E dhënë kalkulator në internet zbërthen numrat në faktorët kryesorë duke përdorur metodën e numërimit të pjesëtuesve të thjeshtë. Nëse numri është i madh, atëherë për lehtësinë e prezantimit, përdorni një ndarës shifrash.
Rezultati tashmë është marrë!
Faktorizimi i një numri në faktorët kryesorë - teoria, algoritmi, shembujt dhe zgjidhjet
Një nga mënyrat më të thjeshta për të faktorizuar një numër është të kontrolloni nëse numri është i pjesëtueshëm me 2, 3, 5,... etj., d.m.th. kontrolloni nëse një numër pjesëtohet me një seri numrash të thjeshtë. Nëse numri n nuk është i pjesëtueshëm me asnjë numër të thjeshtë deri në , atëherë ky numër është i thjeshtë, sepse nëse numri është i përbërë, atëherë ai ka të paktën dy faktorë dhe të dy nuk mund të jenë më të mëdhenj se .
Le të imagjinojmë algoritmin e zbërthimit të numrave n në faktorët kryesorë. Le të përgatisim paraprakisht një tabelë me numrat e thjeshtë s=. Le të shënojmë një seri numrash të thjeshtë me fq 1 , fq 2 , fq 3 , ...
Algoritmi për zbërthimin e një numri në faktorët kryesorë:
Shembulli 1. Faktoroni numrin 153 në faktorët kryesorë.
Zgjidhje. Mjafton që ne të kemi një tabelë të numrave të thjeshtë deri në 
, d.m.th. 2, 3, 5, 7, 11.
Pjestojmë 153 me 2. 153 nuk pjesëtohet me 2 pa mbetje. Më pas, pjesëtoni 153 me elementin tjetër të tabelës së numrave të thjeshtë, d.m.th. në 3. 153:3=51. Plotësoni tabelën:
Më pas, kontrollojmë nëse numri 17 pjesëtohet me 3. Numri 17 nuk pjesëtohet me 3. Nuk pjesëtohet me numrat 5, 7, 11. Pjesëtuesi tjetër është më i madh . Prandaj, 17 është një numër i thjeshtë që pjesëtohet vetëm me vetveten: 17:17=1. Procedura është ndalur. plotësoni tabelën:
Ne zgjedhim ata pjesëtues me të cilët ndahen numrat 153, 51, 17 pa mbetje, d.m.th. të gjithë numrat janë në anën e djathtë të tabelës. Këta janë pjesëtuesit 3, 3, 17. Tani numri 153 mund të paraqitet si prodhim i numrave të thjeshtë: 153=3·3·17.
Shembulli 2. Faktoroni numrin 137 në faktorët kryesorë.
Zgjidhje. Ne llogarisim 
. Kjo do të thotë që ne duhet të kontrollojmë pjesëtueshmërinë e numrit 137 me numrat e thjeshtë deri në 11: 2,3,5,7,11. Duke pjesëtuar numrin 137 me këta numra një nga një, zbulojmë se numri 137 nuk është i pjesëtueshëm me asnjë nga numrat 2,3,5,7,11. Prandaj, 137 është një numër i thjeshtë.
Në këtë artikull do të gjeni të gjitha informacionet e nevojshme për t'iu përgjigjur pyetjes, si të faktorizojmë një numër në faktorë të thjeshtë. E dhënë së pari ide e përgjithshme rreth zbërthimit të një numri në faktorë të thjeshtë jepen shembuj zbërthimesh. Më poshtë tregon formën kanonike të zbërthimit të një numri në faktorët kryesorë. Pas kësaj, jepet një algoritëm për zbërthimin e numrave arbitrar në faktorë të thjeshtë dhe jepen shembuj të zbërthimit të numrave duke përdorur këtë algoritëm. Konsiderohet gjithashtu mënyra alternative, duke ju lejuar të faktorizoni shpejt numrat e plotë të vegjël në faktorë kryesorë duke përdorur testet e pjesëtueshmërisë dhe tabelat e shumëzimit.
Navigimi i faqes.
Çfarë do të thotë faktorizimi i një numri në faktorët kryesorë?
Së pari, le të shohim se cilët janë faktorët kryesorë.
Është e qartë se meqenëse fjala "faktorë" është e pranishme në këtë frazë, atëherë ka një produkt të disa numrave, dhe fjala kualifikuese "i thjeshtë" do të thotë se çdo faktor është një numër i thjeshtë. Për shembull, në një produkt të formës 2·7·7·23 ka katër faktorë kryesorë: 2, 7, 7 dhe 23.
Çfarë do të thotë faktorizimi i një numri në faktorët kryesorë?
Kjo do të thotë që ky numër duhet të përfaqësohet si produkt i faktorëve të thjeshtë dhe vlera e këtij produkti duhet të jetë e barabartë me numrin origjinal. Si shembull, merrni parasysh prodhimin e tre numrave të thjeshtë 2, 3 dhe 5, ai është i barabartë me 30, kështu që zbërthimi i numrit 30 në faktorë të thjeshtë është 2·3·5. Zakonisht zbërthimi i një numri në faktorë të thjeshtë shkruhet si barazi në shembullin tonë do të jetë kështu: 30=2·3·5; Theksojmë veçmas se faktorët kryesorë në zgjerim mund të përsëriten. Kjo ilustrohet qartë nga shembulli i mëposhtëm: 144=2·2·2·2·3·3. Por një paraqitje e formës 45=3·15 nuk është zbërthim në faktorë të thjeshtë, pasi numri 15 është një numër i përbërë.
Shtrohet pyetja e mëposhtme: "Cilët numra mund të zbërthehen në faktorë të thjeshtë?"
Në kërkim të një përgjigjeje për të, ne paraqesim arsyetimin e mëposhtëm. Numrat e thjeshtë, sipas përkufizimit, janë ndër ata më të mëdhenj se një. Duke marrë parasysh këtë fakt dhe , mund të argumentohet se produkti i disa faktorëve kryesorë është një numër i plotë numër pozitiv, më shumë se një. Prandaj, faktorizimi bëhet vetëm për numrat e plotë pozitivë që janë më të mëdhenj se 1.
Por a mund të faktorizohen të gjithë numrat e plotë më të mëdhenj se një në faktorët kryesorë?
Është e qartë se nuk është e mundur të faktorizohen numrat e plotë të thjeshtë në faktorët kryesorë. Kjo shpjegohet me faktin se numrat e thjeshtë kanë vetëm dy pjesëtues pozitivë - një dhe vetveten, kështu që ata nuk mund të përfaqësohen si prodhim i dy ose më shumë numrat e thjeshtë. Nëse numri i plotë z mund të përfaqësohet si prodhim i numrave të thjeshtë a dhe b, atëherë koncepti i pjesëtueshmërisë do të na lejonte të konkludojmë se z është i pjesëtueshëm me a dhe b, gjë që është e pamundur për shkak të thjeshtësisë së numrit z. Megjithatë, ata besojnë se çdo numër i thjeshtë është në vetvete një dekompozim.
Po në lidhje me numrat e përbërë? A palosen? numra të përbërë në faktorët kryesorë dhe a janë të gjithë numrat e përbërë ndaj një zbërthimi të tillë? Teorema themelore e aritmetikës jep një përgjigje pohuese për një numër prej këtyre pyetjeve. Teorema bazë e aritmetikës thotë se çdo numër i plotë a që është më i madh se 1 mund të zbërthehet në produktin e faktorëve kryesorë p 1, p 2, ..., p n, dhe zbërthimi ka formën a = p 1 · p 2 · … · p n, dhe ky zgjerim është unik, nëse nuk merrni parasysh renditjen e faktorëve
Faktorizimi kanonik i një numri në faktorë të thjeshtë
Në zgjerimin e një numri, faktorët kryesorë mund të përsëriten. Faktorët kryesorë të përsëritur mund të shkruhen më kompakt duke përdorur . Le të ndodhë në zbërthimin e një numri faktori kryesor p 1 s 1 herë, faktori kryesor p 2 – s 2 herë, dhe kështu me radhë, p n – s n herë. Atëherë faktorizimi i thjeshtë i numrit a mund të shkruhet si a=p 1 s 1 ·p 2 s 2 ·…·p n s n. Kjo formë regjistrimi është e ashtuquajtura faktorizimi kanonik i një numri në faktorë të thjeshtë.
Le të japim një shembull të zbërthimit kanonik të një numri në faktorë të thjeshtë. Na tregoni dekompozimin 609 840=2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, shënimi kanonik i tij ka formën 609 840=2 4 3 2 5 7 11 2.
Faktorizimi kanonik i një numri në faktorë të thjeshtë ju lejon të gjeni të gjithë pjesëtuesit e numrit dhe numrin e pjesëtuesve të numrit.
Algoritmi për faktorizimin e një numri në faktorë të thjeshtë
Për të përballuar me sukses detyrën e zbërthimit të një numri në faktorët kryesorë, duhet të keni njohuri shumë të mira të informacionit në artikullin numrat e thjeshtë dhe të përbërë.
Thelbi i procesit të zbërthimit të një numri të plotë pozitiv a që tejkalon një është i qartë nga vërtetimi i teoremës themelore të aritmetikës. Çështja është të gjejmë në mënyrë sekuenciale pjesëtuesit kryesorë më të vegjël p 1, p 2, ..., p n të numrave a, a 1, a 2, ..., a n-1, gjë që na lejon të marrim një seri barazish a=p 1 ·a 1, ku a 1 = a:p 1, a=p 1 ·a 1 =p 1 ·p 2 ·a 2, ku a 2 =a 1:p 2, …, a=p 1 ·p 2 ·…·p n ·a n , ku a n =a n-1:p n . Kur marrim një n =1, atëherë barazia a=p 1 ·p 2 ·…·p n do të na japë zbërthimin e dëshiruar të numrit a në faktorë të thjeshtë. Këtu duhet theksuar gjithashtu se p 1 ≤p 2 ≤p 3 ≤…≤p n.
Mbetet të kuptojmë se si të gjejmë faktorët kryesorë më të vegjël në çdo hap, dhe do të kemi një algoritëm për zbërthimin e një numri në faktorët kryesorë. Një tabelë e numrave të thjeshtë do të na ndihmojë të gjejmë faktorët kryesorë. Le të tregojmë se si ta përdorim atë për të marrë pjesëtuesin kryesor më të vogël të numrit z.
Ne marrim në mënyrë sekuenciale numrat e thjeshtë nga tabela e numrave të thjeshtë (2, 3, 5, 7, 11, e kështu me radhë) dhe ndajmë numrin e dhënë z me ta. Numri i parë i thjeshtë me të cilin z ndahet në mënyrë të barabartë do të jetë pjesëtuesi kryesor i tij më i vogël. Nëse numri z është i thjeshtë, atëherë pjesëtuesi kryesor i tij më i vogël do të jetë vetë numri z. Këtu duhet të kujtojmë gjithashtu se nëse z nuk është numër i thjeshtë, atëherë pjesëtuesi kryesor i tij më i vogël nuk e kalon numrin , ku është nga z. Kështu, nëse midis numrave të thjeshtë që nuk e tejkalojnë , nuk kishte asnjë pjesëtues të vetëm të numrit z, atëherë mund të konkludojmë se z është një numër i thjeshtë (më shumë për këtë është shkruar në seksionin e teorisë nën titullin Ky numër është i thjeshtë ose i përbërë ).
Si shembull, ne do të tregojmë se si të gjejmë pjesëtuesin kryesor më të vogël të numrit 87. Le të marrim numrin 2. Ndani 87 me 2, marrim 87:2=43 (mbetet 1) (nëse është e nevojshme, shihni artikullin). Kjo do të thotë, kur pjesëtohet 87 me 2, pjesa e mbetur është 1, kështu që 2 nuk është pjesëtues i numrit 87. Ne marrim numrin tjetër të thjeshtë nga tabela e numrave të thjeshtë, ky është numri 3. Pjestoni 87 me 3, marrim 87:3=29. Kështu, 87 pjesëtohet me 3, prandaj, numri 3 është pjesëtuesi kryesor më i vogël i numrit 87.
Vini re se në rastin e përgjithshëm, për të faktorizuar numrin a në faktorë të thjeshtë, na duhet një tabelë e numrave të thjeshtë deri në një numër jo më të vogël se . Ne do të duhet t'i referohemi kësaj tabele në çdo hap, ndaj duhet ta kemi pranë. Për shembull, për të faktorizuar numrin 95 në faktorë të thjeshtë, do të na duhet vetëm një tabelë me numra të thjeshtë deri në 10 (pasi 10 është më e madhe se ). Dhe për të zbërthyer numrin 846,653, do t'ju duhet tashmë një tabelë me numra të thjeshtë deri në 1,000 (pasi 1,000 është më i madh se ).
Tani kemi informacion të mjaftueshëm për të shkruar algoritmi për faktorizimin e një numri në faktorë të thjeshtë. Algoritmi për zbërthimin e numrit a është si më poshtë:
- Duke renditur në mënyrë sekuenciale numrat nga tabela e numrave të thjeshtë, gjejmë pjesëtuesin më të vogël të thjeshtë p 1 të numrit a, pas të cilit llogarisim një 1 =a:p 1. Nëse a 1 =1, atëherë numri a është i thjeshtë dhe ai vetë është zbërthimi i tij në faktorë të thjeshtë. Nëse a 1 nuk është e barabartë me 1, atëherë kemi a=p 1 ·a 1 dhe kalojmë në hapin tjetër.
- Ne gjejmë pjesëtuesin më të vogël të thjeshtë p 2 të numrit a 1 , për ta bërë këtë ne renditim në mënyrë sekuenciale numrat nga tabela e numrave të thjeshtë, duke filluar me p 1 , dhe më pas llogarisim një 2 =a 1:p 2 . Nëse a 2 =1, atëherë zbërthimi i kërkuar i numrit a në faktorë të thjeshtë ka formën a=p 1 ·p 2. Nëse a 2 nuk është e barabartë me 1, atëherë kemi a=p 1 ·p 2 ·a 2 dhe kalojmë në hapin tjetër.
- Duke kaluar nëpër numrat nga tabela e numrave të thjeshtë, duke filluar me p 2, gjejmë pjesëtuesin më të vogël të thjeshtë p 3 të numrit a 2, pas së cilës llogarisim një 3 =a 2:p 3. Nëse a 3 =1, atëherë zbërthimi i kërkuar i numrit a në faktorë të thjeshtë ka formën a=p 1 ·p 2 ·p 3. Nëse a 3 nuk është e barabartë me 1, atëherë kemi a=p 1 ·p 2 ·p 3 ·a 3 dhe kalojmë në hapin tjetër.
- Pjesëtuesin kryesor më të vogël p n të numrit a n-1 e gjejmë duke renditur numrat e thjeshtë, duke filluar me p n-1, si dhe a n =a n-1:p n, dhe a n është e barabartë me 1. Ky hap është hapi i fundit i algoritmit këtu marrim zbërthimin e kërkuar të numrit a në faktorë të thjeshtë: a=p 1 ·p 2 ·…·p n.
Për qartësi, të gjitha rezultatet e marra në çdo hap të algoritmit për zbërthimin e një numri në faktorë të thjeshtë janë paraqitur në formën e tabelës së mëposhtme, në të cilën numrat a, a 1, a 2, ..., a n shkruhen në mënyrë sekuenciale. në një kolonë në të majtë të vijës vertikale, dhe në të djathtë të vijës - pjesëtuesit kryesorë përkatës më të vegjël p 1, p 2, ..., p n.
Mbetet vetëm të shqyrtojmë disa shembuj të aplikimit të algoritmit që rezulton për zbërthimin e numrave në faktorët kryesorë.
Shembuj të faktorizimit të thjeshtë
Tani do të shikojmë në detaje shembuj të faktorizimit të numrave në faktorë të thjeshtë. Gjatë dekompozimit, ne do të përdorim algoritmin nga paragrafi i mëparshëm. Le të fillojmë me raste të thjeshta dhe gradualisht t'i ndërlikojmë ato në mënyrë që të ndeshemi me të gjitha nuancat e mundshme që lindin gjatë zbërthimit të numrave në faktorët kryesorë.
Shembull.
Faktoroni numrin 78 në faktorët kryesorë të tij.
Zgjidhje.
Fillojmë kërkimin për pjesëtuesin e parë më të vogël p 1 të numrit a=78. Për ta bërë këtë, ne fillojmë të renditim në mënyrë sekuenciale numrat e thjeshtë nga tabela e numrave të thjeshtë. Marrim numrin 2 dhe pjesëtojmë 78 me të, marrim 78:2=39. Numri 78 pjesëtohet me 2 pa mbetje, kështu që p 1 = 2 është pjesëtuesi kryesor i parë i gjetur i numrit 78. Në këtë rast, a 1 =a:p 1 =78:2=39. Kështu vijmë te barazia a=p 1 ·a 1 që ka formën 78=2·39. Natyrisht, një 1 = 39 është e ndryshme nga 1, kështu që kalojmë në hapin e dytë të algoritmit.
Tani po kërkojmë pjesëtuesin kryesor më të vogël p 2 të numrit a 1 =39. Ne fillojmë të numërojmë numrat nga tabela e numrave të thjeshtë, duke filluar me p 1 =2. Ndani 39 me 2, marrim 39:2=19 (mbetet 1). Meqenëse 39 nuk pjesëtohet në mënyrë të barabartë me 2, atëherë 2 nuk është pjesëtuesi i tij. Më pas marrim numrin tjetër nga tabela e numrave të thjeshtë (numri 3) dhe pjesëtojmë 39 me të, fitojmë 39:3=13. Prandaj, p 2 =3 është pjesëtuesi kryesor më i vogël i numrit 39, ndërsa a 2 =a 1:p 2 =39:3=13. Barazimin a=p 1 ·p 2 ·a 2 e kemi në trajtën 78=2·3·13. Meqenëse 2 =13 është e ndryshme nga 1, kalojmë në hapin tjetër të algoritmit.
Këtu duhet të gjejmë pjesëtuesin kryesor më të vogël të numrit a 2 =13. Në kërkim të pjesëtuesit më të vogël të thjeshtë p 3 të numrit 13, ne do të renditim në mënyrë sekuenciale numrat nga tabela e numrave të thjeshtë, duke filluar me p 2 =3. Numri 13 nuk pjesëtohet me 3, pasi 13:3=4 (pushim 1), gjithashtu 13 nuk pjesëtohet me 5, 7 dhe 11, pasi 13:5=2 (pushim 3), 13:7=1 (pushim. 6) dhe 13:11=1 (pushim. 2). Numri tjetër i thjeshtë është 13, dhe 13 është i pjesëtueshëm me të pa mbetje, prandaj, pjesëtuesi kryesor më i vogël p 3 i 13 është vetë numri 13, dhe a 3 =a 2:p 3 =13:13=1. Meqenëse 3 =1, ky hap i algoritmit është i fundit, dhe zbërthimi i dëshiruar i numrit 78 në faktorë të thjeshtë ka formën 78=2·3·13 (a=p 1 ·p 2 ·p 3 ).
Përgjigje:
78=2·3·13.
Shembull.
Shprehni numrin 83.006 si produkt i faktorëve kryesorë.
Zgjidhje.
Në hapin e parë të algoritmit për zbërthimin e një numri në faktorë të thjeshtë gjejmë p 1 =2 dhe a 1 =a:p 1 =83,006:2=41,503, nga të cilat 83,006=2·41,503.
Në hapin e dytë, zbulojmë se 2, 3 dhe 5 nuk janë pjesëtues të thjeshtë të numrit a 1 =41,503, por numri 7 është, pasi 41,503:7=5,929. Kemi p 2 =7, a 2 =a 1:p 2 =41,503:7 = 5,929. Kështu, 83,006=2 7 5 929.
Pjesëtuesi kryesor më i vogël i numrit a 2 =5 929 është numri 7, pasi 5 929:7 = 847. Kështu, p 3 =7, a 3 =a 2:p 3 =5 929:7 = 847, nga të cilat 83 006 = 2·7·7·847.
Më pas gjejmë se pjesëtuesi kryesor më i vogël p 4 i numrit a 3 =847 është i barabartë me 7. Atëherë a 4 =a 3:p 4 =847:7=121, pra 83 006=2·7·7·7·121.
Tani gjejmë pjesëtuesin kryesor më të vogël të numrit a 4 =121, ai është numri p 5 =11 (pasi 121 pjesëtohet me 11 dhe nuk pjesëtohet me 7). Pastaj a 5 =a 4:p 5 =121:11=11 dhe 83 006=2·7·7·7·11·11.
Së fundi, pjesëtuesi kryesor më i vogël i numrit a 5 =11 është numri p 6 =11. Pastaj a 6 =a 5:p 6 =11:11=1. Meqënëse 6 =1, ky hap i algoritmit për zbërthimin e një numri në faktorë të thjeshtë është i fundit dhe zbërthimi i dëshiruar ka formën 83 006 = 2·7·7·7·11·11.
Rezultati i marrë mund të shkruhet si zbërthim kanonik i numrit në faktorë të thjeshtë 83 006 = 2·7 3 ·11 2.
Përgjigje:
83 006=2 7 7 7 11 11=2 7 3 11 2 991 është një numër i thjeshtë. Në të vërtetë, ai nuk ka një pjesëtues të vetëm kryesor që nuk tejkalon ( mund të vlerësohet përafërsisht si , pasi është e qartë se 991<40 2
), то есть, наименьшим делителем числа 991
является оно само. Тогда p 3 =991
и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1
. Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289
на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991
.
Përgjigje:
897 924 289 = 937 967 991 .
Përdorimi i testeve të pjesëtueshmërisë për faktorizimin e thjeshtë
Në raste të thjeshta, ju mund të zbërtheni një numër në faktorë të thjeshtë pa përdorur algoritmin e zbërthimit nga paragrafi i parë i këtij neni. Nëse numrat nuk janë të mëdhenj, atëherë për t'i zbërthyer në faktorë të thjeshtë shpesh mjafton të njihen shenjat e pjesëtueshmërisë. Le të japim shembuj për sqarim.
Për shembull, ne duhet të faktorizojmë numrin 10 në faktorët kryesorë. Nga tabela e shumëzimit dimë se 2·5=10, dhe numrat 2 dhe 5 janë padyshim të thjeshtë, kështu që faktorizimi i thjeshtë i numrit 10 duket si 10=2·5.
Një shembull tjetër. Duke përdorur tabelën e shumëzimit, ne do të faktorizojmë numrin 48 në faktorët kryesorë. Ne e dimë që gjashtë është tetë - dyzet e tetë, domethënë 48 = 6·8. Megjithatë, as 6 dhe as 8 nuk janë numra të thjeshtë. Por ne e dimë se dy herë tre është gjashtë, dhe dy herë katër është tetë, pra 6=2·3 dhe 8=2·4. Atëherë 48=6·8=2·3·2·4. Mbetet të kujtojmë se dy herë dy është katër, atëherë marrim zbërthimin e dëshiruar në faktorët kryesorë 48 = 2·3·2·2·2. Le ta shkruajmë këtë zgjerim në formë kanonike: 48=2 4 ·3.
Por kur faktorizoni numrin 3400 në faktorët kryesorë, mund të përdorni kriteret e pjesëtueshmërisë. Shenjat e pjesëtueshmërisë me 10, 100 na lejojnë të themi se 3,400 pjesëtohet me 100, me 3,400=34·100, dhe 100 pjesëtohet me 10, me 100=10·10, pra, 3,400=34·10·10. Dhe bazuar në testin e pjesëtueshmërisë me 2, mund të themi se secili nga faktorët 34, 10 dhe 10 është i pjesëtueshëm me 2, marrim 3 400=34 10 10=2 17 2 5 2 5. Të gjithë faktorët në zgjerimin që rezulton janë të thjeshtë, kështu që ky zgjerim është i dëshiruari. Mbetet vetëm të riorganizohen faktorët në mënyrë që ata të shkojnë në rend rritës: 3 400 = 2·2·2·5·5·17. Le të shkruajmë edhe zbërthimin kanonik të këtij numri në faktorët kryesorë: 3 400 = 2 3 · 5 2 ·17.
Kur zbërtheni një numër të caktuar në faktorë të thjeshtë, mund të përdorni me radhë si shenjat e pjesëtueshmërisë ashtu edhe tabelën e shumëzimit. Le të imagjinojmë numrin 75 si produkt i faktorëve kryesorë. Testi i pjesëtueshmërisë me 5 na lejon të deklarojmë se 75 është i pjesëtueshëm me 5, dhe marrim se 75 = 5·15. Dhe nga tabela e shumëzimit dimë se 15=3·5, pra, 75=5·3·5. Ky është zbërthimi i kërkuar i numrit 75 në faktorët kryesorë.
Referencat.
- Vilenkin N.Ya. dhe të tjerët. Klasa e 6-të: tekst shkollor për institucionet e arsimit të përgjithshëm.
- Vinogradov I.M. Bazat e teorisë së numrave.
- Mikhelovich Sh.H. Teoria e numrave.
- Kulikov L.Ya. dhe të tjera Mbledhja e problemave në algjebër dhe teoria e numrave: Libër mësuesi për studentët e fizikës dhe matematikës. specialitete të instituteve pedagogjike.
Çfarë do të thotë faktoring? Kjo nënkupton gjetjen e numrave, prodhimi i të cilëve është i barabartë me numrin origjinal.
Për të kuptuar se çfarë do të thotë faktorizimi, le të shohim një shembull.
Një shembull i faktorizimit të një numri
Faktoroni numrin 8.
Numri 8 mund të përfaqësohet si prodhim 2 me 4:
Përfaqësimi i 8 si produkt 2 * 4 do të thotë faktorizim.
Vini re se ky nuk është faktorizimi i vetëm i 8.
Në fund të fundit, 4 faktorizohet si kjo:
Nga këtu 8 mund të përfaqësohen:
8 = 2 * 2 * 2 = 2 3
Le të kontrollojmë përgjigjen tonë. Le të gjejmë se me çfarë faktorizimi është i barabartë:
Kjo është, ne kemi marrë numrin origjinal, përgjigja është e saktë.
Faktoroni numrin 24 në faktorët kryesorë
Si të faktorizojmë numrin 24 në faktorët kryesorë?
Një numër quhet i thjeshtë nëse pjesëtohet vetëm me një dhe me vetveten.
Numri 8 mund të përfaqësohet si prodhim i 3 me 8:
Këtu faktorizohet numri 24. Por detyra thotë "faktoroni numrin 24 në faktorët kryesorë", d.m.th. Janë faktorët kryesorë që nevojiten. Dhe në zgjerimin tonë, 3 është një faktor kryesor, dhe 8 nuk është një faktor kryesor.
Çdo numër i përbërë mund të përfaqësohet si prodhim i pjesëtuesve të tij të thjeshtë:
28 = 2 2 7
Anët e djathta të barazive që rezultojnë quhen faktorizimi kryesor numrat 15 dhe 28.
Të faktorizosh një numër të caktuar të përbërë në faktorë të thjeshtë do të thotë të përfaqësosh këtë numër si produkt i faktorëve të tij të thjeshtë.
Zbërthimi i një numri të caktuar në faktorë të thjeshtë kryhet si më poshtë:
- Së pari ju duhet të zgjidhni numrin më të vogël të thjeshtë nga tabela e numrave të thjeshtë që ndan numrin e dhënë të përbërë pa mbetje dhe të kryeni pjesëtimin.
- Tjetra, duhet të zgjidhni përsëri numrin më të vogël të thjeshtë me të cilin herësi i marrë tashmë do të ndahet pa mbetje.
- Veprimi i dytë përsëritet derisa të fitohet një në herës.
Si shembull, le të faktorizojmë numrin 940 në faktorë të thjeshtë Gjeni numrin më të vogël të thjeshtë që pjesëton 940. Ky numër është 2.
Tani zgjedhim numrin më të vogël të thjeshtë që pjesëtohet me 470. Ky numër është përsëri 2:
Numri më i vogël i thjeshtë që pjesëtohet me 235 është 5:
Numri 47 është i thjeshtë, që do të thotë se numri më i vogël i thjeshtë që mund të pjesëtohet me 47 është vetë numri:
Kështu, marrim numrin 940, të faktorizuar në faktorët kryesorë:
940 = 2 470 = 2 2 235 = 2 2 5 47
Nëse zbërthimi i një numri në faktorë të thjeshtë rezultoi në disa faktorë identikë, atëherë për shkurtësi, ato mund të shkruhen në formën e një fuqie:
940 = 2 2 5 47
Është më e përshtatshme të shkruhet zbërthimi në faktorët kryesorë si më poshtë: së pari shkruajmë këtë numër të përbërë dhe vizatojmë një vijë vertikale në të djathtë të tij:
Në të djathtë të rreshtit shkruajmë pjesëtuesin kryesor më të vogël me të cilin ndahet numri i dhënë i përbërë:
Ne kryejmë ndarjen dhe shkruajmë herësin që rezulton nën dividend:
Me herësin veprojmë njësoj si me numrin e dhënë të përbërë, d.m.th., zgjedhim numrin më të vogël të thjeshtë me të cilin ai pjesëtohet pa mbetje dhe kryejmë pjesëtimin. Dhe ne e përsërisim këtë derisa të marrim një njësi në herës:
Ju lutemi vini re se ndonjëherë mund të jetë mjaft e vështirë të faktorizohet një numër në faktorë të thjeshtë, pasi gjatë faktorizimit mund të hasim një numër të madh që është e vështirë të përcaktohet menjëherë nëse është i thjeshtë apo i përbërë. Dhe nëse është i përbërë, atëherë nuk është gjithmonë e lehtë të gjesh pjesëtuesin kryesor të tij më të vogël.
Le të përpiqemi, për shembull, të faktorizojmë numrin 5106 në faktorët kryesorë:
Pasi të keni arritur herësin 851, është e vështirë të përcaktohet menjëherë pjesëtuesi i tij më i vogël. I drejtohemi tabelës së numrave të thjeshtë. Nëse ka një numër në të që na vë në vështirësi, atëherë ai është i pjesëtueshëm vetëm me vetveten dhe një. Numri 851 nuk është në tabelën e numrave të thjeshtë, që do të thotë se është i përbërë. Mbetet vetëm ta ndajmë atë në numra të thjeshtë me numërim sekuencial: 3, 7, 11, 13, ..., e kështu me radhë derisa të gjejmë një pjesëtues të thjeshtë të përshtatshëm. Me forcë brutale gjejmë se 851 pjesëtohet me numrin 23.
(përveç 0 dhe 1) kanë të paktën dy pjesëtues: 1 dhe vetveten. Quhen numra që nuk kanë pjesëtues të tjerë thjeshtë numrat. Quhen numrat që kanë pjesëtues të tjerë të përbëra(ose komplekse) numrat. Ka një numër të pafund numrash të thjeshtë. Më poshtë janë numrat kryesorë që nuk e kalojnë 200:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,
47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,
103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,
157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.
Shumëzimi- një nga katër veprimet themelore aritmetike, një operacion matematik binar në të cilin një argument shtohet aq herë sa tjetri. Në aritmetikë, shumëzimi është një formë e shkurtër e shtimit të një numri të caktuar termash identikë.
Për shembull, shënimi 5*3 do të thotë "shtoni tre pesëshe", domethënë 5+5+5. Rezultati i shumëzimit quhet puna, dhe numrat që do të shumëzohen janë shumëzuesit ose faktorët. Faktori i parë ndonjëherë quhet " shumëfishues».
Çdo numër i përbërë mund të faktorizohet në faktorë të thjeshtë. Me çdo metodë, përftohet i njëjti zgjerim, nëse nuk merret parasysh radha në të cilën janë shkruar faktorët.
Faktorizimi i një numri (Faktorizimi).
Faktorizimi (faktorizimi)- numërimi i pjesëtuesve - një algoritëm për faktorizimin ose testimin e parësisë së një numri duke numëruar plotësisht të gjithë pjesëtuesit e mundshëm të mundshëm.
Kjo do të thotë, në terma të thjeshtë, faktorizimi është emri i procesit të faktorizimit të numrave, i shprehur në gjuhën shkencore.
Sekuenca e veprimeve gjatë faktorizimit në faktorët kryesorë:
1. Kontrolloni nëse numri i propozuar është i thjeshtë.
2. Nëse jo, atëherë, të udhëhequr nga shenjat e pjesëtimit, zgjedhim një pjesëtues nga numrat e thjeshtë, duke filluar me më të voglin (2, 3, 5 ...).
3. Këtë veprim e përsërisim derisa herësi të dalë numër i thjeshtë.
