1 është një numër i thjeshtë. Numrat e thjeshtë: zakonshmëria e një gjëegjëze të pazgjidhur

Të gjithë numrat natyrorë, përveç njërit, ndahen në të thjeshtë dhe të përbërë. Një numër i thjeshtë është një numër natyror që ka vetëm dy pjesëtues: një dhe vetveten.. Të gjithë të tjerët quhen të përbërë. Studimi i vetive të numrave të thjeshtë merret me një pjesë të veçantë të matematikës - teorinë e numrave. Në teorinë e unazave, numrat e thjeshtë janë të lidhur me elementë të pakalueshëm.

Këtu është një sekuencë e numrave të thjeshtë duke filluar nga 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73 , 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, ... etj.

Sipas teoremës themelore të aritmetikës, çdo numër natyror që është më i madh se një mund të përfaqësohet si produkt i numrave të thjeshtë. Megjithatë, kjo është e vetmja mënyrë përfaqësimi numrat natyrorë deri në renditjen e faktorëve. Bazuar në këtë, mund të themi se numrat e thjeshtë janë pjesë elementare e numrave natyrorë.

Një paraqitje e tillë e një numri natyror quhet zbërthimi i një numri natyror në numra të thjeshtë ose faktorizimi i një numri.

Një nga mënyrat më të vjetra dhe më efektive për të llogaritur numrat e thjeshtë është "sosha e Erastotenit".

Praktika ka treguar se pas llogaritjes së numrave të thjeshtë duke përdorur sitën Erastofen, kërkohet të kontrollohet nëse numri i dhënë është i thjeshtë. Për këtë, të zhvilluara teste speciale, të ashtuquajturat teste të primitetit. Algoritmet e këtyre testeve janë probabiliste. Më shpesh ato përdoren në kriptografi.

Nga rruga, për disa klasa numrash ekzistojnë teste të specializuara efektive të parësisë. Për shembull, për të testuar numrat Mersenne për thjeshtësi, përdoret testi Lucas-Lehmer, dhe për të testuar thjeshtësinë e numrave Fermat, përdoret testi Pepin.

Të gjithë e dimë se ka pafundësisht shumë numra. Me të drejtë lind pyetja: sa numra të thjeshtë ka atëherë? Ka gjithashtu një numër të pafund numrash të thjeshtë. Prova më e lashtë e këtij gjykimi është prova e Euklidit, e cila është paraqitur në Elementet. Prova e Euklidit është si më poshtë:

Imagjinoni që numri i numrave të thjeshtë është i kufizuar. Le t'i shumëzojmë dhe të shtojmë një. Numri që rezulton nuk mund të pjesëtohet me asnjë nga grupet e fundme të numrave të thjeshtë, sepse pjesa e mbetur e pjesëtimit me cilindo prej tyre jep një. Kështu, numri duhet të jetë i pjesëtueshëm me një numër të thjeshtë që nuk përfshihet në këtë grup.

Teorema e shpërndarjes së numrave të thjeshtë thotë se numri i numrave të thjeshtë më pak se n, i shënuar π(n), rritet si n / ln(n).

Nëpërmjet mijëra viteve të studimit të numrave të thjeshtë, është zbuluar se numri më i madh i njohur është 243112609 − 1. Ky numër ka 12,978,189 shifra dhjetore dhe është një e thjeshtë Mersenne (M43112609). Ky zbulim u bë më 23 gusht 2008 në Departamentin e Matematikës së Universitetit të UCLA si pjesë e kërkimit të shpërndarë GIMPS për numrat e parë Mersenne.

Shtëpi tipar dallues Numrat Mersenne është prania e një testi shumë efikas të parëësisë Luc-Lehmer. Me të, numrat kryesorë të Mersenne-it janë, për një periudhë të gjatë kohore, numrat e parë më të mëdhenj të njohur.

Megjithatë, deri më sot, shumë pyetje rreth numrave të thjeshtë nuk kanë marrë përgjigje të sakta. Në Kongresin e 5-të Ndërkombëtar Matematikor, Edmund Landau formuloi problemet kryesore në fushën e numrave të thjeshtë:

Problemi i Goldbach ose problemi i parë i Landau është se është e nevojshme të vërtetohet ose të kundërshtohet se çdo numër çift më i madh se dy mund të përfaqësohet si shuma e dy numrave të thjeshtë dhe çdo numër tek më i madh se 5 mund të përfaqësohet si shumë. tre të thjeshta numrat.
Problemi i dytë i Landau kërkon gjetjen e një përgjigjeje për pyetjen: a ekziston një grup i pafund i "binjakëve të thjeshtë" - numra të thjeshtë, ndryshimi midis të cilëve është i barabartë me 2?
Hamendësimi i Lezhandrit ose problemi i tretë i Landau është: a është e vërtetë që midis n2 dhe (n + 1)2 ka gjithmonë një numër të thjeshtë?
Problemi i katërt i Landau: A është e pafund bashkësia e numrave të thjeshtë të formës n2 + 1?
Përveç problemeve të mësipërme, ekziston problemi i përcaktimit të një numri të pafund të numrave të thjeshtë në shumë sekuenca numrash të plotë si numri i Fibonaccit, numri Fermat, etj.

Që nga koha e grekëve të lashtë, numrat e thjeshtë kanë qenë shumë tërheqës për matematikanët. Ata janë vazhdimisht në kërkim menyra te ndryshme vendndodhjen e tyre, por shumica mënyrë efektive"Kapja" e numrave të thjeshtë konsiderohet të jetë metoda e gjetur nga astronomi dhe matematikani Aleksandri Eratosthenes. Kjo metodë është tashmë rreth 2000 vjet e vjetër.

Cilët numra janë të thjeshtë

Si të përcaktoni një numër të thjeshtë? Shumë numra janë të pjesëtueshëm në mënyrë të barabartë me numra të tjerë. Numri me të cilin pjesëtohet një numër i plotë quhet pjesëtues.

Në këtë rast, bëhet fjalë për ndarje pa mbetje. Për shembull, numri 36 mund të ndahet me 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 dhe në vetvete, pra me 36. Pra, 36 ka 9 pjesëtues. Numri 23 ndahet vetëm me vetveten dhe me 1, domethënë ky numër ka 2 pjesëtues - ky numër është i thjeshtë.

Numrat që kanë vetëm dy pjesëtues quhen numra të thjeshtë. Domethënë, një numër që është i pjesëtueshëm pa mbetje vetëm me vetveten dhe me një quhet numër i thjeshtë.

Për matematikanët, zbulimi i modeleve në një seri numrash, të cilët më pas mund të përdoren për të ndërtuar hipoteza, është një ngjarje shumë e këndshme. Por numrat e thjeshtë refuzojnë t'i binden çdo modeli. Por ekziston një mënyrë për të përcaktuar numrat e thjeshtë. Kjo metodë u gjet nga Eratosthenes, ajo quhet "sitë e Eratosthenes". Le të shohim një variant të një "sitë" të tillë, të paraqitur në formën e një tabele me numra deri në 48 dhe të kuptojmë se si është përpiluar.

Në këtë tabelë janë shënuar të gjithë numrat e thjeshtë më të vegjël se 48 portokalli . Ato gjenden si kjo:

1 - ka një pjesëtues të vetëm dhe për këtë arsye nuk është një numër i thjeshtë;
2 është numri më i vogël i thjeshtë dhe i vetmi çift, pasi të gjithë numrat e tjerë çift pjesëtohen me 2, domethënë kanë të paktën 3 pjesëtues, këta numra reduktohen në kolona vjollce;
3 është një numër i thjeshtë, ka dy pjesëtues, përjashtohen të gjithë numrat e tjerë që pjesëtohen me 3 - këta numra përmblidhen në kolonën e verdhë. Kolona e shënuar me ngjyrë vjollce dhe të verdhë përmban numra të pjesëtueshëm me 2 dhe 3;
5 është një numër i thjeshtë, të gjithë numrat që pjesëtohen me 5 janë të përjashtuar - këta numra janë të rrethuar nga një ovale e gjelbër;
7 është një numër i thjeshtë, të gjithë numrat që pjesëtohen me 7 janë të rrethuar me të kuqe - ata nuk janë të thjeshtë;

Të gjithë numrat jo të thjeshtë janë shënuar me blu. Më tej, kjo tabelë mund të përpilohet në imazh dhe ngjashmëri.

numrat e thjeshtë përfaqësojnë një nga dukuritë matematikore më interesante, që ka tërhequr vëmendjen e shkencëtarëve dhe qytetarëve të thjeshtë për më shumë se dy mijëvjeçarë. Pavarësisht se tani jetojmë në epokën e kompjuterëve dhe programeve më moderne të informacionit, shumë mistere të numrave të thjeshtë ende nuk janë zgjidhur, madje ka nga ato që shkencëtarët nuk dinë t'i qasen.

Numrat e thjeshtë janë, siç dihet nga kursi i aritmetikës elementare, ata që janë të pjesëtueshëm pa mbetje vetëm me një dhe me vetveten. Nga rruga, nëse një numër natyror është i pjesëtueshëm, përveç atyre të listuara më sipër, me një numër tjetër, atëherë ai quhet i përbërë. Një nga teoremat më të famshme thotë se çdo numër i përbërë mund të përfaqësohet si prodhimi i vetëm i mundshëm i numrave të thjeshtë.

Disa fakte interesante. Së pari, njësia është unike në kuptimin që, në fakt, nuk i përket as numrave të thjeshtë dhe as të përbërë. Në të njëjtën kohë, në komunitetin shkencor është ende e zakonshme t'i atribuohet grupit të parë, pasi zyrtarisht i plotëson plotësisht kërkesat e tij.

Së dyti, i vetmi numër çift që ka hyrë në grupin "numrat kryesorë" është, natyrisht, dy. Çdo numër tjetër çift thjesht nuk mund të arrijë këtu, pasi sipas përkufizimit, përveç vetes dhe një, ai është gjithashtu i pjesëtueshëm me dy.

Numrat kryesorë, lista e të cilëve, siç u përmend më lart, mund të fillojë me një, janë një seri e pafundme, po aq e pafundme sa edhe seria e numrave natyrorë. Bazuar në teoremën themelore të aritmetikës, mund të arrihet në përfundimin se numrat e thjeshtë nuk ndërpriten dhe nuk mbarojnë kurrë, pasi përndryshe seria e numrave natyrorë do të ndërpritet në mënyrë të pashmangshme.

Numrat kryesorë nuk shfaqen rastësisht në seritë natyrore, siç mund të duket në shikim të parë. Pasi i keni analizuar me kujdes, mund të vini re menjëherë disa veçori, ndër të cilat më kuriozët lidhen me të ashtuquajturit numra "binjakë". Ata quhen kështu sepse në një mënyrë të pakuptueshme përfunduan pranë njëri-tjetrit, të ndara vetëm nga një kufizues çift (pesë dhe shtatë, shtatëmbëdhjetë dhe nëntëmbëdhjetë).

Nëse i shikoni me vëmendje, do të vini re se shuma e këtyre numrave është gjithmonë shumëfish i treshit. Për më tepër, kur ndahet me një trefish të shokut të majtë, pjesa e mbetur mbetet gjithmonë dy, dhe e djathta - një. Për më tepër, vetë shpërndarja e këtyre numrave përgjatë serisë natyrore mund të parashikohet nëse e gjithë kjo seri përfaqësohet në formën e sinusoideve oshiluese, pikat kryesore të të cilave formohen kur numrat ndahen me tre dhe dy.

Numrat e thjeshtë nuk janë vetëm një objekt i shqyrtimit të ngushtë nga matematikanët në mbarë botën, por janë përdorur prej kohësh me sukses në përpilimin e serive të ndryshme të numrave, gjë që është baza, përfshirë edhe për shifrografinë. Në të njëjtën kohë, duhet pranuar se një numër i madh i mistereve të lidhura me këta elementë të mrekullueshëm janë ende në pritje për t'u zgjidhur, shumë pyetje kanë jo vetëm rëndësi filozofike, por edhe praktike.

Një numër i thjeshtë është një numër natyror që pjesëtohet vetëm me vetveten dhe një.

Pjesa tjetër e numrave quhen të përbërë.

Numra të thjeshtë natyrorë

Por jo të gjithë numrat natyrorë janë të thjeshtë.

Numrat e thjeshtë natyrorë janë vetëm ata që pjesëtohen vetëm me vetveten dhe me një.

Shembuj të numrave të thjeshtë:

2; 3; 5; 7; 11; 13;...

Numra të plotë të thjeshtë

Nga kjo rezulton se vetëm numrat natyrorë janë numra të thjeshtë.

Kjo do të thotë se numrat e thjeshtë janë domosdoshmërisht natyrorë.

Por të gjithë numrat natyrorë janë gjithashtu numra të plotë.

Kështu, të gjithë numrat e thjeshtë janë numra të plotë.

Shembuj të numrave të thjeshtë:

2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23;...

Edhe numrat e thjeshtë

Ekziston vetëm një numër i thjeshtë çift, dhe ai është dy.

Të gjithë numrat e tjerë të thjeshtë janë tek.

Pse një numër çift më i madh se dy nuk mund të jetë numër i thjeshtë?

Por për shkak se çdo numër çift më i madh se dy do të jetë i pjesëtueshëm në vetvete, jo me një, por me dy, domethënë, një numër i tillë do të ketë gjithmonë tre pjesëtues, dhe mundësisht më shumë.

Artikulli trajton konceptet e numrave të thjeshtë dhe të përbërë. Janë dhënë përkufizimet e numrave të tillë me shembuj. Ne japim një provë që numri i numrave të thjeshtë është i pakufizuar dhe bëjmë një hyrje në tabelën e numrave të thjeshtë duke përdorur metodën e Eratosthenes. Do të jepen prova nëse një numër është i thjeshtë apo i përbërë.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Numrat e thjeshtë dhe të përbërë - Përkufizime dhe shembuj

Numrat e thjeshtë dhe të përbërë klasifikohen si numra të plotë pozitiv. Ato duhet të jenë më të mëdha se një. Pjesëtuesit ndahen gjithashtu në të thjeshtë dhe të përbërë. Për të kuptuar konceptin e numrave të përbërë, fillimisht është e nevojshme të studiohen konceptet e pjesëtuesve dhe shumëfishëve.

Përkufizimi 1

Numrat e thjeshtë janë numra të plotë që janë më të mëdhenj se një dhe kanë dy pjesëtues pozitivë, domethënë veten dhe 1.

Përkufizimi 2

Numrat e përbërë janë numra të plotë që janë më të mëdhenj se një dhe kanë të paktën tre pjesëtues pozitivë.

Njëri nuk është as numër i thjeshtë dhe as i përbërë. Ai ka vetëm një pjesëtues pozitiv, kështu që është i ndryshëm nga të gjithë numrat e tjerë pozitivë. Të gjithë numrat e plotë pozitivë quhen natyrorë, domethënë përdoren në numërim.

Përkufizimi 3

numrat e thjeshtë janë numra natyrorë që kanë vetëm dy pjesëtues pozitivë.

Përkufizimi 4

Numri i përbërëështë një numër natyror që ka më shumë se dy pjesëtues pozitivë.

Çdo numër më i madh se 1 është ose i thjeshtë ose i përbërë. Nga vetia e pjesëtueshmërisë kemi që 1 dhe numri a do të jetë gjithmonë pjesëtues për çdo numër a, domethënë do të jetë i pjesëtueshëm me vetveten dhe me 1. Ne japim përkufizimin e numrave të plotë.

Përkufizimi 5

Numrat natyrorë që nuk janë të thjeshtë quhen numra të përbërë.

Numrat kryesorë: 2, 3, 11, 17, 131, 523. Ata janë të pjestueshëm vetëm me vetveten dhe me 1. Numrat e përbërë: 6, 63, 121, 6697. Kjo do të thotë, numri 6 mund të zbërthehet në 2 dhe 3, dhe 63 në 1, 3, 7, 9, 21, 63 dhe 121 në 11, 11, domethënë pjesëtuesit e tij do të jenë 1, 11, 121. Numri 6697 do të zbërthehet në 37 dhe 181. Vini re se konceptet e numrave të thjeshtë dhe numrave relativisht të thjeshtë janë koncepte të ndryshme.

Për ta bërë më të lehtë përdorimin e numrave të thjeshtë, duhet të përdorni një tabelë:

Një tabelë për të gjithë numrat natyrorë ekzistues është joreale, pasi ka një numër të pafund të tyre. Kur numrat arrijnë madhësinë 10000 ose 1000000000, atëherë duhet të mendoni për përdorimin e sitës së Eratosthenes.

Konsideroni një teoremë që shpjegon pohimin e fundit.

Teorema 1

Pjesëtuesi më i vogël pozitiv i një numri natyror më të madh se 1 përveç 1 është një numër i thjeshtë.

Prova 1

Supozojmë se a është një numër natyror më i madh se 1, b është pjesëtuesi më i vogël jo një i a. Ne duhet të vërtetojmë se b është një numër i thjeshtë duke përdorur metodën e kontradiktës.

Le të themi se b është një numër i përbërë. Nga këtu kemi se ka një pjesëtues për b , i cili është i ndryshëm nga 1 si dhe nga b . Një pjesëtues i tillë shënohet si b 1 . Është e nevojshme që kushti 1< b 1 < b është përfunduar.

Mund të shihet nga kushti që a është i pjesëtueshëm me b, b është i pjesëtueshëm me b 1, që do të thotë se koncepti i pjesëtueshmërisë shprehet në këtë mënyrë: a = b q dhe b = b 1 q 1 , prej nga a = b 1 (q 1 q) , ku q dhe q 1 janë numra të plotë. Sipas rregullit të shumëzimit të numrave të plotë kemi që prodhimi i numrave të plotë është një numër i plotë me barazi të formës a = b 1 · (q 1 · q) . Mund të shihet se b 1 është pjesëtuesi i a. Pabarazia 1< b 1 < b jo përputhet, sepse marrim se b është pjesëtuesi më i vogël pozitiv jo-1 i a.

Teorema 2

Ka pafundësisht shumë numra të thjeshtë.

Prova 2

Supozojmë se marrim një numër të kufizuar numrash natyrorë n dhe shënojmë si p 1 , p 2 , ... , p n . Le të shqyrtojmë një variant të gjetjes së një numri të thjeshtë të ndryshëm nga ata të treguar.

Konsideroni numrin p, i cili është i barabartë me p 1 , p 2 , … , p n + 1 . Nuk është i barabartë me secilin nga numrat që u korrespondojnë numrave të thjeshtë të formës p 1 , p 2 , … , p n . Numri p është i thjeshtë. Atëherë teorema konsiderohet e vërtetuar. Nëse është i përbërë, atëherë duhet të marrim shënimin p n + 1 dhe tregoni mospërputhjen e pjesëtuesit me ndonjë nga p 1 , p 2 , … , p n .

Nëse nuk do të ishte kështu, atëherë, bazuar në vetinë e pjesëtueshmërisë së produktit p 1 , p 2 , ... , p n , marrim se do të pjesëtohej me p n + 1 . Vini re se shprehja p n + 1 numri p i ndarë është i barabartë me shumën p 1 , p 2 , … , p n + 1 . Marrim se shprehja p n + 1 termi i dytë i kësaj shume, i cili është i barabartë me 1, duhet të ndahet, por kjo është e pamundur.

Mund të shihet se çdo numër i thjeshtë mund të gjendet midis çdo numri të numrave të thjeshtë të dhënë. Nga kjo rezulton se ka pafundësisht shumë numra të thjeshtë.

Meqenëse ka shumë numra të thjeshtë, tabelat janë të kufizuara në numrat 100, 1000, 10000 e kështu me radhë.

Kur përpiloni një tabelë të numrave të thjeshtë, duhet të merret parasysh fakti se një detyrë e tillë kërkon një kontroll të vazhdueshëm të numrave, duke filluar nga 2 në 100. Nëse nuk ka pjesëtues, ai regjistrohet në tabelë, nëse është i përbërë, atëherë nuk futet në tabelë.

Le të shqyrtojmë hap pas hapi.

Nëse filloni me numrin 2, atëherë ai ka vetëm 2 pjesëtues: 2 dhe 1, që do të thotë se mund të futet në tabelë. Gjithashtu me numrin 3. Numri 4 është i përbërë, duhet të zbërthehet në 2 dhe 2. Numri 5 është i thjeshtë, që do të thotë se mund të fiksohet në tabelë. Bëni këtë deri në numrin 100.

Kjo metodë është e papërshtatshme dhe kërkon kohë. Mund të bësh një tavolinë, por duhet të shpenzosh nje numer i madh i koha. Është e nevojshme të përdoren kriteret e pjesëtueshmërisë, të cilat do të përshpejtojnë procesin e gjetjes së pjesëtuesve.

Metoda e përdorimit të sitës së Eratosthenes konsiderohet më e përshtatshme. Le t'i hedhim një sy tabelave më poshtë. Për të filluar, shkruhen numrat 2, 3, 4, ..., 50.

Tani ju duhet të kryqëzoni të gjithë numrat që janë shumëfish të 2. Bëni një goditje vijuese. Ne marrim një tabelë të formës:

Le të kalojmë në kryqëzimin e numrave që janë shumëfish të 5. Ne marrim:

Ne kryqëzojmë numrat që janë shumëfish të 7, 11. Më në fund tabela duket si

Le të kalojmë në formulimin e teoremës.

Teorema 3

Pjesëtuesi më i vogël pozitiv dhe jo-1 i numrit bazë a nuk e kalon a , ku a është rrënjë aritmetike numri i dhënë.

Prova 3

Është e nevojshme të caktohet b pjesëtuesi më i vogël numër i përbërë a. Ekziston një numër i plotë q , ku a = b · q , dhe kemi se b ≤ q . Një pabarazi e formës b > q sepse cenohet kushti. Të dyja anët e pabarazisë b ≤ q duhet të shumëzohen me çdo numër pozitiv b , jo e barabartë me 1 . Marrim se b b ≤ b q , ku b 2 ≤ a dhe b ≤ a .

Nga teorema e vërtetuar shihet se fshirja e numrave në tabelë çon në faktin se është e nevojshme të fillohet me një numër që është i barabartë me b 2 dhe plotëson pabarazinë b 2 ≤ a . Kjo do të thotë, nëse kaloni numrat që janë shumëfish të 2, atëherë procesi fillon nga 4, dhe ata që janë shumëfish të 3 fillojnë nga 9, dhe kështu me radhë deri në 100.

Përpilimi i një tabele të tillë duke përdorur teoremën e Eratosthenes thotë se kur të gjithë numrat e përbërë të kryqëzohen, do të mbeten ata të thjeshtë që nuk e kalojnë n. Në shembullin ku n = 50 , kemi se n = 50 . Nga këtu marrim se sita e Eratosthenes shoshit të gjithë numrat e përbërë që nuk janë më shumë vlerë rrënja e 50 . Kërkimi i numrave bëhet duke kryqëzuar.

Para se të zgjidhet, është e nevojshme të zbulohet nëse numri është i thjeshtë apo i përbërë. Shpesh përdoren kriteret e pjesëtueshmërisë. Le ta shohim këtë në shembullin e mëposhtëm.

Shembulli 1

Vërtetoni se 898989898989898989 është një numër i përbërë.

Vendimi

Shuma e shifrave të numrit të dhënë është 9 8 + 9 9 = 9 17 . Pra, numri 9 17 pjesëtohet me 9, bazuar në shenjën e pjesëtueshmërisë me 9. Nga kjo rezulton se është e përbërë.

Shenja të tilla nuk janë në gjendje të vërtetojnë parësinë e një numri. Nëse nevojitet verifikimi, duhet të ndërmerren hapa të tjerë. Mënyra më e përshtatshme është numërimi i numrave. Gjatë procesit, mund të gjenden numrat e thjeshtë dhe të përbërë. Kjo do të thotë, numrat në vlerë nuk duhet të kalojnë një . Kjo është, numri a duhet të zbërthehet në faktorët kryesorë. nëse kjo është e vërtetë, atëherë numri a mund të konsiderohet i thjeshtë.

Shembulli 2

Përcaktoni numrin e përbërë ose të thjeshtë 11723.

Vendimi

Tani ju duhet të gjeni të gjithë pjesëtuesit për numrin 11723. Nevoja për të vlerësuar 11723 .

Nga këtu shohim se 11723< 200 , то 200 2 = 40 000 , dhe 11 723< 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 më pak se numri 200 .

Për një vlerësim më të saktë të numrit 11723, është e nevojshme të shkruhet shprehja 108 2 = 11 664, dhe 109 2 = 11 881 , pastaj 108 2 < 11 723 < 109 2 . Nga kjo rezulton se 11723< 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.

Kur zbërthehemi, marrim se 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 7, 6 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 janë të gjithë numra të thjeshtë. I tërë këtë proces mund të paraqitet si pjesëtim me një kolonë. Kjo do të thotë, ndani 11723 me 19. Numri 19 është një nga faktorët e tij, pasi marrim pjesëtimin pa mbetje. Le të përshkruajmë ndarjen me një kolonë: