Logaritmi natyror i shprehjes. Logaritmi i rregullit të veprimit me logaritme

rrjedh nga përkufizimi i tij. Dhe kështu logaritmi i numrit b nga arsyeja a përkufizohet si eksponent në të cilin duhet të ngrihet një numër a për të marrë numrin b(logaritmi ekziston vetëm për numrat pozitivë).

Nga ky formulim del se llogaritja x=log a b, është e barabartë me zgjidhjen e ekuacionit sëpatë=b. Për shembull, regjistri 2 8 = 3 sepse 8 = 2 3 . Formulimi i logaritmit bën të mundur justifikimin se nëse b=a c, pastaj logaritmi i numrit b nga arsyeja a barazohet me. Është gjithashtu e qartë se tema e logaritmit është e lidhur ngushtë me temën e fuqisë së një numri.

Me logaritme, si me çdo numër, mund të kryeni veprimet e mbledhjes, zbritjes dhe transformohen në çdo mënyrë të mundshme. Por duke pasur parasysh faktin se logaritmet nuk janë numra mjaft të zakonshëm, këtu zbatohen rregullat e tyre të veçanta, të cilat quhen vetitë themelore.

Mbledhja dhe zbritja e logaritmeve.

Le të marrim dy logaritme të njëjtat baza: log x dhe log a y. Pastaj hiqni, është e mundur të kryhen operacione të mbledhjes dhe zbritjes:

log a x+ log a y= log a (x y);

log a x - log a y = log a (x:y).

log a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = log x 1 + log x 2 + log x 3 + ... + log a x k.

Nga teorema të logaritmit të herësit mund të merret edhe një veti e logaritmit. Dihet mirë se log a 1 = 0, pra,

log a 1 /b= log a 1 - log a b= -log a b.

Pra, ekziston një barazi:

log a 1 / b = - log a b.

Logaritmet e dy numrave reciprokë në të njëjtën bazë do të ndryshojnë nga njëri-tjetri vetëm në shenjë. Kështu që:

Regjistri 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

Me këtë video, unë filloj një seri të gjatë mësimesh rreth ekuacioneve logaritmike. Tani keni tre shembuj njëherësh, në bazë të të cilëve do të mësojmë të zgjidhim më së shumti detyra të thjeshta, të cilat quhen protozoarët.

log 0,5 (3x - 1) = -3

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Më lejoni t'ju kujtoj se ekuacioni logaritmik më i thjeshtë është ky:

log a f(x) = b

Është e rëndësishme që ndryshorja x të jetë e pranishme vetëm brenda argumentit, pra vetëm në funksionin f(x). Dhe numrat a dhe b janë vetëm numra, dhe në asnjë rast nuk janë funksione që përmbajnë ndryshoren x.

Metodat bazë të zgjidhjes

Ka shumë mënyra për të zgjidhur struktura të tilla. Për shembull, shumica e mësuesve në shkollë sugjerojnë këtë mënyrë: Shprehni menjëherë funksionin f ( x ) duke përdorur formulën f( x) = a b. Kjo do të thotë, kur takoni ndërtimin më të thjeshtë, mund të vazhdoni menjëherë në zgjidhje pa veprime dhe ndërtime shtesë.

Po, sigurisht, vendimi do të dalë i saktë. Megjithatë, problemi me këtë formulë është se shumica e studentëve nuk kuptoj, nga vjen dhe pse pikërisht shkronjën a e ngremë në shkronjën b.

Si rezultat, unë shpesh vërej gabime shumë fyese, kur, për shembull, këto shkronja shkëmbehen. Kjo formulë ose duhet kuptuar ose memorizuar, dhe metoda e dytë çon në gabime në momentet më të papërshtatshme dhe më vendimtare: në provime, teste, etj.

Prandaj u sugjeroj të gjithë nxënësve të mi të braktisin formulën standarde të shkollës dhe ta përdorin për të zgjidhur ekuacionet logaritmike qasja e dytë, e cila, siç mund ta keni marrë me mend nga emri, quhet formë kanonike.

Ideja e formës kanonike është e thjeshtë. Le të shohim përsëri detyrën tonë: në të majtë kemi log a , ndërsa shkronja a do të thotë saktësisht numrin dhe në asnjë rast funksionin që përmban ndryshoren x. Prandaj, kjo letër i nënshtrohet të gjitha kufizimeve që vendosen në bazë të logaritmit. gjegjësisht:

1 ≠ a > 0

Nga ana tjetër, nga i njëjti ekuacion, shohim se logaritmi duhet të jetë është e barabartë me numrin b , dhe nuk vendosen kufizime për këtë letër, sepse ajo mund të marrë çdo vlerë - pozitive dhe negative. E gjitha varet nga vlerat që merr funksioni f(x).

Dhe këtu kujtojmë rregullin tonë të mrekullueshëm që çdo numër b mund të përfaqësohet si një logaritëm në bazën a nga a në fuqinë e b:

b = log a a b

Si ta mbani mend këtë formulë? Po, shumë e thjeshtë. Le të shkruajmë ndërtimin e mëposhtëm:

b = b 1 = b log a a

Sigurisht, në këtë rast, lindin të gjitha kufizimet që shënuam në fillim. Dhe tani le të përdorim vetinë bazë të logaritmit dhe të vendosim faktorin b si fuqi të a. Ne marrim:

b = b 1 = b log a a = log a a b

Si rezultat, ekuacioni origjinal do të rishkruhet në formën e mëposhtme:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

Kjo eshte e gjitha. Funksioni i ri nuk përmban më një logaritëm dhe zgjidhet me teknika standarde algjebrike.

Sigurisht, dikush tani do të kundërshtojë: pse ishte e nevojshme të dilte fare me një lloj formule kanonike, pse të kryheshin dy hapa shtesë të panevojshëm, nëse do të ishte e mundur të kalonte menjëherë nga ndërtimi origjinal në formulën përfundimtare? Po, vetëm sepse shumica e studentëve nuk e kuptojnë se nga vjen kjo formulë dhe, si rezultat, rregullisht bëjnë gabime kur e zbatojnë atë.

Por një sekuencë e tillë veprimesh, e përbërë nga tre hapa, ju lejon të zgjidhni ekuacionin logaritmik origjinal, edhe nëse nuk e kuptoni se nga vjen formula përfundimtare. Nga rruga, kjo hyrje quhet formula kanonike:

log a f(x) = log a a b

Komoditeti i formës kanonike qëndron gjithashtu në faktin se ajo mund të përdoret për të zgjidhur një klasë shumë të gjerë ekuacionesh logaritmike, dhe jo vetëm ato më të thjeshtat që po shqyrtojmë sot.

Shembuj zgjidhjesh

Dhe tani le të shqyrtojmë shembuj realë. Pra, le të vendosim:

log 0,5 (3x - 1) = -3

Le ta rishkruajmë kështu:

log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3

Shumë studentë janë me nxitim dhe përpiqen të ngrenë menjëherë numrin 0.5 në fuqinë që na erdhi nga problemi origjinal. Dhe me të vërtetë, kur tashmë jeni të trajnuar mirë në zgjidhjen e problemeve të tilla, mund ta kryeni menjëherë këtë hap.

Sidoqoftë, nëse tani sapo keni filluar të studioni këtë temë, është më mirë të mos nxitoni askund në mënyrë që të mos bëni gabime fyese. Pra kemi formën kanonike. Ne kemi:

3x - 1 = 0,5 -3

Ky nuk është më një ekuacion logaritmik, por një ekuacion linear në lidhje me ndryshoren x. Për ta zgjidhur atë, fillimisht le të merremi me numrin 0.5 në fuqinë −3. Vini re se 0.5 është 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Të gjitha dhjetore konvertohet në normale kur zgjidhni një ekuacion logaritmik.

Ne rishkruajmë dhe marrim:

3x − 1 = 8
3x=9
x=3

Gjithçka morëm përgjigjen. Detyra e parë është zgjidhur.

Detyra e dytë

Le të kalojmë në detyrën e dytë:

Siç mund ta shihni, ky ekuacion nuk është më ai më i thjeshti. Nëse vetëm sepse ndryshimi është në të majtë, dhe jo një logaritëm i vetëm në një bazë.

Prandaj, duhet të shpëtoni disi nga ky ndryshim. AT këtë rastçdo gjë është shumë e thjeshtë. Le t'i hedhim një vështrim më të afërt bazave: në të majtë është numri nën rrënjë:

Rekomandim i përgjithshëm: në të gjitha ekuacionet logaritmike, përpiquni të hiqni qafe radikalët, d.m.th., hyrjet me rrënjë dhe kaloni në funksionet e fuqisë, thjesht sepse eksponentët e këtyre fuqive hiqen lehtësisht nga shenja e logaritmit dhe në fund, një shënim i tillë thjeshton dhe shpejton shumë llogaritjet. Le ta shkruajmë kështu:

Tani kujtojmë vetinë e jashtëzakonshme të logaritmit: nga argumenti, si dhe nga baza, mund të nxirrni gradë. Në rastin e bazave, ndodh si më poshtë:

log a k b = 1/k loga b

Me fjalë të tjera, numri që qëndronte në shkallën e bazës sillet përpara dhe në të njëjtën kohë kthehet, d.m.th. numër i kundërt. Në rastin tonë, kishte një shkallë të bazës me një tregues prej 1/2. Prandaj, ne mund ta nxjerrim atë si 2/1. Ne marrim:

5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

Ju lutemi vini re: në asnjë rast nuk duhet të shpëtoni nga logaritmet në këtë hap. Kthehuni në klasën 4-5 të matematikës dhe renditjen e veprimeve: fillimisht kryhet shumëzimi dhe vetëm më pas kryhen mbledhja dhe zbritja. Në këtë rast, ne zbresim një nga të njëjtët elementë nga 10 elementë:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

Tani ekuacioni ynë duket ashtu siç duhet. Kjo është dizajni më i thjeshtë, dhe e zgjidhim me formën kanonike:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x=25

Kjo eshte e gjitha. Problemi i dytë është zgjidhur.

Shembulli i tretë

Le të kalojmë në detyrën e tretë:

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Kujtoni formulën e mëposhtme:

log b = log 10 b

Nëse për ndonjë arsye jeni të hutuar duke shkruar lg b, atëherë kur bëni të gjitha llogaritjet, thjesht mund të shkruani log 10 b. Ju mund të punoni me logaritme dhjetore në të njëjtën mënyrë si me të tjerët: hiqni fuqitë, shtoni dhe përfaqësoni çdo numër si lg 10.

Janë pikërisht këto veti që ne tani do t'i përdorim për të zgjidhur problemin, pasi nuk është më e thjeshta që kemi shkruar në fillim të mësimit tonë.

Për të filluar, vini re se faktori 2 para lg 5 mund të futet dhe bëhet fuqi e bazës 5. Përveç kësaj, termi i lirë 3 mund të përfaqësohet gjithashtu si një logaritëm - kjo është shumë e lehtë për t'u vëzhguar nga shënimi ynë.

Gjykoni vetë: çdo numër mund të përfaqësohet si regjistër në bazën 10:

3 = regjistri 10 10 3 = regjistri 10 3

Le të rishkruajmë problemin origjinal duke marrë parasysh ndryshimet e marra:

lg (x − 3) = lg 1000 + lg 25
lg (x − 3) = lg 1000 25
lg (x - 3) = lg 25 000

Para nesh është përsëri forma kanonike, dhe ne e kemi marrë atë duke anashkaluar fazën e shndërrimeve, d.m.th., ekuacioni më i thjeshtë logaritmik nuk doli askund tek ne.

Për këtë po flisja që në fillim të mësimit. Forma kanonike ju lejon të zgjidhni një klasë më të gjerë problemesh sesa ajo standarde. formula e shkollës dhënë nga shumica e mësuesve të shkollave.

Kjo është e gjitha, ne heqim qafe shenjën e logaritmit dhjetor dhe marrim një ndërtim të thjeshtë linear:

x + 3 = 25,000
x = 24997

Të gjitha! Problemi u zgjidh.

Një shënim për shtrirjen

Këtu dua të sjell shënim i rëndësishëm në lidhje me shtrirjen. Me siguri tani ka studentë dhe mësues që do të thonë: "Kur zgjidhim shprehje me logaritme, është e domosdoshme të kujtojmë se argumenti f (x) duhet të jetë më i madh se zero!" Në këtë drejtim, lind një pyetje logjike: pse në asnjë nga problemet e shqyrtuara nuk kemi kërkuar që kjo pabarazi të plotësohet?

Mos u shqeteso. Në këto raste nuk do të shfaqen rrënjë shtesë. Dhe ky është një tjetër truk i shkëlqyeshëm që ju lejon të shpejtoni zgjidhjen. Vetëm dijeni që nëse në problem ndryshorja x shfaqet vetëm në një vend (ose më mirë, në argumentin e vetëm të logaritmit të vetëm), dhe askund tjetër në rastin tonë nuk e bën ndryshorja x, atëherë shkruani domenin jo e nevojshme sepse do të funksionojë automatikisht.

Gjykoni vetë: në ekuacionin e parë, kemi marrë se 3x - 1, d.m.th., argumenti duhet të jetë i barabartë me 8. Kjo automatikisht do të thotë se 3x - 1 do të jetë më i madh se zero.

Me të njëjtin sukses, mund të shkruajmë se në rastin e dytë, x duhet të jetë i barabartë me 5 2, d.m.th., sigurisht që është më i madh se zero. Dhe në rastin e tretë, ku x + 3 = 25,000, pra, përsëri, padyshim më i madh se zero. Me fjalë të tjera, shtrirja është automatike, por vetëm nëse x shfaqet vetëm në argumentin e vetëm një logaritmi.

Kjo është gjithçka që duhet të dini për të zgjidhur probleme të thjeshta. Vetëm ky rregull, së bashku me rregullat e transformimit, do t'ju lejojë të zgjidhni një klasë shumë të gjerë problemesh.

Por le të jemi të sinqertë: për të kuptuar më në fund këtë teknikë, për të mësuar se si të zbatohet forma kanonike e ekuacionit logaritmik, nuk mjafton vetëm të shikoni një mësim video. Prandaj, tani shkarkoni opsionet për një zgjidhje të pavarur që i janë bashkangjitur këtij video tutoriali dhe filloni të zgjidhni të paktën një nga këto dy vepra të pavarura.

Do t'ju duhen vetëm disa minuta. Por efekti i një trajnimi të tillë do të jetë shumë më i lartë në krahasim me nëse sapo keni parë këtë video tutorial.

Shpresoj se ky mësim do t'ju ndihmojë të kuptoni ekuacionet logaritmike. Aplikoni formën kanonike, thjeshtoni shprehjet duke përdorur rregullat për të punuar me logaritme - dhe nuk do të keni frikë nga asnjë detyrë. Dhe kjo është gjithçka që kam për sot.

Shqyrtimi i fushëveprimit

Tani le të flasim për domenin e funksionit logaritmik, si dhe se si kjo ndikon në zgjidhjen e ekuacioneve logaritmike. Konsideroni një ndërtim të formës

log a f(x) = b

Një shprehje e tillë quhet më e thjeshta - ajo ka vetëm një funksion, dhe numrat a dhe b janë vetëm numra, dhe në asnjë rast nuk janë një funksion që varet nga ndryshorja x. Është zgjidhur shumë thjesht. Thjesht duhet të përdorni formulën:

b = log a a b

Kjo formulë është një nga vetitë kryesore logaritmi, dhe kur zëvendësojmë në shprehjen tonë origjinale, marrim sa vijon:

log a f(x) = log a a b

f(x) = a b

Kjo tashmë është një formulë e njohur nga tekstet shkollore. Shumë studentë ndoshta do të kenë një pyetje: meqenëse funksioni f ( x) në shprehjen origjinale është nën shenjën e regjistrit, kufizimet e mëposhtme vendosen mbi të:

f(x) > 0

Ky kufizim vlen sepse logaritmi i numrat negativë nuk ekziston. Pra, ndoshta për shkak të këtij kufizimi, duhet të prezantoni një kontroll për përgjigje? Ndoshta ato duhet të zëvendësohen në burim?

Jo, në ekuacionet më të thjeshta logaritmike, një kontroll shtesë është i panevojshëm. Dhe kjo është arsyeja pse. Hidhini një sy formulës sonë përfundimtare:

f(x) = a b

Fakti është se numri a në çdo rast është më i madh se 0 - kjo kërkesë imponohet edhe nga logaritmi. Numri a është baza. Në këtë rast nuk vendosen kufizime për numrin b. Por kjo nuk ka rëndësi, sepse pavarësisht se në çfarë shkalle e ngremë një numër pozitiv, do të marrim përsëri një numër pozitiv në dalje. Kështu, kërkesa f (x) > 0 plotësohet automatikisht.

Ajo që vërtet vlen të kontrollohet është fushëveprimi i funksionit nën shenjën e regjistrit. Mund të ketë dizajne mjaft komplekse, dhe në procesin e zgjidhjes së tyre, patjetër që duhet t'i ndiqni. Le të hedhim një vështrim.

Detyra e parë:

Hapi i parë: konvertoni thyesën në të djathtë. Ne marrim:

Ne heqim qafe shenjën e logaritmit dhe marrim ekuacionin e zakonshëm irracional:

Nga rrënjët e marra na përshtatet vetëm e para, që nga rrënja e dytë më pak se zero. Përgjigja e vetme do të jetë numri 9. Kjo është ajo, problemi është zgjidhur. Nuk kërkohen kontrolle shtesë që shprehja nën shenjën e logaritmit është më e madhe se 0, sepse nuk është thjesht më e madhe se 0, por sipas kushtit të ekuacionit është e barabartë me 2. Prandaj, kërkesa "më e madhe se zero" është automatikisht. i kënaqur.

Le të kalojmë në detyrën e dytë:

Gjithçka është e njëjtë këtu. Ne rishkruajmë ndërtimin, duke zëvendësuar trefishin:

Ne heqim qafe shenjat e logaritmit dhe marrim një ekuacion irracional:

Ne sheshojmë të dy pjesët, duke marrë parasysh kufizimet, dhe marrim:

4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2

4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16

x2 + 8x + 16 −4 + 6x + x2 = 0

2x2 + 14x + 12 = 0 |:2

x2 + 7x + 6 = 0

E zgjidhim ekuacionin që rezulton përmes diskriminuesit:

D \u003d 49 - 24 \u003d 25

x 1 = -1

x 2 \u003d -6

Por x = -6 nuk na përshtatet, sepse nëse e zëvendësojmë këtë numër në pabarazinë tonë, marrim:

−6 + 4 = −2 < 0

Në rastin tonë, kërkohet që ajo të jetë më e madhe se 0 ose, në raste ekstreme, e barabartë. Por x = −1 na përshtatet:

−1 + 4 = 3 > 0

Përgjigja e vetme në rastin tonë është x = −1. Kjo është e gjitha zgjidhja. Le të kthehemi në fillimin e llogaritjeve tona.

Përfundimi kryesor nga ky mësim është se nuk kërkohet të kontrollohen kufijtë për një funksion në ekuacionet më të thjeshta logaritmike. Sepse në procesin e zgjidhjes të gjitha kufizimet ekzekutohen automatikisht.

Sidoqoftë, kjo në asnjë mënyrë nuk do të thotë që ju mund të harroni fare verifikimin. Në procesin e punës për një ekuacion logaritmik, ai mund të kthehet fare mirë në një ekuacion irracional, i cili do të ketë kufizimet dhe kërkesat e veta për anën e djathtë, gjë që e kemi parë sot në dy shembuj të ndryshëm.

Ndjehuni të lirë për të zgjidhur probleme të tilla dhe jini veçanërisht të kujdesshëm nëse ka një rrënjë në argument.

Ekuacione logaritmike me baza të ndryshme

Ne vazhdojmë të studiojmë ekuacionet logaritmike dhe të analizojmë dy truke mjaft interesante me të cilat është në modë të zgjidhim më shumë struktura komplekse. Por së pari, le të kujtojmë se si zgjidhen detyrat më të thjeshta:

log a f(x) = b

Në këtë shënim, a dhe b janë vetëm numra, dhe në funksionin f (x) ndryshorja x duhet të jetë e pranishme dhe vetëm aty, domethënë x duhet të jetë vetëm në argument. Ne do të transformojmë ekuacione të tilla logaritmike duke përdorur formën kanonike. Për këtë, vërejmë se

b = log a a b

Dhe a b është vetëm një argument. Le ta rishkruajmë këtë shprehje si më poshtë:

log a f(x) = log a a b

Kjo është pikërisht ajo që ne po përpiqemi të arrijmë, në mënyrë që si në të majtë ashtu edhe në të djathtë të ketë një logaritëm në bazën a. Në këtë rast, në mënyrë figurative, mund të kryqëzojmë shenjat e log dhe nga pikëpamja e matematikës, mund të themi se thjesht barazojmë argumentet:

f(x) = a b

Si rezultat, marrim një shprehje të re që do të zgjidhet shumë më lehtë. Le ta zbatojmë këtë rregull në detyrat tona sot.

Pra, dizajni i parë:

Para së gjithash, vërej se ka një fraksion në të djathtë, emëruesi i së cilës është log. Kur shihni një shprehje si kjo, ia vlen të kujtoni vetinë e mrekullueshme të logaritmeve:

E përkthyer në Rusisht, kjo do të thotë se çdo logaritëm mund të përfaqësohet si një herës i dy logaritmeve me çdo bazë c. Sigurisht, 0< с ≠ 1.

Pra: kjo formulë ka një të mrekullueshme rast i veçantë kur ndryshorja c është e barabartë me variablin b. Në këtë rast, marrim një ndërtim të formës:

Është ky ndërtim që ne vëzhgojmë nga shenja në të djathtë në ekuacionin tonë. Le ta zëvendësojmë këtë ndërtim me log a b, marrim:

Me fjalë të tjera, në krahasim me detyrën origjinale, ne kemi ndërruar argumentin dhe bazën e logaritmit. Në vend të kësaj, ne duhej të kthenim thyesën.

Kujtojmë se çdo shkallë mund të hiqet nga baza sipas rregullit të mëposhtëm:

Me fjalë të tjera, koeficienti k, që është shkalla e bazës, nxirret si fraksion i përmbysur. Le ta nxjerrim atë si një thyesë e përmbysur:

Faktori thyesor nuk mund të lihet përpara, sepse në këtë rast nuk do të mund ta paraqesim këtë hyrje si formë kanonike (në fund të fundit, në formën kanonik, nuk ka faktor shtesë përballë logaritmit të dytë). Prandaj, le të vendosim thyesën 1/4 në argument si fuqi:

Tani barazojmë argumentet, bazat e të cilave janë të njëjta (dhe ne vërtet kemi të njëjtat baza) dhe shkruajmë:

x + 5 = 1

x = −4

Kjo eshte e gjitha. Ne morëm përgjigjen e ekuacionit të parë logaritmik. Kushtojini vëmendje: në problemin origjinal, ndryshorja x shfaqet vetëm në një regjistër dhe është në argumentin e tij. Prandaj, nuk ka nevojë të kontrolloni domenin, dhe numri ynë x = -4 është me të vërtetë përgjigja.

Tani le të kalojmë në shprehjen e dytë:

log 56 = log 2 log 2 7 − 3 log (x + 4)

Këtu, përveç logaritmeve të zakonshme, do të duhet të punojmë me lg f (x). Si të zgjidhet një ekuacion i tillë? Një studenti i papërgatitur mund t'i duket se ky është një lloj kallaji, por në fakt gjithçka zgjidhet në mënyrë elementare.

Shikoni nga afër termin lg 2 log 2 7. Çfarë mund të themi për të? Bazat dhe argumentet e log dhe lg janë të njëjta, dhe kjo duhet të japë disa të dhëna. Le të kujtojmë edhe një herë se si nxirren shkallët nën shenjën e logaritmit:

log a b n = nlog a b

Me fjalë të tjera, ajo që ishte fuqia e numrit b në argument bëhet një faktor përballë vetë log-it. Le ta zbatojmë këtë formulë për shprehjen lg 2 log 2 7. Mos kini frikë nga lg 2 - kjo është shprehja më e zakonshme. Mund ta rishkruani si kjo:

Për të janë të vlefshme të gjitha rregullat që vlejnë për çdo logaritëm tjetër. Në veçanti, faktori përpara mund të futet në fuqinë e argumentit. Le të shkruajmë:

Shumë shpesh, studentët me pikë bosh nuk e shohin këtë veprim, sepse nuk është mirë të futet një regjistër nën shenjën e një tjetri. Në fakt, nuk ka asgjë kriminale në këtë. Për më tepër, marrim një formulë që është e lehtë për t'u llogaritur nëse mbani mend një rregull të rëndësishëm:

Kjo formulë mund të konsiderohet edhe si përkufizim edhe si një nga vetitë e saj. Në çdo rast, nëse konvertoni një ekuacion logaritmik, duhet ta njihni këtë formulë në të njëjtën mënyrë si paraqitja e çdo numri në formën e regjistrit.

Ne i kthehemi detyrës sonë. Ne e rishkruajmë atë duke marrë parasysh faktin se termi i parë në të djathtë të shenjës së barabartë do të jetë thjesht i barabartë me lg 7. Kemi:

lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)

Le të lëvizim lg 7 në të majtë, marrim:

lg 56 - lg 7 = -3lg (x + 4)

Ne i zbresim shprehjet në të majtë sepse ato kanë të njëjtën bazë:

lg (56/7) = -3 lg (x + 4)

Tani le të hedhim një vështrim më të afërt në ekuacionin që kemi marrë. Është praktikisht forma kanonike, por ka një faktor −3 në të djathtë. Le ta vendosim në argumentin e duhur të lg:

lg 8 = lg (x + 4) −3

Para nesh është forma kanonike e ekuacionit logaritmik, kështu që kalojmë shenjat e lg dhe barazojmë argumentet:

(x + 4) -3 = 8

x + 4 = 0,5

Kjo eshte e gjitha! Ne kemi zgjidhur ekuacionin e dytë logaritmik. Në këtë rast, nuk kërkohen kontrolle shtesë, sepse në problemin fillestar x ishte i pranishëm vetëm në një argument.

Unë do të listoj përsëri Pikat kryesore këtë mësim.

Formula kryesore që studiohet në të gjitha mësimet në këtë faqe kushtuar zgjidhjes së ekuacioneve logaritmike është forma kanonike. Dhe mos u pengoni nga fakti se shumica e teksteve shkollore ju mësojnë se si t'i zgjidhni këto lloj problemesh ndryshe. Ky mjet funksionon me shumë efikasitet dhe ju lejon të zgjidhni një klasë shumë më të gjerë problemesh sesa ato më të thjeshtat që kemi studiuar në fillim të mësimit tonë.

Përveç kësaj, për të zgjidhur ekuacionet logaritmike, do të jetë e dobishme të njihen vetitë themelore. Gjegjësisht:

Formula për kalimin në një bazë dhe një rast i veçantë kur kthejmë login (kjo ishte shumë e dobishme për ne në detyrën e parë);
Formula për futjen dhe nxjerrjen e fuqive nga nën shenjën e logaritmit. Këtu, shumë studentë ngecin dhe nuk shohin pikë-bosh që energjia e hequr dhe e futur mund të përmbajë vetë log f (x). Nuk ka asgjë të keqe me këtë. Mund të prezantojmë një regjistër sipas shenjës së një tjetri dhe në të njëjtën kohë të thjeshtojmë ndjeshëm zgjidhjen e problemit, gjë që vërejmë në rastin e dytë.

Si përfundim, dua të shtoj se nuk kërkohet të kontrollohet shtrirja në secilin prej këtyre rasteve, sepse kudo ndryshorja x është e pranishme vetëm në një shenjë log dhe në të njëjtën kohë është në argumentimin e saj. Si pasojë, të gjitha kërkesat e domenit plotësohen automatikisht.

Probleme me bazën e ndryshueshme

Sot do të shqyrtojmë ekuacionet logaritmike, të cilat për shumë studentë duken jo standarde, nëse jo plotësisht të pazgjidhshme. Po flasim për shprehje që bazohen jo në numra, por në variabla dhe madje funksione. Ne do t'i zgjidhim ndërtime të tilla duke përdorur teknikën tonë standarde, përkatësisht, përmes formës kanonike.

Për të filluar, le të kujtojmë se si zgjidhen problemet më të thjeshta, të cilat bazohen në numra të zakonshëm. Pra, quhet ndërtimi më i thjeshtë

log a f(x) = b

Për të zgjidhur probleme të tilla, mund të përdorim formulën e mëposhtme:

b = log a a b

Ne rishkruajmë shprehjen tonë origjinale dhe marrim:

log a f(x) = log a a b

Pastaj i barazojmë argumentet, pra shkruajmë:

f(x) = a b

Kështu, ne heqim qafe shenjën e regjistrit dhe zgjidhim problemin e zakonshëm. Në këtë rast, rrënjët e marra në zgjidhje do të jenë rrënjët e ekuacionit logaritmik origjinal. Për më tepër, rekordi, kur e majta dhe e djathta janë në të njëjtin logaritëm me të njëjtën bazë, quhet forma kanonike. Pikërisht në këtë rekord do të përpiqemi të reduktojmë ndërtimet e sotme. Pra, le të shkojmë.

Detyra e parë:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

Zëvendësoni 1 me log x − 2 (x − 2) 1 . Shkalla që vërejmë në argument është, në fakt, numri b, i cili ishte në të djathtë të shenjës së barabartë. Pra, le të rishkruajmë shprehjen tonë. Ne marrim:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = log x - 2 (x - 2)

Çfarë shohim? Para nesh është forma kanonike e ekuacionit logaritmik, kështu që ne mund të barazojmë me siguri argumentet. Ne marrim:

2x2 - 13x + 18 = x - 2

Por zgjidhja nuk përfundon me kaq, sepse ky ekuacion nuk është i barabartë me atë origjinal. Në fund të fundit, ndërtimi që rezulton përbëhet nga funksione që përcaktohen në të gjithë vijën numerike, dhe logaritmet tona origjinale nuk janë të përcaktuara kudo dhe jo gjithmonë.

Prandaj, ne duhet të shkruajmë veçmas domenin e përkufizimit. Le të mos jemi më të mençur dhe së pari të shkruajmë të gjitha kërkesat:

Së pari, argumenti i secilit prej logaritmeve duhet të jetë më i madh se 0:

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

Së dyti, baza jo vetëm që duhet të jetë më e madhe se 0, por edhe e ndryshme nga 1:

x − 2 ≠ 1

Si rezultat, marrim sistemin:

Por mos u shqetësoni: kur përpunoni ekuacione logaritmike, një sistem i tillë mund të thjeshtohet shumë.

Gjykoni vetë: nga njëra anë, nga ne kërkohet që funksioni kuadratik të jetë më i madh se zero dhe nga ana tjetër, ky funksion kuadratik barazohet me një shprehje të caktuar lineare, e cila gjithashtu kërkohet të jetë më e madhe se zero.

Në këtë rast, nëse kërkojmë që x − 2 > 0, atëherë kërkesa 2x 2 − 13x + 18 > 0 do të plotësohet automatikisht. Prandaj, ne mund të kalojmë me siguri pabarazinë që përmban funksion kuadratik. Kështu, numri i shprehjeve të përfshira në sistemin tonë do të reduktohet në tre.

Sigurisht, ne gjithashtu mund të kalojmë pabarazia lineare, d.m.th. kapërceni x − 2 > 0 dhe kërkoni që 2x 2 − 13x + 18 > 0. Por duhet të bini dakord se është shumë më e shpejtë dhe më e lehtë të zgjidhet pabarazia lineare më e thjeshtë se ky sistem që marrim të njëjtat rrënjë.

Në përgjithësi, përpiquni të optimizoni llogaritjet sa herë që është e mundur. Dhe në rastin e ekuacioneve logaritmike, kaloni pabarazitë më të vështira.

Le të rishkruajmë sistemin tonë:

Këtu është një sistem i tillë i tre shprehjeve, dy prej të cilave ne, në fakt, i kemi kuptuar tashmë. Le të shkruajmë veçmas ekuacioni kuadratik dhe zgjidhni atë:

2x2 - 14x + 20 = 0

x2 − 7x + 10 = 0

Para nesh është një trinom katror i reduktuar dhe, për këtë arsye, ne mund të përdorim formulat Vieta. Ne marrim:

(x − 5) (x − 2) = 0

x 1 = 5

x2 = 2

Tani, përsëri në sistemin tonë, ne zbulojmë se x = 2 nuk na përshtatet, sepse neve na kërkohet të kemi x rreptësisht më të madh se 2.

Por x \u003d 5 na përshtatet mjaft mirë: numri 5 është më i madh se 2, dhe në të njëjtën kohë 5 nuk është i barabartë me 3. Prandaj, zgjidhja e vetme për këtë sistem do të jetë x \u003d 5.

Gjithçka, detyra është zgjidhur, duke përfshirë marrjen parasysh të ODZ. Le të kalojmë në ekuacionin e dytë. Këtu ne presim për llogaritjet më interesante dhe kuptimplote:

Hapi i parë: ashtu si herën e fundit, ne e sjellim të gjithë këtë biznes në një formë kanonike. Për ta bërë këtë, ne mund të shkruajmë numrin 9 si më poshtë:

Baza me rrënjë nuk mund të preket, por është më mirë të transformohet argumenti. Le të kalojmë nga rrënja në fuqi me një eksponent racional. Le të shkruajmë:

Më lejoni të mos e rishkruaj të gjithë ekuacionin tonë të madh logaritmik, por thjesht të barazoj menjëherë argumentet:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

Para nesh është trinomi katror sërish i reduktuar, ne do të përdorim formulat Vieta dhe do të shkruajmë:

(x + 3) (x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = -1

Pra, ne i morëm rrënjët, por askush nuk na garantoi se ato do të përshtateshin me ekuacionin logaritmik origjinal. Në fund të fundit, shenjat e regjistrave vendosin kufizime shtesë (këtu do të na duhej të shkruanim sistemin, por për shkak të rëndimit të të gjithë ndërtimit, vendosa të llogaris domenin e përkufizimit veç e veç).

Para së gjithash, mbani mend se argumentet duhet të jenë më të mëdha se 0, domethënë:

Këto janë kërkesat e vendosura nga fusha e përkufizimit.

Vëmë re menjëherë se meqenëse i barazojmë dy shprehjet e para të sistemit me njëra-tjetrën, mund të kalojmë secilën prej tyre. Le të kalojmë të parin sepse duket më kërcënues se i dyti.

Përveç kësaj, vini re se zgjidhjet e pabarazive të dytë dhe të tretë do të jenë të njëjtat grupe (kubi i një numri është më i madh se zero, nëse vetë ky numër është më i madh se zero; në mënyrë të ngjashme me rrënjën e shkallës së tretë - këto pabarazi janë krejtësisht të ngjashme, kështu që njërën prej tyre mund ta kalojmë).

Por me pabarazinë e tretë, kjo nuk do të funksionojë. Le të heqim qafe shenjën e radikalit në të majtë, për të cilën i ngremë të dyja pjesët në një kub. Ne marrim:

Pra, marrim kërkesat e mëposhtme:

−2 ≠ x > −3

Cila nga rrënjët tona: x 1 = -3 ose x 2 = -1 i plotëson këto kërkesa? Natyrisht, vetëm x = −1, sepse x = −3 nuk e plotëson pabarazinë e parë (sepse pabarazia jonë është e rreptë). Në total, duke iu kthyer problemit tonë, marrim një rrënjë: x = −1. Kjo është ajo, problemi u zgjidh.

Edhe një herë, pikat kryesore të kësaj detyre:

Mos ngurroni të aplikoni dhe zgjidhni ekuacionet logaritmike duke përdorur formën kanonike. Nxënësit që bëjnë një shënim të tillë, në vend që të shkojnë drejtpërdrejt nga problemi origjinal në një ndërtim si log a f (x) = b, lejojnë shumë më pak gabime se sa ata që nxitojnë diku, duke anashkaluar hapat e ndërmjetëm të llogaritjeve;
Sapo një bazë e ndryshueshme shfaqet në logaritëm, problemi pushon së qeni më i thjeshti. Prandaj, gjatë zgjidhjes së tij, është e nevojshme të merret parasysh fusha e përkufizimit: argumentet duhet të jenë më të mëdha se zero, dhe bazat duhet të jenë jo vetëm më të mëdha se 0, por gjithashtu nuk duhet të jenë të barabarta me 1.

Ju mund të vendosni kërkesat e fundit në përgjigjet përfundimtare në mënyra të ndryshme. Për shembull, është e mundur të zgjidhet një sistem i tërë që përmban të gjitha kërkesat e domenit. Nga ana tjetër, së pari mund ta zgjidhni vetë problemin dhe më pas të mbani mend për fushën e përkufizimit, ta përpunoni veçmas në formën e një sistemi dhe ta aplikoni në rrënjët e marra.

Cila mënyrë të zgjidhni kur zgjidhni një ekuacion logaritmik të veçantë varet nga ju. Në çdo rast, përgjigja do të jetë e njëjtë.

Sot do të flasim për formulat e logaritmit dhe të bëjë demonstrim shembuj zgjidhjesh.

Në vetvete, ato nënkuptojnë modele zgjidhjeje sipas vetive themelore të logaritmeve. Para se të aplikojmë formulat e logaritmit në zgjidhje, ne kujtojmë për ju, së pari të gjitha vetitë:

Tani, bazuar në këto formula (veti), ne tregojmë shembuj të zgjidhjes së logaritmeve.

Shembuj të zgjidhjes së logaritmeve bazuar në formula.

Logaritmi numër pozitiv b për bazën a (shënohet log a b) është eksponenti në të cilin a duhet të rritet për të marrë b, me b > 0, a > 0 dhe 1.

Sipas përkufizimit log a b = x, që është ekuivalente me a x = b, pra log a a x = x.

Logaritmet, shembuj:

log 2 8 = 3, sepse 2 3 = 8

log 7 49 = 2 sepse 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, sepse 5 -1 = 1/5

Logaritmi dhjetorështë një logaritëm i zakonshëm, baza e të cilit është 10. Shënohet si lg.

log 10 100 = 2 sepse 10 2 = 100

logaritmi natyror- gjithashtu logaritmi i zakonshëm i logaritmit, por tashmë me bazën e (e \u003d 2.71828 ... - numër irracional). Referuar si ln.

Është e dëshirueshme të mbani mend formulat ose vetitë e logaritmeve, sepse ato do të na duhen më vonë gjatë zgjidhjes së logaritmeve, ekuacioneve logaritmike dhe pabarazive. Le të shqyrtojmë përsëri secilën formulë me shembuj.

Identiteti bazë logaritmik
a log a b = b
8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
Logaritmi i produktit është i barabartë me shumën e logaritmeve
log a (bc) = log a b + log a c
log 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4
Logaritmi i herësit është i barabartë me diferencën e logaritmeve
log a (b/c) = log a b - log a c
9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
Vetitë e shkallës së një numri të logaritmueshëm dhe bazës së logaritmit
Eksponenti i një numri logaritmik log a b m = mlog a b

Eksponenti i bazës së logaritmit log a n b =1/n*log a b

log a n b m = m/n*log a b,

nëse m = n, marrim log a n b n = log a b

log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
Kalimi në një themel të ri
log a b = log c b / log c a,
nëse c = b, marrim log b b = 1

atëherë log a b = 1/log b a

log 0.8 3*log 3 1.25 = log 0.8 3*log 0.8 1.25/log 0.8 3 = log 0.8 1.25 = log 4/5 5/4 = -1

Siç mund ta shihni, formulat e logaritmit nuk janë aq të komplikuara sa duken. Tani, pasi kemi shqyrtuar shembuj të zgjidhjes së logaritmeve, mund të kalojmë te ekuacionet logaritmike. Ne do të shqyrtojmë shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve logaritmike në më shumë detaje në artikullin: "". Mos humbasë!

Nëse keni ende pyetje në lidhje me zgjidhjen, shkruajini ato në komentet e artikullit.

Shënim: vendosi të marrë një arsimim të një studimi tjetër në klasë jashtë vendit si opsion.

Shprehje logaritmike, zgjidhje shembujsh. Në këtë artikull, ne do të shqyrtojmë problemet që lidhen me zgjidhjen e logaritmeve. Detyrat shtrojnë çështjen e gjetjes së vlerës së shprehjes. Duhet të theksohet se koncepti i logaritmit përdoret në shumë detyra dhe është jashtëzakonisht e rëndësishme të kuptohet kuptimi i tij. Sa i përket përdorimit, logaritmi përdoret kur zgjidhen ekuacionet, në detyrat e aplikuara, edhe në detyrat që lidhen me studimin e funksioneve.

Këtu janë shembuj për të kuptuar vetë kuptimin e logaritmit:

Identiteti bazë logaritmik:

Vetitë e logaritmeve që duhet të mbani mend gjithmonë:

*Logaritmi i prodhimit është i barabartë me shumën e logaritmeve të faktorëve.

* * *

* Logaritmi i herësit (fraksionit) është i barabartë me diferencën e logaritmeve të faktorëve.

* * *

* Logaritmi i shkallës është i barabartë me prodhimin e eksponentit dhe logaritmit të bazës së tij.

* * *

*Tranzicioni në bazën e re

* * *

Më shumë prona:

* * *

Llogaritja e logaritmeve është e lidhur ngushtë me përdorimin e vetive të eksponentëve.

Ne rendisim disa prej tyre:

thelbi pronë e dhënëështë se gjatë transferimit të numëruesit në emërues dhe anasjelltas, shenja e eksponentit ndryshon në të kundërtën. Për shembull:

Pasojat e kësaj prone:

* * *

Kur rritet një fuqi në një fuqi, baza mbetet e njëjtë, por eksponentët shumëzohen.

* * *

Siç mund ta shihni, vetë koncepti i logaritmit është i thjeshtë. Gjëja kryesore është se nevojitet praktikë e mirë, e cila jep një aftësi të caktuar. Sigurisht që njohja e formulave është e detyrueshme. Nëse nuk formohet aftësia në transformimin e logaritmave elementare, atëherë kur zgjidhet detyra të thjeshtaështë e lehtë të bësh një gabim.

Praktikoni, zgjidhni fillimisht shembujt më të thjeshtë nga kursi i matematikës dhe më pas kaloni në ato më komplekse. Në të ardhmen do të tregoj patjetër se si zgjidhen logaritmet e “shëmtuara”, të tilla nuk do të ketë në provim, por janë me interes, mos e humbisni!

Kjo eshte e gjitha! Paç fat!

Sinqerisht, Alexander Krutitskikh

P.S: Do të isha mirënjohës nëse tregoni për faqen në rrjetet sociale.

Logaritmi i një numri N nga arsyeja a quhet eksponent X , për të cilën ju duhet të ngrini a për të marrë numrin N

Me kusht që
,
,

Nga përkufizimi i logaritmit rezulton se
, d.m.th.
- kjo barazi është identiteti bazë logaritmik.

Logaritmet me bazën 10 quhen logaritme dhjetore. Në vend të
shkruaj
.

logaritmet bazë e quhen natyrore dhe shënohen
.

Vetitë themelore të logaritmeve.

Logaritmi i unitetit për çdo bazë është zero

Logaritmi i produktit është i barabartë me shumën e logaritmeve të faktorëve.

3) Logaritmi i herësit është i barabartë me diferencën e logaritmeve

Faktori
quhet moduli i kalimit nga logaritmet në bazë a te logaritmet në bazë b .

Duke përdorur vetitë 2-5, shpesh është e mundur të reduktohet logaritmi i një shprehjeje komplekse në rezultatin e veprimeve të thjeshta aritmetike në logaritme.

Për shembull,

Shndërrime të tilla të logaritmit quhen logaritme. Shndërrimet reciproke të logaritmeve quhen fuqizim.

Kapitulli 2. Elementet e matematikës së lartë.

1. Kufijtë

kufiri i funksionit
është një numër i kufizuar A nëse, kur përpiqemi xx 0 për çdo të paracaktuar
, ka një numër
që sapo
, pastaj
.

Një funksion që ka një kufi ndryshon prej tij me një sasi infinite të vogël:
, ku - b.m.w., d.m.th.
.

Shembull. Merrni parasysh funksionin
.

Kur përpiqet
, funksion y shkon në zero:

1.1. Teorema themelore rreth kufijve.

Kufiri i një vlere konstante është i barabartë me këtë vlerë konstante

Kufiri i shumës (diferencës) i një numri të fundëm funksionesh është i barabartë me shumën (diferencën) e kufijve të këtyre funksioneve.

Kufiri i një produkti të një numri të kufizuar funksionesh është i barabartë me produktin e kufijve të këtyre funksioneve.

Kufiri i herësit të dy funksioneve është i barabartë me herësin e kufijve të këtyre funksioneve nëse kufiri i emëruesit nuk është i barabartë me zero.

Kufij të shquar

,
, ku

1.2. Shembuj të llogaritjes së kufirit

Sidoqoftë, jo të gjitha kufijtë llogariten kaq thjesht. Më shpesh, llogaritja e kufirit reduktohet në zbulimin e pasigurisë së llojit: ose .

2. Derivat i një funksioni

Le të kemi një funksion
, e vazhdueshme në segment
.

Argumenti mori një nxitje
. Pastaj funksioni do të rritet
.

Vlera e argumentit korrespondon me vlerën e funksionit
.

Vlera e argumentit
korrespondon me vlerën e funksionit.

Prandaj, .

Le të gjejmë kufirin e kësaj lidhjeje në
. Nëse ky kufi ekziston, atëherë ai quhet derivat i funksionit të dhënë.

Përkufizimi i 3 derivatit të një funksioni të caktuar
me argument quhet kufiri i raportit të rritjes së funksionit me rritjen e argumentit, kur rritja e argumentit tenton në mënyrë arbitrare në zero.

Derivati i funksionit
mund të shënohet si më poshtë:

; ; ; .

Përkufizimi 4Veprimi i gjetjes së derivatit të një funksioni quhet diferencimi.

2.1. Kuptimi mekanik i derivatit.

Merrni parasysh lëvizjen drejtvizore të një trupi të ngurtë ose një pike materiale.

Lëreni në një moment në kohë pikë lëvizëse
ishte në distancë nga pozicioni i fillimit
.

Pas një periudhe kohe
ajo lëvizi një distancë
. Qëndrimi =- Shpejtësia mesatare pikë materiale
. Le të gjejmë kufirin e këtij raporti, duke marrë parasysh atë
.

Rrjedhimisht, përcaktimi i shpejtësisë së menjëhershme të një pike materiale reduktohet në gjetjen e derivatit të shtegut në lidhje me kohën.

2.2. Vlera gjeometrike e derivatit

Supozoni se kemi një funksion të përcaktuar grafikisht
.

Oriz. 1. Kuptimi gjeometrik i derivatit

Nese nje
, pastaj pika
, do të lëvizë përgjatë kurbës, duke iu afruar pikës
.

Prandaj
, d.m.th. vlera e derivatit duke pasur parasysh vlerën e argumentit numerikisht është e barabartë me tangjenten e këndit të formuar nga tangjentja në një pikë të caktuar me drejtimin pozitiv të boshtit
.

2.3. Tabela e formulave bazë të diferencimit.

Funksioni i fuqisë

Funksioni eksponencial

funksioni logaritmik

funksioni trigonometrik

Funksioni trigonometrik i anasjelltë

2.4. Rregullat e diferencimit.

Derivat i

Derivati i shumës (diferencës) së funksioneve

Derivat i prodhimit të dy funksioneve

Derivati i herësit të dy funksioneve

2.5. Derivat i funksion kompleks.

Lëreni funksionin
e tillë që mund të përfaqësohet si

dhe
, ku ndryshorja është një argument i ndërmjetëm, pra

Derivati i një funksioni kompleks është i barabartë me produktin e derivatit të funksionit të dhënë në lidhje me argumentin e ndërmjetëm nga derivati i argumentit të ndërmjetëm në lidhje me x.

Shembull 1.

Shembulli 2.

3. Diferenciali i funksionit.

Le të ketë
, i diferencueshëm në një interval
le të shkojë në ky funksion ka një derivat

atëherë mund të shkruani

(1),

ku - një sasi pafundësisht e vogël,

sepse në

Duke shumëzuar të gjitha kushtet e barazisë (1) me
ne kemi:

ku
- b.m.v. rendit më të lartë.

Vlera
quhet diferencial i funksionit
dhe shënohet

3.1. Vlera gjeometrike e diferencialit.

Lëreni funksionin
.

Fig.2. Kuptimi gjeometrik i diferencialit.

Natyrisht, diferenciali i funksionit
është e barabartë me shtimin e ordinatës së tangjentes në pikën e dhënë.

3.2. Derivatet dhe diferencialet e rendeve te ndryshme.

Nëse atje
, pastaj
quhet derivati i parë.

Derivati i derivatit të parë quhet derivat i rendit të dytë dhe shkruhet
.

Derivat i rendit të n-të të funksionit
quhet derivat i rendit (n-1) dhe shkruhet:

Diferenciali i diferencialit të një funksioni quhet diferencial i dytë ose diferencial i rendit të dytë.

.

.

3.3 Zgjidhja e problemeve biologjike duke përdorur diferencimin.

Detyra 1. Studimet kanë treguar se rritja e një kolonie mikroorganizmash i bindet ligjit
, ku N - numri i mikroorganizmave (në mijëra), t – koha (ditë).

b) A do të rritet apo ulet popullsia e kolonisë gjatë kësaj periudhe?

Përgjigju. Kolonia do të rritet në madhësi.

Detyra 2. Uji në liqen testohet periodikisht për të kontrolluar përmbajtjen e baktereve patogjene. përmes t ditë pas testimit, përqendrimi i baktereve përcaktohet nga raporti