Llogaritësi i fraksioneve krijuar për llogaritje e shpejtë veprimet me thyesa, do t'ju ndihmojnë të shtoni, shumëzoni, pjesëtoni ose zbritni me lehtësi thyesat.
Nxënësit modernë fillojnë të studiojnë fraksione tashmë në klasën e 5-të, dhe çdo vit ushtrimet me ta bëhen më të ndërlikuara. Termat dhe sasitë matematikore që mësojmë në shkollë janë rrallë të dobishme për ne në moshë madhore. Megjithatë, thyesat, ndryshe nga logaritmet dhe shkallët, janë mjaft të zakonshme në jetën e përditshme (matja e distancës, peshimi i mallrave, etj.). Llogaritësi ynë është krijuar për operacione të shpejta me fraksione.
Së pari, le të përcaktojmë se çfarë janë thyesat dhe çfarë janë ato. Thyesat janë raporti i një numri me tjetrin; ky është një numër i përbërë nga një numër i plotë i thyesave të një njësie.
Llojet e fraksioneve:
- E zakonshme
- Dhjetoret
- të përziera
Shembull thyesat e zakonshme:
Vlera e sipërme është numëruesi, pjesa e poshtme është emëruesi. Viza na tregon se numri i sipërm është i pjesëtueshëm me numrin e poshtëm. Në vend të një formati të ngjashëm shkrimi, kur viza është horizontale, mund të shkruani ndryshe. Ju mund të vendosni një vijë të pjerrët, për shembull:
1/2, 3/7, 19/5, 32/8, 10/100, 4/1
Dhjetoret janë lloji më i popullarizuar i thyesave. Ato përbëhen nga një pjesë e plotë dhe një pjesë e pjesshme, të ndara me presje.
Shembull dhjetor:
0,2 ose 6,71 ose 0,125
Ai përbëhet nga një numër i plotë dhe një pjesë e pjesshme. Për të zbuluar vlerën e kësaj thyese, duhet të shtoni numrin e plotë dhe thyesën.
Shembull i thyesave të përziera:
Llogaritësi i fraksioneve në faqen tonë të internetit është në gjendje të kryejë shpejt çdo operacion matematikor me fraksione në internet:
- Shtimi
- Zbritja
- Shumëzimi
- Divizioni
Për të kryer llogaritjen, duhet të futni numrat në fusha dhe të zgjidhni veprimin. Për thyesat, duhet të plotësoni numëruesin dhe emëruesin, një numër i plotë mund të mos shkruhet (nëse thyesa është e zakonshme). Mos harroni të klikoni në butonin "e barabartë".
Është e përshtatshme që kalkulatori të sigurojë menjëherë një proces për zgjidhjen e një shembulli me fraksione, dhe jo vetëm një përgjigje të gatshme. Falë zgjidhjes së detajuar mund ta përdorni këtë material në zgjidhjen e problemeve të shkollës dhe për përvetësimin më të mirë të materialit të trajtuar.
Ju duhet të llogaritni shembullin:
Pas futjes së treguesve në fushat e formularit, marrim:
Për të bërë një llogaritje të pavarur, futni të dhënat në formular.
Llogaritësi i fraksioneve
Shkruani dy thyesa:| + - * : | |||||||
seksionet përkatëse.
Shembujt me thyesa janë një nga elementet bazë të matematikës. Ka shume tipe te ndryshme ekuacionet me thyesa. Më poshtë është udhëzime të hollësishme duke zgjidhur shembuj të këtij lloji.
Si të zgjidhim shembuj me thyesa - rregulla të përgjithshme
Për të zgjidhur shembuj me thyesa të çdo lloji, qoftë mbledhje, zbritje, shumëzim apo pjesëtim, duhet të dini rregullat themelore:
- Për të shtuar shprehje thyesore me emërues të njëjtë (emëruesi është numri në fund të thyesës, numëruesi në krye), duhet të shtoni numëruesit e tyre dhe të lini emëruesin të njëjtë.
- Për të zbritur nga një shprehje thyesore të dytën (me të njëjtin emërues), duhet të zbritni numëruesit e tyre dhe të lini emëruesin të njëjtë.
- Për të mbledhur ose zbritur shprehje thyesore me emërues të ndryshëm, duhet të gjejmë emëruesin më të vogël të përbashkët.
- Për të gjetur një produkt thyesor, duhet të shumëzoni numëruesit dhe emëruesit, ndërsa, nëse është e mundur, të zvogëloni.
- Për të pjesëtuar një thyesë me një thyesë, duhet të shumëzoni thyesën e parë me të dytën e kundërt.
Si të zgjidhim shembuj me thyesa - praktikë
Rregulli 1, shembulli 1:
Llogaritni 3/4 +1/4.
Sipas rregullit 1, nëse thyesat e dy (ose më shumë) kanë të njëjtin emërues, thjesht duhet të shtoni numëruesit e tyre. Ne marrim: 3/4 + 1/4 = 4/4. Nëse një thyesë ka të njëjtin numërues dhe emërues, thyesa do të jetë 1.
Përgjigje: 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1.
Rregulli 2, shembulli 1:
Llogaritni: 3/4 - 1/4
Duke përdorur rregullin numër 2, për të zgjidhur këtë ekuacion, duhet të zbrisni 1 nga 3 dhe të lini emëruesin të njëjtë. Ne marrim 2/4. Meqenëse dy 2 dhe 4 mund të reduktohen, ne zvogëlojmë dhe marrim 1/2.
Përgjigje: 3/4 - 1/4 = 2/4 = 1/2.
Rregulli 3, Shembulli 1
Llogaritni: 3/4 + 1/6
Zgjidhja: Duke përdorur rregullin e 3-të, gjejmë emëruesin më të vogël të përbashkët. Emëruesi më i vogël i përbashkët është numri që pjesëtohet me emëruesit e të gjitha shprehjeve thyesore në shembull. Kështu, ne duhet të gjejmë një numër të tillë minimal që do të plotpjesëtohet edhe me 4 edhe me 6. Ky numër është 12. Ne shkruajmë si emërues 12. Pjesëtojmë 12 me emëruesin e thyesës së parë, marrim 3, shumëzojmë me 3, shkruajmë 3 në numëruesin *3 dhe shenjën +. Ne e ndajmë 12 me emëruesin e fraksionit të dytë, marrim 2, shumëzojmë 2 me 1, shkruajmë 2 * 1 në numërues. Pra, kemi marrë një thyesë të re me emërues të barabartë me 12 dhe numërues të barabartë me 3*3+2*1=11. 11/12.
Përgjigje: 11/12
Rregulli 3, Shembulli 2:
Llogarit 3/4 - 1/6. Ky shembull është shumë i ngjashëm me atë të mëparshëm. Ne bëjmë të gjitha të njëjtat veprime, por në numërues në vend të shenjës +, shkruajmë shenjën minus. Marrim: 3*3-2*1/12 = 9-2/12 = 7/12.
Përgjigje: 7/12
Rregulli 4, Shembulli 1:
Llogaritni: 3/4 * 1/4
Duke përdorur rregullin e katërt, shumëzojmë emëruesin e thyesës së parë me emëruesin e së dytës dhe numëruesin e thyesës së parë me numëruesin e së dytës. 3*1/4*4 = 3/16.
Përgjigje: 16/3
Rregulli 4, Shembulli 2:
Llogaritni 2/5 * 10/4.
Ky fraksion mund të reduktohet. Në rastin e prodhimit zvogëlohen numëruesi i thyesës së parë dhe emëruesi i së dytës dhe numëruesi i thyesës së dytë dhe emëruesi i së parës.
2 zvogëlohet nga 4. 10 zvogëlohet nga 5. marrim 1 * 2/2 = 1 * 1 = 1.
Përgjigje: 2/5 * 10/4 = 1
Rregulli 5, Shembulli 1:
Llogaritni: 3/4: 5/6
Duke përdorur rregullin e 5-të, marrim: 3/4: 5/6 = 3/4 * 6/5. Ne e zvogëlojmë thyesën sipas parimit të shembullit të mëparshëm dhe marrim 9/10.
Përgjigje: 9/10.
Si të zgjidhen shembujt e thyesave - ekuacionet thyesore
Ekuacionet thyesore janë shembuj ku emëruesi përmban një të panjohur. Për të zgjidhur një ekuacion të tillë, duhet të përdorni disa rregulla.
Konsideroni një shembull:
Zgjidh ekuacionin 15/3x+5 = 3
Kujtoni që nuk mund të pjesëtoni me zero, d.m.th. vlera e emëruesit nuk duhet të jetë zero. Gjatë zgjidhjes së shembujve të tillë, kjo duhet të tregohet. Për ta bërë këtë, ekziston ODZ (gama e vlerave të pranueshme).
Pra 3x+5 ≠ 0.
Prandaj: 3x ≠ 5.
x ≠ 5/3
Për x = 5/3, ekuacioni thjesht nuk ka zgjidhje.
Duke specifikuar ODZ-në, në mënyrën më të mirë të mundshme zgjidhur këtë ekuacion do të shpëtoj nga thyesat. Për ta bërë këtë, së pari paraqesim të gjitha vlerat jo fraksionale si një fraksion, në këtë rast numrin 3. Marrim: 15/(3x+5) = 3/1. Për të hequr qafe thyesat, duhet të shumëzoni secilën prej tyre me emëruesin më të vogël të përbashkët. Në këtë rast, kjo do të ishte (3x+5)*1. Renditja:
- Shumëzoni 15/(3x+5) me (3x+5)*1 = 15*(3x+5).
- Zgjeroni kllapat: 15*(3x+5) = 45x + 75.
- Ne bëjmë të njëjtën gjë me anën e djathtë të ekuacionit: 3*(3x+5) = 9x + 15.
- Barazoni anët e majta dhe të djathta: 45x + 75 = 9x +15
- Zhvendosni x në të majtë, numrat në të djathtë: 36x = -50
- Gjeni x: x = -50/36.
- Ne zvogëlojmë: -50/36 = -25/18
Përgjigje: ODZ x ≠ 5/3. x = -25/18.
Si të zgjidhim shembuj me thyesa - pabarazi thyesore
Jobarazimet thyesore të tipit (3x-5)/(2-x)≥0 zgjidhen duke përdorur boshtin numerik. Merrni parasysh shembulli i dhënë.
Renditja:
- Barazoni numëruesin dhe emëruesin me zero: 1. 3x-5=0 => 3x=5 => x=5/3
2. 2-x=0 => x=2 - Ne vizatojmë një bosht numerik, duke pikturuar vlerat që rezultojnë në të.
- Vizatoni një rreth nën vlerën. Rrethi është i dy llojeve - i mbushur dhe i zbrazët. Një rreth i mbushur do të thotë që kjo vlerë përfshihet në gamën e zgjidhjeve. Një rreth i zbrazët tregon që kjo vlerë nuk përfshihet në gamën e zgjidhjeve.
- Meqenëse emëruesi nuk mund të jetë zero, do të ketë një rreth bosh nën 2.
- Për të përcaktuar shenjat, ne zëvendësojmë çdo numër më të madh se dy në ekuacion, për shembull 3. (3 * 3-5) / (2-3) \u003d -4. vlera është negative, kështu që ne shkruajmë një minus mbi sipërfaqen pas deuce. Pastaj ne zëvendësojmë çdo vlerë të intervalit nga 5/3 në 2 në vend të x, për shembull 1. Vlera është përsëri negative. Ne shkruajmë minus. E përsërisim të njëjtën gjë me sipërfaqen deri në 5/3. Ne zëvendësojmë çdo numër më të vogël se 5/3, për shembull 1. Minus përsëri.
- Meqenëse ne jemi të interesuar për vlerat x, në të cilat shprehja do të jetë më e madhe ose e barabartë me 0, dhe nuk ka vlera të tilla (kundër kudo), kjo pabarazi nuk ka zgjidhje, d.m.th. x = Ø (bashkësi bosh).
Përgjigje: x = Ø
Në artikull, ne do të tregojmë si të zgjidhim thyesat me shembuj të thjeshtë të qartë. Le të kuptojmë se çfarë është një thyesë dhe të shqyrtojmë zgjidhjen e thyesave!
koncept thyesat futet në lëndën e matematikës duke filluar nga klasa e 6-të e shkollës së mesme.
Thyesat duken si: ±X / Y, ku Y është emëruesi, tregon në sa pjesë është ndarë e tëra, dhe X është numëruesi, tregon se sa pjesë të tilla janë marrë. Për qartësi, le të marrim një shembull me një tortë:
Në rastin e parë, torta pritej njësoj dhe merrej gjysma, d.m.th. 1/2. Në rastin e dytë, torta është prerë në 7 pjesë, nga të cilat janë marrë 4 pjesë, d.m.th. 4/7.
Nëse pjesa e pjesëtimit të një numri me një tjetër nuk është numër i plotë, ai shkruhet si thyesë.
Për shembull, shprehja 4:2 \u003d 2 jep një numër të plotë, por 4:7 nuk është plotësisht i ndashëm, kështu që kjo shprehje shkruhet si fraksion 4/7.
Me fjale te tjera fraksioniështë një shprehje që shënon pjesëtimin e dy numrave ose shprehjeve dhe që shkruhet me një të pjerrët.
Nëse numëruesi është më i vogël se emëruesi, thyesa është e saktë, nëse anasjelltas, është e pasaktë. Një thyesë mund të përmbajë një numër të plotë.
Për shembull, 5 të plota 3/4.
Kjo hyrje do të thotë që për të marrë 6-në e plotë, një pjesë e katërve nuk mjafton.
Nëse doni të mbani mend si të zgjidhim thyesat për klasën e 6-të ju duhet ta kuptoni këtë zgjidhjen e thyesave në thelb vjen deri te të kuptuarit e disa gjërave të thjeshta.
- Një thyesë është në thelb një shprehje për një thyesë. Kjo do të thotë, një shprehje numerike se cila pjesë është një vlerë e dhënë nga një e tërë. Për shembull, thyesa 3/5 shpreh se nëse e ndajmë diçka të plotë në 5 pjesë dhe numri i pjesëve ose pjesëve të kësaj tërësie është tre.
- Një thyesë mund të jetë më e vogël se 1, për shembull 1/2 (ose në thelb gjysma), atëherë është e saktë. Nëse thyesa është më e madhe se 1, për shembull 3/2 (tre gjysma ose një e gjysmë), atëherë është e pasaktë dhe për të thjeshtuar zgjidhjen, është më mirë të zgjedhim të gjithë pjesën 3/2= 1 e plotë 1 /2.
- Thyesat janë numra të njëjtë si 1, 3, 10, madje edhe 100, vetëm numrat nuk janë të plotë, por thyesorë. Me ta, ju mund të kryeni të gjitha veprimet e njëjta si me numrat. Numërimi i thyesave nuk është më i vështirë, dhe më tej shembuj konkretë do ta tregojmë.
Si të zgjidhim thyesat. Shembuj.
Një shumëllojshmëri veprimesh aritmetike janë të zbatueshme për thyesat.
Sjellja e një thyese në një emërues të përbashkët
Për shembull, duhet të krahasoni thyesat 3/4 dhe 4/5.
Për të zgjidhur problemin, fillimisht gjejmë emëruesin më të ulët të përbashkët, d.m.th. numri më i vogël, e cila është e pjesëtueshme pa mbetje me secilin prej emërtuesve të thyesave
Emëruesi më i vogël i përbashkët (4.5) = 20
Atëherë emëruesi i të dy thyesave reduktohet në emëruesin më të ulët të përbashkët
Përgjigje: 15/20
Mbledhja dhe zbritja e thyesave
Nëse është e nevojshme të llogaritet shuma e dy thyesave, ato fillimisht sillen në një emërues të përbashkët, më pas shtohen numëruesit, ndërsa emëruesi mbetet i pandryshuar. Dallimi i thyesave konsiderohet në mënyrë të ngjashme, ndryshimi i vetëm është se numëruesit zbriten.
Për shembull, ju duhet të gjeni shumën e thyesave 1/2 dhe 1/3
Tani gjeni ndryshimin midis thyesave 1/2 dhe 1/4
Shumëzimi dhe pjesëtimi i thyesave
Këtu zgjidhja e thyesave është e thjeshtë, gjithçka është mjaft e thjeshtë këtu:
- Shumëzimi - numëruesit dhe emëruesit e thyesave shumëzohen ndërmjet tyre;
- Pjesëtimi - së pari marrim një thyesë, reciproke e thyesës së dytë, d.m.th. këmbejmë numëruesin dhe emëruesin e tij, pas së cilës shumëzojmë thyesat që rezultojnë.
Për shembull:
Në lidhje me këtë si të zgjidhim thyesat, të gjitha. Nëse keni ndonjë pyetje rreth zgjidhjen e thyesave, diçka nuk është e qartë, atëherë shkruani në komente dhe ne do t'ju përgjigjemi.
Nëse jeni mësues, është e mundur të shkarkoni prezantimin për shkollë fillore(http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) do të jetë i dobishëm.
Përmbajtja e mësimitMbledhja e thyesave me emërues të njëjtë
Shtimi i thyesave është dy llojesh:
- Mbledhja e thyesave me emërues të njëjtë
- Mbledhja e thyesave me emërues të ndryshëm
Le të fillojmë me mbledhjen e thyesave me emërues të njëjtë. Gjithçka është e thjeshtë këtu. Për të shtuar thyesa me emërues të njëjtë, duhet të shtoni numëruesit e tyre dhe të lini emëruesin të pandryshuar. Për shembull, le të shtojmë thyesat dhe . Shtojmë numëruesit dhe e lëmë emëruesin të pandryshuar:
Ky shembull mund të kuptohet lehtësisht nëse mendojmë për një picë të ndarë në katër pjesë. Nëse shtoni pica në picë, ju merrni pica:
Shembulli 2 Shtoni thyesat dhe .
Përgjigjja doli jo thyesa e duhur. Nëse vjen fundi i detyrës, atëherë është zakon të heqësh qafe fraksionet e pahijshme. Për të hequr qafe një fraksion të pahijshëm, duhet të zgjidhni të gjithë pjesën në të. Në rastin tonë, pjesa e plotë ndahet lehtësisht - dy e ndarë me dy është e barabartë me një:
Ky shembull mund të kuptohet lehtësisht nëse mendojmë për një picë të ndarë në dy pjesë. Nëse shtoni më shumë pica në picë, ju merrni një picë të plotë:
Shembulli 3. Shtoni thyesat dhe .
Përsëri, shtoni numëruesit dhe lini emëruesin të pandryshuar:
Ky shembull mund të kuptohet lehtësisht nëse mendojmë për një picë që është e ndarë në tre pjesë. Nëse shtoni më shumë pica në picë, ju merrni pica:
Shembulli 4 Gjeni vlerën e një shprehjeje 
Ky shembull zgjidhet saktësisht në të njëjtën mënyrë si ato të mëparshme. Numëruesit duhet të shtohen dhe emëruesi të lihet i pandryshuar:
Le të përpiqemi të përshkruajmë zgjidhjen tonë duke përdorur një foto. Nëse shtoni pica në një picë dhe shtoni më shumë pica, do të merrni 1 pica të plotë dhe më shumë pica.
Siç mund ta shihni, shtimi i thyesave me emërues të njëjtë nuk është i vështirë. Mjafton të kuptoni rregullat e mëposhtme:
- Për të shtuar thyesa me emërues të njëjtë, duhet të shtoni numëruesit e tyre dhe të lini emëruesin të pandryshuar;
Mbledhja e thyesave me emërues të ndryshëm
Tani do të mësojmë se si të mbledhim thyesa me emërues të ndryshëm. Kur mblidhen thyesat, emëruesit e atyre thyesave duhet të jenë të njëjtë. Por ato nuk janë gjithmonë të njëjta.
Për shembull, thyesat mund të shtohen sepse kanë të njëjtët emërues.
Por thyesat nuk mund të shtohen menjëherë, sepse këto thyesa kanë emërues të ndryshëm. Në raste të tilla, thyesat duhet të reduktohen në të njëjtin emërues (të përbashkët).
Ka disa mënyra për të reduktuar thyesat në të njëjtin emërues. Sot do të shqyrtojmë vetëm njërën prej tyre, pasi pjesa tjetër e metodave mund të duken të ndërlikuara për një fillestar.
Thelbi i kësaj metode qëndron në faktin se së pari kërkohet (LCM) e emëruesve të të dy thyesave. Pastaj LCM pjesëtohet me emëruesin e thyesës së parë dhe fitohet faktori i parë shtesë. Ata bëjnë të njëjtën gjë me thyesën e dytë - LCM ndahet me emëruesin e thyesës së dytë dhe fitohet faktori i dytë shtesë.
Pastaj numëruesit dhe emëruesit e thyesave shumëzohen me faktorët e tyre shtesë. Si rezultat i këtyre veprimeve, thyesat që kishin emërues të ndryshëm kthehen në thyesa që kanë emërues të njëjtë. Dhe ne tashmë dimë se si të shtojmë fraksione të tilla.
Shembulli 1. Shtoni thyesat dhe
Para së gjithash, gjejmë shumëfishin më të vogël të përbashkët të emëruesve të të dy thyesave. Emëruesi i thyesës së parë është numri 3, dhe emëruesi i thyesës së dytë është numri 2. Shumëfishi më i vogël i përbashkët i këtyre numrave është 6.
LCM (2 dhe 3) = 6
Tani kthehemi te thyesat dhe . Së pari, ne e ndajmë LCM me emëruesin e fraksionit të parë dhe marrim faktorin e parë shtesë. LCM është numri 6, dhe emëruesi i thyesës së parë është numri 3. Pjestoni 6 me 3, marrim 2.
Numri 2 që rezulton është faktori i parë shtesë. E shkruajmë në thyesën e parë. Për ta bërë këtë, ne bëjmë një vijë të vogël të zhdrejtë mbi fraksion dhe shkruajmë faktorin shtesë të gjetur mbi të:
Të njëjtën gjë bëjmë edhe me thyesën e dytë. Ne e ndajmë LCM me emëruesin e thyesës së dytë dhe marrim faktorin e dytë shtesë. LCM është numri 6, dhe emëruesi i thyesës së dytë është numri 2. Pjestoni 6 me 2, marrim 3.
Numri 3 që rezulton është faktori i dytë shtesë. E shkruajmë në thyesën e dytë. Përsëri, ne bëjmë një vijë të vogël të zhdrejtë mbi fraksionin e dytë dhe shkruajmë faktorin shtesë të gjetur mbi të:
Tani jemi gati të shtojmë. Mbetet të shumëzojmë numëruesit dhe emëruesit e thyesave me faktorët e tyre shtesë:
Shikoni nga afër se në çfarë kemi ardhur. Arritëm në përfundimin se thyesat që kishin emërues të ndryshëm shndërroheshin në thyesa që kishin emërues të njëjtë. Dhe ne tashmë dimë se si të shtojmë fraksione të tilla. Le ta plotësojmë këtë shembull deri në fund:
Kështu përfundon shembulli. Për të shtuar rezulton.
Le të përpiqemi të përshkruajmë zgjidhjen tonë duke përdorur një foto. Nëse shtoni pica në një picë, ju merrni një picë të plotë dhe një të gjashtën tjetër të picës:
Reduktimi i thyesave në të njëjtin emërues (të përbashkët) mund të përshkruhet gjithashtu duke përdorur një figurë. Duke i sjellë thyesat dhe në një emërues të përbashkët, marrim thyesat dhe . Këto dy fraksione do të përfaqësohen nga të njëjtat feta picash. I vetmi ndryshim do të jetë se këtë herë ato do të ndahen në pjesë të barabarta (reduktohen në të njëjtin emërues).
Vizatimi i parë tregon një fraksion (katër pjesë nga gjashtë) dhe fotografia e dytë tregon një fraksion (tre pjesë nga gjashtë). Duke i bashkuar këto pjesë marrim (shtatë nga gjashtë). Kjo thyesë është e pasaktë, kështu që ne kemi theksuar pjesën e plotë në të. Rezultati ishte (një pica e plotë dhe një tjetër pica e gjashtë).
Vini re se ne e kemi pikturuar këtë shembull në shumë detaje. AT institucionet arsimore nuk është zakon të shkruhet në mënyrë kaq të detajuar. Ju duhet të jeni në gjendje të gjeni shpejt LCM të dy emëruesit dhe faktorëve shtesë për ta, si dhe të shumëzoni shpejt faktorët shtesë të gjetur nga numëruesit dhe emëruesit tuaj. Ndërsa jemi në shkollë, do të na duhej ta shkruajmë këtë shembull si më poshtë:
Por ka edhe anën tjetër të medaljes. Nëse nuk bëhen shënime të hollësishme në fazat e para të studimit të matematikës, atëherë pyetje të këtij lloji "Nga vjen ai numër?", "Pse thyesat kthehen papritur në thyesa krejtësisht të ndryshme? «.
Për ta bërë më të lehtë shtimin e thyesave me emërues të ndryshëm, mund të përdorni udhëzimet e mëposhtme hap pas hapi:
- Gjeni LCM-në e emëruesve të thyesave;
- Ndani LCM me emëruesin e secilës thyesë dhe merrni një shumëzues shtesë për secilën thyesë;
- Të shumëzojë numëruesit dhe emëruesit e thyesave me faktorët e tyre shtesë;
- Shtoni thyesat që kanë emërues të njëjtë;
- Nëse përgjigja doli të ishte një fraksion i gabuar, atëherë zgjidhni të gjithë pjesën e saj;
Shembulli 2 Gjeni vlerën e një shprehjeje 
.
Le të përdorim udhëzimet e mësipërme.
Hapi 1. Gjeni LCM-në e emëruesve të thyesave
Gjeni LCM-në e emëruesve të të dy thyesave. Emëruesit e thyesave janë numrat 2, 3 dhe 4
Hapi 2. Ndani LCM me emëruesin e çdo thyese dhe merrni një shumëzues shtesë për secilën thyesë
Pjestojeni LCM me emëruesin e thyesës së parë. LCM është numri 12, dhe emëruesi i thyesës së parë është numri 2. Pjestoni 12 me 2, marrim 6. Morëm faktorin e parë shtesë 6. E shkruajmë mbi thyesën e parë:
Tani e ndajmë LCM me emëruesin e thyesës së dytë. LCM është numri 12, dhe emëruesi i thyesës së dytë është numri 3. Pjestoni 12 me 3, marrim 4. Morëm faktorin e dytë shtesë 4. E shkruajmë mbi thyesën e dytë:
Tani e ndajmë LCM me emëruesin e thyesës së tretë. LCM është numri 12, dhe emëruesi i thyesës së tretë është numri 4. Pjestoni 12 me 4, marrim 3. Morëm faktorin e tretë shtesë 3. E shkruajmë mbi thyesën e tretë:
Hapi 3. Shumëzoni numëruesit dhe emëruesit e thyesave me faktorët tuaj shtesë
Ne i shumëzojmë numëruesit dhe emëruesit me faktorët tanë shtesë:
Hapi 4. Shtoni thyesat që kanë emërues të njëjtë
Arritëm në përfundimin se thyesat që kishin emërues të ndryshëm shndërroheshin në thyesa që kanë emërues të njëjtë (të përbashkët). Mbetet për të shtuar këto fraksione. Shtoni:
Shtesa nuk përshtatej në një rresht, kështu që ne e zhvendosëm shprehjen e mbetur në rreshtin tjetër. Kjo lejohet në matematikë. Kur një shprehje nuk përshtatet në një rresht, ajo bartet në rreshtin tjetër dhe është e nevojshme të vendoset një shenjë e barabartë (=) në fund të rreshtit të parë dhe në fillim. linjë e re. Shenja e barazimit në rreshtin e dytë tregon se kjo është një vazhdim i shprehjes që ishte në rreshtin e parë.
Hapi 5. Nëse përgjigja doli të ishte një fraksion i gabuar, atëherë zgjidhni të gjithë pjesën në të
Përgjigja jonë është një fraksion i gabuar. Duhet të veçojmë të gjithë pjesën e tij. Theksojmë:
Mori një përgjigje
Zbritja e thyesave me emërues të njëjtë
Ekzistojnë dy lloje të zbritjes së thyesave:
- Zbritja e thyesave me emërues të njëjtë
- Zbritja e thyesave me emërues të ndryshëm
Së pari, le të mësojmë se si të zbresim thyesat me emërues të njëjtë. Gjithçka është e thjeshtë këtu. Për të zbritur një tjetër nga një thyesë, duhet të zbritni numëruesin e thyesës së dytë nga numëruesi i thyesës së parë dhe të lini emëruesin të njëjtë.
Për shembull, le të gjejmë vlerën e shprehjes . Për të zgjidhur këtë shembull, është e nevojshme të zbritet numëruesi i thyesës së dytë nga numëruesi i thyesës së parë dhe të lihet emëruesi i pandryshuar. Le ta bejme kete:
Ky shembull mund të kuptohet lehtësisht nëse mendojmë për një picë të ndarë në katër pjesë. Nëse prisni picat nga një pica, ju merrni pica:
Shembulli 2 Gjeni vlerën e shprehjes.
Përsëri, nga numëruesi i thyesës së parë, zbritni numëruesin e thyesës së dytë dhe lëreni emëruesin të pandryshuar:
Ky shembull mund të kuptohet lehtësisht nëse mendojmë për një picë që është e ndarë në tre pjesë. Nëse prisni picat nga një pica, ju merrni pica:
Shembulli 3 Gjeni vlerën e një shprehjeje 
Ky shembull zgjidhet saktësisht në të njëjtën mënyrë si ato të mëparshme. Nga numëruesi i thyesës së parë, duhet të zbritni numëruesit e thyesave të mbetura:
Siç mund ta shihni, nuk ka asgjë të komplikuar në zbritjen e thyesave me emërues të njëjtë. Mjafton të kuptoni rregullat e mëposhtme:
- Për të zbritur një tjetër nga një thyesë, duhet të zbritni numëruesin e fraksionit të dytë nga numëruesi i thyesës së parë dhe të lini emëruesin të pandryshuar;
- Nëse përgjigja doli të ishte një fraksion i gabuar, atëherë duhet të zgjidhni të gjithë pjesën në të.
Zbritja e thyesave me emërues të ndryshëm
Për shembull, një thyesë mund të zbritet nga një thyesë, pasi këto thyesa kanë të njëjtët emërues. Por një thyesë nuk mund të zbritet nga një thyesë, sepse këto thyesa kanë emërues të ndryshëm. Në raste të tilla, thyesat duhet të reduktohen në të njëjtin emërues (të përbashkët).
Emëruesi i përbashkët gjendet sipas të njëjtit parim që kemi përdorur kur mbledhim thyesa me emërues të ndryshëm. Para së gjithash, gjeni LCM-në e emëruesve të të dy thyesave. Pastaj LCM pjesëtohet me emëruesin e thyesës së parë dhe fitohet faktori i parë shtesë, i cili shkruhet mbi thyesën e parë. Në mënyrë të ngjashme, LCM ndahet me emëruesin e thyesës së dytë dhe fitohet një faktor i dytë shtesë, i cili shkruhet mbi thyesën e dytë.
Më pas thyesat shumëzohen me faktorët e tyre shtesë. Si rezultat i këtyre veprimeve, thyesat që kishin emërues të ndryshëm kthehen në thyesa që kanë emërues të njëjtë. Dhe ne tashmë dimë se si të zbresim fraksione të tilla.
Shembulli 1 Gjeni vlerën e një shprehjeje:
Këto thyesa kanë emërues të ndryshëm, kështu që ju duhet t'i sillni ato në të njëjtin emërues (të përbashkët).
Së pari, gjejmë LCM-në e emëruesve të të dy thyesave. Emëruesi i thyesës së parë është numri 3, dhe emëruesi i thyesës së dytë është numri 4. Shumëfishi më i vogël i përbashkët i këtyre numrave është 12
LCM (3 dhe 4) = 12
Tani kthehemi te thyesat dhe
Le të gjejmë një faktor shtesë për thyesën e parë. Për ta bërë këtë, ne e ndajmë LCM me emëruesin e fraksionit të parë. LCM është numri 12, dhe emëruesi i thyesës së parë është numri 3. Pjestoni 12 me 3, marrim 4. Shkruajmë katër mbi thyesën e parë:
Të njëjtën gjë bëjmë edhe me thyesën e dytë. LCM-në e ndajmë me emëruesin e thyesës së dytë. LCM është numri 12, dhe emëruesi i thyesës së dytë është numri 4. Pjestoni 12 me 4, marrim 3. Shkruani një trefish mbi thyesën e dytë:
Tani jemi të gjithë të vendosur për zbritje. Mbetet të shumëzojmë fraksionet me faktorët e tyre shtesë:
Arritëm në përfundimin se thyesat që kishin emërues të ndryshëm shndërroheshin në thyesa që kishin emërues të njëjtë. Dhe ne tashmë dimë se si të zbresim fraksione të tilla. Le ta plotësojmë këtë shembull deri në fund:
Mori një përgjigje
Le të përpiqemi të përshkruajmë zgjidhjen tonë duke përdorur një foto. Nëse prisni picat nga një pica, ju merrni pica.
Ky është versioni i detajuar i zgjidhjes. Duke qenë në shkollë, do të duhej ta zgjidhim këtë shembull në një mënyrë më të shkurtër. Një zgjidhje e tillë do të duket si kjo:
Reduktimi i thyesave dhe në një emërues të përbashkët mund të përshkruhet gjithashtu duke përdorur një figurë. Duke i sjellë këto thyesa në një emërues të përbashkët, marrim thyesat dhe . Këto fraksione do të përfaqësohen nga të njëjtat feta pice, por këtë herë ato do të ndahen në të njëjtat thyesa (të reduktuara në të njëjtin emërues):
Vizatimi i parë tregon një fraksion (tetë pjesë nga dymbëdhjetë), dhe fotografia e dytë tregon një fraksion (tre pjesë nga dymbëdhjetë). Duke prerë tre pjesë nga tetë pjesë, marrim pesë pjesë nga dymbëdhjetë. Fraksioni përshkruan këto pesë pjesë.
Shembulli 2 Gjeni vlerën e një shprehjeje 
Këto thyesa kanë emërues të ndryshëm, kështu që së pari duhet t'i sillni në të njëjtin emërues (të përbashkët).
Gjeni LCM-në e emëruesve të këtyre thyesave.
Emëruesit e thyesave janë numrat 10, 3 dhe 5. Shumëfishi më i vogël i përbashkët i këtyre numrave është 30.
LCM(10, 3, 5) = 30
Tani gjejmë faktorë shtesë për secilën fraksion. Për ta bërë këtë, ne e ndajmë LCM me emëruesin e secilës fraksion.
Le të gjejmë një faktor shtesë për thyesën e parë. LCM është numri 30, dhe emëruesi i thyesës së parë është numri 10. Pjestoni 30 me 10, marrim faktorin e parë shtesë 3. E shkruajmë mbi thyesën e parë:
Tani gjejmë një faktor shtesë për thyesën e dytë. Pjestojeni LCM me emëruesin e thyesës së dytë. LCM është numri 30, dhe emëruesi i thyesës së dytë është numri 3. Pjestoni 30 me 3, marrim faktorin e dytë shtesë 10. E shkruajmë mbi thyesën e dytë:
Tani gjejmë një faktor shtesë për thyesën e tretë. Pjestojeni LCM me emëruesin e thyesës së tretë. LCM është numri 30, dhe emëruesi i thyesës së tretë është numri 5. Pjestoni 30 me 5, marrim faktorin e tretë shtesë 6. E shkruajmë mbi thyesën e tretë:
Tani gjithçka është gati për zbritje. Mbetet të shumëzojmë fraksionet me faktorët e tyre shtesë:
Arritëm në përfundimin se thyesat që kishin emërues të ndryshëm shndërroheshin në thyesa që kanë emërues të njëjtë (të përbashkët). Dhe ne tashmë dimë se si të zbresim fraksione të tilla. Le ta përfundojmë këtë shembull.
Vazhdimi i shembullit nuk do të përshtatet në një rresht, kështu që ne e zhvendosim vazhdimin në rreshtin tjetër. Mos harroni për shenjën e barabartë (=) në rreshtin e ri:
Përgjigja doli të ishte një fraksion i saktë, dhe gjithçka duket se na përshtatet, por është shumë e rëndë dhe e shëmtuar. Duhet ta bëjmë më të lehtë. Çfarë mund të bëhet? Ju mund ta zvogëloni këtë pjesë.
Për të zvogëluar një thyesë, duhet të ndani numëruesin dhe emëruesin e saj me (gcd) numrat 20 dhe 30.
Pra, gjejmë GCD-në e numrave 20 dhe 30:
Tani kthehemi te shembulli ynë dhe ndajmë numëruesin dhe emëruesin e thyesës me GCD-në e gjetur, domethënë me 10
Mori një përgjigje
Shumëzimi i një thyese me një numër
Për të shumëzuar një thyesë me një numër, duhet të shumëzoni numëruesin e thyesës së dhënë me këtë numër dhe të lini emëruesin të njëjtë.
Shembulli 1. Shumëzojeni thyesën me numrin 1.
Shumëzoni numëruesin e thyesës me numrin 1
Hyrja mund të kuptohet si një gjysmë 1 herë. Për shembull, nëse merrni pica 1 herë, ju merrni pica
Nga ligjet e shumëzimit, ne e dimë se nëse shumëzuesi dhe shumëzuesi ndërrohen, atëherë prodhimi nuk do të ndryshojë. Nëse shprehja shkruhet si , atëherë produkti do të vazhdojë të jetë i barabartë me . Përsëri, rregulli për shumëzimin e një numri të plotë dhe një thyese funksionon:
Kjo hyrje mund të kuptohet si marrja e gjysmës së njësisë. Për shembull, nëse ka 1 picë të plotë dhe marrim gjysmën e saj, atëherë do të kemi pica:
Shembulli 2. Gjeni vlerën e një shprehjeje
Shumëzoni numëruesin e thyesës me 4
Përgjigja është një fraksion i gabuar. Le të marrim një pjesë të plotë të tij:
Shprehja mund të kuptohet si të marrë dy të katërtat 4 herë. Për shembull, nëse merrni pica 4 herë, ju merrni dy pica të plota.
Dhe nëse ndërrojmë shumëzuesin dhe shumëzuesin në vende, marrim shprehjen. Do të jetë gjithashtu e barabartë me 2. Kjo shprehje mund të kuptohet si marrja e dy picave nga katër pica të plota:
Shumëzimi i thyesave
Për të shumëzuar thyesat, duhet të shumëzoni numëruesit dhe emëruesit e tyre. Nëse përgjigja është një fraksion i gabuar, duhet të zgjidhni të gjithë pjesën në të.
Shembulli 1 Gjeni vlerën e shprehjes.
Mori një përgjigje. Është e dëshirueshme për të reduktuar thyesë e dhënë. Pjesa mund të zvogëlohet me 2. Atëherë zgjidhja përfundimtare do të marrë formën e mëposhtme:
Shprehja mund të kuptohet si marrja e një pice nga një gjysmë pice. Le të themi se kemi gjysmë pice:
Si të merrni dy të tretat nga kjo gjysmë? Së pari ju duhet ta ndani këtë gjysmë në tre pjesë të barabarta:
Dhe merrni dy nga këto tre pjesë:
Do marrim pica. Mos harroni se si duket një pizza e ndarë në tre pjesë:
Një fetë nga kjo picë dhe dy fetat që morëm do të kenë të njëjtat dimensione:
Me fjalë të tjera, ne po flasim për të njëjtën madhësi pice. Prandaj, vlera e shprehjes është
Shembulli 2. Gjeni vlerën e një shprehjeje
Shumëzojmë numëruesin e thyesës së parë me numëruesin e thyesës së dytë dhe emëruesin e thyesës së parë me emëruesin e thyesës së dytë:
Përgjigja është një fraksion i gabuar. Le të marrim një pjesë të plotë të tij:
Shembulli 3 Gjeni vlerën e një shprehjeje
Shumëzojmë numëruesin e thyesës së parë me numëruesin e thyesës së dytë dhe emëruesin e thyesës së parë me emëruesin e thyesës së dytë:
Përgjigja doli të ishte një thyesë e saktë, por do të jetë mirë nëse zvogëlohet. Për të zvogëluar këtë thyesë, duhet të ndani numëruesin dhe emëruesin e kësaj thyese me më të madhin. pjesëtues i përbashkët(gcd) numrat 105 dhe 450.
Pra, le të gjejmë GCD-në e numrave 105 dhe 450:
Tani ne ndajmë numëruesin dhe emëruesin e përgjigjes sonë në GCD që kemi gjetur tani, domethënë me 15
Paraqitja e një numri të plotë si thyesë
Çdo numër i plotë mund të paraqitet si thyesë. Për shembull, numri 5 mund të përfaqësohet si . Nga kjo, pesë nuk do të ndryshojnë kuptimin e saj, pasi shprehja do të thotë "numri pesë i ndarë me një", dhe kjo, siç e dini, është e barabartë me pesë:
Numrat e kundërt
Tani do të njihemi me një temë shumë interesante në matematikë. Quhet "numra të kundërt".
Përkufizimi. Kthehet në numëra është numri që, kur shumëzohet mea jep një njësi.
Le të zëvendësojmë në këtë përkufizim në vend të një ndryshoreje a numri 5 dhe përpiquni të lexoni përkufizimin:
Kthehet në numër 5 është numri që, kur shumëzohet me 5 jep një njësi.
A është e mundur të gjendet një numër që, kur shumëzohet me 5, jep një? Rezulton se mundesh. Le të paraqesim pesë si thyesë:
Pastaj shumëzojeni këtë thyesë me vete, thjesht ndërroni numëruesin dhe emëruesin. Me fjalë të tjera, le të shumëzojmë thyesën me vetveten, vetëm të përmbysur:
Cili do të jetë rezultati i kësaj? Nëse vazhdojmë ta zgjidhim këtë shembull, marrim një:
Kjo do të thotë se anasjellta e numrit 5 është numri, pasi kur 5 shumëzohet me një, fitohet një.
Reciproku mund të gjendet edhe për çdo numër tjetër të plotë.
Ju gjithashtu mund të gjeni reciproke për çdo thyesë tjetër. Për ta bërë këtë, mjafton ta ktheni atë.
Pjesëtimi i një thyese me një numër
Le të themi se kemi gjysmë pice:
Le ta ndajmë atë në mënyrë të barabartë në dy. Sa pica do të marrë secili?
Mund të shihet se pas ndarjes së gjysmës së picës, janë marrë dy feta të barabarta, secila prej të cilave përbën një picë. Kështu që të gjithë marrin një pica.
Ndarja e thyesave bëhet duke përdorur reciproke. Numrat e kundërt ju lejon të zëvendësoni pjesëtimin me shumëzim.
Për të pjesëtuar një thyesë me një numër, duhet ta shumëzoni këtë thyesë me reciprocitetin e pjesëtuesit.
Duke përdorur këtë rregull, ne do të shkruajmë ndarjen e gjysmës sonë të picës në dy pjesë.
Pra, duhet ta ndani thyesën me numrin 2. Këtu dividenti është një thyesë dhe pjesëtuesi është 2.
Për të pjesëtuar një thyesë me numrin 2, duhet ta shumëzoni këtë thyesë me reciprokun e pjesëtuesit 2. Reciproku i pjesëtuesit 2 është një thyesë. Kështu që ju duhet të shumëzoni me
