, jasno shvatite što želite pronaći i tek onda nastaviti s rješenjem.
Drugi savjet je da težite jednostavnosti, odnosno ako možete odgovoriti na pitanje bez korištenja složenih matematičkih izračuna, onda morate učiniti upravo to, jer je u ovom slučaju vjerojatnost pogreške manja. Na primjer, u primjeru aritmetičke progresije s rješenjem br. 6, moglo bi se zaustaviti na formuli S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, i razbiti opći zadatak na zasebne podzadatke (u ovom slučaju prvo pronađite pojmove a n i a m).
Ako postoje sumnje u dobiveni rezultat, preporuča se provjeriti, kao što je učinjeno u nekim od navedenih primjera. Kako pronaći aritmetičku progresiju, saznali smo. Kad to shvatite, nije tako teško.
Vrsta lekcije: učenje novog gradiva.
Ciljevi lekcije:
- proširivanje i produbljivanje predodžbi učenika o zadacima rješavanim aritmetičkom progresijom; organiziranje aktivnosti pretraživanja učenika pri izvođenju formule za zbroj prvih n članova aritmetičke progresije;
- razvoj vještina za samostalno stjecanje novih znanja, korištenje već stečenih znanja za postizanje zadatka;
- razvoj želje i potrebe za generaliziranjem dobivenih činjenica, razvoj samostalnosti.
Zadaci:
- generalizirati i sistematizirati postojeća znanja na temu “Aritmetička progresija”;
- izvesti formule za izračunavanje zbroja prvih n članova aritmetičke progresije;
- naučiti primjenjivati dobivene formule u rješavanju raznih zadataka;
- skrenuti pozornost učenika na postupak pronalaženja vrijednosti brojevnog izraza.
Oprema:
- kartice sa zadacima za rad u skupinama i parovima;
- evaluacijski rad;
- prezentacija"Aritmetička progresija".
I. Aktualizacija temeljnih znanja.
1. Samostalni rad u parovima.
1. opcija:
Definirajte aritmetičku progresiju. Zapišite rekurzivnu formulu koja definira aritmetičku progresiju. Navedite primjer aritmetičke progresije i navedite njezinu razliku.
2. opcija:
Zapišite formulu za n-ti član aritmetičke progresije. Pronađite 100. član aritmetičke progresije ( a n}: 2, 5, 8 …
U ovom trenutku dva učenika na stražnjoj strani ploče pripremaju odgovore na ista pitanja.
Učenici ocjenjuju rad partnera uspoređujući ga s pločom. (Uručuje se letke s odgovorima).
2. Trenutak igre.
Vježba 1.
Učitelj, nastavnik, profesor. Zamislio sam neku aritmetičku progresiju. Postavite mi samo dva pitanja kako biste nakon odgovora mogli brzo imenovati 7. člana ove progresije. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15...)
Pitanja učenika.
- Koji je šesti član progresije i koja je razlika?
- Koji je osmi član progresije i koja je razlika?
Ako više nema pitanja, onda ih učitelj može stimulirati - "zabrana" d (razlike), odnosno nije dopušteno pitati koja je razlika. Možete postavljati pitanja: koji je 6. termin progresije, a koji je 8. rok progresije?
Zadatak 2.
Na ploči je napisano 20 brojeva: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.
Učitelj stoji leđima okrenut ploči. Učenici izgovaraju broj broja, a učitelj odmah naziva sam broj. Objasni kako to mogu učiniti?
Učitelj pamti formulu n-tog člana a n \u003d 3n - 2 i, zamjenom zadanih vrijednosti od n, pronalazi odgovarajuće vrijednosti a n .
II. Iskaz odgojnog zadatka.
Predlažem da riješim stari problem koji datira iz 2. tisućljeća prije Krista, pronađen u egipatskim papirusima.
Zadatak:“Neka vam se kaže: podijelite 10 mjera ječma između 10 ljudi, razlika između svakog čovjeka i njegovog susjeda je 1/8 mjere.”
- Kako je ovaj problem povezan s temom aritmetičke progresije? (Svaka sljedeća osoba dobiva 1/8 mjere više, pa je razlika d=1/8, 10 osoba, dakle n=10.)
- Što mislite da znači broj 10? (Zbroj svih članova progresije.)
- Što još trebate znati kako biste lako i jednostavno podijelili ječam prema stanju problema? (Prvi član progresije.)
Cilj lekcije- dobivanje ovisnosti zbroja članova progresije o njihovom broju, prvom članu i razlici, te provjeravanju je li problem bio ispravno riješen u antičko doba.
Prije nego što izvedemo formulu, pogledajmo kako su stari Egipćani riješili problem.
I riješili su to ovako:
1) 10 mjera: 10 = 1 mjera - prosječni udio;
2) 1 takt ∙ = 2 takta - udvostručen prosjek udio.
udvostručeno prosjek udio je zbroj udjela 5. i 6. osobe.
3) 2 mjere - 1/8 mjere = 1 7/8 mjera - dvostruko veći udio pete osobe.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - udio kvinte; i tako dalje, možete pronaći udio svake prethodne i sljedeće osobe.
Dobijamo slijed:
III. Rješenje zadatka.
1. Rad u grupama
1. skupina: Pronađite zbroj 20 uzastopnih prirodnih brojeva: S 20 = (20 + 1) ∙ 10 = 210.
Općenito 
II grupa: Pronađite zbroj prirodnih brojeva od 1 do 100 (Legenda o malom Gausu).
S 100 = (1 + 100) ∙ 50 = 5050
Zaključak:
III grupa: Pronađite zbroj prirodnih brojeva od 1 do 21.
Rješenje: 1+21=2+20=3+19=4+18…
Zaključak:
IV grupa: Pronađite zbroj prirodnih brojeva od 1 do 101.
Zaključak:
Ova metoda rješavanja razmatranih problema naziva se “Gaussova metoda”.
2. Svaka skupina na ploči predstavlja rješenje problema.
3. Generalizacija predloženih rješenja za proizvoljnu aritmetičku progresiju:
a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n-2 , a n-1 , a n .
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.
Taj zbroj pronalazimo na sličan način:
4. Jesmo li riješili zadatak?(Da.)
IV. Primarno razumijevanje i primjena dobivenih formula u rješavanju zadataka.
1. Provjera rješenja starog problema po formuli.
2. Primjena formule u rješavanju raznih problema.
3. Vježbe za formiranje sposobnosti primjene formule u rješavanju zadataka.
A) br. 613
Dato :( i n) - aritmetička progresija;
(a n): 1, 2, 3, ..., 1500
Pronaći: S 1500
Odluka: , i 1 = 1, i 1500 = 1500,
B) S obzirom na: ( i n) - aritmetička progresija;
(i n): 1, 2, 3, ...
S n = 210
Pronaći: n
Odluka:
V. Samostalan rad uz međusobnu provjeru.
Denis je otišao raditi kao kurir. U prvom mjesecu njegova je plaća iznosila 200 rubalja, u svakom sljedećem mjesecu povećavala se za 30 rubalja. Koliko je zaradio za godinu dana?
Dato :( i n) - aritmetička progresija;
a 1 = 200, d=30, n=12
Pronaći: S 12
Odluka:
Odgovor: Denis je za godinu dobio 4380 rubalja.
VI. Instrukcije za domaću zadaću.
- p. 4.3 - naučite izvođenje formule.
- №№ 585, 623 .
- Sastavite problem koji bi se riješio pomoću formule za zbroj prvih n članova aritmetičke progresije.
VII. Sažimanje lekcije.
1. Rezultatovni list
2. Nastavite rečenice
- Danas sam na satu naučio...
- Naučene formule...
- Ja mislim da …
3. Možete li pronaći zbroj brojeva od 1 do 500? Koju ćete metodu koristiti za rješavanje ovog problema?
Bibliografija.
1. Algebra, 9. razred. Udžbenik za obrazovne ustanove. Ed. G.V. Dorofejeva. Moskva: Prosvjeta, 2009.
Zbroj aritmetičke progresije.
Zbroj aritmetičke progresije je jednostavna stvar. I po značenju i po formuli. Ali na ovu temu ima svakakvih zadataka. Od osnovnog do sasvim solidnog.
Prvo, pozabavimo se značenjem i formulom zbroja. A onda ćemo odlučiti. Za vlastito zadovoljstvo.) Značenje zbroja je jednostavno kao nišanje. Da biste pronašli zbroj aritmetičke progresije, samo trebate pažljivo zbrojiti sve njegove članove. Ako je ovih pojmova malo, možete ih dodati bez ikakvih formula. Ali ako ima puno, ili puno ... dodatak je neugodan.) U ovom slučaju formula štedi.
Formula sume je jednostavna:
Idemo shvatiti kakva su slova uključena u formulu. Ovo će razjasniti mnogo toga.
S n je zbroj aritmetičke progresije. Rezultat zbrajanja svičlanovi, s prvi na posljednji. To je važno. Točno zbrojite svičlanovi u nizu, bez razmaka i skokova. I, točno, počevši od prvi. U problemima poput pronalaženja zbroja trećeg i osmog člana ili zbroja članova od petog do dvadesetog, izravna primjena formule bit će razočaravajuća.)
a 1 - prvičlan progresije. Ovdje je sve jasno, jednostavno prvi broj reda.
a n- posljednjičlan progresije. Zadnji broj retka. Nije baš poznato ime, ali, kada se primjenjuje na količinu, vrlo je prikladno. Tada ćete se i sami uvjeriti.
n je broj posljednjeg člana. Važno je razumjeti da je u formuli ovaj broj poklapa se s brojem dodanih pojmova.
Definirajmo pojam posljednjičlan a n. Popunjavajuće pitanje: kakav će član posljednji, ako se daje beskrajna aritmetička progresija?
Za pouzdan odgovor morate razumjeti osnovno značenje aritmetičke progresije i ... pažljivo pročitati zadatak!)
U zadatku pronalaženja zbroja aritmetičke progresije uvijek se pojavljuje zadnji član (izravno ili neizravno), koji bi trebao biti ograničen. Inače, konačan, specifičan iznos jednostavno ne postoji. Za rješenje nije važno kakva je progresija dana: konačna ili beskonačna. Nije važno kako je zadan: nizom brojeva ili formulom n-tog člana.
Najvažnije je razumjeti da formula funkcionira od prvog člana progresije do pojma s brojem n. Zapravo, puni naziv formule izgleda ovako: zbroj prvih n članova aritmetičke progresije. Broj ovih prvih članova, tj. n, određen je isključivo zadatkom. U zadatku su sve ove vrijedne informacije često šifrirane, da ... Ali ništa, u primjerima u nastavku otkrit ćemo ove tajne.)
Primjeri zadataka za zbroj aritmetičke progresije.
Prije svega korisne informacije:
Glavna poteškoća u zadacima za zbroj aritmetičke progresije je ispravno određivanje elemenata formule.
Autori zadataka šifriraju upravo te elemente bezgraničnom maštom.) Ovdje je glavna stvar ne bojati se. Razumijevajući bit elemenata, dovoljno ih je samo dešifrirati. Pogledajmo detaljno nekoliko primjera. Počnimo sa zadatkom na temelju pravog GIA.
1. Aritmetička progresija dana je uvjetom: a n = 2n-3,5. Pronađite zbroj prvih 10 članova.
Dobar posao. Lako.) Što trebamo znati da bismo odredili količinu prema formuli? Prvi član a 1, prošli mandat a n, da broj posljednjeg člana n.
Gdje dobiti zadnji broj člana n? Da, na istom mjestu, u stanju! Piše pronaći zbroj prvih 10 članova. Pa koji će to biti broj posljednji, deseti član?) Nećete vjerovati, njegov broj je deseti!) Stoga, umjesto a n zamijenit ćemo u formulu a 10, ali umjesto n- deset. Opet, broj posljednjeg člana je isti kao i broj članova.
Ostaje da se utvrdi a 1 i a 10. To se lako izračunava formulom n-tog člana, koja je dana u opisu problema. Ne znate kako to učiniti? Posjetite prethodnu lekciju, bez ovoga - ništa.
a 1= 2 1 - 3,5 = -1,5
a 10\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5
S n = S 10.
Saznali smo značenje svih elemenata formule za zbroj aritmetičke progresije. Ostaje ih zamijeniti i računati:
To je sve o tome. Odgovor: 75.
Još jedan zadatak baziran na GIA-i. Malo kompliciranije:
2. Zadana je aritmetička progresija (a n), čija je razlika 3,7; a 1 \u003d 2.3. Pronađite zbroj prvih 15 članova.
Odmah pišemo formulu zbroja:
Ova formula nam omogućuje da pronađemo vrijednost bilo kojeg člana po njegovom broju. Tražimo jednostavnu zamjenu:
a 15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1
Ostaje zamijeniti sve elemente u formuli za zbroj aritmetičke progresije i izračunati odgovor:
Odgovor: 423.
Usput, ako u formuli zbroja umjesto a n samo zamijenimo formulu n-tog člana, dobivamo:
Dajemo slične, dobivamo novu formulu za zbroj članova aritmetičke progresije:
 |
Kao što vidite, n-ti pojam ovdje nije potreban. a n. U nekim zadacima ova formula jako pomaže, da... Možete zapamtiti ovu formulu. A možete ga jednostavno povući u pravo vrijeme, kao ovdje. Uostalom, formula za zbroj i formula za n-ti član moraju se pamtiti na svaki način.)
Sada zadatak u obliku kratke enkripcije):
3. Pronađite zbroj svih pozitivnih dvoznamenkastih brojeva koji su višekratnici tri.
Kako! Nema prvog člana, nema posljednjeg, uopće nema napredovanja... Kako živjeti!?
Morat ćete razmišljati svojom glavom i iz uvjeta izvući sve elemente zbroja aritmetičke progresije. Što su dvoznamenkasti brojevi – znamo. Sastoje se od dva broja.) Koji će dvoznamenkasti broj prvi? 10, vjerojatno.) zadnja stvar dvoznamenkasti broj? 99, naravno! Trocifrene će ga slijediti...
Višekratnici tri... Hm... Ovo su brojevi koji su jednako djeljivi s tri, evo! Deset nije djeljivo s tri, 11 nije djeljivo... 12... je djeljivo! Dakle, nešto se pojavljuje. Već možete napisati niz prema stanju problema:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Hoće li ova serija biti aritmetička progresija? Sigurno! Svaki pojam razlikuje se od prethodnog striktno za tri. Ako se pojmu doda 2, ili 4, recimo, rezultat, t.j. novi broj se više neće dijeliti s 3. Možete odmah odrediti razliku aritmetičke progresije do hrpe: d = 3. Koristan!)
Dakle, možemo sigurno zapisati neke parametre progresije:
Koji će biti broj n zadnji član? Tko misli da je 99 kobno se vara... Brojevi - uvijek idu redom, a naši članovi preskaču prva tri. Ne poklapaju se.
Ovdje postoje dva rješenja. Jedan od načina je za super vrijedne. Možete slikati progresiju, cijeli niz brojeva i prstom brojati broj članova.) Drugi način je za promišljene. Morate zapamtiti formulu za n-ti član. Ako se formula primijeni na naš problem, dobivamo da je 99 trideseti član progresije. Oni. n = 30.
Gledamo formulu za zbroj aritmetičke progresije:
Gledamo i radujemo se.) Sve što je potrebno za izračun iznosa izvukli smo iz stanja problema:
a 1= 12.
a 30= 99.
S n = S 30.
Ono što ostaje je elementarna aritmetika. Zamijenite brojeve u formuli i izračunajte:
Odgovor: 1665
Druga vrsta popularnih zagonetki:
4. Zadana je aritmetička progresija:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Pronađite zbroj pojmova od dvadesetog do trideset četvrtog.
Gledamo formulu zbroja i ... uznemireni smo.) Formula, da vas podsjetim, izračunava zbroj od prvečlan. A u zadatku trebate izračunati zbroj od dvadesetog... Formula neće raditi.
Možete, naravno, oslikati cijelu progresiju u nizu, i staviti članove od 20 do 34. Ali ... nekako ispadne glupo i dugo, zar ne?)
Postoji elegantnije rješenje. Podijelimo našu seriju na dva dijela. Prvi dio će od prvog mandata do devetnaestog. Drugi dio - dvadeset do trideset i četiri. Jasno je da ako izračunamo zbroj članova prvog dijela S 1-19, dodajmo je zbroju članova drugog dijela S 20-34, dobivamo zbroj progresije od prvog člana do trideset četvrtog S 1-34. Kao ovo:
S 1-19 + S 20-34 = S 1-34
Ovo pokazuje da se nalazi zbroj S 20-34 može se učiniti jednostavnim oduzimanjem
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19
Uzimaju se u obzir oba zbroja na desnoj strani od prvečlan, tj. standardna formula zbroja je sasvim primjenjiva na njih. Počinjemo li?
Izvlačimo parametre progresije iz uvjeta zadatka:
d = 1,5.
a 1= -21,5.
Da bismo izračunali zbroje prvih 19 i prva 34 člana, trebat će nam 19. i 34. član. Brojimo ih prema formuli n-tog člana, kao u zadatku 2:
a 19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5
a 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28
Ništa više nije ostalo. Od zbroja 34 člana oduzmite zbroj 19 članova:
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5
Odgovor: 262,5
Jedna važna napomena! Postoji vrlo korisna značajka u rješavanju ovog problema. Umjesto izravnog izračuna što trebate (S 20-34), brojali smo što, čini se, nije potrebno - S 1-19. A onda su odredili S 20-34, odbacujući nepotrebno iz punog rezultata. Takva "finta s ušima" često spašava u zlim zagonetkama.)
U ovoj lekciji ispitali smo probleme za koje je dovoljno razumjeti značenje zbroja aritmetičke progresije. Pa, morate znati nekoliko formula.)
Praktični savjeti:
Prilikom rješavanja bilo kojeg problema za zbroj aritmetičke progresije, preporučam da odmah napišete dvije glavne formule iz ove teme.
Formula n-tog člana:
Ove formule će vam odmah reći što tražiti, u kojem smjeru razmišljati kako biste riješili problem. Pomaže.
A sada zadaci za samostalno rješavanje.
5. Pronađite zbroj svih dvoznamenkastih brojeva koji nisu djeljivi s tri.
Cool?) Nagovještaj je skriven u bilješci uz problem 4. Pa, problem 3 će pomoći.
6. Aritmetička progresija dana je uvjetom: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Pronađite zbroj prva 24 člana.
Neobično?) Ovo je formula koja se ponavlja. O tome možete pročitati u prethodnoj lekciji. Nemojte zanemariti vezu, takve se zagonetke često nalaze u GIA-i.
7. Vasya je skupio novac za praznik. Čak 4550 rubalja! I odlučio sam najdražoj osobi (sebi) pokloniti nekoliko dana sreće). Živite lijepo ne uskraćujući sebi ništa. Potrošite 500 rubalja prvog dana, a svaki sljedeći dan potrošite 50 rubalja više nego prethodnog! Dok ne ponestane novca. Koliko je dana sreće imao Vasya?
Je li teško?) Dodatna formula iz zadatka 2 pomoći će.
Odgovori (u neredu): 7, 3240, 6.
Ako vam se sviđa ova stranica...
Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje s trenutnom provjerom. Učenje - sa zanimanjem!)
možete se upoznati s funkcijama i izvedenicama.
NUMERIČKI NISOVI VI
§ 144. Zbroj članova aritmetičke progresije
Kažu da je jednom učiteljica u osnovnoj školi, želeći dugo zaokupiti razred samostalnim radom, dala djeci “težak” zadatak - izračunati zbroj svih prirodnih brojeva od 1 do 100:
1 + 2 + 3 + 4 + ... + 100.
Jedan od učenika odmah je predložio rješenje. Evo ga.:
1+2 +3+... + 98 +99+ 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ... +(49 + 52)+ (50 + 51) =
= 101 + 101 + . . . + 101 + 101
= 101 50 = 5050.
50 puta
Bio je to Carl Gauss, koji je kasnije postao jedan od najpoznatijih matematičara na svijetu*.
*Sličan slučaj s Gaussom se zapravo dogodio. Međutim, ovdje je to uvelike pojednostavljeno. Brojevi koje je učitelj predložio bili su peteroznamenkasti i činili su aritmetičku progresiju s troznamenkastom razlikom.
Ideja takvog rješenja može se koristiti za pronalaženje zbroja članova bilo koje aritmetičke progresije.
Lema. Zbroj dva člana konačne aritmetičke progresije, jednako udaljenih od krajeva, jednak je zbroju ekstremnih članova.
Na primjer, u konačnoj aritmetičkoj progresiji
1, 2, 3.....98, 99, 100
članovi 2 i 99, 3 i 98, 4 i 97, itd. jednako su udaljeni od krajeva ove progresije. Stoga su njihovi zbroji 2 + 99, 3 + 98, 4 + 97 jednaki zbroju ekstremnih članova 1 + 100.
Dokaz leme. Neka u konačnoj aritmetičkoj progresiji
a 1 , a 2 , ..., a n - 1 , a n
bilo koja dva člana jednako su udaljena od krajeva. Pretpostavimo da je jedan od njih k -ti pojam slijeva, tj a k , i drugi - k th izraz s desna, t.j. a n -k+ jedan . Zatim
a k + a n -k+ 1 =[a 1 + (k - 1)d ] + [a 1 + (n - k )d ] = 2a 1 + (n - 1)d .
Zbroj ekstremnih članova ove progresije jednak je
a 1 + a n = a 1 + [a 1 + (n - 1)d ] = 2a 1 + (n - 1)d .
Tako,
a k + a n -k+ 1 = a 1 + a n
Q.E.D.
Koristeći upravo dokazanu lemu, lako je dobiti opću formulu za zbroj P članovi bilo koje aritmetičke progresije.
S n = a 1 +a 2 + ...+ a n - 1 + a n
S n = a n + a n - 1 + ... + a 2 + a 1 .
Zbrajanjem ove dvije jednakosti pojam po član, dobivamo:
2S n = (a 1 +a n ) + (a 2 +a n - 1)+...+(a n - 1 +a 2) + (a n +a 1)
a 1 +a n = a 2 +a n - 1 = a 3 +a n - 2 =... .
2S n = n (a 1 +a n ),
Zbroj članova konačne aritmetičke progresije jednak je umnošku polovice zbroja ekstremnih članova i broja svih članova.
Posebno,
Vježbe
971. Nađi zbroj svih neparnih troznamenkastih brojeva.
972. Koliko će udaraca sat napraviti tijekom dana ako otkucava samo broj cijelih sati?
973. Koliki je zbroj prvog P prirodni brojevi?
974. Izvedi formulu za duljinu puta koji tijelo prijeđe tijekom jednoliko ubrzanog gibanja:
gdje v 0 - početna brzina u m/sek , a - ubrzanje u m/sek 2 , t - vrijeme putovanja sec.
975. Nađi zbroj svih nesvodljivih razlomaka s nazivnikom 3 između pozitivnih cijelih brojeva t i P (t< п ).
976. Radnik održava 16 tkalačkih stanova koji rade automatski. Performanse po stroju a m/h. Radnik je prvi stroj uključio u 7 h, a svaki sljedeći po 5 min kasnije od prethodnog. Saznajte izlaz u metrima za prva 2 h raditi.
977. Riješi jednadžbe:
a) 1 + 7 + 13 + ... + x = 280;
b) ( x + 1) + (x + 4) + (x + 7) +...+ (x + 28) = 155
978. Od 1. srpnja do zaključno 12. srpnja temperatura zraka dnevno je rasla u prosjeku za 1/2 stupnja. Znajući da je prosječna temperatura za to vrijeme bila 18 3/4 stupnjeva, odredite kolika je bila temperatura zraka 1. srpnja.
979. Pronađite aritmetičku progresiju čija je aritmetička sredina P prvi uvjeti za bilo koje P jednak njihovom broju.
980. Pronađite zbroj prvih dvadeset članova aritmetičke progresije u kojoj
a 6 + a 9 + a 12 + a 15 = 20.
