Si të gjeni pjesëtuesin më të madh të shumëfishtë. Gjetja e shumëfishit më të vogël të përbashkët: metoda, shembuj të gjetjes së LCM

Lancinova Aisa

Shkarko:

Pamja paraprake:

Për të përdorur pamjen paraprake të prezantimeve, krijoni një llogari për veten tuaj ( llogari) Google dhe regjistrohu: https://accounts.google.com

Titrat e rrëshqitjeve:

Detyrat për GCD dhe LCM të numrave Puna e një studenti të klasës së 6-të të MKOU "Kamyshovskaya OOSh" Lantsinova Aisa Supervizore Goryaeva Zoya Erdnigoryaevna, mësuese e matematikës f. Kamyshovo, 2013

Një shembull i gjetjes së GCD të numrave 50, 75 dhe 325. 1) Le t'i zbërthejmë numrat 50, 75 dhe 325 në faktorë të thjeshtë. 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙ 13 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙13 pjesëtojeni pa mbetje numrat a dhe b quhen pjesëtues më i madh i përbashkët i këtyre numrave.

Një shembull i gjetjes së LCM të numrave 72, 99 dhe 117. 1) Le të faktorizojmë numrat 72, 99 dhe 117. Shkruani faktorët e përfshirë në zgjerimin e njërit prej numrave 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 dhe shtojini atyre faktorët që mungojnë të numrave të mbetur. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3 ∙ 11 ∙ 13 3) Gjeni produktin e faktorëve që rezultojnë. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3 ∙ 11 ∙ 13= 10296 Përgjigje: LCM (72, 99 dhe 117) = 10296 Shumëfishi më i vogël i përbashkët i numrave natyrorë a dhe b është numri më i vogël natyror që është shumëfish i një dhe b.

Një fletë kartoni ka formën e një drejtkëndëshi, gjatësia e së cilës është 48 cm dhe gjerësia 40 cm. Kjo fletë duhet të pritet pa mbeturina në katrorë të barabartë. Cilat janë katrorët më të mëdhenj që mund të përftohen nga kjo fletë dhe sa? Zgjidhja: 1) S = a ∙ b është sipërfaqja e drejtkëndëshit. S \u003d 48 ∙ 40 \u003d 1960 cm². është zona e kartonit. 2) a - ana e katrorit 48: a - numri i katrorëve që mund të vendosen përgjatë gjatësisë së kartonit. 40: a - numri i katrorëve që mund të vendosen në të gjithë gjerësinë e kartonit. 3) GCD (40 dhe 48) \u003d 8 (cm) - ana e katrorit. 4) S \u003d a² - zona e një katrori. S \u003d 8² \u003d 64 (cm².) - sipërfaqja e një katrori. 5) 1960: 64 = 30 (numri i katrorëve). Përgjigje: 30 katrorë me brinjë 8 cm secili. Detyrat për GCD

Oxhaku në dhomë duhet të shtrohet me pllaka përfundimi në formën e një katrori. Sa pllaka do të nevojiten për një oxhak 195 ͯ 156 cm dhe çfarë janë dimensionet më të mëdha pllaka? Zgjidhje: 1) S = 196 ͯ 156 = 30420 (cm ²) - S e sipërfaqes së oxhakut. 2) GCD (195 dhe 156) = 39 (cm) - ana e pllakës. 3) S = a² = 39² = 1521 (cm²) - sipërfaqe prej 1 pllake. 4) 30420: = 20 (copë). Përgjigje: 20 pllaka me përmasa 39 ͯ 39 (cm). Detyrat për GCD

Një parcelë kopshti me përmasa 54 ͯ 48 m përgjatë perimetrit duhet të jetë e rrethuar, për këtë, në intervale të rregullta, është e nevojshme të vendoset shtyllat e betonit. Sa shtylla duhet të sillen për vendin dhe në cilën distancë maksimale nga njëri-tjetri do të qëndrojnë shtyllat? Zgjidhje: 1) P = 2(a + b) – perimetri i vendit. P \u003d 2 (54 + 48) \u003d 204 m. 2) GCD (54 dhe 48) \u003d 6 (m) - distanca midis shtyllave. 3) 204: 6 = 34 (shtyllat). Përgjigje: 34 shtylla, në një distancë prej 6 m.Detyrat për GCD

Nga 210 bordo, u mblodhën 126 trëndafila të bardhë, 294 të kuq, buqeta dhe në secilën buqetë numri i trëndafilave me të njëjtën ngjyrë është i barabartë. E cila numri më i madh buqeta të bëra nga këto trëndafila dhe sa trëndafila të secilës ngjyrë janë në një buqetë? Zgjidhja: 1) GCD (210, 126 dhe 294) = 42 (buqeta). 2) 210: 42 = 5 ( trëndafila burgundy). 3) 126: 42 = 3 (trëndafila të bardhë). 4) 294: 42 = 7 (trëndafila të kuq). Përgjigje: 42 buqeta: 5 bordo, 3 të bardhë, 7 trëndafila të kuq në secilën buqetë. Detyrat për GCD

Tanya dhe Masha blenë të njëjtin numër grupet e postës. Tanya pagoi 90 rubla, dhe Masha pagoi 5 rubla. më shumë. Sa kushton një set? Sa komplete ka blerë secili? Zgjidhja: 1) Masha pagoi 90 + 5 = 95 (rubla). 2) GCD (90 dhe 95) = 5 (rubla) - çmimi i 1 grupi. 3) 980: 5 = 18 (grupe) - blerë nga Tanya. 4) 95: 5 = 19 (grupe) - Masha bleu. Përgjigje: 5 rubla, 18 grupe, 19 grupe. Detyrat për GCD

Në qytetin port nisin tre udhëtime turistike me varkë, i pari prej të cilëve zgjat 15 ditë, i dyti 20 dhe i treti 12 ditë. Pas kthimit në port, anijet në të njëjtën ditë përsëri shkojnë në një lundrim. Anijet motorike u larguan sot nga porti në të tre linjat. Për sa ditë do të lundrojnë së bashku për herë të parë? Sa udhëtime do të bëjë çdo anije? Zgjidhja: 1) NOC (15.20 dhe 12) = 60 (ditë) - koha e takimit. 2) 60: 15 = 4 (udhëtime) - 1 anije. 3) 60: 20 = 3 (udhëtime) - 2 anije motorike. 4) 60: 12 = 5 (udhëtime) - 3 anije motorike. Përgjigje: 60 ditë, 4 fluturime, 3 fluturime, 5 fluturime. Detyrat për KOKSH

Masha bleu vezë për Ariu në dyqan. Rrugës për në pyll, ajo kuptoi se numri i vezëve është i pjesëtueshëm me 2,3,5,10 dhe 15. Sa vezë bleu Masha? Zgjidhje: LCM (2;3;5;10;15) = 30 (vezë) Përgjigje: Masha bleu 30 vezë. Detyrat për KOKSH

Kërkohet të bëhet një kuti me fund katror për grumbullimin e kutive me përmasa 16 ͯ 20 cm. Cila duhet të jetë ana më e shkurtër e pjesës së poshtme katrore që kutitë të vendosen fort në kuti? Zgjidhje: 1) NOC (16 dhe 20) = 80 (kuti). 2) S = a ∙ b është sipërfaqja e 1 kutie. S \u003d 16 ∙ 20 \u003d 320 (cm ²) - zona e fundit të 1 kuti. 3) 320 ∙ 80 = 25600 (cm ²) - zona e poshtme katrore. 4) S \u003d a² \u003d a ∙ a 25600 \u003d 160 ∙ 160 - dimensionet e kutisë. Përgjigje: 160 cm është ana e pjesës së poshtme katrore. Detyrat për KOKSH

Përgjatë rrugës nga pika K ka shtylla elektrike çdo 45 m. Është vendosur që këto shtylla të zëvendësohen me të tjera, duke i vendosur në një distancë prej 60 m nga njëra-tjetra. Sa shtylla ishin dhe sa do të qëndrojnë? Zgjidhja: 1) NOK (45 dhe 60) = 180. 2) 180: 45 = 4 - kishte shtylla. 3) 180: 60 = 3 - kishte shtylla. Përgjigje: 4 shtylla, 3 shtylla. Detyrat për KOKSH

Sa ushtarë marshojnë në terrenin e paradës nëse marshojnë në formacion prej 12 personash në një rresht dhe shndërrohen në një kolonë prej 18 vetësh në një rresht? Zgjidhja: 1) NOC (12 dhe 18) = 36 (njerëz) - marshim. Përgjigje: 36 persona. Detyrat për KOKSH

Llogaritësi në internet ju lejon të gjeni shpejt pjesëtuesin më të madh të përbashkët dhe shumëfishin më të vogël të përbashkët të dy ose çdo numri tjetër numrash.

Llogaritësi për gjetjen e GCD dhe NOC

Gjeni GCD dhe NOC

GCD dhe NOC gjetën: 5806

Si të përdorni kalkulatorin

• Futni numrat në fushën e hyrjes
• Në rast të futjes së karaktereve të pasakta, fusha e hyrjes do të theksohet me të kuqe
• shtypni butonin "Gjeni GCD dhe NOC"

Si të futni numra

• Numrat futen të ndarë me hapësira, pika ose presje
• Gjatësia e numrave të futur nuk është e kufizuar, kështu që gjetja e gcd dhe lcm e numrave të gjatë nuk do të jetë e vështirë

Çfarë është NOD dhe NOK?

Pjesëtuesi më i madh i përbashkët i disa numrave është numri i plotë natyror më i madh me të cilin të gjithë numrat origjinalë janë të pjesëtueshëm pa mbetje. Pjesëtuesi më i madh i përbashkët është shkurtuar si GCD.
Shumëfishi më pak i zakonshëm disa numra është numri më i vogël që pjesëtohet me secilin nga numrat origjinal pa mbetje. Shumëfishi më i vogël i zakonshëm shkurtohet si NOC.

Si të kontrolloni nëse një numër pjesëtohet me një numër tjetër pa mbetje?

Për të zbuluar nëse një numër pjesëtohet me një tjetër pa mbetje, mund të përdorni disa veti të pjesëtueshmërisë së numrave. Më pas, duke i bashkuar ato, mund të kontrollohet pjesëtueshmëria e disa prej tyre dhe kombinimet e tyre.

Disa shenja të pjesëtueshmërisë së numrave

1. Shenja e pjesëtueshmërisë së një numri me 2
Për të përcaktuar nëse një numër është i pjesëtueshëm me dy (qoftë çift), mjafton të shikoni shifrën e fundit të këtij numri: nëse është e barabartë me 0, 2, 4, 6 ose 8, atëherë numri është çift, që do të thotë se pjesëtohet me 2.
Shembull: përcaktoni nëse numri 34938 ndahet me 2.
Vendimi: shikoni shifrën e fundit: 8 do të thotë se numri është i pjesëtueshëm me dy.

2. Shenja e pjesëtueshmërisë së një numri me 3
Një numër pjesëtohet me 3 kur shuma e shifrave të tij pjesëtohet me 3. Kështu, për të përcaktuar nëse një numër pjesëtohet me 3, duhet të llogarisni shumën e shifrave dhe të kontrolloni nëse është i pjesëtueshëm me 3. Edhe nëse shuma e shifrave doli të jetë shumë e madhe, mund të përsërisni të njëjtin proces. përsëri.
Shembull: përcaktoni nëse numri 34938 ndahet me 3.
Vendimi: numërojmë shumën e shifrave: 3+4+9+3+8 = 27. 27 pjesëtohet me 3, që do të thotë se numri pjesëtohet me tre.

3. Shenja e pjesëtueshmërisë së një numri me 5
Një numër pjesëtohet me 5 kur shifra e fundit e tij është zero ose pesë.
Shembull: përcaktoni nëse numri 34938 ndahet me 5.
Vendimi: shikoni shifrën e fundit: 8 do të thotë se numri NUK ndahet me pesë.

4. Shenja e pjesëtueshmërisë së një numri me 9
Kjo shenjë është shumë e ngjashme me shenjën e pjesëtueshmërisë me tre: një numër pjesëtohet me 9 kur shuma e shifrave të tij pjesëtohet me 9.
Shembull: përcaktoni nëse numri 34938 ndahet me 9.
Vendimi: llogarisim shumën e shifrave: 3+4+9+3+8 = 27. 27 pjesëtohet me 9, që do të thotë se numri pjesëtohet me nëntë.

Si të gjeni GCD dhe LCM të dy numrave

Si të gjeni GCD-në e dy numrave

Shumica në një mënyrë të thjeshtë llogaritja e pjesëtuesit më të madh të përbashkët të dy numrave është të gjesh të gjithë pjesëtuesit e mundshëm të atyre numrave dhe të zgjedhësh më të madhin prej tyre.

Konsideroni këtë metodë duke përdorur shembullin e gjetjes së GCD(28, 36):

1. Faktorizojmë të dy numrat: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
2. Gjejmë faktorë të përbashkët, pra ata që kanë të dy numrat: 1, 2 dhe 2.
3. Ne llogarisim produktin e këtyre faktorëve: 1 2 2 \u003d 4 - ky është pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave 28 dhe 36.

Si të gjeni LCM-në e dy numrave

Ekzistojnë dy mënyra më të zakonshme për të gjetur shumëfishin më të vogël të dy numrave. Mënyra e parë është që ju mund të shkruani shumëfishat e parë të dy numrave dhe më pas të zgjidhni midis tyre një numër të tillë që do të jetë i përbashkët për të dy numrat dhe në të njëjtën kohë më i vogli. Dhe e dyta është të gjesh GCD-në e këtyre numrave. Le ta konsiderojmë atë.

Për të llogaritur LCM-në, duhet të llogaritni produktin e numrave origjinalë dhe më pas ta ndani atë me GCD-në e gjetur më parë. Le të gjejmë LCM për të njëjtët numra 28 dhe 36:

1. Gjeni prodhimin e numrave 28 dhe 36: 28 36 = 1008
2. gcd(28, 36) tashmë dihet se është 4
3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Gjetja e GCD dhe LCM për numra të shumëfishtë

Pjesëtuesi më i madh i përbashkët mund të gjendet për disa numra, dhe jo vetëm për dy. Për këtë, numrat që do të gjenden për pjesëtuesin më të madh të përbashkët zbërthehen në faktorë të thjeshtë, pastaj gjendet prodhimi i faktorëve të përbashkët. faktorët kryesorë këta numra. Gjithashtu, për të gjetur GCD të disa numrave, mund të përdorni marrëdhënien e mëposhtme: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).

Një lidhje e ngjashme vlen edhe për shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Shembull: gjeni GCD dhe LCM për numrat 12, 32 dhe 36.

1. Së pari, le të faktorizojmë numrat: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
2. Le të gjejmë faktorët e përbashkët: 1, 2 dhe 2.
3. Produkti i tyre do të japë gcd: 1 2 2 = 4
4. Tani le të gjejmë LCM: për këtë së pari gjejmë LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
5. Për të gjetur NOC të të gjithëve tre numra, duhet të gjeni gcd(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3 , 36 = 1 2 2 3 3 , gcd = 1 2 2 3 = 12 .
6. LCM(12, 32, 36) = 96 36 / 12 = 288 .

Le të fillojmë të studiojmë shumëfishin më të vogël të përbashkët të dy ose më shumë numrave. Në seksion, ne do të japim një përkufizim të termit, do të shqyrtojmë një teoremë që vendos një marrëdhënie midis shumëfishit më të vogël të përbashkët dhe pjesëtuesit më të madh të përbashkët dhe do të japim shembuj të zgjidhjes së problemeve.

Shumëfisha të përbashkët - përkufizim, shembuj

Në këtë temë, do të na interesojnë vetëm shumëfishat e përbashkët të numrave të plotë përveç zeros.

Përkufizimi 1

Shumëfishi i përbashkët i numrave të plotëështë një numër i plotë që është shumëfish i të gjithë numrave të dhënë. Në fakt, është çdo numër i plotë që mund të ndahet me cilindo nga numrat e dhënë.

Përkufizimi i shumëfishave të përbashkët i referohet dy, tre ose më shumë numrave të plotë.

Shembulli 1

Sipas përkufizimit të dhënë më sipër për numrin 12, shumëfishat e përbashkët janë 3 dhe 2. Gjithashtu numri 12 do të jetë një shumëfish i përbashkët i numrave 2, 3 dhe 4. Numrat 12 dhe -12 janë shumëfisha të përbashkët të numrave ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

Në të njëjtën kohë, shumëfishi i përbashkët për numrat 2 dhe 3 do të jenë numrat 12 , 6 , − 24 , 72 , 468 , − 100 010 004 dhe një numër i të tjerëve.

Nëse marrim numra që janë të pjesëtueshëm me numrin e parë të një çifti dhe të papjesëtueshëm me të dytin, atëherë numra të tillë nuk do të jenë shumëfisha të përbashkët. Pra, për numrat 2 dhe 3, numrat 16 , − 27 , 5009 , 27001 nuk do të jenë shumëfisha të zakonshëm.

0 është një shumëfish i përbashkët i çdo grupi numrash të plotë jo zero.

Nëse kujtojmë vetinë e pjesëtueshmërisë në lidhje me numra të kundërt, atëherë rezulton se një numër i plotë k do të jetë një shumëfish i përbashkët i këtyre numrave në të njëjtën mënyrë si numri - k. Kjo do të thotë që pjesëtuesit e përbashkët mund të jenë pozitiv ose negativ.

A është e mundur të gjesh një LCM për të gjithë numrat?

Shumëfishi i përbashkët mund të gjendet për çdo numër të plotë.

Shembulli 2

Supozoni se jemi të dhënë k numra të plotë a 1, a 2, …, a k. Numri që marrim gjatë shumëzimit të numrave a 1 a 2 … a k sipas vetive të pjesëtueshmërisë, do të ndahet me secilin nga faktorët që janë përfshirë në produktin origjinal. Kjo do të thotë se prodhimi i numrave a 1, a 2, …, a kështë shumëfishi më i vogël i përbashkët i këtyre numrave.

Sa shumëfisha të përbashkët mund të kenë këta numra të plotë?

Një grup numrash të plotë mund të ketë nje numer i madh i shumëfishat e përbashkët. Në fakt, numri i tyre është i pafund.

Shembulli 3

Supozoni se kemi një numër k. Atëherë prodhimi i numrave k · z, ku z është një numër i plotë, do të jetë një shumëfish i përbashkët i numrave k dhe z. Duke pasur parasysh se numri i numrave është i pafund, atëherë numri i shumëfishave të përbashkët është i pafund.

Shumëfishi më pak i zakonshëm (LCM) - Përkufizimi, simboli dhe shembuj

Le të kujtojmë konceptin numri më i vogël nga një grup i caktuar numrash, të cilët i kemi shqyrtuar në seksionin Krahasimi i numrave të plotë. Me këtë koncept në mendje, ne formulojmë përkufizimin e shumëfishit më të vogël të përbashkët, i cili ka rëndësinë më të madhe praktike nga të gjithë shumëfishat e përbashkët.

Përkufizimi 2

Shumëfishi më i vogël i përbashkët i numrave të plotë të dhënëështë shumëfishi i përbashkët më pak pozitiv i këtyre numrave.

Shumëfishi më i vogël i përbashkët ekziston për çdo numër numrash të dhënë. Shkurtesa NOK është më e përdorura për të përcaktuar një koncept në literaturën e referencës. Shkurtorja për shumëfishin më pak të zakonshëm për numrat a 1, a 2, …, a k do të duket si LCM (a 1 , a 2 , ... , a k).

Shembulli 4

Shumëfishi më i vogël i përbashkët i 6 dhe 7 është 42. ato. LCM(6, 7) = 42. Shumëfishi më i vogël i përbashkët i katër numrave - 2, 12, 15 dhe 3 do të jetë i barabartë me 60. Shkurtima do të jetë LCM (- 2 , 12 , 15 , 3) ​​= 60 .

Jo për të gjitha grupet e numrave të dhënë, shumëfishi më i vogël i zakonshëm është i dukshëm. Shpesh duhet llogaritur.

Marrëdhënia midis NOC dhe NOD

Shumëfishi më i vogël i përbashkët dhe pjesëtuesi më i madh i përbashkët janë të lidhura. Marrëdhënia midis koncepteve përcaktohet nga teorema.

Teorema 1

Shumëfishi më i vogël i përbashkët i dy numrave të plotë pozitiv a dhe b është i barabartë me produktin e numrave a dhe b të pjesëtuar me pjesëtuesin më të madh të përbashkët të numrave a dhe b, domethënë LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) .

Prova 1

Supozoni se kemi një numër M i cili është shumëfish i numrave a dhe b. Nëse numri M është i pjesëtueshëm me a , ekziston edhe një numër i plotë z , sipas të cilit barazia M = një k. Sipas përkufizimit të pjesëtueshmërisë, nëse M është gjithashtu i pjesëtueshëm me b, kështu atëherë një k i ndarë nga b.

Nëse prezantojmë një shënim të ri për gcd (a , b) as d, atëherë mund të përdorim barazitë a = a 1 d dhe b = b 1 · d. Në këtë rast, të dy barazitë do të jenë numra të dyfishtë.

Ne kemi vendosur tashmë më lart një k i ndarë nga b. Tani kjo gjendje mund të shkruhet si më poshtë:
a 1 d k i ndarë nga b 1 d, e cila është e barabartë me kushtin një 1 k i ndarë nga b 1 sipas vetive të pjesëtueshmërisë.

Sipas pasurisë reciproke numrat e thjeshtë, nëse a 1 dhe b 1 janë numra të thjeshtë reciprokisht, a 1 nuk ndahet me b 1 pavarësisht se një 1 k i ndarë nga b 1, pastaj b 1 duhet të ndajnë k.

Në këtë rast, do të ishte e përshtatshme të supozohet se ka një numër t, per cilin k = b 1 t, dhe që nga ajo kohë b1=b:d, pastaj k = b: d t.

Tani në vend të k vënë në barazi M = një k shprehja e formës b: d t. Kjo na lejon të arrijmë në barazi M = a b: d t. Në t=1 mund të marrim shumëfishin e përbashkët më pak pozitiv të a dhe b , të barabartë a b: d, me kusht që numrat a dhe b pozitive.

Pra, ne kemi vërtetuar se LCM (a , b) = a b: GCD (a,b).

Vendosja e një lidhjeje midis LCM dhe GCD ju lejon të gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët përmes pjesëtuesit më të madh të përbashkët të dy ose më shumë numrave të dhënë.

Përkufizimi 3

Teorema ka dy pasoja të rëndësishme:

• shumëfishat e shumëfishit më të vogël të përbashkët të dy numrave janë të njëjtë me shumëfishat e përbashkët të këtyre dy numrave;
• shumëfishi më i vogël i përbashkët i numrave pozitivë të përbashkët a dhe b është i barabartë me prodhimin e tyre.

Nuk është e vështirë të vërtetohen këto dy fakte. Çdo shumëfish i përbashkët i M numrave a dhe b përcaktohet nga barazia M = LCM (a, b) t për një vlerë të plotë t. Meqenëse a dhe b janë të dyfishta, atëherë gcd (a, b) = 1, pra, LCM (a, b) = a b: gcd (a, b) = a b: 1 = a b.

Shumëfishi më i vogël i përbashkët i tre ose më shumë numrave

Për të gjetur shumëfishin më të vogël të përbashkët të disa numrave, duhet të gjeni në mënyrë sekuenciale LCM-në e dy numrave.

Teorema 2

Le të pretendojmë se a 1, a 2, …, a k janë disa numra të plotë numra pozitiv. Për të llogaritur LCM m k këta numra, ne duhet t'i llogarisim në mënyrë sekuenciale m 2 = LCM(a 1, a 2), m 3 = NOC(m 2 , a 3) , … , m k = NOC(m k - 1 , a k) .

Prova 2

Përfundimi i parë i teoremës së parë të shqyrtuar në këtë temë do të na ndihmojë të vërtetojmë korrektësinë e teoremës së dytë. Arsyetimi ndërtohet sipas algoritmit të mëposhtëm:

• shumëfishat e përbashkët të numrave a 1 dhe a 2 përkojnë me shumëfishat e LCM-së së tyre, në fakt, ato përkojnë me shumëfishat e numrit m2;
• shumëfishat e përbashkët të numrave a 1, a 2 dhe a 3 m2 dhe a 3 m 3;
• shumëfishat e përbashkët të numrave a 1, a 2, …, a k përkojnë me shumëfishat e përbashkët të numrave m k - 1 dhe një k, pra, përkojnë me shumëfishat e numrit m k;
• për faktin se shumëfishi më i vogël pozitiv i numrit m kështë vetë numri m k, pastaj shumëfishi më i vogël i përbashkët i numrave a 1, a 2, …, a k eshte nje m k.

Pra, ne kemi vërtetuar teoremën.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

60=2*2*3*5
75=3*5*5
2) Ne shkruajmë faktorët e përfshirë në zgjerimin e të parit prej këtyre numrave dhe u shtojmë atyre faktorin 5 që mungon nga zgjerimi i numrit të dytë. Marrim: 2*2*3*5*5=300. U gjet NOC, d.m.th. kjo shumë = 300. Mos harroni dimensionin dhe shkruani përgjigjen:
Përgjigje: Mami jep 300 rubla secila.

Përkufizimi i GCD: Pjesëtuesi më i madh i përbashkët (GCD) numrat natyrorë a dhe në emërtoni numrin më të madh natyror c, të cilit dhe a, dhe b ndahet pa mbetje. ato. cështë numri natyror më i vogël për të cilin dhe a dhe b janë të shumëfishta.

Përkujtues: Ekzistojnë dy qasje për përkufizimin e numrave natyrorë

• numrat e përdorur në: numërimin (numërimin) e sendeve (i pari, i dyti, i tretë, ...); - në shkolla, zakonisht.
• duke treguar numrin e artikujve (pa pokemon - zero, një pokemon, dy pokemon, ...).

Numrat negativë dhe jo të plotë (racionalë, realë, ...) nuk janë natyrorë. Disa autorë përfshijnë zero në grupin e numrave natyrorë, të tjerë jo. Bashkësia e të gjithë numrave natyrorë zakonisht shënohet me simbolin N

Përkujtues: Pjesëtues i një numri natyror a telefononi numrin b, tek e cila a ndahet pa mbetje. Shumëfishi i numrit natyror b quhet numër natyror a, e cila ndahet me b pa lënë gjurmë. Nëse numri b- pjesëtues numri a, pastaj a shumëfish i b. Shembull: 2 është pjesëtues i 4 dhe 4 është shumëfish i 2. 3 është një pjesëtues i 12, dhe 12 është një shumëfish i 3.
Përkujtues: Numrat natyrorë quhen të thjeshtë nëse janë të pjesëtueshëm pa mbetje vetëm me veten e tyre dhe me 1. Numrat e përbashkët janë numrat që kanë vetëm një pjesëtues të përbashkët të barabartë me 1.

Përkufizimi se si të gjeni GCD në rastin e përgjithshëm: Për të gjetur GCD (pjesëtuesin më të madh të përbashkët) Nevojiten disa numra natyrorë:
1) Zbërthejini ato në faktorët kryesorë. (Diagrami i numrave kryesorë mund të jetë shumë i dobishëm për këtë.)
2) Shkruani faktorët e përfshirë në zgjerimin e njërit prej tyre.
3) Fshini ato që nuk përfshihen në zgjerimin e numrave të mbetur.
4) Shumëzoni faktorët e marrë në paragrafin 3).

Detyra 2 në (NOK): Deri në vitin e ri, Kolya Puzatov bleu 48 hamsters dhe 36 tenxhere kafeje në qytet. Fekla Dormidontova, si vajza më e ndershme e klasës, iu dha detyra që këtë pasuri ta ndajë në numrin më të madh të mundshëm. komplete dhuratash për mësuesit. Sa është numri i grupeve? Cila është përbërja e kompleteve?

Shembulli 2.1. zgjidhja e problemit të gjetjes së GCD. Gjetja e GCD me përzgjedhje.
Vendimi: Secili nga numrat 48 dhe 36 duhet të jetë i pjesëtueshëm me numrin e dhuratave.
1) Shkruani pjesëtuesit 48: 48, 24, 16, 12 , 8, 6, 3, 2, 1
2) Shkruani pjesëtuesit 36: 36, 18, 12 , 9, 6, 3, 2, 1 Zgjidhni pjesëtuesin më të madh të përbashkët. Op-la-la! Gjetur, ky është numri i grupeve prej 12 copë.
3) Pjestojme 48 me 12, marrim 4, pjestojme 36 me 12, marrim 3. Mos harroni dimensionin dhe shkruani pergjigjen:
Përgjigje: Do të merrni 12 komplete me 4 lloj brejtësish dhe 3 tenxhere kafeje në çdo grup.

Konsideroni tre mënyra për të gjetur shumëfishin më të vogël të përbashkët.

Gjetja nga faktoringu

Mënyra e parë është gjetja e shumëfishit më të vogël të përbashkët duke faktorizuar numrat e dhënë në faktorë të thjeshtë.

Supozoni se duhet të gjejmë LCM-në e numrave: 99, 30 dhe 28. Për ta bërë këtë, ne zbërthejmë secilin prej këtyre numrave në faktorët kryesorë:

Që numri i dëshiruar të jetë i pjesëtueshëm me 99, 30 dhe 28, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që ai të përfshijë të gjithë faktorët kryesorë të këtyre pjesëtuesve. Për ta bërë këtë, ne duhet të marrim të gjithë faktorët kryesorë të këtyre numrave në fuqinë më të lartë që ndodhin dhe t'i shumëzojmë së bashku:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Pra, LCM (99, 30, 28) = 13,860. Asnjë numër tjetër më i vogël se 13,860 nuk është i plotpjesëtueshëm me 99, 30 ose 28.

Për të gjetur shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave të dhënë, duhet t'i zbërtheni në faktorë të thjeshtë, më pas të merrni secilin faktor kryesor me eksponentin më të madh me të cilin shfaqet dhe t'i shumëzoni këta faktorë së bashku.

Meqenëse numrat e përbashkët nuk kanë faktorë të thjeshtë të përbashkët, shumëfishi i tyre më i vogël i përbashkët është i barabartë me produktin e këtyre numrave. Për shembull, tre numra: 20, 49 dhe 33 janë të dyfishtë. Kështu që

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32,340.

E njëjta gjë duhet bërë kur kërkohet shumëfishi më i vogël i përbashkët i numrave të thjeshtë të ndryshëm. Për shembull, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Gjetja me përzgjedhje

Mënyra e dytë është gjetja e shumëfishit më të vogël të përbashkët duke përshtatur.

Shembulli 1. Kur më i madhi nga numrat e dhënë është i pjesëtueshëm në mënyrë të barabartë me numrat e tjerë të dhënë, atëherë LCM e këtyre numrave është e barabartë me më të madhin prej tyre. Për shembull, jepen katër numra: 60, 30, 10 dhe 6. Secili prej tyre pjesëtohet me 60, pra:

NOC(60, 30, 10, 6) = 60

Në raste të tjera, përdoret për të gjetur shumëfishin më të vogël të përbashkët porosia e radhës veprimet:

1. Përcaktoni numrin më të madh nga numrat e dhënë.
2. Më pas, gjeni numra që janë shumëfish numri më i madh, duke e shumëzuar me numra të plotë në rend rritës dhe duke kontrolluar nëse numrat e mbetur të dhënë janë të pjesëtueshëm me produktin që rezulton.

Shembulli 2. Jepen tre numra 24, 3 dhe 18. Përcaktoni më të madhin prej tyre - ky është numri 24. Më pas, gjeni shumëfishat e 24, duke kontrolluar nëse secili prej tyre është i pjesëtueshëm me 18 dhe me 3:

24 1 = 24 pjesëtohet me 3 por nuk pjesëtohet me 18.

24 2 = 48 - i pjesëtueshëm me 3, por jo i pjesëtueshëm me 18.

24 3 \u003d 72 - i ndashëm me 3 dhe 18.

Pra, LCM(24, 3, 18) = 72.

Gjetja me gjetje sekuenciale LCM

Mënyra e tretë është gjetja e shumëfishit më të vogël të përbashkët duke gjetur në mënyrë të njëpasnjëshme LCM.

LCM e dy numrave të dhënë është e barabartë me produktin e këtyre numrave të pjesëtuar me pjesëtuesin e tyre më të madh të përbashkët.

Shembulli 1. Gjeni LCM-në e dy numrave të dhënë: 12 dhe 8. Përcaktoni pjesëtuesin e tyre më të madh të përbashkët: GCD (12, 8) = 4. Shumëzoni këta numra:

Ne e ndajmë produktin në GCD të tyre:

Pra, LCM(12, 8) = 24.

Për të gjetur LCM-në e tre ose më shumë numrave, përdoret procedura e mëposhtme:

1. Së pari, gjendet LCM e çdo dy prej numrave të dhënë.
2. Pastaj, LCM e shumëfishit më të vogël të përbashkët të gjetur dhe numrit të tretë të dhënë.
3. Pastaj, LCM e shumëfishit më të vogël të përbashkët që rezulton dhe numri i katërt, e kështu me radhë.
4. Kështu kërkimi LCM vazhdon për aq kohë sa ka numra.

Shembulli 2. Le të gjejmë LCM-në e tre numrave të dhënë: 12, 8 dhe 9. Ne kemi gjetur tashmë LCM-në e numrave 12 dhe 8 në shembullin e mëparshëm (ky është numri 24). Mbetet për të gjetur shumëfishin më të vogël të përbashkët të 24 dhe numrin e tretë të dhënë - 9. Përcaktoni pjesëtuesin e tyre më të madh të përbashkët: gcd (24, 9) = 3. Shumëzoni LCM me numrin 9:

Ne e ndajmë produktin në GCD të tyre:

Pra LCM(12, 8, 9) = 72.